MATE IAAAA

1
ÍNDICE
1
¿QUÉ ONDA? (a modo de introducción)
4
¡AGUAS! (o sea, advertencias)
5
UNIDAD I
LOS NÚMEROS NATURALES Y LOS NÚMEROS ENTEROS
I.1. El sistema de los números naturales
Introducción
6
6
I.1.1. El conjunto N de los números naturales y las operaciones de adición y
multiplicación
I.1.2. El concepto de operación binaria
7
8
I.1.3. Propiedades básicas de la adición y de la multiplicación
11
I.1.4. Sistema decimal y sistema binario de numeración
22
I.1.5. Orden en N
27
I.1.6. La resta y la división con naturales no están bien definidas
27
I.1.7. Definición del sistema de los números naturales
30
Ejercicios y problemas de la sección I.1
31
I.2. El sistema de los números enteros
39
Introducción
39
I.2.1. El conjunto de los números enteros
40
I.2.2. Adición de números enteros
46
I.2.3. Propiedades de la adición de números enteros
48
I.2.4. Resta de números enteros
52
I.2.5. Símbolos de agrupación y reducción de expresiones que los contengan
58
I.2.6. Orden de los números enteros
62
I.2.7. Multiplicación de números enteros
63
I.2.8. Propiedades de la multiplicación
65
2
I.2.9. Símbolos de agrupación y reducción de expresiones que los contengan
66
I.2.10. Divisibilidad
67
I.2.11. El sistema de los números enteros
74
Ejercicios y problemas de la sección I.2
75
UNIDAD II
FRACCIONES Y NÚMEROS REALES
87
INTRODUCCIÓN
87
II.1 Fracciones y números racionales
88
II.1.1. Conjunto F de las fracciones
88
II.1.2. Adición y resta de fracciones
98
II.1.3. Multiplicación de fracciones
107
II.1.4. División de fracciones
109
II.1.5. Combinación de operaciones con fracciones
114
II.1.6. Orden de las fracciones
116
II.1.7. Fracciones y fracciones decimales
118
II.1.8. Los números racionales
131
Ejercicios y problemas de la sección II.1
133
II.2 Aritmética de las proporciones
Introducción
145
II.2.1. Razones y proporciones
145
II.2.2. Proporcionalidad directa e inversa
147
II.2.3. Regla de tres
153
II.2.4. Porcentaje
155
Ejercicios y problemas de la sección II.2
158
3
II.3 Números reales
II.3.1. Los números irracionales
171
II.3.2. El conjunto de los números reales
177
Ejercicios y problemas de la sección II.3
178
UNIDAD III
INTRODUCCIÓN
A
LA
TERMINOLOGÍA
Y
A
LAS
OPERACIONES
ALGEBRAICAS BÁSICAS
III.1. Introducción a la terminología algebraica
180
Introducción
180
III.1.1. Usos algebraicos de las letras
181
III.1.2. Dominio de una letra
184
III.1.3. Traducción recíproca entre la lengua materna y el lenguaje algebraico
186
III.1.4. Vocabulario algebraico simple
188
III.1.5. Términos semejantes y manejo de expresiones que contienen símbolos de
agrupación
Ejercicios y problemas de la sección III.1
III.2. Operaciones algebraicas básicas
189
197
202
III.2.1. Adición y resta de polinomios
202
III.2.2. Multiplicación de potencias y de monomios
204
III.2.3. Multiplicación de polinomios
206
III.2.4. División de potencias de monomios
208
III.2.5. División de polinomios
211
Ejercicios y problemas de la sección III.2
214
BIBLIOGRAFÍA
219
4
¿QUÉ ONDA? (a modo de presentación)
Bueno, pues ya estás en la Uni, o con todas sus letras para que no haya confusión, en la
Benemérita Universidad Autónoma de Puebla, lo que amerita una felicitación porque es la ley en
educación media y media superior en los alrededores, anexos, conexos y similares (nomás nos
faltó S.A. de C.V.).
No creemos que sea buena idea tratar de explicar en una página, y menos si ésta es la
primera, qué es la matemática, cuál es su contenido, sus métodos, su importancia social, los
sesudos mandamientos didácticos requeridos para que esté al alcance de todos ustedes y todo ese
choro, tenemos un semestre para empezar a hablar de todo ello con más detalle. Claro que
siempre es conveniente tener un panorama del campo de trabajo para estar prevenidos ante los
retos que nos esperan.
Quizá los términos, no más exactos, pero sí los que te resultan más familiares para
explicar lo que vas a encontrar en el libro son éstos: aritmética y los primeros temas de álgebra;
así que no estás ante un desconocido y hasta intimidante material misterioso, por el contrario, ya
has convivido y a veces hasta batallado a jalones y toda la cosa con esto; pero ello no quiere decir
que sea más pan con lo mismo, le damos su lugar a lo que ya has aprendido, como debe ser, pero
avanzamos en detalles más finos y de mayor fondo al respecto.
En las secciones que lo consideramos necesario iniciamos con una breve introducción
acerca de los contenidos de la misma y los propósitos generales que se persiguen en ella.
No hemos podido evitar que justo la primera unidad sea la que tiene una mayor dosis de
eso que ustedes llaman teoría (nunca falta la famosa pregunta: “profe, ¿en el examen van a venir
nomás ejercicios o también teoría?”); pero sí hemos evitado presentarla en las formas con poco
significado que se usan en muchos textos, no se trata de teorizar para complicar las cosas, sino de
elaborar una buena herramienta intelectual para descifrar esta materia con fama de difícil: el libro
consta de tres unidades; la número uno tiene dos secciones, en la primera aparece una buena dosis
de teoría, en la segunda aumenta un poco; sigue la unidad dos y los detalles teóricos disminuyen;
la recompensa del esfuerzo anterior es que de ahí en adelante continúan a la baja, permitiéndonos
poner la atención en otros aspectos, como el de las aplicaciones.
Un detalle importante es que este es un libro de hule, en el sentido de que, dentro de
ciertos límites, se puede estirar o encoger tanto en extensión como en profundidad para adecuarse
a la situación particular de los grupos académicos, o de las diferentes ganas con que puede ser
abordado por los estudiantes, algunos se quedarán con el mínimo posible, otros irán más lejos.
Con todo son pocos los pasajes de apreciable dificultad, aunque no se trata de darte la
suave, neta, habrá partes donde tendrás que esforzarte, la vida es dura, aunque afortunadamente
las matemáticas no lo son tanto, así que con algo de esfuerzo de los profes y de ustedes podrán
tener un primer semestre chido, que son los propósitos de los que le echamos montón a la
elaboración de este material y seguramente también de los demás colegas.
Miguel Pérez Cabrera
Coordinador del rollo
P.D. A algunos profesores no les pareció muy sano el uso de un lenguaje poco ‘académico’que aparece en algunas partes del libro, no
se trata de molestar a nadie ni de sumarnos al maltrato que en muchos medios se le da a nuestro idioma, pero esto está entre lo que se
nos ‘pega’ de los estudiantes, bueno, de las y los estudiantes, y no es tan malo ponernos a traducir con ellos el lenguaje que usan.
5
¡AGUAS! (o sea, advertencias)
En realidad podríamos quedarnos un buen rato en esto, pero nos limitaremos a unas pocas
observaciones:
Una de las características de este libro es el lenguaje usado, a algunas personas les
preocupa que sea “tan matemático”, se refieren al uso frecuente de términos como ‘postulado’,
‘definición’, ‘teorema’ y algunos otros; no se vayan con la finta, sólo son palabras usuales de
nuestra materia que equivocadamente se han estado dejando de lado desde hace algún tiempo; esa
tendencia tiene varios inconvenientes, entre ellos la situación absurda de que les parezcan unas
rarezas a los carnales y carnalas que llegan a carreras profesionales en las que se emplean las
matemáticas, por ejemplo las ingenierías o las de ciencias naturales.
Ya hemos mencionado que el texto está hecho para que resulte posible estirarlo o
encogerlo de acuerdo a las necesidades de cada grupo académico, notarán que hay partes en
marcos punteados y con letra más pequeña, esas son optativas, pensamos que un curso, digamos
normal, sería el que atienda todo excepto esas partes, pero se puede recortar aún más si se
requiere; en casos graves, bueno, es un decir, el curso se puede reducir a unas pocas páginas de
“teoría” y una buena selección de ejercicios y problemas. A propósito de éstos últimos, son
bastante abundantes, así que su uso requiere hacer una selección razonable de los que ustedes
tienen que resolver. Por supuesto, sobre lo que hemos dicho en este párrafo, le corresponde al
profe hacerte el paro.
De hecho el manejo del texto será más sencillo si los profesores estamos al tiro en cuanto
a hacer las indicaciones pertinentes, en los lugares pertinentes, en los momentos pertinentes,
aunque suene impertinente tanta repetición.
Y basta de verbo, porque les espera una larga lectura.
¿Sale?
6
UNIDAD I
LOS NÚMEROS NATURALES Y LOS NÚMEROS ENTEROS
I.1. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES
INTRODUCCIÓN
Desde la secundaria –realmente desde antes– se conocen distintas clases de números, ya
saben, el choro de los números naturales, los números enteros y todo eso, cada una de estas tribus
numéricas tienen sus propias características, algunas de ellas las identificamos bien pero otras las
confundimos; incluso si nos zambullimos en uno de esos montones de números podemos mezclar
unas cosas con otras (no es difícil encontrar a quien se le vaya el avión y quiera sumar con las
reglas de la multiplicación). Bueno, pues una forma de meter orden en este embrollo es estudiar
cada uno de los tipos de números mediante “algo” que se llama sistema numérico, uno de los
propósitos de esta unidad es precisamente describir en qué consiste eso.
En lenguaje gastronómico, diríamos que el ingrediente principal del sistema numérico es
otro “algo” que se llama operación binaria. El lector verá que ya sabe con qué se come esto
porque todas las operaciones usuales, suma, multiplicación, etc. son ejemplos de esta cosa;
ciertamente las operaciones básicas son operaciones binarias muy importantes pero distan de ser
las únicas; se verá que es posible “inventar” un gran número de operaciones, unas útiles y otras
que para fines prácticos son perfectamente inútiles, pero que, sin embargo, son valiosas para
ilustrar ideas importantes.
En esta unidad hablaremos de ciertos conjuntos, operaciones, propiedades de éstas y otras
ideas que ya son pan comido para el lector, en este sentido sólo pretendemos hacer un
recordatorio, pero también vamos a agregar detalles finos que resultarán nuevos.
Finalmente, como para que el lector se divierta, bueno, hay que ser optimistas ¿no?,
aprovechamos esta unidad para que practique sus operaciones básicas, para lo que le
recetaremos algunos ejercicios y problemas.
En seguida se presenta el temario de esta sección, todo ello gira en torno a dos ideas y una
actividad básica: sistema numérico, operación y manipulación de operaciones básicas,
incluyendo el planteamiento y resolución de problemas.
TEMARIO DE I.1:
I.1.
I.1.1.
I.1.2
I.1.3.
I.1.4.
I.1.5.
I.1.6.
I.1.7.
El sistema de los números naturales
El conjunto N y las operaciones de adición y multiplicación
El concepto de operación binaria
Propiedades básicas de las operaciones de adición y multiplicación
Sistema decimal y sistema binario de numeración
Orden en el conjunto N
La resta y la división con naturales no están bien definidas
Definición del sistema de los números naturales
Ejercicios y problemas de números naturales
7
I.1.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS NATURALES Y LAS OPERACIONES DE
ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN
Hay una diferencia clara entre un esqueleto y los huesos que lo constituyen colocados
simplemente en un montón. Estamos pensando que en el primero se notan relaciones entre los
huesos que no se perciben en el segundo (cuál va unido con cuál, de qué manera uno influye en el
funcionamiento de otro, etc.); hay una diferencia parecida entre un sistema de números y el
simple conjunto de los mismos. En las próximas secciones nos proponemos hacer algunas
observaciones acerca del montón de los números naturales que hacen de éste un sistema de
números.
En cuanto al conjunto mismo de los números naturales (al ‘montón’ de ellos):
N = {0,1, 2,3, 4,5, 6,7 ,8,9,10,11,12,...}
supondremos que es de todos conocido en el aula y no trataremos de dar mayores
explicaciones sobre ellos.
Esta suposición no es arbitraria, los lectores de estas notas manejan estos números desde
que eran chiquitos (los lectores, no los números).
Casi a la par que los alumnos se han familiarizado con los números naturales, también
lo han hecho con dos operaciones que se efectúan con ellos (entre otras), la adición y la
multiplicación, y tampoco abundaremos en explicaciones al respecto.
Pero por las dudas recordaremos que a los números se les suelen dar ciertos nombres
según la operación en que participan:
17 + 4 = 21
sumandos
suma
(17) (4) = 68
factores
producto
No es raro que en el aula se discuta si 0 es o no un número natural, en términos
matemáticos es casi cuestión de gustos; en nuestro caso tal vez habría que recurrir al hecho
histórico y veríamos que el conocimiento del 0 y su manejo no han sido tan desenvuelto como ha
ocurrido con los otros elementos del conjunto N, en la mayoría de las culturas su uso ha sido
tardío o nunca lo llegaron a concebir; todo esto quizá le quite su carácter “natural”. No obstante
nosotros lo incluimos en N por su importancia, no tanto como elemento de un conjunto, sino más
bien como parte de un sistema de números.
8
I.1.2. EL CONCEPTO DE OPERACIÓN BINARIA
La adición y la multiplicación son ejemplos de lo que se llama operación binaria. En cada
una de aquéllas se puede ver que esta idea consiste en cierta correspondencia entre parejas de
números naturales, por un lado, y por otro, números naturales que se dice son resultado de la
operación, por ejemplo:
47 + 5
52
pareja de naturales
(47) (5)
pareja de naturales
es decir
47 + 5 = 52
natural que se toma como resultado
235
es decir
(47) (5) = 235
natural que se toma como resultado
Esta misma idea se encuentra con otras operaciones, por ejemplo en la resta:
47 − 5
pareja de naturales
42
es decir
47 − 5 = 42
natural que se toma como resultado
Si pensamos una vez más en la idea de las correspondencias entre parejas de números que
participan en las operaciones usuales y sus resultados podemos hacer algunas precisiones:
-
Si decimos a un grupo de personas “sumen 2 y 4”, puede ser que unos piensen en 2+4 y
otros en 4+2, afortunadamente unos y otros llegarán al mismo resultado; pero si les
decimos “dividan 2 y 4” puede haber problemas, porque si unos piensan 2÷4 hallarán un
resultado diferente de los que piensen 4÷2; para evitar tales situaciones confusas conviene
adoptar algún acuerdo que permita saber de qué caso se habla, por ejemplo: escribir
primero –de izquierda a derecha− el número que se mencione primero, cuando existe un
acuerdo de este tipo se dice que las parejas de números que se mencionen son parejas
ordenadas. Una situación parecida es la de los apellidos de una persona, ambos
constituyen una pareja ordenada, ¿no es así?.
-
Imaginemos que en un supermercado compramos algo de $1000 y otra cosa de $1200, y
que la caja registradora nos indicara que debemos o bien $2200 o bien $3000 porque las
adiciones pudieran tener dos resultados, es decir, supongamos que ambos resultados fueran
legítimos; o también imaginemos por un momento que la caja no marcara un resultado (si
marcara 0 si habría un resultado) porque fuera igualmente legítimo que algunas adiciones
no tuvieran resultado. Ambas situaciones serían desconcertantes, nuestra experiencia nos
dice que es muy conveniente que las operaciones tengan exactamente un resultado, ni más
ni menos.
9
Podemos poner estas ideas brevemente en una definición, ¿qué es eso?
Una definición explica el significado de algo, como lo hace un diccionario
Al leer el siguiente cuadro imagine a C como algún conjunto de números:
Definición:
Una operación binaria sobre un conjunto C es un procedimiento que permite hacerle
corresponder a cada pareja ordenada de elementos de C exactamente un elemento de C.
Notamos que el procedimiento exige lo siguiente (OB son las iniciales de “operación
binaria”, con frecuencia ocuparemos iniciales para bautizar resultados importantes):
OB1) Que sea aplicable a parejas de números, no a un número ni a tres ni a más.
OB2) Que se especifique el conjunto que se va a emplear (la clase de números que se
van a usar para hacer la operación con ellos).
OB3) Que se den las reglas (instrucciones) que permitan establecer las correspondencias
entre cada pareja y su resultado.
OB4) Indicar una forma de expresar la operación; el símbolo que se use se llama
operador binario.
Para reforzar nuestra idea de operación binaria, daremos algunos ejemplos.
Ejemplo1.
Supongamos que en una materia se acuerda que para evaluar cada periodo habrá dos
oportunidades, y que la calificación definitiva será la mayor de ambas.
Esta situación se puede expresar como una operación:
OB1) Se manejarán parejas de números, las dos calificaciones.
OB2) El conjunto C que se va a emplear es: C = {0 ,1,2 ,3,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 ,10}
OB3) Si a y b representan dos elementos de C, expresaremos la operación de elegir
calificación en la forma aMb; expresiones como éstas se pueden leer de alguna
manera particular, por ejemplo “el mayor de los números a y b” .
OB4) Regla (provisional): aMb significa elegir el mayor de los números a y b.
He aquí algunas muestras de aplicación de la operación.
2M7=7
8 M 10 = 10
7M6=7
ACTIVIDAD:
Halla el elemento asociado a cada pareja, en las siguientes expresiones:
i) 7 M 2
ii) 3 M 9
iii) 4 M 3
iv) 8 M 6
10
Es fácil observar que la regla no permite ciertas correspondencias, por ejemplo, 7 M 7 =?,
así que hay parejas sin un resultado asociado, entonces se dice que la operación no está bien
definida. En nuestro ejemplo esto se corrige fácilmente ampliando la regla, ¿cómo? (hay que
efectuar la corrección porque más adelante se usa nuevamente el ejemplo).
Ejemplo: 2.
OB2) Conjunto:
P = {1, 3, 5, 7, 9, ...}
OB4) Representación: a#b, siendo a y b elementos de P.
OB3) Regla: a cualquier pareja de elementos de P, se le hace corresponder un nuevo
elemento, a saber, el que resulta de restar el segundo número del doble del primero, es
decir: a#b = 2a – b.
Algunas muestras de esta operación:
3 # 5 = 2(3) – 5 =1
5 # 3 = 2(5) – 3 = 7
1 # 7 =2(1) – 7 = ¿?
ACTIVIDAD:
Halla el elemento asociado en las siguientes expresiones u objeta la situación:
i) 11 # 15
ii) 20 # 18
iii) 1 # 3
iv) 1 # 2
Como se ve, nuevamente la regla no es satisfactoria. Sólo para continuar ejemplificando
la cambiaremos por a#b =2a + b. ¿Se obtiene una operación bien definida? ¿Cuál es el resultado
de las siguientes operaciones, si lo tienen: 5 # 1, 1 # 5, 4 # 3.
Ejemplo: 3.
OB2) Conjunto: el formado por todos los números naturales con excepción de 0 y 1.
OB4) Representación: a∇b, siendo a, b números naturales diferentes de 0 y 1.
OB3) Regla: Multiplicar a por sí mismo hasta completar b factores.
Así que:
5∇3 = 5·5·5 = 125
2∇4 = 2·2·2·2 = 16
ACTIVIDAD:
Halle el elemento asociado en las siguientes expresiones:
i) 7∇3,
ii) 3∇5,
iii) 8∇4
iv) Si incluimos 1 en el conjunto, ¿sigue bien definida la operación ∇? si no, ¿qué se
podría hacer para reparar el problema?
Como podemos darnos cuenta, nuestro primer ejemplo puede ser útil, el segundo (con la
modificación indicada) parece perfectamente inútil y el tercero es una operación muy conocida
escrita de otro modo (¿la identificaste?); pero aquí sólo importa que son tres situaciones que se
apegan al concepto de operación binaria.
11
I.1.3
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA ADICIÓN Y DE LA MULTIPLICACIÓN DE
NATURALES.
Estas dos operaciones tienen ciertas características que facilitan notablemente su manejo
y el lector las ha usado tanto que le parecerán sin interés alguno, sin embargo no es
completamente seguro que se las haya comprendido del todo, como en matemáticas son de gran
importancia más vale revisarlas con detalle; aprovechando lo habituales que estas propiedades
resultan las presentaremos como postulados.
Llamaremos postulados a las afirmaciones sobre las que tenemos razones
suficientemente buenas como para aceptar sin más que son correctas y que no provocarán
errores si se usan escrupulosamente.
PROPIEDAD DE CERRADURA DE UN CONJUNTO DE NÚMEROS
Esta propiedad puede ser omitida porque ya está incluida en la definición de operación
binaria, pero también puede ser conveniente insistir en ella; hace referencia a que el resultado de
la operación sea de la misma clase que los números operados; con mayor precisión, un conjunto
es cerrado bajo una operación, si los resultados invariablemente son elementos del mismo
conjunto, nótese que ésta es simplemente una de las características de una operación bien
definida.
Nota:
¿Es correcto usar símbolos matemáticos para escribir las cosas o es mejor decirlas en el
lenguaje de todos los días? Que cada grupo académico agarre su patín, con frecuencia usaremos
ambas y que en cada grupo se decida al respecto; dejaremos como opcional la versión simbólica
y se pondrá con letra más pequeña y en un marco punteado. De cualquier manera nos
limitaremos a unos pocos símbolos y sólo les daremos un carácter taquigráfico, como para
escribir con brevedad; el profesor que así lo decida abundará más en lo que aquí mencionaremos
brevemente. Cabe advertir que el uso propiamente matemático de los símbolos es más rico que
ésto, lo que nos proponemos es sólo hacer una introducción a esa simbolización.
Símbolo
Letra mayúscula
∈
∀
∃
Nombre
Usualmente: conjunto
Pertenencia
Cuantificador universal
Cuantificador existencial
Escritura
A
x∈A
∀x
∃x
Se lee
“Conjunto A” o simplemente “A”
x pertenece a A
Para cualquier elemento x
Existe algún elemento x
12
Propiedad de Cerradura
Para la adición de números naturales:
A1. El conjunto N es cerrado bajo esta operación, porque cualquier adición de naturales
tiene como resultado un número natural, o más brevemente, la suma de dos naturales
es otro natural.
M1. Para la multiplicación de números naturales:
El conjunto N es cerrado bajo esta operación, porque cualquier multiplicación de
naturales tiene como resultado un número natural, o más brevemente, el producto de
dos naturales es otro natural.
Propiedad de cerradura:
A1. N es cerrado bajo la adición de naturales porque:
∀ a, b ∈N ocurre que a + b ∈N
o simplemente: ∀ a, b ∈N, a + b ∈ N
M1. N es cerrado bajo la multiplicación de naturales porque:
∀ a, b ∈ N, ocurre que ab ∈ N
o simplemente: ∀ a, b ∈ N, ab ∈N
Claramente hay “operaciones” con números naturales para los que no se cumple esta
propiedad, los casos de la resta o de la división son ilustrativos, el conjunto N no es cerrado bajo
tales operaciones; esto equivale a decir que éstas no están bien definidas en el conjunto N:
Unas veces
8 − 4
naturales
= 4
natural
Unas veces
8 ÷ 4
naturales
Otras veces
4 − 8
naturales
= −4
no es natural
Otras veces
= 2
natural
4 ÷ 8
naturales
= 0.5
no es natural
ACTIVIDAD:
¿En cuáles de las operaciones aMb, a#b (ya modificada) y a∇b, se tiene la propiedad de
cerradura? Discute esto con tu profesor.
13
Tenemos que subrayar que, en general, en cualquier operación nos podemos preguntar
si tiene o no las propiedades bien conocidas que encontramos en la adición y en la
multiplicación (u otras).
CONMUTATIVIDAD
Esta es una característica de algunas operaciones que permite desechar la exigencia de
que en una operación binaria la pareja de números que se van a operar sea ordenada, porque en
esas operaciones el orden no modifica el resultado.
Propiedad Conmutativa (a y b representan números naturales)
Para la adición de números naturales:
A2. El orden de los sumandos no altera la suma: a + b = b + a
Para la multiplicación de números naturales:
M2. El orden de los factores no altera el producto: a ⋅ b = b ⋅ a
Propiedad Conmutativa:
A2. Para la adición: ∀ a, b є N ocurre que: a + b = b + a
o simplemente: ∀ a, b є N, a + b = b + a
M2. Para la multiplicación: ∀ a, b є N ocurre que a·b = b·a
o simplemente: ∀ a, b є N, a b = b a
Cabe insistir en la idea de conmutatividad, veamos los siguientes ejemplos:
3284
+ 1420
1420
+ 3284
4704
4704
3412 × 75
17 0 6 0
2 388 4
2559 00
75 × 3412
15 0
75
30 0
2 25
2 559 0 0
14
Aquí tenemos dos ejemplos, en cada uno se presentan dos procedimientos. En el caso de
la suma, a simple vista no se notan diferencias, mientras que en la multiplicación son totalmente
diferentes excepto en el resultado, bien pensado, el hecho de que los procedimientos distintos
conduzcan al mismo resultado es muy notable, sólo nuestra larga experiencia al respecto lo hace
parecer como una simpleza.
ACTIVIDAD:
¿Cuáles de las operaciones: M, #, ∇, son conmutativas ( o al menos parecen serlo)?
Justifica tus respuestas y discútelas con tu profesor.
ASOCIATIVIDAD
El carácter binario hace que una “cadena” de adiciones, como:
9+5+2
tenga que efectuarse por pasos, primero sumamos dos números y al resultado lo sumamos con el
que sigue, pero esto puede hacerse de más de una forma. Esto se ilustra en los siguientes
diagramas, en ellos se “conectan” los números que se van a operar, en cada forma primero se
hacen las operaciones de las conexiones más bajas:
16
Una forma
14
9 + 5 + 2 = 16
Otra forma
Cada forma conduce al
mismo resultado
7
16
Ahora bien, en general, no cualquier operación se comporta en este aspecto tan bien como
la suma , vamos a echarle un ojo a la resta:
2
Una forma
4
9–5–2=?
Otra forma
Cada forma conduce a un
resultado distinto
3
6
¿Cuál es el resultado “correcto”?, se podría decir que el que va de izquierda a derecha,
pero entonces se estará escogiendo un orden privilegiado para efectuar operaciones, lo que se
hará en ocasiones tomando algunas precauciones, pero eso es otro cantar, todos sabemos que
nada así tenemos que hacer en cadenas de adiciones:
15
A3. Propiedad asociativa de la adición de naturales
La suma es asociativa porque el resultado no depende del orden en que se opere cuando
se tiene que aplicar la operación sucesivamente dos o más veces.
ACTIVIDAD:
Como ejercicio, ilustra al menos dos posibles caminos para hallar los resultados de las
siguientes expresiones.
i) 10+15+14+28
ii) 4+7+11+6+5
iii) 1+3+5+7+9+11
En los textos no encontraremos diagramas como los anteriores para indicar el orden de las
operaciones. Cuando se trabaja con cadenas de dos o más operaciones, por ejemplo, 2+3+6 ó
2·3+6, donde se tiene que efectuar primero alguna operación y después otra, conviene tener una
forma de indicar cuál se efectuará antes, al respecto se usa la:
Regla del Paréntesis
RP1. En una ‘cadena’ de operaciones se indica el orden en que éstas deben efectuarse
encerrando entre paréntesis la que se debe efectuar primero.
Por ejemplo, en el caso de 9 + 5 + 2 tenemos:
⎧(9 + 5) + 2 = 14 + 2 = 16
⎨
⎩ 9 + (5 + 2 ) = 9 + 7 = 16
La asociatividad entonces radica en que:
(9 + 5) + 2
un camino posible
=
9 + (5 +2)
otro camino posible
ambos caminos conducen al mismo resultado
En cambio, para 9 – 5 – 2 vemos que:
⎧ (9 − 5 ) − 2 = 4 − 2 = 2 ⎫
⎬
⎨
⎩ 9 − (5 − 2 ) = 9 − 3 = 6 ⎭
así que
(9 − 5) − 2 ≠ 9 − (5 − 2 )
La resta de naturales no es asociativa, con esto se quiere decir que si seguimos un orden
para efectuar una cadena de restas, obtendremos un resultado diferente al que se obtiene si se
sigue otro orden, excepto por uno que otro churro, en resumen:
A3. Propiedad asociativa de la adición de naturales (a, b, c representan números naturales
cualesquiera).
(a + b) + c = a + (b + c)
16
Claro, la multiplicación de naturales también es asociativa, va un ejemplo que de paso
permite completar la regla del paréntesis (léase de los niveles bajos hacia los altos).
120
24
6
(2) (3) (4) (5) = 120
6
20
120
Con la regla del paréntesis escribimos simplemente:
⎧((2 ⋅ 3) ⋅ 4) ⋅ 5 = (6 ⋅ 4) ⋅ 5 = 120
en resumen ((2 ⋅ 3) ⋅ 4) ⋅ 5 = (2 ⋅ 3) ⋅ (4 ⋅ 5)
⎨
⎩(2 ⋅ 3) ⋅ (4 ⋅ 5) = 6 ⋅ 20 = 120
Como se ve, en el primer procedimiento unos paréntesis están dentro de otros; también se
ve que primero se hace la operación del que está más adentro, esta observación completa la regla
del paréntesis:
RP2. Si unos paréntesis están dentro de otros, primero se atiende el más interior.
Es pertinente subrayar dos aspectos importantes de la asociatividad, tanto para la adición
como para la multiplicación:
-
En una cadena de adiciones o de multiplicaciones estamos en libertad de cambiar de
lugar a voluntad los paréntesis.
En las mismas operaciones, lo anterior también significa que estamos en libertad de
quitar todos los paréntesis, precisamente porque así posteriormente podemos ponerlos
donde se quiera.
De hecho podemos escribir la asociatividad de ambas operaciones en la forma:
A3. a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
M3. a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)
17
ACTIVIDAD:
¿Es asociativa la división?
¿Es asociativa cada una de las operaciones M, #, ∇?
En cada caso justifica tu respuesta y comenta con tu profesor.
Haciendo uso de la regla de los paréntesis, efectúa las siguientes operaciones:
i) 7+19+10+2
ii) 25+15+3+8+17
iii) 8·2·4·6
iv) 13·5·10·4·8
EXISTENCIA Y UNICIDAD DE ELEMENTOS NEUTROS
En la definición de operación no se dice que a cada par de números se le asocia “otro”
número, sino “un” número, porque este puede ser uno de los números operados, por ejemplo:
5+0=5
0+3=3
4·1=4
1 · 879 = 879
¿Se puede escribir para la suma un ejemplo sin el 0, o en la multiplicación algún ejemplo
sin el 1?
La respuesta es negativa, estas características son peculiares de los números citados, en
ese sentido son únicos, es decir:
A4. 0 es el único natural con la propiedad de que para cualquier otro natural a:
0 + a = a y también a + 0 = a , a 0 se le llama neutro aditivo.
M4. 1 es el único natural con la propiedad de que para cualquier otro natural a :
1·a = a y también a·1 = a , a 1 se le llama neutro multiplicativo.
En este sentido, ¿existe en N un elemento neutro para la resta? La respuesta es que no
exactamente, tenemos que introducir un matiz, diríamos que para la resta sólo existe neutro por la
derecha, por ejemplo:
3 – 0 = 3 mientras que 0 – 3 ≠ 3
ACTIVIDAD:
¿Existe neutro para cada una de las operaciones M, #, ∇? Justifica tu respuesta y comenta con tu
profesor.
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA ADICIÓN
Cada una de las propiedades anteriores corresponden a una operación, adición o
multiplicación, la que sigue se refiere a combinaciones de ambas.
Entre las combinaciones de adición y multiplicación hay dos especialmente importantes
que podemos ilustrar en el siguiente ejemplo:
18
-
Supongamos que compramos tres camisas de cierto tipo, y dos más de otro, pero todas
ellas de un mismo precio, por ejemplo de $ 230.00.
¿Cómo calculamos el importe total de las cinco camisas? Usualmente de una de las
formas siguientes:
Primera forma:
Primero sumamos 3 camisas + 2 camisas y luego multiplicamos $230.00 por el resultado;
usando la regla del paréntesis esto se hace en la forma:
230 (3 +2) = 230 ⋅ 5 = 1150
Segunda forma:
Primero multiplicamos $230 por cada número de camisas y después sumamos los
resultados, es decir:
(230 · 3) + (230 · 2) = 690 + 460 = 1150
Como esperábamos, los resultados coinciden, esto ilustra una relación general entre la
multiplicación y la adición que se puede indicar en la forma:
DMA.
a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c)
primer procedimiento
segundo procedimiento
ambos procedimientos conducen al mismos resultado
Esta es la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la adición: en una
situación dada se puede recurrir indistintamente a un procedimiento o al otro, porque conducen al
mismo resultado.
Ejemplo:
Siempre podemos preguntarnos si un par de operaciones poseen una propiedad como ésta,
digamos:
¿Será distributiva M, respecto a ∇?
Ensayemos con ejemplos numéricos: ¿4M (2 ∇ 3) = (4M2) ∇ (4M3)?
La expresión de la izquierda da:
4M (2 ∇ 3) = 4M8 = 8
La expresión de la derecha da:
(4M2) ∇ (4M3) = 4 ∇ 4 = 256
Los resultados no coinciden, así que no encontramos la propiedad en cuestión.
19
Ejemplo:
Definamos otra operación con naturales como sigue:
aΔ b = ⎧⎨ − el menor de los números a y b
⎩ − el mismo que a y b si son iguales
Ahora preguntamos: ¿ a M (b Δ c) = (a M b) Δ (a M c) ?
Probemos algunos ejemplos numéricos. ¿Se obtiene en verdad la siguiente igualdad?
4 M (3 Δ2) = (4 M 3) Δ (4 M 2)
Lado izquierdo:
Lado derecho:
4M2=4
4Δ4=4
Conclusión, efectivamente se tiene la igualdad: 4 M (3 Δ 2) = (4 M 3) Δ (4 M 2)
¿Será coincidencia? Otros ejemplos indican que no lo es, pero se requiere otro tipo de
argumentos para lograr plena seguridad de que M es distributiva respecto a ?
ACTIVIDAD:
Usaremos las cuatro operaciones M, ∇, # , Δ, para hacer diferentes combinaciones que
nos permitan ver si son distributivas unas respecto a otros; verifica en cada caso si son válidas las
igualdades o no:
4 M(6 #2) = (4M6) # (4M2)
4 # (5 Δ8) = (4 # 5) Δ (4 # 8)
7 ∇ (2 Δ 3) = (7 ∇ 2) Δ (7 ∇3)
JERARQUÍA DE OPERACIONES
La propiedad distributiva plantea otra cuestión, para verla regresamos a la expresión
(a ⋅ b ) + (a ⋅ c )
La regla del paréntesis indica que primero debemos efectuar las multiplicaciones y
después la suma, esa instrucción es necesaria porque si quitamos los paréntesis ocurren cosas
como la que se ilustra en seguida, tomemos la expresión:
3·4 + 3·5
Si efectuamos operaciones en diferentes órdenes se pueden obtener varios resultados:
20
75
15
12
3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 5 =?
7
21
105
Jerarquía de operaciones.
Para economizar paréntesis convendremos en que en una cadena de multiplicaciones
y adiciones, efectuaremos primero las multiplicaciones y después las adiciones, a menos,
precisamente, que halla paréntesis que indiquen otra cosa. Por esto se dice que la
multiplicación es una operación de mayor nivel que la adición.
multiplicación
adición
La operación de mayor nivel se
efectúa antes que la otra
Ejemplo:
Vamos a tomar dos expresiones idénticas, enseguida introduciremos paréntesis en lugares
diferentes y veremos qué pasa:
3·4+3·5
(3 · 4) + (3 · 5) = 12 +15 = 27
3 · 4 + 3· 5
3 · (4 + 3) · 5 = 3 · 7 · 5 = 105
De acuerdo a la regla de jerarquía, la expresión 3 · 4 + 3 · 5 se manejará como en el
primer caso, la operación de mayor nivel se efectúa antes que la otra.
ACTIVIDAD:
En las siguientes expresiones realiza las operaciones indicadas.
i) 2 ⋅ 3 + 6 =
ii) 3 + 3(4 + 2) =
Nota: los siguientes ejemplos incluyen la resta, por lo pronto su jerarquía es la misma que la de la
suma:
iv) 4 ⋅ 3 + 18 ⋅ 9 − 1 =
iii) 5 + 20 ⋅ 4 − 3 ⋅ 2 =
21
A continuación daremos algunos ejemplos donde se utilizan propiedades para justificar
algunas afirmaciones que permiten realizar operaciones en diferentes formas.
-
3·5·2 = 3·(5·2), la igualdad se justifica por la propiedad asociativa de la multiplicación.
(587)(1) = 587, la igualdad se justifica por la propiedad del elemento neutro
multiplicativo.
3+4+7 = (3+4)+7, la igualdad se justifica por la propiedad asociativa de la adición.
3(2+7) = 3·2+3·7, la igualdad se justifica por la propiedad distributiva de la multiplicación
con respecto a la suma.
34+42 = 42+34, la igualdad se justifica por la propiedad conmutativa de la adición.
3527·425343 = 425343·3527, la igualdad se justifica por la propiedad conmutativa de la
multiplicación.
En el siguiente ejemplo damos una columna de expresiones, se afirma que cada una es igual a
la de abajo; en medio de ambas se escribe la justificación de la igualdad (cada propiedad no
corresponde a una expresión o a la otra, es la que permite pasar de una a otra, afirmando que son
iguales, por eso escribimos la propiedad entre ambas expresiones).
4+9(1)+3(4+2)=
por elemento neutro multiplicativo
4+9+3(4+2)=
por propiedad distributiva de la multiplicación ante la adición
4+9+3·4+3·2=
por propiedad de cerradura de la multiplicación
4+9+12+6=
por propiedad asociativa de la adición
(4+9)+(12+6)=
sólo se obtuvieron las sumas
13+18=
sólo se obtuvo la suma
31
ACTIVIDAD:
Justifica las siguientes igualdades, con el nombre de la propiedad utilizada.
-
3·4·5 = 3(4·5)
(4·5)·4 =4·(4·5)
324·1= 324
5(7+8) = 5·7+5·8
3(5+0)= 3·5
9·17=17·9
(4·5)·4 = 4·(5·4)
22
A continuación te presentamos el desarrollo de una serie de operaciones para una
expresión dada originalmente. Se afirma que ésta es igual a la segunda, que ésta a su vez es igual
a la tercera, etc., entre una y otra expresión vas a colocar el nombre de la propiedad que justifica
la correspondiente igualdad:
(4+3)+2(1+2) =
1. _______________________________
(4+3)+2·1+2·2 =
2. _______________________________
(4+3)+2+4 =
3. _______________________________
(4+3)+(2+4) =
4. _______________________________
(4+3)+(4+2)=
5. sólo se obtuvieron las sumas________
7+6=
6. _______________________________
13
Para los siguientes ejercicios, realiza las operaciones indicadas, justificando en cada
afirmación la propiedad utilizada.
-
4 + 7 + (0+3)5 =
5 + 2(4+0) + 3(2+1) =
I.1.4 SISTEMA DECIMAL Y SISTEMA BINARIO DE NUMERACIÓN.
Hemos dicho que entre las características de los números naturales está su aparición
histórica espontánea y temprana en diversas culturas, pero claro, una cosa es el concepto y otra su
representación. Como se sabe, hay una gran diversidad de representaciones de los naturales;
seguramente en algunas civilizaciones su matemática no llegó muy lejos porque no encontraron
un buen sistema de numeración (¡no confundir con lo que más adelante llamaremos sistema
numérico!), de hecho en muchos casos el problema fue que no lograron concebir el número 0,
parece que es difícil ponerle número a la ‘nada’.
Entre los diversos sistemas de numeración sobresalen los posicionales, llamados así por
el papel que la posición en que se colocan los dígitos juega un papel importante, por ejemplo, el
número 111 pudiera ser ‘tres’ para los romanos, mientras que para los árabes es ‘ciento once’;
claro, para los primeros cada 1 es ‘uno’, en cambio para los segundos el 1 de la derecha es ‘uno’,
el que le sigue a la izquierda es ‘diez’ y el otro es ‘cien’.
Pero elaborar un sistema posicional es complicado, requiere tener una aritmética bastantea
avanzada, de hecho exige tener gran claridad sobre todo lo que hemos dicho hasta aquí; así que
hay aquí un problema de ida y vuelta: un buen sistema de numeración necesita una buena
aritmética y una aritmética desarrollada requiere de un sistema de numeración bastante elaborado.
Vamos a ilustrar todo esto recordando con brevedad algo del sistema decimal de numeración y
agregando un par de palabras para el caso del sistema binario de numeración.
23
Sistema decimal de numeración
Los sistemas posicionales de numeración tienen entre sus cualidades versatilidad para
efectuar con ellos operaciones y suponen una aritmética muy eficaz, en particular suponen el
conocimiento y manejo de las propiedades antes reseñadas, por ejemplo, la representación
decimal de 31204 consiste en:
31204 = 3 × 10 4 + 1 × 10 3 + 2 × 10 2 + 0 × 10 + 4
Se recordará que las características de la representación decimal de numeración son:
− Se emplean diez dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
− Se introduce otro número que es la base del sistema, en nuestro caso, 10
− Se emplean la adición, la multiplicación y una variante de ésta, la potenciación.
Se puede observar que la construcción de un sistema posicional requiere una aritmética
desarrollada, esto se nota con mayor detalle en los llamados algoritmos de las operaciones,
digamos, los “mecanismos” que están atrás de nuestras sencillas formas de hacer operaciones, por
ejemplo veamos lo que hay atrás de la diminuta suma:
209 + 18
209 + 18 = (2×102 +0×101+9 )+(1×101+8)
= 2×102 +0×101+9 +1×101+8
= 2×102 +0×101+1×101 +9 +8
= 2×102 +(0×101+1×101) +(9 +8)
= 2×102 +(0+1)×101 +(9 +8)
= 2×102 +1×101 + 17
= 2×102 +1×101 + 1×101 + 7
= 2×102 + (1+1) ×101 +7
= 2×102 + 2×101 + 7
= 227
escritura decimal desarrollada
propiedad asociativa de la adición
conmutativa de la adición
propiedad asociativa de la adición
propiedad distributiva
sólo se efectúan sumas
17 se escribe en forma desarrollada
propiedad distributiva
sólo se efectúan sumas
forma posicional
Examinando con lupa y con paciencia este procedimiento, podrán reconocerse los pasos
de la forma usual de sumar, desde las formas de acomodar los sumandos (una columna de
unidades, otra de decenas, etc), hasta sumar los primeros sumandos de derecha a izquierda,
“llevar 1” a la fila que sigue a la izquierda, etcétera.
Remacharemos el concepto del algoritmo de la adición con otro ejemplo:
24
457+285 = (4×102 +5×10+7)+(2×102+8×10+5)
= 4×102 +5×10+7+2×102+8×10+5
= 4×102 +5×10+2×102+7+8×10+5
= 4×102 +2×102+5×10+7+8×10+5
= 4×102 +2×102+5×10+8×10+7+5
= (4 +2)×102+(5+8)×10+(7+5)
= 6×102+13×10+12
= 6×102+(1×10+3)×10+(1×10+2)
= 6×102+(1×10×10+3×10)+1×10+2
= 6×102+(1×102 +3×10)+1×10+2
= 6×102+1×102+3×10+1×10 +2
= (6+1)×102+(3+1)×10 +2
= 7×102+4×10+2
= 742
escritura decimal desarrollada
prop. asociativa de la adición
prop. conmutativa de la adición
prop. conmutativa de la adición
prop. conmutativa de la adición
prop. distributiva
prop. de cerradura de la adición
escritura desarrollada de13 y 12
prop. distributiva
prop. de cerradura de la multiplicación
prop. asociativa de la adición
prop. distributiva
prop. de cerradura de la adición
forma posicional
ACTIVIDAD:
Para reforzar el algoritmo de la suma, realiza las siguientes sumas en forma desarrollada:
8+12 =
102+154 =
242+379 =
Bien se sabe que las diversas civilizaciones crearon varios sistemas de numeración.
Dicen los que saben, que los egipcios tenían básicamente un sistema decimal; que los babilonios
usaban más bien dos sistemas, uno decimal y otro sexagesimal, es decir, usaban como base el 60;
mientras que los mayas preferían como base el 20. En fin, cualquier natural excepto 0 y 1 sirve
como base para un sistema de numeración, por ejemplo, una base muy actual por ser de uso
persistente en la computación es el 2, el correspondiente sistema se llama binario. Vamos a
agregar unos párrafos al respecto para destacar las características de un sistema de numeración
posicional y la importancia que para esto tienen las propiedades de las operaciones:
Dígitos: 0, 1. Sólo éstos deben aparecer en un número binario posicional.
Base: 2. Aparece en la forma desarrollada pero no en la posicional.
Se usa la adición, la multiplicación y la potenciación.
Cuando los romanos escribían II y los árabes escribían 2 hablaban del mismo número, pero
usaron símbolos diferentes para representarlo. Convengamos en llamar numerales a los
símbolos usados para representar números, II y 2 son dos numerales para el ‘dos’
¿Cómo se escriben en forma binaria desarrollada y posicional: 1, 2, 3, 4, 5, 9, 31?
25
En la tabla se muestran los resultados, los subíndices indican la base, por lo tanto no era
necesario escribírselo a los decimales, 510 es simplemente “nuestro” 5, en cambio 1002 no es
“nuestro” 100, sino el 4 escrito en binario.
Número decimal
110
210
310
410
510
910
3110
Binario desarrollado
1
1·2 + 0
1·2 + 1
1·22 + 0·2 + 0
1·22 + 0·2 + 1
3
1·2 + 0·22 + 0·2 + 1
1·24 + 1·23 + 1·22 + 1·2 + 1
Binario posicional
12
102
112
1002
1012
10012
111112
A la inversa, averigüemos qué número en sistema decimal es el binario101012:
Ejemplo:
101012 = 1·24 + 0·23 + 1·22 + 0·2 + 1 = 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 2110
De manera análoga a lo que hicimos con la adición en el sistema decimal, y que nos permitió
hacernos del algoritmo de la suma, mostraremos en forma desarrollada la adición de numerales binarios. Esto
puede permitir al alumno hacerse del algoritmo de la suma de números binarios. En este ejemplo se nota la
importancia de las propiedades estudiadas cuando aún no se tiene un procedimiento abreviado para hacerlo. La
tablita resaltada a la derecha es la tabla de sumar binaria (+2), y no es broma, consulta a tu profesor.
10112+11002 = (1×23 + 0×22 + 1×2 + 1) + (1×23 + 1 ×22 + 0×2 + 0) forma binaria desarrollada
asociativa de la adición
= 1×23 + 0×22 + 1×2 + 1 + 1×23 + 1 ×22 + 0×2 + 0
= 1×23 + 0×22 + 1×2 + 1×23+ 1 + 1 ×22 + 0×2 + 0
conmutativa de la adición
+2 0 1
conmutativa de la adición
= 1×23 + 0×22 + 1×23+ 1×2 + 1 + 1 ×22 + 0×2 + 0
0 0 1
conmutativa de la adición
= 1×23 + 1×23+ 0×22 + 1×2 + 1 + 1 ×22 + 0×2 + 0
1 1 102
conmutativa de la adición
= 1×23 + 1×23+ 0×22 + 1×2 + 1 ×22 + 1 + 0×2 + 0
conmutativa de la adición
= 1×23 + 1×23+ 0×22 + 1 ×22 + 1×2 + 1 + 0×2 + 0
= 1×23 + 1×23+ 0×22 + 1 ×22 + 1×2 + 0×2 + 1 + 0
conmutativa de la adición
asociativa de la adición
= (1×23+1×23)+(0×22+1×22)+(1×2+0×2)+(1+0)
distributiva
= (1+1)×23 + (0+1)×22 + (1+0) ×2 + (1+0)
adición de números binarios
= (10)×23 + (1) ×22 + (1)×2 + 1
forma binaria desarrollada
= (1×2 + 0)×23 + 1 ×22 + 1×2 + 1
distributiva
= 1×2×23 + 0×23+ 1 ×22 + 1×2 + 1
= 1×24 + 0×23+ 1 ×22 + 1×2 + 1
definición de exponente
= 101112
de la forma desarrollada se pasa a la posicional
26
Va otro ejemplo, es un largo rollo sólo para sumar 10112 + 1012, que en el sistema decimal y
con nuestro benigno procedimiento usual es simplemente 11 + 5 = 16 (¡!).
