Las leyes de Kepler y el movimiento planetario

Colegio Antil Mawida
Departamento de Ciencias Básicas
Profesor: Gina Tello.
Las leyes de Kepler y el movimiento planetario
Las leyes fueron formuladas entre 1609 y 1619, y son (como normalmente se
enuncian):
1. Los planetas se mueve alrededor del Sol en elipses, estando
el Sol en un foco
2. La línea que conecta a Sol con un planeta recorre áreas
iguales en tiempos iguales.
3. El cuadrado del período orbital de un planeta es
proporcional al cubo (tercera potencia) de la distancia media
desde el Sol
(o dicho de otra manera--desde el "semieje mayor" de la
elipse, la mitad de la suma de la distancia mayor y menor
desde el Sol).
La Importancia de las Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del Sol.
Kepler sabía de la existencia de 6 planetas: Tierra, Venus, Mercurio, Marte, Júpiter
y Saturno.
Todos ellos (incluso la
Luna) se mueven muy
cercanamente
al
mismo plano(sección #2
de "Astrónomos"). El
sistema solar es ¡plano
como una tortilla!. La
La órbita de la Tierra alrededor del Sol.
Tierra está sobre la tortilla
Esta es una vista en perspectiva, la forma
también, de manera que
verdadera
de la órbita es muy cercana a un círculo.
vemos al sistema completo
de perfil--la tortilla completa ocupa una línea (o tal vez una banda pequeña)
haciendo un corte en el cielo, conocido como la eclíptica. Cada planeta, la Luna y el
Sol también, se mueven a lo largo o cercano a la eclíptica. Si observa un montón de
estrellas brillantes unidas en una línea alrededor del cielo--y la línea tal vez contenga
también a la Luna, (cuya órbita están también cercana a esa "tortilla"), o el lugar en
el horizonte por donde el Sol se acaba de ocultar--es probable que esté viendo
planetas.
Los antiguos astrónomos creían que la Tierra era el centro del Universo--las
estrellas estaban sobre una esfera rotando alrededor de ella (ahora sabemos, que la
Tierra es la que en realidad gira) y los planetas se movían en sus propias "esferas de
cristal" en maneras graciosas. Normalmente se movían en la misma dirección, pero
algunas veces su movimiento se invertía por un mes o dos, y nadie sabía por qué.
Un clérigo Polaco llamado Nicolás Copérnico observó alrededor de 1543 que
dichos movimientos tenían sentido si los planetas se movían alrededor del Sol, si la
Tierra era uno de ellos, y si los más distantes se movían más lentamente--de
manera que algunas veces la tierra los rebasaba, y eso hacía parecerles que se
retrasaban por un tiempo. Las órbitas de Venus y Mercurio estaban dentro de la de
la Tierra, de manera que ellos nunca se mueven muy lejos del Sol
Las 12 constelaciones a lo largo de esa línea son conocidas como el zodíaco, un
nombre que debe ser familiar a quienes siguen la astrología. Venus, el planeta más
brillante, oscila hacia atrás y adelante a lo largo de la posición del Sol,
y Mercurio también--pero debido a que está mucho más cercano al Sol, tan solo lo
puede ver al estar lo más retirado del Sol, y por corto tiempo después del ocaso o
antes del amanecer.
El Papa y la Iglesia pelearon contra la idea de Copérnico. Debido a que en uno de
los Salmos (los cuales son en realidad oraciones-poemas), la Biblia dice que Dios,
"puso la Tierra para que no se moviera" (esa fue una traducción: una más correcta es
"no se colapsará"). Galileo, un Italiano contemporáneo de Kepler, quien apoyó las
ideas de Copérnico, fue juzgado por la Iglesia por desobediencia y fue sentenciado a
arresto domiciliario por el resto de su vida.
Fue esta una época en la cual la gente con frecuencia seguía a los antiguos autores
(como el Griego Aristóteles), en lugar de verificar con sus propios ojos, lo que la
Naturaleza estaba haciendo en realidad. Cuando la gente comenzó a verificar,
observar, experimentar y calcular, eso se convirtió en la revolución científica.
Nuestra tecnología moderna es el resultado final, y las leyes de Kepler (junto con el
trabajo de Galielo, y el de William Gilbert sobre el magnetismo) son importantes,
debido a que ellas comenzaron la revolución.
