Unidad 5

Todo lo que se puede conocer tiene un número. Sin el número, no conocemos ni comprendemos nada.
Filolaos (siglo V a.C.)
Unidad 5
Sistemas de dos ecuacioneslineales
en dos variables
Objetivos:
problema.
ÁLGEBRA
Introducción
E
n la unidad 3 definimos lo que es una ecuación lineal en general. En esta unidad
consideraremos solamente las ecuaciones lineales con dos variables; es decir, aquellas que
tengan la forma: ax + by = c, en donde a, b y c son números reales.
Sabemos que una ecuación o un conjunto de ecuaciones se puede interpretar e incluso ser la
representación simbólica de un problema físico. Por ejemplo, supón que tus ahorros son $142.50 y que
te proponen que realices dos inversiones, una de $20.00 y otra de $122.50, las cuales te proporcionarán
como interés total la cantidad de $15.60. Pero si intercambias las cantidades, entonces el interés total
será de $11.70. ¿Cuáles son las tasas de interés? El planteamiento es como sigue:
A las tasas de interés las llamaremos:
x y y
Entonces tenemos que el interés total en el primer caso es:
20 x + 122.5 y = 15.6
(1)
El interés total en el segundo caso es:
122.5 x + 20 y = 11.70 (2)
Para determinar las tasas de interés debemos encontrar la solución común o conjunto de
soluciones comunes de las ecuaciones (1) y (2).
Cuando tenemos varias ecuaciones lineales y nos interesa conocer la
intersección de sus soluciones, entonces decimos que tenemos un sistema de
ecuaciones lineales.
Recuerda que una sola ecuación lineal con más de una incógnita tiene un
¿Qué es un
sistema de
ecuaciones?
número infinito de soluciones. Por tal motivo, cuando se resuelve un sistema
de ecuaciones lineales lo que se determina es la intersección de los conjuntos solución de cada
ecuación. D ebemos tener en cuenta que una ecuación lineal es una ecuación cuyo grado máximo
es 1, y por tanto, un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto de ecuaciones donde todas son
de primer grado o lineales.
Ejemplos:
1. D etermina si el siguiente sistema de ecuaciones es un sistema lineal:
3x2 2y 3
2x 3y3 1
(1)
(2)
Como ambas ecuaciones tienen términos cuyos grados son mayores a 1, concluimos que el
sistema no es lineal.
159
Unidad 5
2. D etermina si el siguiente sistema de ecuaciones es un sistema lineal.
x 2 5y
1
0.8x
y
3
Como ambas ecuaciones son de primer grado, el sistema sí es lineal.
En esta unidad estudiaremos varios métodos para resolver el caso especial de dos
ecuaciones lineales con dos incógnitas.
Un sistema con dos ecuaciones lineales y dos variables se dice que es un sistema de 2 por 2.
Ejercicio 1
D etermina si cada uno de los sistemas es un sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
2x 3y 1 0
1.
3
x 1 y
2
2.
3.
3x 3
y 2
2x 3xy
7 y 2xy
2
1
En los ejercicios 4 y 5 escribe el sistema de ecuaciones que describe el problema y determina
si es un sistema de ecuaciones lineales en dos variables.
4. El triple de un número, menos el doble de otro, menos 5 unidades es 3, pero si el primer número
se resta del segundo el resultado es –2.
5. El quíntuple del lado de un cuadrado menos el número que representa su área es 6,
mientras que el doble de su lado más su perímetro es 12.
160
ÁLGEBRA
5.1. Solución algebraica
Resolver un sistema de ecuaciones lineales a través de un método
algebraico asegura la exactitud de las soluciones. Existen varios problemas
que pueden manejarse sin tropiezos por medio de una aproximación
adecuada de su solución. Sin embargo, es importante contar con recursos
que nos conduzcan a respuestas exactas para cuando éstas sean necesarias,
¿Recuer das
cuándo dos
ecuaciones son
equivalentes?
como pudiera ser el caso de cantidades en una concentración química,
cantidades de material para minimizar costos, etcétera.
5.1.1. Método de eliminación
Este método está basado en la equivalencia de ecuaciones. Para obtener ecuaciones equivalentes
a partir de una ecuación dada, se pueden realizar de manera general dos tipos de operaciones.
Primera: sumar o restar la misma cantidad en ambos lados de la ecuación.
Segunda: multiplicar o dividir por la misma cantidad ambos lados de la ecuación.
En los dos tipos de operaciones se incluye la reducción de términos semejantes.
Ejemplos:
3. Considera la ecuación 3x–2= 11 x, entonces las siguientes ecuaciones son algunas de sus
equivalentes:
3 x –2 – 3x = 11x –3x
Porque se restó 3 x en cada miembro.
–2 = 8x
2 8x
8
8
Porque se efectuó la resta.
1
x
4
Porque se dividió entre 8 cada miembro.
Porque se redujo la fracción.
161
Unidad 5
4. Considera la ecuación 2 x–5y = –7; entonces las siguientes ecuaciones son algunas de sus
equivalentes:
6 x – 15y = –21
Porque se multiplicó por 3 cada miembro.
–12x + 30y = 42
Porque se multiplicó por –2 cada miembro.
–4x + 10y = 14
Porque se dividió por 3 cada miembro.
2
5
x
y
3
3
7
3
Porque se dividió por 6 cada miembro.
Ejercicio 2
D etermina si las ecuaciones son equivalentes.
1. x + y = 0 y 2 x – 2 y = 3
2. x + y = 1 y 3x + 3 y = 3
3. 7x + 2y = 1 y 114 x – y = 2
4. 3x – 6 y = 4 y –6 x + 12 y = –8
5. 12 x + 15 = 60 y y 8 x – 40 y = –10
Sistemas equivalentes de dos ecuaciones lineales con dos variables
D ecimos que el sistema
mismas soluciones.
ax by
dx ey
a x b1 y c1
c
es equivalente al sistema 1
si tienen las
d1x e1 y f1
f
Simbólicamente, la equivalencia se representa como:
ax by
c
a1x b1 y
c1
dx ey
f
d1x e1 y
f1
L os dos sistemas tienen el mismo número de ecuaciones y el mismo número de variables.
El método de eliminación consiste en:
1. Seleccionar dos ecuaciones equivalentes a las del sistema original de tal forma que al
sumarlas o restarlas se elimine una de las variables.
2. Resolver la ecuación resultante.
3. Sustituir en una de las ecuaciones del sistema original o equivalente el valor de la variable
obtenido en 2.
4. Resolver la ecuación resultante.
162
ÁLGEBRA
Ejemplos:
x 5y
5.
2
(1)
(2)
3x 7 y 38
Siguiendo el punto 1 del método de eliminación, multiplicamos la Ec. (1) por 3 y se la
sumamos a la Ec. (2) para eliminar la variable x. A partir de este ejemplo escribiremos simplemente:
3 Ec. (1) + Ec. (2).
x 5y
2
3x 7 y 38
(1)
( 2)
La ecuacion (1) se multiplica por 3
3x
3x
15y
7y
6
38
(1')
(2')
0 + 22y = 44
Ecuación resultante:
22y = 44
44
y=
= 2
22
Solución Ec. resultante:
Sustituyendo este valor en la Ec. (1) obtenemos:
x + 5(2) = 2
Solución Ec. resultante:
Por lo tanto, la solución del sistema es:
x = –8
x = –8 y
( 8) 5(2)
3( 8) 7(2)
Comprobación:
6.
x + 10 = 2
y= 2
8 10 2
24 14 38
(1)
(2)
4x 3y 5 (1)
3x 2y 3 (2)
En general, el método de eliminación consiste en multiplicar las ecuaciones (1) y (2), de
tal forma que los coeficientes de x (o de y) sean iguales, pero de signo contrario en el sistema
equivalente. I lustremos esta idea con nuestro ejemplo. Observa que:
–3 Ec. (1) + 4 Ec. (2)
Elimina la variable x.
