Integral Indefinida

1
CAPITULO 5
Integral Indefinida
Licda. Elsie Hernández Saborı́o
Instituto Tecnológico de Costa Rica
Escuela de Matemática
···
Revista digital Matemática, educación e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
2
Créditos
Primera edición impresa:
Edición LaTeX:
Edición y composición final:
Gráficos:
Rosario Álvarez, 1988.
Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chacón y Lisseth Angulo.
Walter Mora.
Walter Mora, Marieth Villalobos.
Comentarios y correcciones:
escribir a [email protected]
Contenido
5.1
5.2
Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fórmulas y métodos de integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Regla de la cadena para la antiderivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.2 Integral de la función exponencial de base e . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3 Integral que da como resultado la función logaritmo natural . . . . . . . . . .
5.2.4 Integrales de las funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.5 Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas
5.2.6 Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas . . . . .
5.2.7 Técnicas de Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.8 Integración por sustitución trigonométrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
4
4
4
6
8
10
19
28
33
44
4
5.1
Integral Indefinida
Dada una función f,Z una primitiva arbitraria de ésta se denomina generalmente integral indefinida de f y se
f (x) dx.
escribe en la forma
La primitiva de una función también recibe el nombre de antiderivada.
Si λ es una función tal que λ0 (x) = f (x) para x en un intervalo I, entonces la integral indefinida de f (x) está
dada por:
Z
f (x) dx = λ(x) + C
C es cualquier número real y recibe el nombre de constante de integración.
Teorema 1
Si F1 (x) y F2 (x) son dos funciones primitivas de la función f sobre un intervalo [a, b], entonces
F1 (x) − F2 (x) = C
es decir, su diferencia es igual a una constante.
Prueba: Al final del capı́tulo.
Puede decirse a partir de este teorema que si se conoce cualquier función primitiva de F de la función f ,
entonces cualquier otra primitiva de f tiene la forma F (x) + C, donde C es una constante. Luego
Z
f (x) dx = F (x) + C si F 0 (x) = f (x)
Nos dedicaremos ahora a estudiar los métodos que permiten determinar las funciones primitivas, (y por tanto
las integrales indefinidas), de ciertas clases de funciones elementales.
El proceso que permite determinar la función primitiva de una función f recibe el nombre de “integración de
la función f ”.
Las propiedades estudiadas para la integral definida también se cumplen para la integral indefinida.
5.2
Fórmulas y métodos de integración
5.2.1
Regla de la cadena para la antiderivación
Sea g una función derivable en un intervalo I.
Sea f una función definida en I y H una antiderivada de f en I. Entonces:
5
Z
f [g(x)] · g 0 (x) dx = H[g(x)] + C
Note que Dx [H(g(x)) + C] = H 0 (g(x)) · g 0 (x) + 0 = H 0 (g(x)) · g 0 (x), como H es una primitiva de f entonces
H 0 (x) = f (x) por lo que:
H 0 [g(x)] · g 0 (x) = f [g(x)] · g 0 (x)
Luego tenemos que:
Z
[g(x)]n · g 0 (x) dx =
1.
Z
2.
[g(x)]n+1
+ C, n 6= −1. ¡Compruébelo!
n+1
xn+1
+ C, x 6= 1, ¡Compruébelo!
n+1
xn dx =
El caso en que n = −1 será estudiado luego.
Ejemplo 1
Z
x dx =
x1+1
x2
+C =
1+1
2
Ejemplo 2
Z
Z
4x5 dx = 4
x5 dx = a
x6
2x6
+C =
+C
6
3
Ejemplo 3
Z
x
−3
7
dx =
x
−3
7 +1
−3
7
4
+1
+C =
x7
4
7
+C =
7 4
x7 + C
4
Ejemplo 4
Z
(2x + 1)5 dx
Note que Dx (2x + 1) = 2, por lo que es necesario multiplicar por 2 y
Z
(2x + 1)5 dx =
1
2
Z
2(2x + 1)5 dx =
1
2
Z
1
de la siguiente manera:
2
(2x + 1)6
(2x + 1)6
+C =
+C
6
12
6
Ejemplo 5
Z
Z
5x
√
dx
3x2 + 4
√
x
,
3x2 + 4
Note que Dx (3x2 + 4) = 6x
=
5
=
5
6
=
5 (3x2 + 4) 2
·
+C
1
6
2
=
5p 2
3x + 4 + C
3
Z
6x(3x2 + 4)
−1
2
dx
1
Ejemplo 6
Z
1
3
2
(2 + y)(4y + y + 5) dy,
Z
=
1
·
2
=
1
·
2
=
1 (4y + y 2 + 5) 3
·
+C
4
2
3
=
3
8 (4y
1
2(2 + y)(4y + y 2 + 5) 3 dy Note que dy (4y + y 2 + 5) = 2(y + 2)
Z
1
(4 + 2y)(4y + y 2 + 5) 3 dy
4
4
+ y 2 + 5) 3 + C
Ejercicios
Z
1.
Z
2.
Z
3.
5
√
dx, x > 0
4
x2
3x + 4
√
dx
5
x
√
√
6
(4 3 x + 3 x5 ) dx
Z
2
5u(3 + 2u3 ) 3 du
4.
Z
5.
√
3
7(1 + 5x)
dx
2x + 5x2 + 4
√
4
3
dx
, x<
2
3 − 2x
Z
6.
5.2.2
Integral de la función exponencial de base e
¤
£
Recuerde que Dx ex = ex y que Dx eg(x) = eg(x) · g 0 (x)
7
Z
Z
ex dx = ex + C y
Luego
eg(x) · g 0 (x) = eg(x) + C
Ejemplo 1
Z
e2x dx
En este caso Dx (2x) = 2, por lo que multiplicamos y dividimos por 2 para tener la integral completa.
Z
e2x dx =
1
2
Z
2 e2x dx =
1 2x
e +C
2
Ejemplo 2
Z
2
5xe3x dx
Note que Dx (3x2 ) = 6x
Z
2
5xe3x dx = 5 ·
1
6
Z
2
6x · e3x dx =
5 3x2
e
+C
5
Ejemplo 3
Z
√
e x
√ dx
x
√
1
Note que Dx ( x) = √
2 x
Z
√
e x
√ dx = 2
x
Z
√
√
e x
= √ dx = 2 e x + C
2 x
Ejemplo 4
Z
earctan x
dx
1 + x2
Recuerde que Dx (arctan x) =
Z
earctan x
dx =
1 + x2
Ejercicios
Z
1.
4x
dx
e5x2
Z
1
1 + x2
1
earctan x dx = earctan x + C
1 + x2
8
Z
ex (2 + 3ex )5 dx
2.
Z
e( 3 + ln x)
dx
x
3.
Z
2
x(e4x − x + 1) dx
4.
Z
etan x
dx
cos2 x
5.
Z
√
6.
e2
dx
4 − 6ex
Integral de la función exponencial de base ”a” (a > 0, a 6= 1)
Como Dx (ax ) = ax ln a entonces:
Z
Z
x
x
a ln a dx = a + C
y
ax dx =
ax
+C
ln a
Ejemplo 5
Z
2x dx =
1
ln 2
Z
2x ln 2 dx =
2x
+C
ln 2
Ejemplo 6
Z
2
x 34x dx =
1
8
Z
2
2
8x 34x dx =
34x
+C
8
Ejemplo 7
Z
(2t + 1) 5t
5.2.3
2
+t+4
dt
Z
=
1
ln 5
=
2
1
5(t +t+4) + C
ln 5
(2t + 1) t(t
2
+t+4)
ln t dt
Integral que da como resultado la función logaritmo natural
Z
1
dx = ln |x| + C
x
(∗)
9
Prueba:
Si x > 0 entonces |x| = x,y,ln |x| = ln x por lo que:
Dx (ln |x|) = Dx (ln x) =
1
x
Si x < 0 entonces |x| = −x,y,ln |x| = ln (−x) por lo que:
Dx (ln |x|) = Dx (ln (−x)) =
1
1
· −1 =
−x
x
De esta manera queda comprobado la igualdad dada en (∗).
En general se tiene que
Z
f 0 (x)
dx = ln |f (x)| + C
f (x)
Observe que la expresión en el denominador debe tener exponente uno y que además en el integrando debe
aparecer la derivada de f .
Ejemplo 1
Z
3
dx = 3
x
Z
1
dx = ln |x| + C
x
Ejemplo 2
Z
x
1
dx =
x2 + 1
2
Z
2x
1
dx = ln |x2 + 1| + C
x2 + 1
2
Ejemplo 3
Z
−4x + 1
dx
4x2 − 2x + 5
Note que Dx (4x2 − 2x + 5) = 8x − 2
Z
−4x + 1
dx
4x2 − 2x + 5
Z
=
−1
2
=
−1
2
=
−1
ln |4x2 − 2x + 5| + C
2
R
−2(−4x + 1)
dx
4x2 − 2x + 5
8x−2
4x2 −2x+5
dx
10
Nota. Cuando en un cociente, la variable de la expresión en el numerador tiene exponente mayor o igual al de
la variable en el denominador, debe efectuarse primero una división y luego integrar como se especifica en los
ejemplos siguientes:
Ejemplo 4
Z
3y
dy =
y+5
¶
Z
Z
Z µ
15
dy
3−
dy = 3 dy − 15
= 3y − 15 ln |y + 5| + C
y+5
y+5
Ejemplo 5
Z
4y 2
dy
2y + 5
=
¶
Z µ
25
5
2
2y − +
dy
2 2y + 5
=
¶
Z µ
Z
5
25 1
2
2y −
dy +
·
dy
2
2 2
2y + 5
=
y2 −
5
25
y +
ln |2y + 5| + C
2
4
Ejemplo 6
Z
5y 2 + 6y
dy
10y + 3
5.2.4
(Ejercicio para el estudiante)
Integrales de las funciones trigonométricas
Se debe tener muy claro cuál es la derivada de cada una de las funciones trigonométricas estudiadas.
Daremos a continuación la lista de las fórmulas:
Z
1.
a cos u du = a sen u + C
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx, por lo que
Z
a f 0 (x) cos f (x) dx = a sen f (x) + C
Ejemplo 1
Z
2x cos x2 dx = sen x2 + C
Note que u = x2 y du = 2x dx
11
Ejemplo 2
Z
√
Z
√
√
√
1
cos x
dx
√ cos x dx = 2 sen x + C. Note que u = x y du = √
√
dx = 2
x
2 x
2 x
Ejemplo 3
Z
5
5 cos 4x dx =
4
Z
4 cos 4x dx =
5
sen 4x + C
4
Ejemplo 4
Z
ex cos (2 ex + 1) dx
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 5
Z
cos(ln x)
dx
x
Ejercicio para el estudiante
Z
a sen u du = −a cos u + C
2.
