OBJETIVOS El propósito de este cuadernillo es que puedas

NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
OBJETIVOS
El propósito de este cuadernillo es que puedas recordar conocimientos básicos
de matemáticas y su aplicación en el estudio de los números naturales.
Al avanzar en las actividades de estudio descubrirás algunas curiosidades
haciendo operaciones con números; verás la importancia de escribir las
operaciones de modo que quede claro el orden en que deben resolverse;
adquirirás mayor fluidez en los cálculos, mentales o por escrito; ampliarás tus
conocimientos acerca de los diferentes significados de las fracciones como
partes de un todo o bien relacionadas con la operación de división, las formas de
escribirlas y operar con ellas.
TEMARIO
1) Concepto de número: Recta numérica y orden. Valor absoluto. Operaciones de
adición, sustracción, multiplicación y división. Operaciones combinadas.
Supresión de paréntesis, corchetes y llaves. TP N° 1.
2) Ecuaciones: Resolución de ecuaciones de primer grado.
Transposición de
términos. Problemas. TP N° 2.
3) Potenciación y radicación de números enteros: Propiedades. Resolución de
ejercicios. TP N° 3.
4) Números racionales: Fracciones equivalentes. Reducción de fracciones.
Operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división. Problemas. TP N°
4.
A partir de aquí comienza tu tarea con las actividades de esta nivelación. Vas a
usar conocimientos ya adquiridos para resolver nuevas situaciones que te
permitan repasar tus ideas acerca del uso de los números y el significado de las
operaciones, para resolverlas en forma ordenada y para poder recurrir a tus
respuestas cuando necesites revisarlas.
BIENVENIDOS…
Ing. Carina Martínez
Página 1 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
1 - CONCEPTO DE NÚMERO
El concepto de número ha estado con el hombre desde hace miles de años, desde los
números naturales hasta el de los número complejos. Con los números expresamos
cantidades y también medidas pudiendo además operar con ellos.
Un número es una entidad abstracta que representa una cantidad. El símbolo de un
número recibe el nombre de numeral o cifra.
Los números más conocidos son los Números Naturales, que se usan para contar.
Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto de los
Enteros. Cocientes de enteros generan los números Racionales. Si se incluyen todos
los números que pueden expresarse con decimales pero no con fracciones de enteros,
Irracionales, se habla entonces de los números Reales; si a éstos se les añaden los
Números Complejos, se obtendrán todos los números necesarios para resolver
cualquier ecuación algebraica.
Números Naturales: N = {1,2,3,…}
Números Enteros: Z = {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
Números Racionales: Q = {x : x = a/b, donde a, b son enteros; con b distinto de 0}
Números Irracionales: números reales que no son racionales.
RECTA NUMÉRICA Y ORDEN
Para representar los números se construye una recta numérica escogiendo primero un
punto en la recta que será un punto arbitrario al que se le llamará cero (0). Este punto
es llamado el origen de la recta numérica. El origen separa la recta en dos partes, el
lado positivo y el lado negativo. A la derecha del origen está el lado positivo y el
negativo está a la izquierda. En el lado derecho van números enteros positivos en
orden sucesivo y en el lado izquierdo se escriben los números enteros negativos en
orden sucesivo.
Los números positivos se indican con el signo + o sin él. (Ejemplo 3 y +3 es la misma
cantidad); los números negativos con el signo - (Ejemplo: -3).
Se emplean los símbolos igual o menor que ≤, igual o mayor que ≥ para la ordenación
de los números enteros.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
La recta numérica es un gráfico de una línea horizontal en la que los números enteros
son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente.
Para representar estos números se seguirán los siguientes pasos:
1) Trazar una recta horizontal y cortarla en un punto, que será el punto cero (0).
2) En un segmento tomado como unidad, dar cortes en la recta horizontal.
Ing. Carina Martínez
Página 2 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
3) Cada corte dado en la recta representa un número entero. Los situados a la
derecha del cero serán los enteros positivos y los situados a la izquierda serán
los enteros negativos.
Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la
recta incluye todos los números reales, continuando hasta infinito en cada dirección.
Las flechas en los extremos de la recta sugieren que la línea continúa indefinidamente
en las direcciones positiva y negativa.
Comparación de números enteros
Cualquier número positivo es mayor que cualquier número negativo. Ej: +8 > - 3
De dos números negativos, es mayor el que tiene menor valor absoluto. Ej: - 2 > - 4
El cero es mayor que cualquier número negativo. Ej: 0 > - 6
Un número es mayor cuanto más a la derecha de la recta numérica esté situado.
VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto de un número es la distancia que hay desde este número al cero. Es
equivalente a escribir el número sin el signo. Se indica escribiendo el número entre dos
barras.
|− 3| = 3 Se lee “Valor Absoluto de menos tres es igual a tres”.
|+ 5| = 5 Se lee “Valor absoluto de mas cinco es igual a cinco”.