4x 3y 5
3x 2y
(1)
12x 9 y
3 ( 2)
12x 8y
15 (1')
12 (2')
Ecuación resultante:
–17 y= –3
Solución Ec. resultante:
y
Sustituyendo en la Ec. (2) obtenemos: 3x 2
3
17
3
3
17
51x 6
17
3
51x 6
51
163
Unidad 5
Solución Ec. resultante:
x
19
17
Por lo tanto, la solución es:
x
19
3
y y
17
17
19
17
19
3
17
4
Comprobación:
3
17
3
2
17
3
76
17
57
17
9
17
6
17
85
17
51
17
5 (1)
3 ( 2)
En este ejemplo los coeficientes de las x en el sistema original eran 3 y 4, y el coeficiente
(con signo contrario) de las x en el sistema equivalente fue 12.
¿Qué relación existe entre 3, 4 y 12?
¿Cómo
det er minar los
númer os por los
que se mult iplica
cada ecuación
de t al for ma que
sean los ópt imos?
Veamos otro ejemplo:
7.
6x
2 y 1 (1)
5x 7 y 0
( 2)
Observa que: 5 Ec. (1) + 6 Ec. (2) elimina la variable x.
30 x 10 y 5 (1 ')
Sistema equivalente:
30 x 42 y 0 ( 2 ')
El coeficiente (con signo contrario) de la x es: 30
L os coeficientes de las x en el sistema original eran –6 y 5 y el coeficiente (con signo contrario)
de las x en el sistema equivalente fue 30.
¿Qué relación existe entre 5, 6 y 30?
Por otra parte: 7 Ec. (1) + 2 Ec. (2) elimina la variable y.
Sistema equivalente:
42 x 14 y 7
10 x 14 y 0
(1 ')
( 2 ')
El coeficiente (con signo contrario) de las y es:
14
L os coeficientes de las y en el sistema original eran 2 y –7 y el
¿Qué r elación
exist e ent r e los
var iable que se
desea eliminar en
el sistema or iginal
de esa var iable
en el sistema
equivalente?
164
coeficiente (con signo contrario) de las y en el sistema equivalente
fue 14.
¿Qué relación existe entre 2, 7 y 14?
Observa que:
En el ejemplo 6 el mínimo común múltiplo de los coeficientes de
las x es M CM (3,4)= 12; por tal motivo, multiplicamos la Ec. (1)
por –3 y la Ec. (2) por 4, para obtener en ambos como coeficientes
12 y –12.
ÁLGEBRA
En el ejemplo 7 el mínimo común múltiplo de los coeficientes de las x es M CM (5,6)= 30;
por tal motivo, multiplicamos la Ec. (1) por 5 y la Ec. (2) por 6, para obtener como coeficientes
30 y –30. Por último, en el ejemplo 7 el mínimo común múltiplo de los coeficientes de las y es
M CM (2,7)= 14; por tal motivo, multiplicamos la Ec. (1) por 7 y la Ec. (2) por 2, para obtener
como coeficientes 14 y –14.
Generalizando tenemos lo siguiente:
Si el sistema a resolver es:
ax
by
c (1)
dx
ey
f
( 2)
y se desea eliminar la variable x, entonces:
i. Encuentra M CM (| a| ,| d| )= M . L as barras señalan valor absoluto y lo único que te indican
es que no tomes en cuenta el signo de a, ni el de d.
ii. Determina el entero a', tal que (| a| )(a')= M y determina el entero d', tal que (| d| )(d')= M .
iii. Encuentra el sistema equivalente a través de:
a ' por Ec. (1)
d'
por
(1 ')
Ec. ( 2) ( 2 ')
iv. D ependiendo del signo de a y de d tendrás que sumar o restar para eliminar x y obtener
la ecuación resultante que depende de y.
v. Resuelve la ecuación resultante.
vi. Sustituye el valor de y en cualquiera de las ecuaciones del sistema y despeja x.
L a solución del sistema es el valor de x y el valor de y así obtenidos.
Ejemplos:
8. 4 veces un número es 6 unidades menor que el triple de otro, mientras que 10 veces el
primer número es 22 unidades menor que 7 veces el segundo. ¿Cuáles son los números?
Al primer número lo llamamos:
x
Al segundo número lo llamamos:
y
4 veces x es 6 unidades menor que 3 veces y:
4 x + 6 = 3y
4 x – 3y = –6
Ordenando:
10 veces x es 22 unidades menos que 7 veces y:
10 x + 22 = 7y
Ordenando:
El sistema por resolver es:
10x – 7y = –22
4x 3 y
10 x 7 y
6
(1)
22 ( 2)
Eliminaremos x, entonces calculamos el M CM (4,10) que es 20.
Observa que (4)(5)= 20 y que (10)(2)= 20, por lo tanto:
5 Ec. (1)–2Ec. (2) elimina la variable x.
165
Unidad 5
4x 3 y
6
(1)
10 x 7 y
22
( 2)
20 x 15 y
30
(1 ')
( 2 ')
20 x 14 y
44
0
– y = 14
Restando miembro a miembro se obtiene la ecuación resultante, que es: – y= 14
Solución Ec. resultante:
y = –14
Sustituyendo en la Ec. (1) obtenemos:
4 x – 3(–14)= –6
4 x = – 48
Solución Ec. resultante:
x = –12
Por lo tanto, la solución es: x= –12 y y= –14; es decir, el primer número es –12 y el
segundo es –14.
Comprobación:
4( 12) 3( 14)
10( 12) 7( 14)
6
22
(1)
( 2)
Ecuaciones lineales con dos variables linealmente independientes
Si se tiene el sistema
ax
by
c
dx
ey
f
(1)
( 2)
y existe un número k, no necesariamente entero, ni necesariamente positivo, tal que al
sumar las ecuaciones del sistema equivalente
kax kby kc
(1 ')
( 2 ')
dx ey f
se obtiene 0= 0; entonces se dice que las ecuaciones Ec. (1) y Ec. (2) son linealmente
dependientes (L.D .).
Dos ecuaciones con dos variables son linealmente dependientes si una es múltiplo de la otra.
Ejemplos:
9. Consideremos el siguiente sistema
1
x 3 y 24
2
x 6 y 45
(1)
( 2)
Para evitar fracciones multiplicamos la Ec. (1) por 2 y obtenemos el sistema equivalente:
166
ÁLGEBRA
x
6y
48
(1 ')
x
6y
45
( 2 ')
Restando miembro a miembro obtenemos 0= 3 y esto es un absurdo.
Por lo tanto, el sistema no tiene solución.
H emos visto que dado un sistema de 2 por 2 puede suceder que:
El sistema
A x =B
ax
dx
by
ey
c
genera una expresión de la forma:
f
Ecuación con respecto a x.
o
Cy=D
Tipo de solución.
Única.
Ecuación con respecto a y.
0=k, en donde k es un número diferente de cero.
No existe.
Tabla 5.1.
Observación: cuando en un problema en particular se tienen condiciones adicionales para
las variables, el caso de 0= 0 no necesariamente arroja soluciones infinitas.
Ejercicio 3
Resuelve los siguientes sistemas por el método de eliminación.
1.
2.
5x 3 y
7x 6y
22
10
12 x 15 y
3
10 x 6 y 4
Aplica el método de eliminación para determinar si cada uno de los siguientes problemas tiene
solución. Si la respuesta es afirmativa, resuélvelo. Si es negativa, explica por qué.
167
Unidad 5
3. U n avión recorrió 1 200 km en 6 h con el viento a su favor, mientras que volando en contra del
viento se demoró 8 h. ¿Cuál es la velocidad del avión con el viento en calma y cuál es la velocidad
del viento?
4. José invirtió una parte de su dinero al 12% y el resto al 18%. El ingreso por las 2 inversiones fue
de $4 500.00. Si hubiera intercambiado sus inversiones, el ingreso habría totalizado $3 240.00.