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx por lo que
Z
a f 0 (x) sen f (x) dx = −a cos f (x) + C
Ejemplo 6
Z
3 sen 5x dx =
3
5
Z
5 sen 5x dx =
Ejemplo 7
Z
x2 sen (x3 + 4) dx
Note que u = x3 + 4 y du = 3x2 dx
−3
cos 5x + C
5
12
Z
x2 sen (x3 + 4) dx
Z
=
1
3
=
−1
cos (x3 + 4) + C
3
=
4
−2
=
−2 (− cos (4 − x2 )) + C
=
2 cos (4 − x2 ) + C
3x2 sen (x3 + 4) dx
Ejemplo 8
Z
4x sen (4 − x2 ) dx
Z
4x sen (4 − x2 ) dx
Z
−2x sen (4 − x2 ) dx,
u = 4 − x2 y du = −2x dx
Ejemplo 9
Z
cos 6x
dx
sen(6x) + 4
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 10
Z
sen (4e−x )
dx
ex
Z
3.
Ejercicio para el estudiante
Z
a tan u du = a
sen u
du = −a
cos u
Z
− sen u
du= −a ln | cos x| + C.
cos u
Válido para {u ∈ R tal que u 6= π/2 + n π, n ∈ Z}
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx, por lo que
Z
a f 0 (x) tan f (x) dx = −a ln | cos f (x)| + C
Ejemplo 11
Z
tan 6x dx =
1
6
Z
6 tan 6x dx =
−1
ln | cos 6x| + C
6
13
Ejemplo 12
Z
ex tan ex dx = − ln | cos ex | + C,
u = ex , du = ex dx
Ejemplo 13
Z
tan
√
3
√
3
x2
x
dx
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 14
Z
tan(esen x )
dx
sec x
Z
4.
Ejercicio para el estudiante
Z
a cot u du = a
cos u
du = a ln | sen u| + C
sen u
Válido para {u ∈ R tal que u 6= n π, n ∈ Z}
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx, por lo que
Z
a f 0 (x) cot f (x) dx = a ln | sen f (x)| + C
Ejemplo 15
Z
x cot (x2 + 4) dx=
1
2
Z
2x cot (x2 + 4) dx=
1
· ln | sen (x2 + 4)| + C
2
Ejemplo 16
Z
√
Z
√
√
cot( x)
1
√
√ cot( x) dx = 2 ln | sen( x)| + C
dx = 2
x
2 x
Ejemplo 17
Z
cot(sen x)
dx
sec x
Ejercicio para el estudiante
14
Ejemplo 18
Z
csc2 (2x)
dx
cot 2x + 3
Ejercicio para el estudiante
Z
a sec2 u du = a tan u + C
5.
Válida para {u ∈ R tal que u 6= π/2 + n π, n ∈ Z}
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx, por lo que
Z
a f 0 (x) sec2 [f (x)] dx = a tan f (x) + C
Z
2
2 sec (3x) dx =
3
2
Z
3 sec2 (3x) dx =
2
tan 3x + C
3
Ejemplo 19
Z
¡ ¢
µ ¶
µ ¶
Z
sec2 x1
−1
1
1
2
dx = −
sec
dx = − tan
+C
x2
x2
x
x
Ejemplo 20
Z
sec2 (ln x)
dx = tan (ln x) + C
x
Si u = ln x, du =
Ejemplo 21
Z
dx
dx
cos2 (2x + 1)
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 22
Z
sec2 (tan x)
dx
cos2 x
Ejercicio para el estudiante
1
dx
x
15
Z
a csc2 u du = −a cot u + C
6.
Esta fórmula tiene sentido en {u ∈ R tal que u 6= n π, n ∈ Z}
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx y por tanto
Z
a f 0 (x) csc2 f (x) dx = −a cot f (x) + C
Ejercicios
Z
a.
2x csc
Z
b.
2
1
(5x ) dx =
5
Z
2
dx
=
x sen2 (ln x)
Z
10 csc
1
csc
x
2
2
(5x2 ) dx =
−1
cot (5x2 ) + C
5
(ln x) dx= − cot (ln x) + C
√
Z
√
√
csc 2 ( x)
1
√
√ csc 2 x dx = −2 cot x + C
c.
dx = 2
x
2 x
√
dx
Note que si u = x entonces du = √
2 x
Z
Z
d.
csc 2 (e−x )
dx
ex
Ejercicio para el estudiante
Z
e.
(3x2 + x) csc 2 (2x3 + x2 + 1) dx
Ejercicio para el estudiante
Z
7.
sec u tan u du = sec u + C
Esta igualdad es válida para {u ∈ R tal que u 6= π/2 + n π, n ∈ Z}
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx, por lo que
Z
f 0 (x) sec[f (x)] tan[f (x)] dx = sec[f (x)] + C
Ejemplo 23
Z
sec (5x) tan (5x) dx =
1
5
Z
sec (5x) tan (5x) dx=
1
sec (5x) + C
5
16
Ejemplo 24
Z
ex sec(ex ) tan(ex ) dx = sec(ex ) + C
Ejemplo 25
Z
x sen(x2 )
dx
cos2 (x2 )
Z
x sen(x2 )
dx
cos2 (x2 )
Z
=
x
sen(x2 )
dx
cos x2 cos x2
Z
x sen x2 tan x2 dx
=
Z
=
1
2
=
1
sec(x2 ) + C
2
2x sec(x2 ) tan(x2 ) dx
Ejemplo 26
Z
sec 3x
dx
cot 3x
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 27
Z
¡ ¢
tan x1
¡ ¢ dx
x2 cos x1
Ejercicio para el estudiante
Z
8.
csc u cot u du = − csc u + C
Esta igualdad vale para {u ∈ R tal que u 6= n π, n ∈ Z}
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx, por lo que
Z
f 0 (x) csc[f (x)] cot[f (x)] dx = − csc[f (x)] + C
Ejemplo 28
17
Z
x csc (4x2 ) cot (4x2 ) dx
Z
x csc (4x2 ) cot (4x2 ) dx
Z
=
1
8
=
=
=
− csc(4x2 )
+C
8
8x csc (4x2 ) cot (4x2 ) dx
1
[− csc(x2 )] + C
8
Ejemplo 29
Z
csc(3x)
1
dx =
tan(3x)
3
Z
3 csc(3x) cot(3x) dx =
−1
csc(3x) + C
3
Ejemplo 30
Z
ex cos(ex )
dx =
sen2 (ex )
Z
ex
cos(ex ) dx
=
sen(ex ) sen(ex )
Z
ex cot(ex ) csc(ex ) dx= − csc(ex ) + C
Ejemplo 31
Z
dx
x sen2 (ln x) sen(ln x)
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 32
Z
csc x (csc x + cot x) dx
Ejercicio para el estudiante
Z
9. Calculemos ahora
sec u du. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión
sec u + tan u en la forma siguiente:
Z
Z
sec u du =
Z
=
sec u (sec u + tan u) du
+C
sec u + tan u
sec2 u + sec u tan u du
= ln | sec u + tan u| + C
sec u + tan u
Esto es ası́ ya que, según lo estudiado sobre la integral que da como resultado la función logaritmo natural,
si f (u) = sec u + tan u entonces f 0 (u) = sec u tan u + sec2 u y se tiene por tanto una integral de la forma
18
Z
f 0 (u) du
f (u)
El resultado anterior es válido para {u ∈ R tal que u 6= π/2 + n π, n ∈ Z}
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx, por lo que:
Z
f 0 (x) sec[f (x)] dx = ln | sec[f (x)] + tan[f (x)]| + C
Ejemplo 33
Z
sec 6x dx =
1
6
Z
6 sec 6x dx =
1
ln | sec 6x + tan 6x| + C
6
Ejemplo 34
Z
3
3x sec x dx =
2
2
Z
2x sec x2 dx =
3
ln | sec x2 + tan x2 | + C
2
Ejemplo 35
Z
sec (ln x)
dx = ln | sec (ln x) + tan (ln x)| + C
x
Ejemplo 36
Z
Z
sec (e2x )
dx
e−2x
Ejemplo 37
sec (tan x) dx
cos2 x
Ejercicio para el estudiante
Ejercicio para el estudiante
Z
10. En forma similar al procedimiento seguido en el caso anterior calcularemos
Z
Z
csc u du =
csc u (csc u − cot u)
du
csc u − cot u
csc u du.
19
Z
=
csc 2 u − csc u cot u
dx = ln | csc u − cot u| + C
csc u − cot u
Este resultado es válido para {u ∈ R tal que u 6= n π, n ∈ Z}
Si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx, por lo que:
Z
f 0 (x) csc[f (x)] dx = ln | csc[f (x)] − cot[f (x)]| + C
Ejemplo 38
Z
1
x csc x dx =
2
2
Z
2x csc x2 dx =
1
ln | csc x2 − cot x2 | + C
2
Ejemplo 39
Z
ex csc ex dx = ln | csc ex − cot ex | + C
Ejemplo 40
Z
3
csc
x
¯
µ ¶
µ ¶
µ ¶¯
µ ¶
Z
¯
¯
1
−1
1
¯csc 1 − cot 1 ¯ + C
dx = −3
csc
dx
=
−3
ln
¯
2
x
x
x
x
x ¯
Ejemplo 41
Z
csc (cot x)
dx
sen2 x
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 42
Z
csc
5.2.5
³x´
dx
2a
Ejercicio para el estudiante
Integrales que involucran potencias y productos de funciones trigonométricas
Antes de proceder a determinar este tipo de integrales es conveniente recordar las fórmulas siguientes:
20
a.) sen2 α + cos2 α = 1, α ∈ R
b.) tan2 α + 1 = sec2 α, α ∈ R, α 6= π/2 + nπ, n ∈ Z
c.) cot 2 α + 1 = csc 2 α, α ∈ R, α 6= nπ, n ∈ Z
d.) sen 2α = 2 sen α cos α, α ∈ R
e.) sen2 α =
1 − cos 2α
, α∈R
2
f.) cos2 α =
1 + cos 2α
, α∈R
2
Estudiaremos mediante ejemplos los casos generales que se enuncian a continuación:
Z
1. Integrales del tipo
Z
senn x dx,
cosn x dx con n un entero positivo par.
Ejemplo 1
Z
sen2 x dx
Se utiliza la fórmula dada en e.)
Z
Z
sen2 x dx
=
=
=
1 − cos 2x
dx
2
Z
Z
1
1
dx −
cos 2x dx
2
2
x 1
− sen 2x + C
2 4
Ejemplo 2
Z
cos2 x dx
Ejemplo 3
Ejercicio para el estudiante
21
Z
Z
sen4 x dx
(sen2 x)2 dx
=
Z µ
=
=
1
4
=
1
4
1 − cos 2x
2
¶2
dx
Z
(1 − 2 cos 2x + cos2 2x) dx
Z
1
dx −
4
Z
1
2 cos 2x dx +
4
Z
cos2 2x dx
En la última integral se utiliza nuevamente la fórmula dada en e.), solo que en este caso α es igual a 2x .