Kepler trabajó con Tycho Brahe, un noble Danés que llevó la
astronomía pre-telescópica a su mayor precisión, midiendo las
posiciones de los planetas de una manera tan exacta como el ojo lo
permite (Brahe murió en 1602 en Praga, ahora la capital Checa; los
telescopios comenzaron con Galileo alrededor de 1609).
La Intolerancia Religiosa estaba muy extendida--de hecho, los Johannes
eventos se estaban encaminando hacia la guerra de los 30 Kepler
años (1618-48), la batalla religiosa más destructora de Europa,
reflejada por la guerra civil en Bretaña. Kepler fue forzado a salir de Graz, entre
otros empleados de colegios Protestantes en la ciudad, después de que el gobernante
archiduque decretó que deberían dejar la ciudad al caer la noche, ese mismo día.
Era también una era en que la madre de Kepler fue arrestada por brujería, cuando la
mayoría de sus numerosos hijos habían muerto en la niñez, y cuando el matrimonio
de Tycho, el cual era visto como de segunda clase, con hijos de una mujer no
casada, debido a que su esposa no era de la nobleza.
Primera Ley de Kepler
(1) Los planetas se mueven alrededor del Sol en elipses, con el Sol
en un foco
Primero explique lo que es una elipse: una de
las formas de las "secciones cónicas,"
obtenidas mediante el cortar un cono con una
superficie plana. Una linterna crea un cono
de luz: diríjala a una pared plana y obtiene
una sección cónica.
Dirija el haz a la pared de
forma perpendicular. La pared corta al cono
de manera perpendicular al eje y así
obtiene un círculo de luz.
Ponga el cono en ángulo relativo a la pared: una elipse. Entre mayor sea el
ángulo, más lejos se cierra la elipse.
Finalmente, si el eje del
cono está paralelo a la
pared, la curva nunca se
cierra: se obtiene una
parábola. Las leyes de
Kepler(así las conocemos
ahora)forman
todas secciones cónicas, y
las parábolas son muy
parecidas a las órbitas de
los cometas no periódicos,
los cuales comienzan sus
movimientos muy lejos.
(Incline aún más y obtendrá
hipérbolas--no solo las
trayectorias no se cierran,
sino la direcciones de ir y
venir forman un ángulo definido).
las curvas generadas como
"secciones cónicas" cuando planos
rectos son cortados a lo largo de un cono.
Las elipses tienen otras propiedades--tienen dos puntos especiales "foco", y si
toma cualesquiera de dos puntos sobre la elipse, la suma de las distancias
(r1 + r2)desde los dos focos es siempre la misma (para esa elipse).
Probablemente todos sepan que nuestro Sol es parte de una inmensa colección
de estrellas en forma de disco--aproximadamente 100,000 millones de acuerdo
al último conteo--llamada galaxia. Es un disco plano, una tortilla como el
sistema solar--y en este caso también, vemos a esa tortilla de lado, de manera
que también reduce nuestro campo de visión a una pequeña tira. En esa tira
vemos una banda de estrellas débiles corriendo alrededor de la esfera celestial,
la "Vía Láctea".
¿Qué mantiene unida a nuestra galaxia (y a las más distantes)? Se creyó por
mucho tiempo que había un inmenso agujero negro en el centro, pero ese
centro estaba oscurecido por nubes de polvo y por lo tanto no era fácil de
observar. Recientemente fueron construídos telescopios de alta resolución,
sensibles a la luz infraroja, los cuales pueden ver a través del polvo, y han
mostrado una gran concentración de estrellas moviéndose rápidamente cerca
del centro de la galaxia, en órbitas que obedecen las leyes de Kepler. Este sitio
de la red muestra la elipse de una estrella orbitando al centro una vez cada
15.2 años, y los cálculos deducen una masa de aproximadamente 3.7 millones
de soles, más menos 1.5 millones.
Aproximadamente 50 años después de Kepler, Isaac Newton explicó las
leyes de Kepler (y al hacerlo, estableció con firmeza la "revolución científica"
a partir de ese momento). Esto es lo que él hizo:
--- Primero obtuvo las leyes del movimiento--conocidas a partir de
entonces como las "3 leyes de Newton del movimiento", y es
problable que usted las imparta en clase, también.
---Segundo, nos dió la ley de la gravitación universal--mostrando
que la misma fuerza que ocasiona que las manzanas y las piedras
caigan, también mantiene a la Luna en su órbita-- y por lo tanto, -Y tercero, él probó que si los dos puntos anteriores eran válidos, la
leyes de Kepler podían ser derivadas matemáticamente...