¿Qué cantidad representa cada parte?
7
81
la edad de B es
, mientras que el séxtuple de la edad de A, más el
6
3
séptuple de la edad de B es 102. ¿Cuántos años tiene A y cuántos años tiene B?
5. L a edad de A, más
5.1.2. Método de sustitución
Con lo que hemos estudiado hasta ahora, sabemos que un sistema de 2 por 2 está formado
por dos ecuaciones de la forma ax + by = c. Sabemos que la solución de este tipo de ecuación con
c by
c ax
respecto a x es: x
, si a 0, o bien que la solución con respecto a y es: y
, si b 0.
a
b
Veamos cómo podemos aplicar esta información a través de algunos ejemplos.
Ejemplos:
10.
x
y 5
2x 3 y 7
(1)
( 2)
Por observación podemos apreciar que la Ec. (1) es más simple que la Ec. (2) y la variable
más sencilla para despejar en esta ecuación es x.
Resolviendo la Ec. (1) con respecto a x, obtenemos que:
x= 5+ y
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (2):
2(5 + y) + 3 y = 7
Realizando operaciones:
Resolviendo la ecuación resultante:
Sustituyendo el valor de y en la Ec.(1') obtenemos:
168
(1')
10 + 2y + 3y = 7
5 y = –3
3
y
5
3
25 3 22
x 5
5
5
5
ÁLGEBRA
22
5
Por lo tanto, la solución del sistema es x
Comprobación:
22
5
22
2
5
3
5
25
5
3
5
3
y
3
5
y
(1)
5
44
5
9
5
35
5
( 2)
7
11. Un joyero combina oro de 24 quilates y de 12 quilates y obtiene oro de 18 quilates. Si
tuviera 9 onzas más de oro de 24 quilates, obtendría oro de 20.5 quilates. ¿Cuántas onzas tiene de
oro de 24 quilates y cuántas de oro de 12 quilates?
A la cantidad de onzas de oro de 24 quilates la llamamos:
A la cantidad de onzas de oro de 12 quilates la llamamos:
x
y
Al combinar el oro de 24 quilates con el oro de 12 quilates se obtiene oro de 18 quilates:
24 x + 12 y = 18(x + y)
x –y= 0
D esarrollando:
Al combinar 9 onzas más de oro de 24 quilates con el oro de 12 quilates se obtiene oro de
20.5 quilates:
24(x + 9)+ 12y = 20.5(x + y + 9)
D esarrollando:
3.5 x – 8.5 y = –31.5
x y 0
(1)
El sistema por resolver es:
3.5 x 8.5 y
31.5 ( 2)
Para evitar decimales multiplicamos por 10 la Ec. (2) y obtenemos el sistema equivalente:
x
y 0
35 x 85 y
(1 ')
315
( 2 ')
Resolveremos por el método de sustitución:
D espejando x de Ec. (1), obtenemos:
x= y
(1'')
Sustituyendo x en la Ec. (2), obtenemos:
35 y – 85 y = –315
315
50
Resolviendo la ecuación resultante:
y
Sustituyendo el valor de y en la Ec.(1''), obtenemos:
x = 6.3
63
10
50 y = 315
6.3
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 6.3 y y = 6.3; es decir, el joyero tiene 6.3 onzas
de oro de 24 quilates y 6.3 onzas de oro de 12 quilates.
Comprobación:
6.3 6.3
0
3.5( 6.3) 8.5(6.3)
(1)
22.05 53.55
31.5
( 2)
169
Unidad 5
Generalizando, podemos decir que el método de sustitución consiste en:
dado el sistema
ax
by
c
(1)
dx
ey
f
( 2)
i. Resolver la Ec. (1) o la Ec. (2) con respecto a una de las variables. A esta ecuación
llámesele Ec. (1')
ii. Si se resolvió la Ec. (1), entonces sustituir el valor de la variable despejada en la Ec. (2).
Si se resolvió la Ec. (2), entonces sustituir el valor de la variable despejada en la Ec. (1).
iii. D espejar la variable de la ecuación resultante.
iv. Sustituir este último valor en la Ec. (1') y despejar la variable en esta ecuación resultante.
v. L a solución del sistema es el valor de las variables así obtenidas.
Ejemplos:
12. Se tienen $186.00 en monedas de $2.00 y de $5.00. Si las monedas de $2.00 fueran de
$5.00 y las monedas de $5.00 fueran de $2.00, el valor total sería de $150.00. ¿Cuántas monedas
hay de cada una?
A la cantidad original de monedas de $2.00 la llamamos:
x
A la cantidad original de monedas de $5.00 la llamamos:
y
L a suma de las cantidades originales de monedas es $186.00: 2 x + 5y = 186 (1)
Si las monedas de $2.00 fueran de $5.00 y las de $5.00 fueran de $2.00, la suma total sería
$150.00:
2y + 5x = 150
El sistema por resolver es:
5x+ 2y = 150 (2)
2 x 5 y 186
(1)
5x
( 2)
2 y 150
Resolveremos por el método de sustitución; para iniciar seleccionamos la Ec. (2), porque
es la más sencilla:
D espejando y de Ec. (2), obtenemos:
Sustituyendo y en la Ec. (1), obtenemos: 2 x 5
D esarrollando:
4 x 5 150 5 x
2
y
150 5 x
2
186
Resolviendo la ecuación resultante:
186
150 5 x
2
(1 ')
4 x 5(150 5 x)
372
21 x = 378
x = 18
150 5(18) 60
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (1'),obtenemos:
y
30
2
2
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 18 y y = 30; es decir, la cantidad original de
monedas es 18 monedas de $2.00 y 30 monedas de $5.00.
170
ÁLGEBRA
Comprobación:
2(18) 5(30)
36 150
186
(1)
5(18) 2(30)
90
150
( 2)
60
13. 15 veces el largo de un rectángulo más 12 veces su ancho es 39 unidades,
5
13
unidades. ¿Cuáles
mientras que el doble de su ancho más de su largo es
2
2
son sus dimensiones?
Al largo del rectángulo lo llamamos: x
Al ancho del rectángulo lo llamamos:
¿Cómo indica
el método de
sustitución
que un
sistema tiene
un númer o
y
15 veces su largo más 12 veces su ancho es 39 unidades:
soluciones?
15x+ 12 y= 39 .
El doble de su ancho más
5
13
de su largo es
:
2
2
2y
5
x
2
13
2
5
x
2
2y
15 x 12 y 39
5
x
2
El sistema a resolver es:
2y
13
2
5x
(1)
( 2)
15 x 12 y 39
M ultiplicamos por 2 la Ec. (2) para evitar fracciones:
13
2
4 y 13
(1 ')
( 2 ')
L o resolveremos por el método de sustitución:
Resolviendo la Ec. 2') con respecto a y, obtenemos que:
Sustituyendo el valor de y en la Ec. (1'):
15x+ 12
M ultiplicando por 4 tenemos:
y
13 5 x
= 39
4
13 5 x
4
(1'')
60x + 12(13–5x)= 156
60x–60 x= 156–156
0= 0
Al igual que en el método de eliminación, este resultado nos indica que las ecuaciones del
sistema son linealmente dependientes, por lo tanto:
15 x 12 y 39
5
x
2
2y
13
2
(1)
15 x 12 y 39
( 2)
5x
4 y 13
(1 ')
( 2 ')
Observa que si multiplicamos por 3 la ecuación (2') obtenemos la ecuación (1'); esto significa
que las ecuaciones son linealmente dependientes.
171
Unidad 5
13 5 x
; por lo tanto, el sistema tiene un número
4
infinito de soluciones. Sin embargo, el hecho de que x y y representen las dimensiones de un
rectángulo nos obliga a restringir sus valores. Por ejemplo x= 5 es una solución del sistema, pero no
13 5(5)
3 y esto es una contradicción.
puede ser una solución del problema porque entonces y
4
Por otra parte, si x= 1, entonces y= 2, lo cual significa que el largo del rectángulo es 1 unidad y el
L a solución de esta última ecuación es y
ancho es 2 unidades. Comprueba este resultado y encuentra dos soluciones más al problema.
