Esfuerzo y deformación
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José Alfredo Rivas Martínez A01370680 Mecánica de Materiales Maestro: Miguel Ángel Ríos Esfuerzo y deformación. Carga axial Capitulo 2 En este capítulo se consideraran las deformaciones que tienen lugar en dicho elemento estructural como una varilla, barra o placa sometida a carga axial. Primero se definirá la deformación normal 𝝐 en un elemento o también es conocida como la deformación normal unitaria o deformación del elemento por unidad de longitud. Respecto a ala grafica del esfuerzo 𝜎 contra la deformación 𝜖, a medida que la carga aplicada al elemento se incrementa se obtendrá el diagrama de esfuerzo deformación para el material utilizado. Gracias ah ese diagrama será posible determinar algunas propiedades importantes del material como el modulo de elasticidad y si el material es dúctil o frágil. Del diagrama esfuerzo deformación también se determinara si las deformaciones en la muestra desaparecerán después que la carga se haya retirado, en este caso se dice que el material se comporta elásticamente o si sería una deformación plástica o deformación permanente. También se estudiara el fenómeno de fatiga que causa que los componentes estructurales o de maquinas fallen después de un número muy grande de cargas repetidas aunque los esfuerzos permanezcan dentro del rango elástico. Deformación normal bajo carga axial Considere una varilla BC, de longitud L y con un Área uniforme de sección transversal A, si se aplica una carga P en el extremo C, la varilla se alargara. Al graficar la magnitud P de la carga contra la deformación total 𝜹 se obtiene un determinado diagrama de carga –deformación. La deformación unitaria normal = 𝝐 = 𝜹 𝑳 Es necesario definir la deformación unitaria en un punto dado Q considerando un pequeño elemento bajo la carga dada, la deformación normal en el punto Q se define como 𝝐 = 𝐥𝐢𝐦 ( ∆𝒙→𝟎 ∆𝜹 𝒅𝜹 )= ∆𝒙 𝒅𝒙 Como la deformación y la longitud se expresan en las mismas unidades la deformación normal 𝜖 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 𝛿 𝐿 es una cantidad adimensional. Diagrama esfuerzo-deformación Para obtener el diagrama esfuerzo-deformación de un material comúnmente se hace un ensayo o una prueba de tensión sobre una probeta del material. Los diagramas de esfuerzo-deformación de los materiales varían en forma considerable por lo que diferentes ensayos de tensión se elaboran. Sin embargo es posible distinguir algunas características comunes entre los diagramas esfuerzo-deformación de distintos grupos de materiales y dividir los materiales en dos amplias categorías con base a sus características materiales dúctiles y materiales frágiles. Los materiales dúctiles como el acero estructural se caracterizan por su capacidad de fluir a temperaturas normales. Al someter la probeta a una carga hay un alargamiento que hace que la grafica sea recta, no obstante después de alcanzar un valor crítico 𝜎𝛾 del esfuerzo la probeta experimenta una gran deformación La estricción es el fenómeno que por alargarse la probeta disminuye su diámetro. En el caso del aluminio y de muchos otros materiales dúctiles el inicio de la cedencia no se caracteriza por una porción horizontal de la curva de esfuerzodeformación. En estos casos el esfuerzo continúa aumentando aunque no linealmente hasta alcanzar la resistencia ultima. Una medida estándar de la ductilidad de un material es el porcentaje de alargamiento Porcentaje de alargamiento =100 𝐿𝐵−𝐿0 𝐿0 Otra medida de ductilidad que se emplea es: Porcentaje de reducción de área = 100 𝐴0 −𝐴 𝐵 𝐴0 Esfuerzo y deformación verdaderos La deformación unitaria elemental ∆𝜖 = ∆𝐿 𝐿 Sumando los valores sucesivos de ∆𝜖 se define la deformación unitaria real 𝜀𝑡=∑ ∆𝜖 =∑(∆𝐿/𝐿) Al remplazar la sumatoria por la integral 𝐿 𝑑𝐿 𝜖 t=∫𝐿𝑜 𝐿 𝐿 =In 𝐿𝑜 Ley de Hooke. Módulo de elasticidad La mayor parte de estructuras de ingeniería se diseñan para sufrir deformaciones relativas pequeñas, que involucran sólo la parte recta del diagrama de esfuerzo-deformación. El esfuerzo 𝜎 es directamente proporcional a la deformación 𝜖. 𝜎=𝐸𝜖 Esta relación se conoce como ley de Hooke, el coeficiente E se denomina módulo de elasticidad del material involucrado o modulo de Young. Cargas repetidas. Fatiga Cuando las cargas se repiten millares de veces, la fractura ocurrirá aun cuando el esfuerzo sea el más bajo que la resistencia estática a la fractura. La fatiga debe de ser considerada en el diseño de todos los elementos estructurales y de máquinas que se encuentran sometidas a cargas repetitivas. Deformaciones de elementos sometidos o carga axial Si en un material el esfuerzo axial resultante no excede el límite de proporcionalidad del material, se aplica la Ley de Hooke. 