... pero con un pequeño cambio: los planetas no orbitan alrededor del Sol,
sino alrededor de un centro común de gravedad. Mientras que la Tierra
recorre un gran circuito cada año, el Sol también realiza uno, uno muy
pequeño, alrededor del centro de gravedad del Sol-tierra.
(En realidad, el Sol también es movido por Júpiter, Saturno, etc, y el patrón
resultante es complicado).
¿Porqué es esto importante? Porque nos ayuda a descubrir ¡si otras
estrellas tienen planetas!. No podemos ver aquellos planetas--demasiado
tenues--pero si la estrella presenta un vaivén de una forma complicada, puede
ser que sea un planeta el que la mueva así.
¿Funciona esto? Sí y no (vea el fin del artículo #11a). Muchos planetas han
sido descubiertos de esta forma, pero la mayoría de ellos están demasiado
cerca a las estrellas (se mueven en una escala de tiempo de semanas) y son
muy grandes. El descubrir planetas similares a la Tierra es difícil--el vaivén
es más pequeño y necesitamos observarlo durante muchos años para obtener
una periodicidad del orden de un año. Pero manténgase conectado, los
astrónomos están trabajando en ello.
-----------------Segunda Ley de Kepler
(2) La línea que conecta el Sol con un planeta barre
áreas iguales en tiempos iguales.
(Esa línea a veces es llamada "radio vector").
Una elipse es un óvalo elongado simétrico,
con dos focos localizados simétricamente
hacia las orillas más "agudas"-un foco contiene al Sol, y el otro está vacío.
(Dibuje dicha elipse). Si acercamos los focos
cada vez más, la elipse se parece cada vez
más a un círculo, y cuando se traslapan,
Ilustrando la 2da. ley de Kepler:
finalmente tenemos un círculo.
A los segmentos AB y CD les lleva
[La órbita de la Tierra, así como la mayoría el
mismo tiempo el recorrerlo.
de las órbitas planetarias, se aproximan
mucho a un círculo. Si le mostrara la órbita de la Tierra sin el Sol en un foco, es
probable que no pudiera distinguirla de un círculo. Con el Sol incluído, sin embargo,
podrá notar que está ligeramente fuera de centro].
La clave de la 2da. ley de Kepler es que, aunque la órbita es simétrica, el
movimiento no lo es. Un planeta se acelera al acercarse al Sol, obtiene su máxima
velocidad al pasar en su máxima aproximación, y luego se desacelera.
(La estrella S2 se acelera hasta un 2% de la velocidad de la luz al acercarse al
agujero negro que está en el centro de nuestra galaxia).
Lo que ocurre se entiende mejor en términos de energía. Conforme se retira el
planeta del Sol (o el satélite de la Tierra), este pierde energía al sobreponerse de la
atracción gravitacional, y se desacelera, como una piedra tirada hacia arriba. Y al
igual que la piedra, vuelve a ganar su energía (completamente--no hay resistencia al
aire en el espacio) al regresar.
Suponga que tiene un planeta cuyas distancias más pequeña/grande desde el
centro son (r1, r2)--son llamados perihelio y efelio si el centro es el Sol, o (perigeo,
apogeo) si el centro es la Tierra. (Las distancias siempre se miden desde
el centro de los cuerpos, o desde los centros de gravedad).
Digamos que es un planeta que está orbitando el Sol. Entonces--la velocidad V1 en
perihelio es la más rápida de la órbita. Es por lo tanto, la distancia cubierta en un
segundo en perihelio. La velocidad V2 en afelio es la más lenta de la órbita. Es por
lo tanto la distancia cubierta en un segundo en afelio.
El área barrida por el "radio vector" r durante un segundo después del perihelio es
un triángulo rectángulo de base V1, de manera que su área es 0.5 r1 V1
El área barrida por el "radio vecto" r durante un segundo después del afelio es un
triángulo rectángulo de base V2, de manera que su área es 0.5 r2 V2
De acuerdo a la ley de la áreas, ambas áreas son iguales, de manera que
r1 V1 = r2 V2
Divida ambos lados entre r1V2
y obtenga
V1:V2 = r2:r1
Si el afelio r2 es 3 veces la distancia del perihelio, la velocidad V2 en ese lugar es
3 veces más lenta. (Note: esta relación solo es válida en estos dos puntos de la
órbita. En cualquier otro punto, la velocidad y el radio no son perpendiculares).