Z
sen4 x dx
=
=
1
1
1
x − sen 2x +
4
4
4
Z
1 − cos 4x
dx
2
Z
Z
1
1
1
1
x − sen 2x +
dx −
cos 4x dx
4
4
8
8
=
1
1
1
1
x − sen 2x + x −
sen 4x + C
4
4
8
32
=
3
1
1
x − sen 2x −
sen 4x + C
8
4
32
Z
En forma similar se procede con
cos4 x dx y en general con las integrales de las potencias pares de las
funciones seno y coseno.
Z
2. Integrales del tipo
Z
secn x dx,
cscn x dx
con n un entero positivo par.
Ejemplo 4
Z
Z
sec4 x dx
sec2 x sec2 x dx, note que Dx tan x = sec2 x
=
Z
(tan2 x + 1) sec2 x dx
=
Z
=
=
Z
tan2 x sec2 x dx +
sec2 x dx
tan3 x
+ tan x + C
3
Z
Similarmente, utilizando la identidad c.) puede determinarse
Ejemplo 5
csc 4 x dx
22
Z
sec6 x dx
Z
Z
(sec2 x)2 sec2 x dx
(tan2 x + 1)2 sec2 x dx
=
Z
(tan4 x + 2 tan2 x + 1) sec2 x dx
=
Z
Z
tan4 x sec2 x dx + 2
=
Z
tan2 x sec2 x dx +
sec2 x dx
tan5 x
tan3 x
+2
+ tan x + C
5
3
=
Ejemplo 6
Z
csc 6 x dx
Ejercicio para el estudiante
Utilizando el procedimiento anterior pueden calcularse las integrales de las potencias pares de las funciones
secante y cosecante. En el caso de potencias impares debe utilizarse el método de la integración por partes
que se estudiará más adelante.
Z
3. Integrales del tipo
Z
n
cot n x dx
tan x dx,
Ejemplo 7
Z
Z
2
tan x dx
(sec2 x − 1) dx
=
Z
Z
=
sec2 x dx −
=
tan x − x + C
dx
Ejemplo 8
Z
Utilizando la fórmula dada en c., calcule
Ejemplo 9
cot 2 x dx
con n un entero positivo par.
23
Z
Z
tan4 x dx
Z
Z
(sec2 x − 1)2 dx=
=
sec4 x dx − 2
Z
Z
sec2 x dx +
dx
Z
2
=
2
sec x sec x dx − 2 tan x + x=
Z
(tan2 x + 1) sec2 x dx − 2 tan x + x
Z
tan2 x sec2 x dx +
=
sec2 x dx − 2 tan x + x
tan3 x
tan3 x
+ tan x − 2 tan x + x + C=
+ x − tan x + C
3
3
=
Ejemplo 10
Z
cot 4 x dx
Determine
Z
4. Integrales del tipo
Z
m
sen x dx,
Z
m
cos x dx,
Z
m
tan x dx,
itivo impar.
Ejemplo 11
Z
Z
3
sen x dx
Z
2
=
sen x sen x dx =
Z
=
Z
Z
=
− cos x +
Z
cos3 x dx
Ejemplo 13
Z
sen x dx +
Ejemplo 12
Determine
cos2 x sen x dx
sen x dx −
=
(1 − cos2 x) sen x dx
(cos x)2 (− sen x) dx
1
cos3 x + C
3
cot
m
x dx
con m un entero pos-
24
Z
Z
cos5 x dx
Z
cos4 x cos x dx =
=
(cos2 x)2 cos x dx
Z
Z
2
=
2
(1 − sen x) cos x dx =
Z
=
=
(1 − 2 sen2 x + sen4 x) cos x dx
Z
cos x dx − 2
sen x −
Z
sen2 x cos x dx +
sen4 x cos x dx
1
2
sen3 x + sen4 x + C
3
4
Ejemplo 14
Z
Calcule
sen7 x dx
Ejemplo 15
Z
Z
tan3 x dx
tan2 x tan x dx
=
Z
(sec2 x − 1) tan x dx
=
Z
Z
sec2 x tan x dx −
=
=
tan x dx
1
tan2 x dx + ln | cos x| + C
2
Ejemplo 16
Z
Z
cot 5 x dx
Z
cot 4 x cot x dx =
=
Z
(cot 2 x)2 cot x dx
Z
csc 4 x cot x dx − 2
=
Z
csc 2 x cot x dx +
Z
=
Z
(cot 2 x + 1) csc 2 x cot x dx − 2
=
−
1
csc 4 x + cot 2 x + ln | sen x| + C
4
Ejemplo 17
Z
Determine
cot x dx
tan5 x dx
Z
cot x csc 2 x dx +
cot x dx
25
Z
5. Integrales del tipo
Z
Z
cosn x senr x dx,
tann x secr x dx,
cot n x secr x dx, con n y r ambos
enteros positivos pares.
Ejemplo 18
Z
sen2 x cos4 x dx
Z µ
=
(utilizando las fórmulas e. y f.)
1 − cos 2x
2
¶2
dx
Z
1
8
=
1
8
=
1
8
=
1
1
1
x+
sen 2x −
8
16
8
=
1
1
1
x+
sen 2x −
8
16
16
=
1
1
1
1
x+
sen 2x −
sen 4x −
16
16
64
8
=
1
1
1
1
1
x+
sen 2x −
sen 4x −
sen 2x +
sen3 2x + C
16
16
64
16
48
(1 − cos 2x)(1 + cos 2x)2 dx
Z
(1 + cos 2x − cos2 2x − cos3 2x) dx
Z
dx +
1
8
Z
Z
sen2 x cos2 x dx
Ejemplo 20
Z
Determine
1 + cos 2x
2
=
Ejemplo 19
Determine
¶ µ
sen4 x cos2 x dx
Ejemplo 21
cos 2x dx −
Z
1
8
Z
cos2 2x dx −
1 + cos 4x
1
dx −
2
8
Z
dx −
1
16
1
8
Z
cos2 2x cos 2x dx
Z
(1 − sen2 2x) cos 2x dx
Z
Z
cos 4x dx −
(1 − sen2 2x) cos 2x dx
Z
(cos 2x − sen2 2x cos 2x) dx
26
Z
Z
tan2 x sec4 x dx
tan2 x sec2 x sec2 x dx
=
Z
tan2 x (tan2 x + 1) sec2 x dx
=
Z
Z
=
tan4 x sec2 x dx +
tan2 x sec2 x dx
=
1
1
tan5 x + tan3 x + C
5
5
Ejemplo 22
Z
cot 2 x csc 4 x dx
Ejercicio para el estudiante
Z
Z
n
6. Integrales del tipo
r
sen x cos x dx,
Z
n
r
tan x sec x dx,
cot n x csc
r
x dx, con n y r ambos
enteros positivos, siendo por lo menos uno de los exponentes impar.
Ejemplo 23
Z
Z
3
4
sen x cos x dx
sen2 x sen x cos4 x dx
=
Z
Z
(1 − cos2 x) sen x cos4 x dx =
=
Z
Z
4
=
−
cos x (− sen x) dx +
=
1
1
cos5 x + cos7 x + C
5
7
cos6 x(− sen x) dx
Ejemplo 24
Z
sen2 x cos3 x dx
Ejemplo 25
Z
sen x cos4 x dx −
Ejercicio para el estudiante
cos6 x sen x dx
27
Z
Z
cos5 x sen3 x dx
cos5 x sen2 x sen x dx
=
Z
cos5 x (1 − cos2 x) sen x dx
=
Z
Z
cos5 x sen x dx −
=
=
−
cos7 x sen x dx
1
1
cos6 x + cos8 x + C
6
8
Ejemplo 26
Z
Z
tan3 x sec x dx
tan2 x tan x sec x dx
=
Z
(sec2 x − 1) tan x sec x dx
=
Z
=
=
Z
sec2 x (tan x sec x) dx −
tan x sec x dx
1
sec3 x − sec x + C
3
Ejemplo 27
Z
cot 5 x csc x dx
Ejercicios
Z
sen3 x cos3 x dx
a.
Z
b.
√
cos x sen3 x dx
Z
sec6 x dx
c.
Z
d.
Z
e.
cos3 t
dt
sen2 t
tan4 y
dy
sec5 y
Ejercicio para el estudiante
28
Z
f.
Z
g.
5.2.6
sec3 x
dx
tan4 x
csc 4 x
dx
cot 2 x
Integrales que dan como resultado funciones trigonométricas inversas
A partir de las fórmulas estudiadas en el capı́tulo de derivación sobre las derivadas de las funciones trigonométricas
inversas, pueden determinarse varias integrales indefinidas.
1. Como Dx arcsen x = √
Z
1
,
1 − x2
entonces
√
dx
= arcsen x + C
1 − x2
Además
Z
√
³x´
dx
= arcsen
+ C, a > 0
a
a2 − x2
(Compruébelo)
En general
Z
f 0 (x) dx
p
= arcsen
a2 − [f (x)]2
µ
f (x)
a
¶
+ C, a > 0
Ejemplo 1
Z
√
dx
=
9 − x2
Z
√
³x´
dx
= arcsen
+C
3
32 − x2
Ejemplo 2
Z
dx
√
=
8 − x2
Z
µ
dx
q√
= arcsen
( 8)2 − x2
x
√
8
¶
+C
Ejemplo 3
Z
√
dx
=
1 − 4x2
Z
dx
p
1 − (2x)2
En este caso, f (x) = 2x
Ejemplo 4
=
1
2
Z
1
2 dx
p
= = arcsen(2x) + C
2
2 − (2x)2
29
Z
dx
√
=
9 − 7x2
Z
dx
1
q
=√
√
7
32 − ( 7 x)2
Z
√
7 dx
1
q
= √ arcsen
√
7
32 − ( 7 x)2
Ã√
7x
3
!
+C
Ejemplo 5
Z
dx
p
16 − (x + 1)2
µ
= arcsen
x+1
4
¶
+C
Ejemplo 6
Z
x dx
p
9 − (3 − x2 )2
=
Z
−1
2
−2x dx
p
9 − (3 − x2 )2
=
−1
arcsen
2
µ
3 − x2
3
¶
+C
Note que f (x) = 3 − x2 y f 0 (x) = −2x dx
Ejemplo 7
Z
√
dx
4 − 2x − x2
En este caso debe “completarse cuadrados” en la expresión que aparece en el subradical.