Ejercicio 4
Aplica el método de sustitución para determinar si cada uno de los siguientes sistemas tiene solución
única, infinitas soluciones o no tiene solución. Si el sistema tiene solución, resuélvelo.
1.
18 x 12 y 1
15 x 10 y 2
9
x
5
2.
3
x
4
3
x
4
3.
9
x
10
2
5
5
1
y
12
3
5
7
y
3
12
7
2y
10
4y
Aplica el método de sustitución para resolver los siguientes problemas:
4. Si el largo de un terreno rectangular se disminuye en 2 m y su ancho se incrementa en 2 m, su
área se incrementa en 16 m2 , pero si su largo se aumenta en 5 m y su ancho se disminuye en 3
m, el área aumenta 15 m2 . ¿Cuál es la superficie del terreno original?
5. El punto de apoyo de dos cargas de 60 kg y 130 kg está situado de tal manera que las cargas
quedan en equilibrio. Sin embargo, si a la carga de 60 kg se le agregan 20 kg, la carga de 130 kg
debe recorrerse 0.75 cm a la izquierda para mantener el equilibrio. Encuentra la distancia original
entre las dos cargas de 60 kg y 130 kg.
172
ÁLGEBRA
5.2. Sistemas de ecuaciones reducibles o
resolubles como un sistema de dos ecuaciones
lineales con dos variables
En ocasiones la forma como es expresada una ecuación no permite que se le catalogue en
una primera instancia como una ecuación lineal en dos variables, sino que es necesario trabajarla
un poco para notar que pertenece a este tipo de ecuación. En esta sección estudiaremos algunos
procedimientos que nos permitirán obtener sistemas de ecuaciones lineales con dos variables
equivalentes a sistemas de ecuaciones que aparentemente no pertenecen a esta clasificación. También
estudiaremos la forma de resolver algunos sistemas de ecuaciones que no son necesariamente lineales
en dos variables, pero que por medio de un cambio de variable pueden manejarse como tales.
Ejemplos:
14. Cada una de las siguientes ecuaciones es equivalente a una ecuación lineal en dos variables.
a) (y–2)(x+ 2)= x y+ 34
Efectuando el producto del primer miembro, obtenemos:
yx + 2y – 2x – 4 = xy + 34
Restando xy en ambos miembros:
2y – 2x – 4= 34
Sumando 4 en ambos miembros:
2 y – 2x= 38
Por lo tanto,
(y – 2)(x + 2) = xy + 34 2y – 2x = 38
b) (x – 5) 2 = (x + 7) 2 – 2y
D esarrollando las potencias en cada miembro, obtenemos:
x2 – 10x + 25 = x2 + 14x + 49 – 2y
Restando en ambos miembros:
–10 x + 25 = 14 x + 49 – 2 y
Sumando 10 x – 49 en cada miembro:
24 x – 2 y = –24
Por lo tanto,
(x – 5) 2 = (x + 7) 2 – 2y
24x – 2y = –24
Ahora veamos algunos ejemplos de sistemas de ecuaciones que son equivalentes a sistemas
de ecuaciones lineales con dos variables, o bien que, sin serlo, pueden manejarse como tales.
15. Si el largo de una piscina en forma rectangular disminuye en 10 m y su ancho aumenta
10 m, su área se incrementa en 400 m2. Si el largo aumenta 10 m y su ancho disminuye 5 m, el
área de la piscina permanece constante. ¿Cuál es el área de la piscina original?
173
Unidad 5
Al largo original lo llamamos: x
Al ancho original lo llamamos: y
Si el largo disminuye en 10m y el ancho aumenta 10m, el área se incrementa en 400 m2 :
(x – 10)( y + 10) = x y+ 400
Si el largo aumenta 10m y el ancho se disminuye en 5m, el área no cambia:
(x + 10)(y – 5) = x y
El sistema a resolver es:
( x 10)( y 10)
( x 10)( y 5)
La Ec. (1): (x –10)(y+ 10)= xy+ 400
( x 10)( y 10)
( x 10)( y 5)
xy
(1)
( 2)
xy + 10x–10y –100 = xy+ 400
xy–5x + 10y –50 = xy
L a Ec. (2): (x + 10)( y – 5)= xy
Por lo tanto:
xy 400
xy 400
xy
10 x –10y = 500
5x – 10y = –50
(1)
10 x 10 y 500
(1 ')
( 2)
5 x 10 y
( 2 ')
50
Resolveremos este último sistema por el método de eliminación. Observa que este sistema
es lineal en dos variables.
Observa que este sistema es lineal en dos variables. L o resolveremos por el método de
eliminación; para esto la ecuación (2') se multiplica por –1 y la sumamos a la ecuación (1').
Obtenemos como ecuación resultante:
5x = 550
Solución de la ecuación resultante:
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (2'), obtenemos:
Solución de la ecuación resultante:
174
(1'')
x = 110
5(110)–10 y= –50
10y= 600
y = 60
ÁLGEBRA
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 110 y y = 60; es decir, el largo original de la
piscina es 110 m y el ancho original es 60 m, y el área original es 6 600 m2.
(110 10)( 60 10)
Comprobación:
(110 10)( 60 5)
(100)(70)
(120)(55)
7 000
6 600
(110)( 60) 400
(110)( 60)
(1)
( 2)
Ejercicio 5
Plantea los problemas del 1 al 4 y reduce cada sistema que los representa a un sistema de dos
ecuaciones lineales con dos variables. Resuélvelos por el método que juzgues más adecuado:
1. Si al ancho de una fotografía en forma rectangular se le suman 2 cm y a su largo se le restan 3 cm,
el área decrece 7 cm2 ; y si al ancho se le restan 2 cm y al largo se le suman 3 cm, el área decrece 5 cm2.
¿Cuáles son las dimensiones de la fotografía?
7
2. Si al numerador y al denominador de una fracción se le suman 3 unidades la nueva fracción es
.
10
2
Sin embargo, si al numerador se le suman , el denominador se multiplica por 3 y se toma el recíproco
3
9
de la fracción completa, el resultado es . ¿Cuál es la fracción?
2
3. Si a una salmuera al 30% se le agregara otra salmuera al 45%, se obtendría una al 38%. Pero si
hubiera 40 l más de salmuera al 30% y se le agregara la salmuera al 45%, la nueva estaría al 32%.
¿Cuántos litros hay de cada una?
4. A y B juntos realizan un trabajo en 35 h. Si A trabaja solo durante 10 h y después B trabaja solo
para terminar el trabajo, B demorará 122.5 h. ¿Cuántas horas tarda cada uno en efectuar solo el
trabajo?
5. Reduce a un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables y resuelve con el método que
consideres más adecuado:
4 y2
x
2
(x
3( x
y)( x
y)
x2
4 y)
( x 3)
3 xy 7 y 2
2
175
Unidad 5
5.3. Método de Cramer
Gabriel Cramer (1704–1752) fue un matemático suizo que desarrolló el método para
resolver sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de variables que de ecuaciones. En
esta unidad aplicaremos su método a sistemas de dos por dos; en la siguiente unidad lo haremos
para sistemas de tres por tres y de cuatro por cuatro.
El método además de sencillo es muy ingenioso, pues sólo considera los coeficientes y los
términos independientes de las ecuaciones del sistema.
Veamos un ejemplo para entender de qué se trata.
16. Consideremos el sistema
4x 5 y 6
2x 3 y 7
(1)
( 2)
D espejando x de la Ec. (1), obtenemos:
x
Sustituyendo el valor de x en Ec. (2)
2
M ultiplicando por (4)
6 5y
4
6 5y
4
3y 7
2(6 –5 y)+ (4)(3) y = (4)(7)
((4)(3) – (2)(5)) y = (4)(7) – (2)(6)
y
¿Exist e alguna
for ma sistemática
de efectuar la
r est a de los
pr oductos en cr uz
par a deter minar
los valor es de las
var iables de un
sistema de dos
por dos?