---------------¿Estamos lo más cerca del Sol? Aproximadamente el 4 de Enero, en un 1.5%,
no lo suficiente como para que el Sol se aprecie distinto.
Esta es una forma rápida para demostrar esta asimetría (aunque probablemente no
tenga tiempo para cubrirla en clase). Dibuje una elipse, con el eje largo y una línea
perpendicular a dicho eje a través del Sol)
.Entonces ocurre (pura casualidad) que el equinoccio de primavera y el de otoño,
cuando el día y la noche son iguales, típicamente el 21 de Marzo, Septiembre 22 ó
23,caen muy cercanos a esta línea perpendicular.
Observe la vista esquemática de la órbita de la Tierra en la sección #3. El eje largo
(como se definió arriba) es la línea conectando Diciembre-Junio en ese dibujo, y la
línea perpendicular es la que conecta Marzo-Septiembre.
¿Si la órbita fuera exactamente un círculo? (en cuyo caso, lo que llamamos
"eje largo", sería completamente arbitrario, un diámetro igual que cualquier otro),
entonces, de acuerdo a la segunda ley de Kepler, la Tierra se movería a una
velocidad constante y pasaría el mismo tiempo en el verano que en el otoño. ¡De
hecho, pasa aproximadamente dos días menos en la parte del invierno! (Tome
un calendario y cuente los días de un equinoccio al otro). Eso puede significar que


La parte del invierno es más corta, o
La Tierra se mueve más rápido en la parte del invierno
En realidad, ambas condiciones son ciertas, si la Tierra está lo más cercana a Sol
alrededor de Enero 4. La "mitad" de la elipse (determinada por la línea
perpendicular definida arriba) que está más cercana al Sol es más pequeña
(demuéstrelo con un dibujo de una elipse que sea notoriamente ovalada), y de
acuerdo a la segunda ley de Kepler, la Tierra se mueve más rápida al estar más cerca
del Sol.
El hecho de que el hemisferio norte esté más cerca del Sol a mediados de
invierno y lo más retirado a mediados del verano, hace que se moderen las
estaciones,
haciéndolas
más
suaves.
En el hemisferio sur, los haría más crudos, aunque los grandes océanos ayudan a
moderar su efecto.
Pero el eje de la Tierra se mueva alrededor de un cono, con un ciclo de 26000
años. En 13000 años, estaremos lo más cerca del Sol a mediados del verano, y el
clima se hará más extremo.
Tercera ley de Kepler
(3) El cuadrado del período orbital de un planeta es
proporcional al cubo de la distancia media desde el Sol.
(O en otras palabras--del "eje semimayor" de la elipse, la
mitad de la suma de la distancia más grande y la más
pequeña desde el Sol).
Esta es una ley matemática, y sus estudiantes necesitan calculadoras con raíces
cuadradas, también potencias a la 3/2 y 2/3 (y tal vez también raíces cúbicas o
potencias a la 1/3 que es lo mismo)...
Si dos planetas (o dos satélites de la Tierra---funciona igual) tienen períodos
orbitales T1 y T1 de días o años, y distancias medias desde el Sol (o ejes
semimayores) A1 y A2, entonces la fórmula expresando la tercera ley es
(T1 / T2)2 = (A1 / A2)3
3ra Ley de Kepler
T en años, a en unidades astronómicas; entonces T2 = a3
Las discrepancias son debido a la exactitud limitada
Planeta
Periodo T Dist. a del Sol
T2
a3
Mercurio
0.241
0.387
0.05808 0.05796
Venus
0.616
0.723
0.37946 0.37793
Tierra
1
1
1
1
Marte
1.88
1.524
3.5344
3.5396
Júpiter
11.9
5.203
141.61
140.85
Saturno
29.5
9.539
870.25
867.98
Urano
84.0
19.191
7056
7068
Neptuno
165.0
30.071
27225
27192
Plutón
248.0
39.457
61504
61429
En kilómetros, la unidad astronómica es de aproximadamente 150,000,000 km,
400 veces la distancia a la Luna. Todo tipo de intentos fueron realizados para
obetener este valor, comenzando con el Griego Aristarco (sección #9a) y dichos
intentos son discutidos en la sección 10a. Fue realizado por porimerz vez con alguna
precisión en 1672, y la emoción sobre el reciente "Tránsito de Venus" frente al Sol
fue motivado por una propuesta hecha entonces por Halley (del famoso cometa)
para utilizar dichos tránsitos escasos (el último fue en 2004, el siguiente en 2012, y
después hay que esparar más de un siglo) para medir la UA. El cálculo, que no es
pequeño, están en la secciones 12c a 12e de "Astrónomos". (Algunos otros
"métodos" fueron expuestos en la red, involucrando el tránsito de Venus pero no su
duración, y ellos son falsos).