4 − 2x − x2 = 5 − (x + 1)2
Sustituyendo en la integral
Z
√
dx
=
4 − 2x − x2
Z
dx
p
5 − (x + 1)2
µ
= arcsen
x+1
√
5
Ejemplo 8
Z
√
dx
−4x2 + 12x
Volvemos a completar cuadrados en el subradical
−4x2 + 12x = 9 − (2x − 3)2
Sustituyendo:
¶
+C
30
Z
√
dx
=
−4x2 + 12x
Z
dx
1
=
2
2
9 − (2x − 3)
p
Z
2 dx
1
p
= arcsen
2
2
9 − (2x − 3)
µ
2x − 3
3
¶
+C
Ejemplo 9
Z
(x + 3) dx
√
3 − 2x2
Z
=
x dx
√
+
3 − 2x2
Z
√
3 dx
3 − 2x2
Z
Z
x(3 − 2x2 )
=
−1
2
dx + 3
Z
dx
q√
√
( 3)2 − ( 2 x)2
=
1
−
4
=
1p
3
−
3 − 2x2 + √ arcsen
2
2
2
−4x(3 − 2x )
−1
2
3
dx + √
2
Z
Ã√
2x
√
3
√
2 dx
q√
√
( 3) − ( 2 x)2
!
+C
Ejemplo 10
Z
(2 + x) dx
√
4 − 2x − x2
Z
=
=
=
=
=
=
Z
x dx
2 dx
√
√
+
2
4 − 2x − x
4 − 2x − x2
Z
Z
dx
−1
−2x dx
√
+2 √
2
4 − 2x − x2
4 − 2x − x2
Z
Z
−1
−2x − 2 + 2
dx
√
dx + 2 √
2
2
4 − 2x − x
4 − 2x − x2
Z
Z
Z
−1
1
dx
(−2x − 2)
2 dx
√
√
dx −
+2 √
2
2
2
2
4 − 2x − x
4 − 2x − x
4 − 2x − x2
Z
Z
Z
−1
(−2x − 2)
1
2 dx
dx
√
√
dx −
+2 √
2
2
2
2
4 − 2x − x
4 − 2x − x
4 − 2x − x2
Z
Z
−1
dx
2 −1
2
p
(−2x − 2) (4 − 2x − x )
dx +
2
5 − (x + 1)2
1
Ejemplo 11
µ
¶
=
−1 (4 − 2x − x2 ) 2
+ arcsen
1
2
2
=
¶
µ
p
x+1
2
√
− 4 − 2x − x + arcsen
+C
5
x+1
√
5
+C
31
Z
(2x − 3)
√
dx
1 − 4x2
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 12
Z
√
x dx
3 − 2x − x2
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 13
Z
√
(2x + 3)
dx
5 − x2 − 4x
2. Como Dx arctan x = √
Ejercicio para el estudiante
1
,
1 + x2
entonces
Z
√
Z
Además
√
dx
= arctan x + C
1 + x2
³x´
dx
1
= arctan
+ C, donde a > 0
a
a
a2 + x2
(Compruébelo!)
En general
Z
f 0 (x) dx
1
= arctan
a2 + [f (x)]2
a
µ
f (x)
a
Ejemplo 14
Z
dx
=
9 + x2
Z
dx
1
x
= arctan + C
32 + x2
3
3
Ejemplo 15
Z
dx
=
2 + 4x2
Z
dx
√
2
( 2) + (2x)2
=
=
=
Ejemplo 16
1
2
Z
2 dx
√
( 2)2 + (2x)2
µ
¶
1 1
2x
· √ arctan √
+C
2
2
2
√
1
√ arctan( 2 x) + C
2 2
¶
+C
32
Z
x+2
dx
5 + 2x2
Z
=
x dx
+
5 + 2x2
=
1
4
=
√
√
1
2
2x
2
ln |5 + 2x | + √ arctan √ + C
4
5
5
Z
2 dx
5 + 2x2
2
4x dx
+√
5 + 2x2
2
Z
√
2 dx
√
√
( 5)2 + ( 2x)2
Ejemplo 17
Z
dx
dx
4x2 + 4x + 3
Se “completa cuadrados” en la expresión que está en el denominador.
4x2 + 4x + 3 = 4x2 + 4x + 4 − 1 + 3 = (2x + 1)2 + 2
Sustituyendo en la integral:
Z
dx
=
4x2 + 4x + 3
Z
dx
1
=
(2x + 1)2 + 2
2
Z
2 dx
1 1
√
= · √ arctan
2
( 2)2 + (2x + 1)2
2
µ
2x + 1
√
2
¶
+C
Ejemplo 18
Z
dx
x2 + 2x + 5
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 19
Z
3x dx
x2 + 6x + 12
Ejemplo 20
=
3
2
=
3
2
=
3
2
=
3
2
Z
Z
Z
Z
2x dx
x2 + 6x + 12
2x + 6 − 6
dx
x2 + 6x + 12
(2x + 6) dx
3
+
x2 + 6x + 12 2
(2x + 6) dx
−9
x2 + 6x + 12
Z
Z
−6 dx
x2 + 6x + 12
dx
3 + (x + 3)2
9
3
ln |x2 + 6x + 12| − √ arctan
2
3
µ
x+3
√
3
¶
+C
33
Z
2x3 dx
2x2 − 4x + 3
En este caso se debe hacer primero la división, pues el exponente de la variable en el numerador es mayor
que el exponente de la variable en el denominador.
Z
2x3 dx
2
2x − 4x + 3
Z
=
=
=
=
=
=
=
Z
2x3
5x − 6
dx
=
(x + 2) + 2
dx
2x2 − 4x + 3
2x − 4x + 4
Z
Z
Z
dx
5x
dx − 6
(x + 2) dx +
2
2
x − 4x + 3
2x − 4x + 3
Z
Z
Z
5
4x dx
dx
(x + 2) dx +
−6
4
2x2 − 4x + 3
2x2 − 4x + 3
Z
Z
Z
5
(4x − 4 + 4) dx
dx
(x + 2) dx +
−
6
2
2
4
2x − 4x + 3
2x − 4x + 3
Z
Z
Z
Z
5
(4x − 4) dx
5
4 dx
dx
+
−6
(x + 2) dx +
4
2x2 − 4x + 3 4
2x2 − 4x + 3
2x2 − 4x + 3
√
Z
2
(x + 2)2
5
1
2
√
√
+ ln |2x − 4x + 3| − √
2
4
2
( 2x − 2)2 + 1
√
√
5
1
(x + 2)2
+ ln |2x2 − 4x + 3| − √ arctan( 2x − 2) + C
2
4
2
Ejemplo 21
Z
3x3 dx
dx
4x2 + 12x + 13
Ejercicio para el estudiante
Vamos ahora a estudiar algunos tipos de integrales que no se determinan utilizando las fórmulas anteriores, sino
mediante algunas técnicas especiales, llamadas técnicas de integración.
5.2.7
Técnicas de Integración
Método de sustitución
Anteriormente hemos resuelto integrales como las siguiente:
Z
x
p
3
4 − x2 dx
Como d(4 − x2 ) = −2x dx entonces multiplicando y dividiendo por −2 se obtiene que:
34
Z
x
p
3
4 − x2 dx =
−1
2
Z
4
1
1 (4 − x2 ) 3
−2x(4 − x2 ) 3 dx = − ·
+C
4
2
3
Z
Sin embargo, una integral como
√
x x + 2 dx no puede calcularse por el procedimiento anterior ya que
d(x + 2) = dx 6= x dx. Se necesita por tanto un procedimiento que nos permita calcular este y similares tipos
de integrales. Para ello veamos el teorema siguiente:
Teorema 1
Si x = g(u) es una función derivable que posee una función inversa u = g −1 (x) también derivable. Entonces,
en cualquier intervalo donde g 0 (x) 6= 0 se tiene que:
Z
Z
f [g(u)] g 0 (u)du = H(u) + C =⇒
f (x) dx = H[g −1 (x)] + C
Prueba: Utilizando la regla de la cadena se tiene que:
Dx H(u) = Dx H[g −1 (x)] = Du H(u) · Dx [g −1 (x)]
= Du H(u) ·
(Recuerde que Dy x =
original).
1
g 0 (u)
1
, o sea, la derivada de la función inversa es igual a 1 sobre la derivada de la función
Dx y
Como Du H(u) = f [g(u)]g 0 (u) entonces
Dx H(g −1 (x)) = f [g(u)]g 0 (u) ·
1
g 0 (u)
= f [g(u)] = f (x)
Con esto se ha demostrado que H[g −1 (x)] es una derivada inversa de f , y que por tanto, bajo condiciones
apropiadas es posible llevar a cabo el proceso de sustitución.
Ejemplo 1
Z
√
x x + 2 dx
Sea u = x + 2, du = dx
luego x = u − 2, sustituyendo:
35
Z
√
x x + 2 dx =
Z
√
(u − 2) u du =
Z
5
3
1
(u 2 − 2 u 2 ) du
=
=
u2
5
2
3
−2
u2
3
2
+C =
5
2
4 3
(u) 2 − u 2 + C
5
3
5
3
2
4
(x + 2) 2 − (x + 2) 2 + C
5
3
Ejemplo 2
Z
x2
√
3
x + 4 dx
Sea u3 = x + 4, 3u2 du = dx, x = u3 − 4. Sustituyendo
Z
x2
√
3
Z
x + 4 dx
(u3 − 4)2
=
√
3
u3 3u2 du
Z
(u6 − 8u3 + 16)u 3u2 du
=
Z
=
=3
(u6 − 8u3 + 16) u3 du
Z
(u9 − 8u6 + 16u3 )du
=
3
=
3
=
√
3 √
24 √
( 3 x + 4)10 −
( 3 x + 4)7 + 12( 3 x + 4) + C
10
7
·
¸
√
u10
u7
u4
−8
+ 16
+ C, como u = 3 x + 4
10
7
4
Note que se escogió la variable u con el exponente 3, (u3 ), para que al sustituir se obtuviera una raı́z cúbica
exacta.