( 4)(7) ( 2)( 6)
( 4)(3) ( 2)(5)
Si en lugar de despejar x en la Ec.(1) hubiéramos despejado y:
y
6 4x
5
6 4x
7
5
(5)(2) x + 3(6 – 4x) = (5)(7)
Sustituyendo el valor de y en la Ec.(2): 2 x 3
M ultiplicando por 5
Lasolución del sistema
((5)(2) – (3)(4)) x = (5)(7) – (3)(6)
x
4x 5 y 6
(1)
2x 3 y 7
( 2)
es: x
(5)(7) (3)( 6)
(5)( 2) (3)( 4)
(3)( 6) (5)(7)
(3)( 4) ( 2)(5)
(3)( 6) (5)(7)
(3)( 4) ( 2)(5)
y
y
( 4)(7) ( 2)( 6)
( 4)(3) ( 2)(5)
Observa que el denominador de las dos fracciones es igual y que está formado por la resta de la
multiplicación en cruz de los coeficientes de las ecuaciones del sistema.
176
ÁLGEBRA
El numerador de la x está formado por la resta de la multiplicación en cruz de los coeficientes
de la y y los términos independientes, mientras que el numerador de la y es la resta de la multiplicación
en cruz de los coeficientes de la x y los términos independientes.
Para explicar cómo se aplica el método de Cramer en un sistema de ecuaciones lineales de
dos por dos es necesario definir dos conceptos previos: matriz y determinante.
U na matriz de dos por dos es un arreglo rectangular de números reales que se representa
a b
.
en la forma
c d
Ejemplos:
17. Consideremos el sistema
L a matriz de coeficientes es
2x 7 y 9
x 5y 30
2
7
1
5
la matriz formada por los coeficientes de las x y los términos independientes es:
2 9
1 30
y la matriz formada por los coeficientes de las y y los términos independientes es:
9
7
30
5
D efinamos ahora el concepto de determinante para una matriz de dospor dos.
El determinante es un número que se le asocia a una matriz.
El determinante de la matriz
a
b
c d
se representa por
a b
y se calcula como sigue:
c d
a b
= ad–bc
c d
Estamos en condiciones de retomar el sistema
4x 5 y 6
2x 3 y 7
(1)
( 2)
del ejemplo 16 y expresar por medio de un cociente de determinantes su solución. Sabemos que
177
Unidad 5
x
(3)( 6) (5)(7)
(3)( 4) ( 2)(5)
N o es difícil observar que si construimos la matriz con los términos independientes y los
coeficientes de las y (en este orden), su determinante es el numerador de esta fracción:
6
5
7
3
( 6)(3) (7)(5)
(3)( 6) (5)(7)
En cambio, si construimos la matriz con los coeficientes de x y los coeficientes de y (en
este orden) su determinante es el denominador de las dos fracciones:
4
2
5
3
( 4)(3) ( 2)(5)
(3)( 4) ( 2)(5)
Analicemosahorael numerador dey=
( 4)(7) ( 2)( 6)
. Si formamosla matriz con loscoeficientes
( 4)(3) ( 2)(5)
de x y los términos independientes (en este orden) su determinante es el numerador de la y:
4
6
2
7
( 4)(7) ( 2)( 6) . Resumiendo, tenemos que: x
Generalizando tenemos que el sistema
ax
by
c
dx
ey
f
6
5
7
4
3
5
2
3
y
y
4 6
2 7
4 5
2 3
se resuelve por el método de Cramer
como sigue:
i. Para saber si el método es aplicable o no, primero se calcula el determinante de la matriz
formada por los coeficientes. La primera columna contiene los coeficientes de la x y la segunda
columna los de la y:
Si
a
d
a
b
d
e
b
= 0, el método no es aplicable; entonces la solución del sistema se debe intentar por
e
otro método. Si
a
b
0, entonces el método es aplicable y este determinante será el denominador
d e
de los valores de las variables.
178
ÁLGEBRA
ii. Para obtener el valor de x, se calcula el determinante de la matriz
c b
f
e
. Observa que
en el lugar de los coeficientes de las x se colocaron los términos independientes. El valor de x queda
determinado por:
c b
x
f
a
e
b
d
e
iii. Para obtener el valor de y, se calcula el determinante de la matriz
a
c
. Observa que
d f
en el lugar de los coeficientes de las y se colocaron los términos independientes. El valor de y queda
determinado por:
y
a
c
d
a
f
b
d
e
Ejemplos:
1
7
de la edad de su padre y dentro de 4 años tendrá
de
9
23
la edad que tendrá su padre. ¿Cuál es la edad actual de padre e hijo?
18. H ace 6 años un niño tenía
A la edad del padre la llamamos:
A la edad del hijo la llamamos:
1
H ace 6 años el niño tenía de la edad del padre:
9
7
D entro de 4 años el niño tendrá
la edad del padre:
23
x
y
y 6
y 4
1
( x 6)
9
7
( x 4)
23
1
x y
9
7
x y
23
Sistema a resolver:
16
3
64
23
Veamos si el método de Cramer es aplicable:
El determinante de la matriz de coeficiente es:
1
9
7
23
1
1
1
9
7
23
1
9
7
23
23 63
207
40
207
Por lo tanto, el método sí es aplicable. Calcularemos x y y.
179
Unidad 5
El determinante de la matriz:
16
13
64
1
es:
1
16
3
1
1
64
23
16
3
64
23
368 192
69
560
69
23
1
9
El determinante de la matriz
7
23
Por lo tanto:
16
3
64
23
es:
y
1
9
7
23
1
9
7
23
1
9
64
23
16
3
64
23
1
400
207
40
207
7
23
400
40
16
3
64 336
207
400
207
10
1
L o que significa que el niño tiene 10 años y el padre tiene 42 años.
Ejercicio 6
En los ejercicios 1, 2 y 3 determina si la regla de Cramer es aplicable. Si tu respuesta en afirmativa,
resuelve el sistema por este método.
1.
7x 2y 1
y x 2
36 x 32 y
2.
3.
3
x
4
3
x
2
3
x
4
2
2
1
y
3
24
4
y 6
3
2
1
y
3
24
Aplica Cramer para resolver los problemas 4 y 5.
180
ÁLGEBRA
4. La suma de los recíprocos de 2 números es
11
y su diferencia es
5
9
. ¿Cuáles son los números?
5
5. U n avión voló 300 km en dirección del viento en 1 hora y 24 minutos. D e regreso voló en contra
del viento y demoró 1 hora y 33 minutos en realizar el vuelo. ¿Cuál es la velocidad del viento y cuál
es la velocidad del avión con el viento en calma?
Caso práctico de aplicación
Una alberca se puede llenar en 70 minutos si sus dos llaves están abiertas simultáneamente. Si
por 1 hora sólo se abre la primera llave, la segunda deberá abrirse sola 75 minutos para que se llene la
alberca. ¿Cuánto tarda cada llave en llenar la alberca separadamente?
