Variables aleatorias continuas y Teorema Central del Limite

Variables aleatorias continuas y Teorema
Central del Limite
FaMAF
17 de marzo, 2015
Variables aleatorias continuas
Definición
Una variable aleatoria X se dice (absolutamente continua) si existe
f : R 7→ R con f ≥ 0, tal que
Z
P(X ∈ C) =
f (x) dx.
C
Ejemplos:
I
Uniforme: X ∼ U(a, b)
I
Normal: X ∼ N (µ, σ)
I
Exponencial: X ∼ E(λ).
I
Otras: " distribuciones derivadas de la normal": χ2 , t-Student.
I
Otras: Gamma, Beta, Weibull, Cauchy, Laplacian, etc.
Distribución uniforme
Definición
X se dice uniformemente distribuida en (a, b) si su función de
densidad está dada por
(
1
a<x <b
1
f (x) =
I(a,b) (x) = b−a
b−a
0
c.c.
I
Función de distribución acumulada:


x ≤a
0
x−a
F (x) = b−a a < x < b


1
x ≥b
I
E[X ] =
I
a+b
.
2
1
Var (X ) =
(b − a)2 .
12
Gráficos
f (x) =
1
I(3,5) (x)
2
F (x) =


0
x−3
 2

1
x ≤3
3<x <5
x ≥5
Maximo de uniformes
Sean X1 , X2 , . . . , Xn v.a. independientes con f.d.a. F1 , F2 , . . . , Fn , y
sea
M = max {X1 , X2 , . . . , Xn }
1≤i≤n
.
Entonces
FM (t) =
n
Y
Fi (t).
i=1
Esto se prueba observando que en general si M es un maximo de
variables independientes
FM (x) = P(M ≤ x) = P(X1 ≤ t, · · · , Xn ≤ t) = (F1 (x)) · · · (Fn (t))
Si ademas Xi ∼ U(a, b), entonces
FM (t) =
tn
I[a,b] (t) + 1I(b,∞ (t).
(b − a)n
Distribución exponencial
Definición
Una v.a. X con función de densidad dada por
fλ (x) = λ e−λx ,
x > 0,
para cierto λ > 0 se dice una v.a. exponencial con parámetro λ.
1
λ
I
E[X ] =
I
Var(X ) =
1
λ2
Función de densidad
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
20
25
Propiedades
Una variable aleatoria con distribución exponencial X ∼ E(λ) tiene
I
F (x) = 1 − exp(−λx), x > 0.
I
c > 0, c X ∼ E( 1c λ).
I
falta de memoria.
P(X > s + t | X > s) = P(X > t).
Las variables exponenciales son las únicas v.a. continuas con
falta de memoria. El análogo en el caso discreto son las v.a.
geométricas.
Mínimo de exponenciales
Sean X1 , · · · , Xn v.a. independientes con f.d.a. F1 , · · · , Fn , y sea
m = min {X1 , X2 , . . . , Xn } .
1≤i≤n
Entonces
n
Y
Fm (t) = (1 − (1 − Fi (t))).
i=1
Esto se prueba observando que en general si m es un minimo de
variables independientes
1 − Fm (t) = P(m > t) = (1 − F1 (t)) · · · (1 − Fn (t)).
Si ademas Xi ∼ E(λi ), entonces
P
1 − Fm (x) = e−λ1 x · e−λ2 x . . . e−λn x = e−(
P
Por lo cual m ∼ E( i λi )
i
λi ) x
.
Distribución Normal
Definición
La v.a. X se dice normalmente distribuida con media µ y varianza σ 2
si su función de densidad de probabilidad está dada por
f (x) = √
1
2πσ
e−(x−µ)
2
/2σ 2
,
x ∈ R.
I
µ ∈ R, σ > 0.
I
Notación: X ∼ N(µ, σ).
I
Distribución normal estándar: Z ∼ N(0, 1).
2
1
fZ (x) = √ e−x /2 ,
2π
x ∈ R.
Variando µ
I
Máximo: x = µ
I
Valor Máximo: √
I
I
1
√
' 0.398
2π
1
√
' 0.2
2π 2
1
2πσ
Variando σ
La desviación estándar
I
P(|X − µ| < σ) ' 68%
I
P(|X − µ| < 2σ) ' 95%
I
P(|X − µ| < 3σ) ' 99.7%
Distribución Normal estándar
1
Φ(x) = P(Z ≤ x) = √
2π
Z
x
e−t
2
/2
−∞
I
No existe una fórmula cerrada para Φ(x).
I
Si X ∼ N(µ, σ), entonces
aX + b ∼ N(aµ + b, |a|σ).
I
I
X −µ
∼ Z = N(0, 1).
σ
Si X ∼ N(µ, σ),
P(X ≤ x) = Φ
x −µ
σ
.
dt.
La función Φ(x)
P(X ≤ 2) = P(Z ≤ 1) = Φ(1).
Valores de Φ(x)
I
Para α ∈ (0, 1), zα es el número real tal que
P(Z > zα ) = α.
I
Los valores de Φ(z) están tabulados:
Φ(zα ) = P(Z ≤ α) = 1 − α
I
Φ(−z) = 1 − Φ(z), por lo tanto es suficiente tabular para z ≥ 0, o
z ≤ 0.
Tabla de Φ(z)
Z ∼ N(0, 1)
P(Z ≤ 1.51) = 0.93448
z
0
..
.
1.5
..
.
0.00
0.5
0.01
0.50399
0.02
0.50398
0.03
0.51197
0.93319
0.93448
0.93574
0.93699
Valores usuales de zα
I
α = 0.05
I
zα = 1.64
P(−1.64 ≤ Z ≤ 1.64) = 0.90
Valores usuales de zα
I
α = 0.025
I
zα = 1.96
P(−1.96 ≤ Z ≤ 1.96) = 0.95
Valores frecuentes de zα
I
α = 0.01
I
zα = 2.33
P(−2.33 ≤ Z ≤ 2.33) = 0.98
Desigualdad de Chebyshev
Lema (Desigualdad de Markov)
Si X toma sólo valores no negativos y a > 0, entonces
P(X ≥ a) ≤
E[X ]
.
a
Teorema (Desigualdad de Chebyshev)
Si X es v.a. con media µ y varianza σ 2 , entonces para k > 0
P(|X − µ| ≥ k σ) ≤
1
.
k2
Leyes de los grandes números
Si X1 , X2 , . . . , Xn , . . . son v.a. independientes e idénticamente
distribuidas, con media µ:
I
I
Ley débil de los grandes números:
X1 + X2 + · · · + Xn
− µ > → 0
P n
Ley fuerte de los grandes números:
Con probabilidad 1 se cumple que:
lim
n→∞
X1 + X2 + · · · + Xn
= µ.
n
n → ∞.
LGN
número de caras−número de cecas
frecuencia relativa=proporción de caras
100
0.7
80
0.6
60
0.5
40
0.4
20
0.3
0
0.2
−20
0.1
−40
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
N=cantidad de tiradas
7000
8000
9000
0
10000 −1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
N=cantidad de tiradas
7000
8000
9000
10000
Teorema Central del límite
Teorema (Teorema Central del Límite)
Sean X1 , X2 , . . . , variables aleatorias igualmente distribuidas, con
media µ y varianza σ 2 . Entonces
X1 + X2 + · · · + Xn − nµ
√
lim P
< x = Φ(x).
n→∞
σ n
Muestra finita
51 intervalos
25 intervalos
5
7
6
4
5
3
4
2
3
2
1
0
1
80
90
100
110
0
80
15 intervalos
100
110
10 intervalos
12
12
10
10
8
8
6
6
4
4
2
0
90
2
80
90
100
110
0
80
90
100
110
Teorema Central del límite
Ejemplo
Supongamos que un programa suma números aproximando cada
sumando al entero más próximo. Si todos los errores cometidos son
independientes entre sí y están distribuidos uniformemente entre -0.5
y 0.5 y se suman 1500 números, ¿A lo sumo cuántos números
pueden sumarse juntos para que la magnitud del error total se
mantenga menor que 10 con probabilidad 0.9?
Resolución
Cada error cometido es una variable aleatoria εk con distribución
U[−0.5, 0.5]
E(εk ) = [0.5 + (−0.5)]/2 = 0
Definamos Sn =
para el cual
Pn
k =1 εk ,
Var (εk ) = (0.5 − (0.5))2 /12 = 1/12
si deseamos encontrar el n más grande
0.9 = P(|Sn | < 10)
p
Usando el TCL [S1500 − nE(ε)]/ nVar (ε) ∼ N(0, 1)
P(|Sn | < 10) = P
−10 − nE(ε)
Sn − nE(ε)
10 − nE(ε)
p
≤ p
≤ p
nVar (ε)
nVar (ε)
nVar (ε)