Se puede resolver todo tipo de problemas con la tercera ley de Kepler. Aquí están
unos cuantos:
1. ¿Cuánto tiempo toma llegar a Marte, con la órbita más eficiente? Esto se
llama la "Órbita de Transferencia de hohmann" (Wolfgang Hohmann, 1925).
La nave espacial primero debe liberarse de la Tierra (aún así orbitará el Sol
junto con la Tierra, a 30 km/s, a una distancia de 1 UA), entonces se agrega
velocidad de manera que su afelio (en su órbita alrededor del Sol) tan solo se
acerque a la órbita de Marte, A=1.524 UA (ignorando elipcicidad).
2.
Para la órbita de
Hohmann, la distancia más
pequeña es 1.00 UA
(Tierra), la mayor es 1.524
UA (Marte), de manera que
el eje semimayor es
3. A = 0.5(1.00 + 1.524) =
1.262 UA
4. A3 = 2.00992 = T2
5.
El período es la raíz
cuadrada de T = 1.412 años
La órbita de Transferencia de Hohmann
Para llegar a Marte, se
requiere tan solo la mitad de la órbita, o T/2 = 0.7088 años
Esto equivale aproximadamente a 8.5 meses; más detalles se encuentran en
la sección #21b..
6. ¿Cuánto tiempo le tomaría a una nave llegar de la Tierra al Sol?
¡El Sol es el objeto más difícil de alcanzar del sistema solar! Es más fácil de
escapar al espacio interestelar (sí, aquella gente que habla de enviar los
desperdicios nucleares al Sol necesita estudiar astronomía).
Para llegar al Sol directamente desde la Tierra, necesitamos impulsar la
nave espacial para liberarla de la Tierra. Aún orbita al Sol con la Tierra, a 30
km/s (la órbita baja de la Tierra es a solo 8km/s), de manera que necesitamos
darle un impulso opuesto, agregándole (-30km/s) a su velocidad. Entonces,
así caería directamente hacia el Sol.
Esa órbita también es una elipse, aunque una muy delgada. Su longitud
total es de 1 (UA), de manera que el eje semimayor es A = 0.5 UA. De
acuerdo a la tercera ley, A3 = 0.125 = T2, y obteniendo la raíz cuadrada,
T=0.35355 años. Necesitamos dividir esto entre 2 (es un viaje sencillo) y
multiplicarlo por 365.25 para obtener días. Multiplicando:
T/2 = (0.5) 0.35355 (365.25) = 64.6 días
7. ¿Qué tan lejos (del centro de la Tierra) orbitan los satélites
síncronos? Estos son (en su mayoría) satélites de comunicación y tienen un
período de 24 horas, lo cual favorece a que se mantengan sobre el mismo
punto. La Luna se encuentra a 60 RT (Radios de la Tierra) y tiene un período
de T = 27.3217 días (vea la sección 20 relativa a la gravedad). La órbita
síncrona es circular, de manera que A es también su radio R. Obtenemos
(R/ 60)3 = R3 / 216,000 = (1 / 27.3217 días)2
= 1/ (27.3217 días)2 = 1 / 746.5753
de manera que
R3 = 216,00/746.5753 = 289.32
Este número está entre 63 = 216 y 73 = 343, de manera que la calculadora nos
da un valor de R = 6.614 RT. Ahora sabe que obtuvo ese valor de manera
correcta.
8. ¿Qué tan lejos se va el cometa Halley?
Su período es de aproximadamente 75 años, y 752 = 5625. Sáquele la raíz
cúbica: A = 17.784 UA. Eso, sin embargo, es el eje semimayor. La longitud
de la elipse orbital es 2A = 35.57 UA. El perihelio está dentro de la órbita de
la Tierra, a menos de 1 UA del Sol, de manera que el afelio es de aprox35
UA del Sol--como lo muestra la tabla, en algún punto entre las órbita de
Neptuno y Plutón.