Al tiempo en minutos que tarda en llenar la llave A (sola) la alberca lo llamamos: x
Al tiempo en minutos que tarda en llenar la llave B (sola) la alberca lo llamamos:
L a parte que llena la llave A sola en un minuto es:
L a parte que llena la llave B sola en un minuto es:
Por lo tanto, la parte de la alberca que llena la llave A en 70 minutos es:
Y la parte de la alberca que llena la llave B en 70 minutos es:
1
x
1
y
70
x
70
y
70
x
60
x
En 70 minutos las dos llaves juntas llenan la alberca:
L a parte que llena la llave A sola en 1 hora= 60 minutos es:
y
70
y
1
75
y
L a parte que llena la llave B sola en 75 minutos es:
Si por 60 minutos sólo se abre la llave A, la llave B deberá abrirse sola 75 minutos para que
60 75
se llene la alberca:
1
x
y
El sistema a resolver es:
H aciendo los cambios de variable: a
1
x
y b
70
x
70
y
1
60
x
75
y
1
1
70 a 70b 1
, obtenemos el sistema
y
60 a 75b 1
181
Unidad 5
Resolviendo por Cramer:
1 70
a
1 75
70 70
60
75
70
75 70
(70)(75) ( 60)(70)
1
; b
210
1
60 1
70 70
60
70 60
(70)(75) ( 60)(70)
1
105
75
Regresando a las variables originales, tenemos que x= 210 y y= 105. Es decir la llave A,
sola, tarda 210 minutos en llenar la alberca y la llave B, sola, tarda 105 minutos.
182
ÁLGEBRA
Ejercicios resueltos
1. Resuelve por el método de eliminación los siguientes sistemas:
a)
b)
6( x 2 y) 8
3( x
4 x 12
2 y) 4( x
15
10
x
y
4
3
12
8
x
y
35
45
0
y) 2
35
24
4
315
Solución:
a)
6( x 2 y) 8
3( x
4 x 12
2 y) 4( x
y)
2
(1)
0
10 x 12 y
x
2y
( 2)
Eliminaremos la variable x.
M ultiplicando la Ec. (2') por 10:
4
2
10 x 12 y
10 x 20 y
Restando miembro a miembro:
8 y = 16
Resolviendo la ecuación resultante:
y= 2
Sustituyendo el valor de y en la Ec. (2'):
x – 2(2) = –2
4
20
(1 ')
( 2 ')
(1 '')
( 2 '')
D espejando x:
x= 2
Por lo tanto, x= 2 y y= 2. Comprueba que la solución sea correcta.
b)
15
10
x
y
4
3
12
8
x
y
35
45
35
24
4
315
(1)
( 2)
El M CM de los denominadores en la Ec. (1) es:
M CM (3, 4, 24) = 24
El MCM de los denominadores en la Ec. (2) es:
M CM (35, 45, 315) = 315
15
10
x
y
3
Un sistema equivalente a 4
12
8
x
y
35
45
35
(1)
90 x 80 y 35 (1 ')
24
sin fracciones es:
108 x 56 y 4 ( 2 ')
4
( 2)
315
183
Unidad 5
Eliminaremos la variable y.
El mínimo común múltiplo de 56 y 80 es:
M CM (56, 80)= 560
Observa que (7)(80)= 560 y que (10)(56)= 560, por lo tanto:
90 x 80 y 35
(1 ')
630 x 560 y
108 x 56 y
( 2 ')
1080 x 560 y
4
Sumando miembro a miembro:
Resolviendo la ecuación resultante:
108
D espejando y:
y
1
6
y y
(1 '')
40
( 2 '')
1 710 x = 285
285 1
x
1710 6
Sustituyendo el valor de x en la Ec.(2'):
Por lo tanto, x
245
1
6
14
56
56 y 4
56 y 14
1
4
1
. Comprueba que la solución sea correcta.
4
2. Resuelve por el método de sustitución los siguientes sistemas:
a)
b)
x 2x 3 y
8
6
3( x y)
y
5
1
x
15
4y
15
2x
1
24
1
5
21
2
8
y
13
2
Solución:
a)
x 2x 3 y
8
6
3( x y)
y
5
1
24
1
5
(1)
( 2)
El M CM de los denominadores en la Ec. (1) es:
M CM (6, 8, 24)= 24
x 2x 3 y 1
(1)
5 x 12 y 1 (1 ')
8
6
24
sin fracciones es:
U n sistema equivalente a
3( x y)
1
3x 8 y
1 ( 2 ')
y
( 2)
5
5
184
ÁLGEBRA
x
D espejando x de la Ec. (2'), obtenemos:
Sustituyendo x en la Ec. (1'):
5
D espejando y:
y
1 8y
Ec. (1'')
3
1 8y
12 y 1
3
1
2
1
2
1 8
Sustituyendo el valor de y en la Ec. (1''):
x
D espejando x:
x= 1
b)
15
4y
15
2x
21
2
8
y
3
1
. Comprueba que la solución es correcta.
2
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 1 y y
1
x
2
3
4
y
3
(1)
13
2
( 2)
H aciendo los cambios de variable a
a
Un sistema equivalente a
1
x
y
b
1
tenemos:
y
a
15
21
b
4
2
13
15
a 8b
2
2
(1 ')
( 2 ')
15
21
b
(1 ')
4 a 15b 42
(1 '')
4
2
sin fracciones es:
15
13
15a 16 b
13 ( 2 '')
a 8b
( 2 ')
2
2
D espejando la variable a de la Ec. (1''):
Sustituyendo a en la Ec. (2''):
D espejando b:
Sustituyendo el valor de b en la Ec. (1'''):
42 15b
4
42 15b
15
4
b= 2
42 15( 2)
a
4
a
Ec. (1''')
16 b
12
4
289
2
289
b
4
13
3
H aciendo los cambios de variable, tenemos que la solución del sistema es x
1
3
y
y
1
.
2
Comprueba la solución.
185
Unidad 5
3. Resuelve los siguientes sistemas por el método de Cramer.
a)
2y x 1
x
2y
6
3
2
3 4x 3 y
x 3
y
2 4
4
3
b)
2
y
2
x
6
1
x
8 1
3y 3
1
3y
Solución
a)
2y x 1
x
(1)
2y
6
3
2
x 3
3 4x 3 y
y
( 2)
2 4
4
3
2
x
3
5
x
6
El mínimo común múltiplo de 4 y 6 es:
2
5
x
y
3
3
U n sistema equivalente a
5
7
x
y
6
4
Por Cramer tenemos:
x
1
5
9
2
21
5
10
1
5
y
3
3
7
3
y
4
4
24
8
3
( 2 ')
M CM (4,6)= 12
1
(1 ')
3
sin fracciones es:
3
( 2 ')
4
2
21 45
42 50
(1 ')
y
y
1
10 9
2
5
10
21
2x 5 y 1
(1 '')
10 x 21 y 9 ( 2 '')
18 10
8
8
8
1
21
Por lo tanto, la solución del sistema es x = –3 y y = 1. Comprueba este resultado.
b)
2
y
2
x
6
1
x
8 1
3y 3
(1)
1
3y
( 2)
H aciendo los cambios de variable a
186
1
x
y b
6 a 2 b 1 (1 ')
1
tenemos:
1
( 2 ')
2 a 3b
y
3
ÁLGEBRA
1
Por Cramer tenemos: a
6
2
1
3
6
2
2
3
3
3
2
3
18 4
7
3
22
1
6
1
3
2
2
3
2
7
66
y
b
2 2
22
2
11
H aciendo loscambiosdevariable, tenemosquelasolución del sistemaes
Comprueba este resultado.
4. U n sexto de un primer número se suma al triple de otro y el resultado es el doble del segundo
número, mientras que la diferencia del primero menos el segundo dividida por 5 es 3. ¿Cuáles son
los números?
Al primer número lo llamamos:
x
Al segundo número lo llamamos:
y
x
6
x
U n sexto del primero más el triple del segundo es el doble del segundo:
L a diferencia del primero, menos el segundo, entre 5 es 3:
El sistema a resolver es:
x
6
x
3y
y
5
2 y (1)
3
( 2)
x
6
x
3y 2y
y
5
y 0
(1 ')
y 15
( 2 ')
Sumando miembro a miembro, obtenemos:
x
6
x
D espejando x:
x
90
7
Sustituyendo en la Ec. (2'):
90
7
y 15
D espejando y:
y
15
7
15
7
x
6
3
15
90
15
y y
. Comprueba este resultado.