3
2
2
10112 + 1012 = ( 1 × 2 + 0 × 2 + 1 × 2 + 1 ) + ( 1 × 2 + 0 × 2 + 1 ) forma desarrollada
= 1 × 23 + 0 × 22 + 1 × 2 + 1 + 1 × 22 + 0 × 2 + 1
asociativa
3
2
2
= 1× 2 + 0 × 2 + 1× 2 + 1× 2 + 0 × 2 + 1 + 1
conmutativa
3
2
= 1× 2 + (0 + 1)× 2 + (1 + 0 )× 2 + (1 + 1)
asociativa, distributiva
= 1 × 2 3 + 1 × 2 2 + 1 × 2 + 102
se hacen sumas en binario con la tabla de sumar
3
2
= 1× 2 + 1× 2 + 1× 2 + 1× 2 + 0
se desarrolla 102
3
2
= 1× 2 + 1× 2 + (1 + 1)× 2 + 0
distributiva
3
2
se hacen sumas en binario con la tabla
= 1 × 2 + 1 × 2 + 10 2 × 2 + 0
3
2
= 1× 2 + 1× 2 + (1× 2 + 0 )× 2 + 0
se desarrolla 102
3
2
2
= 1× 2 + 1× 2 + 1× 2 + 0 × 2 + 0
distributiva
3
2
= 1× 2 + (1 + 1)× 2 + 0 × 2 + 0
distributiva
3
2
se suma en binario
= 1 × 2 + 10 2 × 2 + 0 × 2 + 0
3
2
= 1× 2 + (1× 2 + 0 )× 2 + 0 × 2 + 0
se desarrolla 102
3
3
2
= 1× 2 + 1× 2 + 0 × 2 + 0 × 2 + 0
distributiva
3
2
= (1 + 1)× 2 + 0 × 2 + 0 × 2 + 0
distributiva
3
2
= 10 2 × 2 + 0 × 2 + 0 × 2 + 0
3
2
= (1× 2 + 0 )× 2 + 0 × 2 + 0 × 2 + 0
4
3
2
= 1× 2 + 0 × 2 + 0 × 2 + 0 × 2 + 0
= 10000 2
se suma en binario
se desarrolla 102
distributiva
notación posicional
ACTIVIDAD:
Convierte los siguientes numerales de base dos en numerales de base diez.
i) 101012
ii) 110112 iii) 1100112
iv) 1111112
v) 11100012
Convierte los siguientes numerales de base diez en numerales de base dos.
i) 35
ii) 59
iii) 128
iv) 306
v) 415
Realiza las siguientes adiciones en aritmética binaria.
i) 1102 + 1112
ii) 1012 + 1102
iii) 1112 + 1002
27
I.1.5
ORDEN DE LOS NÚMEROS NATURALES
Si algo resulta fácil es comparar parejas de naturales y decir cuál de ellos es el menor (o el
mayor). Sabemos que 3 es menor que 7, ¿podemos explicar por qué?, esto ya no es tan fácil. Lo
más probable es que haya varias opiniones; si nos ponemos de acuerdo en un criterio aplicable a
cualquier pareja de naturales habremos definido un orden de los números naturales; así como hay
reglas para operar naturales, también la hay para ordenarlos, es decir, para tomar dos de ellos y
determinar cuál es el menor.
De una buena vez recordemos que la forma simbólica de expresar que “a es menor que
b” es: a < b, y que también se admite escribirlo en la forma b > a (“b mayor que a” expresa la
misma idea que “a menor que b”).
Ahora pasemos a buscar la regla; la idea más usual se basa en la suma y es la siguiente:
dados dos naturales, el menor es al que debe sumársele un natural para obtener el otro, es decir,
por ejemplo:
Tomemos 7 y 2: a 7 no podemos sumarle un natural para obtener 2, en cambio a 2
podemos sumarle 5 para obtener 7, es decir, 2 + 5 = 7, entonces decimos que 2 < 7.
Hay que observar que 0 no puede entrar en el trato, porque como, por ejemplo, 2 + 0 = 2,
tendríamos que decir que 2 < 2, que no se lleva bien con nuestra experiencia.
Ahora podemos poner esto en una definición, por supuesto no nos enseña nada, sólo nos
permite explicar una cosa que ya sabemos hacer:
Definición:
Si a y b representan dos naturales cualesquiera, la expresión a < b se lee “a es
menor que b”, y significa que existe un natural c ≠ 0 tal que a + c = b
Definición:
Si a, b∈ N , a < b significa que ∃ c ∈N, c ≠ 0, tal que a + c = b
I.1.6. LA RESTA Y LA DIVISIÓN CON NATURALES NO ESTÁN BIEN DEFINIDAS
RESTA:
La idea es que esta operación sea la inversa de las suma en el siguiente sentido: dados los
números naturales a y b llamados sumandos, se les puede hacer corresponder un número c
llamado suma:
a+b
sumandos
=
c
suma
28
La resta será una operación en la que se da la suma y un sumando, haciéndoles
corresponder como resultado el otro sumando, es decir, representando la resta en la forma usual
se tendría:
c−a = b
suma
un sumando
del mismo modo
c–b=a
el otro sumando
De aquí que ensayemos la siguiente definición; para que no te parezca rara piensa en la
forma en que desde la primaria comprobabas las restas, sólo aplicabas esta regla:
Sean a, b, c números naturales relacionados como sigue:
a – b = c significa que b + c = a
entonces c se llama diferencia de a menos b; a se llama minuendo y b se llama sustraendo
Ejemplos:
324 – 7 = 317 porque
7 – 324 = c ¿?
7 + 317 = 324.
no existe un natural c tal que 324 + c = 7
Verifica que: 5 –(3–2) ≠ (5–3)–2 porque 5–(3–2) = 5–1 = 4 y (5–3)–2= 2–2 = 0
Así de rápido vemos que la operación resta, no está bien definida para los naturales por
que hay casos en los que no puede asignarse un resultado (un natural por supuesto). Como
sabemos también se dice que el conjunto N no es cerrado bajo la operación resta. También está
en duda que se cumplan las propiedades que hemos estado estudiando, ¿cuál no se cumple según
el último ejercicio de arriba?
ACTIVIDAD:
Con base a los ejemplos anteriores, contesta lo siguiente:
-
Si 3∈N y 6∈N, entonces 3–6 ∉ N. ¿por qué? Justifica tu respuesta.
6–3 ≠ 3–6, ¿por qué? Justifica tu respuesta.
7–(4–3) ≠ (7–4)–3, ¿por qué? Justifica tu respuesta.
29
DIVISIÓN
Se procede como con la resta, la idea es definir esta operación como inversa de la
multiplicación en el sentido de que el producto entre un factor, dé el otro factor:
Si a · b = c, entonces
factores
⎧c ÷ a = b
⎪
⎨ y también
⎪ c ÷b = a
⎩
producto
Intentemos la definición:
Sean a, b, c números naturales relacionados como sigue:
a ÷ b = c significa que b·c = a
entonces c se llama cociente de a entre b, mientras que a se llama dividendo y b el
divisor.
Ejemplos:
48 ÷ 6 = 8
porque 6⋅8 = 48, en este caso se dice que 6 divide a 48.
6 ÷ 48 = c (¿?) no hay un número natural c, tal que 48 ⋅ c = 6 , ahora decimos que 48 no
divide a 6.
15 ÷3 = 5 porque 5·3=15, decimos que: 3 divide a 15.
9 ÷2 = c (¿?), no existe un natural c, tal que 2⋅c = 9, entonces 2 no divide a 9.
La división no está bien definida en N, o lo que viene siendo lo mismo, N no es cerrado
bajo la división.
Observación:
Si existe al menos un elemento para los cuales una propiedad no se verifica, esto es
suficiente para decir que la propiedad no se cumple.
Dicho sea de paso, si hacemos algunos ensayos veremos que algunas de las propiedades
vistas antes no se cumplen:
-
3÷6 ≠ 6÷3, ya que 3÷6 no da un natural y 6÷3 = 2; la propiedad conmutativa no se aplica
en la división de números naturales.
-
6÷(3÷2) ≠ (6÷3) ÷2, ya que 6÷(3 ÷2) no es un natural y (6÷3) ÷2 = 2÷2 = 1, lo que
indica que la propiedad asociativa no se verifica en la división de los números naturales.
30
ACTIVIDAD:
Con base a los ejemplos, contesta lo siguiente:
Si 17 y 9 son naturales, entonces 17÷9 no es natural. ¿Por qué? Justifica tu respuesta.
12 ÷3 ≠ 3 ÷12 ¿por qué? Justifica tu respuesta.
18 ÷(6 ÷3) ≠ (18 ÷ 6) ÷3 ¿por qué? Justifica tu respuesta.
35 ÷ 7 = 5 ¿por qué?
I.1.7. DEFINICIÓN DEL SISTEMA DE LOS NÚMEROS NATURALES
Esta definición resume los aspectos más importantes de lo dicho desde el principio, por
un lado proporciona un panorama de conjunto de ello; por otro lado, es un modelo de las cuatro
etapas que tenemos que cubrir para construir otros sistemas numéricos.
Definición
El sistema de los números naturales, indicado en la forma (N, +, · , <) está constituido
con las siguientes partes:
I)
El conjunto N.
II) Dos operaciones con números naturales llamadas adición (+) y multiplicación (⋅)
) III) Cualesquiera que sean los números naturales a, b, c se cumplen las siguientes
propiedades:
.
Propiedad
Operación Suma (+)
Operación Multiplicación (⋅)
Cerradura
a + b es un natural
a ⋅ b es un natural
Conmutativa
a+b=b+a
a⋅b=b⋅a
Asociativa
a+b+c = (a+b)+c = a+(b +c)
a ⋅ b ⋅ c = (a⋅b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
Existencia
y
0 es el único natural con la
1 es el único natural con la
unicidad
de
propiedad de que a + 0 = a
propiedad de que a⋅1= a y también
neutros aditivo
y
también
0
+
a
=
a
1·
a=a
y multiplicativo
Distributiva de
“⋅” respecto a
“+”
a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c
IV) El orden en N
a < b significa que existe un natural c≠ 0 tal que a + c = b
Esta relación, igual que las operaciones, tiene propiedades que omitiremos aquí.
31
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN I.1
1.- Sea a @ b = a2+2b, obtén 5 @ 3
2.- Sea a ⊗ b = 2b – a definido en N, ¿es ⊗ una operación bien definida en N?
3.- Propón una operación binaria arbitraria, bien definida y haz un ejercicio numérico con ella.
4.- Sea C= {x ⏐x es un dígito} y a Θ b = 2b − a . ¿Es Θ una operación cerrada en C?
5.- Sea a Θ b = 3( a + b ) definida en N. ¿Es Θ una operación conmutativa?
6.- Sea a ∇ b = menor de los números a y b, ¿es asociativa la operación ∇ en N?
7.- Escribe en tres formas equivalentes la suma de naturales 5+8+3+1+9 empleando paréntesis.
8.- Escribe en tres formas equivalentes la multiplicación de naturales 2(4)(1)(3)(5) empleando
signos de agrupación.
9.- Escribe en tres formas equivalentes la suma de naturales 2 + 9 + 3 + 4 + 7 empleando la
propiedad conmutativa.
10.- Expresa la siguiente multiplicación en tres formas equivalentes empleando la propiedad
conmutativa. 2(1)(3)(5)(4)
11.- Efectúa las siguientes sumas de naturales realizando primero las operaciones indicadas en los
paréntesis. ¿Qué ocurre con el resultado? ¿Qué propiedad justifica la observación?
5+(4 + 3)+ 5 + (4 + 2) =
(5 + 4) + (3 + 5 +4) + 2 =
5 + (4 +3+5)+(4 + 2) =
12.- Un rectángulo mide 24 m. de largo y 8 m. de ancho. Obtén el perímetro empleando dos
procedimientos distintos. ¿Qué propiedad justifica que ambos procedimientos son
equivalentes?
32
13.- Indica entre renglón y renglón qué propiedad de la suma o multiplicación de números
naturales justifica el paso de una expresión.
0+3(2+4)+2(1)
0+6+12+2(1)
0+6+12+2
0+(6+12)+2
0+18+2
18+2+0
18+(2+0)
18+2
14.- En una avenida se han colocado postes de 30 cms. de diámetro separados 20 metros entre sí
para colocar lámparas de alumbrado. ¿Cuál es la longitud de la avenida si al colocar un
poste al inicio y otro al final , el número de postes usados es de 120?
15.- En una bodega de artesanías existen 12 anaqueles con 4 entrepaños cada uno , en cada
entrepaño hay 5 cajas con 20 figuras de cerámica . Al manipular la mercancía se destruye
el contenido de 2 cajas. ¿Cuál es el número de figuras en buen estado que queda en la
bodega?
16.- Escribe en forma desarrollada los siguientes numerales, cuya base indica el subíndice.
a) 2048
b) 3025
c) 1010102
17.- Efectúa la siguiente suma: 1012 + 10102
18.- Si la edad de Ángel René es 11011002 años y la de Alejandro es 1110002 años, ¿quién de los
dos es más grande?
33
19.- Halla el valor de las siguientes expresiones usando la jerarquía de las operaciones.
a) 58 + 39 × 11 × 33 +24 =
b) 31 × 2 + 48 × 12 + 3 × 11 =
c) 45 × 9 + 3 + 7 + 2 × 4 =
d) 2 + 16 × 8 + 9 ×3 + 8 =
e) 96 × 8 + 4 + 15 ×10 =
20.- Halla el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones. Argumenta tus
respuestas empleando la definición de la relación de orden.
a) 5>4
b) 2<2
c) 7<11
d) 10>15
21.- ¿Por qué se dice que N no es cerrada bajo la división?
22.- ¿En qué otra forma podemos expresar que la división no está bien definida en N?
23.- En la expresión siguiente:
540-80 = 460
a) ¿Cuál es el minuendo?____________¿cuál es el sustraendo?_____________ ¿cuál es la
diferencia?____________
b) ¿Qué propiedad se aplicaría si se invierte el minuendo y el sustraendo? ¿se cumple dicha
propiedad?
c) ¿Qué condición deben cumplir el minuendo y el sustraendo para que la diferencia de dos
números sea un número natural?
d) Si el sustraendo se suma con la diferencia , ¿qué se obtiene?________________________
e) Si del minuendo se resta la suma del sustraendo con la diferencia, ¿qué
resulta?_____________________________________
24.- Enuncia qué propiedad distingue al sistema de los números enteros con respecto a los
números naturales.
34
25.- Deseo comprar un artículo cuyo precio conozco y el dinero no me alcanza ¿cómo calculo la
cantidad de dinero que me hace falta?
26.- Coloca dentro del paréntesis el número desconocido:
a) [68 − (
)] – 20 = 33
b) (598 – 346) − (
c)
(
)=1
) − (58 − 7) = 16
d) (359 – 29) − (
) = 32
e) [(
) − 38] – 25 = 16
f) [(
) − 38] – 43 = 6
g) (19 – 9 ) − (
)= 7
(
) − (10 − 7) = 12
i) 14 – [(
) − 5] = 3
h)
j) (20 – 8) – 6 =
27.- El presupuesto de la ciudad de Puebla para el programa de verano es de $ 7,000,000.00 ; en
junio se gastaron $2,500,000.00, en julio $750,000.00 menos que en junio y si en agosto se
gastaron $1,150,000.00 ¿cuál es el presupuesto de septiembre?
28.- El año pasado en una biblioteca se compraron libros por un total de $15,000.00, este año se
gastaron $27,850.00 ¿cuánto más se invirtió este año?
29.- Dos tanques comunicados se utilizan para recibir y expender combustible líquido. Con una
existencia inicial de 150 litros por la mañana se reciben 70 litros, se venden 90 litros y
finalmente se reciben otros 40 litros. ¿cuántos litros quedarán al cabo de estas operaciones
por la tarde?
30.- La comisión de turismo de una ciudad balnearia lleva el control de los pasajeros que entran
y salen. Habiendo ya en la ciudad 4850 personas, llegan 5400 en tren, 2951 en automóvil y
6835 en ómnibus. Pero al mismo tiempo parten 3250, 3645 y 3140 pasajeros en esos
medios de transporte. ¿Qué cantidad de veraneantes han quedado en ese momento?
35
31.- En la expresión siguiente : a ÷ b = c
a) ¿Cuál es el dividendo?____ ¿cuál es el divisor?_____ ¿cuál es el cociente?_____
b) ¿La división : a ÷ b = c cumple la propiedad conmutativa? , es decir :¿ a ÷ b = b ÷ a?
c) ¿Si sustituyes a y b por los valores de números naturales , ¿se cumple siempre la
propiedad de cerradura?________¿por qué?__________________________________
32.- ¿Qué condiciones debe cumplir la división de números naturales para satisfacer la propiedad
de cerradura ?
33.- ¿La división de números naturales puede tener residuo?_____________________¿por
qué?_______________________________________________________________
34.- Muestra con el siguiente ejemplo que la división no es asociativa
64 ÷ 8 ÷ 4
35.- Con los números 18, 6 y 3 formula un ejemplo donde ilustre que la división no cumple la
propiedad asociativa.
36.- ¿Qué número multiplicado por 8 tiene como producto 96?, usa la respuesta para obtener el
cociente de la división de 96 entre 8 y da otro ejemplo.
× 8 = 96
porque
96 ÷ 8 =
÷4=2
porque
4 × 2 =
8 ÷ 2=
porque
8 ÷
=8
porque
8 ÷ 0
=
porque
2 ×
=8
× 8 = 8
0×
=
36
37.- ¿En qué caso el producto de dos números?
a) Nos da por resultado el neutro aditivo.
b) Nos da por resultado uno de los factores.
38.- Escribe entre renglón y renglón , qué propiedad de la suma o producto justifica el paso de
una expresión a otra.
5 + 3(1) + 3 ( 2 + 3) + 0
5+3+6+9+0
5+3+6+0+9
(5 + 3 ) + ( 6 + 0 ) + 9
8+6+9
(8+6)+9
14 + 9 ε N
39.- Indica qué ley está ejemplificada en cada una de las siguientes igualdades:
a) xy = yx
b) (x + y) + z = x + (y + z)
c) xy + xz = x (y + z)
d) x + a = a + x
e) (2a) b =2(ab)
f) a + 0 = a
g) a = 1⋅a
40.-
Escribe las siguientes operaciones de manera más simplificada usando la propiedad
distributiva.
a) 5 × 9 + 5 × 12 + 5 × 15
b) 16 × 3 + 24 × 3 + 30 × 3
c) 4 × 26 + 8 × 26 + 15 × 26
41.- Encuentra el factor desconocido.
a) 17 ×
b)
× 53 = 636
c)
78 ×
d)
21 ×
e)
= 170
= 6552
= 441
× 75 = 1800
42.- Efectúa las operaciones indicadas:
a) 3(7 + 2) + 6(4 + 1)
b) 15 (7 + 3 ) + 8 (6 + 9)
c) 4(6 + 24) + 0 (17 + 25)
d) 0(12 + 8) + 13 (3 + 2)
e) 5(11 + 4) + 12 (6 + 4)
37
43.- Halla los siguientes productos y luego establece una regla general para obtener con mayor
rapidez el resultado:
a) 54 ×10
b) 54 × 100
c) 83 × 1000
d) 732 × 10 000
e) 7543 × 1 000 000
f) 24 × 10 000 000
44.- Calcula el número de filas en que se encuentran dispuestas 396 bolsas de arroz, si en cada
una de ellas hay 18 bolsas.
45.- Aldo y Jorge reunieron $ 840.00, si Jorge dio cinco veces lo de Aldo, ¿cuánto aportó cada
uno?
46.- ¿Qué alteración sufre el producto de 88 × 5 si el 88 se multiplica por 4 ; si se divide por 11?
47.- Compara el número de barriles apilados en filas de 10 barriles de largo, 3 de ancho y 3 de
alto con el número de barriles apilados en filas de 10 de largo, 1 de ancho y 9 de alto.
48.- Un jugador de fútbol firmó un contrato con un club por una temporada. Su contrato fue por
U.S. $ 85,000 por una temporada y un premio de U.S $ 13,000 por cada partido ganado por
su equipo.
¿Cuál es la expresión que representa sus ingresos si ganó 8 partidos durante la temporada?
a) 85,000 (8 +13,000)
b) 85,000 + (8 × 13,000)
c) (85,000 + 13,000) 8
d) (85,000 + 8) 13,000
e) 13,000 + (8 × 85,000)
f) 8 (85,000 + 13,000)
49.- Un almacén tiene 7 empleados cuyos sueldos son:
2 empleados ganan $ 370.00 diarios cada uno.
3 empleados ganan $ 415.00 diarios cada uno.
2 empleados ganan $ 520.00 diarios cada uno.
¿Cuánto debe pagar el dueño del almacén a sus empleados durante un mes de 30 días si
tiene 6 días festivos, en los cuales debe pagar el triple del salario diario? (supóngase que los
7 empleados trabajan los 6 días festivos)
50.- Un estudiante ve en promedio dos horas diarias de televisión y resuelve en promedio 5
problemas de matemáticas durante dos horas. ¿Cuántos problemas de matemáticas podría
resolver ese estudiante en 150 días, si en lugar de ver televisión resolviera problemas de
matemáticas?
51.- ¿En cuánto aumenta un número natural si se disminuye en 1 la cifra de las unidades y se
aumenta en 1 la cifra de las unidades de millar?
38
52.- Efectúa : 3 × 8 (4 + 3) + 5(8 –2)
53.- ¿Por cuánto hay que multiplicar el exceso de 382 sobre 191 para obtener 4,202 como
producto?
39
I.2 EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
INTRODUCCIÓN
Aquí cumpliremos la amenaza hecha en la presentación general, subiremos un poquito el
estudio de aspectos teóricos, ni modo carnales. El corazón de esta sección es la idea de número
negativo, hoy no es cosa del otro mundo, si 3°C es una temperatura de tres grados sobre cero,
−3°C es una temperatura de tres grados bajo cero. Pero échenle cuentas, pareciera que los
números naturales son conocidos por los humanos desde siempre; tenemos noticias de las
fracciones desde los días de los babilonios, por allá del siglo XX ... antes de Cristo, chin eso está
muy lejos; ya en el siglo VI, también antes de Cristo, los griegos conocían los números
irracionales, números rarísimos de los que diremos dos o tres palabras más adelante; mientras hay
que esperar hasta el siglo VI, pero después de Cristo, para hallar la huella de los números
negativos. Ahora bien, dicen los que saben que si a la humanidad le lleva mucho tiempo elaborar
una idea, también le costará trabajo construirla a un individuo.
Por supuesto, la idea de número natural no nació en nada parecido a una escuela, sino en
el trajín diario del anteantepasado (sic) que pintó tres rayas en la pared de una cueva para
numerar las pieles que preventivamente acumulaba el grupo cavernícola para la época de frío, al
lado de otras dos rayas correspondientes a las pieles que ya tenían, más otra raya por la que trajo
aquél, lo que de paso encerraba una suma, en fin, imagina cómo debió ser aquello; de una forma
parecida debieron venir a este mundo las fracciones: en la parcela, la calle o el mercado. Pero
pensamos que con las posteriores clases de números ha habido un cambio importante, su
elaboración corre cada vez más por cuenta de especialistas, quizá precisamente sean los negativos
donde esto empezó.
Hacemos estos comentarios porque la lectora y el lector (hay que indicar ambos géneros,
¿verdad?) deben estar prevenidos ante una que otra cosa rara que se dirá en esta unidad y que
tiene poco que ver con la experiencia de la vida diaria. Un ejemplo simple: “si tienes en tu tarjeta
$100,000 y compras un disckman de $900, un microondas de $1000, unos zapatos de $300, un
auto de $160,000 y un helado de nuez de $15 y pagas con la tarjeta, ¿cuánto te queda?”. Algunos
libros dicen que este ‘problema’ no se puede resolver sin números negativos. Pero resulta que
desde hace 30 segundos ya sabes que le debes un varo al banquero y en otro minuto más puedes
saber exactamente cuanto sin echar mano de un garabato como −62,215. Pero también es cierto
que conforme va subiendo la complejidad de ciertos problemas, quizá para el contador, tal vez
para el biólogo y seguramente para el ingeniero, por decir algo, se hace patente la potencia y la
necesidad de la idea de número negativo, y resulta comprensible estudiar estos números con
detalle.
Bien, enseguida te presentamos el temario de ésta parte, son varios temas, pero las ideas
importantes giran en torno a: la resta de enteros, particularmente a la idea de inverso aditivo, un
novedoso y muy útil teorema que bautizamos como el ‘teorema de la resta’ y la llamada ‘suma
algebraica’, que no es necesariamente una suma con letras y todo eso, sino cierta manera de
manejar combinaciones de sumas y restas, que por cierto te resultará bastante familiar porque es
cosa usual en la secundaria. Ojo, mucho ojo con estas ideas, en ellas está la clave para
comprender esta sección.
40
Temario
I.2.1.
I.2.2.
I.2.3.
I.2.4.
I.2.5.
I.2.6.
I.2.7.
I.2.8.
I.2.9.
I.2.10.
I.2.11.
El conjunto de los números enteros
Adición de números enteros
Propiedades de la adición de números enteros
Resta de números enteros
Símbolos de agrupación y reducción de expresiones que los contengan
Orden de los enteros
Multiplicación de enteros
Propiedades de la multiplicación de enteros
Símbolos de agrupación y reducción de expresiones que los contengan (continuación)
Divisibilidad
El sistema de los números enteros
Ejercicios y problemas de números enteros
I.2.1. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS ENTEROS (Z)
Con los números naturales han quedado resueltos una gran cantidad de problemas,
relativos al cómputo ó conteo de elementos de conjuntos y a operaciones con ellos, lo cual suele
ser suficiente para un amplio campo de necesidades. Pero también han quedado abiertos otros
problemas más que analizaremos con más detalle.
Los números naturales nos permiten operar con ellos siempre y cuando las operaciones
que realicemos sean la adición o la multiplicación, ya que la adición o la multiplicación de dos
números naturales cualesquiera es siempre otro número natural; sin embargo, la vida diaria nos
conduce frecuentemente a situaciones en las que es preciso restar dos números naturales y, si nos
limitamos a trabajar sólo con números naturales, entonces no siempre tendría sentido ni utilidad
nuestro sistema numérico, ya que la resta de dos números naturales no resulta ser siempre un
número natural.
Veamos las siguientes expresiones:
10 – 32 = – 22
15 – 18 = – 3, etc.
Con los números naturales no podemos efectuar restas en las cuales el minuendo es menor
que el sustraendo.
Esta situación, repetimos, le reduce utilidad a nuestro sistema numérico de los números
naturales ya que, con más frecuencia de lo que parece, tendremos ante nosotros situaciones
incluso de la vida real que nos conducen a restar a un número natural a otro número natural b
donde este último es mayor que a.
41
Por ejemplo, consideremos la siguiente situación:
La temperatura de un líquido es de 12°C, si se baja esta temperatura 17°C, entonces el
líquido se congela. ¿Cuál es la temperatura de congelamiento de dicho líquido?
12oC – 17oC = – 5°C
La temperatura de congelamiento del líquido es 5°C bajo cero.
Situaciones como la anterior sugieren la conveniencia de ampliar nuestro sistema de los
números naturales introduciendo nuevos números, para poder describir y resolver problemas que
se nos presentan en nuestra vida cotidiana, y con mayor frecuencia en la actividad de muchos
profesionales, que dan lugar a expresiones como las siguientes:
10 – 32,
20 – 45,
5 + x = 3,
7+x=1
A estos nuevos números que se requieren para poder efectuar esta clase de operaciones se
les denominó números enteros negativos, los cuales se empezaron a introducir en la India
alrededor del año 600 d.C., pero no tuvieron aceptación durante todo un milenio, lo que da una
idea de lo difícil que resulta aceptarlos como números. No fue sino hasta mediados del siglo XVI,
que finalmente se comprendió que si en las situaciones prácticas se les daba a los números
negativos una interpretación inversa a la que tenían los correspondientes números naturales, la
solución de los problemas en términos de números negativos tendrían tanto sentido como el que
tenían los números naturales cuando éstos resultaban aplicables. Es fácil pensar situaciones que
se pueden expresar con números naturales y que originan situaciones en algún sentido inversas
que admiten representación con los enteros negativos, por ejemplo:
ƒ
Temperaturas sobre cero y temperaturas bajo cero
ƒ
Ganancias monetarias y pérdidas monetarias.
ƒ
Fechas después de Cristo y fechas antes de Cristo
ƒ
Alturas sobre el nivel del mar y alturas bajo el nivel del mar
ƒ
Depósitos de dinero y retiro de dinero
De lo mencionado en los párrafos anteriores, se desprende que lo que originó la
necesidad de ampliar el conjunto de los números naturales con nuevos números fue:
ƒ
El conteo en dos sentidos opuestos
ƒ
La indefinición de la resta en N
42
Con respecto al primer aspecto, nos limitaremos a recalcar que para cada número natural
se introdujo un nuevo número representado con el mismo símbolo, pero con un guión antepuesto
para diferenciarlo del natural, esto es:
0
1
2
3
4
5 …
-0
–1
–2
–3
–4
–5 …
En general, para cada número natural n introdujimos un número – n.
En lo que a la indefinición de la resta se refiere, podemos poner nuestra atención
primeramente en casos de la forma 0 – n, siendo n un número natural, es decir tratemos de
resolver primero este tipo de restas, en cuyo caso la noción de resta nos permite relacionar a cada
n con el correspondiente –n en una forma muy razonable, como se indica enseguida:
0 – 0 = – 0, significaría que 0 + (– 0) = 0
0 – 1 = – 1, significaría que 1 + – 1 = 0
0 – 2 = – 2, significaría que 2 + (– 2) = 0
·
·
·
0 – n = – n, significaría que n + ( – n ) = 0
Los números naturales y los números enteros negativos integran un nuevo conjunto de
números al que se le llama conjunto de los números enteros, el cual se representa con la literal Z.
Z = {0, –0, 1, –1, 2, –2, 3, –3, 4, –4, ... }
Como todos los naturales están en el conjunto Z se dice que N está incluido en Z o que N
es un subconjunto de Z lo que suele indicarse en la forma:
N⊂ Z
Inversos Aditivos
Las ideas anteriores se pueden establecer con mayor precisión como sigue:
Postulado de los inversos aditivos (PI)
Para cada número entero n, existe exactamente un entero, denotado por
– n, tal que n + (–n) = 0 y también (–n) + n = 0.
Postulado de los inversos
∀n∈Z ∃ –n∈Z, único, tal que n + (–n) = 0 y (–n) + n = 0
43
La expresión –n se lee usualmente “menos n”, pero con mucha frecuencia resulta más
conveniente leerla como “inverso aditivo de n”, de hecho el guión “−” se usa para indicar una
resta, caso en el cual resulta muy natural la primera lectura, pero ahora el guión representa otra
idea y, en efecto, es la de “inverso aditivo de”.
Definición:
Si la suma de dos enteros es cero se dice que éstos son inversos aditivos, cada uno de
ellos es el inverso aditivo del otro.
Observación:
Se dice que el postulado anterior es de existencia y de unicidad, ya que afirma que para
cada entero existe un inverso aditivo y agrega que sólo hay uno, es decir, hay exactamente uno.
Así que, en particular, el inverso de 3 es –3, lo que significa que 3 + (–3) = 0, también –7
es el inverso aditivo de 7, en el sentido de que (–7) + 7 = 0
La Demostración
Con frecuencia sentimos la necesidad de hacer o de decir cosas que confirmen que es
correcta alguna afirmación o acción nuestra: si decimos ante un grupo de personas que el equipo
de fútbol A es mejor que el B, usualmente agregamos enseguida apreciaciones o hechos que
apoyen nuestra afirmación; lo mismo puede ocurrir si sostenemos que la guerra en Irak no tenía
que ver con salvar al mundo de las armas de destrucción masiva; digamos que usualmente
tratamos de “demostrar” nuestras afirmaciones. En otros niveles, el fiscal trata de demostrar la
culpabilidad de un acusado y el defensor trata de demostrar su inocencia; el investigador médico
tiene que demostrar que cierto medicamento no tiene secuelas nocivas; mientras que el ingeniero
quiere demostrar, más para sí que para otros, que el puente diseñado no se va a derrumbar.
En matemáticas esta necesidad de “hacer ver” que tal o cual afirmación es verdadera es
muy imperiosa; la conocida y a veces un tanto mítica fama de la exactitud de las matemáticas o
de que éstas “no mienten”, es algo que nace de esa casi obsesiva tendencia de los matemáticos a
demostrar cada cosa que dicen en su labor. Esta tendencia a justificar las afirmaciones es tan
característica de la matemática, que no puede faltar un primer y leve encuentro de quienes están
estudiando matemáticas con tal actividad, están interactuando con el mundo matemático y
apropiándose de algo de éste.
Así como se le ha llamado postulado a una afirmación que se acepta como verdadera sin
exigir que se demuestre, se le llama teorema a una afirmación que se acepta como verdadera
porque en algún momento se ha demostrado que lo es. En lo que a la demostración se refiere, el
matemático marcha al revés de como lo hace la zorra, ésta tiene fama de astuta porque se protege
borrando sus huellas con la cola mientras avanza; la astucia del matemático, por el contrario,
depende en buena parte de que no pierda de vista sus huellas, de procurar tener bien presente lo
que ya ha hecho, para apoyar en ello lo que sigue, en breve veremos algunos ejemplos de esto.
Claro, en términos generales, la demostración matemática no es cosa simple, por lo que la guía
44
del profesor en tal terreno será especialmente importante; en particular, varias demostraciones se
pondrán en un marco de línea punteada y el profesor decidirá si conviene abordarla en el aula o
no, de cualquier manera el término “teorema” nos debe poner sobre aviso de que estamos ante
una afirmación que posee demostración aunque no la efectuemos.
Nuestro primer teorema puede parecer un tanto extraño, pero podrá descartar otra cosa
también extraña, ¿qué es eso que hemos llamado –0?.
Teorema 1
–0 = 0
Es decir, –0 es otra forma de escribir 0
Observación:
Aquí y en otras partes usaremos el hecho de que un número puede escribirse de varias
formas diferentes: si en la carátula de un reloj vemos 2 y en la de otro está II, sabemos que
hablamos del mismo número; encontramos esta misma idea cuando escribimos 5 −3 = 8 ÷ 4, en
ambos lados tenemos 2; de hecho:
uno de los significados del símbolo “=” es que lo que está a sus lados es el mismo número
Demostración del teorema 1:
Compara las expresiones: 0 + (–0) = 0 y 0 + 0 = 0.
Son dos adiciones cuya suma es cero, así que la primera dice que 0 y –0 son inversos y la
segunda dice que 0 y 0 son inversos, de modo que si –0 y 0 fueran diferentes, 0 tendría dos
inversos, cosa prohibida por el postulado de los inversos, así que lo que realmente debe ocurrir es
que –0 y 0 son dos representaciones diferentes del mismo número, es decir –0 = 0 (ojo: esto
significa que 0 es su propio inverso).
█
Observación:
De aquí en adelante usaremos este rectangulito negro para indicar que hemos concluido
una demostración.
En adelante prácticamente desecharemos el símbolo –0, que simplemente es 0, además,
para evitar referirnos a un número que sea a la vez positivo y negativo aceptaremos que el cero
no es de una clase ni de otra, es decir, el cero es el único entero que no es positivo ni negativo.
•
•
•
En resumen, hay tres clases de números enteros:
Los enteros positivos, todos ellos números naturales.
El cero, natural también.
Los enteros negativos.
Notación:
Dado un entero n, positivo o negativo, su inverso aditivo puede representarse con el
Ejemplos:
mismo símbolo antecedido del guión ‘–’, es decir, en la forma –n.
45
El inverso de 4 se representa con “4 antecedido por el guión”, es decir, – 4.
El inverso de – 7 es 7, pero de acuerdo a la notación establecida también se puede
representar con “el mismo –7 antecedido del guión”, esto es, – (– 7), así que 7 = – (–7).
El inverso de – (– 7) se puede escribir – (– (– 7)), es decir, – 7 = – (– (– 7)).
ACTIVIDAD:
Escribir el inverso aditivo de cada uno de los siguientes números:
i) – 8
ii) 4
iii) – 2
iv) –(–[–10])
v) 3
vii) –(–123)
viii) – 2135
vi) – 56
Teorema 2
Si n es cualquier entero entonces –(– n) = n
Teorema 2
∀n∈Z, – (–n) = n
Observación:
La escritura –(–n) = n se puede leer “menos menos n es igual a n”, pero tiene mayor
significación si se lee “el inverso del inverso de n es el mismo n”, con lo que se quiere decir que,
si tomamos un entero, su inverso es otro, pero el inverso de éste es el original.
Demostración del Teorema 2:
Compara –n + n = 0
y
– n + (–(–n)) = 0
La primera expresión dice que n es inverso aditivo de – n, la segunda indica que –(–n) es
inverso de –n; si n y –(–n) fueran diferentes, –n tendría dos inversos, cosa no permitida por el
postulado de los inversos, así que en realidad debe ser que –(–n) = n.
█
VALOR ABSOLUTO
Nos tomaremos la libertad de decir que cada número entero está formado por dos
elementos: un elemento cuantitativo y un elemento cualitativo, por ejemplo, si –1000 representa
una pérdida de $1000, el elemento cuantitativo es la cantidad 1000 sin importar que se trate de
una pérdida o de una ganancia, por así decirlo, un billete de mil pesos tiene un valor de mil pesos
al margen de que alguien los gane o los pierda; mientras que el elemento cualitativo es el que le
da a la cantidad la cualidad de pérdida o de ganancia, función que desempeña el signo. En caso
de que n sea positivo se puede escribir + n o simplemente n. Al elemento cuantitativo de un
entero es a lo que se le llama valor absoluto del número y siempre se representa con un número
natural.
46
Para decirlo con precisión:
Definición:
La expresión |n| se lee “valor absoluto de n” y significa lo siguiente:
| n | = n, si n es natural (es decir, el valor absoluto de un natural es el mismo natural)
| n | = – n, si n es entero negativo (el valor absoluto de un entero negativo es su inverso)
Por ejemplo:
|3| = 3, porque 3 es natural, así que su valor absoluto es éste mismo.
|0| = 0, se interpreta como el caso anterior.
|– 5| = 5, porque –5 es negativo, así que su valor absoluto es el inverso de éste, lo
que también se puede escribir en la forma:
|–5|= – (–5) = 5
inverso aditivo de
ACTIVIDAD:
Halla el valor absoluto de los siguientes números y justifica tu respuesta.
i) | −9|
ii) | 13|
vi) | −1| + |–5|
iii) | –143|
vii) | |–5|+|–3|+|–2| |
iv) |– (–246)|
v) |–{–(–65)} |
viii) |−8+8|
I.2.2 ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
¿Cómo obtener la suma de dos enteros?. Estamos ante la tarea de definir una operación binaria,
recordemos que sus partes importantes son: el conjunto de números que se van a emplear, en este
caso Z; la forma de representar la operación, lo usual es usar la muy conocida cruz “+”; las reglas
para obtener el resultado, lo que ya no está tan fácil, podemos darnos una idea al respecto a
través del modelo de “pérdidas ó ganancias”. Esto es, para definir cuál es el resultado de la
adición de dos números enteros, podemos pensar en los números positivos como ganancias y en
los negativos como pérdidas, y calcular un resultado razonable como efecto conjunto de ambas.
47
1. Si gano $ 100.00 y después gano $ 55.00, ¿ gané o perdí?, ¿cuánto?. La respuesta es gané
$ 155.00. Esta situación la representamos como:
100 + 55 = 155
2. Si pierdo $ 80.00 y luego pierdo $ 40.00, ¿gané o perdí?, ¿cuánto?. La respuesta es perdí
$ 120.00. Esta situación la representamos como:
– 80 + (– 40) = –120
3. Si gano primero $ 60.00 y luego pierdo $ 25.00, al final ¿gané o perdí?, ¿cuánto?. La respuesta
es gané $ 35.00. Esta situación la representamos como:
60 + (– 25) = 35
4. Si gano primero $ 30.00 y luego pierdo $50.00, al final ¿gané o perdí?, cuánto?. La respuesta
es perdí $ 20.00. Esta situación la representamos como:
30 + (– 50) = – 20
Considerando las situaciones anteriores y complementando con otras semejantes, haremos
la siguiente definición, la parte más conocida es S1, pero es fácil ver que no funciona bien en
ciertos casos, por lo que se agregan otras reglas:
Definición
S1. Para obtener la suma de dos números enteros se aplica la regla (a) que se da en seguida y
que proporciona el valor absoluto de la suma y la regla (b) para determinar su signo:
(a) Se obtienen los valores absolutos de los sumandos, si los sumandos son del mismo
signo se suman sus valores absolutos y si son de signos contrarios, al
mayor valor absoluto se le resta el menor.
(b) En cualquier caso del resultado de (a) se toma con el mismo signo del sumando de
mayor valor absoluto.
Esta regla funciona en los casos más comunes, pero tiene que completarse con otras:
S2. Si los sumandos son iguales se aplica la regla (a) y el resultado se toma con el mismo
signo de ellos
S3. El cero se conserva como neutro aditivo: m + 0 = m y también 0 + m = m
S4. m + (–m) = 0 y también (–m) + (m) = 0
Ejemplos:
i)
Realicemos la siguiente adición:
(–34) + 8
según (a) se toman los valores absolutos de los sumandos y al que tiene mayor valor absoluto se
le resta el que tiene menor valor absoluto.
|–34| = 34,
|8| = 8
34 – 8 = 26
y según (b) el resultado toma el signo del sumando de mayor valor absoluto, es decir:
(–34) + 8 = –26.
48
ii)
Otra operación más:
10 + (–4) =
Procediendo como en el caso anterior los valores absolutos de |10| = 10 y |– 4|=4 y como
los números son de signos diferentes restamos sus valores absolutos según (a) 10–4= 6 y según
(b) la suma de 10 + (–4)= 6
Debemos de realizar las operaciones de una forma más compacta, al respecto proponemos
la siguiente forma, es sólo para explicar las reglas, se entiende que ya en la práctica los pasos
intermedios no se escriben:
10 + (–4) =
= +[| 10 | – | –4|]
= + [10 – 4]
=6
iii)
(–20) + (–5) = –[|–20| + |–5|]
= – [20 + 5]
= – 25
iv)
13 + 4 = + [| 13 | + | 4 |]
= + [13 + 4]
= 17
ACTIVIDAD:
Realiza las siguientes operaciones:
i)
25 + (–17)
ii)
(–24) + 20
iii)
(–15) + (–27)
iv)
45 + 36
v)
(–11) + (–11)
vi)
(–18) + 0
I.2.3 PROPIEDADES DE LA ADICIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Dado que el conjunto Z es una ampliación del conjunto N, se puede esperar que la adición
de números enteros tenga las propiedades de la adición de números naturales, esto en efecto
ocurre, aunque habrá que agregar una propiedad más a la lista.
Ahora bien, las propiedades de las operaciones con números naturales fueron presentadas
como postulados, se mencionó que esto quiere decir que se aceptan como verdaderas sin
necesidad de dar pruebas de que lo son, esto está bien como un inicio, pero no se puede continuar
siempre así, concretamente ahora que topamos con las propiedades de las operaciones con los
enteros, se requiere demostrar que efectivamente se cumplen, y lo debemos tener bien presente
aunque no lo hagamos:
49
A1. Cerradura
La suma de dos números enteros cualesquiera es un número entero.
A1. Cerradura:
∀ m, n ∈ Z, m + n ∈ Z
Demostración:
Como en general hay cuatro casos posibles para la suma (las cuatro reglas de la definición), se
debe mostrar que cada uno lleva a la misma conclusión:
Sean dos enteros m y n, sabemos que |m| y |n| son números naturales, supondremos además que
|m| >|n|, esto no limita la generalidad de lo que diremos:
1. Si m y n son del mismo signo, tomamos |m| + |n|, la suma m + n será este número o su inverso
(¿por qué?), en cualquier caso tenemos un entero. Si m y n son de signos contrarios, entonces se
toma |m|–|n|, y m + n será este número o bien su inverso (¿por qué?), en ambos casos tenemos
un entero.
2. Si hay que sumar m y m, se hace la suma m + m y la suma buscada será este número o su
inverso (¿por qué?), en cualquier caso se tiene un entero.
3. Si m es un entero, m + 0 =m también lo es.
4. Para cualquier entero m, m + (–m) = 0 es un entero
Así que en efecto siempre obtenemos un entero, como se quería probar.
█
A2. Conmutativa
Si m y n son enteros cualesquiera, entonces:
A2.
Conmutativa:
∀ m, n ∈ Z, m + n = n + m
m+n=n+m
50
Demostración:
Como en el caso anterior, se toma m y n; |m| y |n| son naturales supondremos que |m| > |n|.
1. Si m y n son del mismo signo, se toma |m| + |n| y la suma m+n será este número o su inverso; mientras
que n+m será, respectivamente, |n| + |m| o su inverso (¿por qué?), pero |m|+|n| = |n|+|m|, así que en
ambos casos obtenemos el mismo resultado. Si los enteros son de signos contrarios, entonces tanto
para m+n como para n+m se toma |m|-|n|, en ambos casos con el signo de m, por lo tanto las dos sumas
son iguales.
Los tres casos restantes son inmediatos, escríbelos.
█
A3. Asociativa
Para números m, n, p enteros cualesquiera:
m + n + p = (m + n) + p = m + (n + p)
A3. Asociativa:
∀m, n, p ∈ Z, m + n + p = (m + n) + p = m + (n + p)
Se recomienda omitir la demostración.
A4. Existencia y unicidad de neutro aditivo:
n + 0 = 0 y también 0 + n = 0
La existencia se incluye en la definición de suma. Puede resultar un poco desconcertante insistir en que
se tiene que demostrar la unicidad, es decir, que no hay otro entero que se comporte como el 0 en la suma, pero
ya hemos tenido oportunidad de notar la importancia de la unicidad. Nuestras dos primeras demostraciones se
basan en la unicidad del inverso y algo así ocurre con frecuencia; de cualquier modo omitiremos la demostración
de la unicidad del elemento neutro aditivo.
A5. Existencia y unicidad de inverso aditivo.
Es el postulado establecido al principio: cada entero tiene exactamente un
aditivo, que también es un entero.
inverso
51
Así que la adición de enteros tiene una propiedad más respecto a la de naturales, la A5.
A continuación daremos algunos ejemplos donde se muestra el uso de las propiedades de
la adición.
i.
3+5+9 = 3+(5+9)
ii.
iii.
iv.
v.
0+(–82) = –82,
la igualdad esta justificada por la propiedad asociativa de la
adición.
16+4530=4530+16
se justifica por la propiedad
conmutativa de la adición.
–48335+48335=0
se justifica por la propiedad del
elemento inverso.
17+20=37
se justifica por la propiedad de
cerradura.
se justifica por la propiedad del elemento neutro.
ACTIVIDAD:
i) El conjunto de los números enteros negativos (N− ) es cerrado bajo la operación
adición. Justifica tu respuesta.
ii) El conjunto de los números enteros negativos (N– ) es cerrado bajo la operación
multiplicación. Justifica tu respuesta.
iii) ¿Qué elemento de Z representa el neutro aditivo?
iv) ¿Qué elemento de Z representa el neutro multiplicativo?
Como en el caso de los números naturales, te presentamos el desarrollo de una serie de
aplicaciones de operaciones; en cada afirmación que se hace justifica colocando en los espacios
el nombre de la propiedad utilizada
v) – 3 + 4 + 3 = −3 + 3 + 4
vi)
1.__________________
= (–3 +3) + 4
2.__________________
= 0+4
3.__________________
= 4
4.–––––––––––––––––––
3 + (– 7 ) + (–3)= 3 + [ (–7) + (–3) ]
1. _____________________
= 3 + [ (–3) + (–7) ]
2. _____________________
= [ 3 + (–3)] + (–7)
3. _____________________
52
= 0 + (–7)
4. _____________________
= –7
I.2.4. RESTA DE NÚMEROS ENTEROS
5. _____________________
Nuevamente tenemos que definir una operación binaria. Ahora estamos en la parte central
de la sección de los números enteros. Como recordaremos, una de las limitaciones que habíamos
encontrado en el sistema de los números naturales, era la imposibilidad de efectuar restas m − n
con naturales cuando m < n ya que en tal caso m – n no es un número natural; esto es, el conjunto
de los números naturales no es cerrado respecto a la resta. Hasta ahora hemos resuelto el
problema para un caso muy particular agregando los números enteros negativos, las restas de la
forma 0 – n cuyo resultado es –n, es decir:
0 – n = –n
porque
n + (–n) = 0.
Como se verá, no hay necesidad de agregar más números, los agregados bastarán para
efectuar cualquier resta.
Empezaremos definiendo la resta, así que nuevamente tenemos que afrontar la labor de
definir una operación binaria, pero ahora lo haremos en una forma bien conocida:
Definición:
Si m y n son dos enteros, entonces m – n es la resta de m menos n y la diferencia es un
entero r que sumado con n da m, es decir:
m – n = r significa que n + r = m
Ejemplos:
9 −12 = −3 porque 12 + (−3) = 9
−7 − (−2) = −5 porque −2 + (−5) = −7
Acto seguido, establecemos un teorema de la mayor importancia que, entre otras cosas,
nos proporciona otra forma de restar:
Teorema de la resta (TR)
Si m y n son enteros, entonces: m – n = m + (–n)
Es decir, restarle un entero a otro es lo mismo que sumarle el inverso aditivo del que se va a
restar al otro.
Demostración:
De acuerdo con lo que hemos dicho que es la resta, sólo tenemos que convencernos de
que si le sumamos m + (–n) a n obtenemos m.
n + [ m + ( – n )] = n + [( – n ) + m ]
= [ n + ( – n )] + m
(estamos usando la propiedad conmutativa)
(ahora la asociativa)
53
=0+m
(ésta es la propiedad de los inversos)
=m
(y ésta es la del neutro)
Así que, en efecto, m + (–n) es el resultado de restar m – n.
█
¿Aún recuerda el lector las razones que nos pusieron a estudiar los enteros?, aquí nos
interesa la imposibilidad de efectuar ciertas restas si nos limitamos a los números naturales, ahora
se ve que con los enteros es posible hacer cualquier resta, y con el teorema de la resta resulta más
fácil que con la definición, por ejemplo:
Las del estilo de 5 – 14, en efecto ahora sabemos que 5 – 14 = 5 + (–14) = –9
O también: 8 – 5 = 8 + (–5) = 3.
Observa el siguiente ejemplo:
8 – (–7) = 8 + 7 = 15
En estos casos usualmente hay una confusión con las reglas de los signos para la
multiplicación: “menos por menos da más”, pero aquí ni siquiera hay multiplicación, es una resta.
Tampoco se debe confundir con: –(–n) = n. Simplemente ese caso es un efecto del teorema de la
resta.