−10
10
−10
= P  q ≤ Z ≤ q  = 1 − 2P Z ≤ q 
n
12
n
12
n
12
!
Resolución
por lo cual




−10
−10
0.9 = 1 − 2P Z ≤ q  =⇒ P Z ≤ q  = 0.05
n
12
n
12
−10
y√
= −1.65. Entonces, despejando resulta n =
n
12
102 12
1.652
= 440.7.
Teorema Central del límite
Ejemplo
Suponga que se tienen 100 lámparas de un cierto tipo, cuya duración
puede modelarse como una variable exponencial de parámetro
λ = 0.002. Si la duración de cada lámpara es independiente de la
duración de las otras, encuentre la probabilidad de que el promedio
muestral T = (1/100)(T1 + · · · + T100 ) se encuentre entre 400 y 550
horas.
Resolución
Como n es 100, podemos suponerlo suficientemente grande y
aproximar la distribución del promedio por una normal. La
esperanza y varianza de Sn = T1 + · · · + Tn son
E(Sn ) = E(T1 + · · · + T100 ) = 100.E(T1 ) =
100
= 50000
0.002
Var (Sn ) = Var (T1 + · · · + T100 ) = 100.Var (T1 ) =
100
0.0022
P(400 ≤ (1/100)T1 +· · ·+T100 ≤ 550) = P(40000 ≤ T1 +· · ·+T100 ≤ 55000)
∼
=
p
p
Φ(55000 − E(Sn )/ Var (Sn )) − Φ(40000 − E(Sn )/ Var (Sn ))
Φ(55000 − 50000/5000) − Φ(40000 − 50000/5000)
=
Φ(1) − Φ(−2) = 0.8413 − 0.0228 = 0.8185