INTRODUCCIÓN:
Hasta ahora en clase, hemos analizado a todo lo relevante con vectores proyectados en un plano, pero
los vectores no solo son eso, es más los vectores pueden ser también expresados en el espacio y es así que
consultamos lo siguiente.
OBJETIVOS:
Los objetivos principales de este trabajo son aprender cuales son las formas de expresar un vector en el
espacio, así cuando ya las conozcamos aprender acerca de las características de los vectores en el espacio.
Tanto así que también existen objetivos secundarios los cuales pueden ser que a la larga aprendemos las
aplicaciones de los vectores en tres dimensiones para nuestra vida diaria.
VECTORES EN EL ESPACIO
En el espacio de tres dimensiones en el que vivimos, podemos construir un sistema de coordenadas
rectangulares utilizando tres ejes mutuamente ortogonales. El punto en el que estos ejes se cortan se llama
Origen.
El Sistema de coordenadas rectangulares utilizado en vectores espaciales es el siguiente:
Las coordenadas de este sistema son (0,0,0)
En este sistema de coordenadas, a un punto en el espacio se le asocia con una tercia de números (a,b,c), y a los
números a, b, c se les denomina " las coordenadas cartesianas " del punto P.
En este sistema, las coordenadas rectangulares son (1,2,3)
Este punto se localiza en la intersección de los planos x = a, y = b, z = c.
Las coordenadas de este sistema so (3,2,1)
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Octantes
Cada par de ejes coordenados determina un plano coordenado. El eje x y el eje y determinan el plano xy, el
eje x y el eje z determinan el plano xz, y el eje z y el eje y determinan el plano yz.
Estos planos coordenados dividen al espacio en ocho regiones llamadas octantes. El octante en el que las tres
coordenadas de un punto son positivas se denomina primer octante. No hay un acuerdo para denominar a los
otros siete octantes.
Distancia entre dos puntos:
La fórmula para la distancia entre dos puntos en el espacio es una simple extensión de la fórmula para la
distancia en el plano.
d(p1 , p2) = [(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2 ]1/2
Ejemplo:
P1=(1,2,3)
P2=(3,3,3)
Distancia ente puntos =2(3) ½
Adición y sustracción
La suma de vectores se define mediante la ley del paralelogramo, En general, un vector A en el espacio
tridimensional es cualquier tríada de números reales,
A= <a1, a2, a3>
en donde los números a1, a2, a3 se llaman componentes del vector . Ejemplo:
A=(4,2,3)
En términos de componentes, la suma de vectores se define como sigue:
Sean A= <x1, y1, z1> y B= <x2, y2, z2>, la suma de A y B se define como:
A+B = <x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2>
Ejemplo:
A= { 3, 2, 3} B= {2, 2, 0}
C= A+ B= {5, 4, 3}
La magnitud de un vector en términos de sus componentes.
Por el teorema de Pitágoras, tendríamos que:
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Sea A= <a1, a2,a3>,entonces A = ( a12 + a22 + a32 )1/2
Ahora definiremos otra operación, la multiplicación de un vector por un escalar.
Sea A= <a1, a2, a3> y k un escalar, entonces definimos la multiplicación por un escalar
como sigue:
kA = <k a1, k a2, k a3>
Ejemplo:
A= {4, 3, 2} kA = 1 / 4
C= k A= {1, 3 / 4, 1 / 2}
Obsérvese que kA es un vector con la misma dirección que si k > 0 y con dirección contraria si kA < 0.
La magnitud de k es |k|A || .
En virtud de lo anterior, el negativo de A es
−A = (−1) A
La sustracción o resta de vectores.
Se define la resta de vectores como: A − B= A+ (− B)
Las propiedades de la resta de vectores espaciales son las siguientes:
Los vectores unitarios i, j y k.
Cualquier vector dá origen a un vector con la misma dirección pero de magnitud 1.
Por las definiciones dadas anteriormente, cualquier vector
A= <a1, a2, a3>
se puede escribir en la forma
A= a1<1, 0, 0> + a2<0, 1, 0> + a3<0, 0, 1>
Definición:
Definimos los vectores unitarios
i = <1,0,0>
j = <0,1,0>
k = <0,0,1>
Entonces, por lo anterior, cualquier vector se puede expresar en la forma
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A = a1i + a2j + a3k
A los vectores a1i, a2, a3j se les llama vectores componentes.
Rotación de Véctores
Si quiere rotar un véctor [x, y, z] sobre el x−ejes, simplemente hay que multiplicarlo por el matriz:
|100|
| 0 cos(t) sin(t) |
| 0 −sin(t) cos(t) |
El resultado en este caso es el véctor:
[x, y*cos(t)−z*sin(t), y*sin(t)+z*cos(t)].
Sobre el y−ejes, multiplicarlo por:
| cos(t) 0 −sin(t) |
|010|
| sin(t) 0 cos(t) |
Y el z−ejes:
| cos(t) sin(t) 0 |
| −sin(t) cos(t) 0 |.
|001|
Hay que notar que hay un patrón y que hay un cambio de signos
en el caso del y−ejes. El "t" representa el ángulo de rotación.
Estas fórmulas son para rotar en sentido contrario a las agujas del reloj.
Se puede construir cualquier rotación de cualquier ejes en tres dimenciones con una combinación de los
matrices arriba.
CONCLUSIONES:
Creemos que dado el hecho que hemos analizado la mayor parte de vectores espaciales, hemos completado
aún más nuestros conocimientos sobre vectores, dado a que ahora no solo podemos realizar ejercicios acerca
de vectors en un plano, sino que ya podemos realizar otro tipo de ejrcicios como lo son los vectores en el
espacio.
BIBLIOGRAFÍA:
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El trabajo realizado fue obtenido de:
• http:\\www.cdj.itesm.mx
• http:\\www.vector3.es
• http:\\www.sisweb.com
• htttp:\\euler.ciens.ucv.es
• http:\\www.forum.swarthmore.edu
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