En general el TR da de inmediato: m – (–n) = m + n
Y para hablar en términos generales, observemos que cualquier suma de enteros es otro
entero (cerradura), y por el TR cualquier resta se puede cambiar por una suma:
m – n = m + (–n), por ello cualquier resta de enteros es otro entero, es decir:
Z es cerrado respecto a la resta
Ya hemos alcanzado un propósito inicial (tenemos un conjunto de números con los que
resulta posible efectuar cualquier resta), también hemos avanzado en el otro, podemos contar en
dos sentidos opuestos, particularmente en ciertas situaciones cotidianas, pero iremos mucho más
lejos que esto construyendo todo un aparato aritmético para los números enteros.
ACTIVIDAD:
Utilizando el teorema de la resta, muestra que:
i) 15 – 13 = 2
ii) 571 – 358 = 213
Utiliza el teorema de la resta para realizar:
iii) 95 – 76
54
iv) 13 – (–20)
v) 11 – 16
vi) ¿Es el conjunto de los números enteros negativos (N– ) cerrado bajo la operación
resta?
vii) ¿Es el conjunto de los números enteros positivos (N+ ) cerrado bajo la operación
resta?
viii) ¿Es la resta, como operación binaria, conmutativa? Utiliza un ejemplo numérico
para justificar tu respuesta.
ix) ¿Es la resta, como operación binaria, asociativa? Utiliza un ejemplo numérico para
justificar su respuesta?
x) ¿Existe elemento neutro en Z para la operación resta?
SUMA ALGEBRAICA (SA)
Este es un nombre usual pero ciertamente es un tanto engañoso, no se refiere a sumas de
expresiones que contengan literales, sino, en palabras simples, a “cadenas” de restas o de sumas
y restas que se van a efectuar con ciertas reglas que se verán en lo que sigue, pero desde ahora
nos permitiremos llamarles a tales expresiones sumas algebraicas:
Por ejemplo:
– 8 + 6 – 3 – (–5) – 7
1–6–(–5)+(–8)–2
Con lo que tenemos hasta ahora es posible manejar esta clase de expresiones en varias
formas diferentes, tomaremos la primera como ejemplo:
La presencia de las restas nos dice que no es válido aplicar aquí la propiedad asociativa,
no estamos autorizados a efectuar las operaciones en cualquier orden porque obtendremos para
cada uno un resultado diferente, con excepción de algunas coincidencias, ante esto se toma un
acuerdo:
SA1. En las sumas algebraicas, las operaciones se efectúan de izquierda a derecha
Así que una primera forma de manejar la expresión dada, consiste en efectuar en el orden
dicho las adiciones y sustracciones.
-7
0
-5
-2
– 8 + 6 – 3 – (–5) – 7 = –7
55
Para manejar la expresión original, – 8 + 6 – 3 – (–5) – 7, en una segunda forma
empezamos anotando otra regla:
SA2. Conviene evitar los signos adjuntos, en particular sabemos que m – (– n) = m + n
Entonces escribimos la expresión original en la forma:
–8+6–3+5–7
Ahora escribimos la expresión sólo con sumas, por medio del TR, y las efectuamos:
– 8 + 6 – 3 – (–5) – 7 = –8 + 6 – 3 + 5 – 7
= – 8 + 6 + (–3) + 5 + (–7)
= –7
Una tercera forma de manipular la expresión dada es bastante incómoda: expresarla
sólo mediante restas, claro, con el TR, y efectuarlas una a una ya sea usando la definición o
el propio teorema:
– 8 + 6 – 3 – (–5) – 7 = –8 + 6 – 3 + 5 – 7
= – 8 – (–6) – 3 – (–5) – 7
= –7
Pero resulta que se puede agregar una forma más de manipular la ya tediosa expresión,
esta forma es realmente el “caballito de batalla” en la práctica y propiamente hablando es a lo que
se llama suma algebraica. Enseguida veremos de qué se trata, opcionalmente se puede omitir lo
que sigue, únicamente retomando las reglas SA3 y SA4 que se dan más adelante.
La idea es apoyarse en el teorema de la resta para obtener otras reglas un poco más
directas que las de la suma, aunque su interés es puramente operacional, veamos por ejemplo
algunas etapas del procedimiento anteriormente efectuado para manejar la expresión:
–8 + 6 – 3 + 5 – 7:
Empezamos con esta regla:
SA3. Dada una suma algebraica, después de aplicar SA2, obtendremos una expresión donde
sólo hay números positivos, con la posible excepción del primero de la izquierda, en
cualquier caso nos referiremos a ellos como “números sin signo” pero antecedidos por
un signo + o –, no diferenciaremos si el signo corresponde al número o indica una
operación.
56
En el caso del primer paso de las operaciones que estamos usando como ejemplo tenemos:
–8 + 6 = –2
así que al 8 le antecede un – y al 6 un +.
Ahora haremos una serie de adaptaciones de las reglas de la definición de suma, observe
la suma de arriba, veremos como se efectúa con la definición de suma y haremos una adaptación:
Definición de suma
Sumandos de signos diferentes: al de mayor
valor absoluto se le resta el menor, y se toma el
resultado con el signo del sumando de mayor
valor absoluto.
Adaptación
Si a los números, sin signo, les anteceden
signos distintos, al mayor se le resta el
menor, tomando el resultado con el signo
que le antecede al mayor.
Pasamos al segundo paso de nuestras operaciones: –2 – 3 = –2 + (–3)
Lado derecho: definición de suma
Sumandos de signos iguales: se suman valores
absolutos y el resultado se toma con el mismo
signo de ellos.
Lado izquierdo: adaptación
Si a los números les anteceden signos iguales,
se suman y el resultado se toma con el mismo
signo que les antecede.
Ahora el paso que sigue: −5 + 5 = 0
Definición de suma
Si los sumandos son inversos aditivos la
suma es 0.
Adaptación
Si los números son iguales y les anteceden
signos contrarios su suma es 0.
Siguiendo así obtenemos las siguientes adaptaciones de la reglas de la suma:
Definición: suma algebraica
SA4. Una suma algebraica se efectúa como sigue:
a. Si a los números les anteceden signos iguales, se suman y el resultado se toma con el
signo que les antecede. Si les anteceden signos diferentes, al mayor se le resta el
menor y el resultado se toma con el signo que le antecede al mayor.
b. Si los números son iguales y les anteceden signos iguales, se suman y el resultado se
toma con el signo que les antecede.
c. Si un número es cero, la suma es el otro con el signo que le antecede.
d. Si los números son iguales y les anteceden signos contrarios su suma es 0.
57
Las reglas SA1, SA2, SA3, SA4 definen la suma algebraica, mucho de ello rara vez es
explicitado, por lo que hay mucha confusión al respecto.
La suma algebraica tiene varias ventajas operacionales, una de ellas es una especie de
“asociatividad”, en el sentido de que:
Se pueden seguir varios caminos al operar y por todos ellos se obtiene el mismo resultado
Por ejemplo, retomemos nuestra expresión anterior, avancemos por un camino distinto al
de antes y corroboremos que llegamos al mismo resultado:
-7
1
3
-2
–8 + 6 – 3 + 5 – 7
Pero la suma algebraica también imita a la conmutatividad, en el sentido de que:
Si se cambian de lugar los números junto con el signo que les antecede el resultado
no cambia
Sirve otra vez nuestro ejemplo:
– 8 + 6 – 3 + 5 – 7 = 5 – 8 – 7 + 6 – 3 = –7
ACTIVIDAD:
Efectuar las operaciones indicadas como sumas algebraicas:
i)
6+3–4+2
ii)
7 – 4 + 5 – 2 + 8 –6
iii)
18 + 13 –16 – 11 + 5 – 7 + 8
58
I.2.5.
SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y REDUCCIÓN DE EXPRESIONES QUE LOS
CONTENGAN
Es cierto que los paréntesis se usan con varios propósitos, por ejemplo para indicar
multiplicación, pero su uso realmente importante es indicar el orden en que debe efectuarse una
serie de operaciones, y así los hemos estado usando, por ejemplo, consideremos el orden que se
muestra en el siguiente diagrama para efectuar las sumas:
33
31
20
17
11
7 + 10 + 3 + 7 + 4 + 2
Recuerda que se debe procede por alturas, primero se atienden las conexiones más bajas,
después las intermedias y así hasta llegar a la más alta, esto mismo se indica con paréntesis como
sigue:
{[(7 + 10) + 3] + (7 + 4)} + 2
Como se sabe, las reglas básicas de jerarquía son:
RP1. Dar primacía a las operaciones que están dentro de los paréntesis
RP2. Si unos de ellos están metidos en otros, se atienden primero los más interiores
Procediendo paso a paso tenemos lo siguiente (compara con el diagrama):
7 +10 +3 +7 +4 +2 = {[(7 +10) +3 ] + (7 + 4) } +2
= {[ 17 +3] +11 } +2
= (20 + 11) + 2
= 31 +2
= 33
59
Ahora bien, se acostumbra ocupar además de los paréntesis otros símbolos de agrupación,
en general los más usados son:
Símbolos de agrupación
paréntesis ( )
corchetes [ ]
llaves { }
Todos ellos tienen la misma función y con excepción de reglas de uso locales que se les
pueden asignar en un aula, su uso es indistinto.
Por ejemplo, hay quienes dicen que los paréntesis deben ir dentro de corchetes y, si es el
caso, éstos deben ir dentro de llaves, pero esto no pasa de ser preferencia de algunos profesores;
lo único cierto es que el uso de diferentes símbolos de agrupación puede hacer más fácil
distinguir el orden en que hay que ir operando y ésta es la razón de que se usen varios tipos de
tales símbolos; por ejemplo, la última expresión se puede escribir como sigue (omitimos la
expresión original):
[{(7 +10) + 3} + (7 + 4)] + 2 = [{17 + 3} + 11] +2
= [20 +11] + 2
= 31 + 2
= 33
Cancelación de símbolos de agrupación.
Las reglas vistas son suficientes para manejar expresiones que contengan símbolos de
agrupación mientras se trabaje sólo con números, sin embargo en el terreno del álgebra eso no
siempre es posible, por ejemplo, es claro que nada se puede hacer con:
[(a + b) – c] – (c – b)
porque no se pueden efectuar las operaciones dentro de los paréntesis, ahora bien, tiene ciertas
ventajas introducir aquí las reglas que serán usadas en álgebra, éstas tienen como fin cancelar los
símbolos de agrupación para poder efectuar operaciones.
Reglas para Cancelar Símbolos de Agrupación.
Aquí k, m, n, p representan números enteros
C1). + (m – n + p) = (m – n + p) = m – n + p
C2). k + (m – n + p) = k + m – n + p
C3). – (m – n + p) = – m + n – p
C4). k – (m – n + p) = k – m + n – p
C5). Si unos símbolos de agrupación están dentro de otros, conviene empezar la
cancelación a partir de los más interiores
Observaciones:
60
•
•
(C1) dice que si al símbolo de agrupación le antecede un signo +, tranquilamente se pueden
omitir éste y los paréntesis, incluso el + puede no estar escrito, es sólo un convenio de
notación.
(C2) se le parece a (1), también le antecede un + a los símbolos de agrupación y se omiten
los paréntesis, pero no se puede omitir el + porque aquí indica suma y no un simple signo
antepuesto al paréntesis, además es un teorema.
•
(C3) tampoco consiste en un simple signo antepuesto al paréntesis, es el inverso aditivo de
una suma algebraica, aunque sólo se le conoce como la regla según la cual, “si al símbolo
de agrupación le antecede un signo ‘–’, el símbolo de agrupación se puede suprimir con la
condición de que se cambie por su opuesto el signo de cada número que esté dentro de los
símbolos de agrupación”. Es un teorema.
•
(C4) se parece a (3) en cuanto a que a los símbolos de agrupación les antecede un ‘–’ y al
efecto de quitar el símbolo de agrupación, pero no se refiere al inverso de una suma
algebraica, sino a una resta, al número k se le está restando una suma algebraica. También
es un teorema.
Como ejemplo ilustrativo veremos la demostración de (C3):
Demostración:
Finalmente la expresión (m – n + p) es un número, y – (m – n + p) es su inverso, por lo que:
(m – n + p) + [– (m – n + p)] = 0
(*)
Por otro lado resulta que: (m – n + p) + (– m + n – p) = 0 (**)
Nos convenceremos de esto último:
(m – n + p) + (– m + n – p) = (m +(– n) + p) + [(–m) + n + (–p)] (teorema de la resta)
= m + (–n) + p + (–m) + n + (–p)
(asociativa)
= m + (–m) + (–n) + n + p + (–p)
(conmutativa)
= [m + (−m) ] + [(–n) + n ] + [ p + (–p)]
(asociativa)
=0+0+0
(propiedad de inversos aditivos)
=0
(asociativa y propiedad del neutro aditivo)
Ahora comparamos (*) y (**), tanto –(m – n + p) como –m + n – p aparecen como inversos aditivos de
(m – n + p) (porque las sumas son 0), como el postulado de los inversos prohíbe que haya dos inversos, debe
ocurrir que: –(m – n + p) = –m + n – p, como se quería demostrar
█
Si prefieres, en vez de la demostración general de C3, puedes seguir el procedimiento con
el ejemplo numérico siguiente:
Deseamos demostrar que – (3 − 4) = −3 + 4
61
Prueba:
La expresión 3 − 4 es un número entero y – (3 − 4) es su inverso aditivo. Luego:
( 3 − 4 ) + [ – (3 − 4 )] = 0 por la propiedad de inversos aditivos.
(1)
Por otro lado, resulta que:
(3 − 4 ) + [ –3 + 4 ] = 0
(2)
En efecto: (3 − 4) + [ –3 + 4] = (3 + (−4)) + [(–3) + 4 =] teorema de la resta
= 3 + (−4) + (−3) + 4 propiedad asociativa de la adición
= 3 + (–3) + 4 + (–4) propiedad conmutativa de la adición.
= [ 3 + (–3)] + [ 4 + (–4)] propiedad asociativa de la adición
= 0 + 0 propiedad de inversos aditivos
= 0 propiedad del neutro aditivo.
Ahora, comparando (1) y (2), tenemos que – (3 + 4 ) y −3 +(−4) serían inversos de
3 + 4, porque sumándole a esto cualquiera de las dos expresiones se obtiene 0, pero un entero no
puede tener dos inversos, así que en realidad deben ser el mismo número, es decir:
– (3 + 4 ) = (–3) + (–4 )
Ejemplo:
Efectuar las siguientes operaciones, tanto con base en la regla del paréntesis como mediante la
cancelación de símbolos de agrupación:
(–7 + 4 – { 1 – (2 – 9)} – [4 – (–10)]) – 6
Primera forma:
(–7 + 4 – { 1 – (2 – 9)} – [4 – (–10)]) – 6 = (–7 + 4 – {1 – (–7)} – [14]) – 6
= (–7 + 4 – {8}– 14) – 6
= – 31
Segunda forma:
Nos limitaremos a cancelar los símbolos de agrupación y al final efectuaremos la suma
algebraica:
(–7 + 4 – { 1 – (2 – 9)} – [4 – (–10)]) – 6 = (–7 + 4 – {1 – 2 + 9} – [4 + 10]) – 6
= (–7 + 4 – 1 + 2 – 9 – 4 – 10) – 6
= –7 + 4 – 1 + 2 – 9 – 4 – 10 – 6
= – 31
ACTIVIDAD:
Efectúa las siguientes operaciones, tanto con base en la regla del paréntesis como
mediante la cancelación de signos de agrupación.
i)
38 + [ 23 – (13 + 10)]
62
ii)
iii)
73 –[ (18 – 14) – (37 – 12)]
45 – [ 34 + { 14 – (13 – 11)}]
I.2.6. ORDEN DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Este apartado se destina a adoptar un acuerdo para decidir cuándo un entero es menor que
otro, y simplemente tomaremos el que estamos empleando desde el principio:
Definición:
Sean dos enteros m y n, para indicar que m es menor que n escribiremos m < n, o
también n > m, y se entenderá como sigue:
m < n significa que existe un entero positivo p tal que m + p = n
Es decir, como en el caso de los naturales, el número menor es al que se le puede sumar
“algo” positivo para que iguale al otro.
Notemos que la definición de resta nos permite escribir el criterio del orden m + p = n en
la forma n – m = p, y sabemos que p es positivo, así que: m < n significa que existe un entero
positivo p tal que m + p = n, pero esto significa que n – m = p, es decir que la diferencia del
número que se dice que es mayor menos la del que se dice menor, debe ser positiva; podemos
anotar esto como otro criterio para ordenar enteros (la definición lo hace mediante la suma, el
siguiente teorema recurre a la resta):
Teorema (TO):
m < n significa que n – m es positivo
Ejemplos:
Definición de orden
Teorema TO
–10 < 3 porque existe 13 tal que –10 + 13 = 3
–10<3 porque 3 – (–10) = 13 es positivo
– 45 < –5 porque existe 40 tal que – 45 + 40 = –5
–45<–5 porque –5– (– 45) = 40 es positivo
3 < 5 porque existe 2 tal que 3 + 2 = 5
3 < 5 porque 5 – 3 = 2 es positivo
Hablando más en general es claro que:
•
Cero es menor que cualquier entero positivo. Lo sabemos desde los naturales.
63
•
Cualquier negativo es menor que cero, porque si se le suma su inverso, que es positivo, se
obtiene cero, por ejemplo: –7 < 0 porque existe 7 tal que –7 + 7 = 0.
•
Finalmente observemos que –2 < –1 porque existe 1 tal que –2 + 1 = –1; también –3
< –2 porque existe 1 tal que –3 + 1 = –2; asimismo – 4 < –3 porque existe 1 tal que – 4 +
1 = –3, etc, si los valores absolutos de dos enteros difieren en 1, el menor es el de mayor
valor absoluto, de tal forma que si los ordenamos de mayor a menor de derecha a izquierda
quedan en la forma: … –4, –3, –2, –1, de hecho se ve que si comparamos dos negativos
cualesquiera es menor el de mayor valor absoluto, digamos, –789456 < –2.
Ahora podemos escribir los elementos de Z de menor a mayor de izquierda a derecha:
Z = { … – 4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, … }
De modo parecido podemos representar a los enteros como puntos de una recta:
–4 –3 –2 –1 0
1
2
3
4
I.2.7 MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Una vez establecidas la suma y la resta de enteros podemos tratar de definir la
multiplicación, otra vez el problema de definir una operación binaria, ¿se recuerdan las partes
importantes de ésta?: el conjunto, en este caso Z; la forma de representarla, aquí retomaremos las
usuales (como los paréntesis) y la que suele ser la difícil, las reglas para obtener el resultado.
¿Cómo conviene multiplicar enteros?, una forma de responder la pregunta es simplemente
retomar la definición bien conocida en la secundaria, en cuyo caso vaya hasta la definición de
multiplicación dada líneas adelante: otra forma de contestar es pensar el problema a la luz de lo
que sabemos de la multiplicación de naturales, para esto sigue en los párrafos de letra pequeña.
Que en cada aula se decida lo que consideren conveniente.
Consideremos los siguientes casos:
•
Dos enteros positivos: (4) (3). Lo razonable es multiplicarlos como naturales:
(4) (3) = 12
•
Un entero negativo y otro positivo: (– 4) (3). Podemos recurrir a una conocida propiedad de la multiplicación
de naturales, por ejemplo: (4) (3) es igual a sumar el cuatro tres veces, es decir:
(4) (3) = 4 + 4 + 4 = 12, la aplicación de esta idea a nuestro ejemplo resulta muy natural:
(– 4) (3) = (– 4) + (– 4) + (– 4) = –12
•
Pero no pasa lo mismo con (4) (–3), ¿sumar el cuatro menos tres veces?, no parece que se pueda aplicar la
misma idea. Pero podemos recurrir a otro criterio, es deseable que la multiplicación sea conmutativa, como en
el caso de los naturales, entonces se debe tener:
4 (–3) = (–3) 4 = –12, es decir también obtendríamos: 4 (–3) = –12
64
•
Ahora dos negativos, digamos, (– 4) (–3), este caso es menos fácil, pero podemos combinar dos ideas
empleadas antes: por un lado usar los casos para los que ya tenemos una respuesta y por otro considerar la
conveniencia de que se cumplan para la multiplicación de enteros propiedades que tiene la multiplicación de
naturales, pero ahora tendremos en cuenta la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma,
recordémosla:
a(b + c) = ab + ac.
Un “truco” que da buen resultado es el siguiente: calculemos, por ejemplo:
–4(–3 + 5)
Una forma es con la regla del paréntesis: –4(–3 + 5) = –4 ( 2) = –8 (segundo caso).
Otra forma sería la propiedad distributiva, si se ha de cumplir tendríamos:
(–4)(–3 + 5) = (–4)(–3) + (–4)(5) = (–4) (–3) + (–20) = – 8
(a)
(a)
(c)
(d)
(b)
(b)
(c)
(d)
Sería la propiedad distributiva si ha de funcionar para los enteros.
Sería un resultado de acuerdo al segundo caso que examinamos antes.
Es lo que debe resultar porque ya lo obtuvimos con la regla del paréntesis.
Para que en efecto se obtenga (d) el producto de (–4)(–3) debe se 12, es decir, lo que indica este
ejemplo es que lo conveniente es que: (–4) (–3) = 12
(4)(3) = 12
(–4)(–3) = 12
En resumen
(–4)(3) = –12
(4)(–3) = –12
No parece difícil sintetizar esto en unas reglas, se podrá notar que la multiplicación por cero requiere su
propia regla, así obtenemos la siguiente:
Definición de Multiplicación de Enteros:
El producto de dos enteros se calcula como sigue
M1. En cualquier caso se multiplican los valores absolutos de los factores
M2. Si los factores son del mismo signo, el producto buscado es el obtenido en M1
(por lo tanto es positivo), y si son de signos contrarios es el inverso de ése (por
lo tanto es negativo).
M3. Si m es cualquier entero:
m · 0 = 0 y también 0 · m = 0
Nótese que la segunda regla es la bien conocida “regla de los signos”:
(+) (+) = +
(–)(–) = +
(–)(+) = –
Sin embargo con frecuencia todo lo demás no se tiene muy claro.
(+)(–) = –
65
Esta definición es bastante simple comparada con la de la suma, también es más fácil
demostrar que se cumplen todas las propiedades de la multiplicación de naturales y una más, pero
aquí nos limitaremos a enunciarlas brevemente:
Ejemplos:
a.
b.
c.
d.
(+4)(+2) = +[ ⎢+4 ⎢· ⎢+2⎢] = + [ 4 · 2] = +8
(–5)·(–2) = + [ ⎢–5 ⎢·⎢–2 ⎢] = + [ 5 · 2] = +10
(–2)·( 7 ) = – [⎢–2 ⎢· ⎢ 7 ⎢] = – [ 2 · 7] = –14
( 6 )·(–8) = – [ ⎢ 6 ⎢· ⎢–8 ⎢] = – [ 6 · 8] = – 48
I.2.8. PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
M1. Propiedad de cerradura:
Si m, n, son dos enteros cualesquiera, entonces m·n es un entero
M2. Propiedad conmutativa:
Si m, n, son dos enteros cualesquiera, entonces m·n = n·m
M3. Propiedad asociativa:
Sean m, n y p enteros cualesquiera, entonces m·n·p = (m·n)·p = m·(n·p)
M4. Existencia y unicidad de neutro multiplicativo
Sea m un entero cualesquiera, entonces:
1 es el único entero con la propiedad de que 1·m = m y también m·1 = m:
M5. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma
Para tres enteros cualesquiera m, n y p se cumple que:
m·(n + p) = m·n + m·p
La propiedad que se agrega es:
M6. Propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la resta
Para tres enteros cualesquiera m, n y p se cumple que:
m·(n – p) = m·n – m·p
Demostración de M6
m · ( n – p) = m · ( n + (– p) ) = m · n + m · (–p) = m · n + (–(m·p)) = m · n – m · p
TR
M5
regla de los signos
TR
█
66
I.2.9. SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN Y REDUCCIÓN DE EXPRESIONES QUE LOS
CONTENGAN
Este es un tema visto antes, aquí se complementa agregando la multiplicación, el manejo
de tales expresiones sigue siendo posible con la regla del paréntesis, agregando la jerarquía entre
multiplicación por un lado, y suma y resta por el otro:
La multiplicación es de mayor nivel que la suma y que la resta, estas últimas son del mismo
nivel. La operación de mayor nivel se efectúa antes que las de menor nivel. Las del mismo
nivel se efectúan en el orden en que estén escritas, de izquierda a derecha.
×
+
-
Ejemplo:
–[–(–7 + 1) + 4(2–6) – 2(–3 – 5)] = –[–(–6) + 4(–4) – 2(–8)]
= –[6 + (–16) – (–16)]
= –[6 – 16 + 16]
= –[6]
= –6
Vale la pena señalar que el paso de la segunda expresión a la tercera (respecto al signo
“=”) consistió en efectuar las multiplicaciones independientemente de la suma y de la resta; el
paso de la tercera a la cuarta es el TR.
Como antes se dijo, en general, no es posible aplicar este procedimiento en álgebra,
asimismo, conviene introducir ya el que resulta pertinente. Recordemos que el otro
procedimiento se basa en cancelar primero todos los símbolos de agrupación y al final efectuar la
suma algebraica resultante; para hacer esto se aplican las mismas reglas vistas antes y se agregan
las distributivas respecto a la suma y a la resta.
Ejemplo:
–[–(–7 + 9) + 4(2+6) – 2(–3 – 5)] = –[7 – 9 + 8 + 24 – (–6 – 10)]
= –[7 –9 + 8 + 24 + 6 + 10]
= –7 + 9 – 8 – 24 – 6 – 10
= –46
67
Los paréntesis de la segunda expresión se introducen porque se aplicó M5 y M6
independientemente de la suma y de la resta; primero se multiplica y luego se suma y se resta, en
el interior de los paréntesis están los correspondientes productos, los que ahora si hay que sumar
y restar, es lo que se hace en la tercera expresión.
ACTIVIDAD:
Realiza las operaciones indicadas en esta última forma, es decir, elimina los símbolos de
agrupación multiplicando (propiedad distributiva), después efectúa las sumas y las restas.
i)
–(7 – 5) + 3(–7– 8)
ii) ( 11–7 ) – (15 –22)
iii) –3(–1 – 6) – ( – 9 – 2)
iv) – {–[ 2 – (–3 –4) – 7] –8}– 12
I.2.10.
DIVISIBILIDAD
División de Enteros
Después de haber visto tres de las cuatro operaciones básicas, es natural abordar la cuarta;
podemos empezar de inmediato con un intento de definición sin mucho detalle, la idea es
conservar la definición que ya se ha intentado con los naturales (sin mucho éxito):
Sean dos enteros m y n, dividir m entre n se indica en la forma m ÷ n y su regla es la
siguiente:
m ÷ n = c significa que n·c = m
Pero de inmediato se ve que la presunta definición no es satisfactoria, en efecto, sólo se
aplica en algunos casos, así que seguimos como con los naturales, pero esta vez trataremos de ir
más allá y exploraremos algunas de las cosas que se pueden decir para los casos en los que sí se
puede efectuar la división, que dicho sea de paso, resulta ser una gran cantidad de cosas, de las
que sólo diremos unas pocas palabras.
¿Cuándo decimos que puede efectuarse la división m ÷ n ?, cuando existe aquél número
entero c tal que n·c = m, si hay tal entero c es natural decir que n divide a m y otras frases
parecidas, de aquí las siguientes:
Definiciones.
Si m y n son números enteros, y si existe otro entero c tal que n·c = m, entonces
decimos que n divide a m, o que m es divisible entre n.
También se dice que n es divisor de m y que m es múltiplo de n.
68
Cabe hacer una aclaración acerca de los nombres, estamos hablando de multiplicaciones
como 8·6 = 48 (n·c = m) y ya se dijo hace mucho que 8 y 6 (n y c) se llaman factores de 48 (m),
y ahora les hemos puesto otros nombres:
Factores de 48
producto de 8 y 6
8 · 6 = 48
Divisores de 48
múltiplo de 8 y 6
En efecto los números participantes en una multiplicación tienen todos esos nombres,
pero mientras que los de arriba se usan cuando se multiplican cualquier clase de números, los de
abajo se emplean sólo cuando se trata de números enteros.
Vamos a escribir algunos otros divisores de 48 y también algunos múltiplos suyos:
Divisores
de 48
–2
–1
¿0?
1
2
12
24
48
porque existe el c dicho
(el número en negritas es c)
(–2)(–24) = 48
(–1)(– 48) = 48
(0)(¿qué número?) = 48
(1)(48) = 48
(2)(24) = 48
(12)(4) = 48
(24)(2) = 48
(48)(1) = 48
Múltiplos
de 48
– 96
– 48
0
48
96
144
192
240
porque existe el c dicho
(el número en negritas es c)
(48)(–2) = –96
(48)(–1) = – 48
(48)(0) = 0
(48)(1) = 48
(48)(2) = 96
(48)(3) = 144
(48)(4) = 192
(48)(5) = 240
Observaciones:
• Para un número dado existen divisores y múltiplos negativos y positivos.
• ¿Ya se ve que 0 no puede ser divisor de algún entero diferente de 0?
• El 1 por el contrario es divisor de cualquier número.
• A partir de la fila vacía se ve una forma de generar una buena cantidad de múltiplos de un
número, basta multiplicarlo por algún natural.
Por otra parte, también se puede observar que si un número n (por ejemplo 2) divide a un
número m (por ejemplo 48), también (–1)(n) (por ejemplo (–1)(2) = –2) divide a m (en nuestro
ejemplo a 48), esto hace que todo lo que se diga acerca de divisibilidad de los positivos resulte
69
válido para los negativos, así que, para simplificar las cosas, de aquí en adelante sólo nos
ocuparemos de lo relativo a divisibilidad de números no negativos.
Para hacer otras observaciones comienza por llenar la siguiente tabla, para cada número
de la primera columna, encuentra todos sus divisores (positivos) y sus primeros cinco múltiplos
(positivos):
número
1
2
3
4
5
8
9
10
11
12
divisores (o factores)
múltiplos
Como se ve: es posible escribir todos los divisores, pero sólo se pueden escribir algunos
múltiplos; ciertos números tienen sólo dos divisores mientras que otros tienen más; el 1 no está
en un caso ni en otro; haremos las siguientes:
Definiciones:
Si un entero (positivo) tiene exactamente dos divisores (positivos), 1 y el mismo
número, se dice que es un número primo, si tiene más de dos (positivos) se le llama número
compuesto. Como 1 no está en ninguno de los dos casos no pertenece a ninguna de las dos
clases.
Si un entero se expresa como producto de otros diferentes de él mismo, diremos que se ha
factorizado, queda claro entonces que sólo se pueden factorizar los compuestos, un entero puede
tener varias factorizaciones diferentes, en particular todos los factores pueden ser números
primos, en tal caso diremos que ésta es una factorización prima, al respecto tiene lugar el
siguiente teorema (omitimos la demostración).
Teorema Fundamental de la Aritmética:
Todo número compuesto tiene exactamente una factorización prima. Las
factorizaciones que sólo difieren en el orden de los factores se consideran la misma
factorización.
70
Ejemplos:
Diferentes formas de factorizar un número
24 = 2 ×12
24 = 3 ×8
24 = 4 ×6
24 = 2 ×3 ×4
24 = 2 ×2 ×6
24 = 2 ×2 × 2 ×3 ( Factorización prima )
24 = 23 ×3
100 = 2 ×50
100 = 4 ×25
100 = 5 ×20
100 = 2 ×2 ×25
100 = 2 ×2 ×5 × 5 ( Factorización prima )
100 = 22 ×52
MÁXIMO COMÚN DIVISOR Y MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
Un número entero puede ser divisor de varios números dados, en tal caso se dice que es su
divisor común (o su común divisor); de la misma forma un número puede ser múltiplo de varios
números dados, entonces se dice que es su múltiplo común (o su común múltiplo); de entre los
divisores de un número habrá uno que es el mayor; éste recibirá el nombre de máximo común
divisor de los números dados; análogamente, al menor de los múltiplos de los números dados se
le llama mínimo común múltiplo de ellos.
Definiciones:
Al mayor divisor común de varios números se le llama máximo común divisor de
ellos, y es el mayor entero que los divide (exactamente) a todos (mcd).
Al menor múltiplo común de varios números se le llama mínimo común múltiplo de
esos números, y es el menor entero divisible (exactamente) entre cada uno de ellos (mcm).
Ejemplos
Número
60
48
1
1
2
2
3
3
4
4
5
6
6
8
10
12
Divisores
12 15 20
16 24 48
30
60
71
Hemos resaltado los divisores comunes: 1, 2, 3, 4, 6, 12
El máximo común divisor es: 12 y se abrevia mcd(60, 48) = 12
Análogamente:
Número
8
8
6
6
16
12
24
18
32
24
45
30
54
36
Algunos múltiplos
56 64 72 80 ⋅ ⋅ ⋅
42 48 54 60 66
72
78 ⋅ ⋅ ⋅
Resaltamos los múltiplos comunes: 24, 54, 72, ...
El mínimo común múltiplo es 24, se abrevia mcm(8, 6) = 24
Bueno, pero va a ser muy incómodo que para encontrar el mcd o el mcm de números
dados estemos haciendo la tabla, cuando sean varios números y además grandes va a ser un
embrollo. En realidad hay un procedimiento bien conocido para determinar el máximo común
divisor de un conjunto de números, se hace lo siguiente lo siguiente:
1. Se factorizan cada uno de los números dados en sus factores primos.
2. Se multiplican los factores comunes de menor exponente, el producto es el mcd
buscado.
Ejemplos:
1. El máximo común divisor de 400 y 360
400 = 2 ×200
= 2 ×2 ×100
= 2 ×2 ×2 ×50
= 2 ×2 ×2 ×2 ×25
= 2 ×2 ×2 ×2 ×5 ×5
400 = 24 ×52
360 = 2 ×180
= 2 ×2 ×90
= 2 ×2 ×2 ×45
= 2 ×2 ×2 ×3 ×15
= 2 ×2 ×2 ×3 ×3 ×5
72
360 = 23 ×32 ×5
También acostumbra escribir esto en la siguiente forma:
400
200
100
50
25
5
1
2
2
2
2
5
5
400 = 2452
360
180
90
45
15
5
1
2
2
2
3
3
5
360 = 23325
Obsérvese que los factores comunes de 400 y 360 son el 2 y el 5, de estos factores se
toman los de menor exponente y se multiplican entre sí.
m.c.d. ( 400, 360 ) = 23 × 5 = 40
40 es el máximo común divisor de 400 y 360.
2. El máximo común divisor de 15, 81 y 9
15 = 3 ×5
81 = 3 ×27 = 3 × 3 × 9 = 3 × 3 × 3 × 3 = 34
9 = 3 × 3 = 32
El factor común de 15, 81 y 9 es el tres, tomamos el de menor exponente, luego entonces:
mcd ( 15, 81, 9 ) = 3
3. El máximo común divisor de 56, 128, 34 y 76:
56 = 2 × 28 = 2 ×2 × 14 = 2 × 2 × 2 × 7 = 23 × 7
128 = 2 × 64 = 2 × 2 × 32 = 2 × 2 × 2 × 16 = 2 × 2 ×2 × 2 × 8 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 4
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 27
34 = 2 × 17
76 = 2 ×38 = 2 × 2 × 19 = 22 × 19
El factor común de 56, 128, 34 y 76 es el dos, tomamos el de menor exponente, luego
entonces:
mcd ( 56, 128, 34, 76 ) = 2
73
Para determinar el mínimo común múltiplo de un conjunto de números, haremos lo
siguiente:
1. Se factorizan cada uno de los números dados en sus factores primos.
2. Se multiplican los diferentes factores de mayor exponente.
Ejemplos
1. El mínimo común múltiplo de 40 y 36
40 = 2 × 20 = 2 × 2 × 10 = 2 × 2 × 2 × 5 = 23 × 5
36 = 2 ×18 = 2 × 2 ×9 = 2 ×2 × 3 × 3 = 22 × 32
m.c.m ( 40, 36 ) = 23 × 32× 5 = 360
2. El mínimo común múltiplo de 15, 81 y 9
15 = 3 ×5
81 = 3 × 27 = 3 ×3 ×9 = 3 ×3 × 3 × 3 = 34
9 = 3 ×3 = 32
mcm ( 15, 81, 9 ) = 34 ×5 = 405
3. El mínimo común múltiplo de 56, 12, 34 y 76
56 = 2 ×28 = 2 ×2 ×14 = 2 ×2 × 2 ×7 = 23 ×7
12 = 2 ×6 = 2 ×2 ×3 = 22 ×3
34 = 2 ×17
76 = 2 ×38 = 2 ×2 ×19 = 22 ×19
mcm ( 56, 128, 34, 76 ) = 23 ×3 ×7 ×17 ×19 = 54264
ACTIVIDAD:
Determine el máximo común divisor de:
i)
45, 30 y 60
ii)
175, 245 y 315
iii)
81, 54 y 189
Determine el mínimo común múltiplo de:
i)
18, 36 y 40
74
ii)
200, 120 y 360
iii)
60, 100 y 260
I.2.11. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS ENTEROS
Resumen:
El sistema de los números enteros, indicado en la forma (Z, +, · , <) está
constituido con las siguientes partes:
I)
El conjunto Z
II) Dos operaciones con números enteros llamadas adición (+) y multiplicación (.)
III) Cualesquiera que sean los números enteros a, b, c se cumplen las siguientes
propiedades:
Propiedad
Cerradura
Conmutativa
Asociativa
Existencia y
unicidad de
neutro aditivo y
multiplicativo
respectivamente
Existencia y
unicidad del
inverso aditivo.
Distributiva de .
respecto a +
Operación Suma ( + )
m + n es un entero
m+n=n+m
m+ n+ p = (m+n)+p = m+(n+p)
0 es el único natural con la
propiedad de que m + 0 = m
y también 0 + m = m
Operación Multiplicación
(.)
m ⋅ n es un entero
m⋅n=n⋅m
m⋅n⋅p = (m⋅n)⋅p = m⋅(n⋅p)
1 es el único entero con la
propiedad de que m⋅1= m
y también 1· m = n
Cada entero tiene exactamente
un inverso aditivo, que
también es un entero: el
inverso de n es – n y el inverso
de – n es n.
m ⋅ (n + p) = m ⋅ n + m ⋅ p
.
IV) El orden en Z
m < n significa que existe un entero positivo p tal que m + p = n
75
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN I.2
1.- ¿Qué es el inverso aditivo de un entero?
2.- ¿Es 0 (cero) un entero positivo?, ¿ por qué?
3.- ¿Cómo deben ser dos enteros para que su suma sea el neutro aditivo?
4.- ¿Cómo debe ser un sumando para que la suma sea igual al otro sumando?
5.- Completa la tabla de ejercicios y contesta:
+ −4 −2 0
−5
−4
0
2
3
5
3
5
a) ¿Es la suma de dos números un entero?
b) El resultado que se obtiene en la suma de −4 con 3 es la misma que se obtiene al sumar 3
con –4, es decir, − 4 + 3 = 3 + (− 4)?
c) ¿Cuál es la propiedad de la suma que te permite cambiar el orden de los sumandos?
d) El resultado que se obtiene efectuando (2 + 3) + ( −4) es el mismo que se obtiene al sumar
2 + [3 + (−4)] ?
e) ¿Recuerdas el nombre de la propiedad que te permite reagrupar de diversas maneras
varios sumandos y obtener el mismo resultado?, ¿cuál es?
f) ¿Qué conclusión puede sacar de los resultados –5 + 0 ; −4 + 0; 0+0 ; 2+0 y 3 + 0 ?
6.- Halla el inverso aditivo de cada uno de los siguientes números .
a) –7
b) h
c) − m
7.- Si el opuesto de un cierto número es negativo, ¿qué puedes decir de ese número?
8.- ¿Qué es el valor absoluto de un entero?
9.- Determina el valor absoluto de los siguientes números empleando la definición de éste.
a) –15
c) − m
b) b
d) −17
10.- Determina si es verdadera o falsa cada una de las siguientes proposiciones:
a) ⏐−h⏐= h
b) −⏐7⏐= 7
76
c) −0 = ⏐0 ⏐
11.- Expresa las siguientes sumas de enteros como una suma algebraica:
a) 5 + (−3) + 8 + (−9) + (−2) + 1
b) 6 + (−4) + (−3) + 7 + (−5)
c) 7 + 3 +(−6) + (−9) + 8 + (−12)
d) (−5) + 4 + (−8 ) + (−3) + (−15) + 25
12.- Expresa las siguientes sumas algebraicas como una de enteros:
a) 4 – 3− 2 + 7 –1
b) –6 + 8 – 9 –12 +10
c) 7 – 9 + 10 – 6 – 8 + 9
d) 13 + 7 – 9 – 4 + 8 – 6
13.- Indica las siguientes restas como un suma de enteros:
a) 19 – 8 =
b) m – n
c) 9 – h
d) x – 8
14.- Encuentra la suma de enteros.
a) 27 + (− 62) + (− 15 ) =
b) (− 27) + (− 16) + (18 ) =
c) 116 + 24 + (−12 ) =
d) –126 + (−54 ) + 136 =
e) 92 + (−18 ) + 54 =
15.- Encuentra el valor que falta en las siguientes sumas:
a) 27 +
+ ( −15) = −36
b) –16 + 54 + 18 =
= 12
c) −126 + ( −54) +
d)
+(−86) + 66 = − 42
a) 92 + (−18 ) + 54 =
16.- Encuentra la suma de los siguientes enteros:
a) –9 + (–11 ) =
c) –19 + 27 =
e) – 13 + ( – 47 )
b) – 24 + 0 =
d) – 26 + ( – 23 ) =
17.- Miguel compra 120 naranjas a $ 6.00 la docena y las vende a $ 1.00 cada naranja. Si se le
dañaron 35 naranjas, ¿A cuánto asciende la ganancia o la pérdida?
18.- Si Rubén es mayor que Fernando y Alberto es mayor que Rodrigo, sabiendo que Fernando y
Alberto son mellizos ¿cómo es Rubén con respecto a Rodrigo?
19.- Evalúe cada expresión si x = –3 , y = 6 , y z = – 11.
a) x + y + ( – 1)
b) – z + (– 8) + y
c)
d)
–23 + x + z
1 + (– y) + z
e) –15 + (–x) + y
f) –¦x + y + (–8)¦
77
20.- Los siguientes son resultado de algún examen de admisión de una universidad cuyo sistema
de calificación establece que por cada dos respuestas malas se anule una buena.
CARMEN
1 V 11
2 V 12
3 V 13
4 X 14
5 V 15
6 V 16
7 X 17
8 V 18
9 V 19
10 V 20
X
V
V
V
X
X
V
V
V
X
FEDERICO
1 v 11
2 v 12
3 X 13
4 X 14
5 X 15
6 v 16
7 X 17
8 v 18
9 v 19
10 v 20
X
v
v
v
X
v
v
X
X
v
COSME
1 X 11
2 X 12
3 X 13
4 X 14
5 v 15
6 v 16
7 v 17
8 X 18
9 v 19
10 X 20
X
X
v
v
X
X
v
v
X
X
ARTURO
1 v 11
2 v 12
3 X 13
4 X 14
5 X 15
6 X 16
7 v 17
8 v 18
9 v 19
10 X 20
X
X
X
v
X
X
v
v
X
X
HUGO
1 X
2 X
3 X
4 X
5 X
6 X
7 v
8 X
9 X
10 X
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
v
X
v
v
X
X
X
X
X
X
EFRAIN
1
v
2
v
3
v
4
X
5
v
6
X
7
v
8
X
9
v
10
v
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
v
v
X
v
X
v
v
v
X
X
a)
Si solamente son admitidos los aspirantes por encima de 5 puntos, ¿quiénes lograron
ingresar a la universidad?
b)
¿Quiénes de ellos sacaron un puntaje negativo?, ¿ cuál fue ese puntaje?
c)
Ordena los puntajes obtenidos en orden descendente.
d)
¿Es posible que un aspirante pueda obtener como puntaje 0? Explica.
e)
¿Cuál es el puntaje más alto y más bajo que puede sacar una persona que presente el
examen de admisión?
f)
¿Pueden dos personas obtener el mismo puntaje y sin embargo no tener el mismo
número de respuestas buenas y malas? Explica.
21.- Completa la siguiente tabla de resta y con base en ella
responde :
a)
¿Es siempre la diferencia de dos números
enteros otro número entero?
b)
¿Son iguales los resultados que se obtienen al
restar 3 de 5 que 5 de 3?
c)
¿El resultado que se obtiene de la operación
(5–3)–(–2) es el mismo que se obtiene al
resolver 5 − [3 − (− 2)] ?, ¿qué puedes deducir de
esta observación?
d)
¿Existe un elemento neutro para la resta en Z?
– –4
–5
–4
0
3
5
–2
0
3 5
78
22.- Indica entre renglón y renglón qué propiedad de la suma o producto justifica el paso de una
expresión a otra.
5 + [ 3 + (–2)] 3 + 5 (–1) + 2 (3) =
= 5 + 9 + (–6) + 5 (–1) + 2 (3)
= 5 + 9 + (–6) + (–5) + 6
= 5 + 9 + (–5) + (–6) + 6
= 5 + (–5) + 9 + (–6) + 6
= [ 5 + (–5)] + 9 + [ (–6) + 6]
=0+9+0
= [ 0 + 9] + 0
=9+0
=9
23.- Clasifica como verdadera o falsa cada una de las siguientes afirmaciones explicando la
razón de la elección.
a) La suma de dos enteros positivos es siempre un entero positivo.
b) La suma de dos enteros negativos es algunas veces un entero positivo.
c) La resta de dos enteros positivos es siempre un entero positivo.
d) La resta de dos enteros negativos es otro entero negativo.
24.- Determina el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones. Argumenta tu
respuesta usando la definición de la relación de orden.
Proposición
–5 > 3
–8 < –8
4 > –2
0<7
0 > –10
Verdadera o falsa
Justificación
25. Efectúa las siguientes operaciones:
a) 19 –(–1)–(–6)
b) 24 –(–5)–(–12)
c) –152 – ( – 241) – (–13)
d) 20 – 19 –(–7)
e) 12 – 7 – 1 – (–8 )
f) 263 – (– 259) – ( – 13 )
g) –9–7–3
h) 6– (–6) – 6 –(–6)
i) 277 – ( –5 ) – (– 7) + 8
26.- Suprime los paréntesis y luego calcula:
a) 8 – (2 + 4)
b) 25 – ( – 15 + 2 + 4)
c) (7 – 8 + 11) – (– 6 – 7 )
d) –7 – (1 + 7 + 9)
e) (7 – 8) – (7– (– 8 ) )
f) 8 – 7 – (4 + 8 – (–6) )
g) –1– ( – 3 + 7) – 8
h) – (– 6 – 5 + (– 4) )
i) – (11 – 7) – (12 – 9)
79
27.- Elimina el símbolo de agrupación operando según se indica en el encabezado de la tabla.
Operación
Si hacemos primero la Si hallamos los inversos
operación
dentro
del aditivos de cada entero dentro
paréntesis , obtenemos:
del paréntesis, obtenemos:
4 – (7 – 4 – 5 )
2 – (8 –11)
1 – (11 + 6 + (–4))
28.- En los ejercicios siguientes resta el primer número del segundo.
a) 10 de 13
b) –30 de –18
c) 891 de 274
d) –774 de –568
e) –9 de –2
f) 540 de –263
29.- Encuentra el número que hace verdadera a la igualdad correspondiente :
a)
b)
c)
d)
e)
30.-
– 27 – 6 –
= 15
–54 – ( +17) + ( –12) =
– 6 – 30 –
= – 16
– 54 – (–16) = 20
–219 –167 =
Resuelve las operaciones indicadas:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
11 + 9 + (–8) + (–15) + 24
190 + (–130)+ (–218) + 100
(–450) + (–678) – (–789)
–106 – (– 95)
(54 – 67) – (77 + 54)
18 – 14 + 15 + 7 – 26
g) 21 + (–20) + 12 + (–15) + 9
h) 1989 + ( – 2 345) + 3 189
i) 98 – (–123) – (– 100 ) + 434
j) 195 – (– 87)
k) – 6 – 19 + 4 – 8 + 20
l) (13 + 65) – ( 78 – 80)
31.- Determina el valor de las siguientes expresiones.
b) ⏐9 ⏐
c) ⏐– 6 – 8⏐
d) ⏐ 7 + (–2) ⏐+ ⏐–9 ⏐ – ⏐11⏐
a) ⏐–8⏐
32.- Encuentra el valor o los valores de “x” para los cuales:
a) ¦x¦= 5
b) ¦x¦=12
c) ¦x + 5¦= 7
d) ¦x –3¦= 10
80
33.- Completa con números el siguiente cuadro mágico, si la suma de sus filas, sus columnas y
sus diagonales es de –10.
5
–2
–9
2
0
–3
–4
–7
–10
34.- Completa con números el siguiente cuadro mágico, si la suma de sus filas, sus columnas y
sus diagonales es la misma. Suponiendo que la suma es –2.
4
–6
–7
2
–3
–8
5
–5
35.- En una estación meteorológica la temperatura que se registra a las 6 p.m. es de – 8°C. De las
6 a 9 p.m., la temperatura se incrementó en 12° C. ¿Cuál es la temperatura a las 9 p.m.?