Ejemplo 3
Z
√
x
dx
3x + 4
Sea u2 = 3x + 4, luego 2u du = 3 dx =⇒
Sustituyendo
u2 − 4
2
u du = dx. Además x =
3
3
36
Z
x dx
√
3x + 4
Z
u2 −4
3
√
=
Z
· 23 u
u2
du
u(u2 − 4)
du
u
=
2
9
=
2
9
=
·
¸
2 u3
− 4u + C
9 3
=
√
2 3 8
u − u + C, como u = 3x + 4
27
3
=
¤3 8 √
2 £√
3x + 4 −
3x + 4 + C
27
3
Z
(u2 − 4) du
Ejemplo 4
Z
√
1+
y
dy
√
3 y
En este caso se debe sustituir“ y ” por una expresión que posea tanto raı́z cuadrada como cúbica, ası́ y = u6 y
entonces 6u5 du
Sustituyendo
Z
√
y
√ dy
1+ 3y
Z √
u6 6u5
√
du
3
1 + u6
=
Z
=
6
=
=6
=
=
Ejemplo 5
Z
x dx
2
(x + 1) 3
Sea u3 = x + 1
3u2 du = dx
además x = u3 − 1
Sustituyendo
u8
du
+1
u2
u7
u5
u3
−
+
− u + arctan u + C
7
5
3
6 √
6 √
√
√
√
( 6 y)7 − ( 6 y)5 + 2( 6 y)3 − 6 6 y + 6 arctan 6 y + C
7
5
37
Z
x dx
(x + 1)
2
3
(u3 − 1)3u2 du
=
2
(u3 ) 3
Z
=
3
u2 (u3 − 1) du
u2
Z
(u3 − 1) du
=
3
=
3
=
√
3 √
( 3 x + 1)4 − 3 3 x + 1 + C
4
·
¸
u4
−u +C
4
Ejemplo 6
Z
1+
dx
√
3
x−2
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 7
Z
dx
√
√
23x+ x
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 8
Z
2
x(2 + x) 3
Ejemplo 9
Z
1
(x3 + 3) 4 x5 dx
Sea u4 = x3 + 3
4u3 du = 3x2 dx
4 3
u du = x2 dx
3
Además x3 = u4 − 3
Sustituyendo
Ejercicio para el estudiante
38
Z
Z
1
(x3 + 3) 4 x3 · x2 dx
1
(u4 ) 4 (u4 − 3)
=
4 3
u du
3
4
u(u4 − 3)u3 du
3
Z
4
(u8 − u4 ) du
3
·
¸
4 u9
u5
−
+C
3 9
5
=
=
=
i9
4 hp
4 p
4
4
( x3 + 3)5 + C
x3 + 3 −
27
15
=
Ejemplo 10
Z
x5 (3x2 + 4) dx
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 11
Z p
6 + y(y + 2)2 dy
Ejercicio para el estudiante
Integración por partes
Esta es otra técnica que se utiliza para expresar una integral en otra expresión que se puede determinar más
fácilmente.
Consideremos dos funciones f y g derivables en S. Luego, por medio del diferencial de un producto se tiene que:
d[f (x) · g(x)] = f (x) g 0 (x) dx + g(x) f 0 (x) dx
f (x) g 0 (x) dx = d[f (x) · g(x)] − g(x) f 0 (x) dx
integrando a ambos lados:
Z
Z
f (x) g 0 (x) dx =
Z
d [f (x) · g(x)] −
g(x) f 0 (x) dx
de donde
Z
Z
f (x) g 0 (x) dx = f (x) · g(x) −
g(x) f 0 (x) dx
39
Esta es la fórmula de integración por partes.
Utilizando los diferenciales de las funciones, si u = f (x) entonces du = f 0 (x) dx, y si v = g(x) entonces
dv = g 0 (x) dx.
Sustituyendo en la igualdad anterior:
Z
Z
u dv = u · v −
v du
Z
Haciendo una elección apropiada de u y dv , la fórmula anterior expresa la integral
u dv en términos de
Z
otra integral
v du, que puede resultar más fácil de integrar.
Z
Si
v du fuera más complicada que la integral dada, probablemente la selección hecha no ha sido la más adecuada.
Es corriente utilizar el método de integración por partes en integrales del tipo:
Z
Z
xn sen(a x) dx,
Z
xn cos(a x) dx,
Z
xn eax dx,
ln x dx,
Ası́ como en las que contienen en su integrando funciones trigonométricas inversas.
Con los ejemplos siguientes, el o la estudiante podrá darse una idea de la selección adecuada de las variables u
y dv .
Ejemplo 12
Z
3x sen x dx
Si u = 3x entonces du = 3 dx
Z
Si dv = sen x dx entonces v =
sen x dx = − cos x
Z
Z
3x sen x dx
=
3x(− cos x) −
− cos x · 3 dx
=
−3x cos x + 3 sen x + C
Note que sin afectar el resultado final, la constante C de integración puede adjuntarse cuando se lleva a cabo
la última integración, y no cuando se determina v a partir de dv .
En algunos casos es necesario aplicar varias veces la integración por partes como se muestra en el siguiente
ejemplo:
40
Ejemplo 13
Z
x2 e3x dx
Si u = x2 entonces du = 2x dx
Si dv = e3x dx entonces
Z
Z
1
e3x
v = e3x dx =
e3x dx =
3
3
Luego:
Z
x2 e3x dx
e3x
−
3
Z
=
x2 ·
=
2
x2 e3x
−
3
3
e3x
· 2x dx
3
Z
x e3x dx
ahora u = x, du = dx
dv = e3x dx y v =
Por tanto:
Z
x2 e3x dx
1 3x
e dx
3
=
·
¸
Z 3x
x2 e3x
2 x e3x
e
−
−
dx
3
3
3
3
=
·
¸
Z 3x
x2 e3x
2 x e3x
e
−
−
dx
3
3
3
3
=
x2 e3x
2
2
− x e3x +
x e3x + C
3
9
27
Ejemplo 14
Z
ln x dx
Si u = ln x entonces du =
dx
x
Si dv = dx entonces v = x
Luego:
Z
ln x dx
Z
x
dx
x
=
x ln x −
=
x ln x −
=
x ln x − x + C
Z
dx
41
Ejemplo 15
Z
x2 ln x dx
Si u = ln x entonces du =
dx
x
Si dv = x2 dx entonces v =
x3
3
Luego:
Z
x2 ln x dx
Z
x3 dx
·
3
x
=
x3 ln x
−
3
=
x3 ln x 1
−
3
3
=
x3 ln x 1 3
− x +C
3
9
Z
x2 dx
Ejemplo 16
Z
ln2 x dx
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 17
Z
ex sen x dx
Si u = sen x entonces du = cos x dx
Si dv = ex dx entonces v = ex dx
Luego:
Z
Z
x
x
e sen x dx = e sen x −
Nuevamente: u = cos x, du = − sen x dx
dv = ex dx, v = ex
·
¸
Z
ex sen x dx = ex sen x − ex cos x − ex (− sen x) dx
Z
Z
ex sen x dx = ex sen x − ex cos x − ex sen x dx
Z
ex cos x dx
42
Z
Z
ex sen x dx + ex sen x dx = ex sen x − ex cos x
Z
2 ex sen x dx = ex sen x − ex cos x
Z
ex
ex sen x dx =
(sen x − cos x) + C
2
Ejemplo 18
Z
sec3 x dx
Podemos escribir
Z
Z
3
sec x dx = sec x · sec2 x dx
Si u = sec x entonces du = sec x · tan x dx
Z
2
Si dv = sec x dx entonces v = sec2 x dx = tan x
Luego:
Z
sec3 x dx
Z
=
sec x · tan x −
=
sec x · tan x −
=
sec x · tan x −
=
sec x · tan x −
tan x · sec x · tan x dx
Z
sec x · tan2 x dx
Z
sec x (sec2 x − 1) dx
Z
Z
sec x dx
Z
sec3 x dx +
=
Z
sec3 x dx +
sec3 x dx
Z
=
sec x tan x +
sec x dx
Z
=
=
sec3 x dx
1
(sec x tan x + ln | sec x + tan x|) + C
2
Ejemplo 19
Z
csc 3 5x dx
Ejemplo 20
Ejercicio para el estudiante.
43
Z
arctan x dx
Si u = arctan x entonces du =
dx
1 + x2
Si dv = dx entonces v = x
Luego:
Z
Z
arctan x dx = x arctan x −
x
1
dx = x arctan x − ln |1 + x2 | + C
2
1+x
2
Ejemplo 21
Z
(x + 1)2 ex dx
si u = (x + 1)2 entonces
du = 2(x + 1) dx
si dv = ex dx entonces v = ex
Luego:
Z
Z
(x + 1)2 ex dx = ex (x + 1)2 − 2(x + 1) ex dx
nuevamente: si u = x + 1 entonces du = dx y si dv = ex dx entonces v = ex
Por tanto:
·
¸
Z
Z
(x + 1)2 ex dx = ex (x + 1)2 − ex (x + 1) − ex dx = ex (x + 1)2 − (x + 1) ex + ex + C
Ejemplo 22
Z
x ln
√
x + 2 dx
Ejercicio para el estudiante.
Ejemplo 23
Z
x arcsen x dx
Ejercicio para el estudiante.
Ejemplo 24
Z
sen(ln x) dx
Ejercicio para el estudiante.
44
Ejemplo 25
Z
x sec2 x dx
Ejercicio para el estudiante.
Ejemplo 26
Z
x ln x
√
dx
x2 − 4
5.2.8
Ejercicio para el estudiante.
Integración por sustitución trigonométrica
Las sustituciones que involucran funciones trigonométricas se pueden llevar a cabo en aquellas integrales cuyo
integrando contiene una expresión de la forma:
p
a2 − b2 x2 ,
p
a2 + b2 x2 ,
p
b2 x2 − a2 con a > 0 y b > 0
La sustitución trigonométrica permite transformar una integral en otra que contiene funciones trogonométricas
cuyo proceso de integración es más sencillo.