𝜎=𝐸𝜖 𝜎 𝑃 De donde sigue que 𝜖 = 𝐸 = 𝐴𝐸 𝐿 𝛿=∫ 0 𝑃𝑑𝑥 𝐴𝐸 Problemas estáticamente indeterminados Hay muchos problemas, sin embargo, en los cuales no es posible determinar las fuerzas internas producidas en las distintas porciones de un elemento bajo unas condiciones dadas de carga. Con el método de superposición se observa que una estructura es estáticamente indeterminada cuando está sostenida por más soportes de los necesarios para mantener su equilibrio. Problemas que involucran cambios de temperatura La deformación 𝜖 T=𝛼∆𝑇 se conoce como deformación unitaria térmica ya que es causada por el cambio de la temperatura en la varilla aquí no existe esfuerzo asociado con la deformación. Relación de Poisson Los esfuerzos normales de las caras perpendiculares a los ejes y & z son cero, en todo los materiales de ingeniería la elongación que produce una fuerza axial de tensión P en la dirección de la fuerza se acompaña de una contracción en cualquier dirección transversal. 𝛾=− 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑎𝑥𝑖𝑎𝑙 𝛾= − 𝜖𝑦 𝜖𝑧 =− 𝜖𝑥 𝜖𝑥 El uso de un signo menos en la ecuación es para obtener un valor positivo en nu las deformaciones axiales y laterales de todos los materiales en ingeniería tienen signos opuestos. Carga multiaxial. Ley de Hooke generalizada Considere ahora elementos estructurales sometidos a cargas que actúan en las direcciones de los tres ejes coordenados y que producen esfuerzos normales todos distintos de cero. Esta condición se conoce como carga multiaxial. Para expresar los componentes de la deformación 𝜖𝑥, 𝜖𝑦, 𝜖𝑧 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝜎𝑥, 𝜎𝑦, 𝜎𝑧 se considera por separado el efecto de cada componente de esfuerzo, el efecto de una carga combinada dada sobre una estructura puede obtenerse determinando en forma separada, los efectos de la distancia de cargas y combinando los resultados obtenidos, siempre que se cumplan las siguientes condiciones. 1. Cada efecto esta linealmente relacionado con la carga que lo produce. 2. La deformación resultante de cualquier carga dada es pequeña y no afecta las condiciones de aplicación de las otras cargas. 𝜖𝑥 = 𝜎𝑥 𝑣𝜎𝑦 𝑣𝜎𝑧 − − 𝐸 𝐸 𝐸 Dilatación. Módulo de elasticidad volumétrico En esta sección se examinará el efecto de los esfuerzos normales sobre el volumen de un elemento de material isotrópico. 𝜀= 1 − 2𝛾 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧) 𝐸 𝐸 Introduciendo la constante k=3(1−2𝛾) La constante k se conoce como el modulo de elasticidad volumétrico o modulo de compresibilidad del material, y se expresa en las mismas unidades que el modulo de elasticidad E, es decir, en pascales o en psi. 𝜀=− 𝜑 𝑘 Análisis adicional de las deformaciones bajo carga axial. Relación entre E,𝛾 𝑦 𝐺 Mientras un estudio más detallado de las transformaciones de la deformación se pospondrá hasta el capítulo 7, en esta sección se deducirá una relación entre la máxima deformación a corte 𝛾´ = 𝛾𝑚 Mientras un estudio más detallado de las transformaciones de la deformación se pospondrá. 𝐸 = 1+ 𝛾 𝐺 Distribución del esfuerzo y de la deformación bajo carga axial Se ha supuesto, hasta ahora, que en cualquier elemento cargado axialmente, los esfuerzos normales se encuentran distribuidos de manera uniforme en cualquier sección perpendicular al eje del elemento. Si las cargas se aplican en el centro de cada placa las placas se moverán una hacia la otra sin girar, acortando el elemento y aumentando su ancho y espesor. 1. La carga real y la utilizada para calcular los esfuerzos deben ser estáticamente equivalentes. 2. Los esfuerzos no pueden calcularse, de esta manera, en la cercanía inmediata de los puntos de aplicación de las cargas. Deben utilizarse métodos teóricos o experimentales avanzados para determinar la distribución de esfuerzos en estas áreas. Concentración de esfuerzos También ocurrirán concentraciones de esfuerzo cerca de las discontinuidades en elementos estructurales como agujeros o cambios repentinos en la sección transversal. La razón del máximo valor del esfuerzo que ocurre cerca de la discontinuidad sobre el esfuerzo promedio calculado en la sección crítica se conoce como el factor de concentración de esfuerzos de la discontinuidad y se denota con K: K= 𝜎𝑚𝑎𝑥 𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 Ferdinand, B. (2013). Mecánica de materiales. (pp. 41-108). McGrawhill.