36.- Ordena en forma ascendente:
a) -89 , 0 , 15 , -36 , 120
c) 234 , - 234 , 54 , -54 , -76 , 0
b) –4 , 0 –10 , 7 , 4 , 9
d) 54 , -23 , -12 , -9 , 8 , 2
37.- Escribe cada lista de enteros en forma descendente.
a) –1 , – 9 , – 5 , 0 , – 4
b) –11 , 0 , 7 , – 10 , 2 , – 8
c) –3 , – 5, 3 , 1 , –10
d) –5 , 8 , –1 , – 6 , 6 , 2
38.- Nabucodonosor II , Rey de Babilonia , reinó de – 605 a – 562 , él destruyó Jerusalén en –
586. ¿Cuál fue la duración de su reinado?
81
39.- Escribe el símbolo de desigualdad
proposiciones.
a) –6
c) –8
e) –8
g) 6
o igualdad que corresponda en las siguientes
–2(3)
– (– 4)
–4
– (– 6 )
b)
d)
f)
h)
–9
0
–15
–21
–12
– (– 6)
– (–15)
– 27
40.- Completa las siguientes proposiciones:
a) Cualquier entero positivo es _____________________que cero.
b) Cualquier entero negativo es ____________________que cero.
c) Cualquier entero positivo es _____________________que cualquier entero negativo.
41.- Efectúa las operaciones indicadas eliminando los signos de agrupación.
a ) 40 + [25 − (3 + 2)]
b) 60 + [(4 + 2) − 5]
c) [8 + (4 − 2)]+ 29 − ( 3 + 1) =
d) [(6 − 4) − (3 − 2)] − [(9 − 7) − ( 6 − 5)]=
e) 8 + [9 − {6 − (5 − 4)}] + 14 − {11 − [7 − (3 − 2)]} =
f) (15 − 7) + (6 − 1) − (9 − 6) + (19 + 8) − (3 − 1) + (4 + 5) =
g) 520 + [8 − 3 + {9 − (4 + 2 − 1)}] =
h) 11 − [− 12(3 + 1)] + {− (−1)(−2)[(7 − 11)(−3)]} =
i) 8 − {4 − (− 2 )[3(8 − 11) + (9 − 11)]} =
j) 5 + [3 + (− 2 )]3 + 5(−1) + 3(3) =
42.- Efectúa las siguientes multiplicaciones.
a)
b)
c)
d)
e)
(– 5) (– 6) (8 ) (–3)
(–7) (9)
(–6) (2)
(–1) (–2) (–20)(40)
(−178) (-413)
f)
g)
h)
i)
(6 )( 8)
(– 9 ) (– 6)
(20) (– 1)
(–11)(–3)(–1)(8)(–2)(0)
j) (7) ( – 9)
k) (7 )(– 3) (–1)
l) (23971)(0)
m) (– 4)(–3)(2 )(–1)
43.- Deduce un procedimiento para multiplicar un número cualquiera por 11, 101 , 1 001 , etc, y
úsalo para calcular los siguientes productos:
a) 46 × 11
e) 64 × 101
b) 381 × 101
f) 392 × 10 001
c) 369 × 1 001
g) 101 × 101
d) 73 × 11
h) 115 × 100 001
82
44.- Halla el valor de las siguientes expresiones:
a) [– 4 × ( –3 + 11)] × (–1)
b) –50 + ( –11 + (–2) × 6 + 4 × 5 )
c) –5 × ( –3 + 7 – 9) + 7 × [ 6 – 4 × ( –3)]
d) (–2 ) × (–5) – [ (–2 + 7) – (–5 –8) ]
45.- Completa la siguiente tabla de multiplicación y con base en los resultados obtenidos contesta
las siguientes preguntas:
X ... -3 -2 -1 0
... Sección II
-3
-2
-1
Sección III
1
2
3
...
Sección I
Sección IV
0
1
2
3
...
46.-
a) ¿Tiene cada resultado de la sección I un opuesto
o inverso aditivo en la sección II?
b) ¿Cuál es el signo de todos los resultados en la
sección II?
c) Verifica los resultados de la sección II con
calculadora.
Observa nuevamente la tabla y responde:
a) ¿Cuál es el signo de todos los resultados de la
sección III de la tabla?
b) ¿Puedes explicar por qué los productos son los
mismos en las secciones II y IV?
c) Verifica los resultados de la sección III con
calculadora.
La propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta es útil en la
elaboración de cálculos mentales;
Observa:
347 × 9 = 347 × ( 10 – 1) = 3 470 – 347 = 3123
4 211 × 99 = 4 211 × ( 100 – 1) = 421 100 – 4 211 = 416 889
47.- Halla el valor del número que reemplaza la letra e indica la propiedad de multiplicación
utilizada.
a) (-6) (2) = b b) 5a = (3) (5)
e) –6 r = 24 f) 7y = 49
c) – 8b = – 8
g) (s+2)5 = –25
d) 5(d + (–2)) = –10 + (–10)
h) 2 (3 + 3m) + (–5) ( m + 1) = 0
48.- Plantea los productos que se deducen de los siguientes enunciados:
a) Un cuervo recorre 88 kilómetros en un hora, ¿cuántos kilómetros recorrerá en un día?
b) Un caballo que recorre 72 kilómetros en una hora, se encuentra en el punto 0 y se
desplaza hacia el Oeste. ¿Dónde se hallaba el caballo hace tres horas?
49.- Discute si se cumplen o no las siguientes propiedades para la división de enteros. Si no se
cumplen presenta un ejemplo que lo demuestre.
a) Cerradura
b) Asociativa
c) Conmutativa
83
50.- Observa y completa la siguiente tabla.
1
2
3
4
5
6
7
5 × 2 = 10
– 4 × 2 = –8
– 2 ÷ 2 = −1
– 6 ÷ 2 = −3
2×2=4
Por lo tanto
Por lo tanto
Por lo tanto
Por lo tanto
Por lo tanto
Por lo tanto
Por lo tanto
10 ÷ 2 = 5
20 ÷ (– 2 ) = –10
– 15 ÷ 3 = −5
51.- Responde las siguientes preguntas que hacen referencia al cero dentro de la división:
a) ¿Puedes encontrar un número que multiplicado por 40 te dé 0?. Indica la división que se
deduce de esta pregunta.
b) ¿Puedes encontrar un número que multiplicado por 0 te dé 40? ¿Tiene 40 ÷ 0 solución?
c) Ensaya la división de otros números por 0. ¿Es posible la división?
d) ¿Puedes nombrar números que multiplicados por 0 te den 0?¿Qué puedes decir de la
división 0 ÷ 0 ?
52.- Efectúa cada una de las siguientes divisiones:
0 ÷ 28
0÷0
8÷0
0 ÷ (−50)
(−50) ÷ 0
53.- Efectúa las siguientes divisiones:
a) – 48 ÷ 6
b) –924 ÷11
c) 432 ÷9
d) –276 ÷ (–4 )
e) 364 ÷ (– 52 )
f) 625 ÷ (– 5 )
g) 705 ÷ (– 5 )
h) –108 ÷ (–12 )
i) 4 872 ÷ (– 4)
j) –3 ÷ (–1 )
k) 216 ÷ (– 24 )
l) – 6 773 ÷ (– 521)
54.- Halla los valores desconocidos en las siguientes divisiones:
a) ? ÷(–2 ) = – 7
b) ? ÷ ? = 5
c) ? ÷ (–7 ) = 2
55.- Si A • B significa
d) 24 ÷ ? = −1
e) 36 ÷ ? = – 9
f) 0 ÷ ? = 0
g) (–36) ÷ (–1) =?
h) ? ÷ (–9 ) = 4
i) 0 ÷ (–11) = ?
j) ? ÷ ? = (− 1)
k) ? ÷ (–9) = 9
l) 8÷ ? = 8
A+ B
, calcula el valor de:
2
a) (–5) • (–3)
b) (–21) • ( –1) •3
c) (–1) • 9
d)( –21) • (–1• 3)
e) 11 • (–11)
f) (7•1) • 0
56.- Obtén el valor de cada una de las siguientes expresiones:
a) 10 × 6 ÷ 15
d) 8 ÷ (−4) × 2 – 2 × 6 – 5
b) 20 ÷ 5 × 2
e) 16 × 9 ÷ (–6)
c) (26 +2) ÷ (–4) – 10( 8 – 12) f) 15 – 2(–5) – (20 – 4) ÷ 8
g) 16 ÷ 4 ×2
h) (4 – 14) ÷ (–2)–7(2 – 8)
84
57.- Cuando una persona camina, gasta 5 veces más tiempo que cuando corre. Cuando corre hace
100 metros en 20 segundos. ¿Qué distancia hará si camina durante 100 segundos?
58.- Efectúa cada una de las siguientes operaciones
a) – 13 + ( 850 ÷ 5)
b) 35 + 56 ÷ 8
c) 250 ÷ ( –25) + 5
d) – 6 ÷ (–2) –2 ( –8 )
e) – 6 – 12 ÷ (–3)
f) – 6 + 9 ÷ (–3) + 5 ÷5
g) 180 ÷ 15 –3 + 21
h) –12 ÷ 3 – ( 4) ( 2)
i) –142 ÷ 71 + 8 ÷ (– 4 )
j) –5 ( – 4 + 8) ( – 1)
k) –10 + 12 ( –2 ) + 6 ÷ ( –1 )
l) (– 3) ( – 45) – 9 ( –19 ) + (– 10 )
m) –38 (45 ) + [(–9 +19) ÷ ( –10)]
n) 8 (15 – 23 – 2) + [–4 ( –5) (–1 )]
o) –9 ( –3 + ( –4)) + (–3) (–3)
59.- Haz una lista de todos los divisores positivos de 72.
60.- Determina todos los números primos entre 1 y 100, usando la Criba de Eratóstenes.
61.- Elabora una lista de todos los divisores comunes de 144 y 198.
62.- Indica cuáles de los siguientes números son primos y cuales no lo son: 1, 2, 19, 39,
101, 151, 200, 1000 y 1325.
63.- Considerando las cifras pares ( 0 , 2 , 4 , 6 y 8) construye todos los números de dos
cifras que sean:
a) Divisibles por 2 y 3
b) Múltiplos de 3 y 4
c) Múltiplos de 2, 4 y 8
64.- ¿Cuál es el número más pequeño que hay que sumar a 34 para obtener un número divisible
por 25?
65.- Se llama número perfecto al que es igual a la suma de sus divisores , sin incluir al número
mismo; por ejemplo: el conjunto de los divisores del 6 es D6 = {1,2,3,6} y la suma de los
divisores distintos de 6 es: 1 + 2 + 3 = 6 . Por lo que 6 es un número perfecto. Encuentra el
siguiente número perfecto.
66.- Escribe todos los números de dos cifras que sean múltiplos de 25.
67.- Si n es algún número diferente de cero, los únicos dos divisores conocidos (sin hacer
ninguna operación previa) son________ y _________.
68.- El número _______ es divisor de todos los números.
69.- Escribe todos los números de tres cifras que sean múltiplos de 125.
70.- ¿Por qué la suma de varios números pares es también par?
85
71.- Todos los números primos, exceptuando el 2, son impares. Explica cómo se llega a esta
conclusión.
72.- Si dos número no tienen divisores comunes, se llaman primos relativos. Localiza todas las
parejas de números primos relativos que están entre el 2 y el 15.
73.- “El producto de dos números primos dará otro número primo” ¿Está de acuerdo con la
afirmación anterior?, ¿por qué?
74.- Encuentra tres números primos cuya suma sea 16.
75.- Factoriza los siguientes números.
a) 16
b) 77
c) 200
d) 81
e) 214
f) 375
g) 2310
76.- Halla 3 divisores comunes de los siguientes números.
a) 40 , 24 , 18
b) 100 , 15 , 125
77- Determine el m.c.d y el m.c.m de los números dados:
a) 15 y 18
e) 5, 7 y 9
i) 325 , 625 y 820
b) 72 y 60
f) 11, 13 y 26
j) 121 y 1331
c) 132 y 77
g) 60 , 144 y 84
d) 100 y 1200
h) 620, 180 y 1 200
78.- Expresa como potencia el m.c.d y el m.c.m. de cada uno de siguientes pares de números.
b) 210 y 26
a) 23 × 33 ×5 y 22 × 32 × 52
c) 2 × 3 ×5 y 22 × 32 × 72
d) 2 × 35 y 33 × 52
e) 2 × 3 × 132 y 3 × 5 ×13
f) 32 × 72 y 52 × 112
79.- ¿En qué se parece el m.c.d y el m.c.m.?
80.- ¿En qué se diferencian el m.c.d y el m.c.m?
81.- El cine “Variedades” y el cine “Coliseo” proyectaban películas en forma continua y ambos
cines comenzaban su primera función a la 1:00 p.m. Si la película proyectada en el cine
“Variedades “ duraba dos horas y la proyectada en el cine “coliseo” duraba 80 minutos, ¿a
qué hora volverán a comenzar las dos películas al mismo tiempo?
82.- Tres carretes de hilo contienen 1810 cm. , 1972 cm y 1988 cm. ; se desea dividirlos en
partes iguales de la mayor longitud posible. Encuentra la longitud de cada parte y cuántas
partes salen de cada carrete.
83.- En un velódromo parten simultáneamente tres ciclistas de la línea de meta. Uno de los
ciclistas da una vuelta cada 30 segundos , otro cada 27 segundos y el tercero cada 24
segundos. ¿A los cuántos segundos cruzan la línea de meta los tres ciclistas juntos por
primera vez?, ¿cuántas vueltas tiene que dar cada ciclista en ese momento?
86
84 .- Un pastor sólo sabe contar sus ovejas de 2 en 2 , de 3 en 3 , de 4 en 4 o de 5 en 5 . Observa
que al contar sus ovejas de 2 en 2 le sobra una, de 3 en 3 le sobra una , igual que de 4 en 4
también le sobra una, pero si cuenta de 5 en 5 no le sobra ninguna. ¿Cuál es el menor
número de ovejas que tiene el rebaño?.
85.- Si en el salón de clases los alumnos pueden formar equipos de trabajo de 3 , 4 o 6
estudiantes sin que falte o sobre alguno, ¿cuántos estudiantes como mínimo hay en el
grupo?
86.- Localiza las parejas a, b de enteros positivos tales que su m.c.m. sea igual a 80.
87.- Dos libros tienen respectivamente 960 y 1216 páginas. Están formados por capítulos con el
mismo número de páginas entre 50 y 70. ¿Cuál es el número de páginas de cada capítulo?
88.- Se quieren acomodar 2185 botellas de aceite y 1615 botellas de leche en cajas, de manera
que contengan el mismo número de botellas sin que sobre ninguna y sin mezclarlas. ¿cuál
será el mayor número posible de botellas que se puedan acomodar por caja?, ¿cuántas cajas
se necesitan?
89.- Los profesores Miguel , Moisés y Hugo hacen exámenes a sus alumnos periódicamente,
Miguel cada 12 días, Moisés cada 15 días y Hugo cada 10 días. El día 1° de marzo los tres
aplicaron el examen en forma conjunta. ¿Cuál será la fecha más próxima en que lo vuelvan
a aplicar juntos?
90.- En una línea de autobuses, a las 8:00 a.m. salen tres corridas a distintos sitios, la primera sale
cada 15 minutos, la segunda cada 30 minutos y la tercera cada 24 minutos. ¿A qué hora
volverán a salir las tres corridas de la terminal simultáneamente?
87
UNIDAD II
FRACCIONES Y NÚMEROS REALES
INTRODUCCIÓN
Ya lo hemos dicho antes, el terreno de las fracciones se puede considerar terreno
conocido. Partimos de la idea de fracción como un trozo de la unidad, incluso la ilustramos con
lo que nos enseñaron desde la primaria, con circulitos divididos en rebanadas iguales y recursos
parecidos; con eso nos bastará para explicarnos por qué las operaciones con fracciones se hacen
como se hacen.
Sólo hay dos momentos teóricos un tanto incómodos pero ‘nomás tantito’, la vida es dura
carnales (o carnalas y carnales). Uno de ellos es la división, hasta ahora no hemos logrado que se
pueda efectuar siempre con números enteros, aquí hallaremos la forma de hacer eso y mucho
más, pero el precio será darle algunos rodeos al asunto de la división; de hecho copiando algunas
truquitos hechos en torno a la resta en la unidad anterior. El otro rollo teórico consiste en explicar
con brevedad por qué en la mayoría de textos, a las fracciones se les llama números racionales,
veremos que hay una diferencia un tanto sutil pero que para propósitos prácticos pueden
considerarse la misma cosa.
Un aspecto importantísimo de este tema es precisamente que las fracciones son los
números prácticos por excelencia, ahora sí que tienen que ver tanto con la vida cotidiana como
con la actividad del comerciante, del herrero, del ingeniero, del administrador, del albañil o del
científico. Requieren especial atención las llamadas fracciones decimales, ya sabes, las del
puntito, que justamente tienen un alto valor práctico.
Hay un tercer momento teórico en esta unidad, pero es aparte de las fracciones, se trata
justamente de los números que no son fracciones en el sentido que hemos dicho antes, por ser un
tema relativamente complicado sólo lo tocaremos brevemente al final de la unidad, básicamente
se trata de los llamados números irracionales. Con ayuda de las fracciones decimales
describiremos de una vez por todas a las diversas clases de números antes estudiadas, con lo que
obtendremos un sólo gran conjunto conocido como el conjunto de los números reales.
En esta unidad tienes que poner especial atención a: la operación de división, allí deberás
comprender el concepto de inverso multiplicativo y algo que bautizaremos como “el teorema de
la división”; las fracciones decimales y qué tienen que ver estas con la división; la proporción,
cosa también conocida por ustedes, sobre todo conocen a dos parientes cercanos suyos, la regla
de tres y el tanto por ciento; finalmente, apoyándote en las fracciones decimales, tendrás que
describir los diferentes tipos de números vistos en toda la unidad.
TEMARIO DE LA UNIDAD II
II.1. Fracciones y números racionales
II.1.1 Conjunto F de las fracciones
II.1.2. Adición y resta de fracciones
II.1.3. Multiplicación de fracciones
88
II.1.4. División de fracciones
II.1.5. Combinación de operaciones con fracciones
II.1.6. Orden de las fracciones
II.1.7. Fracciones y fracciones decimales
II.1.8. Los números racionales
Ejercicios y problemas de fracciones
II.2 Aritmética de las proporciones
Introducción
II.2.1. Razones y proporciones.
II.2.2. Proporcionalidad directa e inversa.
II.2.3. Regla de tres.
II.2.4. Porcentaje.
Ejercicios y problemas de razones y proporciones
II.3 Números reales
II.3.1. Los números irracionales.
II.3.2. El conjunto de los números reales.
Ejercicios y problemas de números reales
II.1 FRACCIONES Y NÚMEROS RACIONALES
II. 1.1 EL CONJUNTO DE LAS FRACCIONES
El conocimiento de los números fraccionarios es anterior, en muchos siglos, al de los
números negativos y nació por la necesidad de resolver cuestiones de la vida cotidiana para las
cuales se necesita medir, comprar, vender, pesar y un gran etcétera.
En el papiro Rhind (año 1700 a. C.) se narra que los egipcios ya operaban con fracciones,
casi exclusivamente con fracciones de numerador 1. En Babilonia se usaban fracciones
sexagesimales, es decir, de denominador igual a 60 y potencias de éste, sus huellas han quedado
en las unidades angulares y del tiempo (60 segundos hacen un minuto, 60 de éstos hacen una
hora). Pero no se requiere ir tan atrás para toparnos con las fracciones, la interacción con ellas es
de todos los días, véase lo siguiente solo por mencionar algo:
−En las noticias nos informan que hasta el pasado 9 de Septiembre de 2002, los Yankees
de N.Y. encabezaban la Liga Americana con un porcentaje de 0.627 y, a su vez, Atlanta
hace lo mismo en la Liga Nacional con un porcentaje de 0.638
− También es común algo como: el peso recuperó ayer 3.55 centavos en su paridad con
el dólar... la divisa estadounidense se cotizó en $9.79
89
− En un libro de cocina encontramos la siguiente receta:
1 ½ tazas de nata de leche
¼ de taza de leche fría
2 ½ tazas de harina
½ cucharadita de sal
¾ de Kg. de jamón cocido
2 de taza de puré de tomate
3
3 huevos
yerbas de olor y pimienta al gusto.
− Y en otros libros aparecen fórmulas cómo:
3
1
5
V = π r3
bh
C = ( F − 32)
4
2
9
Con la primera se obtiene el área de un triángulo; con la segunda se calcula el volumen de
una esfera y con la tercera se determina a cuántos grados centígrados equivale cierto número de
grados Fahrenheit.
El punto es que las fracciones son parte de nuestra vida cotidiana.
A=
Con todo lo visto sobre los enteros podemos efectuar sumas, productos y restas sin
restricción alguna, y son muchos los problemas que podemos resolver, pero la división sigue
siendo posible sólo a veces; si le seguimos la huella a este hecho veremos que acarrea muchas
limitaciones: Fácilmente podemos darnos cuenta que los enteros aún resultan insuficientes para
abordar una enorme cantidad de cuestiones que se presentan en la vida profesional, científica y
tecnológica; para no ir lejos, los enteros no bastan para los detalles menudos que requerimos en la
vida cotidiana, ya sea calcular el cambio que nos deben dar en el micro si pagamos con una
moneda de $10.00 (como información para los que usan limusina, cobran $3.50), o para tomar las
medidas y hacer las cuentas para ponerle piso con loza rectangular a una habitación, incluyendo
los gastos, claro, si hay suerte podían requerirse sólo enteros pero será las menos de las veces.
LA IDEA DE FRACCIÓN
Sin rodeos, la idea básica es que la fracción es un trozo de la unidad, y las formas en que
nos dieron las primeras explicaciones al respecto desde la primaria aún conservan a estas alturas
su utilidad.
90
¿Recuerdan el círculo que representa la unidad y cómo ciertas divisiones la separan en
partes? Bien, ¿cómo se “construye” un “número” que represente la parte sombreada? Ya lo
saben, sólo queremos insistir en dos o tres detalles: la representación deseada se elabora con dos
números enteros, los enteros serán la materia prima para construir las fracciones. Uno de los
números es 3 y el otro es 4, éste último indica en cuántas partes iguales se dividió la unidad y 3
nos dice cuántas de ellas estamos tomando en cuenta; la forma usual en que se escribe la
3
representación numérica de la parte sombreada es , ya sabemos cómo se lee y todo eso, pero
4
hay que subrayar que la pareja de números es ordenada, porque si los intercambiamos en la
4
forma resulta algo que leemos e interpretamos de otro modo. Concluimos con una primera
3
idea:
Una interpretación: una fracción o número fraccionario es una pareja ordenada de números
p
naturales p y q escrita en la forma , donde q indica en cuántas partes iguales se ha dividido
q
la unidad y p señala cuántas de ellas se están considerando.
Esta idea aún es bastante burda, por ejemplo, vale la pena aclarar que exigimos que p y q
sean naturales porque nuestra interpretación de fracción no se aplica fácilmente a todos los
−3
enteros, ¿qué significa
?, ¿dividir la unidad en menos cuatro partes iguales y tomar menos
−4
tres de ellas? (¡!). Aunque en menor medida, pero en el mismo sentido, podemos poner algunas
4 3 2 0 2
objeciones a expresiones como , , , , .
4 2 1 0 0
La primera de ellas no presenta dificultades con la interpretación: dividir la unidad en
cuatro partes y tomar en cuenta las cuatro, simplemente nos quedamos con un entero, ¿no es
cierto?; pero podemos objetar que ya no es una fracción, entendida ésta como un trozo de la
unidad; bueno, pero se escribe en la forma que se dijo que se escriben las fracciones, alguien le
dio a este problema una solución salomónica diciendo que tales expresiones también son
fracciones sólo que impropias, haciendo lo mismo para los dos casos que siguen, nosotros
usualmente les llamaremos fracciones a secas. Ya sabemos como se arregla la dificultad de
interpretación de la segunda expresión: se toma más de una unidad, cada una se divide en las
partes indicadas y se toman las que se requieran. La tercera está peor, pero el acuerdo es dejar la
unidad de una pieza y tomar dos de ellas (dos enteros). Para las dos últimas expresiones la neta es
que no tienen significado en matemáticas, por lo pronto así lo aceptaremos y en lo que sigue
tendremos oportunidad de ver a qué se debe. De cualquier manera, ya en plena manipulación de
fracciones pocas veces tendremos necesidad de recurrir a la interpretación comentada.
Es más importante hacer algunos ajustes que nos permitan formar fracciones con (casi)
cualesquiera parejas de enteros, lo que nos remite al siguiente tema.
91
EQUIVALENCIA DE FRACCIONES
Un punto de partida conveniente es notar que nuestra interpretación de las expresiones de
p
hace posible que una misma cantidad se pueda representar con varias fracciones, la
la forma
q
figura muestra dos representaciones de la parte sombreada, dependiendo de qué divisiones de la
unidad se tomen en cuenta:
3 6
=
4 8
La siguiente figura ofrece más posibilidades, por ejemplo: para la primera fracción toma
en cuenta bloques de dos columnas. Explica cuáles divisiones justifican las fracciones restantes.
A tales fracciones se les llama equivalentes.
2
4
8
16
=
=
=
= ...
3
6
12
24
Hemos usado un diagrama circular y otro rectangular, otra clase especialmente útil es la de
los diagramas lineales, en ellos está la idea de recta numérica; en la siguiente figura
consideraremos la parte resaltada:
unidad
3 6 12
= =
4 8 16
Si nos fijamos sólo en las divisiones indicadas con trazos medianos y cortos (olvidando
6
los más grandes) obtenemos , ¿cómo obtenemos las otras dos fracciones?.
8
92
Una interpretación: dos o más fracciones son equivalentes cuando representan la misma
Cantidad.
Pero resultará bastante ingrato que para saber si dos fracciones son equivalentes, haya que
hacer nuestros dibujitos, contar las partes y todo esto; una observación nos puede alivianar el
trabajo.
Como ejemplo regresemos a las fracciones de la ilustración anterior.
2
4
8
16
=
=
=
= ...
3
6
12
24
2 16
Tomamos dos de ellas, digamos
, multiplicamos el numerador de una por el
y
3 24
denominador de la otra, (2)(24) = 48; hacemos lo mismo con el numerador y el denominador
restantes, (3)(16) = 48, los productos resultaron iguales. Esto no es un mero churro, probemos
2
8
, por un lado (2)(12) = 24 y también (3)(8)= 24. Todavía hay cuatro posibilidades
con
y
3
12
más, comprueba que la igualdad de los “productos cruzados” se cumple en todos los casos. Lo
que podemos llamar la regla de los productos cruzados sirve bien para hacer una definición de
fracciones equivalentes sin las vaguedades y dificultades de la interpretación anterior, si bien ésta
seguirá teniendo cierta utilidad.
Definición:
p r
y , al decir que son equivalentes queremos decir que: ps = qr
q s
p r
Brevemente:
= , significa que p⋅s = q⋅r
Ahora, podemos plantear una proposición
q s que nos resultará fundamental
Cuando el símbolo “=” se aplica entre fracciones se debe leer “equivalente a”, con frecuencia
se lee “igual a”, lo importante es no perder de vista lo que significa.
Sean dos fracciones
Ejemplos:
a)
8 24
, porque (8)(21) = (7)(24), es decir, en ambos casos es168.
=
7 21
4 2
= , por cierto que ésta no es la
6 3
única opción, ¿qué otras equivalencias podemos escribir con la misma información?
b) Recíprocamente: como (4)(3) = (6)(2), entonces
93
He aquí ejemplos de dos casos muy importantes:
−3 3
porque (−3)(4) = (−4)(3), en términos de nuestra interpretación de fracciones
c)
=
−4 4
−3
3
equivalentes resulta que
¡representa la misma cantidad que !
−4
4
−3
3
porque (−3)(−4) = (4)(3), digamos que da lo mismo que
=
4
−4
el “−” esté arriba o abajo, entonces a cualquiera de estas dos fracciones las podemos representar
3
de una misma forma, la usual es − ; la diferencia entre esta expresión y las otras dos es que el
4
signo está a la altura de la raya de “quebrado”, como indicando que toda la fracción es negativa;
insistimos: la tercera expresión puede representar por igual a cualquiera de la dos primeras.
d) De la misma forma:
Observaciones :
−p p
−p
p
−p
p
p
p
=
también
=
y definimos
=−
y también
=−
−q q
q
−q
q
q
−q
q
ACTIVIDAD
Comprueba si las siguientes fracciones son equivalentes o no.
i)
3 9
=
4 12
ii) −
5
20
=−
2
8
iii)
−7
49
=
6
−42
iv)
0 0
=
2 10
v)
0
0
=
−8 3
Ahora podemos definir el conjunto de “nuevos números” con que vamos a trabajar, se le
llama el conjunto de las fracciones y se representa por F.
p
, siendo p y q números enteros y q ≠ 0
q
p es el numerador de la fracción y q es su denominador
F es el conjunto de expresiones de la forma
Con frecuencia la primera línea se escribe en los libros como sigue, coméntalo con el profe:
⎧p
⎫
p, q ∈ Z , q ≠ 0⎬
⎩q
⎭
F= ⎨
94
4
venía
4
representando una unidad (dividimos la unidad en cuatro partes y las tomamos todas), es claro
que pasa lo mismo con todas las fracciones con numerador y denominador iguales; también se
2
se identificaría con 2 unidades; así que los números enteros se
mencionó que la fracción
1
pueden “disfrazar” de fracciones:
Regresemos a las fracciones equivalentes. En un ejemplo anterior vimos que
Definición:
Cada entero se va a identificar con una fracción como se indica enseguida
… -3
-2
-1
0
1
2
−3
1
−2
1
−1
1
0
1
1
1
2
1
⋅⋅⋅
3…
3
⋅⋅⋅
1
De esta forma los enteros quedan como unas fracciones más, por esto se dice que el
conjunto Z está contenido en, o que es parte de F.
Lo que suele expresarse en la forma Z ⊂ F
Por lo demás cada una de estas fracciones es equivalente a muchas fracciones:
Ejemplos:
2
4
6
− 2 −4 −6 −8
=
=
=
=⋅⋅⋅ =
=
=
⋅⋅⋅
1
2
3
4
−1 −2 −3
−1 − 2 −3
1
2
3
=
=
=⋅⋅⋅ =
=
=
= ⋅⋅⋅
−1 − 2 −3
1
2
3
0 0 0
0
0
0
= = = ⋅⋅⋅ =
=
=
= ⋅⋅ ⋅ → 0
1 2 3
−1 − 2 − 3
−1 − 2 − 3
1 2 3
= = = ⋅⋅⋅ =
=
=
= ⋅⋅⋅ → 1
−1 − 2 − 3
1 2 3
2 4 6
−2 −4 −6
= = = ⋅⋅⋅ =
=
=
= ⋅⋅⋅
1 2 3
−1 −2 −3
Hemos resaltado dos casos por razones que se verán más adelante.
95
Recordemos también que hay dos formas de generar fracciones equivalentes a una
fracción dada: o bien multiplicando sus dos componentes por un mismo número o bien
dividiendo ambos entre un mismo número:
Teorema:
En lo que sigue p, q y n son enteros, ni n ni q son 0, entonces:
p np
np p
=
y también
=
q nq
nq q
En cada caso aplica la regla de los productos cruzados y verás la equivalencia.
Por supuesto, solamente escribimos la misma expresión intercambiando las partes, con
ello queremos subrayar dos cosas:
p
- En el primer caso, tenemos una fracción
, multiplicamos por n arriba y abajo y lo
q
que nos queda es una fracción equivalente a la original.
np
, si cancelamos n arriba y abajo
- En el segundo caso tenemos una fracción
nq
obtenemos una fracción que es equivalente a la original.
Ejemplos.
i)
3 2⋅3 6
ya que 3(10) = 5(6)
=
=
5 2 ⋅ 5 10
ii)
−3 3(−3) −9
ya que (− 3)(15) = (5)(− 9)
=
=
5
3(5) 15
Para el segundo caso:
i)
6 3(2)
6 3
cancelamos y obtenemos
=
= ya que 6(5) = 10(3)
10 5(2)
10 5
ii) −
10
2(5)
10
5
=−
cancelamos y obtenemos − = − ya que –10(2) = 4(−5)
4
2(2)
4
2
El segundo caso es la base de lo que se llama simplificación de una fracción. La idea de
simplificar una fracción “lo más posible” consiste en encontrar una fracción equivalente a ella
con numerador y denominador lo más pequeños posible, dicho con precisión:
96
Definición:
p
a sus mínimos términos o escribirla en forma irreducible,
q
significa hallar una fracción equivalente a ella con denominador positivo y tal que mcd(
p , q ) =1
Simplificar una fracción
Ejemplos:
3
no está en su forma irreducible por tener como denominador un número negativo. No
−4
es difícil cumplir con el requisito del denominador positivo, basta multiplicar el numerador y
denominador por −1, así se obtiene una fracción equivalente con la característica deseada.
−3
3
(3)(−1)
=
=
− 4 (−4)(−1)
4
− 10
no es una fracción irreducible porque los componentes de la fracción tienen al cinco
15
como factor común.
Para simplificar una fracción a su mínima expresión, procedemos de la siguiente manera:
1. Se factorizan el numerador y el denominador de la fracción en factores primos
2. Se eliminan los factores comunes a ambos componentes
3. Si el denominador es negativo, se multiplican numerador y denominador por -1
Ejemplos:
−
30
2 × 3× 5
15
=−
=−
8
2× 2× 2
4
14
7×2
7
7(−1)
−7
=
=
=
=
(−13)(−1)
13
− 26
− (13)(2)
− 13
100
2× 2×5×5
25
=
=
84
2 × 2 × 3× 7
21
97
Más ejemplos con otra notación:
3
(3)(−1)
−3
=
=
− 4 (−4)(−1)
4
18
( 2 )(3)(3)
3
=
=
6
(3)( 2 )
1
6
(2)(3)
1
=
=
18
(3)(3)(2)
3
−
10
(2)(5)
2
=−
=−
5
(5)(1)
1
ACTIVIDAD
1. Escribe 3 fracciones equivalentes a cada una de las siguientes expresiones:
i)
2
3
−2
5
ii)
iii)
10
10
iv)
9
1
v)
0
5
v)
−6 -18
y
5
15
2. Comprobar que las dos fracciones de cada par son equivalentes:
i)
−2
2
y
3
-3
ii)
−4 8
y
−1 2
iii)
0 0
y
7 6
iv
5
10
y
−3 -6
3. ¿Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes entre sí?
33
33 − 2
2 ⋅ 33
2 + 33
,
,
,
9
29 − 2
2⋅9
2 + 29
4. Simplifica cada fracción a su mínima expresión:
i)
57
76
ii) −
144
504
iii)
3964
87258
iv)
3964
87258
v)
180
150
RECTA NUMÉRICA
Esta idea fue introducida para representar los enteros como puntos de una recta, y
ciertamente aún tenemos puntos disponibles para poner otros números; vamos a ocuparlos para
las fracciones, en muchas partes de lo que sigue son un buen apoyo las imágenes geométricas. La
presentación es la que ya usamos para los diagramas lineales, por ejemplo, vamos a imaginar que
le ponemos una lupa a la región cercana a 0 y 1 para verla con más detalle, esto se ilustra en la
98
siguiente figura. Ahí representamos algunas de las fracciones que se encuentran entre 0 y 1,
incluidos éstos como ejemplos, escribimos las que corresponden a los trazos medianos y
pequeños y los resaltamos; pero ahora estamos ocupando cada punto para representar a una
infinidad de fracciones, en efecto, estamos “metiendo” en cada punto todas las fracciones
equivalentes entre sí, como ejemplo agregamos la última fila de fracciones.
¿Qué fracciones corresponden a los trazos más grandes?, échale lápiz. Más aún, échale
imaginación y piensa en un trocito del trozo de recta que tomamos, por ejemplo al de la región en
las cercanías del 3/8 y 4/8, ¿ya lo localizaste?, auméntalo como hicimos antes; ahora imagínalo
dividido en unas diez partes iguales, ¿ya?; ahora toma una de esas partecitas y auméntala; ...
¿cuántas veces se podrá repetir éste procedimiento? Más adelante volveremos a esto.
−3
−2
−1
0
1
2
3
4
unidad
0
1/8
2/8
¼
0/1 2/16
3/8
6/16
4/8
½
5/8
10/16
6/8
¾
1
7/8
14/16 16/16
II.1.2. ADICIÓN Y RESTA DE FRACCIONES
Una vez familiarizados con el conjunto de las fracciones, pasamos al siguiente nivel, es
decir, decidir cómo conviene operar con las fracciones, pero antes una:
Observación:
Hay buenas razones para decir que una moneda de $20 y un billete de $20 no son iguales:
no tienen la misma forma, ni el mismo color, etc.; ni siquiera sirven exactamente para lo mismo,
el billete no sirve en las máquinas tragamonedas ni para echar “volados”, etc. Sólo para ciertos
intercambios mercantiles da lo mismo uno que el otro, dicho de otro modo, en esas circunstancias
son “equivalentes”; algo así pasa con las fracciones equivalentes, tienen sus diferencias pero para
ciertas cosas da lo mismo una u otra, en cuanto que representan “la misma cantidad”, con esta
idea en mente establecemos el siguiente postulado que será de la mayor utilidad:
Postulado S (inicial de sustitución)
En cualquier expresión que contenga fracciones, cualquiera de ellas se puede cambiar
por una equivalente a una a sí misma.
Ahora vamos sobre la adición de fracciones, pero distinguiremos dos casos, cuando las
fracciones tienen el mismo denominador y cuando tienen denominadores diferentes.
99
Fracciones con el mismo denominador:
A estas alturas todos ustedes saben sumar fracciones, unos más otros menos, partamos de
eso: calcula en cinco segundos las dos siguientes sumas:
5
7
5
7
a)
+
b)
+
72 91
72 72
casi seguramente sólo calcularon con tal rapidez una suma, la segunda; y no hay que pensar
mucho para ver que el procedimiento que efectuaron mentalmente fue el siguiente:
5 + 7 12
=
72
72
La relativa naturalidad con que se hizo esta operación nos anima a hacer la siguiente
Definición:
Si
r
p
y son fracciones, entonces
q
q
p r p+r
+ =
q q
q
Ejemplos:
10
15
10 + 15
25
+
=
=
12
12
12
12
− 9 + (−8)
−9 ⎛ −8 ⎞
− 17
+⎜
=
⎟=
10 ⎝ 10 ⎠
10
10
Es muy fácil comprobar que esta adición es asociativa, así podemos hacer sumas como:
−
7 ⎛ 8 ⎞ 9 ⎛ −7
−8 ⎞ 9
−7
−8
9
− 15
9
−6
+ ⎜−
=⎜
+
=
+
+
=
+
=
= −1
⎟+
⎟+
6 ⎝ 6 ⎠ 6 ⎝ 6
6 ⎠ 6
6
6
6
6
6
6
Ejemplos (no se requiere que apliques explícitamente la asociatividad):
i)
3 (-1) 2
+
=
7 7 7
8 5
3
1
ii) − + = - =9 9
9
3
iii)
−5 (-3) (-2) -10 −5
+
+
=
=
4
4
4
4
2
ACTIVIDAD.
Realiza las siguientes sumas:
8 3
−8 3 (−2)
ii)
iii)
+
+ +
11 11
7 7
7
Fracciones con denominadores distintos:
i)
18 (-13) (−12)
+
+
5
5
5
iv)
−18 (-3) (−12)
+
+
15 15
15
100
7 5
+
3 2
Como tenemos que ajustarnos a la definición de suma de fracciones adoptada, la idea es
buscar una fracción que “valga lo mismo” que la primera y otra que “valga lo mismo” que la
segunda, de modo que la suma de ellas “valga lo mismo” que la suma de las originales pero de
tal forma que las nuevas tengan un mismo denominador.
Esto por supuesto nos debe recordar la equivalencia de fracciones, por ejemplo, por
28 30
tanteo encontramos, respectivamente:
, primero comprueba que son respectivamente
y
12 12
equivalentes a las originales, ahora ocupamos el Postulado S, según éste podemos cambiar las
originales por equivalentes y podemos escribir.
Empecemos con un ejemplo sencillo:
originales
definición
678
6
4
74
8
7 5 28 30 28 + 30 58 29
+ = + =
=
=
3 2 1
12
12
12
12
6
424
3
equivalentes
Of course, muchos de ustedes habrán usado un camino más fácil: la primera fracción
equivalente se puede obtener multiplicando sus componentes por 2 (el denominador de la
segunda fracción); la segunda fracción equivalente resulta de multiplicar los elementos de la
segunda fracción por 3 (denominador de la primera fracción), vamos a escribir esto paso a paso:
originales
definición
678
64
748
7 5 7 ⋅ 2 3 ⋅ 5 7 ⋅ 2 + 3 ⋅ 5 14 + 15 29
+ =
+
=
=
=
3 2 1
3 ⋅4
2
3⋅ 2
6
6
2 24
3 ⋅3
equivalentes
así obtenemos el mismo resultado que antes.
Para no repetir el mismo rollo cada vez que se quiera sumar, observemos las secciones de
la expresión anterior que tienen llave en la parte superior:
originales
definición
678 64
748
7 5 7 ⋅ 2 + 3⋅5
+ =
,
3 2
3⋅ 2
Basta escribir simbólicamente esto, para obtener el siguiente teorema; la demostración es
completamente semejante a lo hecho en el ejemplo anterior.
Teorema:
Si
Ejemplos
p r
p r p⋅s + q⋅r
y son fracciones, entonces + =
q s
q s
q⋅s
101
3
8
3.30 + 5.8
90 + 40
130
13
+
=
=
=
=
5
30
5.30
150
150
15
3.4 + 7( −1)
12 + (−7)
3 ⎛ 1 ⎞ 3
−1
5
+ ⎜−
+
=
=
=
⎟=
7 ⎝ 4 ⎠ 7
4
7.4
28
28
− 9 ⎛ 12 ⎞ (−9) (16) + 6 (−12)
− 144 + (−72)
− 216
9
+ ⎜−
=
=
=−
⎟=
6
6.16
96
96
4
⎝ 16 ⎠
Otros ejemplos:
i)
4 1 4 ⋅ 2 + 5 ⋅1
+ =
5 2
5⋅2
ii)
−5 3 −5(4) + 3(7)
+ =
7 4
7⋅4
iii)
−8 (-7) 3(−8) + 9(−7)
+
=
9
3
9⋅3
Esta forma de sumar es bastante buena, entre otras cosas se puede comprobar con
facilidad que tiene todas las propiedades vistas en la parte de números enteros.
(¿Qué se podrá decir del neutro y del inverso aditivo?).
Pero tiene el inconveniente que sólo permite sumar dos fracciones. ¿Qué hacer entonces
3 1 4
cuando tenemos algo como: + + o cadenas aún más largas de sumas?, la respuesta es fácil,
4 6 9
empleamos la propiedad asociativa y sumamos de dos en dos, efectuando las operaciones en
cualquier orden, pero no resulta cómodo; hay una forma más usual basada, claro, en la
equivalencia y en el Postulado S, lo comentaremos con la expresión anterior.
-
Buscamos cualquier número divisible entre 4, 6 y 9, es decir cualquier múltiplo
común de éstos, uno fácil de hallar es: (4)(6)(9) = 216, pretendemos construir tres
fracciones respectivamente equivalentes a las tres dadas y que tengan todas como
denominador a 216.
-
¿Cómo saber por qué número hay que multiplicar los componentes de ¾ para que en el
denominador resulte 216? Claro, dividiendo 216 entre 4: 216 ÷ 4 = 54, en efecto,
3 ⋅ 54 162
. Para no variar, ¿cómo sabemos por qué número hay que multiplicar los
=
4 ⋅ 54 216
componentes de 1/6 para que el denominador resulte 216? Pues sí, dividiendo 216
1 ⋅ 36
36
. ¿Se va entendiendo la idea?, de esta
entre 6: 216 ÷ 6 = 36, ciertamente:
=
6 ⋅ 36 621
forma podemos escribir:
102
3
+
1
+
4
=
3 ⋅ 54
+
1 ⋅ 36
+
4 ⋅ 24
4 4
644
9 444
⋅ 54
⋅3
24
1
2464⋅ 36
4494
suma
644444definición
447de4
444444
8
=
3 ⋅ 54
216
+
1 ⋅ 36
216
+
4 ⋅ 24
216
=
3 ⋅ 54 + 1 ⋅ 36 + 4 ⋅ 24
216
=
294
216
{
hacemos operaciones
equivalencia y Postulado S
-
Insistimos, lo único especial de 216 es que es divisible entre cada denominador, ¿por
qué? Porque así se puede hacer cada división para encontrar el número por el que hay
que multiplicar el numerador y el denominador de cada fracción, así que en lugar de
216 pudimos tomar cualquier otro con tal característica.
-
Si tomamos la primera y cuarta secciones de la expresión anterior obtenemos otra
regla simplificadora, veamos:
numerador de
cada fracción
3
4
+
1
6
+
4
9
=
resultado de dividir 216
entre cada denominador
3 ⋅ 54 + 1 ⋅ 36 + 4 ⋅ 24
216
Cualquier múltiplo común de los
denominadores 4, 6 y 9
Esta forma de operar se basa en encontrar un mismo denominador para todas las
fracciones dadas, al que se le llama común denominador, por eso al procedimiento se le puede
llamar “método del común denominador”, por supuesto, usualmente resulta menos engorroso
usar el mínimo común múltiplo de los denominadores, es decir: mcm(4, 6, 9) = 36, en efecto:
3
1
4
3 ⋅ 9 + 1⋅ 6 + 4 ⋅ 4
49
=
+
+
=
4
6
9
36
36
Este resultado no es igual al obtenido antes pero es equivalente a él (sacando sexta).
En resumen, las sumas de fracciones se pueden hacer hasta de tres formas: con la
definición, con el teorema de la suma de fracciones y con el método del común denominador,
aunque estrictamente hablando la definición sólo es aplicable en los pocos casos en que las
fracciones originales tienen el mismo denominador, por ejemplo:
Aplicando la definición:
5
1
30
4
30 + 4
34
17
+
=
+
=
=
=
4
6
24
24
24
24
12
103
Aplicando el teorema:
5
1
5 ⋅ 6 + 4 ⋅1
30 + 4
34
17
+
=
=
=
=
4
6
4⋅6
24
24
12
Aplicando el método del común denominador:
Usaremos el mínimo común denominador, pero recuerda que se puede usar cualquier
común denominador.
5
1
5 ⋅ 3 + 1⋅ 2
15 + 2
17
+
=
=
=
4
6
12
12
12
2+
5
2
5
1
3 ⋅ 2 + 5 ⋅1 + 3 ⋅1
14
=
+1 =
+
+
=
3
1
3
1
3
3
En este caso hemos hecho uso de la definición que asocia a cada entero una fracción:
n=
n
, recurso que emplearemos con frecuencia.
1
Pero la ventaja del método del común denominador es que se aplica con cierta facilidad a
cualquier cadena de sumas.
Ejemplos
6 ⋅ 8 + 20 ⋅ 1 + 2 ⋅ 10
6
1
2
88
11
+
+
==
=
=
5
2
4
40
40
5
27 + 28 + 12
3
7
1
67
+
+
=
=
4
9
3
36
36
2
1
−5
− 5(8) + 2(3) + 1(−4)
− 40 + 6 + −4
− 38
=
=
+
+
=
3
8
24
24
24
−6
Fracciones mixtas
Como se sabe, son aquellas fracciones que resultan de sumar un entero y una fracción
2
se tiene que poner su ropaje de fracción al entero, que es
(propia), por ejemplo, para sumar 3 +
5
15 + 2
3
2
3
2
17
, así escribimos: 3 +
, alguna ahorrativa persona decidió no
=
+
=
=
1
5
1
5
5
5
escribir el signo + de la operación inicial y obtener la parte resaltada con el esquema que se
indica a continuación, si además esas operaciones se hacen mentalmente se obtiene el resultado
de inmediato:
104
+
2
5
3+
→
17
5
2
5
3
la expresión 3
2
se llama fracción mixta.
5
×
Ejemplos:
5
1 5 5
+2 = +
3
2 3 2
−7
3 −7 31
+
+4 =
5
7
5
7
ACTIVIDAD
1) Dadas las siguientes fracciones mixtas, escríbelas en forma de fracción impropia.
i) 5
3
7
ii) 7
5
6
iii) 12
1
2
iv) 16
2
3
2) Dadas las siguientes fracciones impropias escríbelas en forma de fracción mixta.
i)
7
2
ii)
−
17
3
iii) −
11
5
iv)
112
9
v)
−
102
12
3) Realiza las siguientes operaciones.
3
3
i) 6 + 2 +
4
6
ii)
5
2 −3
1
+2 +
+1
10
5 4
2
iii)
1 (−3)
2 (−1)
5 +
+2 +
9 18
3
2
LA RESTA
En lo que a la resta de fracciones se refiere, hay varios caminos que se pueden seguir,
pero para ahorrar tiempo tomaremos uno que repite paso a paso lo que hicimos en la suma, los
resultados son:
Definición:
Si
r
p
y son fracciones, entonces
q
q
p r p−r
− =
q q
q
105
Teorema:
Si
p r
p r p⋅s −q⋅r
y son fracciones, entonces − =
q s
q s
q⋅s
Ejemplo del método del común denominador:
3 1 4 3 ⋅ 9 − 1⋅6 − 4 ⋅ 4
5
− − =
=
4 6 9
36
36
Calma, calma, vamos demasiado rápido, igual que con las otras clases de números, la
resta de fracciones no es asociativa, así que en casos como el ejemplificado hay que hacer
algunas afinaciones:
-
La última cadena de operaciones recuerda a la suma algebraica de enteros, la
definición aquélla se extiende palabra por palabra a estos casos.
Como antes, aquí se conviene en operar de izquierda a derecha.