7
7
5. La mitad de la edad de Juan más un tercio de la edad de Josefina es 25, mientras que el séxtuple de
Por lo tanto la solución del problema es x
la edad de Juan excede en 300 al cuádruple de la edad de Josefina. ¿Cuantos años tiene cada uno?
Solución:
A la edad de Juan la llamamos:
x
A la edad de Josefina la llamamos:
y
187
Unidad 5
1
1
x
y 25
2
3
El séxtuple de la edad de Juan excede en 300 al cuádruple de la edad de Josefina: 6 x–300= 4 y
L a mitad de la edad de Juan más un tercio de la edad de Josefina es 25:
1
1
x
y 25
2
3
6 x 300 4 y
El sistema por resolver es:
(1)
( 2)
Para evitar las fracciones multiplicamos por M CM (2, 3) = 6 la Ec. (1) y obtenemos el sistema
3 x 2 y 150
(1 ')
3 x 2 y 150 (1 ')
equivalente:
6 x 300 4 y ( 2 ')
6 x 4 y 300 ( 2 ')
Eliminaremos y; entonces calculamos M CM (2, 4) que es 4.
Observa que (2)(2)= 4
y
(4)(1)= 1; por lo tanto:
2 Ec. (1)+ 1Ec. (2) elimina la variable y.
3x
2 y 150
(1 ')
6x
4 y 300
6x
4 y 300
( 2 ')
6x
4 y 300
(1 '')
( 2 '')
Sumando miembro a miembro se obtiene la ecuación resultante que es:
Solución Ec. resultante:
x = 50
Sustituyendo en la Ec. 1') obtenemos:
12 x= 600
3(50) + 2y = 150
2y = 0
Solución Ec. resultante:
y= 0
Por lo tanto, la solución es: x= 50 y y= 0; es decir, Juan tiene 50 años y Josefina es una
bebé de menos de un año de edad.
1
1
(50)
(0) 25
Comprobación: 2
3
6(50) 300 4( 0)
(1)
( 2)
6. Cuando Jaime va en bicicleta de su casa al gimnasio y maneja a una velocidad uniforme de 30
km/h llega 5 mins antes de lo usual, pero si maneja a 20 km/h llega con 3 mins de retraso en relación
al tiempo usual, ¿cuál es la distancia de su casa al gimnasio?
Solución:
Convirtiendo todos los datos a la misma unidad:
Fórmula a emplear:
A la distancia de su casa al gimnasio la llamamos:
188
1
1
h y 3 mins=
h
20
12
distancia
velocidad
tiempo
5 mins=
x
ÁLGEBRA
Al tiempo usual que le toma hacer el recorrido de un punto a otro lo llamamos: t
distancia
, entonces:
Observa que tiempo
velocidad
x
El tiempo que le toma llegar al gimnasio a una velocidad de 30 km/h es:
30
x
El tiempo que le toma llegar al gimnasio a una velocidad de 20 km/h es:
20
1
x
Si la velocidad es de 30 km/h llega 5 min antes de lo usual:
t
12 30
1
x
Si la velocidad es de 20 km/h llega 3 min después de lo usual:
t
20 20
1
12
1
20
t
Sistema a resolver:
t
El M CM (12, 30) = 60, entonces:
1
x
t
12 30
U n sistema equivalente a
x
1
t
20 20
(1)
sin fracciones es:
( 2)
Ec. (1')–2Ec. (2'):
2 x 60t
x
20t
–20t = –7
7
t
20
7
x 20
20
x= 8
D espejando t:
Sustituyendo el valor de t en Ec. (2'):
D espejando x:
5
1
x
30
x
20
(1 ')
( 2 ')
1
7
y x = 8, lo que significa que a Jaime le
Por lo tanto, la solución del sistema es: t =
20
7
toma usualmente
horas ir de su casa al gimnasio. La distancia entre esos dos puntos es de 8
20
km. Comprueba este resultado.
7. L a edad de A hace 3 años era el doble de la edad de B, pero actualmente la edad de A menos el
doble de la edad de B es 3. ¿Cuál es la edad de cada uno?
Solución:
A la edad actual de A la llamamos:
x
A la edad actual de B la llamamos:
y
L a edad de A hace 3 años era el doble de la edad de B:
x – 3 = 2( y – 3)
189
Unidad 5
L a edad de A menos el doble de la edad de B es 3: x – 2 y = 3
x 3
Sistema a resolver:
x
Restando miembro a miembro:
2( y 3)
x 2y
3
x 2y 3
2y 3
0 = –6. (U na contradicción.)
Por lo tanto, el problema no tiene solución, lo cual significa que es imposible tener esos
datos con las edades de dos personas.
8. Un número de 2 cifras supera en 9 al cuádruple de la suma de sus dígitos. Si los dígitos se
intercambian el resultado es 4 unidades mayor que 10 veces el dígito de las decenas del número
con las cifras intercambiadas. ¿Cuál es el número?
Solución:
A las decenas y a las unidades del número las llamamos respectivamente:
x y
y
Entonces el número tiene la forma:
10 x + y
El número supera en 9, 4 veces la suma de sus dígitos:
Si se intercambian los dígitos el nuevo número es:
10 x + y = 4 (x + y)+ 9
10 y + x
El número con los dígitos intercambiados es 4 unidades mayor que 10 veces el dígito de las
decenas del número con cifras intercambiadas:
El sistema a resolver es:
10 y + x = 10 y + 4
10 x y 4( x y) 9 (1)
10 y x 10 y 4
( 2)
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (1'), obtenemos:
2x
x
y 3 (1 ')
( 2 ')
4
2(4) – y = 3
D espejando y:
y= 5
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 4 y y = 5, lo que significa que el número es 45.
Comprueba este resultado.
9. Un pez se desplaza 45 mins sin interrupción en dirección de la corriente de un río, desde
un punto A a un punto B. De regreso (contra la corriente) le toma 55 mins llegar del punto B al
punto A. ¿Cuántos minutos necesitará un barco de papel para desplazarse del punto A al punto B,
sólo con el impulso de la corriente?
Solución:
L a distancia de A a B la representaremos por:
AB
Al tiempo que necesita el pez para ir de A a B en aguas tranquilas lo llamamos:
x
Al tiempo que necesita el barco de papel para ir de A a B con ayuda de la corriente: y
190
ÁLGEBRA
1
de AB
x
1
de AB
y
En 1 min el pez se desplaza en aguas tranquilas una distancia de:
En 1 min el barco se desplaza con ayuda de la corriente una distancia de:
Observa que la distancia recorrida por el barco es igual a la distancia recorrida por la corriente.
En 1 min el pez impulsado por la corriente recorre una distancia de:
1
x
1
de AB
y
En dirección a la corriente el pez tarda 45 mins en recorrer AB; entonces en 1 min recorre:
1
de AB
45
1 1
1
Por lo tanto:
x y 45
1
x
El pez, contra la corriente, recorre en 1 min la distancia de:
1
de AB
y
El pez tarda 55 mins en recorrer contra corriente la distancia AB; entonces en 1 min recorre:
1
de AB
55
1 1 1
Por lo tanto:
x y 55
1
x
1
x
El sistema a resolver es:
H aciendo los cambios de variable a
1
y b
x
a b
1
obtenemos:
y
a b
Aplicando Cramer:
a
1
45
1
55
1
1
1
1
45
1
55
(1)
( 2)
1
45
1
55
1
1
1
1
45
1
1
55
2
1
y
1
y
1
1
45 55
1 1
100
2( 2 475)
2
99
y
b
1
55
1
45
2
10
2( 2 475)
1
495
1
H aciendo los cambios de variables tenemos que: x
99
y y = 495.
2
191
Unidad 5
99
y y = 495, lo cual significa que el pez
2
tarda en recorrer la distancia AB en aguas tranquilas 99 mins. El barco de papel impulsado por
2
la corriente tarda 495 mins en recorrer AB ; exactamente, 8 horas 15 minutos.
