P4 V OIbF

P4 Un uso práctico de la medida de la gravedad
Prospecciones geofísicas indican que a una cierta profundidad de
la corteza terrestre existe una cavidad aproximadamente esférica de
radio medio R = 2,1 km. En su interior se supone que hay gas metano,
con una densidad muy inferior a la de la Tierra. Una medida precisa de
la gravedad en el punto P de la superficie más próximo a la cavidad da
el valor g = 0,99997g 0 , donde g 0 sería el valor de la gravedad en P
supuesta la Tierra esférica y homogénea, de radio RT = 6370 km. Por
simplicidad no se tendrá en cuenta el efecto de la rotación de la Tierra.
(10 puntos)
P
d
1)
Haga una estimación de la distancia d entre el centro de la cavidad y el punto P de la superficie
terrestre.
2)
Suponga ahora que quiere medir g mediante un péndulo simple, cuya longitud conoce exactamente.
Calcule la precisión relativa, ∆T/T, con la que debe medir el período para poder obtener g con un
error ∆g = 10-4 N/kg.
V Olimpiada
IBEROAMERICANA
DE FÍSICA
V OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE FÍSICA
JACA, ESPAÑA
Septiembre de 2000
Solución
Modelo:
1)
Tierra perfectamente esférica y homogénea con una cavidad vacía,
P
también esférica, de radio R ≈ 2 km, como se muestra en la figura.
Consideramos la cavidad vacía porque la densidad del gas es mucho
−ρ
menor que la densidad de la Tierra.
El campo gravitatorio en el punto P de la superficie será igual al
campo debido a la Tierra como si fuese perfectamente esférica y homogénea,
ρ
con densidad media ρ, menos el campo creado por la cavidad (que se
comporta como una esfera homogénea de densidad negativa -ρ) es decir:
4
ρ πR 3
,.
g = g0 − G 3
d2
g = g0 − G
1
d2
con
g0 = G
 M
M T 4πR 3
= g0 −  G T
 R2
4 3 3
T

πR T
3
MT
RT2
Como ρ =
.
 R3 1 
R 3 1 

g
= 1 −
2  0
 RT d 2 
R
d
T



El dato que nos dan es g = 0 ,99997g 0 , luego
0,99997 = 1 −
R3 1
,
RT d 2
y de aquí:


R3

d =
 (1 − 0,99997)R 
T

T = 2π
2)
L
g
⇒
1
2
d ≈ 7 km
∆T 1 ∆g 1 5·10 −5
=
=
T
2 g 2 10
∆T
= 2 ,5· 10 −6
T
Calificación
1)
7 p.
2)
3 p.
V Olimpiada
IBEROAMERICANA
DE FÍSICA
V OLIMPIADA IBEROAMERICANA DE FÍSICA
JACA, ESPAÑA
Septiembre de 2000
MT
,
4 3
πR T
3
d