Igualmente, cuando haya signos adjuntos los reducimos a uno, mira el siguiente
ejemplo:
2 ⎛ 5 ⎞ 2 ⎛ − 5 ⎞ 2 ⋅ 4 − 3 ⋅ ( −5 ) 8 − ( −15 ) 23
=
=
−⎜− ⎟= −⎜
⎟=
3 ⎝ 4⎠ 3 ⎝ 4 ⎠
3⋅4
12
12
(a)
(b)
(c)
5 −5
, también pudimos poner el signo - al 4,
=
4
4
pero es muy conveniente dejar siempre positivos los denominadores.
Paso (a): por definición −
Paso (b): teorema sobre la resta anotado arriba
Pasos (b) y (c): la suma algebraica de fracciones de hecho se transforma en
una suma algebraica de enteros en los numeradores.
Ejemplos:
6 1 6 ⋅ 2 − 1 ⋅ 7 12 − 7 5
− =
=
=
7 2
7⋅2
14
14
9 10 5 9 − 10 − 5 −6 −3
− − =
=
=
4 4 4
4
4
2
106
7 ⎛ 8 ⎞ 7 ⎛ − 8 ⎞ 7 ⋅ 14 − (2)(−8)
98 − (−16)
114
57
− ⎜−
−⎜
=
=
=
⎟=
⎟=
2 ⎝ 14 ⎠ 2 ⎝ 14 ⎠
2 ⋅ 14
28
28
14
6
(−7)(6) − (−3)(15) − 6(4)
−7 ⎛ −3 ⎞
− 42 − (−45) − 24
−⎜
=
=
=
⎟−
10 ⎝ 4 ⎠ 15
60
60
− 42 + 45 − 24
− 21
−7
=
=
60
60
20
9 ⎛ 1 ⎞ 3 ⋅ 9 − 5(−1) 27 − (−5) 27 + 5 32
2
−⎜− ⎟ =
=
=
=
=2
5 ⎝ 3⎠
5⋅3
15
15
15
15
4
3
7
4(5) − 3(1) + 7(1)
20 − 3 + 7
24
7 ⎞
⎛ 3
4−⎜
−
+
=
=
=
=4
⎟ = 4−
5
5
5
5
5
5
5 ⎠
⎝ 5
ACTIVIDAD
1) Realiza las siguientes sumas.
i)
3 7
+
10 10
ii)
2 7
+
6 8
3
5
1
v) 4 − 5 + − 3
4
6
2
iii)
1 3 2 4
− + −
2 4 5 3
3⎞
⎛3
⎞ ⎛
vi) ⎜ − 2 ⎟ + ⎜ 4 − ⎟
14 ⎠
⎝7
⎠ ⎝
⎛3 7⎞
iv) 4 + ⎜ − ⎟
⎝5 5⎠
⎛ 3 1⎞ ⎛5 1⎞
vii) ⎜ + ⎟ − ⎜ − ⎟
⎝ 4 8⎠ ⎝6 2⎠
2) Resuelve los siguientes problemas.
i) Si se juntan tres placas de acero de espesor
1 3 7
respectivamente, ¿qué espesor
, ,
4 8 16
se obtiene?
2
5
metros de longitud y otra 45 metros de longitud. ¿Cuántos
3
8
metros tienen las dos calles juntas y cuanto le falta a cada una de ellas para tener 80
metros?
ii) Una calle tiene 50
iii) Tres obreros tienen que tejer 200 metros de tela. Uno de ellos teje 53
teje 25
2
metros. ¿Cuántos metros tiene que tejer el tercero?
7
II.1.3. MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES
2
metros y otro
7
107
Nuevamente tenemos que definir una operación binaria, así que otra vez la pregunta:
¿cómo multiplicar fracciones?, una forma simple de obtener una respuesta es ensayar con
fracciones “impropias” cuyo resultado se conozca de antemano y buscar ahí una regla, por
ejemplo:
éstas fracciones son enteros
⎧6
44
47444
8
⎪5 4
→ 5 ⋅ 4 = 20
⎪ ⋅
⎪1 1
⎨Ahora buscamos cómo combinar los componentes originales para obtener 20
⎪ 5 ⋅ 4 = 20 = 20
⎪ 1 ⋅1
144
421444
3
⎪operamos
y
convertimos en entero
⎩
fracciones son enteros
64
47448
⎧éstas
⎪ 6 4
⋅
→ 2⋅4 = 8
⎪
⎪ 3 1
⎨Buscamos alguna combinación de los componentes originales que dé 8
24
8
⎪ 6⋅4
⎪ 3 ⋅1 = 3 = 1 = 8
4442444
3
⎪1operamos
y simplificamos
⎩
son enteros
⎧éstas6fracciones
47
4 48
4
⎪ 8 12
⎪ ⋅ → 2⋅4 = 8
⎪ 4 3
⎨Buscamos la consabida combinación de los elementos originales
⎪ 8 ⋅ 12 96 8
⎪ 4 ⋅ 3 = 12 = 1 = 8
144244
3
⎪operamos
y simplificamos
⎩
En cada llave comparamos las primeras columnas, por ejemplo, en la segunda:
6 4
6⋅4
6 4
6⋅4
⋅
y
en ambas se obtiene 8, así que
⋅
=
3 1
3 ⋅1
3 1
3 ⋅1
Veamos si hemos observado lo mismo, los ejemplos hechos sugieren la siguiente:
Definición:
Si
Ejemplos.
p r
p r p⋅r
y son fracciones entonces ⋅ =
q s
q s q⋅s
108
i)
3
2
6
3
⋅
=
=
4
5
20
10
ii)
8
⎛ 2 ⎞⎛ 4 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ − 4 ⎞ ⎛ − 8 ⎞
⎜
⎟⎜ −
⎟=⎜
⎟⎜
⎟=⎜
⎟=−
21
⎝ 7 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 7 ⎠⎝ 3 ⎠ ⎝ 21 ⎠
o estos otros
iii)
−7 3 ⎛ −2 ⎞
7
⋅
⎜
⎟=
6
5 ⎝ 3 ⎠ 15
iv)
5
⎛ 5 ⎞ ⎛ 2 ⎞⎛ 5 ⎞ ⎛ 10 ⎞
− 2⎜
⎟=−
⎟⎜
⎟ = ⎜−
⎟ = ⎜−
4 ⎠
2
⎝ 4 ⎠ ⎝ 1 ⎠⎝ 4 ⎠ ⎝
Una buena señal de que la definición es satisfactoria es que tiene todas las
propiedades que tiene la multiplicación de los números vistos antes
Una aplicación especial de la multiplicación es la de calcular una fracción de una
cantidad, con frecuencia se cree que esto se hace por medio de la división (que es la operación
que sigue), pero propiamente hablando es algo que se hace multiplicando.
Ejemplos:
1
de 8? Pues 4, claro, pero lo que nos interesa es determinar la operación
2
con fracciones que arroja este resultado, pues es la siguiente:
¿Cuánto es
1 8
8
4
1
⋅8 =
⋅
=
=
= 4 , así que multiplicamos.
2 1
2
1
2
Este rodeo puede parecer inútil, pero ahora mismo veremos que conforme se van
complicando las cantidades se va notando su conveniencia.
1
1
1 1
1
de
? Es:
⋅
=
2
4
2 4
8
17
9
17
9
153
¿Cuánto es
de
? Es:
⋅
=
23
35
23 35
805
¿Cuánto es
Una aplicación:
Luis decide cobrar $ 3000 por realizar la compostura de un automóvil y solicita le den
3
como adelanto los
de esa cantidad, ¿cuánto le tienen que dar?
4
3
Para resolver este problema necesitamos preguntarnos ¿cuánto es
de 3000?.
4
Como ya vimos la operación que arroja este resultado es la siguiente:
3
9000
⋅ 3000 =
= 2500
4
4
Por supuesto, le tendrían que dar $2500 de adelanto.
ACTIVIDAD
109
Efectúa las siguientes operaciones
−7 3
⋅
6
5
3
1 4
(− 2)
⋅
5 3
−
5 ⎞
2
2 ⎛
⋅
⎜− 4
⎟
6 ⎠
11 5 ⎝
Resuelve los siguientes problemas.
i)
En una escuela hay 324 alumnos donde el número de alumnas es
1
del total.
18
¿Cuántos varones hay en la escuela?
ii) Una persona decide repartir su capital de la siguiente manera:
1
para su esposa,
3
3
para su hija y el resto a partes iguales para sus otros cuatro hijos, ¿cuánto le
10
corresponde a cada uno de los herederos?
II.1.4. DIVISIÓN DE FRACCIONES
Para esta operación podíamos proceder como en la multiplicación, pero vamos a tener que
ponerle un poco de teoría al asunto porque es un tema central en esta unidad; es donde hallaremos
una forma de resolver un problema que venimos arrastrando desde el principio, aquél de no poder
efectuar cualquier división de enteros, ni modo, la vida es dura. Para esto copiaremos las ideas
que en la parte de enteros nos permitieron resolver cualquier resta de naturales y de ganancia
cualquiera de enteros (y fue mayor la ganancia).
La clave en el caso de los enteros fue el teorema de la resta:
m – n = m + (−n)
Para llegar a esto requerimos:
1. Definir la resta, sólo tomamos la que conocemos desde la primaria (la forma en que se
comprueba la resta).
2. Ya habíamos postulado y definido lo relativo a los inversos aditivos: la suma de una
pareja de inversos es el neutro aditivo.
m + (−m) = 0
Inversos aditivos
Neutro aditivo
110
3. Notamos que la resta se podía expresar mediante su operación opuesta, la suma.
m – n = m + (−n)
Resta transformada en suma
Calcaremos esto para la división:
a. Empezamos definiendo la división para fracciones (como se comprueba la división de
naturales desde la primaria):
p r t
p
r t
÷ = significa que ⋅ =
q s u
s u q
Ejemplo:
5 4 35
4 35 140 5
÷ =
porque ⋅
=
= .
3 7 12
7 12 84 3
Lo que acabamos de hacer sería de lo más engorroso, el cociente tendría que encontrarse
por tanteo (como lo hacíamos con los enteros 10÷5 =¿?), después multiplicar y luego simplificar
el resultado (sacamos 28 ava), no se pierda de vista que la importancia de esta página es teórica,
no práctica.
b.
Definimos los inversos multiplicativos: dos fracciones
multiplicativos si su producto es un neutro multiplicativo.
son
inversos
Vamos por partes:
¿Cuál es el neutro multiplicativo?: una fracción que multiplicada por otra nos de la misma
1
o de perdida una equivalente, claro, la primera que se nos ocurre es
pero recordemos que
1
1 2 3
= = ⋅ ⋅ ⋅ y otras más, de hecho cualquiera de éstas junto, con el Postulado S sirve para lo que
1 2 3
pedimos (por eso subrayamos que tomaremos un neutro, ¡hay muchos!), por ejemplo:
7 2 14 7
⋅ =
= ,
3 2 1
6 23
3
sacamos mitad
como sea ya tenemos un buen número de neutros multiplicativos.
111
p r p⋅r p
⋅ =
=
q r q⋅r q
La misma fracción neutro multiplicativo
Ahora sí, hay que buscar parejas de fracciones cuyo producto sea un neutro
multiplicativo, cosa que afortunadamente resulta fácil.
ACTIVIDAD
Halla un número que multiplicado con el número dado dé como resultado el neutro
multiplicativo.
i) − 8
7
ii)
3
1
iii) − 2 iv) 1
5
5
v) 5
4
Teorema:
Para cada fracción
p
q
p q
1
, p ≠ 0, existe
tal que
⋅
=
(o algún equivalente a éste)
q
p
q
p
1
p
q
y
se les llama inversos multiplicativos, uno del otro.
A las fracciones
q
p
c. Finalmente copiamos el teorema de la resta para escribir lo que bautizaremos como el
teorema de la división (si quieres demostrarlo no resulta difícil).
Teorema de la división
Se cambia resta por suma
m – n = m + (-n)
Se cambia n por su inverso aditivo
La división se cambia por multiplicación
p r p s
÷ = ⋅
q s q r
Cambiamos
r
por su inverso multiplicativo
s
112
Esta forma de dividir será reconocida por la mitad de los estudiantes, la otra mitad
recordará una abreviación de ella: la de las multiplicaciones en diagonal
p r
p⋅s
÷ =
q s q⋅r
La forma de dividir que hemos elaborado puede efectuarse en todos los casos, es decir, el
conjunto F de las fracciones es cerrado bajo la división y, como los enteros son fracciones
“impropias”, entonces con ayuda de las fracciones puede efectuarse cualquier división de enteros,
que era uno de los propósitos que queríamos conseguir.
Ejemplos:
− 5 2 − 5 7 − 35
, ya en la rutina es preferible multiplicar las diagonales.
÷ =
⋅ =
6 7
6 2
12
8 4 8 1 8
÷ = ⋅ = = 2 , este rodeo no puede ayudar para ver como funciona la
1 1 1 4 4
operación que hemos armado.
8÷4 =
−3÷7 =
−3 7 −3 1 −3
÷ =
⋅ =
1 1
1 7
7
Observación:
−3
no debe leerse “-3 entre 7” sino “-3 sobre 7” y por lo pronto no
7
es una división, es el cociente de una división, como ya se ha dicho muchas veces, es el número
que multiplicado por 7 da −3:
En el tercer ejemplo,
−3
7
⎛ −3 ⎞
7 − 3 porque 7⎜
⎟ = −3, simplemente es la comprobación de una división.
⎝ 7 ⎠
Ejemplo:
Se tienen 450 litros de jugo de naranja y se desea envasarlos en botellas de
capacidad, ¿cuántas botellas serán necesarias para envasar esta cantidad?
Esto lo podemos expresar como sigue: 450 ÷
Es decir necesitamos 600 botellas.
3
4
1800
= 450 ×
=
= 600
4
3
3
3
de litro de
4
113
Un problema más:
Un ciclista recorre 35
3
1
km en 2
horas, ¿cuál es su velocidad promedio?
4
2
d
que es equivalente a v = d ÷ t , como
t
queremos la velocidad, solamente tenemos que sustituir valores, así que:
Aquí podemos recurrir a la expresión v =
v = 35
3
1
143
5
286
÷2
=
÷
=
4
2
4
2
20
Que simplificando nos da:
v = 14
3 km
h
10
ACTIVIDAD
1) Efectúa las siguientes divisiones.
1
i) 1
÷
2
4
ii) − 5 ÷ 4
7
3
iii) − 7 ÷ (− 2 ) iv) − 4 1 ÷ 5 2
9
9
2
3
2) Resuelve los siguientes problemas.
i) Un tanque tiene una capacidad de 700 litros pero se encuentra vacío y cerrado su desagüe.
Si se abren tres llaves al mismo tiempo y una de ellas vierte 36 litros en 3 minutos, otra 48
litros en 6 minutos y la tercera 15 litros en 3 minutos, ¿en qué tiempo se llenará?
ii) ¿Cuántos trozos de madera de 1 metro de longitud se pueden obtener de una tabla de 24
4
metros de longitud?
iii) Un obrero tiene que realizar un trabajo en 8 días, ¿qué parte del trabajo puede hacer
en 1 día , en 1
3
1
días, en 3
?
4
2
114
II.1.5. COMBINACIÓN DE OPERACIONES CON FRACCIONES
Hemos visto que si en una cadena de operaciones hay adiciones, restas y multiplicaciones,
se efectúan primero éstas últimas, se dice que son de mayor nivel que aquéllas y con esto se
entiende que se deben efectuar primero, a menos que haya símbolos de agrupación que indiquen
otra cosa. En cambio las adiciones y las restas son del mismo nivel y el acuerdo es que se
efectúen en el orden en que aparezcan de izquierda a derecha (la suma algebraica está basada en
esta regla, pero su uso es un tanto diferente); la multiplicación y la división también son del
mismo nivel y se ajustan a la misma regla. Resumiremos en la siguiente regla de jerarquía:
Una jerarquía de operaciones
Nivel 2: · ÷
Nivel 1: + -
J1. Las operaciones de mayor nivel se
efectúan antes que las de nivel inferior
J2. Las operaciones del mismo nivel se
efectúan en el orden en que están escritas,
de izquierda a derecha
Ejemplos:
Realiza las operaciones indicadas:
i).
ii)
3 ⎛ 1
1 ⎞ 3 ⎛ 2 +1
−⎜
−⎜
+
⎟=
8 ⎝ 6
12 ⎠ 8 ⎝ 12
3
9−6
3
1
⎞ 3
−
=
=
=
⎟=
12
24
24
8
⎠ 8
1 ⎞⎛
1 ⎞ ⎛ 2
1 ⎞⎛ 6
1 ⎞ ⎛ 8 −1 ⎞ ⎛ 180 + 1 ⎞
⎛
−
+
⎟⎜
⎟
⎟=⎜
⎜2−
⎟⎜6+
⎟=⎜
⎟⎜
4 ⎠⎝
30 ⎠ ⎝ 1
4 ⎠⎝ 1
30 ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ 30 ⎠
⎝
⎛ 7 ⎞ ⎛ 181 ⎞ 1267
=⎜
⎟⎜
⎟=
⎝ 4 ⎠ ⎝ 30 ⎠ 120
13
25 ⎞ ⎛
6 ⎞ ⎛ 56 + 78 − 75 ⎞ ⎛ 12 ⎞ 59
12
295
⎛ 7
iii) ⎜
÷
=
+
−
⎟=
⎟ ÷⎜
⎟=⎜
⎟ ÷ ⎜ 2×
4
8 ⎠ ⎝
5 ⎠ ⎝
24
5
288
⎠ ⎝ 5 ⎠ 24
⎝ 3
Problemas:
iv)
Tres obreros tienen que tejer 200 metros de tela. Uno teje 53
metros. ¿Cuánto tiene que tejer el tercero?
2
7
metros y otro
15
34
115
Solución: Considerando las condiciones iniciales del problema, se tiene:
2
15 ⎞
15 ⎞
⎛ 12682 + 105 ⎞ 47600 −12787
⎛ 373
⎛
+
200 − ⎜ 53
+
=
⎟=
⎟ = 200 − ⎜
⎟ = 200 − ⎜
7
34 ⎠
34 ⎠
238
238
⎝ 7
⎝
⎝
⎠
34813
65
= 146
238
238
Luego, el tercer obrero tejerá: 146
65
238
v) ¿Cuál es la velocidad de un automóvil que en 5
2
6
horas recorre 202
37
37
kilómetros?
Solución:
Considerando las condiciones iniciales del problema, se tiene:
37 × 7480
d
kms
6
2
7480
187
7480
, v = 202
÷5
=
÷
=
=
= 40
t
hora
37
37
37
37
37 ×187
187
Como v =
Luego, la velocidad del automóvil es: 40
kms
hora
ACTIVIDAD:
Realiza las operaciones indicadas:
i)
ii)
iii)
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
7
1
1 ⎞ ⎛
−
+
⎟+⎜
30
60
4 ⎠ ⎝
7
1 ⎞⎛
2 ⎞⎛
+
⎟⎜
⎟⎜6−
2
8 ⎠⎝
3 ⎠⎝
1
3
1 ⎞ ⎛ 8
+
−
⎟ ÷⎜
2
4
8 ⎠ ⎝ 5
5
7
1 ⎞
+
−
⎟
3
5
20 ⎠
21
7 ⎞
+
⎟
4
12 ⎠
5 ⎞
×
⎟
4 ⎠
Problemas:
iv)
¿Cuántas varillas de
5
12
metros de largo?
1
4
de metro de longitud se pueden obtener de una varilla de
116
3
4
v) Si una llave vierte 3 litros y otra 2
llenarán un depósito de 59
1
2
1
5
litros de agua por minuto, ¿en cuánto tiempo
litros de capacidad?
vi) Si una cuerda de 40 metros de longitud se corta en tres partes iguales de 5
longitud, ¿cuánto falta a lo que queda para tener 31
3
8
2
3
metros de
metros?
II.1.6 ORDEN DE LAS FRACCIONES
Como antes, el propósito es establecer una regla para determinar cuándo una fracción es
menor que otra, con la que podamos poner a las fracciones en fila de menor a mayor.
Para hablar con mayor fluidez haremos un par de definiciones:
3
−3 3
3 −3
Se sabe que, por ejemplo:
, de aquí que:
=
=
y que - =
4
−4
−4 4
4
Definiciones:
Si el numerador y el denominador de una fracción son del mismo signo, se dice que es
positiva; si son de signos diferentes será negativa.
Si el numerador es cero, la fracción no es positiva ni negativa
En cuanto al orden, mantendremos la idea básica adoptada desde los naturales: una
fracción es menor que otra si se le puede adicionar una fracción positiva de modo que la suma
sea la otra.
19
15
Si intentas aplicar esta idea para determinar cual de las fracciones
es menor
y
18
14
verás que no es fácil, así que su uso consiste sólo en proporcionar una base para demostrar
teoremas que permitan responder más fácilmente preguntas como aquélla, no los demostraremos,
pero uno de ellos dice: una fracción es menor que otra si la diferencia de ésta última menos
aquélla es positiva. Esta opción ya la hallamos en los enteros y resulta más fácil de manejar que
la anterior.
Sin embargo es aún más conveniente el siguiente teorema que hace buena pareja con la
equivalencia:
Teorema:
p
r
y
son fracciones, con q y s positivos, entonces
q
s
p
r
<
significa que p ⋅ s < q ⋅ r
q
s
También se puede escribir q·r > p·s
Si
117
¡Cuidado con la forma de escribir esto!, digamos que el producto menor debe ser el que
contiene al numerador de la fracción menor. Además, para comparar dos fracciones que no
tengan sus denominadores positivos antes, hay que cambiarlas por otras equivalentes que tengan
esa característica (recurriendo al Postulado S).
Ejemplos:
En los siguientes ejemplos vamos a investigar qué fracción es mayor o menor, de acuerdo
al teorema:
4 7
y
5 6
Solución:
i)
Como (4)(6) < (5)(7) entonces
ii) ¿Es cierto que
3
2
<
4
7
<
5
6
6
?.
5
Solución:
Vemos que (3)(5) no es menor que (2)(6), entonces tampoco es cierto que
en otras palabras, lo que realmente ocurre es que
3
>
2
3
2
<
6
,
5
6
.
5
1
3
. Si intentamos aplicar el teorema se obtiene que (1)(4) no es menor que
<
4
−2
1
3
(-2)(3) y concluiríamos que es falso que
. ¡Pero lo razonable es que la
<
−2
4
fracción negativa sea menor que la positiva! Lee el teorema, resulta que no se aplica a éste
caso, primero hay que quitar el “−” del denominador, así que cambiamos la pregunta
−1
3
, donde en efecto: (−1)(4)<(2)(3).
original por esta otra:
<
2
4
iii)
iii) El profesor Moy tenía $60.00 y gastó $ 18.00. ¿Qué parte de su dinero gastó y qué
parte ahorró?, ¿cuál de las partes en mayor?
Solución:
$18.00 3
=
Gastó:
$60.00 10
Ahorró:
$42.00 7
=
$60.00 10
Por lo tanto
3
7
<
10
10
iv) Cuando vendo algo por $24.00 y éste me había costado $16.00 ¿Qué parte del costo
es la ganancia, y qué parte de la venta es esa ganancia? ¿Cuál parte es mayor?
Solución:
Del costo:
$8.00 1
=
$16.00 2
118
$8.00 1
=
$24.00 3
Comparando ambos resultados:
1
1
>
2
3
De la venta:
ACTIVIDAD:
Dadas las siguientes fracciones, investigar cuál es mayor:
3
4
y
8
7
3
1
ii)
y
20
10
i)
3
2
de $500.00 y te pagan las
de $300.00 ¿Qué parte de lo que
5
3
te debían, te pagaron y qué parte te adeudan? ¿Qué parte es mayor, lo que te pagaron o lo
que te adeudan?
iii) Si te deben las
II.1.7. FRACCIONES Y FRACCIONES DECIMALES
Vamos otra vez a las fracciones equivalentes, partimos de la siguiente figura:
Hay varias formas de representar la parte sombreada, dependiendo de las divisiones que
se tomen en cuenta:
2
Considerando sólo las divisiones verticales continuas:
5
4
Considerando además las verticales punteadas:
10
8
Agregando la horizontal punteada:
20
Digamos que la división más gruesa es la primera y de ahí avanzamos a otras más finas,
bien, la idea de las fracciones decimales es que siempre se admita como división más gruesa la de
diez partes, que en el ejemplo es la segunda; y que si se quiere otra más fina no se valga pasar a
una como la que está en tercer lugar, sino que se salte hasta la de 100 divisiones; que la inmediata
siguiente más fina sea la de 1000 divisiones, y así sucesivamente, cada nueva división multiplica
por 10 la anterior. De las tres fracciones anteriores sólo la segunda es una fracción decimal; si
119
tuviéramos paciencia para ello podíamos representar la parte sombreada con otra fracción
40
; la que le sigue a ésta y también serviría, solo que ni con paciencia la
decimal que sería
100
400
. Por comodidad para escribir los denominadores se usan exponentes
representaríamos, es
1000
para no escribir tantos ceros, recuerde que el exponente coincide con el número de ceros, por
ejemplo:
100 = 102
1000=103
1000000=106
100000000=108
Definición:
p
, donde p es un entero y n es un natural, se llama fracción
10 n
p
decimal. También se admite como tal a una de la forma , para mantener el modelo
1
aceptaremos que 100 = 1.
Una fracción de la forma
Por lo tanto, lo que distingue a una fracción decimal de otras que no lo son es su
denominador, tiene que ser una potencia de 10.
A alguien se le ocurrió otra forma de representar fracciones decimales que resulta muy
cómoda, para ello se usa la siguiente
Regla P (inicial de punto)
Una fracción decimal puede representarse escribiendo su numerador y separando sus cifras
con un punto, llamado punto decimal, de tal forma que a su derecha quede un número de
cifras igual al exponente que tiene el 10 en el denominador. Si las cifras no fueran suficiente,
se completan con ceros escritos entre el punto y las cifras disponibles.
Ejemplos:
852
= 0.00852 (el cero a la izquierda del punto puede omitirse).
10 5
852
como 0.00852 se llaman fracciones decimales, para distinguir ambas formas
10 5
no hay inconveniente en utilizar alguna expresión usual, a la primera podríamos llamarle “forma
de ‘quebrado’” y a la segunda “decimal con punto”.
Tanto
A la inversa: 41.23 =
4123
10 2
120
Ejemplos:
Escribir en notación decimal:
i)
9
= 0.9
10
43
= 0.43
100
ii)
iii)
5
= 0.005
1000
17
= 0.0017
10000
iv)
Escribir en forma de fracción:
i) 220.431 =
220431
103
ii) 14.06 =
1406
10 2
iii) 0.87645 =
87645
10 5
ACTIVIDADES:
Escribir con notación decimal:
i)
24
1000
ii)
187
10
iii)
1
10000
Escribir en forma de “quebrado”:
iv) 1.15678
v) 0.0015
vi) 2.00016
SUMA DE DECIMALES CON PUNTO
Las fracciones decimales son, claro, fracciones, lo que quiere decir que se operan como
ya hemos visto; pero una vez escritas en la forma con punto habrá que encontrar las respectivas
formas de hacer operaciones. Una opción es dar por hecho que ustedes ya saben cómo hacerlo, de
cualquier manera incluiremos algunas ideas al respecto, por lo pronto para la suma, va un
ejemplo usando sólo lo que ya hemos justificado.
de notación con punto a 'quebrado'
de 'quebrado' a la otra forma
con común denominador
64
444744448 suma 6
4748
64
4744
8
403 251
403 + 2510
2913
0.403 + 2.51 = 3 + 2 =
=
= 2.913
10
10
10 3
10 3
Ahora bien, ese resultado se obtiene si sumamos como se suman enteros, cuidando que al
acomodar los sumandos en columnas queden alineados los puntos decimales y que en la misma
línea quede el punto en la suma:
0.403
2.51
2.913
121
Ya conociendo la suma podemos relacionar las dos escrituras decimales:
desarrollo
decimal
del 4
numerador
64444
444
474
444444
8
regla P
644
4
7444
8
5
4
3
2
204107
2 × 10 + 0 × 10 + 4 × 10 + 1 × 10 + 0 × 10 + 7
=
3
3
10
10
204.107 =
=
suma
de7
fracciones
6444444444
4
4
44444444444
8
2 × 10
3
10
5
+
0 × 10
3
10
4
+
4 × 10
3
10
3
+
1 × 10
3
10
2
+
0 × 10
7
+
=
3
3
10
10
una escritura útil para efectuar más cómodamente el siguiente paso
644444
44444444744444444444448
2
3
2 × 10 × 10
0 × 10 × 10 3
4 × 10 3
1 × 10 2
0 × 10
7
+
+
+
+
+
3
10
10 3
10 3
10 2 × 10
10 3
10 × 10 2
regla
pn
=
=
p
qn
q
6444444447
44
4444448
2 × 10 2 + 0 × 101 + 4 × 10 0 +
1
0
7
+
+
1
2
10
10
10 3
En conclusión, tenemos una extensión de la notación desarrollada del sistema decimal:
204.107 = 2 × 10 2 + 0 × 101 + 4 × 10 0 +
1
101
+
0
10 2
+
7
10 3
Ejemplo:
27.6378 = 2 × 101 + 7 × 10 0 +
6
3
7
8
+
+
+
10
100
1000
10000
Ejemplo:
Comprueba utilizando notación desarrollada con base 10 que:
27.6378 = 2 × 101 + 7 × 100 +
6
3
7
8
+
+
+
10
100
1000
10000
ACTIVIDAD:
Utilizando notación de base 10 desarrollada, comprueba que:
i) 235.172 = 2 × 102 + 3 × 10 + 5 × 100 +
ii) 0.0001 =
0
0
0
1
+
+
+
10
100
1000
10000
1
7
2
+
+
10
100
1000
122
CONVERSIÓN DE FRACCIONES A FRACCIONES DECIMALES
1 3 3 7 9
, es claro que no son decimales,
, , ,
,
2 4 5 25 20
¿por qué?, sin embargo es posible hallar fracciones decimales equivalentes a ellas, en efecto, si
sólo debemos obtener abajo el famoso 10 con algún exponente, entonces:
Tomemos por ejemplo las fracciones
1 1⋅ 5
5
=
= 0.5 , resaltamos la fracción original y la decimal equivalente
=
2 2 ⋅ 5 10
3 ⋅ 52
3 3
75
= .75
b) = 2 = 2 2 =
4 2
100
2 ⋅5
sólo multiplicamos arriba y abajo por 25, así que puedes saltar el rodeo de los dos pasos
intermedios, los escribimos para observar algo más adelante, resaltamos la fracción original y la
decimal equivalente.
3 3⋅ 2 6
c) =
=
= 0 .6
5 5 ⋅ 2 10
a)
9
9 ⋅ 52
9 ⋅ 25
9
225
= 3 = 3
=
=
= 0.225
2
40 2 ⋅ 5 2 ⋅ 5 ⋅ 5
40 ⋅ 25 1000
7
7
e) =
= ¿?
6 2⋅3
19
19
f)
=
= ¿?
154 7 ⋅ 11 ⋅ 2
d)
ACTIVIDAD:
Convertir las siguientes fracciones comunes a fracciones decimales aplicando el criterio
dado anteriormente:
i)
3
5
7
20
1
iii)
4
ii)
Observaciones:
-
Advierte que estamos obteniendo fracciones decimales como 0.5, 0.75, 0.6, etc. sin
nada parecido a la división, sólo con lo que hemos visto.
En los ejemplos (e) y (f) no hay forma de obtener una fracción decimal equivalente a
la fracción dada.
123
-
Ahora es cuando necesitamos los pasos intermedios que antes podías saltar,
descompusimos los denominadores en sus factores primos: por un lado, puedes notar
que eso nos ayuda a saber por qué número hay que multiplicar arriba y abajo; pero
más importante aún, los ejemplos ilustran el siguiente
Teorema:
Sólo se pueden expresar como fracciones decimales aquellas fracciones cuyo denominador
tiene como factores primos exclusivamente: 2, 5 o ambos. Subrayamos, si además de estos
números aparecen otros primos en el denominador, no será posible la expresión en forma
decimal
Así que si nos ponemos a escribir sin mayor cuidado fracciones, la gran mayoría de ellas
no tendrán representación decimal.
Observación:
Hasta aquí siempre que hemos hablado de división, nos hemos referido a algo que
podemos llamar con más propiedad división exacta:
x ÷ y = z significa que y ⋅ z = x
así la diferenciaríamos de la llamada división con residuo por ejemplo:
11
3 35 → 3 ⋅ 11 + 2 = 35 en general, y ⋅ z + r = x en lugar de y ⋅ z = x
05
2
No nos detendremos a justificar esta operación ni cómo se adaptó a la división de
decimales con punto, pero retomaremos el hecho de que sabemos que
La división con residuo es otra forma de transformar fracciones en fracciones
decimales, cuando esto es posible
Aunque no demos la justificación, recordemos las reglas para dividir decimales con
punto:
Procedimiento de la división con residuo:
1. Se multiplica el divisor y el dividendo por la potencia que convierta al dividendo en
entero.
2. El punto decimal del cociente se coloca alineado con el punto decimal del divisor.
3. Se efectúa la división con residuo tal como ésta se realiza con números naturales cuando
esta división es posible (cuando es exacta, se acostumbra decir).
124
Ejemplos, a la vez de división y de conversión de una fracción en fracción decimal.
0.75
3
3
→
4 3.00
→
= 0.75
4
4
20
0
Ejemplos:
Insistiendo en la conversión de una fracción a fracción decimal, se tiene:
2
5
→
7
20
→
0.4
5 20
0
0.35
20 70
100
0
2
= 0 .4
5
→
7
= 0.35
20
→
ACTIVIDAD:
Hallar la fracción decimal equivalente utilizando a la vez la división.
i)
3
8
ii)
11
40
iii)
9
20
APROXIMACIONES DECIMALES Y FRACCIONES PERIÓDICAS
Ahora bien, ciertamente sólo unas pocas fracciones se pueden expresar como fracciones
decimales, pero para las otras se pueden encontrar decimales cuyo valor es cercano al de ellas,
¿qué tan cercano? Todo lo que se quiera. ¿Cómo se logra esto?, con la división con residuo, por
supuesto.
Ejemplos:
0.2727
11 3.0000
80
30
80
3
...
125
0.14285714
7 1.00000000
30
20
60
40
50
10
30
20
...
3
aproximamos a diezmilésimos, pudimos parar antes o continuar más allá, según se
11
3
requiera, entre más cifras, mejor será la aproximación a .
11
para
Se puede observar que si continuamos, simplemente se seguirán repitiendo las cifras 2 y 7, o
mejor dicho se repetirá el bloque de cifras 27 . El guión colocado encima de las cifras es para
indicar que no es el número 27 sino un bloque de las dos cifras 2 y 7, en ese orden, se dice
3
que el bloque es el periodo de 3 ÷ 11, o de
11
1
, aplicamos el proceso de división y encontramos que en cada etapa,
7
tenemos dos opciones para residuo: o es cero o es distinto de cero.
Sobre el
i) Si es cero ahí concluye la división.
ii) Si es distinto de cero, el residuo tiene que ser menor que el divisor, por lo que
tendría que ser un entero de 1 a 6, de modo que a lo más en seis etapas no se
repetirá el residuo, en la séptima etapa forzosamente se repetirá uno de esos seis
números y todo lo hecho antes se tendrá que hacer nuevamente, así se explica la
existencia del periodo.
Más adelante veremos que también el recíproco es cierto, si el decimal tiene un
periodo, se puede expresar con un ‘quebrado’.
126
Ejemplos:
Convertir las siguientes fracciones comunes en fracciones decimales:
1
3
→
4
33
→
0.333...
3 1.000...
10
10
1
1
= 0 .3
3
→
0.1212...
33 4.0000...
70
40
70
→
4
= 0.12
33
ACTIVIDAD:
Convertir las fracciones comunes en fracciones decimales:
i)
2
7
ii)
7
11
iii)
5
14
p
= p ÷ q , es decir que “p sobre q” es igual a “p entre q”,
q
siendo ésta última la división con residuo, y eso es cierto en los casos en que la fracción se
puede representar con decimales. Cuando sólo se puede conseguir una aproximación decimal
p
≈ [cifras obtenidas mediante p ÷ q] (≈ se lee
de la fracción dada entonces
q
“aproximadamente igual a”). Ahora bien, si ya se tiene el periodo se conviene en escribir, por
3
ejemplo,
= 0.27 , porque conociendo el periodo en cierto sentido se conocen todas las
11
cifras de la división. Más adelante diremos algo más al respecto.
Ahora sí podemos escribir
Una vez relacionadas las fracciones
p
con las división p ÷ q, podemos ver una de la
q
objeciones a que q sea cero, por ejemplo:
n
3
= 3 ÷ 0 → 0 3 → ¿cuánto debe valer n para que multiplicando por 0 de 3?
0
Por supuesto eso es imposible, no hay forma de efectuar esa división.
127
Otro caso:
n
0
= 0 ÷ 0 → 0 0 → ¿cuánto puede valer n para que al multiplicar por cero resulte 0? Prueba,
0
verás que la respuesta es: “lo que se quiera”, ¿pero de qué sirve una operación cuyo resultado puede ser el
que le guste a cada persona?.
Por esto se dice que la división entre 0 no está definida. De hecho no hay forma de arreglar
esto.
FRACCIONES COMPUESTAS
Este es otro tema que resulta de la relación entre fracción y división, ésta se puede expresar
diciendo que el guión “–” de quebrado juega el mismo papel que el símbolo ÷, es decir, indica división:
p
= p ÷ q , entonces tenemos representaciones como las siguientes:
q
p
p
p
r
p⋅s
q
q
a)
÷
→
, y efectuando la división se debe tener :
=
r
r
q
s
q⋅r
s
s
Por razones claras p y s se llaman extremos, mientras que q y r se llaman medios, de aquí
una regla obvia para simplificar el tipo de expresiones en cuestión:
El numerador del resultado es el producto de los extremos y su numerador es el
producto de los medios.
p
p
p
q
p
q
÷r →
b)
, por la división de que se trata el resultado es:
=
q
r
r
q⋅r
Esto requeriría su propia regla, que no es difícil escribir pero que cuando se tengan varias
reglas puede ser complicado recordarlas, quizá sea más conveniente convertir el entero r en
fracción y usar la regla anterior:
p
p
p ⋅1
q
q
=
=
r
r
q⋅r
1
Del mismo modo:
128
c)
p÷
q
→
r
p
q
r
=
p⋅r
, se escribiría en la forma :
q
p
1
q
r
=
p⋅r
1⋅ q
El tipo de expresiones introducidas se llaman fracciones compuestas, se pueden
caracterizar como cocientes indicados de fracciones y la principal tarea con ellas es reducirlas
a fracciones comunes tan simples como se pueda.
Ejemplos:
Simplificar aplicando las reglas anteriores:
i)
2
3
÷
3
8
ii)
3
÷2
4
iii)
7÷
2
5
→
2
3
3
8
→
3
4 = 3 = 3
2
2⋅4
8
→
=
2 .8
16
7
=
=1
3. 3
9
9
ó →
5⋅ 7
7
35
=
=
2
2
2
5
ó →
ACTIVIDAD:
Simplificar:
7
3
i)
÷
8
16
ii)
13
÷15
17
iii) 10 ÷
3
4
3
= 1.5000...( = 1.50 en notación abreviada)
2
− 11
= −0.1222...( = −0.12)
90
3
4 = 1. ⋅ 3 = 3
2
2. ⋅ 4
8
1
7
1 = 5 ⋅ 7 = 35
2
1⋅ 2
2
5
129
Vamos a examinar el problema complementario acerca del periodo, veremos como
convertir a ‘quebrado’ un decimal periódico:
Ejemplo 1
Sea a = 0. 7
10a = 7.7
multiplicamos esto por 10
a esto le restamos la expresión original
10a − a = 9a = 7.7777 − 0.7777... = 7
7
de modo que 9a = 7, por lo que : a =
9
Ejemplo 2
Sea
b = 13.182
1000 b = 13182.182 …
esta vez multiplicamos por 1000
a esto le restamos la expresión original
999 b = 13169
y obtenemos b =
13169
999
Ejemplo 3
Sea
c = 4.15 243
100c = 415. 243
100000 c = 415243. 243
a esto le restamos la expresión anterior
99900 c = 415239
y obtenemos: c =
415239
99900
ACTIVIDAD:
Halla los números racionales de las siguientes expresiones decimales periódicas:
i)
Sea
a = 0.17
ii) Sea
b = 21.1234
iii) Sea
c = 3.765
130
Propiedad de densidad de las fracciones
Partiremos de la siguiente cuestión:
Dados dos enteros, ¿cuántos enteros existen entre ellos?. Pues depende de cuáles sean los
enteros. Si son 3 y 9 la respuesta es 5; si son -2 y 0 sólo hay uno; si son 2 y 3 no hay tales enteros.
Ahora, dadas dos fracciones, ¿cuántas fracciones hay entre ellas?
Por ejemplo:
¿Cuántas fracciones hay entre
3
15
? Si dijiste 11 piénsalo otra vez, un diagrama
y
2
2
lineal te ayudaría bien.
5
1
?. No son 9, ¿verdad?.
y
2
4
1
2
¿Cuántas fracciones hay entre
?
y
4
4
¿Cuántas fracciones hay entre
No importa cuáles fracciones tomes, la respuesta es siempre la misma: entre ellas hay
muchas otras.
Este asunto nos remite a uno de los diagramas usados al introducir la recta numérica,
vamos a reproducirlo aquí y a agregarle la ampliación de otra pequeña parte:
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
unidad
0
1/8
2/8
¼
0/1 2/16
4/8
3/8
6/16
4/8
½
5/8
10/16
6/8
¾
1
7/8
14/16 16/
9/16
64/128 65/128 66/128 67/128 68/128 69/128 70/128 71/128 72/128
131
¿Notas cuál marca corresponde a 9/16?, ¿cómo obtuvimos ese 9/16? Después dividimos
el intervalo elegido en 8 partes iguales, para hacerlo tuvimos que refinar las subdivisiones, por
eso convertimos a 128 avos empezando por 4/8=64/128 y 9/16=72/128.
¿Se nota que podríamos continuar así indefinidamente?
¿Qué entero le sigue inmediatamente a 6? Obvio ¿no es cierto? ¿Qué fracción le sigue
inmediatamente a ½ (es decir a 4/8)?, ¿será 2/2?, no, ésto es un número entero y antes está, por
ejemplo, ¾; pero antes de este está, por ejemplo, 5/8; pero antes está ... ¡cielos!
0
½
4/8
3/4
5/8
6/8
2/2
7/8
8/8
Esta situación algo extraña es otra manifestación de la característica de las fracciones de
permitir intercalar otras fracciones entre dos cualesquiera de ellas.
Propiedad de Densidad de las Fracciones:
Entre dos fracciones cualesquiera siempre hay una infinidad de otras fracciones
Dada una fracción no existe una fracción que le siga inmediatamente
Densidad de las fracciones:
Esta es una propiedad relacionada con el orden entre las fracciones:
p r
p
x
p
x
r
r
∀
∈ F , tales que
,∃
∈ F tal que:
<
<
<
,
q s
q
s
y
q
y
s
II.1.8. LOS NÚMEROS RACIONALES
Prácticamente hemos concluido lo que teníamos que decir sobre fracciones, sólo falta un
detalle de carácter teórico. Antes hemos estudiado dos sistemas numéricos, el de los naturales y el
de los enteros; la presente unidad vendría siendo el estudio del sistema de las fracciones, ahora
bien, quizá entonces se hayan notado ciertas diferencias entre lo que hemos hecho con las
fracciones por un lado y los sistemas antes mencionados por el otro, sobre todo la abundancia, es
decir, la no unicidad de:
0
0
0
, etc.
- neutros aditivos:
=
=
1
2
−1
−1
−2
1
2
3
, etc
- neutros multiplicativos:
=
=
=
=
1
2
3
−1
−2
3
, a saber:
- inversos aditivos de una fracción dada, por ejemplo de
4
−3
3
−6
, etc.
=
=
4
−4
−8
132
-
inversos multiplicativos, por ejemplo para
3
4
−4
se tienen:
, etc.
=
4
3
−3
A pesar de esto se trabaja cómodamente usando el Postulado S, pero para mantener el
modelo usado con naturales y enteros sería conveniente lograr la unicidad en cuestión, y hay
formas de hacerlo, una que no choca bruscamente con las costumbres de los alumnos, de hecho la
tienen varios de ustedes, es la de trabajar sólo con fracciones totalmente simplificadas, por
ejemplo, si se exige este requisito sólo se podría usar como neutro aditivo la primera de las
0
0
0
etc; análogamente para el neutro
fracciones anotadas en la página anterior
=
=
1
2
−1
multiplicativo y para los inversos.
En la mayoría de los libros más comunes no se usa el término fracción sino el de número
racional, bien, resulta que no son exactamente lo mismo. Puesto en forma sencilla, los números
racionales son ciertas fracciones especiales, concretamente las fracciones simplificadas al
máximo y que no tengan denominadores negativos.
Enseguida damos una lista de fracciones, se han resaltado las que son números racionales:
-3 0
1 −1 −5
105 105
3
0
3
3 9
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
−4
4
1
−4 1
2
286
78
6 7
−7
−3
Definición:
Se le llama número racional a cada fracción simplificada totalmente y con
denominador positivo, el conjunto de todas ellas se representa por Q.
Definición:
El conjunto de los números racionales es
⎫
⎧ p
Q=⎨
p.q ∈ Z , mcd ( p, q) = 1, q > 0⎬
⎭
⎩ q
Para nuestros propósitos solamente en unas pocas ocasiones será conveniente
distinguir entre fracción y número racional, e incluso no será indispensable, puedes seguir
trabajando sin esta complicación, repetimos, de carácter teórico; pero no sobra recordar que la
distinción en cuestión se reduce a diferenciar entre fracción y fracción simplificada, cosa que
se hace con el propósito de mantener el concepto original de sistema numérico.
En particular, la frase “fracciones equivalentes” tiene un significado bien definido,
mientras que “racionales equivalentes” no tiene sentido, no los hay.
133
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN II.1
1. De la expresión que tiene en mente el Sr. Federico, conteste lo siguiente:
a) Identifique el numerador y el denominador.
b) ¿Qué significa el numerador?
126
c) ¿Qué significa el denominador?
de queso
d) Si invierte la posición del numerador y del
168
denominador, ¿qué ocurre?
Explíquelo.
FEDE
RICO
2. ¿ Cuáles de las siguientes fracciones son equivalentes?
3 6 12
3 5
3 6 12
b) ,
c) ,
a) , ,
,
5 7
8 16 32
4 8 , 14
d)
5 10 1 15
,
, ,
10 15 2 , 30
3. CACEROLA DE ATÚN CON PAPAS ASTILLADAS
Cantidad de cada ingrediente:
1
1 lata ( 10 oz. Se lee 10 onzas y media)
2
de crema de champiñones.
3
de taza de leche.
6
1 lata ( 7 oz.) de atún.
8
de taza de papa cortada en astillas.
8
5
de taza cocida de arverjas verdes.
5
1
de papa cortada en astillas.
4
Instrucciones para mezclar y combinar.
1.- Caliente el horno a 350°
2.- Vacíe la sopa en un recipiente de aluminio
o en un refractario.
3.- Agregar la leche.
4.- Agregue el atún , 1 taza de papas astilladas
y las arverjas a la mezcla de la sopa y la
leche.
Mezcle suavemente.
2
5.- Esparza de papas astilladas.
8
Instrucciones de cocción y cómo saber
cuándo está listo el plato.
1
1
6.- Hornee de
a
hora , hasta que la sopa
3
2
hierva y el borde de la cacerola tome un
color castaño.
Forma de servir.
Puede servirse con una ensalada de espinacas,
4
galletas y de un vaso de leche.
8
Numero de porciones.
3 ó 4 porciones.
134
4. Halle una fracción equivalente a
12
tal que :
36
a) El numerador sea 3
b) El denominador sea 5 veces el denominador original.
c) El numerador valga la tercera parte del numerador original.
5. Considerando la receta “ Cacerola de Atún con papas astilladas” :
a) Identifica en la receta de la cacerola de atún todas las fracciones equivalentes.
b) ¿Cuáles de ellas representan la unidad?
6. Identifica el mensaje escondido en la pancarta, para ello ubique la fracción equivalente y
escriba la letra.
2
1
2
4
1
2
12
4
5
3
12
4
16
2
7
8
5
58
12
8
13
75
24
14
C
W
K
A
2 2 4
20 12 8
O
L
P
J
8 2
20 7
5
9
7 1 1 3
11 29 12 3
Y
E
R
3
6
5 12
8 18
F
S
I
D
24 3
30 4
2
6
3
8
42 2
60 3
M
5
N
60
Q
B
4 4
20 7
1
8
5
16
1
6
32
12
13
32
29
16
80
60
U
T
3
5
13
75
G
H
V
3 2
21 9
2
8
6. Determina el valor de cada literal para que las equivalencias indicadas sean ciertas.
a)
2 m
=
7 21
y 2
b) =
6 3
c)
x −4
=
25 5
d)
f)
k 8
=
8 k
9 9
g) =
5 h
h)
12 95
=
p 40
i)
7. Sombrea
5
de la gráfica que se presenta:
8
10 100
=
3
j
− 5 50
=
7
r
e)
−4 w
=
− 8 − 40
j)
81 27
=
y −2
135
8. ¿Cuál círculo tiene aproximadamente la misma fracción sombreada que el rectángulo?
9. Convierte a fracciones comunes a las siguientes expresiones:
5
3
1
2
1
a) 9
b) 12
c) 8
d ) 11
e) 3
6
4
2
5
3
10.