Por lo tanto, la solución del sistema es x =
10. Resuelve el siguiente sistema con el método que juzgues más adecuado:
x
2 y 3x 2 y
4
3
3
7
1
x
y
5
10
2
8
3
Solución:
x
2 y 3x 2 y
4
3
3
7
1
x
y
5
10
2
3
7
x
y
4
6
3
7
x
y
5
10
8
(1)
3
( 2)
8
3
1
2
(1 '))
( 2 ')
Calculando el mínimo común múltiplo de los denominadores en cada ecuación, obtenemos:
M CM (3, 4)= 12 y M CM (2, 5, 10)= 10.
3
7
8
(1 ')
x
y
4
6
3
sin fracciones es:
Un sistema equivalente a
3
7
1
( 2 ')
x
y
5
10
2
Resolveremos por eliminación. Eliminaremos y.
9 x 14 y
6x 7 y
32
5
(1 '')
9 x 14 y
( 2 '')
12 x 14 y
9 x 14 y
6x 7 y
32 (1 '')
5
32
(1 ''')
10 ( 2 ''')
Sumando miembro a miembro, obtenemos:
–21 x = –42
D espejando x:
x= 2
Sustituyendo el valor de x en la Ec. (2''):
–6(2) – 7 y = –5
D espejando y:
y = –1
Por lo tanto, la solución del sistema es x = 2 y y = –1. Comprueba este resultado.
192
( 2 '')
ÁLGEBRA
Ejercicios propuestos
5
1
y
2
2
1. Resuelve por el método de eliminación el sistema
5
3
x
y 1
2
2
2x
2. Resuelve por el método de Cramer
3
x
45
4y
5
2x
63
2
8
3y
13
6
3. Un avión recorrió 1 500 km en 5 h con el viento a favor, mientras que, volando en contra del viento,
demoró 10 h. ¿Cuál es la velocidad del avión con el viento en calma y cuál es la velocidad del viento?
4. Si al numerador de una fracción le sumamos 5 unidades y al denominador le restamos 3
unidades, el resultado es 2. Pero si le sumamos tanto al numerador como al denominador 3
unidades el resultado es 0. ¿Cuál es la fracción?
5. El punto de apoyo de dos cargas de 80 kg y 160 kg está situado de tal manera que las cargas
quedan en equilibrio. Si a la carga de 80 kg se le aumentan 20 kg, la de 160 kg deberá recorrerse
25 cm más lejos del punto de apoyo para mantener el equilibrio. Encuentra la distancia entre las
cargas originales.
6. L os dígitos de un número de 2 cifras tienen las siguientes características: si las decenas se
multiplican por 3 y las unidades por 4, la suma es 44; si las decenas se dividen por 2 y se les suma
17
un tercio de sus unidades, el resultado es
. ¿Cuál es el número?
3
7. Cuando M aría se lastimó un tobillo podía caminar aproximadamente a una velocidad de 1 km/h
y llegaba con 30 minutos de retraso de la parada del autobús a su casa con respecto al tiempo usual;
cuando esta misma trayectoria la puede hacer corriendo, lo hace a una velocidad de 5 km/h y llega
20 minutos antes del tiempo usual. ¿Cuál es la distancia de la parada del autobús a la casa de M aría
y a qué velocidad camina normalmente?
193
Unidad 5
8. Al mezclar una solución de glicerina al 40% con otra al 56% se obtiene una solución al 48%. Si
se tuvieran 15 litros más de la solución al 56% y se mezclara con la solución al 40%, se obtendría
una solución al 51%. ¿Cuántos litros hay al 40% y cuántos al 56%?
9. Si A y B trabajan juntos terminan un trabajo en 42 horas, pero si A trabaja solo 45 horas y
después es reemplazado por B, éste deberá trabajar 21 horas para terminar el trabajo. ¿Cuántas
horas tarda cada uno en efectuar solo el trabajo?
194
ÁLGEBRA
Autoevaluación
1. Resuelve por el método de eliminación
a) x = 8, y = 2
3
5
x
y
8
2
3
21
x 2 y 18
4
b) x = 8, y = 12
c) x = –8, y = 12
4
d) x = 8, y =
3
e) x = 8, y = –12
2. Resuelve por el método de sustitución
a) x
b) x
c) x
d) x
e) x
1
, y= 2
3
1
1
, y
3
4
1
1
, y
3
4
1
1
, y
3
4
1
1
, y
3
4
3. Resuelve por el método de Cramer
1
x
1
x
2
3y
1
2y
1
3
5
2 x ( y 2 x)
x 3y 5
19 4 y
5( 4 x
y)
a) x = 1, y = 3
b) x = 1, y = –3
c) x = –1, y = 3
d) x = –1, y = –3
e) N o tiene solución.
4. El triple de la suma de dos números, más la suma del primero, es igual a 15 veces el segundo,
mientras que el quíntuple del segundo, menos el doble del primero es 1. ¿Cuáles son los números?
a) –3 y 1
b) 3 y –1
c) –3 y –1
d) 3 y 1
e) N o tiene solución.
195
Unidad 5
5. El triple del recíproco de la edad de Gerardo, más el quíntuple del recíproco de la edad de Roberto
19
es
. Pero si se invierten los múltiplos, es decir, si se toma el quíntuple del recíproco de la edad
30
7
. ¿Cuál es la
de Gerardo y se le suma el triple del recíproco de la edad de Roberto, se obtienen
10
edad de cada uno?
a) Gerardo tiene 10 años y Roberto tiene 15.
b) Gerardo tiene 15 años y Roberto tiene 10.
c) Gerardo tiene 5 años y Roberto tiene 10.
d) Gerardo tiene 15 años y Roberto tiene 5.
e) Gerardo tiene 45 años y Roberto tiene 12.
196
ÁLGEBRA
Respuestas a los ejercicios
Ej. 1
1. Sí.
2. Sí.
3. N o (el grado de las ecuaciones es 2).
4. Si x es el primer número y y el segundo.
3x – 2y –5 = 3
x – y = 2.
Sí es un sistema lineal.
5.
x2
5x
x
2
6
; x es el lado del cuadrado. No (el grado de la primera ecuación es 2).
Ej. 2
1. N o.
2. Sí.
3. N o.
4. Sí.
5. Sí.
Ej. 3
1. x = 2, y = 4
2. x = 1, y = –1
3. Velocidad del viento: 25 km/h. Velocidad del avión: 175 km/h.
4. Al 12%, $2 400.00 y al 18%, $23 400.00.
5. N o tiene solución (no hay edades negativas).
Ej. 4
17
7
, y
180
120
2. N o tiene solución.
7 20 y
3. x
9
1. x
197
Unidad 5
4. 1 200 m2
5. 7.125 m
Ej. 5
1. 7 cm de ancho y 10 cm de largo (infinito número de soluciones).
4
7
3. 56 l al 30% y 64 l al 45%.
9
9
4. A tarda 45 horas en hacer solo el trabajo y B tarda 157.5 horas.
23
2
, y
5. x
7
7
2.
Ej. 6
5
, y
9
1. x
13
9
2. N o es aplicable.
73
, y
36
3. x
4. x = 5, y
71
32
1
2
2 250
44 250
5. Velocidad del viento:
km/h 10.37 km/h. Velocidad del avión
km/h
217
217
203.92 km/h.
Ejercicios propuestos
1. x = 1, y = –1
1
1
, y
3
2
3. Velocidad del avión con el viento en calma: 225 km/h. Velocidad del viento: 75 km/h.
2. x
4.
198
3
4
ÁLGEBRA
5. 300 cm = 3 m
6. 85
7. L a distancia de la parada del autobús a su casa es 1 1 km y la velocidad a la que
24
25
km/h 1.92 km/h.
normalmente camina es
13
8. 12.5 litros al 40% y 12.5 litros al 56%.
9. A tarda 48 horas en hacer solo el trabajo y B tarda 336 horas.
Autoevaluación
1. b)
2. b)
3. b)
4. c)
5. a)
199