Estudiaremos cada uno de los casos como sigue:
El integrando contiene una función de la forma
Se hace el cambio de variable escribiendo
i π πh
i a ah
a
x = sen θ, donde θ ∈ − ,
y x ∈ − ,
b
2 2
b b
a
a
Si x = sen θ entonces dx = cos θ dθ
b
b
Además:
p
a2 − b2 x2
r
a2 − b2 ·
=
=
=
=
a2
sen2 θ
b2
p
a2 − a2 sen2 θ
p
a2 (1 − sen2 θ)
√
a2 cos2 θ
=
|a cos θ|
=
a cos θ
p
a2 − b2 x2 con a > 0 , b > 0
45
¸
pues a > 0 y como θ ∈
Luego:
p
−π π
,
2 2
·
entonces cos θ > 0
a2 − b2 x2 = a cos θ
Como x =
a
bx
sen θ entonces sen θ =
y θ = arcsen
b
a
µ
bx
a
¶
Para este caso, las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:
Ejemplo 1
Z p
16 − x2 dx,
x ∈ ] − 4, 4[
¸
Sea x = 4 sen θ con θ ∈
−π π
,
2 2
·
=⇒ dx = 4 cos θ dθ
Luego: 16 − x2 = 16 − 16 sen2 θ = 16 (1 − sen2 θ) = 16 cos2 θ =⇒
Sustituyendo:
Z
Z p
16 −
x2
dx
=
4 cos θ · 4 cos θ dθ
Z
=
cos2 θ dθ
16
Z
1 + cos 2θ
dθ
2
=
16
=
8
=
8 (θ +
=
8θ + 4 · 2 sen θ cos θ + C
=
8θ + 8 sen θ cos θ + C
Z
(1 + cos 2θ) dθ
1
sen θ) + C
2
p
16 − x2 = 4 cos θ
46
Como x = 4 sen θ entonces sen θ =
Además
³x´
x
y θ = arcsen
4
4
√
p
16 − x2 = 4 cos θ por lo que cos θ =
16 − x2
4
Estos resultados también pueden obtenerse a partir de la figura siguiente:
Por último:
Z p
16 −
x2
³x´
x
dx = 8 θ + 8 sen θ cos θ + C = 8 arcsen
+8· ·
4
4
Ejemplo 2
Z
dx
√
, x ∈
x 25 − 4x2
Sea x =
dx =
5
sen θ, θ ∈
2
¸
−5 5
,
2 2
¸
−π π
,
2 2
·
5
cos θ dθ
2
Luego 25 − 4x2 = 25 − 4 ·
Ası́
·
p
25 − 4x2 = 5 cos θ
Sustituyendo
25
sen2 θ = 25 − 25 sen2 θ = 25 cos2 θ
4
√
16 − x2
+C
4
47
Z
dx
√
x 25 − 4x2
Como x =
csc θ =
=
5
2
Z
5
2
cos θ dθ
sen θ · 5 cos θ
=
1
5
dθ
sen θ
=
1
5
=
1
ln | csc θ − cot θ| + C
5
Z
csc θ dθ
5
2x
sen θ entonces sen θ =
por lo que puede utilizarse la siguiente figura para dar el resultado final:
2
5
1
1
5
= 2x =
sen θ
2x
5
√
cot θ =
Z
25 − 4x2
2x
Luego:
Z
¯
¯
√
¯ 5
dx
1
25 − 4x2 ¯¯
¯
√
= ln ¯
−
¯+C
¯ 2x
¯
5
2x
x 25 − 4x2
Ejemplo 3
Z
x2 dx
√
, x ∈ ] − 2, 2[
4 − x2
¸
Sea x = 2 sen θ, θ ∈
−π π
,
2 2
·
=⇒ dx = 2 cos θ dθ
Además: 4 − x2 = 4 − 4 sen2 θ = 4 cos2 θ =⇒
Sustituyendo:
p
4 − x2 = 2 cos θ
48
Z
Z
x2 dx
√
4 − x2
(2 sen θ)2 2 cos θ dθ
2 cos θ
=
Z
1 − cos 2θ
dθ
2
=
4
=
4
=
2
=
µ
¶
1
2 θ − sen 2θ + C
2
=
2θ − 2 sen θ cos θ + C
=
2 arcsen
=
2 arcsen
Z
sen2 θ dθ
Z
(1 − cos 2θ) dθ
³x´
−2 ·
2
³x´
−
2
x
·
2
√
4 − x2
+C
2
x (4 − x2 )
+C
2
Ejemplo 4
Z
dx
(5 −
3
x2 ) 2
Sea x =
√
, x ∈] −
√ √
5, 5[
¸
5 sen θ,
θ ∈
·
−π π
,
2 2
=⇒ dx =
√
5 cos θ dθ
Luego 5 − x2 = 5 − 5 sen2 θ = 5 cos2 θ
3
3
Ası́ (5 − x2 ) 2 = (5 cos2 θ) 2 =
p
√
√
(5 cos2 θ)3 = ( 5 cos θ)3 = 5 5 cos3 θ
Sustituyendo
Z
dx
3
(5 − x2 ) 2
=
=
=
Z √
5 cos θ dθ
√
5 5 cos3 θ
Z
1
dθ
5
cos2 θ
Z
1
sec2 θ dθ
5
=
1
tan θ + C
5
=
x
1
·√
+C
5
5 − x2
x
pues sen θ = √ y cos θ =
5
√
5 − x2
√
5
49
También puede utilizarse:
Ejemplo 5
Z
x2
p
25 − x2 dx
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 6
Z
x2
3
(4 − x) 2
dx
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 7
Z
x3 dx
√
16 − x2
Ejercicio para el estudiante
El integrando contiene una expresión de la forma
Hacemos un cambio de variable escribiendo x =
Si x =
p
a2 + b2 x2 con a > 0 , b > 0
i π πh
a
tan θ, donde θ ∈ − ,
y x ∈ R
b
2 2
a
a
tan θ entonces dx = sec2 θ dθ
b
b
Además
r
q
p
√
a2
a2 + b2 · 2 tan2 θ = a2 + a2 tan2 θ = a2 (1 + tan2 θ) = a2 sec2 θ = |a sec θ|
b
¸
·
−π π
1
Como a > 0 y θ ∈
,
entonces sec θ =
es positiva
2 2
cos θ
p
y por tanto a2 + b2 x2 = a sec θ
p
a2
+
b2 x2
=
Las otras funciones trigonométricas pueden obtenerse a partir de la siguiente figura:
50
Ejemplo 8
Z
√
dx
4 + x2
i π πh
Sea x = 2 tan θ, θ ∈ − ,
=⇒ dx = 2 sec2 θ dθ
2 2
Luego: 4 + x2 = 4 + 4 tan2 θ = 4(1 + tan2 θ) =⇒ 4 + x2 = 4 sec2 θ
Entonces
p
4 + x2 =
√
4 sec2 θ = |2 sec θ| = 2 sec Θ
Sustituyendo
Z
dx
√
4 + x2
Z
=
2 sec2 θ dθ
2 sec θ
Z
=
=
=
sec θ dθ
ln | sec θ + tan θ| + C
¯√
¯
¯ 4 + x2
x ¯¯
¯
ln ¯
+ ¯+C
¯
2
2¯
Ejemplo 9
Z
x2 dx
√
x2 + 6
Sea x =
dx =
√
√
¸
6 tan θ, θ ∈
−π π
,
2 2
·
6 sec2 θ dθ
Luego: x2 + 6 = 6 tan2 θ + 6 = 6(tan2 θ + 1) = 6 sec2 θ
µ
¸
·¶
p
√
√
−π π
2
2
x + 6 = 6 sec θ = 6 sec θ cos θ > 0 si θ ∈
,
2 2
51
Sustituyendo
Z
x2
√
dx
2+6
Z
6 tan2 θ
√
=
√
6 sec2 θ dθ
6 sec θ
Z
=
6
=
6
tan2 θ sec θ dθ
Z
(sec2 θ − 1) sec θ dθ
Z
(sec3 − sec θ) dθ
=
6
=
6
=
3 sec θ tan θ − 3 ln | sec θ + tan θ| + C
·
¸
1
(sec θ tan θ) + ln | sec θ + tan θ| − 6 ln | sec θ + tan θ| + C
2
√
¯√
¯
¯ x2 + 6
x2 + 6 x
x ¯¯
¯
√
· √ − 3 ln ¯ √
+ √ ¯+C
¯
6
6
6
6¯
=
3·
=
¯
¯√
√
¯ x2 + 6 + x ¯
x x2 + 6
¯
¯
√
− 3 ln ¯
¯+C
¯
¯
2
6
Ejemplo 10
Z
x dx
3
(9 + 4x2 ) 2
3
Sea x = tan θ, θ ∈
2
dx =
¸
−π π
,
2 2
·
3
sec2 θ dθ
2
Luego 9 + 4x2 = 9 + 4 ·
3
3
9
tan2 θ = 9 + 9 tan2 θ = 9(1 + tan2 θ) = 9 sec2 θ
4
(9 + 4x2 ) 2 = (9 sec2 θ) 2 = (9 sec2 θ)3 = (3 sec θ)3 = 27 sec3 θ
Sustituyendo
52
Z
Z
x dx
(9 + 4x2 )
3
2
3
2
=
=
1
12
=
1
12
=
1
12
Z
Z
tan θ · 32 sec2 θ
dθ
27 sec3 θ
tan θ dθ
sec θ
sen θ
cos θ
1
cos θ
dθ
Z
sen θ dθ =
1
(− cos θ) + C
12
Como
De la sustitución inicial tan θ =
2x
3
Por tanto:
Z
x dx
(9 +
3
4x2 ) 2
=
−1
3
·√
+C
12
9 + 4x2
Ejemplo 11
Z
dx
√
x4 x2 + 3
Sea x =
dx =
√
√
i π πh
3 tan θ, θ ∈ − ,
2 2
3 sec2 θ dθ
Luego x2 + 3 = 3 tan2 θ + 3 = 3(tan2 θ + 1) = 3 sec2 θ
p
x2 + 3 =
√
Sustituyendo
3 sec2 θ =
√
3 sec θ
53
Z
dx
√
4
x x2 + 3
=
=
=
=
=
=
=
=
Como x =
√
√
Z
3 sec2 θ dθ
√
√
( 3 tan θ) 4 3 sec θ
Z
1
sec θ dθ
9
tan4 θ
Z
1
cos4 θ
dθ
9
cos θ · sen4 θ
1
9
Z
cos3 θ
dθ
sen4 θ
Z
(1 − sen2 θ) cos θ
dθ
sen4 θ
¶
Z µ
1
cos θ
sen2 θ cos θ
−
dθ
9
sen4 θ
sen4 θ
Z
Z
1
1
cos θ(sen θ)−4 dθ −
cos θ(sen θ)−2 dθ
9
9
1
9
−1
csc θ
+
+C
27 sen3 θ
9
3 tan θ entonces tan θ =
Por lo que se obtiene: sen θ = √
x
3
x
x2 + 3
, csc θ =
√
x2 + 3
x
Por último:
Z
√
√
dx
−( x2 + 3)3
x2 + 3
√
=
+
+C
3
27 x
9x
x4 x2 + 3
Ejemplo 12
Z √
4x2 + 1
dx
x
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 13
Z
x3 dx
√
dx
9 + 3x2
Ejercicio para el estudiante
54
El integrando contiene una expresión de la forma
p
b2 x2 − a2 con a > 0 y b > 0
En este caso la sustitución adecuada es:
¸
·
i π h [ ¸ 3π ·
h
−a [ i a
a
a
π,
y x ∈ −∞,
, +∞, , o sea |x| >
x = sec θ, donde θ ∈ 0,
b
2
2
b
b
b
a
a
Si x = sec θ entonces dx = sec θ tan θ dθ
b
b
r
p
p
a2
Además
b2 x2 − a2 = b2 · 2 · sec2 θ − a2 = a2 (sec2 θ − 1)
b
i π h [ ¸ 3π ·
p
p
de donde
b2 x2 − a2 = a2 tan2 θ = |a tan θ| = a tan θ, pues a > 0 y tan θ > 0 para θ ∈ 0,
π,
2
2
µ ¶
a
bx
bx
Como x = sec θ entonces ; sec θ =
por lo que θ = arcsen
b
a
a
Utilizando el siguiente triángulo puede obtenerse las otras funciones trigonométricas:
Ejemplo 14
Z
x dx
√
, |x| > 3
x2 − 9
i π h [ ¸ 3π ·
Sea x = 3 sec θ =⇒ dx = 3 sec θ tan θ dθ, θ ∈ 0,
π,
2
2
p
p
2
2
2
2
Luego x − 9 = 9 sec θ − 9 = 9(sec θ − 1) = 9 tan θ y
x2 − 9 = 9 tan2 θ = 3 tan θ
Sustituyendo:
Z
Z
Z
p
x dx
3 sec θ · 3 sec θ tan θ dθ
√
= 3 sec2 θ dθ = 3 tan θ + C = x2 − 9 + C
=
2
3 tan θ
x −9
Ejemplo 15
Z √
4x2 − 1
1
dx, |x| >
x
4
55
1
1
sec θ =⇒ dx = sec θ tan θ dθ
2
2
p
p
1
Luego 4x2 − 1 = 4 · sec2 θ − 1 = sec2 θ − 1 = tan2 θ y
4x2 − 1 = tan2 θ = tan θ
4
Sea x =
Sustituyendo:
Z √
4x2 − 1
dx
x
Z
=
tan θ ·
1
2
1
2
sec θ tan θ dθ
sec θ
Z
tan2 θ dθ
=
Z
=
=
tan θ − θ + C
p
4x2 − 1 − arcsec (2x) + C
Z
=
(sec2 θ − 1) dθ
Ejemplo 16
Z
u2
√
du
√
, |u| > 2 2
2
u −8
Sea u =
√
8 sec θ =⇒ du =
√
8 sec θ tan θ dθ
Luego u2 − 8 = 8 sec2 θ − 8 = 8(sec2 θ − 1) = 8 tan2 θ y
p
p
√
u2 − 8 = 8 tan2 θ = 8 tan θ
Sustituyendo:
Z
du
√
=
u2 u2 − 8
Z √
8 sec θ tan θ dθ
1
√
=
8
8 sec2 θ 8 tan θ
Z
dθ
1
=
sec θ
8
Z
cos θ dθ =
1
sen θ + C
8
u
Como sec θ = √ puede utilizarse la siguiente figura para determinar sen θ
8
Por último:
56
Z
du
1
√
=
2
2
8
u u −8
√
u2 − 8
+C
u
Ejemplo 17
Z
x3
p
4x2 − 9 dx
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 18
Z p
y 2 − 25
dy
y4
Ejercicio para el estudiante
El integrando contiene una expresión de la forma
p
Ax2 + Bx + C.