Obtén tres
1
3
a)
b)
2
1
fracciones
−2
c)
3
equivalentes para cada
−5
5
3
d)
e) −
f)
−4
78
8
f)1
1
10
una de las fracciones
15
9
g)
h)
7
9
dadas.
11. Dos niñas y dos niños midieron la longitud del salón de clase contando el número de pasos
que requerían para recorrerlo. La siguiente tabla muestra cuáles fueron sus observaciones:
NOMBRE
NÚMERO
DE
PASOS
12
8
10
15
Araceli Sánchez
Estela Vázquez
José Toxqui
Arnulfo Analco
a)
¿Quién de ellos da los pasos más largos?
b) Si entendemos que por cada 8 pasos que da Estela ,
Araceli da 12, ¿Podría deducir cuántos pasos da Estela
por cada 4 pasos de Araceli?
c)
Pensando en el problema, ¿qué indican las expresiones
12 12 8
, , ?
10 15 10
d) 30 pasos de Arnulfo ¿a cuántos pasos de José
equivalen?
e)
¿A cuántos pasos de Estela corresponden 96 pasos de
Araceli?
12. Simplifica las siguientes fracciones a su mínima expresión.
a)
6
18
g) −
15
18
b) −
h)
5
15
64
8
c)
18
9
i)
0
22
d)
j)
21
− 11
90
270
e)
−3 125
625
k)
1050
3500
f)
3
9
l)
64
200
136
13. Efectúa las siguientes sumas de fracciones:
1
6
+
+
7
7
5
7
b)
+
+
9
9
12
3
c)
+
65
65
7
2
+
d)
18
18
a)
2
0
+
=
7
7
3
=
9
8
19
5
+
+
+
=
65
65
65
21
6
+
+
=
18
18
2
3
4
+
+
=
5
5
5
3
7
0
12
1
f)
+
+
+
+
11
11
11
11
11
e)
14. Efectúa las siguientes sumas de fracciones:
6
11
+
27
21
8
6 ⎤ ⎡
2 ⎤
⎡ 2
+
+
+ ⎢1 +
=
c) ⎢
⎥
16
54 ⎦ ⎣
108 ⎥⎦
⎣ 24
5
12
22
+
+
=
e)
7
21
42
a)
b) 3
d)
⎡
f )⎢
⎣
1
1
+6
4
8
7
14
+
18
27
−5
7
+
6
3
+ 12
8
=
20
=
12 ⎤
⎤ ⎡ 3
⎥⎦ + ⎢⎣ 9 + 5 ⎥⎦ =
15. Una aleación está compuesta por 24 partes de cobre, 4 de estaño y 1 de zinc. ¿Cuántos
kilogramos de cada metal habrá en 348 kg. de aleación?
3
16. La distancia de una ciudad a otra es de 210 km. ; si el primer día Hugo recorre los
de
7
2
7
y el tercero los
, ¿a qué distancia estará del punto
esa distancia, el segundo día los
21
30
de llegada?
17. Una pecera con sus peces costó $480.00, sabiendo que el precio de los peces fue la tercera
parte del costo total ¿Cuál es el precio de la pecera y cuál el precio de los peces?
1
3
kg. de trigo y 170 kg. de arroz,
9
4
¿cuántos kilogramos de mercancía ha comprado en total?
18. Un comerciante ha comprado 800 kg. de papas, 120
3
2
1
19. Cuatro bultos pesan respectivamente 180 lbs, 150 lbs , 140 lbs
4
3
2
¿cuántas libras pesan entre los cuatro?
y 165 lbs
137
20. Para la receta del ponche se necesitan
18
1
tazas de jugo de naranja, 7 tazas de jugo de
4
3
5
tazas de jugo de limón. ¿cuántas tazas en total de jugo se necesitarán para la
8
receta del ponche?
lima y
21. En la siguiente gráfica señala la suma de
1
1
y
4
6
22. Halla dos fracciones con denominadores 7 y 9 respectivamente tales que su suma sea
73
63
23. Cada tres gramos de cereales contienen 10 calorías, este hecho podemos anotarlo como
3
10
a) ¿Qué fracción expresa el hecho de que cada 2 gramos de cerdo contienen 16 calorías?
b) Suma las dos fracciones anteriores.
c) Si una persona come 3 gramos de cereales y 4 gramos de cerdo, ¿cuántas calorías habrá
consumido?
24. Pablo va al supermercado y hace algunas compras. Toma un carrito y deposita en él una caja
1
5
del espacio del carrito , un paquete de pan ocupa
, una bolsa
de huevos que ocupa
8
12
4
1
y 5 libras de panela cada una de ellas ocupa
del espacio total. ¿Qué
de arroz grande
10
10
fracción ocupa toda la mercancía adquirida?, ¿ocupa la mercancía más o menos espacio del
que ocupa el carrito?
15
45
mililitros de una solución A con
mililitros de solución
4
8
B .¿Cuál es el volumen de la mezcla resultante?
25. En un laboratorio se mezclan
26. Localiza en la recta numérica los siguientes números racionales:
a)
−1 3 − 6 6 0 2
, ,
,
,
,
4 4 4 4 4 4
b)
1 − 7 0 3 − 2 − 10
,
, ,
,
,
5 5
5 5 5
5
138
27. En la recta numérica ubica los siguientes números racionales.
a) 1
1
2
b) 1
7
8
c) 1
-1
-2
1
8
d) -
0
5
8
e) -
1
8
2
1
28. Del ejercicio anterior:
a) Identifica la fracción mayor. ¿Por qué?________________________________
b) Identifica la fracción menor ¿Por qué?________________________________
c) De las fracciones: −1
1
5
y −
2
8
¿ cuál es mayor. ¿Por qué? ________________
29. Representa en la recta numérica las siguientes fracciones equivalentes:
a)
−3
,
5
−6
,
10
b)
1
,
2
−1
,
−2
2
,
4
c)
0
,
1
0
,
−1
0
,
−2
d)
1
,
1
2
,
2
e)
2
,
6
−2
,
−6
3
,
−5
−1
,
−1
6
,
− 10
−2
,
−4
0
,
3
− 20
,
− 20
1
6
,
,
3
18
3
,
6
12
,
− 20
− 24
40
−3
−6
0
0
,
2
100
− 100
− 10001
,
− 100
− 10001
−1
− 600
,
− 3 − 1800
139
30. Indica el número racional correspondiente a cada punto.
A
B
-3
-2
C
-1
0
A
B
-1
A
-5
D
1
C
1
C
-4
-3
-2
3
D
0
B
2
D
-1
0
1
2
3
4
5
2 3
5
1
,
,−
, − 2,
4 4
4
4
31. Grafica los siguientes números racionales
a) 1
2
1
2
1
,
,
,1
3
3
3
3
b) −
c) −
1
3 4
,−1
, −1 ,
4
4 4
d)
3
5 6 7
1
,−
,−
,
,
8
8
8 8 8
32. Determina cuál es el número entero más cercano al número dado.
3
8
b) − 1
7
8
c) −
1
5
e) − 4
1
4
f)−4
a) 5
d)1
1
3
5
6
33. Escribe el inverso aditivo de las siguientes fracciones:
a)
3
5
b) −
4
9
c)
−7
23
d)
4
−5
e)
−4
5
f)
34. Calcula el valor de las siguientes restas de fracciones:
a)
9 5
− =
7 7
b)
3 ⎛ 2 1⎞
− ⎜− − ⎟ =
7 ⎝ 5 2⎠
c)
−8 ⎛ 3 1 ⎞
⎟=
− ⎜− −
5 ⎝ 4 3 ⎟⎠
⎛3 5⎞
d) 2 − ⎜ − ⎟ =
⎝4 6⎠
e) 94 −
8
=
36
0
7
140
35. Sobre la unidad que escojas sombrea:
a) La tercera parte
b) La quinta parte
d) Lo que le falta a 60% para ser 100%
7
c) Lo que le falta a
para ser la unidad
8
5
e) Lo que le falta a
para ser la unidad
12
36. Martha Quintero prepara mantequilla para vender , midiéndola en onzas, (8 onzas equivalen a
media libra.)
a) Martha trae 32 onzas de mantequilla, ¿cuántas libras son?
b) Varias personas se acercan para comprar; la primera compra un cuarto de libra , la
segunda seis y media onzas y la tercera un octavo de libra . ¿cuántas libras le quedan a
Martha por vender?
c) ¿Cuántas onzas aproximadamente vendió Martha y cuántas le quedan por vender?
37. Dado un cordel, Juan toma la mitad, de lo que queda Pedro toma la mitad; de lo que queda
María toma la mitad; de lo que queda Carmen toma dos de cinco partes y finalmente quedan
30 cms. ¿cuál era la longitud del cordel?
38. En un colegio el alumnado tiene su receso de un cuarto de hora. Si el descanso termina a las
diez y media, ¿a qué hora empieza el receso? Escribe la operación que hiciste para resolver el
problema.
39. Completa la serie de los siguientes números , indicando cómo se obtiene cada número a
partir del anterior.
4 3 2 1 ? ? ? ?
a) , , , , , , ,
5 5 5 5 ? ? ? ?
1 1 0 −1 −1 ? ? ? ?
b) , , ,
,
, , , ,
2 4 4 4 2 ? ? ? ?
40. Chepe recorre en su silla de ruedas
7 3 5 ,3 ? ? ?
c) , , ,1, , , ,
4 2 4 4 ? ? ?
3
de milla para llegar a su colegio. Amparo camina
5
2
de milla para llegar al mismo sitio. ¿quién recorre una distancia mayor?, ¿cuánto más?
5
14
3
km. de la biblioteca. Si a
km. del camino de su casa a la biblioteca se
3
4
encuentra un supermercado para comprar algunos comestibles. ¿A qué distancia de la
biblioteca se encuentra dicho supermercado?
41. Jaime vive a
42. Blanca América asa un pollo para el almuerzo durante una y media horas. Antes de servirlo lo
deja enfriar durante un tercio de hora . ¿A qué hora debe asar el pollo si necesita servir el
almuerzo a las 12:30 p.m.?
43. Eduardo compró doce y media libras de arroz para preparar la comida y gastó una y media
libras. ¿cuánto arroz le queda? Si cada día usa la misma cantidad, ¿para cuántos días le
alcanzará el arroz restante?
141
44. En una finca de 500 hectáreas de superficie se cultivan 3 de cada 20 hectáreas y se rentan una
de cada diez hectáreas. Si el terreno ocioso se vendiera a $5,000.00 la hectárea ¿cuál sería el
importe de la venta?
45. Halla el inverso multiplicativo de cada una de las siguientes fracciones, si existe:
a) −
3
13
b)
6
1
c)
0
6
d)
−7
10
e)
11
11
46. Halla el inverso multiplicativo o recíproco de cada fracción:
3
11
7
5
22
8
4
g)
a)
b)
c)1
d)3
e)
f)
4
12
10
8
9
9
7
f ) −1
h)
3
8
i)
2
5
47. Efectúa las operaciones que se indican:
⎛ 3 ⎞
a )6 ⎜
⎟
⎝ 6 ⎠
5 ⎞⎛
4 ⎞⎛
1 ⎞
⎛
b) ⎜ −
⎟
⎟⎜ −
⎟⎜ −
5 ⎠⎝
3 ⎠⎝
4 ⎠
⎝
3 ⎞⎛
11 ⎞
⎛ 7 ⎞⎛
c) ⎜
⎟5
⎟⎜ −
⎟⎜ −
5 ⎠⎝
7 ⎠
⎝ 11 ⎠ ⎝
d)
8 ⎛
1 ⎞ 0
⎜ −
⎟
15 ⎝
2 ⎠ 2
48. Una de ocho partes de un cuarto de litro de helado contiene 145 calorías, ¿cuántas calorías
contiene
1
32
de litro de helado?
1
49. Lázaro afirma que multiplicar por
2
esto? Explica dando ejemplos.
una fracción equivale a dividirla entre dos, ¿es cierto
50. Si una libra de zanahorias corresponde a 12 zanahorias iguales, ¿cuántas zanahorias habrá en
un tercio de libra?
51. Cada una de las secciones A, B, C y D , corresponde a un cuarto del estacionamiento.Los
lugares para personas minusválidas ocupan un medio de la sección A. ¿Qué parte del
estacionamiento es para personas minusválidas?
D
B
A
52. Expresa cada división de fracciones como una multiplicación sin resolverla.
a)
3 2
÷
4 5
b)
7 4
÷
9 5
c)
6 ⎛ 8⎞
÷ ⎜− ⎟
5 ⎝ 3⎠
d)
5 2
÷
8 3
e)
3 4
÷
4 3
C
142
53. Encuentra en cada caso el valor desconocido para que la igualdad sea cierta.
a)
m
4
÷
=1
n
5
b)
t
9
9
÷
=
4
s
4
3
−3
÷
= −2
5
n
c)
d)
3
4
15
÷
=
2
y
8
54. Divide y reduce a su mínima expresión las siguientes fracciones:
3 1
÷ =
5 5
a)
5 3
÷ =
8 2
b) −
c)
13
7
÷
=
20 10
d) − 3
1 ⎛ 5⎞
÷ ⎜− ⎟ =
3 ⎝ 6⎠
2
3
÷1 =
3
4
e) 5
55. Efectúa las siguientes operaciones de fracciones.
a)
e)
5
3
4
+
4
9
3
−
×
13
9
7
6
×
=
b)
3
f)
26
5
12
56. Escribe el símbolo < , >
a) −
5
9
−
7
;
12
b)
17
30
3
8
−
+
17
12
9
8
×
4
×
3
=
3
5
g)
34
7
c)
6
4
1
+
5
+
6
16
÷
×
3
2
4
15
=
h)
ó = que corresponda en lugar de
3
;
5
c)
3
5
7
;
10
d) −
10
d)
7
8
7
+
3
4
−
÷
3
6
×
14
9
=
6
13
.
6
5
−
8
6
e) −
5
7
− .
10
8
57. Escribe en orden de mayor a menor.
1 1 1
a) , , ;
5 3 4
7 7 5
b ) − , − ,−
4 8 7
c)
58. Escribe el símbolo < , > ó = en lugar de
a)
x
5
x
;
7
b)
y
24
y
;
12
c)
3d
6
−
12
15
4
,−
,−
5
6
3.
. La variable representa un entero positivo.
2d
;
6
d)
5
a
59. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones.
5 5 5 5 5 5 5 5
, , , , , , ,
6 8 3 2 9 5 12 4
60. Expresa como fracciones decimales los siguientes números decimales:
3
a
143
a) 0.068
b) 1.3
c) 0.987
d) 36.1
e) 0.000 096
f) 1.007
g) 100. 1
h) 0.099
61. Expresa como números racionales los siguientes decimales periódicos.
b)0. 235
a) 0.24
c) 0. 0087
d) 0. 01287
62. El siguiente cuadro muestra los valores posicionales de los siguientes números: 24.5 y
6.263.
1
2(
6(
) + 4(
) + 2(
) + 5(
) + 6(
10
2
1
4
6
1
0
5
2
1
0
6
milésimas
1
0
centésimas
décimas
punto decimal
100
unidad
Centenas
1000
docenas
millares
Escríbelos en forma decimal desarrollada.
1
1 0 0 0
3
) = 24.5
) +3( ) = 6.263
63. Suma las siguientes fracciones y en seguida comprueba efectuando la suma como números
decimales.
3 5
,
10 100
3
5
5643
b)
,
,
100 1000 100000
35 12 9
1
,
, ,
c)
1000 100 10 10000
a)
64. Encuentra un número racional entre 0 y 1.
144
65. Encuentra 5 números racionales entre 0 y ½
66. Encuentra otros 5 números racionales diferentes del problema 2 situados entre 0 y ½
67. Obtén un número racional que se encuentre entre:
a)
1
y1
2
b)
3
y1
4
d)
15
y1
16
e)
31
y1
32
c)
7
y1
8
68. Considera el conjunto de todos los números racionales mayores que 1. ¿tiene este conjunto un
elemento mínimo?, ¿por qué?
69. Considera el conjunto de todos los números racionales menores que 3. ¿Tiene este conjunto
un elemento máximo?, ¿por qué?
70. ¿Hay un entero positivo mínimo?, ¿cuál es?
71. ¿Hay un número racional positivo mínimo?, ¿cuál es?
145
II.2 ARITMÉTICA DE LAS PROPORCIONES
INTRODUCCIÓN
Ahora estamos en uno de los temas de mayor uso cotidiano, incluso se emplea con
frecuencia sin que se sepa que se trata de las proporciones; la lista de usos que se les da sería
larga, por ejemplo, se relaciona: con lo que ha hecho cualquier persona que ha elaborado un
diagrama o un dibujo que no se vea “desproporcionado” comparado con los con los objetos reales
que se han representado; con lo que hacemos cuando se comparan los trabajos que hacen
diferentes personas y sus salarios para ver si se corresponden o algunos están
“desproporcionados”; cuando calculamos cuántas horas más tendríamos que trabajar para
terminar la tarea tantos días antes; etc. Particularmente reconocerás aquí al caballito de batalla
que es la “regla de tres” y al siempre presente porcentaje.
II.2.1. RAZONES Y PROPORCIONES
Hay dos operaciones que se prestan para comparar cantidades, la resta y la división, por
ejemplo, consideremos dos segmentos AB y CD y las expresiones de la derecha:
B
A
AB − CD = 6 − 3 , o sea : AB − CD = 3
AB
C
CD
D
=
6
3
, es decir :
AB
CD
=2
¿Qué significa la primera expresión, ya sea escrita como en el cuadro o en la forma
AB = CD + 3 ? Que el segmento AB es 3 unidades mayor que el CD .
¿Cómo se interpreta la segunda?, se ve más claro si se escribe en la forma AB = 2CD ,
significa que el segmento AB es 2 veces el segmento CD .
Estamos comparando cantidades de dos maneras diferentes, la que nos interesa aquí es la
segunda, en el ejemplo la base de la comparación es la expresión
AB
CD
=
6
3
a la que se le da el nombre de proporción, como se ve, su aspecto es el de una equivalencia de
fracciones, y básicamente así es, con ciertas diferencias, como sea, los términos que se usan al
hablar de proporciones son especiales y veremos algunos de ellos.
La división indicada en forma de “quebrado”de dos cantidades que se comparan se
llama razón, por ejemplo
AB
CD
, también se acostumbra representar la comparación en la forma
AB : CD , en ambos casos se lee “ AB es a CD ”. Al numerador o a la cantidad que se
escribe a la izquierda de los dos puntos se le llama antecedente, la otra es el consecuente
146
Ejemplo:
12
o bien 12 : 4,
4
esta razón se lee “12 es a 4”, es decir, hay 12 meses del año por cada 4 de un cuatrimestre. Tiene
importancia distinguir cuál es la cantidad que se menciona primero; observa que la razón entre un
4
cuatrimestre y el año es de
o bien 4:12, que se lee “4 es a 12”, es decir hay 4 meses en un
12
cuatrimestre por cada 12 de un año. Observa que si hay 4 meses en un cuatrimestre por cada 12
de un año, entonces hay 8 meses en dos cuatrimestres por cada 24 que hay en dos años, o 12
meses en tres cuatrimestres por cada 36 meses en 3 años; todos estos casos son realmente la
misma comparación y sólo es consecuencia de la equivalencia de fracciones, observa:
La razón que existe entre el año escolar y el cuatrimestre: se escribe
4
8
12
=
=
12 24 36
Definición:
Si dos razones son equivalentes o “iguales”, a la equivalencia o “igualdad” de ambas
se le llama proporción.
Como ya se dijo antes,
AB
CD
=
6
3
, es una proporción, y además de esta forma y de su lectura
usual (“ AB sobre CD es equivalente a 6 sobre 3”), se puede escribir y leer, respectivamente,
AB : CD :: 6:3, es decir, “ AB es a CD como 6 es a 3”. ¿Cómo es 6 a 3?, el primero es el doble
del segundo, pues así AB es a CD , el primero el doble del segundo.
4
1
= o bien
12 3
4:12 :: 1:3, o sea, 4 es a 12 como 1 es a 3. Ya que 1 es la tercera parte de 3, así 4 (el cuatrimestre)
es la tercera parte de 12 (el año).
En el caso del año y del cuatrimestre tenemos, por ejemplo, la proporción:
Un problema frecuente al trabajar con proporciones es que se conozcan tres de sus cuatro
elementos y que se tenga que calcular el restante, por ejemplo, si en el caso de los segmentos no
tuviera divisiones el segundo, o sea, si no supiéramos cuanto mide, pero sí se conocieran los otros
tres números tendríamos:
6
6
= , aquí ya se ve que CD =3, pero de una manera más general podemos emplear la
CD 3
característica de las fracciones equivalentes y escribir ( CD )(6) = (6)(3) (igualdad de los
( 6 )( 3 )
= 3.
productos cruzados) y de aquí: CD =
6
147
De forma parecida, si en el caso de los cuatrimestres queremos calcular cuántos hay en 7
años, procedemos como sigue: claro que la respuesta es inmediata, pero lo que queremos es
ilustrar un procedimiento para asuntos menos simples, x es el número de cuatrimestres buscado.
( 84 )( 4 )
x
4
=
entonces x( 12 ) = ( 84 )( 4 ), así que x =
= 28
12
7 ⋅ 12 12
II.2.2. PROPORCIONALIDAD DIRECTA Y PROPORCIONALIDAD INVERSA
Hay dos clases de problemas importantes relacionados con las proporciones, ilustraremos
cada clase con un ejemplo:
Ejemplo 1:
Un automóvil viaja a 120 kilómetros/hora ¿Cuántos kilómetros recorrerá en 1, 2, 3, y 4
horas respectivamente manteniendo esa velocidad? Llena la tabla.
120 km/h (fijos)
0 120 240 360 480
t (tiempo en horas)
d (distancia en km)
1
2
3
4
Ejemplo 2:
Un automóvil tiene que recorrer 360 km con velocidad constante, ¿a qué velocidades debe
viajar para recorrer la distancia en 3, 4, 5, 6 horas, respectivamente? Llena la tabla.
0 120 240 360 t (tiempo en horas)
v (velocidad en km/h)
3
4
5
6
148
¿Cómo habrás hecho para calcular los números de las tablas?, posiblemente como sigue:
Ejemplo 1
Multiplicaste cada tiempo por 120 km/h,
en la forma:
(120)(1) = 120 (120)(2) = 240 etc.
En general: 120·t = d
o también
d
= 120
t
Esta fórmula puede ser útil para hacer
algunos cálculos. Si el auto lleva
viajando 75 minutos, ¿qué distancia ha
d
recorrido?:
= 120 así que:
1.25
d = (120)(1.25) = 150 km
Ejemplo 2
Dividiste 360 entre cada tiempo:
360
= 90
4
360
= 120
3
En general:
360
=v
t
etc.
o también:
t ⋅ v = 360
Del mismo modo, si el auto viajó a 80
km/h, ¿en qué tiempo recorre los 360
km?: t (80) = 360, por lo tanto:
t=
360
= 4.5 hrs
80
t =4.5 hrs
En cada una de las últimas expresiones se tiene una fórmula con tres cantidades, dos de ellas son
variables, es decir toman varios valores en el problema, y una es constante, siempre tiene un
mismo valor; a la izquierda las variables son el tiempo t de viaje del auto y la distancia d que
recorre en ese tiempo; a la derecha las variables son también el tiempo t y la velocidad v a la que
debe viajar el auto para recorrer los 360 km en ese tiempo.
149
d
= 120 nos dice que si se
t
divide una distancia entre el tiempo que
le
corresponde
se
obtendrá
invariablemente 120; si representamos
con d1 una distancia particular y con t1 el
tiempo que le corresponde entonces
ocurrirá eso; y si d2 es otra distancia y t2
su correspondiente tiempo pasará lo
mismo, es decir tendremos que:
La fórmula
d1
= 120
tt
y
d2
= 120
t2
De este lado la situación es parecida.
La fórmula t·v = 360 indica que
siempre que se multiplique un tiempo
de viaje por la velocidad con que se
viajó, el resultado será 360.
Entonces, si t1 es uno de esos tiempos y
v1 la velocidad con que se efectuó el
viaje; y si también t2 es otro tiempo y v2
la
correspondiente
velocidad,
tendremos:
t1·v1 = 360 y
t2·v2 = 360
por lo tanto: t1·v1 = t2·v2, así que
esto quiere decir que
d1 d 2
=
t1
t2
Ejemplo: si la distancia recorrida en el
viaje fue de 200 km, ¿qué tiempo duró
ese recorrido? De la tabla original
tomamos cualquier par de datos, por
ejemplo 2 y 240, estos serán t2 y d2;
200 240
entonces d1 es 200 y
, de aquí
=
t1
2
se obtiene (t1)(200) = (200)(2), es decir:
t1 =
400
=2
200
t1 v2
=
t 2 v1
Ejemplo: si el viaje tardó 3.5 hrs., ¿a
qué velocidad viajó? Tomamos como t2
y v2 cualquier par de datos de la tabla
original, por ejemplo 4 y 90; t1 será 3.5,
3.5 90
, así que:
entonces:
=
4
v1
(v1)(3.5) = (90)(4) o sea
v1 =
( 90 )( 4 )
=102.85
3.5
Las dos últimas fórmulas que aplicamos son las que más claramente señalan que estamos
hablando de proporciones, ambas fórmulas lo son; por cierto, examina bien los subíndices para
que las distingas claramente, tienen una diferencia importante: si unes con una recta los índices
iguales de la proporción del lado izquierdo te quedan dos rectas paralelas; si haces lo mismo con
la proporción de la derecha te quedan dos rectas cruzadas.
Los ejemplos anteriores corresponden a dos clases de situaciones muy abundantes, la del
ejemplo 1 es la proporcionalidad directa y la del ejemplo 2 es la proporcionalidad inversa;
enseguida se detallan las características básicas de la proporcionalidad:
150
Proporción directa
Proporción inversa
1.
Participan dos variables, digamos x, y.
1.
Participan dos variables, digamos x, y.
2.
Al aumentar una de las variables también
aumenta la otra (al disminuir una disminuye
la otra), más precisamente, si una de las
variables se multiplica (o se divide) por un
número, la otra variable resulta multiplicada
(o dividida) por el mismo número. En este
caso se dice que x y y son directamente
proporcionales o que una varía en
proporción directa a la otra.
2.
Al aumentar una de las variables la otra
disminuye, más precisamente, si una de las
variables se multiplica por un número, la otra
variable resulta dividida por el mismo
número. En este caso se dice que x y y son
inversamente proporcionales o que una varía
en proporción inversa a la otra.
3.
La característica anterior se refleja en que el
y
cociente
siempre es el mismo para cada x
x
y el correspondiente valor de y (en nuestro
ejemplo fue la velocidad, 120), este valor fijo
se llama constante de proporcionalidad; todo
esto se expresa en una fórmula de la forma:
y
= k (constante de proporcionalidad)
3.
La característica anterior se refleja en que el
producto x·y siempre es el mismo para cada
x y el correspondiente valor de y (en nuestro
ejemplo fue la distancia, 360), este valor fijo
se llama constante de proporcionalidad; todo
esto se expresa en una fórmula de la forma:
Supongamos que la variable x toma dos
valores x1 y x2 y que los correspondientes
valores de y son y1 y y2, entonces:
4.
x ⋅ y = k (constante de proporcionalidad)
x
4.
Supongamos que la variable x toma dos
valores x1 y x2 y que los correspondientes
valores de y son y1 y y2, entonces:
y1 y 2
y
x
=
o también 1 = 1
x1 x 2
y 2 x2
5.
En términos generales, la proporción directa
entre dos variables x y y puede ser
representada en tres formas:
a.
Una tabla que ejemplificaremos con:
x
y
b.
1
2
2
4
3
6
5.
En términos generales, la proporción inversa
entre dos variables x y y puede ser
representada en tres formas:
a)
4
8
Una tabla que ejemplificaremos con:
x
y
1
8
2
4
3
4
8/3
2
Una fórmula del tipo:
y
= cons tan te (relaciona con la tabla)
x
c.
y1 y 2
y
x
=
o también 1 = 2
x 2 x1
y 2 x1
Una fórmula del tipo:
y1
y
= 2
x1
x2
o
y1
x
= 1
y2
x2
b) Una fórmula del tipo:
x ⋅ y = cons tan te (relaciona con la tabla)
c)
Una fórmula del tipo:
y1 y 2
=
x 2 x1
o
y1 x 2
=
y 2 x1
151
Ejemplo:
Si un centímetro cúbico de un trozo de cobre pesa 8 grs. ¿ Cuál es el peso de 2, 3 y 4
centímetros cúbicos?. Completa la tabla.
V(
Volumen en cm3)
P ( Peso en grs. )
1
8
2
3
4
Solución:
A partir de la tabla se puede observar que a mayor volumen obtuviste mayor peso, esto
indica que la proporción es directa, por lo que se puede plantear la proporción correspondiente en
la forma:
V1 V2
=
P1
P2
1 2
=
8 P2
(1) (P2) = (8) (2)
P2 = (8) (2)/1
P2 = 16
V1 V3
=
P1
P3
1 3
=
8 P3
(1) (P3) = (8) (3)
P3 = (8) (3)/1
P3 = 24
V1 V4
=
P1
P4
1 4
=
8 P4
(1) (P4) = (8) (4)
P4 = (8) (4)/1
P4 = 32
152
Ejemplo:
Si 60 obreros hacen una obra en un día. ¿Cuántos obreros son necesarios para ejecutarla
en 2, 3, 4, 5, ó 6 días? Completa la tabla.
Número de días
1
Número de obreros 60
2
3
4
5
6
Solución:
De la tabla se puede observar que al aumentar el número de días, disminuye el número de
obreros, por lo que la proporción es inversa, la cual se puede plantear en la forma:
y1
x
= 2
y2
x1
60
2
=
y2
1
(60) (1) = (2) (y2)
y2 = (60) (1)/2
y2 = 30
(60) (1) = (3) (y3)
y3 = (60) (1)/3
y2 = 20
(60) (1) = (4) (y4)
y4 = (60) (1)/4
(60) (1) = (5) (y5)
y5 = (60) (1)/5
y2 = 12
(60) (1) = (6) (y6)
y6 = (60) (1)/6
y2 = 10
y1 x 3
=
y 3 x1
60 3
=
y3 1
y1 x 4
=
y 4 x1
60 4
=
y4 1
y2 = 15
y1 x 5
=
y 5 x1
60 5
=
y5 1
y1 x 6
=
y 6 x1
60 6
=
y6 1
153
II.2.3. REGLA DE TRES SIMPLE, DIRECTA O INVERSA
Resulta que la famosa regla de tres es simplemente una proporción y usualmente así se
desarrolla en los textos, es como si sólo le cambiaran algunos nombres a las cosas pero todo se
manejara igual. Lo que haremos aquí es elaborar unas reglas que realmente describan lo que
popularmente se llama regla de tres.
Regla de tres directa
Proporción
Consideremos una proporción directa
y1 y 2
=
x1 x 2
escogemos incógnita, por ejemplo y1, y la
despejamos en la forma usual:
x ⋅y
y1·x2 = x1 ·y2 así que y 1 = 1 2
x2
esto se obtiene así
Adaptación: regla de tres directa (simple)
Acomodamos valores conocidos o desconocidos
de las variables involucradas como sigue:
Valor de una variable
valor correspondiente
de la otra variable
x1
y1
x2
y2
escogemos incógnita, digamos y1
diagonal de la incógnita
diagonal de datos
regla: El valor de la incógnita se encuentra
multiplicando los datos de la diagonal de datos y
dividiendo el resultado entre el dato de la
x ⋅y
diagonal de la incógnita: y 1 = 1 2
x
2
A la derecha, nos hemos limitado a acomodar las variables en la forma usual, bautizamos
las diagonales e hicimos lo necesario para reproducir el resultado de la derecha, es fácil ver que
se obtiene el resultado correcto independientemente del lugar donde se quiera colocar la
incógnita: usualmente todo esto resulta más fácil que armar la proporción y despejar la
incógnita, esa es la justificación del uso de la regla en lugar de la proporción.
154
Regla de tres simple inversa:
Proporción Inversa
Adaptación: regla de tres inversa
Se acomodan los valores conocidos o
desconocidos en la misma forma que en la regla
de tres directa:
y1 y 2
=
x 2 x1
Escogemos incógnita, por ejemplo x2:
Despejamos en la forma usual:
x2·y2 = y1·x1
así que
x2 =
Valores de una variable
y 1 ⋅ x1
y2
x1
y1
x2
y2
valores adecuados
de la otra variable
línea de datos
línea de la incógnita
regla: la incógnita es el producto de los datos de
la línea de datos, entre el dato de la línea
esto se obtiene así
y x
de la incógnita
x2 =
1 1
y
2
La regla funciona sin importar el lugar donde esté la incógnita.
Ejemplo de regla de tres directa:
Si 15 metros de una cierta tela cuesta 300 pesos, ¿cuánto se pagará por 25 metros?
Solución:
15 metros
$300.00
25 metros
$x
x=
25 × 300
= 500
15
La respuesta es $500.00
Ejemplo de regla de tres inversa.
Si ocho obreros tardan 15 días en construir un muro, ¿cuántos días tardarán en construirlo
12 obreros?
Solución:
8 Obreros
15 días
12 Obreros
x días
x=
(15)(8)
= 10 días
12
155
II.2.3. TANTO POR CIENTO
Seguramente el porcentaje es algo bastante familiar para todos, para no variar es otro
aspecto de las proporciones y está pensado con propósitos de comparación, por ejemplo, si en un
grupo de 20 alumnos, 4 usan lentes, podemos decir que:
- usa lentes 1 alumno de cada 5
- usan lentes 2 alumnos de cada 10
- usan lentes 4 alumnos de cada 20
- usarían lentes 12 alumnos de cada 60
- usarían lentes 20 alumnos de cada 100
- usarían lentes 40 alumnos de cada 200
Los últimos tres casos son hipotéticos pero sólo se usan como una forma de comparación
de la parte de los que usan lentes respecto del total de alumnos del grupo. Resaltamos la
comparación respecto a 100 porque es el caso que nos interesa, de hecho se dice que el símbolo
% era originalmente algo como “c/c” para abreviar “cada cien”, en nuestro ejemplo anterior habría
que escribir 20 c/c para indicar que usan lentes 20 de cada cien alumnos; independientemente de
que sea cierto o no este origen del símbolo %, no se puede negar que es un detalle ilustrativo.
Si bajamos la escala y consideramos al 100 como una unidad, entonces habría que hacerle
100 subdivisiones, cada una de
1
100
, en tal caso para representar la parte de los que usan lentes
habrá que tomar 20 de éstas, es decir
20
100
, como que es más comprensible el enfoque anterior,
pero este segundo tiene más ventajas operativas, como vamos a ver.
Más allá de las ideas motivadoras como las anteriores, tenemos que pasar al rollo
matemático, empezaremos preguntándonos:
¿Qué significa matemáticamente el símbolo %?.
Respuesta: De hecho es un operador, e indica que el número que se le anteponga debe dividirse
entre 100
54
-
54% significa
-
27.31% significa
-
1
% significa
2
100
27.31
100
1/ 2
100
Ahora bien, cada una de estas fracciones es una fracción decimal, así que se puede
escribir en la forma con punto:
54% = .54
27.31% = 0.2731
½ % = 0.5/100 = 0.005
156
Queda claro que una expresión como “cincuenta por ciento” puede escribirse en varias
formas:
⎧50 %
⎪
⎪ 50
⎪ 100
⎪
cincuenta por ciento ⎨
⎪0.50
⎪
⎪ 1
⎪⎩ 2
usando el símbolo %
significado del signo %
transformación de la fracción anterior a su forma con punto
simplificación de la segunda forma
La idea atrás de cada caso sería, respectivamente: 50 de cada cien. Cambiando la escala, 50
centésimos de los cien que tiene la unidad. De manera menos expresiva, 50 centésimos a secas,
sin explicitar que se compara con los cien centésimos. Finalmente una de dos, o directamente
entendemos que consideramos una mitad del todo, o bien, interpretamos 1 de cada 2.
Quizá la primera expresión es la más significativa, su desventaja es que no siempre se presta
para operar, es entonces cuando sobresalen las otras formas
Ya familiarizados con % pasamos a su aplicación a una cantidad, va otra pregunta:
¿Qué significa algo como 25 % de 80”?
Respuesta:
25
100
de 80, pero para calcular una fracción de una cantidad se multiplica la
fracción por la cantidad, es decir:
25 % de 80 =
25
100
de 80 = (0.25)(80) = 20
Generalizando esto obtenemos una fórmula simple e importante:
(0.25)(80) = 20
razón de porcentaje
Rp
base
B
porcentaje de la base
PB
Así obtenemos la formula básica del porcentaje:
Rp·B = PB
157
Esta expresión nos deja claro que en el fondo sólo hay tres problemas de porcentaje, los
que resultan de despejar cada una de las partes de la fórmula conociendo las otras dos:
-
¿Cuánto es 30% de 40?: (30%)(40) = PB , es decir, PB = (0.30)(40) = 12
-
¿12 es qué por ciento de 40?: Rp(40) = 12, es decir, R p =
-
¿12 es 30% de qué número?: (30%)B = 12, o bien, (0.30)B = 12, es decir,
12
= 40
B=
0.30
12
= 0.3 = 30%
40
De hecho la fórmula básica del porcentaje es una opción para resolver problemas de
porcentaje, pero quizá sea más cómodo aplicar la regla de tres; vamos a dar unos procedimientos
equivalentes a los tres casos anteriores, respectivamente:
⎧40 → 100% ( 40 )(.30 )
→
= 12
- ⎨
100
x
30
%
→
⎩
⎧40 → 100%
( 12 )( 100 )
→x=
= 30%
- ⎨
40
⎩12 → x
⎧12 → 30%}
( 12 )( 100%)
→x=
= 40
- ⎨
30%
⎩ x → 100%
Ejemplo:
En un costal se tienen 20 naranjas; Para hacer un litro de jugo se ocuparon 8 naranjas.
¿Qué porcentaje de ellas se utilizó en la preparación del jugo?
Solución:
20 naranjas
100%
8 naranjas
x%
x=
(8) (100)
= 40 %
20
158
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN II.2
1. En un colegio hay 30 estudiantes en sexto, 45 en séptimo, 25 en octavo, 20 en noveno, 32 en
décimo y 28 en undécimo. Calcula:
a)
b)
c)
d)
La razón entre el número de estudiantes de sexto grado y el total de estudiantes.
La razón entre el número de estudiantes de grado impar y el total de estudiantes.
La razón entre el número de estudiantes de grado par y el total de estudiantes.
La razón entre el número de estudiantes de grado octavo y el de estudiantes de noveno de
estudiantes.
2. Calcular la razón entre la medida del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.
⎛ 1 ⎞
3. Para dibujar el croquis de una ciudad se utilizó una escala 1: 500 ⎜
⎟ ¿qué significa esta
⎝ 500 ⎠
expresión?
4. Dibuja cuadrados de 1, 2, 3, 4, 5 cm de lado. Encuentra la razón entre la diagonal y el lado.
¿Qué puedes concluir de esta razón?
5. Dibuja triángulos equiláteros de 1, 2, 3, 4, 5 cm de lado, traza la altura y encuentra la razón
entre la altura y la longitud de medio lado. ¿Qué puedes concluir de esta razón?
6. Si una persona duerme diariamente 8 hrs.
a) ¿Cuál es la razón entre las horas que duerme y las que permanece despierto?
b) ¿Cuál es la razón entre el total de horas diarias y el de las horas que duerme?
7. Dar la razón. No reducir a su mínima expresión.
1.
Violoncelos a violines
2.
Contrabajos a arpas
3.
Cornos ingleses a flautines
4.
Arpas a violines
5.
Violas a Violoncelos
6.
Flautas a arpas
7.
Flautines a fagotes
8.
Saxofones a clarinetes.
Cuerdas
34
10
12
9
2
violines
violoncelos
violas
contrabajos
arpas
Viento
2
1
2
1
5
6
2
oboes
corno inglés
flautas
flautin
fagots
clarinets
saxofones
159
8. Sofía pasó una hora estudiando para una prueba de historia y 25 minutos para una de
matemáticas. Escribe la razón para comparar las horas de estudio de historia con las de
matemáticas.
9. Un monumento tiene 70 veces el tamaño de una persona que mide 1.75m. ¿Cuánto mide el
monumento y cuál es la razón que existe entre la medida de la persona y el monumento?
10. Escribe las razones en forma de fracción. Después redúcelas a su mínima expresión:
a) 5 a 15
b) 8 a 12
c) 9 a 3
d) 12 a 15
e) 24 a 8
11. Contesta las siguientes preguntas:
x
a) En la razón , ¿cuál es el antecedente?, ¿Cuál es el consecuente?
y
b) ¿Qué nombre recibe la igualdad de dos razones?
x
u
c) En la proporción = , ¿cuáles son los medios y cuáles los extremos?
v
y
12. Utiliza los productos cruzados para verificar si las siguientes expresiones son proporciones.
5 10
=
6 12
25 5
e)
=
24 4
a)
9 18
=
10 4
8 32
f) =
9 36
b)
1 7
=
7 1
4 10
g)
=
10 25
5 4
=
4 5
10
1
h)
=
1000 10
c)
d)
13. Escribe R si la solución de la proporción es razonable., si no es razonable escribe el valor
correcto.
a)
6 a
= ,a=4
2 8
b)
15 456
, x = 60,
=
20
x
c)
17
n
, n = 68
=
9 36
14. Usa el cálculo mental para averiguar si las razones son equivalentes. Escribe en tu cuaderno sí
o no.
4 8
5 10
2.3 1
a) , ,
b)
,
c)
,
,
3 7
25 100
23 10
15. Escribe tres razones equivalentes a cada una de las razones dadas:
2
1
5
5
60
b)
,
c) ,
d) ,
e)
a) ,
3
60
1
7
85
160
16. Con la ayuda de esta gráfica, halla los valores aproximados de las razones siguientes:
A
a)
B
AB
,
BC
b)
C
E F
D
AD
,
DE
c)
AF
,
EF
d)
CE
.
AF
17. Resuelve los siguientes problemas:
A.
Por cada 4 pesos que gana una persona, 1 peso lo destina a alimentación. Si el salario
mensual de esta persona es de 320,000, ¿cuánto gasta en alimentación?
B.
Por cada 100 habitantes bolivianos , 20 son analfabetas. Si la población de Bolivia es
de 7 065 000, ¿cuántos analfabetas hay en Bolivia?
C.
En un país de cada 100 personas, 25 ingresan a la universidad. ¿Cuál es la población
universitaria si la población de ese país es de 12 000 000 de habitantes?
18. Escriba una razón equivalente a:
a)
3
cuyo antecedente sea 15
7
b)
1
cuyo consecuente sea 18
6
19. Escribe el símbolo = ó ≠ en cada . Usa la propiedad de las proporciones.
1)
4
5
12
15
2)
5
2
35
,
14
3)
4
15
3
,
7
4)
8
6
28
,
22
5)
9
16
3
,
4
20. Halle el valor de la literal y comprueba la proporción.
a)
24 4
=
x
3
b)
5 y
=
3 42
c)
1 m
=
2 18
d)
5
t
=
14 2
e)
12 8
=
27 m
21. Resuelve cada proporción y verifica la solución.
a)
2 a +1
=
3
12
b)
n+1 2
=
9
6
c)
4
32
=
3 x−1
d)
1 x+2
=
5
25
e)
x − 3 12
=
6
9
f)
5 y +1
=
4
8
161
22. Halla el número que falta para que cada par de razones sean iguales.
a)
24 x
= ,
8
1
b)
10 x
=
5 1
,
c)
12 x
=
3 1
,
d)
20 x
= ,
4 1
e)
216 x
=
3
1
23. Encuentra los valores de X y Y en cada igualdad de razones.
a)
e)
2 X 6
=
= ,
3 18 Y
3
10
=
X
100
b)
=
4 28 Y
,
=
=
5 X 20
9
Y
,
f)
c)
1
X
2
=
= ,
5 100 Y
1 20 Y
,
=
=
3 X 21
g)
d)
1
X 2
=
=
12 60 Y
5
X
10
1 3
Y
h) =
=
=
=
8 1000 Y
8 X 160
24. Un terreno de 420 m2. de superficie se divide en dos lotes de tal manera que uno es
3
del
4
otro. ¿Cuánto mide cada lote?
25. Dos grupos A y B tienen un total de 105 alumnos. ¿Cuántos alumnos tiene cada grupo si la
7
razón de A a B es ?
8
26. La relación entre dos números es de 5 a 2 . Encuentra los números sabiendo que su suma es
49.
27. La razón de dos números es de
8
y su diferencia 55. Halla los números.
3
28. Halla dos números conociendo su razón
29. Halla dos números cuya razón sea
3
y su suma, 2100.
4
3
y la suma de sus cuadrados es 625.
4
30. Escribe la palabra mayor o menor de manera que las siguientes proposiciones sean
verdaderas.
a) Si compro más cosas en la tienda________________________________ será el costo
b) Si camino a mayor velocidad _________________________ será el tiempo de llegada.
c) Si más hombres trabajan por día en una obra ____________ es la cantidad de trabajo
hecho en ese mismo día.
d) Si elevo la temperatura de una esfera metálica ___________________ será su volumen
e) Entre más alto sea un objeto _________________________________ será su sombra.
162
31. Si un edificio proyecta una sombra de 20 m. de largo, al mismo tiempo que una persona que
mide 1.70 m. de estatura proyecta una sombra de 0.80 m., ¿calcula la altura del edificio?
32. Para la recolección de la cosecha se ha estudiado la relación que existe entre los trabajadores
y el tiempo que tardan en hacer la recolección. Los resultados se presentan en la siguiente
tabla.
NÚMERO DE TRABAJADORES
1
TIEMPO EMPLEADO (EN HORAS) 60
3
6
12 15 20 24
20 10 5
4
3
2.5
a) Identifica cuál es la magnitud independiente y cuál la dependiente.
b) Analiza de acuerdo a la tabla de datos si las magnitudes son inversamente proporcionales.
c) Haz la gráfica cartesiana, definiendo correctamente los ejes y distribuyendo la escala de
valores en forma apropiada.
d) Analiza de acuerdo con la gráfica si las magnitudes son inversamente proporcionales.
33. Con el fin de planificar los gastos diarios, una familia contabilizó el tiempo que tarda
prendida la parrilla de la estufa y el tiempo que tarda el gas en consumirse.
Los datos obtenidos se presentan en la tabla siguiente:
TIEMPO DIARIO ENCENDIDA LA PARRILLA
( HORAS )
DURACIÓN DEL CILINDRO DE GAS
( DÍAS )
1
2
18 9
3
4
5
4.5 3.6 3
6
7
2.3 1.3
a) ¿Cuál es la magnitud dependiente y cuál la independiente?
b) ¿Son estas magnitudes inversamente proporcionales?
c) Haz la gráfica cartesiana correspondiente. No olvides determinar correctamente los
ejes y distribuir los valores en forma apropiada.
d) ¿Corresponde la gráfica a las magnitudes inversamente proporcionales?
163
34. Completa las siguientes tablas:
a)
X
1
Y
12
3
24
2.4
0.5
b)
T(h)
6
V(km/h)
7.5
9
90
15
45
15
c) De las tablas anteriores encuentra la constante de proporcionalidad de cada una
35. Un tubo cuya sección es de 3.5 cm2 llena un tanque en 16 horas. Otro tubo cuya sección es
de 5 cm2., ¿qué tiempo tardará en llenar el mismo tanque?
36. Para tender la red de alcantarillado entre dos puntos se necesitan 6,000 tubos de 2.40 m. de
largo. ¿Cuántos tubos de 4.00 m se necesitarán para tender el mismo alcantarillado?
37. Un grupo de personas de la tercera edad hacen un paseo al campo y tienen provisiones para
30 días. Si el grupo se encuentra con 40 personas más, ¿para cuántos días les alcanzarán las
provisiones?
38. Veinticuatro obreros hacen una obra en 48 días, ¿en cuántos días la harán 12 obreros menos?
39. Si y varía directamente con x.
a) y es 24 cuando x es 3 .Encuentre y cuando x es 4
b) y es –12 cuando x es –6 , Encuentre y cuando x es 7
c) y es 3 cuando x es 21. Encuentre y cuando x es 35
d) y es –4 cuando x es 36 . Encuentre x cuando y es 6
164
40. ¿Cuáles tablas expresan variaciones inversas? Por cada variación inversa indica la constante
de variación.
1.- x
y
3
2.-
x
y
6
1
-2
-9
36
-18
3.-
x
y
1
3
-1
-1
½
0
-1
2
4.-
x
y
6
5
20
6
12
-10 -10
0
-3
-6
-4
2
-6
-12
1/2 200
-25
5.-
-
x
y
½
-2
-1
1
-3/4
4/3
1
-1
41. ¿Cuáles tablas expresan variaciones directas? Por cada variación directa indica la constantes
de variación.
1.- X
y
1
2.-
x
y
6
1
2
12
3
4
3.-
x
y
2
-2
3
4
18
5
24
7
4.-
x
y
8
5
-1
4
6
1
8
2
5.-
x
Y
20
-1
2
10
15
-2
4
-4
15
10
-3
6
-8
20
5
-4
8
42. ¿Cuáles fórmulas describen variaciones inversas? Por cada variación inversa indica la
constante de variación.
a) r • t = 60
b) c= 3.14d c) x . y = −8
d) 36 = b • h
e) x • y = 1
p
s
− 22
1
20
g) r =
h)
i) = s
j)
f)
=a
⋅y = x
=x
b
6
5
4
y
43. Encuentra el valor que deben tener las letras que aparecen en cada una de las siguientes
proporciones para hacerlas verdaderas.
