¿Qué es una ecuación diferencial?

3. ECUACIONES DIFERENCIALES
(#1)
¿Qué es una ecuación diferencial?
Una ecuación diferencial (de primer orden) es una relación
funcional entre una función de una variable y su derivada.
dx
x ' t  
 f x t 
dt
En general, en las ecuaciones diferenciales que nosotros veremos
la tasa de cambio de una variable determinada será función
del valor de la propia variable.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES
(#2)
Resolución de ecuaciones diferenciales
 Resolución analítica. Algunas ecuaciones diferenciales
sencillas se pueden resolver analíticamente separando
variables y integrando.
dN
dN
 r N  
  r  dt  ln N  k1  r  t  k 2
dt
N
ln N  r  t  ln N0  Nt  N0  e
r t
3. ECUACIONES DIFERENCIALES
(#3)
Resolución de ecuaciones diferenciales
 Resolución numérica. En otros casos la resolución analítica no
es posible y hay que recurrir a métodos numéricos iterativos.
 Método de Euler
dy
 f t , y , y t 0   y 0
dt
y k 1  y k  f t k , y k   t
 Método de Runge-Kutta (más eficiente).
3. ECUACIONES DIFERENCIALES
(#4)
Ejemplo 3.1: Métodos iterativos
- Haz un programa en R para calcular el crecimiento exponencial
de una población con tamaño inicial N0 y tasa instantánea de
crecimiento r.
- Idem, pero suponiendo que la tasa de crecimiento varía
estocásticamente (media = rm, varianza = rv)
Trabajar por parejas.
Tiempo disponible: 20 minutos.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES
(#5)
Ejemplo 3.2: Métodos iterativos
Utiliza el método de Euler para estimar el tamaño de una
población que crece según la ley logística con r = 0.1 año-1, K =
1000 ind. y N0 = 10 ind. Investiga el efecto del intervalo
temporal utilizado sobre la precisión de las estimas obtenidas.
Trabajar por parejas.
Tiempo disponible: 30 minutos.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES
(#6)
Ejemplo 3.3: sistemas de ecuaciones diferenciales.
El sistema depredador-presa
Utiliza un programa para analizar la dinámica de un sistema depredadorpresa en que el depredador solo se alimenta de dicha presa y la presa es
también consumida únicamente por este depredador. Considera
inicialmente unas tasas instantáneas de crecimiento de 0.5 año-1 y -0.25
año-1 para la presa y el depredador, respectivamente; unas tasas de
interacción de 0.01 ind-1·año-1 para el efecto del depredador sobre la
presa y de 0.005 ind-1·año-1 para el efecto inverso; y unas poblaciones
iniciales de 200 presas y 50 depredadores.
Trabajar por parejas.
Tiempo disponible: 45 minutos.
3. ECUACIONES DIFERENCIALES
(#7)
Modelos de compartimentos y flujos (capítulo 12 EcN)
E
C1
F12  g1  C1
F23  g 2  C2
F31  g 3  C3
V
S
dV
 E  S  E  k V
dt
C2
C3
dC1
 g 3  C3  g1  C1
dt
dC2
 g1  C1  g 2  C2
dt
dC3
 g 2  C2  g 3  C3
dt
3. ECUACIONES DIFERENCIALES
(#8)
Ejemplo 3.4: el ciclo global del carbono (Applet 15.2)
COMPARTIMENTOS
(unidades: Pg C o 1015 g C)
C1: ecosistemas terrestres
C2: atmósfera
C3: océano superficial
C4: océano profundo
C5: reserva de combustibles fósiles (rocas)
FLUJOS
primer subíndice: compartimento donante
segundo subíndice: compartimento receptor
(unidades: Pg C·año–1 o 1015 g C·año–1)
F12 = 0,0200 · C1
F21 = 16,2 · (C2)0,2
F23 = 0,143 · C2
F32 = 10–25 · (C3)9,0
F34 = 0,045 · C3
F43 = 0,00129 · C4
(Rodhe & Björkström, 1979)
3. ECUACIONES DIFERENCIALES
(#9)
Ejemplo 3.4: el ciclo global del carbono
Estimar la evolución en la concentración
de CO2 en la atmósfera y en la
temperatura superficial de la Tierra a lo
largo del siglo XXI a partir del modelo
de Rodhe & Björkström (1979)
incorporando diversos escenarios de
quema de combustibles fósiles.
Trabajar por parejas.
Tiempo disponible: 25 minutos.
(Rodhe & Björkström, 1979)