Ejemplo 19
Z
√
x2
dx
− 6x + 13
Podemos escribir x2 − 6x + 13 = x2 − 6x + 9 + 4 = (x − 3)2 + 4
Z
dx
p
Luego
es la integral que debemos calcular
(x − 3)2 + 4
¸
·
−π π
Sea x − 3 = 2 tan θ, θ ∈
,
=⇒ dx = 2 sec2 θ dθ
2 2
√
p
Luego (x − 3)2 + 4 = 4 tan2 θ + 4 = 4 sec2 θ y
(x − 3)2 + 4 = 4 sec2 θ = 2 sec θ
Sustituyendo:
Z
dx
p
(x − 3)2 + 4
Z
=
2 sec2 θ dθ
2 sec θ
Z
=
=
=
=
sec θ dθ
1
ln | sec θ + tan θ| + C
2
¯p
¯
¯ (x − 3)2 + 4 x − 3 ¯
1
¯
¯
ln ¯
+
¯+C
¯
2
2
2 ¯
¯p
¯
¯ (x − 3)2 + 4 + (x − 3) ¯
1
¯
¯
ln ¯
¯ + C, x ∈ R
¯
¯
2
2
57
Ejemplo 20
Z
√
x2 dx
21 + 4x − x2
Se tiene que: 21 + 4x − x2 = 21 − (x2 − 4x) = 25 − (x − 2)2
Z
x2 dx
p
Luego la integral se convierte en:
25 − (x − 2)2
y se utiliza la sustitución (x − 2) = 5 sen θ, de donde x = 2 + 5 sen θ =⇒ dx = 5 cos θ dθ
p
Luego: 25 − (x − 2)2 = 25 − 25 sen2 θ = 25 cos2 θ y
Sustituyendo:
Z
x2 dx
p
25 − (x − 2)2
Z
=
25 − (x − 2)2 = 5 cos θ
(2 + 5 sen θ)2 5 cos θ dθ
5 cos θ
Z
(4 + 20 sen θ + 25 sen2 θ) dθ
=
Z
=
=
=
=
=
=
Z
Z
1 − cos 2θ
dθ
2
Z
Z
Z
Z
25
25
4 dθ + 20 sen θ dθ +
dθ −
cos 2θ dθ
2
2
4 dθ + 20
sen θ dθ + 25
4 θ − 20 cos θ +
25
25
θ−
sen 2θ + C
2
4
33
25
θ − 20 cos θ +
sen θ cos θ + C
2
2
p
p
µ
¶
25 − (x − 2)2
25 − (x − 2)2
33
x−2
25 x − 2
arcsen
− 20
+
·
·
+C
2
5
5
2
5
5
33
arcsen
2
µ
x−2
5
¶
−4
p
21 + 4x −
x2
√
(x − 2) 21 + 4x − x2
+
+C
2
con |x − 2| < 5, o sea x ∈ ] − 3, 7[
Ejemplo 21
Z
√
2x dx
+ 4x + 3
x2
Se tiene que x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 − 1 = (x + 2)2 − 1
Z
2x dx
2x dx
√
por lo que
=p
, con |x + 2| > 1
2
x + 4x + 3
(x + 2)2 − 1
Sea x + 2 = sec θ de donde x = sec θ − 2 =⇒ dx = sec θ tan θ dθ
58
Luego (x + 2)2 − 1 = sec2 θ − 1 = tan2 θ y
Sustituyendo
Z
2x dx
p
(x + 2)2 − 1
Z
p
(x + 2)2 − 1 = tan θ
2 (sec θ − 2) sec θ tan θ dθ
tan θ
=
Z
(sec2 θ − 2 sec θ) dθ
=
2
=
2 tan θ − 4 ln | sec θ + tan θ| + C
=
2
p
(x + 2)2 − 1 − 4 ln |x + 2 +
p
x2 + 4x + 3| + C
Ejemplo 22
Z
(x + 2) dx
3
(3 + 2x − x2 ) 2
Se tiene que 3 + 2x − x2 = 4 − (x − 1)2 (completando cuadrados)
Luego la integral que se debe determinar es:
Z
(x + 2) dx
3
[4 − (x − 2)2 ] 2
Sea (x − 1) = 2 sen θ, o sea x = 1 + 2 sen θ =⇒ dx = 2 cos θ dθ
Luego 4 − (x − 1)2 = 4 − 4 sen2 θ = 4(1 − sen2 θ) = 4 cos2 θ
³p
4 − (x − 1)2
´3
Sustituyendo
Z
(x + 2) dx
[4 − (x −
=
³√
4 cos2 θ
Z
3
2)2 ] 2
=
=
=
=
1
4
´3
= (2 cos θ)3 = 8 cos3 θ
(1 + 2 sen θ + 2) 2 cos θ dθ
8 cos3 θ
Z
(3 + 2 sen θ) dθ
cos2 θ
¶
Z µ
3
2 sen θ
1
+
dθ
4
cos2 θ
cos2 θ
Z
3
1
sec2 θ dθ + · sen θ (cos θ)−2 dθ
4
2
=
3
1 (cos θ)−1
tan θ − ·
+C
4
2
−1
=
3
1
tan θ +
+C
4
2 cos θ
59
Como x − 1 = 2 sen θ entonces sen θ =
x−1
y utilizando
2
se obtiene finalmente que
Z
(x + 2) dx
=
3
(3 + 2x − x2 ) 2
=
3
(x − 1)
1
·p
+p
+ C, con x ∈ ] − 1, 3[
4
4 − (x − 1)2
4 − (x − 1)2
Ejemplo 23
Z
(2x − 3) dx
3
(x2 + 2x − 3) 2
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 24
Z √
x2 + 2x
dx
x+1
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 25
Z
sec2 x dx
3
(4 − tan2 x) 2
Ejercicio para el estudiante
Ejemplo 26
Z
e−x dx
3
(9 e−2x + 1) 2
Ejercicio para el estudiante
Integración de fracciones racionales
P (x)
, donde P (x) y Q(x) son polinomios.
Q(x)
2x2 − 3x + 1
3x + 5
6x2 + 7x − 5
Ejemplos de fracciones racionales son
,
,
x2 + 4
x2 − 3x + 2
2x − 3
Recibe el nombre de fracción racional una expresión de la forma
60
Una fracción es propia, si el grado del polinomio en el numerador es menor que el del polinomio en el denomi3x + 1
2x
3x2 + 1
nador. Por ejemplo 2
, 2
, 3
x − 5x + 5 x + 3 x − 1
Z
Hasta el momento hemos determinado integrales de la forma
A
(x − a)−n+1
dx que da como resultado A
+C
n
(x − a)
−n + 1
cuando n 6= 1 y A ln |x − a| + C si n = 1
Z
mx + b
dx donde b2 − 4ac < 0, es decir
+ bx + c
x2 + bx + c no es factorizable en R (Para este tipo de integral ver ”Integrales que dan como resultado funciones
trigonométricas inversas”).
Además también se puede determinar integrales del tipo
x2
P (x)
. La
Q(x)
idea básica del método consiste descomponer una fracción racional en una suma de fracciones racionales más
simples, llamadas usualmente fracciones parciales. Daremos sin demostración los siguientes teoremas:
Debemos ahora encontrar un método que permita obtener la derivada inversa de expresiones del tipo
Teorema 1
Si M (x) y N (x) son polinomios, entonces
Z
M (x)
R(x)
= L(x) +
, en donde L(x) y R(x) son polinomios tales que el grado de R(x) es menor que el
N (x)
N (x)
de N (x)
Ejemplo 27
5x3 + 7x2 + x − 1
4x + 6
= 5x + 7 − 2
x2 + 1
x +1
Teorema 2
Si M (x) y N (x) son polinomios tales que el grado de M (x) es menor que el de N (x) , entonces
M (x)
se
N (x)
puede representar como una suma S(x) de expresiones de la forma:
A
,
ax + b
B
,
(ax + b)n
Cx + D
,
ax2 + bx + c
Cx + D
+ bx + c)n
(ax2
Como resultado de este teorema se tienen los cuatro siguientes casos:
1.) Cada factor lineal ax + b que aparece sólo una vez en N (x) posee un término de la forma
suma S(x) .
A
en la
ax + b
61
2.) Para cada factor lineal ax + b que aparece k veces en N (x) habrá una suma de k términos como sigue:
A1
A2
A3
Ak
+
+
+ ··· +
2
3
ax + b (ax + b)
(ax + b)
(ax + b)k
en la suma S(x)
3.) Para cada factor cuadrático ax2 + bx + c con b2 − 4ac < 0, que aparezca sólo una vez en N (x) existe
Cx + D
un término de la forma
en la suma S(x).