6
a
a) a: 5 : : 6 : 13 o sea
=
; a=
5
13
b
8
;
=
7
10
b) 8: 7 : : b: 10 o sea
c) 4: 5 : : 6 : c o sea
4
6
;
=
c
5
d) d :2 : : 11 : 7 o sea
d
11
;
=
2
7
b=
c=
d=
165
44. Un ciclista ha recorrido 150 Km. en 5 horas, ¿cuánto recorrerá en 7 horas?. Si ya lo resolviste
aritméticamente, represéntalo geométricamente.
45. Un hombre gana cierta cantidad por hora. Si por 5 horas gana 150 pesos, ¿cuánto ganará si
trabaja 7 horas?. Resuélvelo geométricamente.
46. Si 4 agendas cuestan 80 pesos, ¿cuánto costarán 15 agendas?
47. Una torre de 25.05 m. da una sombra de 33.40 m., ¿cuál será, a la misma hora, la sombra de
una persona cuya estatura es 1.80 m.?
48. Los 2/5 de capacidad de un estanque son 500 litros, ¿cuál será la capacidad de los 3/8 del
mismo estanque?
49. Un corazón adulto sano bombea 5 litros de sangre por minuto, ¿cuántos litros bombea en 8
horas?.
50. Un árbol tiene 26 m. de altura, ¿qué altura tendrá un dibujo del árbol hecho a escala 1:500.
51. Haga un croquis de su salón en la escala 1:250.
52. Una cuadrilla de obreros concluye una obra en 20 días trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos
días la habrían terminado trabajando 8 horas diarias?.
53. Si 4 hombres terminan una obra en 12 días, ¿cuántos días les llevarían a 7 hombres terminar
la misma obra?.
54. Sabiendo que 30 obreros emplean 8 días para hacer una obra, ¿cuánto tiempo necesitan 12
obreros para hacer el mismo trabajo?
55. Si 9 obreros tardan en pavimentar un tramo de carretera en 24 días, ¿cuántos días tardarán en
hacer el mismo trabajo 12 obreros?.
56. Un tanque de agua tarda en llenarse en 120 minutos con 3 llaves (surtidores). ¿Cuántos
surtidores se deben emplear si debe llenarse en 40 minutos?.
57. Nueve hombres pueden hacer una obra en 5 días, ¿cuántos hombres sobrarían para hacer la
obra en 15 días?.
58. 8 hombres han cavado en 20 días una zanja de 25 m. de largo, 2 de ancho y uno de
profundidad. ¿En cuánto tiempo hubieran cavado la zanja 6 hombres menos?.
59. A la velocidad de 30 Km. por hora un automóvil emplea 8 ¼ horas en ir de una ciudad a otra.
¿Cuánto tiempo menos se hubiera tardado al triple de la velocidad?.
166
60. Si tres hombres trabajan 8 horas diarias y hacen 80 metros de una obra en 10 días, ¿cuántos
días necesitan 5 hombres trabajando las mismas horas en hacer la misma obra?.
61. Una guarnición de 1600 hombres tienen víveres para 10 días. Si se refuerza con 400 hombres
más. ¿Cuántos días durarán los víveres?.
62. Un auto recorre 150 Km. con 12 litros de gasolina. ¿Cuántos litros de gasolina se necesitan
para recorrer 500 Km.?
63. Los miembros de una línea de carga estiman que pueden cargar 8 cajas en 20 minutos. A este
ritmo, ¿Cuántas cajas pueden cargar en una hora?
64. En un mapa, 1 cm. Representa 3.27 Km. Si en este mapa hay una distancia de 24.5 cm. entre
dos ciudades. Cuál es la distancia real entre ellas?
65. Un reloj se atrasa 2 minutos cada 15 horas. ¿Cuánto se atrasará en dos horas?
66. Una escuela tiene un reglamento que indica que en viajes escolares, 2 adultos deben
acompañar a cada grupo de 15 estudiantes. ¿Cuántos adultos se necesitan para llevar a 180
estudiantes de viaje?
67. Para hacer cemento se necesitan 4 palas de arena por cada 5 de grava. ¿Cuántas paladas de
grava se necesitan para 64 de arena?
68. La razón entre estudiantes extranjeros y americanos en un colegio es de 2 a 35. ¿Cuántos
estudiantes extranjeros asisten a este colegio si hay 1575 estudiantes americanos?
69. Completa la tabla que se muestra considerando que un automóvil viaja a 80 km. por hora.
Tiempo (en horas)
Kilómetros recorridos
70.
1
80
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
7
?
Un impuesto indirecto se paga de acuerdo con el precio de venta de los artículos al
consumidor o a la consumidora. Completa la tabla siguiente.
Precio P (en $)
Impusto I ( en I)
20
2
40
4
60
?
80
?
100
?
120
?
140
?
71. Completa la tabla que indica que el número de ladrillos pegados por un obrero, varía de
acuerdo con el tiempo
Tiempo (en horas)
Ladrillos pegados
1
20
2
?
3
?
4
?
5
?
6
?
7
?
167
72. Un automóvil recorre 348 km. en 4 horas a velocidad constante. ¿Qué distancia recorrerá en
6 horas?
73. Una empresa transportadora cobra $5,800 por cada 1000kg de carga. Por transportar 48,000
kg al mismo destino, ¿cuánto cobrará?
74. Un telar teje 425 metros de tela en 5 horas. ¿Cuántas horas demorará en tejer 1000 metros de
tela?
75. Un automóvil consume 25 litros de gasolina en 120 km de recorrido. Al recorrer 180 km,
¿cuántos litros consumirá?
76. ¿Cuál es la razón de área de un cuadrado de lado 16 metros con otro cuadrado de lado 3
metros?
77. ¿Cuáles de los siguientes pares de magnitudes están directamente correlacionadas?.
Expliquen
a) La cantidad de dinero que lleva una pareja al supermercado y lo que puede comprar con
él.
b) El consumo de luz en casa y el costo que debe pagar mensualmente
c) El precio de un artículo y el número de éstos que puede comprar un señor
d) La cantidad de kilómetros recorridos por un taxista y la cantidad de combustible que
gasta.
e) La cantidad de kilómetros recorridos por un taxista y el combustible que resta por
quemarse.
78. Las magnitudes relacionadas en las tablas de datos son directamente proporcionales;
encuentra los valores que faltan:
Proporcionalidad y saltos de rana
Brincos de la rana
Espacio recorrido
1
2.4
3
?
5
?
8
?
10
?
12
?
15
?
Proporcionalidad y perímetro
Longitud del lado (en cm)
Perímetro del triángulo equilatero (en cm)
0.8
?
5.6
?
7.4
?
12.9
?
15.4
?
16.1
?
18
?
168
79. Completa las siguientes tablas
No de limones
3
15
27
25
Cantidad 1 Cantidad 2
8
7
16
24
32
35
Cuestan
1 Peso
No de pesos No de dólares
23
3
92
3150
10
17
6
Tiem po
1/2 P .M .
1 P .M .
2 P .M .
2 1/2 P . M .
4 1/2 P .M .
5 P. M.
Cantidad
13
39
Dis tanc ia
1 1/2 K m
13 1/2 K m
Cantidad
303
202
52
De las tablas anteriores, determina la constante de proporcionalidad de cada una.
80. La siguiente tabla muestra los deportes preferidos por 100 estudiantes.
47
Futbol
16
Baloncesto
29
Patinaje
8
Voleybol
a) ¿Cuántos estudiantes escogieron fútbol como su deporte favorito?, ¿qué porcentaje
corresponde a esa cantidad?
b) ¿Qué porcentaje escogió patinaje como su deporte favorito?, ¿ y voleibol?
c) ¿Cuánto mayor es el porcentaje que escogió fútbol como su deporte favorito que el
porcentaje que escogió patinaje?
169
81. Por una casa cuyo valor es de $8,500,000 se paga un impuesto de $125,000 anual ¿cuál será
el precio de una casa por la cual se paga $180000 de impuesto anual?
82. Una fábrica de tejidos elabora 1250 sacos en 3 meses, ¿Cuál será la producción en año y
medio?
83. Escribe como porcentaje:
a) 9 de 100
b) 10 de 100
c) 16 de 100
d) 99 de 100
e) 43 de 100
84. Escribe en forma de porcentaje:
a)
17
100
b)
8
10
c)
1
2
d)
43
50
e)
1
25
f)
85. Escribe en forma de fracción y halla su mínima expresión.
a ) 10 % b ) 57 % c ) 75 % d ) 6 % e) 1 % f ) 72 %
3
5
g)
g ) 22 %
h) 67%
86. ¿A qué número entero es igual 100%?, ¿A qué fracción es igual 150%?
87. Escribir cada decimal en forma de tanto por ciento.
a) 0.62
b) 0.8
c) 0.015
d) 1.5
e) 0.465
f) 0.001
g) 0.05
h) 0.005
88. Completa la tabla :
Por ciento
Fracción
Decimal
Fracción Simplificada
20%
16/20
0.15
4/5
50/100
89. Completa la tabla:
Cantidad
Capital
750
2400
% = tasa
Tasa de interés
14%
3%
Porcentaje
Interés o rédito
27
96
19
20
170
90. La probabilidad de ganar la lotería es 0.01%. ¿Cómo interpreta este hecho?
91. En un colegio se van a graduar 250 estudiantes, el 18% de ellos optó por estudiar medicina.
¿Cuántos estudiantes se dedicarán a la medicina?
92. ¿A cuánto equivale el 50% del 50% de 200?
93. El precio de un artículo se incrementa en el 10% y al nuevo valor se le rebajó un 10%. ¿En
qué porcentaje varió su precio?
94. Si la canasta familiar de un país aumentó en un 20% y un padre de familia gastaba
$250.00 en ella, ¿cuánto debe invertir ahora?
95. El salario de un empleado aumentó en un 30% , si el empleado ganaba $ 4500.00, ¿cuál es
su nuevo salario?
96. ¿Qué tanto por ciento es?
a) 25 de 5
b) 50 de 25
c) 80 de 90
d) 90 de 80
e) 36 de 24
f)0.5 de 2
97. Escriba el símbolo > ó < para comparar los siguientes porcentajes :
a) 3% de 345 ______5% de 325
b) 45% de 67 _______ 50% de 53
c) 18% de 27 _______62% de 48
d) 75% de 49 _________80% de 62
171
II.3. LOS NÚMEROS REALES
II.3.1 LOS NÚMEROS IRRACIONALES
Los racionales son una clase de números muy decente, nos ayudan a desempeñarnos en la
casa, en la tienda, en el taller, en la fábrica, en actividades especializadas como la ingeniería, y
podríamos alargar mucho esta lista. Pero si aumentamos el grado de especialización, digamos en
varias áreas del trabajo científico, particularmente en el trabajo del matemático, entonces resulta
necesario un examen más fino de los números. En la misma preparatoria, digamos en el estudio
de la geometría analítica y del cálculo diferencial e integral, tendremos necesidad de otra clase de
números; por lo pronto haremos una breve referencia a éstos como una coronación lógica del
camino que hemos transitado en el estudio de los números.
Los enteros negativos pueden considerarse un tanto extraños; mientras los naturales o las
fracciones positivas dejaron sus huellas en antiguas civilizaciones muy anteriores a nuestra era,
los negativos van emergiendo lentamente apenas alrededor del siglo VI, lo que da fe de lo difícil
que debe ser ese concepto, sin embargo ahora cualquier cronista deportivo los maneja sin mayor
dificultad. Pero entonces son aún más extraños los llamados números irracionales cuya
existencia nos proponemos comentar aquí; por un lado, aún ahora, no sólo están lejos de ser
comprendidos por los cronistas, sino también por muchas personas que han tenido una educación
matemática estimable; pero, por otro lado, a diferencia de los negativos, se sabía de su existencia
alrededor de quinientos cincuenta años antes de nuestra era.
Allá por el siglo VI a.C. el buen Pitágoras que creía saber todo lo que a números se refería
se topo con algo que le pareció muy extraño, digamos que sólo quería calcular la medida de la
diagonal de un cuadradito cuyos lados medían 1 (una unidad).
d
1
¿Cuánto vale d?, la respuesta estaba en una sencilla aplicación de su famoso teorema (el
cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos), simplemente había
que escribir:
d2 =12 + 12 y despejar d, es decir: d2 =2, así que d es un número cuyo cuadrado es 2.
172
Recordemos cómo se comprueba una raíz cuadrada, por ejemplo, 9 = 3 , se tiene que
comprobar que 3·3 = 9 o bien 32 = 9, es decir, la raíz cuadrada de 9 es un número cuyo cuadrado
es 9; como d2 = 2, ocurre que 2 = d , así que la d no es más que la raíz cuadrada de 2.
El caso es que Pitágoras tenía que encontrar un número cuyo cuadrado fuera 2; pero
cuando Pitágoras decía “número”, se refería a lo que hemos llamado número racional, es decir,
algo que en nuestra escritura actual tiene la forma
p
q
, siendo p y q enteros y todo eso.
Aprovechando que tenemos a la mano una calculadora de bolsillo vamos a tratar de
encontrar un “quebrado” cuyo cuadrado sea 2, siguen unos ensayos:
d
10
79
99
19792
7
56
70
13995
d2 2.04081 1.99011 2.00020 2.00001
Para esto procedimos casi al tanteo, tomamos como aproximación las primeras cinco
cifras decimales y entre varios ensayos éstos fueron los mejorcitos. Podemos cambiar el método
de las adivinanzas por uno de búsqueda ordenada, y podemos encontrar muchas aproximaciones
aún mejores, pero no le haremos al loco tratando de hallar la fracción cuyo cuadrado es 2 porque,
a diferencia de Pitágoras, ya sabemos que jamás podremos encontrar un número racional cuyo
cuadrado sea exactamente 2, simplemente no lo hay. Después de sesudas consideraciones el
matemático griego llegó a esta conclusión, lo que no fue muy de su agrado, no sólo resultó que
no conocía todos los números como creía, sino peor aún, él era un filósofo muy competente que
hablaba de muchas cosas, pero resulta que a final de cuentas todas estaban basadas en los
números, claro en los que conocía, y la medida de la diagonal no era alguno de ellos, era otra
cosa que él desconocía. Aquí le vamos a cortar al relato, para nosotros simplemente Pitágoras
encontró un número desconocido que no era racional, para él, por varias circunstancias, hagan de
cuenta que se topó con el quinto pasajero, ya saben, un alien, que resultó causarle gran espanto y
muchos problemas.
Puede valer la pena incluir aquí un argumento para desechar la posibilidad de que haya una fracción
cuyo cuadrado sea 2. En lo que sigue usaremos lo que se ilustra en la tabla:
Número impar 3 5
7
9
11
su cuadrado
9 25 49 81 121
Es decir, los cuadrados de los impares siempre son impares, claro ésto se puede demostrar y no es difícil.
Ahora veamos qué ocurre si suponemos que
p
es la fracción cuyo cuadrado es 2, pasaría que
173
Revisemos rápidamente un número famoso, π, ésta “p” griega se utiliza para representar
“las veces que cabe al diámetro de una circunferencia sobre la propia circunferencia”, échale un
ojo a la figura que sigue.
Imagina que cortas un alambre de la misma medida que el diámetro d y
le das la forma de un arco que se pueda acomodar bien sobre la circunferencia,
entonces lo podrías colocar aproximadamente 3 veces y un poquito más sobre
la circunferencia, el ‘poquito’ es, según algunos cerca de 0.1416, la tabla da
algunos valores estimados, esos son valores propuestos para π. (Lecturas
Universitarias. Antología de Matemáticas. UNAM, 1971)
d
En la tabla adjunta se resumen algunas estimaciones que a través de la historia se han
hecho del valor del famoso número.
Lugar y
época
Valor
estimado
de π
Egipto, S. XVII a. de C
256
81
≈ 3.16049
La
Biblia
India S. V
3
3.1416
China S. V
355
112
≈ 3.14159
Inglaterra, 1874
707 cifras decimales
exactas
174
Los quebrados de la tabla dan fe de la búsqueda de un número racional que sea “el
número de veces que el diámetro cabe en la circunferencia”, esta búsqueda tampoco podía tener
éxito, hoy se sabe que π tampoco es un número racional.
También es ilustrativo lo de las 707 cifras decimales exactas; con las computadoras de
hoy se pueden calcular muchas más, por aquí tenemos el dato de que se han llegado a calcular
1,260,321,336 dígitos (¡!), pero no con el fin de hallar el valor exacto de π, desde el momento que
no es un racional no se podrá representar en forma convencional con una fracción decimal.
Veamos más de cerca esto.
Ya hemos dicho lo que son los números racionales. En cuanto a su representación decimal
los hay básicamente de dos tipos: los decimales finitos, es decir los que tienen un número
29
3
determinado de cifras decimales como:
= 0.75 o
= 3.625 , y los periódicos infinitos,
8
4
sus cifras decimales son ilimitadas, siempre se pueden conseguir más, pero éstas tienen un
29
11
periodo, por ejemplo
= 2.416 o
= 1.571428 .
12
7
También vimos el enfoque inverso, un decimal finito siempre se podrá expresar como
512
; ya hemos visto que lo mismo se hace con
quebrado, por ejemplo 5.12 se transforma en
100
cualquier decimal periódico.
Ejemplos.
Escribe cada decimal finito en forma de “quebrado”.
i) 0.374
Solución:
Consideramos el 0.374 como “ trescientos setenta y cuatro milésimas”, ó
0.374 =
374
1000
ii) 8.2
Solución:
Se tiene, ocho enteros dos décimos, es decir:
2
82
41
8.2 = 8 +
=
=
10
100
5
175
iii)
Escribe el siguiente decimal periódico infinito en forma de “quebrado”.
0.85
Solución:
Sea
n = 0.85 , de modo que n = 0.85858585... , multiplicamos ambos lados de la
igualdad n = 0.85858585... por 100. ( Utilizamos 100 ya que hay dos dígitos en la parte
que se repite).
n = 0.85858585...
100 n = 0.85858585... (100)
100 n = 85.858585...
(1)
(2)
Restamos la expresión de ( 1 ) de la última expresión ( 2 ).
100 n = 85.858585...
n = 0.85858585...
(2)
(1)
99 n = 85
dando como resultado:
( Recordemos que: 100 n – n = 99 n )
Por lo que:
n=
85
99
ACTIVIDAD:
Convierte cada decimal finito en un cociente de enteros. Escriba cada una en sus términos
más simples:
i) 0.4
ii) 0.85
iii) 0.934
iv) 0.7984
Convierta cada decimal repetitivo en un cociente de enteros. Escriba cada uno en sus
términos más simples:
i) 0. 8
ii) 0. 54
iii) 3. 09
Vamos a convenir en admitir al 0 como periodo, entonces podemos escribir, por ejemplo,
3
= 0.75000 ... = 0.750 , así también los decimales finitos pueden ser considerados como
4
decimales periódicos infinitos, sólo que con periodo 0, entonces:
176
Todo número racional es un decimal infinito periódico.
Regresando al asunto de π, vemos que por más cifras decimales que se obtengan, siempre
quedarán pendientes más y más y sin periodo, ésta es una característica de 2 y de π, pero si de
inventar números que sean decimales infinitos sin periodo se trata, podemos encontrar muchos,
basta hacer algún truco que haga imposible la aparición de un periodo, por ejemplo (explica en
cada caso cuál es el truco):
0.101001000100001…
0.010110111011110…
87.11222111122222…
Definición:
A todos los decimales infinitos no periódicos se les llama números irracionales.
¿Habrá muchos irracionales?, he aquí una idea al respecto. Hemos mencionado cinco
ejemplos ( 2 , π y los tres decimales de arriba). Resulta que la suma de una fracción con un
racional siempre da un irracional.
Por ejemplo:
Tomamos π + ¾ = x, despejamos al irracional: π = x − ¾ , se sabe que la resta de dos
racionales siempre es un racional, entonces si x fuera racional π sería racional, cosa imposible, así
que x debe ser irracional.
Ahora échale lápiz, si a cada racional le sumamos cada uno de nuestros cinco irracionales
obtenemos un buen de irracionales; si cada uno de éstos se le suma otra vez a cada racional,
resulta otro gran montón de irracionales, etc. Auque la cosa no es tan fácil como la estamos
platicando, ya George Cantor, matemático él, demostró que hay muchísimos más racionales que
irracionales. Imagina que metemos en un costal todos los racionales junto con todos los
irracionales, ahora mete la mano y sin ver saca un número, hay tan poquitas fracciones
comparativamente que sería casi imposible sacar una.
Hoy se sabe que los radicales (raíz cuadrada, raíz cúbica, raíz cuarta, etc. ) están entre los
más conocidos generadores de números irracionales; la mayoría de radicales que se nos ocurran
no serán números racionales, por ejemplo son irracionales:
2
3
5
3
2
3
3
3
4
4
2
4
3
Así que los irracionales son monstruosos chorizos infinitos de dígitos que aparecen,
digamos, sin ton ni son (no hay periodo), y que forman un monstruoso conjunto que casi no
permite que se noten las fracciones; tienen la mayor importancia teórica, aunque casi nula
importancia práctica por lo difícil que resulta manejarlos, para eso están las fracciones, quizá
parte de la facilidad en el manejo de éstas se deba a lo relativamente pocas que son y a lo
relativamente fácil que es hallar aproximaciones decimales suyas (por división).
177
Si nos trasladamos a la recta numérica, podemos recordar la propiedad de densidad de las
fracciones (o de los racionales), según ésta pareciera que los racionales se apretujan en la recta
unos con otros hasta no dejar huecos entre sí, pero si observáramos (imaginariamente, claro) con
un super microscopio ¡veríamos unos “pocos” puntos con su fracción asignada y una enorme
cantidad de puntos sin número!, ahora bien, si acomodamos en ellos a los irracionales resultaría
completamente llena la recta, cada punto con su número y cada número con su punto. Claro, no
hay tal microscopio, pero la mente y una buena herramienta matemática permite “ver” más que
eso, cosa que ya no nos corresponde.
II.3.2. EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES
Ahora bien, juntemos a los números irracionales con los racionales y tendremos al
llamado conjunto de los números reales.
⎧
⎧⎪naturales
⎪Racionales : decimales periódicos infinitos ⎨enteros
⎪
⎪⎩fracciones simplificadas
Números Reales⎨
⎪
⎪
⎩Irracionales : decimales infinitos no periódicos
El sistema de los números reales se indica en la forma (R, +, ·, <) y consta de cinco partes:
I.
El conjunto R de los números reales.
II.
Las operaciones de adición y multiplicación, imagínalas como operaciones con
fracciones decimales, sólo que se tienen que hacer adecuaciones para tratar cadenas
infinitas de dígitos (que no haremos aquí).
III. Las propiedades ya vistas antes para ambas operaciones: cerradura, conmutativa,
asociativa, existencia y unicidad de elementos neutros para ambas operaciones,
existencia y unicidad de elementos inversos para ambas operaciones, distributividad de
la multiplicación respecto a la suma.
Todas esas propiedades describen a los racionales. Para describir a los irracionales se
requiere una propiedad más que supera los límites de este curso, pero la idea de su
misión es que debe asegurar que en la recta no quede punto alguno sin su número real
asociado, ni queden reales sin su punto.
IV. Una relación para ordenar a los reales, es decir, un criterio con el cual, si tomamos dos
números reales, podamos decidir cual de éstos es el menor; o dicho de otro modo, un
criterio para poner a los reales en fila de menor a mayor.
178
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN II.3
1. Identifica cada uno de los siguientes números como racionales o irracionales:
a) 0.0101
b) 0. 01.
c) 0.4040040004… d) 1.415
e) 1.415555…
f) 0.004004004…
2. Supón que x, y, z son números reales cualesquiera, describe con ellos las propiedades que ya
hemos visto para las clases anteriores de números y que enlistamos en el punto III en la
página anterior.
Por ejemplo, la conmutativa para la multiplicación se escribe: x·y = y·x
3. Muy al principio nos referimos al símbolo “⊂”, una expresión como A⊂B se lee “el conjunto
A es una parte del conjunto B”, y significa precisamente que A es un conjunto más pequeño
que B y que está metido en éste:
a) ¿Cómo se lee cada una de las siguientes expresiones y cuál de ellas es verdadera?:
N ⊂ Z ó Z⊂ N
b) En la página anterior presentamos un esquema hecho con llaves con las clases de
números que hemos estudiado aquí, las enlistaremos sin ningún orden especial: Z, R,
N, Q, has una cadena con ellos conectándolos con el símbolo “⊂”, de modo que quede
indicado cuál es una parte de cuál.
4. Al empezar a hablar de los irracionales construimos una tabla de fracciones cuyos cuadrados
están cercanos a 2 (página 172), el procedimiento fue más o menos el siguiente, tomamos un
quebrado, por ejemplo
3
, hicimos la división 3÷2 = 1.50000 (siempre tomaremos cinco
2
dígitos), elevamos al cuadrado: (1.50000)2 = 2.24000, que se pasa mucho de 2. Así que la
fracción buscada debe ser menor que la tomada. Entonces multiplicamos la anterior arriba y
abajo por ejemplo por 10,
30
28
, una fracción menor es, por ejemplo,
=1.40000, elevamos
20
20
al cuadrado, (1.40000)2 = 1.96000, que está por debajo de 2, así que la fracción buscada debe
ser mayor que la tomada. Entonces multiplicamos arriba y abajo por alguna potencia de 10
(10 ó 100 ó 1000, etc). Auxiliándote de una calculadora de bolsillo busca algunas fracciones
que se aproximen a
3 , es decir fracciones cuyo cuadrado esté cerca de 3, así llena la
179
siguiente tabla ( 3
también es irracional, así que no hay fracción cuyo cuadrado sea
exactamente 3). Acomoda tus resultados en la tabla que incluimos aquí:
Fracción:
p
q
⎛ p⎞
Cuadrado: ⎜ ⎟
⎝q⎠
2
5. Enseguida damos una tabla con una lista de números, en la columna de cada uno de ellos
marca las clases de números a las que pertenece, se dan algunos ejemplos:
-7
3/4
2+π
3
5
2
N
*
Z
*
F
*
Q
*
9/6
4
-7/8
2+ 2
3/0
0/1
1
*
I
R
0/5
*
*
“Acorralando” a 2 con fracciones decimales:
Para empezar consíguete una calculadora. Como se ha dicho, √2 no es igual a alguna fracción decimal, pero
podemos obtener un aproximación decimal suya acorralándola entre fracciones decimales cada vez más finas:
Primera aproximación:
1< 2 porque 12 < 2
también
1< 2 <2
2 < 2 porque 2 < 22 en resumen
6.
Segunda aproximación:
Ahora dividimos en diez partes iguales el intervalo entre 1 y 2:
10
11
12
13
14
15
16
17
1=
,
,
,
,
,
,
,
,
10
10
10
10
10
10
10
10
Probando fracción por fracción buscamos las más cercanas a 2
resumen que:
2
196
15
14
⎛ 14 ⎞
porque 2 <
< 2 porque ⎜
<2 y 2 <
⎟ =
100
10
10
⎝ 10 ⎠
18
19
20
=2
10
10
10
por arriba y por abajo, encontramos en
225
100
,
,
en resumen
14
<
10
2 <
15
10
Tercera aproximación:
Dividimos en diez partes iguales el intervalo entre
14
10
y
15
10
:
150
15
149
148
147
146
145
144
143
142
141
14
140
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
=
=
100
10
100
100
100
100
100
100
100
100
100
10
100
Encuentra las dos fracciones que acorralan aún más de cerca 2 , después efectúa la 4° y 5° aproximación.
180
TERCERA UNIDAD
III.1. INTRODUCCIÓN A LA TERMINOLOGÍA Y A LAS OPERACIONES
ALGEBRAICAS BÁSICAS
INTRODUCCIÓN
La obra más antigua que se conserva sobre álgebra es la de Diofanto de Alejandría (siglo
IV d.c.). El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos
árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (siglo IX D.C.), que sentó las bases del álgebra tal
como la conocemos hoy en día.
La aritmética surgió tempranamente de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de
medir el tiempo, de contar sus posesiones, de llevar un control de sus mercadeos y otras
necesidades más o menos inmediatas. El origen del álgebra es muy posterior, como se ha
mencionado transcurrieron muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de
número, que es el fundamento del álgebra. Digamos que el garabato “3” es un número particular,
sabemos, por ejemplo, qué resulta si lo sumamos con 17 o si lo multiplicamos con 23; mientras
que si decimos que x es un número entero, no sabremos qué resulta de sumarlo con 17 ni de
multiplicarlo por 23, pero sí sabremos en ambos casos que el resultado será un entero; sabremos
que no necesariamente al dividir 12 entre éste se obtendrá un entero, y si lo fuera será divisor de
12, lo que sí ocurrirá necesariamente es que tenga un inverso aditivo y que ya que lo hayamos
localizado no habrá otro, etc, al decir “x es un número entero” sabremos bastante acerca de las
características que tendrá aunque no se sepa de qué número hablamos; si nos dijeran que “x es un
número racional” sabremos qué características de las mencionadas antes se conservan y qué otras
se agregan. Todo esto y más es lo que significa el “concepto abstracto de número”.
Como ya hemos estudiado todo eso, tenemos la mayor parte de camino andado para
comprender y manejar el álgebra, esa es una de las ventajas que proporciona el estudio de los
números.
TEMARIO:
III.1. Introducción a la terminología algebraica.
III.1.1. Usos algebraicos de las letras.
III.1.2. Dominio de una letra.
III.1.3. Traducción recíproca entre la lengua materna y el lenguaje algebraico.
III.1.4. Vocabulario algebraico simple.
III.1.5. Términos semejantes y manejo de expresiones que contienen símbolos de agrupación.
181
III.2. Operaciones algebraicas básicas.
III.2.1. Adición y resta de polinomios.
III.2.2. Multiplicación de potencias y de monomios.
III.2.3. Multiplicación de polinomios.
III.2.4. División de potencias de monomios.
III.2.5. División de polinomios.
Ejercicios de operaciones con expresiones algebraicas.
III.1.1. USOS ALGEBRAICOS DE LAS LETRAS
Quizá no sea muy provechoso tratar de explicar tan tempranamente, es decir, al empezar
el tema, qué es y qué no es el álgebra, para qué sirve y para qué no; tal vez sea más beneficioso
empezar a desarrollar con algún detalle sus ideas básicas e ir atando cabos en el camino.
De entrada sabemos que el álgebra trabaja con números y con letras que representan
números, y en ese sentido ya sabemos bastante, pero hay que hacer algunas precisiones al
respecto.
Los principales ingredientes del álgebra elemental son:
⎧
⎧a) absolutas (números reales)
⎪1. Las constantes⎨
⎪
⎩b) relativas
⎪
⎧a) independientes
⎪
⎨2. Las variables⎨
⎩b) dependientes
⎪
⎪
⎪3. Las incógnitas
⎪
⎩
Ahora hay que ver con qué se come cada cosa de éstas, con unos ejemplos fáciles se
puede explicar chido esto.
De entrada, las constantes absolutas que hacen referencia a cantidades que no cambian
con el tiempo ni dependen de la situación en la que se apliquen, es sólo otra forma de llamar a los
números reales, nada pasa si nos referimos a ellos en una u otra forma.
Ahora supongamos que el curso de química en el grupo I-A se va a evaluar como sigue: la
calificación puede ser desde 0 hasta 10 y se determinará en esta forma: cuatro de los diez puntos
se van a dividir por partes iguales entre ocho prácticas; dos puntos más dependerán de las
asistencias, la puntualidad, la participación y esas cosas que por brevedad llamaremos
“cumplimiento”; los cuatro puntos restantes se dividirán por partes iguales entre diez preguntas
de un examen (no nos preocuparemos de ajustar a un entero las calificaciones decimales que se
obtengan):
182
- ¿Cuál es la calificación de un carnal que tuvo 4 prácticas, 5 aciertos en el examen y
sus 2 puntos por cumplimiento? Hagamos el cálculo con detalle.
4
4
( 4 ) + ( 5 ) + 2 = 6 (¡panzazo!)
8
10
Valor de una
Práctica
n° de prácticas
entregadas
valor de un
acierto
n° de aciertos cumplimiento
Esto es aritmética, un cálculo particular para cierta persona.
- Elaboremos una expresión que represente la calificación de una persona que entregó x
prácticas, tuvo 5 aciertos en el examen y sus dos puntos por cumplimiento.
4
4
x+
y + 2 o bien 0.5x + 0.4y +2
8
10
Esto ya corresponde a lo que normalmente llamamos álgebra, ¿no es así? Sobresalen dos
rasgos: por un lado, la expresión no representa la calificación de una persona concreta, sino de
cualquiera que tenga sus 2 puntos por cumplimiento, ¿de acuerdo?; por otro lado, en este caso no
podemos calcular un valor numérico, lo que realmente interesa aquí es el procedimiento
operativo, la rutina de pasos que se sigue para calcular calificaciones.
De manera muy natural les podemos llamar a estas letras variables, no tienen valor fijo:
para un alumno pueden ser x=7, y=10 , para otro x=4, y=8, para aquél x=5, y=9, etc.
Ahora supongamos que las proporciones de los puntajes varían de un grupo a otro como
indica la tabla:
grupo
prácticas
examen
cumplimiento
I-A 4 puntos entre 4 puntos entre
2 puntos
8 prácticas
10 preguntas
I-B 6 puntos entre 4 puntos entre
0 puntos
6 prácticas
10 preguntas
I-C 5 puntos entre 4 puntos entre
1 punto
5 prácticas
8 preguntas
-
Expresemos para cada grupo el procedimiento a seguir para asignar calificación a los
alumnos con x prácticas, y aciertos en el examen y que cumplieron satisfactoriamente:
0.5x + 0.4y + 2
1x + 0.4y + 0
1x + 0.5y + 1
- Calcula la calificación de un alumno del I-C que entregó 4 prácticas, tuvo 4 aciertos y
que cumplió.
183
- Elaboremos una expresión que sea el modelo de las diversas modalidades para calcular
las calificaciones:
¿Qué les parece lo siguiente?:
ax + by + c
a, b y c toman valores dependiendo del grupo académico de que se trate.
Éstas últimas letras también son variables ‘pero nomás tantito’ porque una vez que se
escoja grupo adoptan un valor fijo, o como se dice en matemáticas, un valor constante. Estamos
hablando de letras que al pasar de una situación a otra (de un grupo a otro en este ejemplo)
pueden cambiar su valor, pero en la situación misma tienen un valor inmutable, para conciliar las
dos características se les llama constantes relativas.
Ahora suponemos que Lety es del grupo I-A y que su calificación fue 8.3. Si tuvo sus
puntos de cumplimiento y 7 aciertos en el examen, ¿cuántas prácticas entregó?
0.5x + 0.4y+2
0.5x + 0.4(7) + 2 = 8.3
0.5x + 4 8 = 8 3
Ahora por tanteo o con lo que recuerdas de ecuaciones puedes hallar el valor de x, por lo
pronto no estamos interesados en eso, lo que nos importa es que aquí la letra x no es una
‘variable’, de hecho no puede tener muchos valores, sólo ocupa el lugar de un número
desconocido que se quiere conocer, aquí la letra es una incógnita.
Intentemos un resumen:
Las letras se usan en álgebra elemental como:
1. Variables: representan números cualesquiera de un conjunto dado, la costumbre es
usar las últimas letras del abecedario: x, y, z
2. Constantes relativas: en general toman diversos valores pero en una situación dada
tienen valores fijos: usualmente se usan las primeras letras del abecedario: a, b, c
3. Incógnitas: representan números desconocidos que se pretende conocer, también
suelen usarse las últimas letras del abecedario
Observaciones:
- Se entiende que es impreciso aquello de “las primeras letras” o “las últimas”; más aún,
si preferimos usar una de las primeras letras como variable nada lo impide, sólo que
entonces hay que aclarar que así se va a hacer; pero por default haremos como hemos
dicho, en todo caso esto no crea mayores problemas.
- Ya en el terreno puramente operativo lo usual es que no sea importante distinguir qué
papel juega cada letra, sólo en algunas partes resulta importante y al llegar a ellas lo
subrayaremos.
184
Ejemplos:
La fórmula d = ½ at2 sirve para calcular en ciertas condiciones la distancia que ha
recorrido un objeto que se mueve con aceleración constante a al cabo de un tiempo t. Ya lo
dijimos, a es una constante, imaginemos a un grupo de automovilistas con el pie fijo en el
acelerador, cada uno con alguna aceleración, podemos decir que la fórmula se aplica a todos ellos
y a ninguno: a puede tener cualquiera de los valores que se dan en el grupo, pero cuando
aplicamos la fórmula a uno de ellos a queda fija mientras dure ese movimiento.
La misma fórmula sirve para ilustrar otra cosa, ¿qué distancia d ha recorrido el objeto?, lo
que cualquiera respondería eso depende, ¿de qué? Del tiempo t que el objeto se haya estado
moviendo, de aquí que se diga que d es una variable dependiente; por cierto que el tiempo es una
variable independiente por excelencia, cambia y cambia sin dejarse controlar; claro, las más de
las veces las cosas son de otro modo, en la mayoría de los casos nosotros elegiremos cuál es la
variable independiente y cuál es dependiente según el problema.
Por cierto ½ y 2 son constantes absolutas, o sea, números reales.
Muchos recordarán la famosa ecuación de segundo grado, se escribe:
ax2 + bx + c = 0
Aquí x es una incógnita y el hecho de usar constantes a, b, c significa que no las
consideramos también cantidades desconocidas, sino que en la práctica serán números bien
determinados.
bh
, en ésta, A
2
esta escritura, ¿cómo
Recordemos la fórmula para calcular el área de un triángulo: A =
representa el área, b la base y h la altura del triángulo. Si usamos
clasificarías a cada componente de la fórmula?
Y en la fórmula para calcular la longitud de una circunferencia C = 2π r , en donde C
representa la longitud, r el radio ¿cómo clasificarías cada componente?
III.1.2. DOMINIO DE UNA LETRA
Vamos a escribir cualquier chorizo de letras y números, 3x2+7xy – ½, ¿qué valor pueden
tener las letras? Es común escuchar, “cualquiera”, y en la mayoría de casos así es, pero no
siempre, por ejemplo, regresemos a las calificaciones de grupo I-A:
0.5x + 0.4y + 2
Por el contexto del problema los valores que puede tomar x son:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
porque los alumnos pueden entregar 0 prácticas,1, 2 y así hasta 8 prácticas (claro, podemos
inventar una práctica a medias, en cuyo caso x podría ser la mitad de lo que vale una práctica, o
algo así, por lo pronto no lo tomaremos en cuenta), entonces x no puede ser 3781 o π.
185
Algo semejante pasa con los valores que puede tener y, se ve que puede tomar los valores:
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (también desechando medios puntos y cosas así).
En ocasiones las letras no podrán tomar algunos valores, no por el contexto del problema,
sino por razones matemáticas, por ejemplo:
5+ x
, x no puede ser 3 porque el denominador se convertiría en 0 y ya se ha dicho
x−3
8
que una cosa como
no tiene significado en matemáticas, diríamos que en tal expresión x
0
puede ser cualquier número real excepto 3.
En
Otra vez con la raíz cuadrada, ¿cómo se comprueba, por ejemplo, que es correcta la
expresión √9 = 3?, así (3)(3) = 9 ¿Será correcto − 4 = 2 ? , claro que no, entonces tal vez lo sea
− 4 = −2 , tampoco porque (−2)(−2) no da – 4, de hecho no hay resultado para esa operación,
porque al multiplicar un número por sí mismo tendremos factores de signos iguales y la ley de
signos de la multiplicación no podrá dar un negativo. Por esa razón, mientras se trabaje con
números reales no hay forma de calcular raíz cuadrada de números negativos. Esto conduce a que
si escribimos:
x o
8− x
En el primer caso x no puede ser un número negativo, en el segundo x no puede ser mayor
que 8 porque el resultado sería negativo, que es lo que no se vale.
En resumen, ya sea por el contexto del problema o por razones matemáticas, puede ser
inadmisible que una letra tome ciertos valores, entonces hay que especificar qué valores sí puede
tomar.
Definición:
Al conjunto de valores que puede tomar una letra se le llama dominio de esa letra.
Ya mencionamos los dominios de x y y en el ejemplo de las calificaciones.
Para la fracción mencionada arriba el dominio es el conjunto de todos los números reales,
excepto 3.
Para la primera de las raíces el dominio de x es el conjunto de todos los números reales no
negativos. Para la segunda raíz es el conjunto de todos los reales menores que 8.
En el ejemplo de las calificaciones son posibles otros dominios más amplios, por ejemplo
considerando medios puntos, en los otros no podemos ampliar más los dominios, hemos dejado
fuera la menor cantidad posible de números; cuando hacemos ésto se dice que se toma el dominio
natural o el mayor dominio de la letra, muchas veces el dominio natural de las letras es el
conjunto completo de los números reales.
186
ACTIVIDAD
En las siguientes expresiones indica el domino para cada una de ellas.
i)
x
y
ii) x + 3
x −3
ii)
x+ y
x− y
iv) x + 2
v)
x+2
vi) x − 3 ⟩ 4
III.1.3 TRADUCCIÓN RECÍPROCA ENTRE LA LENGUA MATERNA Y EL
LENGUAJE ALGEBRAICO
En álgebra es muy importante saber traducir las proposiciones verbales comunes (se dice
que están dados en lenguaje natural ) a proposiciones con lenguaje algebraico (utilizando los
ingredientes ya estudiados del álgebra).
Para la solución de problemas, la traducción de las proposiciones verbales comunes a un
lenguaje algebraico es fundamental, ya que nos permite una mejor comprensión del problema. A
continuación daremos algunos ejemplos de enunciados verbales comunes traducidos a lenguaje
algebraico.
Algunas palabras que indican adición son:
suma
más
aumentar
incrementar
mayor que
más grande que
Algunas palabras que indican sustracción son:
resta
diferencia
menos
disminuir
menor que
perder
Algunas palabras que indican multiplicación son:
producto
veces
triple
multiplicado
doble
cuádruplo
Algunas palabras que indican división son:
cociente
dividido entre
mitad
tercera
razón
cuarta
187
Ejemplos:
Expresión verbal
Expresión Algebraica
z
Un número cualquiera.
La suma de dos números.
x+y
La diferencia de dos números.
y–z
La suma de dos números dividida entre su diferencia.
y+z
y−z
El cubo de un número.
x3
El doble del cubo de un número.
2x3
La suma de los cuadrados de dos números.
x 2 + y2
El cuadrado de la suma de dos números.
( w + z )2
La tercera parte del cubo de un número.
x3
3
¿Cuál es el número que agregado a 3 suma 8?
w+3=8
¿Cuál es el número que elevado al cubo da 27?
z3 = 27
A continuación daremos algunos ejemplos de expresiones algebraicas,
traducidas al lenguaje común.
Ejemplos
Expresión Algebraica
x− y
2
Expresión verbal
La mitad de la diferencia de dos números cualesquiera,
o, la semidiferencia de dos números cualesquiera.
( x + y )3
El cubo de la suma de dos números cualesquiera.
w3 + y3
La suma de los cubos de dos números cualesquiera.
188
3(z–y)
Tres veces la diferencia de dos números cualesquiera, o, el
triple de la diferencia de dos números cualesquiera.
(p+q)(p–q)
El producto de la suma por la diferencia de dos números
cualesquiera.
ACTIVIDAD:
Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones verbales.
i)
El producto de dos números
ii)
El cuadrado de la suma de dos números
iii)
El perímetro p de un triángulo cuyos lados son a, b, c.
iv)
La diferencia de los cuadrados de dos números
v)
¿Cuál es el número que disminuido en 5 da por diferencia 13?
vi)
El triple de un número es igual al doble del otro.
III.1.4. VOCABULARIO ALGEBRAICO BÁSICO
El álgebra como cualquier otra disciplina tiene una terminología que sirve de lenguaje
común a todo aquel que la utiliza. Además esta terminología permite el desarrollo de conceptos
elementales y complejos . Algunos de los conceptos básicos son:
Expresión Algebraica. Es un grupo de números y letras combinados entre sí mediante
operaciones.
Ejemplos:
2x2 + 3y + 5 ,
a
+ 2c + 4d ,
b
3xy + 2z− x
Término Algebraico. Expresión algebraica que no contiene adiciones ni restas.
Ejemplos:
2x , 2ab, −5a3b ,
− 2 xy
, 2x 3y ,
z
3xy
, xy,
7
xz
−2
En un término algebraico podemos distinguir el coeficiente numérico y la parte literal.
Coeficiente Numérico y parte literal de un término. El primero es el factor numérico de un
término, la parte restante de éste es su parte literal, véase la siguiente tabla:
189
Expresión
Coeficiente numérico
Parte literal
2
3x y
3
x2y
−5ab2
−5
ab2
2x
5 2
x
3
7
xy
xy3
−2
1
−2
xz2
1
xz2
5
3 xy
7
xy
3
ACTIVIDAD:
Para cada término escribe su factor numérico.
i) 5x
ii) 1 x 2 iii) −4x
2
iv) 2(x + y)
v) x3
3
2
vi) 3xy vii) − 4 (a − b)
III.1.5. TÉRMINOS SEMEJANTES Y MANEJO DE EXPRESIONES QUE CONTIENEN
SÍMBOLOS DE AGRUPACIÓN
Reducción de términos semejantes
Dos o más términos son semejantes si difieren a lo más en sus coeficientes numéricos
ACTIVIDAD:
En los siguientes pares de expresiones indica los incisos en los cuales los términos son
semejantes y en cuales no.
i) 3x, 2x2
ii) − ab, ab
iii) 4x2y, − 2xy2
iv) 8ab, 3ba v)
1 2
x , 3x 2
4
190
La propiedad distributiva permite reducir una suma algebraica de dos o más términos
semejantes a uno sólo (aquí se emplea “suma algebraica” en el sentido usado en la parte de
números).
Ejemplos:
a) 3x 2 + 5 x 2 − 12 x 2 = (3 + 5 − 12) x 2 = −4 x 2
b)
−2 2
1 2
1
3 2
⎛ −2
⎞
a y−
a y + a2 y = ⎜
a y
−
+ 1⎟ a 2 y =
7
2
2
14
⎝ 7
⎠
En resumen:
Para reducir una suma algebraica de términos semejantes a un solo término, se efectúa la
correspondiente suma algebraica de los respectivos coeficientes numéricos y al resultado se le
agrega la parte literal de los términos
Ejemplos:
1. 3a x−2 + 5a x−2 = 8a x-2
2.
1 2
1
1
1
x yz − x 2 yz − x 2 yz = x 2 yz
2
4
8
8
Puede ocurrir que no todos los términos de la expresión dada sean semejantes, pero que
sea posible formar grupos de términos semejantes, en cada uno de los cuales sea posible una
reducción:
semejantes
semejantes
644
47444
8 647
4 48
4
3. 5a 2 b + 4ab 2 + 7a 2 b + 3ab 2 − 6a 2 b = 5a 2 b − 6a 2 b + 7a 2 b + 4ab 2 + 3ab 2 = 6a 2 b + 7ab 2
4. 3a + 5ab − a = 2a + 5ab
5. 5 x 2 y − 7 xy 2 + x 2 y − xy 2 = 6 x 2 y − 6 xy 2
Símbolos de agrupación
Los símbolos de agrupación en álgebra tienen los mismos usos básicos que en el caso
numérico, asimismo se manejan con las mismas reglas. Sólo hay diferencias en algunos detalles
entre los usos numérico y algebraico de símbolos de agrupación, uno de ellos es su uso más
generalizado para indicar multiplicación, pero por lo pronto nos detendremos en otro, el de
subrayar que cierta expresión se considera como un todo.
191
Por ejemplo, la expresión:
( 2x + 4y – z ) + ( 3x – 2y + 3z )
indica que estamos sumando sólo dos expresiones, las que están dentro de los paréntesis, en
cambio, si cancelamos los paréntesis con la regla usual cuando a éstos les antecede un ‘+’
obtenemos una suma algebraica de varias partes:
2x + 4y – z + 3x – 2y + 3z
De igual modo, enseguida damos una resta de dos expresiones
( 6a − 5b + 2c ) – ( 2a − 3b + 2c )
Desde que estudiábamos los números enteros advertimos que para simplificar expresiones
con símbolos de agrupación bastaba la regla del paréntesis, pero que también se podían usar
ciertas reglas para cancelar los símbolos de agrupación y finalmente reducir la suma algebraica
resultante; mientras que en el caso algebraico lo más común es el uso del segundo de los
procedimientos mencionados, aquí es el lugar apropiado para ver con más detalle ese caso.
Los dos ejemplos siguientes ilustran las dos reglas básicas para cancelar símbolos de
agrupación, si a ellas se agrega la de atender primero el símbolo de agrupación más interior, si es
que hay unos símbolos dentro de otros, podemos manejar expresiones algebraicas:
( 2x + 4y – z ) + ( 3x – 2y + 3z ) = 2x + 4y – z + 3x – 2y + 3z
= 2x + 3x + 4y – 2y – z + 3z
= 5x + 2y + 2
( 6a − 5b + 2c ) – ( 2a − 3b + 2c ) = 6a – 5b + 2c – 2a + 3b – 2c
= 6a – 2a − 5b + 3b + 2c – 2c
= 4a – 2b
Ejemplos:
Eliminar los símbolos de agrupación y reducir términos semejantes.
1. 2x − { 3x + [ 4x − ( x – 2y ) + 3y ] − 4y } + 2y
Solución:
2x − { 3x + [ 4x − ( x – 2y ) + 3y ] − 4y } + 2y =
= 2x − { 3x + [ 4x − x + 2y + 3y ] − 4y } + 2y
= 2x − { 3x + [ 3x + 5y ] − 4y } + 2y
= 2x − { 3x + 3x + 5y − 4y } + 2y
= 2x − { 6x + y } + 2y
= 2x − 6x − y + 2y
= − 4x + y
192
2. 4s − [ 2s − ( 3s – t ) + 2t ]
Solución:
4s − [ 2s − ( 3s – t ) + 2t ] = 4s − [ 2s − 3s + t + 2t ]
= 4s − [ − s + t + 2t ]
= 4s − [ − s + 3t ]
= 4s + s – 3t
= 4s – 2t
3. 2a − { 2a − [ 2a − ( 2a − b ) − b ] − b} − b
Solución:
2a − { 2a − [ 2a − ( 2a − b) − b] − b}− b = 2a − { 2a − [ 2a − 2a+ b − b] − b}− b
= 2a − { 2a − b} − b
= 2a − 2a + b – b
=0
Una Clasificación de Expresiones Algebraicas
Como hemos visto existen distintas clases de números que se distinguen entre sí por
ciertas propiedades que tienen unos mientras que otros no, con las expresiones algebraicas pasa
algo parecido. En particular, atendiendo a la propiedad de cerradura, resultó que sólo con ciertos
conjuntos se pueden efectuar siempre ciertas operaciones; resumimos los resultados en la
siguiente tabla:
Siempre es posible (de modo que el resultado sea un número de la misma clase que los operados)
extraer raíces y otras operaciones
Sumar
Multiplicar
restar
dividir
N
Z
F
R
N
Z
F
R
Z
F
R
F
R
R
Con las expresiones algebraicas pasa lo mismo, por ejemplo, si se suman dos expresiones
del tipo ax3+ bx − c (con más o menos términos pero con exponentes naturales), el resultado será
otra del mismo tipo; mientras que si se dividen dos de ellas no hay garantía de que el resultado
sea otra del mismo tipo. Enseguida haremos una caracterización breve de algunas expresiones en
este contexto, adelantamos que aquí sólo estudiaremos el más simple de esos tipos.
193
POLINOMIOS
Primera aproximación:
Es una suma algebraica con más de un término, con la condición de que las variables
estén afectadas sólo con exponentes naturales, con el convenio de que x0 = 1 (ya antes hemos
convenido en que 100 = 1, más adelante se justificarán estos acuerdos). El problema con
semejante definición radica en que puede ser que muchos de ustedes sólo conocen tales
exponentes, en realidad en matemáticas se manejan cosas como las siguientes:
1
1
4 −2
42
x −2
x2
x 2
Así que tendremos que adelantarnos en otra cosa: ahí donde hay un exponente negativo
puede haber una división, donde hay un exponente fraccionario puede haber un radical (raíz
cuadrada, cúbica, etc), ya se estudiarán estas cosas, por lo pronto sólo las mencionamos, por
ejemplo, se verá que:
1
1
1
−2
42 = 4 =2
4 = 2 =
16
4
De aquí la primera aproximación a la definición de polinomio:
Un polinomio es una suma algebraica (en el sentido definido desde los enteros) de
términos en los que la variable no aparece como divisor ni afectada por un radical.
Las siguientes expresiones son polinomios:
2 x 2 − 7 x + 11
3 xy 2 + 6 xy − 2 x − 39
Pero las que siguen no lo son:
− 2x3 +
2
− 7 xy
x
7 ay 2 − 3 y −
3
y
4
En cambio la que sigue si es polinomio, explica por qué.
4 x 3 − xy 3
x− y 3
+ ax2 −
− 5y
b
3
Segunda aproximación:
La definición anterior se apega al significado usual de poli = muchos, pero por razones
matemáticas en las que no conviene detenernos aquí, un solo término se considerará como un
polinomio si las variables se ajustan a los requerimientos anteriores; así, por ejemplo, cada una de
las siguientes expresiones son polinomios:
194
−6 3 2
x y
7
− 2x2
x
Pero aún falta el trago más amargo, partimos, por ejemplo, de los polinomios:
2 x 2 − 7 x + 11
3xy 2 + 6 xy − 2 x − 39
El primero tiene tres términos y el segundo tiene cuatro, si nos quedamos sólo con
2
2 x + 11 del primero o con 6 xy − 39 del segundo, seguiremos teniendo polinomios; de
acuerdo a lo que acabamos de decir, aún tenemos polinomios si ahora nos quedamos sólo con los
términos 2x2 ó 6xy; pues bien, también está establecido el convenio de que si nos quedamos sólo
con 11 o con 39, ¡también seguiremos teniendo polinomios!, es decir, un número real se
considera en álgebra un polinomio, líneas adelante completaremos la idea.
En resumen:
Definición:
Un polinomio es una suma algebraica de términos en los que las variables no aparecen
como divisores ni afectados por radicales, también lo son un sólo término cuyas variables se
ajusten a los requerimientos anteriores o bien cualquier constante, incluidos los números
reales.
Hagan de cuenta que los polinomios son el equivalente de los números enteros, en
particular siempre que se sumen, que se multipliquen o que se resten dos de ellos el resultado es
otro de ellos, no es así cuando se dividen o se les aplica un radical (compara con la tabla acerca
de los números y sus operaciones incluida antes).
EXPRESIONES ALGEBRAICAS QUE NO SON POLINOMIOS
Por otro lado, una expresión como
numérico escribíamos
3x 3 − 7 x + 1
es el equivalente de lo que en el caso
2x − 9
p
, es una fracciones algebraicas y no es un polinomio, tampoco lo es
q
algo como x 2 + 2 x − 5 , ni como 2x+3 o como 5sen(x)+ 4x2−7x, entre otras, algunas de estas
clases de expresiones se estudiarán en semestres posteriores.
Pues bien, aquí sólo nos ocuparemos de estudiar las operaciones entre polinomios, que es
la parte más sencilla del álgebra.
Los términos, muy usuales en la secundaria, de monomio, binomio o trinomio los
usaremos más para expresiones algebraicas cualesquiera que para polinomios, es decir serán,
respectivamente, expresiones algebraicas de uno, dos y tres términos. Se entiende que entonces
también pueden ser polinomios con dichos números de términos.
195
Grado de un Polinomio
Si el polinomio consta únicamente de un término, su grado es la suma de los exponentes
de las variable, si solo hay una variable se toma su exponente, por ejemplo:
3x 3
es de grado 3
3 2 3
x z
2
es de grado 5
− 4a 5 x 3 y 4
es de grado 7, recuerda que sólo cuentan los exponentes
de las variables.
Ya dijimos que una constante se considera como polinomio, el grado de una constante es
cero (esto tiene que ver con el convenio de que x0 =1, entonces 3 = 3⋅1 = 3x0 , como el exponente
de la variable es 0 ese será el grado).
En verdad que el siguiente caso no es un trabalenguas, es sólo una definición: si el
polinomio tiene más de un término, su grado es el grado del término de mayor grado.
Ejemplos:
3x3 + 8x4 – 2
Polinomio de 4° grado
−9y3 – 5y – 8y2
Polinomio de 3er grado
− 2m + 5m5 – 2m2 – m3
Polinomio de 5° grado, sólo si la m está jugando el
papel de variable
Ejemplos:
3x3y2z – 5xyz2 – 8
Polinomio de 6° grado
ap2c – 5a3p5c+ 3apc
Polinomio de 5° grado, si p es una variable
EVALUACIÓN DE POLINOMIOS
Evaluar un polinomio para algún valor de la o de las variables significa obtener el número
que resulta de cambiar las letras por los valores que se les dé.
196
Ejemplos:
i) La altura alcanzada por un paquete de juegos artificiales está dada por el polinomio
–16t2 + 140t (altura en metros (m), tiempo (t) en segundos). Si la mecha está programada
para detonar un paquete con diseño en forma de araña en siete segundos después del
lanzamiento, ¿a qué altura explota el paquete?
Solución:
Debemos evaluar el polinomio con t = 7 para encontrar la altura de la explosión.
−16t2 + 140t = −16 (7)2 + 140 (7)
= −16 (49) + 140 (7)
= −784 + 980
= 196
Luego, los juegos artificiales explotarán a 196 metros.
ACTIVIDAD:
i)
Proporciona un ejemplo de un polinomio con cuatro términos en la variables x, de
grado cinco, escrito en potencias descendientes, sin término de cuarto grado.
ii)
Se tiene un terreno de forma cuadrangular cuyos lados son de tres metros
respectivamente. Luego, el exponente en la expresión, A = 32 m2 , en particular
del 32 es 2. Explica porqué el grado de 32 no es 2. ¿Cuál es su grado?
197
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN III.1
1. Identifica en las siguientes expresiones, las variables y las constantes.
9d 3 − 4b 2 + 8d − 1
r2
2
a) 9m n +18mn
b)
c)
2 3−p
2
7x + y
y
1
x
e) n = 8000-40p
f) v =
d) 5x4 + z4 +
t
3
3
g) A = P(1+r)n
(
)
2. Completa la siguiente tabla:
Términos
(-3)x 2 y
a2b2
(4 +y)4y
(1/3)(x+a) (x+b)
(1/2)(x-a)(x+a)
(1/8)(x+a)(x+b)(x+c)
3 ab(2 ab+7)
Número de factores Coeficiente numérico
3. Indica con un sí o un no, cuales de las siguientes expresiones representan expresiones
algebraicas
a) 8ab_________
b) 8 + 7________
c) 8(x-3y) __________
1
2x + 3y
__________
d) x2 y3 z________ e)
y −1|
39
f) x 2 − 2 x +
______
2x
4. Completa la siguiente tabla en tu cuaderno:
Expresión algebraica número de términos variable constante operaciones signo de agrupación
4
5x + 6x - 1
2
3(a b + 1)
2
16x + (18x - 9)
a -1
2
2
9m n + 18m n
3
3
x + (y +z)
3
19a - 3 + b
2
2
a + 2(ab + b)
(a+b) + (x+Y)
5. Indica el grado absoluto de los siguientes polinomios
a) −5x2 + 3x4
b) 2y2 - 3y + 1
d) 2x4y2 − 3x2y4
e) 5x3y - x5 + xy6
c) 16x4y2 + 5x2y3
198
6. Identifica el grado respecto a x, el grado respecto a y, y el grado de cada uno de las
siguientes expresiones:
a) − 3
e) 9xy4
c) − 6xy
g) − 12xy4
b) 4x2y
f) 10x8y3
d) 24x3y6
h) 24xy5
7. Indica el grado de las siguientes expresiones, respecto a cada uno de los factores literales.
a) 6x4 + 4x − 3x2 + 1
b) 5x2 + 3x + y
c) −2 a3x − 3 ax2 − 5x + a
8. Sea el monomio x? y? de grado 10. Escribe todos lo monomios en donde el grado con
respecto a x sea mayor que el grado con respecto a y.
9. Sea el monomio x? y? de grado 6. Escribe todos lo monomios en donde el grado con
respecto a y sea mayor que el grado con respecto a x.
10. Determina cuáles de las siguientes expresiones son monomios. Justifica la respuesta.
a)
2
x
e) 2x−2
b) 3x2
c) −5x
f) 2x − 4
1
g) − x
2
d) 100x − 2
h)
2x
11. Clasifica las siguientes expresiones en monomios, binomios, trinomios.
a) x2 + 2ax + y2
b) x3 + 3x2 + 5xy2 + y2
c) m2n3 + mn4 + n5
d) 16x4
e) x − 1
f) 4x2 + 2x + x2y5
12. Escribe seis expresiones algebraicas que sean monomios con los siguientes datos:
Constantes: 1, 2, −3, 5;
Variables: x, y
13. Completa en tu cuaderno la siguiente tabla.
Polinomios desordenados
14x -5 + 3x 2 - 6x 4
a 2 + a 3 + 1 -5 a 6 +7a 4
-1 + 2y 4 - y 3 +y + y 2
2x 6 - x + 5x 5 - 3x 2 + 3x 4 + x 3
6m 3 + 4m - 3m 2 + 1
y+2y 2 -y 3
2x 6 - 3x 2 - x 4 +5
Ordenados ascendentemente Ordenados ascendentes
respecto a una variable
respecto a una variable
199
14. Si x y y representan números reales, simboliza las siguientes expresiones:
a) La suma de los números
b) El producto de los números
c) La diferencia de los números
d) El cubo de la diferencia
e) La diferencia de los cubos
f) La suma de los cuadrados de los números
g) El cociente de los números
h) El doble producto de los números
15. x y x son números reales y x > x. Representa la relación que se establece en cada caso.
a) El doble del mayor es igual al triple del menor.
b) El mayor excede al menor en 5.
c) El menor es igual al mayor disminuido en 12.
d) La suma de los dos números es 24.
e) El mayor es igual al cuadrado del menor disminuido en 1.
16. Expresa en lenguaje algebraico los siguientes enunciados:
a) El triple de un número más 5.
b) La suma de la mitad de un número y el triple de otro número.
c) El cubo de la diferencia de un número menos 6.
d) El cuadrado de un número más 7.
e) El cubo de la suma de un número más 2.
f) Dos veces un número disminuido en tres unidades.
g) Cuatro veces la suma del cuadrado de un número más 6.
h) El cuadrado de la suma de dos números.
i) Cinco veces un número disminuido en 6 unidades.
j) La raíz cuadrada de un número más 8 es igual a 12.
k) Seis veces un número más cuatro es igual a dos veces otro número menos cuatro.
l) Un tercio del cuadrado de un número es igual a doce.
m) La raíz cuadrada de la suma de un número y 10 es igual a 5.
200
17. Traduce a lenguaje verbal las siguientes expresiones algebraicas:
a) 6x + 3
b) 4 ( x2 − 3 )
c) 5x + 3y = 9
d) 3x2 + 8 = 0
e) x3 − 4
f)
3
x 2 + 8 = 18
g) 2 ( x5 + 6 )
h)
1
2
x + y2 + 8 = 0
4
7
i) ( x + 2z )4
j)
1
3
x + 10 = x + 6
2
4
18. Analiza cada pareja de términos algebraicos e identifica los que sean semejantes
a) −3x2y, 3xy2
b) 2 a, 2 a2
c) −7 a2b3, 11 a2b3
2
2
d) 4m n, 2m n
e) 9y, 8y
f) 8 ab7 , a2b2
g) 3r, 5r2
h) −2xy2, 5xy2
i) 3x, −2y
19. Completa las siguientes expresiones para incluir únicamente términos semejantes.
a) 2x2 + ( ) x2 = 0
b) ( ) b3 + 24 a2b3 = 0
c) −7( ) + 7x2y3 = 0
d) − ax2 + (
) =0
20. Completa los términos de las expresiones algebraicas siguientes, para que únicamente
incluyan términos semejantes.
a) ( )x +3x = 16( )
c) ( )y + ( )y +( )y = 42( )
b) ( )m2 + 12( ) + 5m2 = 20( )
d) a2( ) + a2b2 + a?b? = ( )2( )2
201
21. Reducir términos semejantes:
i.
7xy3 - 8xy3 +
1 3 1 3
xy + xy - 2xy3
2
5
6
abc -18 abc - 7 abc
5
5
6
iii. – 3 xyz + mn + xyz - 6 mn - 4 xyz
3
7
5
3
iv. m2np + m2np - 16 abc + 9 abc + m2np
4
5
ii.
12 abc +
v. 4ax – 2ax – 7ax – 12ax
vi.
3
5
2
am + am − am − 6am − am
8
4
3
1
3
1
, b = −1, c = y d = ; calcula el valor numérico de las siguientes
2
4
8
expresiones:
22. Si a =
a) 2 a2 + 3
c) a – 2 b2 + 1
b) 4 a + 2 a + c2
d) 2d – 3 + 4 a + b3
23. Evaluar cada una de las siguientes expresiones algebraicas considerando que x = 1, a = 2,
b = 0 y c = -2
a) (x - y)2
b) x2 - y2
c) (a + b + c) (a - b + c)
5
4
4
d) a - a b + b -c
e) (x + a) (x + b)
f) x2 + y2
24. Escribe una expresión algebraica tal que cuando las partes literales sean remplazadas por 1, 2 y 3 respectivamente, tenga como valor numérico 10.
25. Dado b = 2, c = 3 y m =
26. Dado b = 2, n =
1
, halla el valor numérico de: 4m 3 12bc 2
2
1
5b 2 m 2
1
1
, m=
y p = , resuelve:
2
np
3
4
27. Dado a = 1, b = 2 y m =
1
2
, resuelve a 4 b 2 m 3
2
3
202
III.2. OPERACIONES ALGEBRAICAS BÁSICAS CON POLINOMIOS
III.2.1. ADICIÓN Y RESTA DE POLINOMIOS
Para sumar dos o más polinomios procedemos como en el siguiente ejemplo:
2
2
Al polinomio 3 x + 5 y − 1 sumarle - 6x + 2 y − 7 :
se indica la adición (dos polinomios)
para quitar paréntesis
cambiamos de lugar los términos
64
44447444448 64regla
44
4744448 64
444744448
2
2
2
2
2
3x + 5 y − 1 + − 6 x + 2 y − 7 = 3x + 5 y − 1 − 6 x + 2 y − 7 = 3x − 6 x 2 + 5 y + 2 y − 1 − 7 =
(
) (
)
se introducen paréntesis (cuidado con los signos)
6
44444
47444444
8
2
2
= 3x − 6 x + (5 y + 2 y ) + (− 1 − 7 ) =
(
)
se reducen términos semejantes
644744
8
2
− 3x + 7 y − 8
Observa la penúltima expresión, ahí hay tres grupos de términos semejantes. Ésta
ordenación horizontal se puede cambiar por una ordenación vertical de modo que resulten
columnas de términos semejantes, esto es lo que se hace en la siguiente forma que se parece a la
que se usa frecuentemente en la suma numérica: lo de los paréntesis se vuelven columnas.
3x2 + 5y − 1
observa que sólo se suman los coeficientes numéricos, sin alterar
−6x2 + 2y − 7
los exponentes, porque sólo es una reducción de
−3x2 + 7y - 8
términos semejantes.
ACTIVIDAD:
Sumar: 3x2 – 4xy + y2; - 5xy + 6x2 – 3y2; - 6y2 – 8xy – 9x2
Sumar: a3b – b4 + ab3; - 2a2b2 + 4ab3 + 2b4; - 3a2b2 + 6b4 – 10 + 2ab3
Resta de polinomios
Se procede como en el caso de la suma, por ejemplo:
Del polinomio 3x2 + 5y – 1 restar −6x2 + 2y – 7:
203
indica la resta (dos polinomios)
para quitar paréntesis
cambiamos de lugar los términos
64se4
4447444448 64regla
44
4744448 64
444744448
2
2
2
2
2
3x + 5 y − 1 − − 6 x + 2 y − 7 = 3x + 5 y − 1 + 6 x − 2 y + 7 = 3x + 6 x 2 + 5 y − 2 y − 1 + 7 =
(
) (
)
se introducen paréntesis (cuidado con los signos)
términos semejantes
644444
47444444
8 se reducen
647
4
48
4
2
2
2
= 3 x + 6 x + (5 y + 2 y ) + (- 1 + 7 ) =
9x + 7 y + 6
(
)
La observación es que los grupos de términos semejantes también se pueden escribir en
columnas en lugar de hacerlo en fila, así se obtiene lo siguiente. Nota que la diferencia respecto a
la suma es que los signos de los términos del sustraendo se cambiaron por los signos contrarios,
como efecto de que a dicho sustraendo le antecedía un ‘−’, el de la resta.
3x2 + 5y −1
Signos cambiados
respecto al sustraendo
Observa que sólo se suman los coeficientes numéricos, sin
6x2 − 2y + 7
alterar los exponentes, porque sólo es una reducción de
9x2 - 7y + 6
términos semejantes.
Poniendo atención al procedimiento anterior se nota que realmente la resta fue cambiada por una suma,
con la condición de cambiar los signos del sustraendo, en el fondo no es más que el teorema de la resta, esto es:
Si el inverso de – 6x2 + 2y −7 es − (– 6x2 + 2y −7) = 6x2 − 2y + 7 se tiene lo siguiente:
minuendo
sustraendo
647
48 64
4744
8
(3x
2
)(
2
cambios
6sin
47
48
) (
2
inverso del sutraendo
647
4 48
4
) (
2
+ 5 y − 1 − − 6 x + 2 y − 7 = 3x + 5 y − 1 + 6 x − 2 y + 7
) = 9x 2 − 3y + 6
La resta se cambia por suma
En general, si A y B representaran polinomios tendremos que: A – B = A + (− B)
Compárese con el teorema de la resta introducida en la parte de los enteros: m – n = m + (-n)
Ejemplos:
1. Restar 6x de – 8x = - 8x + ( - 6x ) = - 14x
2. Restar 4a2b de – 5a2b = - 5a2b + ( - 4a2b ) = - 9a2b
ACTIVIDAD:
1. De 7x3y4 restar – 8x3y4
2. De ½ ab restar – ¾ ab
3. A 2x – 3y restarle – x + 2y
4. Restar 3a2 + ab – 6b2 de – 5b2 + 8ab + a2
ACTIVIDAD:
204
Escribe un polinomio que describa la situación, indicando claramente qué representa cada
literal.
i)
ii)
iii)
iv)
v)
Área de un rectángulo, si el largo mide el doble de su ancho.
Área de un rectángulo, si el largo mide 10m más que su ancho.
Área de un triángulo, si la altura mide el triple de su base.
El salario de Moisés en los dos primeros días, es x pesos por día y (x–12) pesos
por los tres días siguientes. Dar una expresión que muestre el salario de Moisés de
los cinco días de trabajo.
El profesor Miguel cortó el césped de un jardín rectangular de x metros de largo
por 50 metros de ancho y el profesor Rodolfo hizo lo mismo en otro de (x+20)
metros de largo por 60 metros de ancho. Dar una expresión que muestre el área
total del césped cortado.
III.2.2. MULTIPLICACIÓN DE POLINOMIOS
Conviene abordar esta operación por casos
MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS Y DE MONOMIOS
Producto de Potencias
Ya hemos estado usando la operación de potenciación, precisaremos algunas ideas:
Exponente
4 factores
6
474
8
3 4 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81
cuarta potencia de 3
base
Para multiplicar potencias de la misma base procedemos como sigue:
3 factores
3+ 2 factores
factores
64
74
8 2}
64
4744
8
3 ⋅ 3 = (3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3) ⋅ (3 ⋅ 3) = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 33+ 2 = 729
144444
42444444
3
( )( )
4
2
propiedad asociativa (sin escribir los paréntesis)
Lo que nos importa es la relación entre la expresión original y la penúltima:
(3 )⋅ (3 ) = 3
4
2
4+3
Procediendo en general en la misma forma se obtiene fácilmente la siguiente:
205
Ley de exponentes (diremos Ley M, inicial de multiplicación)
Si m y n son enteros positivos y x es un número real entonces: x m x n = x m + n
En efecto:
factores
factores
n factores
m+
n7
6m47
48 647
48 644
4
4448
x x = ( x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x) ⋅ ( x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x) = x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x ⋅ x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ x
14444444442444444444
3
m
n
asociativa, se pueden quitar todos los paréntesis
m+ n
=
1x23
definición de expontes
Por ejemplo:
x5 . x4 = x9
Multiplicación de Monomios
El siguiente ejemplo muestra como se efectúa la operación:
asociativa, se quitan los paréntesis
a 8
644
444474444448 64conmutativ
4744
3
2
2 2
3
2
2 2
3 2
− 4 x yz 3 x y = −4 x yz 3 x y = − 4 ⋅ 3 x x yy 2 z 2 =
144
42444
3
(
)(
)
se indica la operación
asociativa
6444
474444
8
3 2
2
= ( −4 ⋅ 3 )( x x )( yy )z 2 = −12 x 5 y 3 z 2
1444444
424444444
3
se efectúan operaciones en cada paréntesis, ley de exponentes
Ejemplos.
1
(2 a2 b3) (4ab3) = 8 a3b6
2. (- 2x2)(3x2)= - 6x2
3
(8 a3 b3 ) (- 2 a2b4 = - 16a5b7
4
(- 3 a2b3) ( - 6 a5b-2) = 18a7 b
Multiplicación de un monomio por un polinomio
Para obtener el producto de un monomio por un polinomio aplicamos la propiedad
distributiva de la multiplicación con respecto a la adición y a la resta, así como el caso de
multiplicación de monomios.
206
Ejemplos.
(2x3 + 4x2 + 6x – 10) 5x = (2x3 )(5x) +(4x2)(5x) + (6x)(5x) – (10)(5x)
=10x4 +20x3 + 30x2 – 50x
3am (m2 –2mn +n2) = 3am(m2) + 3am(-2mn) + 3 am (n2)
= 3 am3 – 6 am2n + 3amn2
(6 a4b – 9 a3b2 + 12 a2 b3 –3 ab4 +15) ( -3 a2 b2) =
-18 a6 b3 +27 a5b4 –36 a4b5+ 9 a3 b6 – 45 a2 b2
Multiplicación de Polinomios
En el producto de polinomios se aplica repetidamente la propiedad distributiva de la
multiplicación con respecto a la adición y a la resta, por ejemplo multiplicaremos:
3x2 − 5xy + 2y por 2x2 − y + 3xy
indica la operación
6444se4
47444448
2
(3x - 5xy + 2y )(2 x 2 − y + 3xy ) =
distributiva de ⋅ respecto a + y -, considerando al primer polinomio como un sólo bloque
6444444444447444444444448
(3x 2 - 5xy + 2y )2 x 2 − (3x 2 - 5xy + 2y )y + (3x 2 - 5xy + 2y )3xy =
6 x 4 − 10 x 3 y + 4 x 2 y − 3x 2 y + 5 xy 2 − 2 y 2 + 9 x 3 y − 15 x 2 y 2 + 6 xy 2 =
cambian de lugar los términos para acomodarlos en grupos de términos semejantes
64444se4
444444444474444444444444448
4
6 x + (− 10 x 3 y + 9 x 3 y ) + (4 x 2 y − 3x 2 y ) + (5 xy 2 + 6 xy 2 ) − 2 y − 15 x 2 y 2 =
6 x 4 − x 3 y + x 2 y + 11xy 2 − 2 y − 15 x 2 y 2
El segundo renglón muestra que cada término de un polinomio (en este caso el segundo)
debe multiplicar a todos los términos del otro polinomio; el cuarto renglón nos permite ver que
posteriormente se forman grupos de términos semejantes, que después se reducen. Todo esto se
puede hacer de otro modo: acomodamos un polinomio debajo de otro y hacemos lo que hemos
descrito, procurando que los grupos de términos semejantes formen columnas de términos
semejantes; conforme se van efectuando mentalmente las operaciones se van formando las
columnas de términos semejantes, es decir:
207
3x 2 - 5xy + 2y
2x 2 - y + 3xy
6 x 4 − 10 x 3 y + 4 x 2 y
Producto de 2x2 por el polinomio de arriba.
− 3 x 2 y + 5 xy 2 − 2 y 2
− 15 x 2 y 2
Producto de 3xy por el polinomio de arriba.
6 x 4 − x 3 y + x 2 y + 11xy 2 − 2 y 2 − 15 x 2 y 2
Suma de columnas de términos semejantes.
9x3 y
+ 6 xy 2
Producto de -y por el polinomio de arriba.
Ejemplos.
1. Multiplicar ( 3x + 2 ) por ( x – 5 )
3x +2
x-5
3x2 + 2x
-15x – 10
3x2 –13x – 10
2. Multiplicar (2x2 + 5x –6) por (2x + 5)
2x2 + 5x –6
2x + 5
3
4x + 10x2 – 12x
10x2 + 25x – 30
3
4x + 20x2 +13x - 30
3. Multiplicar (3 a2 + 5ab +2b2) por (4 a – 5b)
3a2 + 5ab +2b2
4 a – 5b
12 a3 –20 a2b + 8ab2
-15 a2b +25ab2 –10b3
12 a3 –35 a2b +33ab2 –10b3
Ejemplo:
Un depósito de agua rectangular se usa como criadero de peces y tiene 10 metros más de
largo que de ancho, alrededor del depósito hay una orilla de dos metros. Encuentra una expresión
que represente el área total.
Solución:
x
2m
x + 10
208
El problema pide encontrar las dimensiones
de toda el área.
Si x representa el ancho del depósito, entonces
el largo del depósito estará representado por x+10.
Si tomamos en cuenta la orilla, el ancho estará
representado por x + 2 + 2 y el largo del depósito será:
x + 10 + 2 + 2
Sabemos que el área del rectángulo es largo por ancho, entonces la expresión que representa el
área total es: ( x + 4)(x + 14).
ACTIVIDAD:
i)
ii)
Una piscina es 7 metros más larga que ancha. Está rodeada de un camino de concreto
de 1.5 de ancho. ¿Cuál es la dimensión total?
Una cancha de básquetbol mide 10 metros más de largo que de ancho. A su alrededor
hay un corredor de tres metros, también alrededor hay 20 gradas y cada una de ellas
mide 70 centímetros. Encuentra una expresión que determine la dimensión total.
III.2.3. DIVISIÓN DE POLINOMIOS
También vamos a subdividir este tema en casos, de hecho en forma análoga a lo que
hicimos en la multiplicación.
División de potencias y de monomios
Como antes, avanzaremos con ejemplos numéricos:
asociativa y regla
np
=
p
por la definición de exponente
nq q
6
44
47444
8 64444744
44
8
5
2
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 (2 ⋅ 2 )(2 ⋅ 2 ⋅ 2 ) 2 ⋅ 2 ⋅ 2
=
=
=
= 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 3 → 2 5−2
2
(2 ⋅ 2 )1
2⋅2
1
2
Es inmediata la observación de la relación entre los exponentes originales y los que se
muestran después de la flecha:
25
= 2 5−2
2
2
Ley de exponentes (diremos Ley D, inicial de división).
Si x es un real, x ≠ 0, m y n son naturales positivos y m>n, entonces
xm
= x m−n
n
x
209
La exigencia de que el exponente del numerador sea mayor que el del denominador se debe a que si
fueran iguales o el del denominador fuera mayor, y aplicáramos la Ley D, obtendríamos cosas del tipo de:
23
23
0
=
2
ó
= 2 3−5 = 2 − 2 , ahora bien, ni hemos dicho qué significa un exponente 0, como en 20, o
3
5
2
2
negativo, como en 2-2, ni hemos visto si con tales exponentes extraños aún funcionan las mismas leyes que
estamos estudiando, ni éste es propiamente el lugar para introducir tales cosas. Por el lado del exponente cero,
no se presenta como algo realmente necesario; por otro lado, ya hemos advertido que los exponentes negativos
involucran cosas como x
−2
=
1
, que no es un polinomio, y por lo pronto sólo estudiamos polinomios.
x2
Otra forma de expresar la Ley D: ∀x ∈ R, x ≠ 0, m, n son naturales positivos, m > n,
x
x
m
n
=x
m−n
Demostración:
x
n4
factores
−4
n7
factores
6
74
8 m6
4
8
m6
factores
4
74
8
m
x ⋅ x ⋅⋅⋅ x
(x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x ) ⋅ (x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x )
(1
x ⋅ x ⋅ ⋅ ⋅ x )1
424
3
m−n factores
6
474
8
m−n
x ⋅ x ⋅⋅⋅ x = x
⋅
⋅
⋅
⋅
x1
x
x
424
3
n factores
n factores
El paso del segundo ‘eslabón’ al tercero se debe a la ley asociativa, en el numerador se puede hacer un grupo de
x’ igual al del denominador y otro más porque suponemos que m>n. La justificación del paso del tercer
np
p
=
‘eslabón’ al cuarto es más delicado, de entrada se aplicó el teorema
para cancelar los paréntesis de n
nq q
factores, pero este teorema se refería al caso en el que p, q, n son enteros, cosa que aquí ya no se puede asegurar.
Sin embargo es posible extender el teorema a reales cualesquiera después de hacer lo mismo con la definición de
x
equivalencia
n
=
=
=
p r
= significa ps = qr de dos expresiones de la forma
q s
r
, r , t ∈ R, t ≠ 0 , que ya no
t
son las fracciones de que hablamos en la segunda unidad, dejaremos esto sólo como observación, pero realmente
éste será el caso común en lo que sigue.
Ejemplos:
a6
= a 6 −3 = a 3
3
a
yr
= yr − s
s
y
División de un monomio entre un monomio
210
Empezamos con un ejemplo:
'deshacemos' la multiplicación de fracciones
644474448
20 a 5 b 2 20 a 5 b 2
=
4 a2 b
4a 2 b
= 5 a 5 − 2 b 2 −1 = 5 a 3 b
Tal vez te resulte cómodo usar la cancelación de algo del numerador con lo mismo en el
denominador para efectuar este tipo de ejercicios, lo que sería una forma alternativa válida, sólo
se estaría usando un recurso empleado para obtener la anterior ley D, es decir:
20 a 5 b 2 5 ⋅ 4 a 2 a 3 bb
=
= 5a 3 b
2
2
4a b
4a b
usualmente el paso intermedio se efectúa mentalmente.
La división de dos monomios se puede resumir en el siguiente modelo:
p q r
p m1 q m2 m3
=
r , es decir, se obtienen las divisiones de potencias que sean posibles
p n1 q n2
p n1 q n2
y se efectúan; cada una de los índices m es mayor que cada uno de los índices n (véase el
último marco punteado).
m1
m2
m3
Ejemplos:
4
4a 3b 2
4
= − a 3 −1 b 2 −1 = − a 2 b
− 3ab
3
3
también lo puedes pensar mediante el tipo de cancelación que mencionamos arriba.
54 x 2 y 2 z 3
54
= − x 2−1 y 2− 2 z 3−3 = −9 x
2 3
6
− 6 xy z
División de un polinomio entre un monomio
Ejemplo:
dividir 3 a3 – 6 a2 b +9 ab2 entre 3 a
211
suma algebraica de fracciones
644'deshacemos
444' una
44
4744444444
8
3
2
2
3
2
3a − 6 a b + 9 ab
3a
6 a b 9 ab 2
=
−
+
= a 2 − 2 ab + 3b 2
3a
3a
3a
3a
La ejemplificación de la división de un monomio entre un polinomio es bastante clara
como para no tener que explicitar reglas o un modelo.
Ejemplo:
Dividir an + a m-1 entre a2
a n + a m −1 a n a m −1
= 2 + 2 = a n − 2 + a n −3
2
a
a
a
ACTIVIDAD:
i)
ii)
Calcula el largo de un terreno rectangular que mide 4x3 de ancho y la medida de su
área está representada por 8x9.
El área de una ventana rectangular está dada por la expresión 6x7–9x8 y su largo por
3x4. ¿Calcula cuánto mide su ancho?
División de polinomios
No justificaremos el procedimiento, pero es idéntico al de la división con residuo entre
números, en este se acostumbra efectuar mentalmente ciertas restas y no se escriben, mientras
que en el caso que nos interesa es importante escribir todo:
Para obtener el cociente de dos polinomios, se siguen los siguientes pasos:
1. Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor y se obtiene
así el primer término del cociente.
2. Se multiplica este primer término del cociente por el divisor y el producto obtenido se
resta del dividendo.
3. El polinomio obtenido en el paso anterior se trata como un nuevo dividendo y se repiten
con él los pasos 2 y 3.
4. Se continúa este proceso hasta obtener como residuo cero o bien un polinomio de grado
menor que el grado del polinomio del divisor.
212
Ejemplos:
1. Dividir 3x2 +2x – 8 entre x + 2. No es importante colocar en un lugar preciso los
términos del cociente.
paso 1
3x − 4
x +2 3x 2 + 2 x − 8
-3x2 - 6x
-4x - 8
4x + 8
0
paso 3
paso 2
3x
2
x
( x + 2 ) 3x = 3 x
- 4x
paso 4
= 3x, así se obtiene el primer término del cociente.
x
2
+ 6 x se cambiarán los signos para restar
= − 4 , así se obtiene el segundo término del cociente
(x + 2)(- 4) = −4x − 8, se cambiarán los signos para restar
2. Dividir 5y2+2y3 -1+2y entre y +3
Si las potencias de la letra del dividendo o del divisor no crecen o decrecen
ordenadamente, de izquierda a derecha, como ocurre en este caso con el dividendo, es
conveniente empezar por ordenarlas, usualmente se hace de manera que decrezcan de izquierda
a derecha, es decir, hay que dividir:
2y3 + 5y2 + 2y - 1 entre y + 3
2y2 − y + 5
y +3 2 y 3 + 5 y 2 + 2 y − 1
-2y3 –6y2
-y2 + 2y
y2 + 3y
5y -1
-5y –15
-16
3. Dividir x3 + y3 entre x + y
Cuando hay más de una letra en los polinomios, se escoge una de ellas para ordenarlos,
sin hacer caso de la otra, además si faltan potencias conviene dejar vacío el lugar que les
correspondía para facilitar las operaciones.
213
x+y
x3
x 2 − xy + y 2
+ y3
-x3 –x2y
0 - x2 y
x2y +xy2
0 +xy2
-xy2 –y3
0 0
ACTIVIDAD:
Evaluar el polinomio –16t2 + 14ot con t = 9 para encontrar la altura a la que el
i)
petardo explotará si está programado para detonar 9 segundos después del
lanzamiento.
ii)
Evaluar el polinomio 0.005 V2 – 0.35 V + 28 con V = 65 para encontrar el costo
de operar un automóvil a 85 km / h.
iii)
La capacidad pulmonar de una mujer, en litros, se puede estimar con el polinomio
0.041 e – 0.018 A – 2.69 (estatura (e) en centímetros, edad (A) en años).
iv)
Encontrar la capacidad pulmonar de una mujer de 27 años que mide 170 cm.
v)
Las edades de tres hermanos son múltiples consecutivos de cinco. La suma de sus
edades hace dos años fue de 69. Encontrar las edades actuales.
vi)
Expresar el perímetro de la figura de abajo como un polímero y simplifique.
3x + 2
x2 - 4
x2 - 4
3x + 2
iv)
Una persona viaja durante 2 horas a razón de (45 + x) km / h y después a (200 + x)
km / h , otras 2 horas. Representar la distancia total viajada.
214
EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE LA SECCIÓN III.2
1. Suma cada par de monomios:
a) 3x2, 5x2
e) 15abc, 14abc
b) 16x5, 7x5
f) xy, 5xy
c) 2x3y2, 21x3y2
g) ab, 11ba
d) 5x3, 6y3
h) m2n2, 19n2m2
2. Resuelve los siguientes ejercicios
b) sumar -7x + 9x2 con 4x2 + 18x
d) sumar 4c2d - 8cd con - 9c2d + 5cd2
a) sumar -2x + 4y con 6x + 9y
c) sumar x - 1 con 3x - 3
3. Efectúa la suma de los siguientes polinomios
a) a3 - 6 a2 + 8 a - 9; 7 a2 + 9 a3 +16 a - 24; 3 - a3; 16 + a2 -a
b) 24x2y2 - 6xy + 19x - 24y;-4x + 9y + 16x2y2 - 5xy, x - y
c) 10x4 - 3x3 - 2x2; 4x4 - 10x3 - 9x; 64x4 - 11x + 25; - 20x4 +113
d) 12x2 + 11x - 9; - 10x2 + 23x - 1; 16x2 + 24x - 32; 11x2 + 5x + 3
e) 49m2n + 16mn2; n3 + 14m2n - 5mn2; - n3 + 16m2 - 3mn2 - 53m2n
f) 10w2v - 5wv2 - 4w3 + 16v3; - 10vw2 - 5w2v + v2 - w2
g) 0,1 a - 2b + 0,8c; -3 a + 1,5b - 1,3c; a - b + 0,2c; - c + a + b
h) a - (b + c); - b - (a - c=; c - (2 a +b); a + b + c
1
1 1
i)
a - b; 3 a - ; b - a
2
2 3
1
j) b2 - b + 1; -b + (2b2 - 3); 3b2 - (b + 16); b +
2
4. Completa en tu cuaderno los términos que faltan en la suma de polinomios:
-4 a3 + 7 a2b - 12 ab2 + 13b3
+ ?
a)
+ ?
3
+ ?
2
+ ?
2
-5 a + 23 a b- 21 ab
3
+ 23b
b)
?
+
3 a3
+
?
+ ?
+ ?
2 a2b - 6 ab2 + 5b3
- 2 a3 + 25 a2b - 27 ab2 + 28b3
5. Completa los términos que faltan en la suma de polinomios.
a)
14x3 + 12x2 + 17x + 11
? - 2b + ?
+ ? +
? - 18b + ?
?
+ ?
+ ?
38x3 + 58x2 + 25x + 14
b)
9 a + ? + 21c
215
6. Suprime los signos de agrupación y reduce los términos semejantes de las siguientes
expresiones:
a) 3 a - (5b - c) + (2 a + 3b - 4c)
b) -9x - [6y +( 4x - 2y)]
c) -10m -{-5n - [4m + (12m - 3n)] + 2n]}
d) -7p + {6q + [11s + (-3p - 17q) - 7s] + 5p]}
e) (7x + 2y) - {-3z + [9x - (-3y - 4z) +5z]+8}
f) -{ -[-11 a + (12 a - 3b +8)] + 5}
7. Efectúa las siguientes operaciones:
a) (-12x5y) - (-9x5y) =
c) (7x3z2) - (8x3z2) =
b) (-21x y4) - (14xy4) =
d) (-19ab) - (-7ab) =
8. Realiza las operaciones indicadas:
b) restar x3y de -x3y
a) de - a2b restar a2b
2 2
2 2
d) restar -a2b3 de a2b3
c) de -x y restar x y
f) restar m2n de m2n
e) de y9 restar -y9
9. Realiza las siguientes operaciones
a) de -2 a2b restar 41 a2b
c) de -6x2y2 restar 11x2y2
e) de 49y9 restar -23y9
b) Restar x3y de -x3y
d) Restar -24 a2b3 de 16 a2b3
f) Restar 46m2n de 16 m2n
10. Realiza las siguientes operaciones.
De:
a) 2x – 3y restar –x + 2y
b) x – y + z restar x – y + 2z
c) x2 + y2 – 3xy restar -y2 + 3x2 –4xy
d) x3 – x2 + 6 restar 5x2 –4x +6
e) x4 +9xy3 – 11y4 restar -8x3y – 6x2y2 + 20y4
f) 5m3 – 9n3 +6m2n –8mn2 restar 14mn2 –21m2n + 5m3 - 18
11. Restar:
a) x –y de: 2x + 3y
b) x2 – 5x de: -x2 + 6
c) 6 a2b – 8 a3 de: 7 a2 b + 5 ab2
d) 3 a2 + ab – 6b2 de 5b2 + 8ab +a2
e) m2 – n2 - 3mn de -5m2 – n2 +6mn
f) xy2 – 6y3 +4 de 6x3 – 8xy2 – 12
12. Resuelve los siguientes ejercicios.
a) De la suma de a +b con a – b restar 2 a –b
b) Restar a – b –2c de la suma de 3 a –4b + 5c con -7 a + 8b –11
c) De la suma de 8x +9 con 6x –5 restar -2x + 3y
d) Restar a4 – 3 a3 + 5 de la suma de 5 a3 +14 a2 – 19 a +8 con a3 + 9 a - 1
e) De la suma de x2 + 5 con 2x –6 restar la suma de x-4 con –x + 6
216
13. Observemos el siguiente cuadro:
Queremos calcular su área.
Fíjate en el dibujo y contesta las preguntas.
x
100
x
100
El lado del cuadrado grande mide x + 100, su área es. _____________________ .
El cuadrado mas pequeño tiene área igual a ______________________________
El cuadrado mediano tiene área igual a _________________________________
Hay dos rectángulos de área igual a ____________________________________
El área de los dos rectángulos juntos es _________________________________
El área de todo el cuadrado es___________________ _____________________
14. En el siguiente esquema no hemos puesto el valor de x con la intención de que los encuentres
y llenes la tabla. Si algunas operaciones te perecen difíciles hazlas en tu cuaderno. La letra A
representa el área del cuadro grande.
5
x
x
10
15
20
25
5
x
A
15. Propón una expresión que sirva para calcular: el perímetro y el área de cada región. Recuerda
que el área del rectángulo es igual al producto de su largo por su ancho.
2ab
2m
3m
5ab
m
3m
217
16. Encuentra un polinomio que represente la superficie total del rectángulo sólido de la figura y
otro que represente su volumen.
5
x
2x
17. Multiplica los siguientes monomios:
b) (-5 a3b) (3bc)
a) (3 a2b) (-2 ab)
d) (32 a2) (-6abc)
e) (11m2n5) (-11mn)
h) (-x) (y)
g) (a) (a)
18. Multiplica los siguientes monomios:
b) (4x) ( 2 y)
a) ( 3 a) (2 a)
3
f) (5m2n5) (4mn)
e) (5 a b) (2bc)
c) (4m3n) (2 am)
f) (7x2y2) (10xy4)
i) (-ab) (a2)
c) (−ab) (a2)
g) ( 1 a2) (−abc)
2
19. Completa los términos algebraicos o monomios
a)
? x3 y3
×3 ? x2
15 x ? y ?
c) ( ? a3 b2) (4 a2) = − 12 a? ?
20. Realiza las siguientes operaciones
a) (x + 1) (x + 2) (x - 3)
b) (m5n - 5mn2) (- 2mn)
c) (- 9x3 + 4x2 + 6x - 7) ( 3x2y)
d) (4x3 - 6x2y + 9xy2 + 8x3) ( - 4xy)
e) ( 5 a3 - 2 a2b - 4 ab2 + b3) ( -3 ab)
f) (a2b + 3 ab2 - 5 ab3) ( - 2ab)
g) (- 2mn2 + 4mn + 5mn2) (- 8m2n4)
h) (- 5xy3 + 6xy2 - x2y) ( 2xy)
i) (7r2s2 + 9rs4 + 10rs3) (- r3s )
21. Resuelve los siguientes ejercicios.
a) (5x - 2) (6x2 + 2x - 1)
b) (x - 4) (x + 4)
c) (x + 3)2
d) (3x + 4) (x2 - 2x + 1)
e) (m4 + m2 n2 + n4) (m2 – n2)
f) (a2 +a +1) (a2 – a – 1)
g) (x3 + 2x2 – x) (x2 – 2x + 5)
h) (m3 – 3m2n + 2mn2) (m2 –2mn – 9n2)
i) (2y3 + y – 3y2 –4) (2y + 5)
j) (3x3 –a3 +2ax2) (-2 a2 – x2 – 3ax)
?x?
b) × 3 ? y
9x 2 y 2
d) (3a2b) (−2 ab)
h) ( 7 m2n)( 1 am)
2
218
22. Elimina símbolos de agrupación y reducir términos semejantes
a. 7y - ( 4x + 2y - 4 ) - 2 ( - 8x + 6 - 7y ) + x - 9y
b. {a − z − 3[6a − 6 x + 2( x + 4 − 6 z ) − 4 + 2 x] − 6 + 3a}
{
c. 2a- b + 4a − y + 6[ 7b + 12 y − 5( a + 6 y + 12) − 24 + 8a − y] − 10a
d. x2 - 3y + 2 ( -7y +8x2 ) - 5 ( 4x2 + 1/10 y + 9 ) - 6 + 9y
e. - 2 {13b + 2c − [7a + 5c − (− a + 6b − c ) + 8a + 6c] − 7a} − 7c + 2
23. Efectúa las siguientes divisiones:
24 x 3 y 4
a) −
18 x 4 y 3
b)
c)
d)
e)
f)
15a 5b 4
21b 3 c 2
13x 3 − 17x 2 + 28x
−x
2 2
18x y + 24 x 3 x 2 − 48x 2 y 3
−
6xy
2
x − 7 x − 78
x+6
2
x − 18 x − 175
x+7
g) (4x3 - x2 - 2x + 6)
÷ (x - 2)
h) (2x3 - x - 6) ÷ (x + 2)
i) (2x3 + x2 - 3x + 1) ÷ (x2 + x -1)
j) (4x3 - 2 a2 + 7 a - 1) ÷ (a2 - 2 a + 3)
k) (3x4 + x3 - 2x2 - x +6) ÷ (x2 - 1)
24. Obtén el cociente de los siguientes polinomios.
1.
2.
3.
4.
5.
Dividir x3 + 3x + x4 + 2 + 3x2 entre x + x2 + 1
Dividir 6x2 – 7 + 6x4 + 32 x + 7x3 entre 5x – 2 + 3x2
Dividir – 15 x2 + 2 + 6x4 + 2x – 7 x3 entre 3x + 1
Dividir x5 – x4 + 10 – 27 x + 7 x2 entre x2 + 5 – x
Dividir m6 – n6 entre m2 – n2
}
219
BIBLIOGRAFÍA
1. Aritmética y Preálgebra
Ponce Vázquez, Rosa E. Rivera Rivas, Humberto
Editorial: Mc Graw Hill
México, 1995
2. Introducción al Álgebra
Phares, G. O´Daffer
Editorial. Addison Wosley - Lungman
México, 1998
3. La Biblia de las Matemáticas
Chavez Reyez, Carmen. León Quintanar, Adriana
Editorial. Letrarte, S.A.
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6. Álgebra
Rojano Cevallos, Teresa. Filloy Yagüe, Eugenio
Grupo Editorial Iberoamérica. S.A. de C.V.
México, 2001
7. Álgebra
Dr. Aurelio Baldor.
Publicación cultural
México, 2000
8. Álgebra Intermedia
Gustafson R. David
International Thomson Editores, S. A. de C.V.
México, 1997
9. Fundamentos de Matemáticas Básicas
Aponte, Gladis. Pagán, Estela. Pons, Francisca
Addison Wesley Longman
México, 1998
10. Aritmética y Álgebra. Matemáticas con aplicación.
Acevedo / Valadez / Sánchez
McGraw Hill
11. Álgebra
Bosh, Carlos y Gómez W., Claudia
Ed. Santillana