2
ax + bx + C
4.) Para cada factor cuadrático ax2 + bx + c con b2 − 4ac < 0, que aparezca k veces en N (x) habrá una
suma de k términos como sigue:
C2 x + D2
C1 x + D 1
Ck x + Dk x
+
+ ··· +
ax2 + bx + c (ax2 + bx + c)2
(ax2 + bx + c)k
en la suma S(x)
Teorema 3
Si el valor de un polinomio P (x) de grado n es igual al valor de su polinomio Q(x) de grado m , donde
m ≤ n;, para al menos n + 1 valores de x , entonces los polinomios son idénticos y tienen valores iguales para
todos los valores de x .
Este teorema será utilizado para obtener los valores de las constantes en cada uno de los casos anteriores.
Daremos ahora ejemplos de cada caso.
Caso 1.
Calcular cada una de las siguientes integrales:
Ejemplo 28
Z
4x − 2
dx
x(x + 1) (x − 2)
Observe que el denominador del integrando ya está factorizado, y cada factor lineal aparece solo una vez. Luego
se puede escribir la siguiente igualdad (aplicando el Teorema 2)
4x − 2
A
B
C
= +
+
x(x + 1) (x − 2)
x
(x + 1) (x − 2)
62
de donde:
4x − 2
A(x + 1) (x − 2) + Bx(x − 2) + Cx(x + 1)
=
x(x + 1) (x − 2)
x(x + 1) (x − 2)
igualando los numeradores se tiene:
4x − 2 = A(x + 1) (x − 2) + Bx(x − 2) + Cx(x + 1)
Para determinar los valores de A, B y C se pueden utilizar dos procedimientos.
i. Si dos polinomios T (x) y Z(x) son tales que T (x) = Z(x) para x ∈ R , entonces los coeficientes de
potencias iguales de x en los dos polinomios deben ser iguales.
Como:
4x − 2 = A(x2 − x − 2) + B(x2 − 2x) + C(x2 + x)
entonces
4x − 2 = (A + B + C)x2 + (−A − 2B + C)x − 2A y por tanto:
A+B+C =0
−A − 2B + C = 4
−2A = −2
Resolviendo el sistema anterior se obtiene que A = 1, B = −2 y C = 1
Luego:
1
−2
1
4x − 2
= +
+
x(x + 1) (x − 2)
x x+1 x−2
ii. Como los miembros de la ecuación 4x − 2 = A(x + 1)(x − 2) + Bx(x − 2) + Cx(x + 1) son polinomios de
grado dos o menos y deben ser iguales para más de dos valores de x , del Teorema 3 concluimos que son
iguales para todos los valores de x . Luego es posible escoger tres valores arbitrarios de x para sustituirlos
en la ecuación anterior y ası́ obtener tres ecuaciones en las incógnitas A, B, C. Generalmente se utilizan
valores de x que conduzcan a las ecuaciones más simples.
63
Ası́, si x = 0 se obtiene que:
4(0) − 2
=
A(0 + 1)(0 − 2) + B · 0(0 − 2) + C · 0(0 + 1)
=
A(1)(−2) de donde A = 1
Si x = −1 se obtiene que:
4(−1) − 2
=
A(−1 + 1)(−1 − 2) + B(−1)(−1 − 2) + C(−1)(−1 + 1)
=
B(3) de donde B = −2
Por último, si x = 2 se obtiene que:
4(2) − 2
=
A(2 + 1)(2 − 2) + B · 2(2 − 2) + C · 2(2 + 1)
=
C(6) de donde C = 1
Como vemos, el resultado es el mismo que el obtenido en el procedimiento señalado en i.
Luego:
Z
4x − 2
dx
x(x + 1)(x − 2)
Z
=
1
dx +
x
Z
−2
dx +
x+1
Z
1
dx
x−2
=
= ln |x| − 2 ln |x + 1| + ln |x − 2| + C
=
¯
¯
¯ x(x − 2) ¯
¯
¯+C
= ln ¯
(x + 2)2 ¯
Ejemplo 29
Z
6x2 − 2x − 1
dx
4x3 − x
En este caso se debe factorizar primero el denominador del integrando. Ası́ 4x3 − x = x(2x + 1)(2x − 1)
Luego:
6x2 − 2x − 1
6x2 − 2x − 1
A
B
C
=
= +
+
4x3 − x
x(2x − 1)(2x + 1)
x
2x − 1 2x + 1
Se deben calcular nuevamente los valores de A, B y C , utilizando para ello cualquiera de los dos procedimientos ya señalados.
Como:
64
6x2 − 2x − 1
A(2x − 1) (2x + 1) + Bx(2x + 1) + Cx(2x − 1)
=
x(2x − 1) (2x + 1)
x(2x − 1) (2x + 1)
entonces:
6x2 − 2x − 1 = A(2x − 1) (2x + 1) + Bx(2x + 1) + Cx(2x − 1)
Utilizando el segundo procedimiento daremos a x los valores de 0 ,
1 −1
y
como sigue:
2
2
Si x = 0 entonces: 1 = A(−1)(1) de donde A = −1
Si x =
1
2
Si x =
−1
2
entonces: − 12 = B( 12 )(2) de donde B =
3
2
entonces:
−1
2
= C( −1
2 )(−2) de donde C =
3
2
Luego
Z
Z
Z
Z
−1
3
6x2 − 2x − 1
−1
2
2
dx =
dx +
dx +
dx
x(2x − 1)(2x + 1)
x
2x − 1
2x + 1
Z
Z
Z
dx
3
dx
dx 1
−
+
=−
x
2
2x − 1 2
2x + 1
6x2 − 2x − 1
dx =
4x3 − x
Z
1
3
ln |2x − 1| + ln |2x + 1| + C
4
4
¯p
¯
¯ 4 (2x + 1)3 ¯
¯
¯
= ln ¯ √
¯+C
¯ x 4 2x − 1 ¯
= − ln |x| −
Ejemplo 30
Z
2x + 1
dx =
x3 − 7x + 6
Z
2x + 1
(x − 1)(x − 2)(x + 3)
Luego, según el Teorema 2
2x + 1
A
B
C
=
+
+
(x − 1)(x − 2)(x + 3)
x−1 x−2 x+3
de donde:
2x + 1 = A(x − 2)(x + 3) + B(x − 1)(x + 3) + C(x − 1)(x − 2)
Utilizando el segundo procedimiento para determinar A, B y C, se obtiene que:
Si x = 2 entonces 5 = B(1)(5) de donde B=1
Si x = 3 entonces −5 = C(−4)(−5) de donde C=−
1
4
65
Si x = 1 entonces 3 = A(−1)(4) de donde A=−
3
4
Luego:
Z
2x + 1
dx
3
x − 7x + 6
Z
=
Z
=
=
=
2x + 1
dx
(x − 1)(x − 2)(x + 3)
−3
4
Z
dx
+
x−2
Z
−1
4
dx
x−1
x+3
Z
Z
Z
−3
dx
dx
1
dx
+
−
4
x−1
x−2 4
x+3
−
dx +
1
3
ln |x − 1| + ln |x − 3| − ln |x + 3| + C
4
4
Caso 2.
Ejemplo 31
Z
2y 2 + 11y + 8
dy
y 3 + 4y 2 + 4y
Factorizando el denominador del integrando se obtiene que
y 3 + 4y 2 + 4y = y(y 2 + 4y + 4) = y(y + 2)2 .
Se observa que el factor (y + 2) aparece dos veces, por lo que según el Teorema 2 existirá una suma de dos
términos para el término (y + 2)2
Luego:
2y 2 + 11y + 8
2y 2 + 11y + 8
A
B
C
=
= +
+
3
2
y + 4y + 4y
y(y + 2)2
y
y + 2 (y + 2)2
2y 2 + 11y + 8
A(y + 2)2 + By(y + 2) + C(y)
=
y(y + 2)2
y(y + 2)2
de donde:
2y 2 + 11y + 8 = A(y + 2)2 + By(y + 2) + C(y)
Aplicando el Teorema 3:
Si y = 0 entonces 8 = A(2)2 de donde A = 2
Si y = −2 entonces −6 = C(−2) de donde C = 3
Pueden ahora utilizarse los valores de A y C e igualar coeficientes para determinar el valor de B , o darle
a“ y ” otro valor (según Teorema 3) como se hace a continuación:
66
Si y = 1 entonces 21 = 2(3)2 + B · 1(3) + 3(1) de donde 21 = 18 + 3B + 3 y por último B = 0
Luego:
Z
2y + 11y + 8
dy
y 3 + 4y 2 + 4y
Z
2
dy +
y
Z
Z
3
dy
(y + 2)2
dy
+3
y
=
=2
=
= 2 ln |y| −
Z
(y + 2)−2 dy
3
+C
y+2
Ejemplo 32
=
Z
x3 − 1
dx
x2 (x − 2)3
En este caso el factor x se repite 2 veces y el factor (x − 2) lo hace 3 veces.
Luego
x3 − 1
A
B
C
D
E
= + 2+
+
+
− 2)3
x
x
x − 2 (x − 2)2
(x − 2)3
x2 (x
Ax(x − 2)3 + B(x − 2)3 + Cx2 (x − 2)2 + Dx2 (x − 2) + Ex2
x3 − 1
=
3
− 2)
x2 (x − 2)3
x2 (x
de donde:
x3 − 1 = Ax(x − 2)3 + B(x − 2)3 + Cx2 (x − 2)2 + Dx2 (x − 2) + Ex2
Por el Teorema 3:
Si x = 0 entonces −1 = B(−2)3 de donde B =
Si x = 2 entonces 7 = E(2) de donde E =
1
8
7
4
Daremos ahora otros valores a x para obtener ecuaciones que permitan calcular los valores de A, C y D .
Si x = 1 entonces 0 = −A +
o sea A − C + D = 78
Si x = 3 entonces 26 = 3A +
o sea A + 3C + 3D = 6
1
8
1
8
· (−1) + C − D +
+ 9C + 9D +
7
8
7
8
·9
20
1
Si x = −1 entonces −2 = 27A + 9C − 3D −
o sea 27A + 9C − 3D =
se tiene entonces el siguiente
8
2
sistema de ecuaciones.
13
8
27
A + 3C + D =
8
A−C +D =
27A + 9C − 3D =
−3
8
67
el cual se satisface para A =
3
−3
5
, C=
y D=
16
16
4
Luego:
Z
x3 − 1
dx
2
x (x − 2)3
Z
=
3
16
x
Z
dx +
Z
1
8
x2
dx 1
+
x
8
Z
dx +
Z
−3
16
Z
5
4
Z
dx +
=
=
3
16
=
=
1
3
5
7
3
ln |x| −
−
ln |x − 2| −
−
+C
16
8x 16
4(x − 2) 8(x − 2)2
x−2
7
4
dx
(x − 2)2
(x − 2)3
Z
Z
Z
3
dx
5
7
dx −
+
(x − 2)2 dx +
(x − 2)−3 dx
16
x−2 4
4
x−2
dx +