El valor absoluto de un número se calcula de la siguiente manera:
Si el número es negativo, se convierte a positivo
Si el número es cero o positivo, queda igual
|7| = 7
|-7| = 7
|4| = 4
|-4| = 4
OPERACIONES: ADICIÓN
Suma de números enteros del mismo signo. Para sumar números enteros del
mismo signo, se suman los valores absolutos, y se deja el mismo signo.
( +3) + ( +2 ) = +5
( -4 ) + ( -6 ) = -10
( +7 ) + ( +5 ) = +12
( -1 ) + ( -6 ) = -7
Suma de números enteros de distinto signo. Para sumar números enteros de
distinto signo, se restan los valores absolutos y se coloca el signo del que tiene mayor
valor absoluto.
( -3 ) + ( +5 ) = +2
Ing. Carina Martínez
( +6 ) + ( -8 ) = -2
Página 3 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Propiedades de la suma de números enteros
El orden de los sumandos no cambia el resultado de la suma.
Conmutativa ( -3) + ( -7 ) = -10
( -7 ) + ( -3 ) = -10
Si se tienen varios sumandos, pueden asociarse como se quiera, sin
que varíe el resultado.
Asociativa
[ ( -2) + ( +5)] + ( -8) = [ +3 ] + ( -8 ) = -5
( -2 ) + [ ( +5 ) + ( -8 ) ] = ( -2 ) + [ -3 ] = -5
El elemento neutro de la suma de números enteros es el cero (0) ya
que si se suma cero a cualquier número el resultado es el mismo
Elemento
número.
neutro
( +8 ) + 0 = +8
( -5 ) + 0 = -5
Dos números enteros son opuestos cuando tienen el mismo valor
Elemento
absoluto y distinto signo. Al sumarlos da el elemento neutro (0).
opuesto
( +3 ) + ( -3 ) = 0
( -7 ) + ( +7 ) = 0
OPERACIONES: SUSTRACCIÓN
Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo.
( +8 ) – ( +5 ) = ( +8 ) + ( -5 ) = +3
( -1 ) – ( -8 ) = ( -1 ) + ( +8 ) = +7
( -6 ) – ( +5 ) = ( -6 ) + ( -5 ) = -11
( +4 ) – ( -5 ) = ( +4 ) + ( +5 ) = +9
Se propone una estrategia que da muy buen resultado: Puede asociarse el signo
(+) a la idea de tener dinero y el (-) a deber dinero.
OPERACIONES: MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN
REGLA DE LOS SIGNOS
El signo del resultado de una multiplicación (o división) de dos enteros depende de qué
signos tengan estos:
El producto de signos iguales es positivo. El producto de signos contrarios es negativo.
El cociente de signos iguales es positivo. El cociente de signos contrarios es negativo.
4 x 4 = 16
-4 x -4 = 16
4 x -4 = -16
-4 x 4 = -16
7 : -7 = -1
-12 : -3 = 4
Ing. Carina Martínez
Página 4 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
OPERACIONES COMBINADAS
Suma y Resta
9−7+5+2−6+8−4=
Comenzando por la izquierda, se reúnen los positivos y los negativos
9+5+8+2−7−6−4=
Se suman positivos y negativos para obtener el resultado
24 − 17 = 7
Sumas, restas y productos
3·2−5+4·3−8+5·2=
Se separan términos y resuelven primero los productos
= 6 − 5 + 12 − 8 + 10 =
Se efectúan las sumas y restas
= + 12 + 10 + 6 − 5 − 8 = 15
28 − 13 = 15
Sumas, restas, productos y divisiones
10 : 2 + 5 · 3 + 4 − 5 · 2 − 8 + 4 · 2 − 16 : 4 =
Se separan términos y realizan los productos y cocientes en el orden en el que se
encuentran
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 =
Efectuando las sumas y restas
= 5 + 15 + 4 − 10 − 8 + 8 − 4 = 10
= 5 + 15 + 4 + 8 − 10 − 8 − 4 = 10
= 32 − 22 = 10
SUPRESIÓN DE PARÉNTESIS, CORCHETES Y LLAVES
Como reglas generales se utilizarán las siguientes:
1) Cuando no hay paréntesis, corchetes ni llaves, se separan términos y se
resuelven primero las multiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios
números positivos y negativos se agrupan y después se suman.
2) Cuando hay paréntesis, se hacen primero los cálculos del paréntesis y después
para quitar el paréntesis se aplica la regla de los signos: signo que haya delante
del paréntesis por signo que haya dentro. Luego como en el punto 1.
3) Cuando hay paréntesis, corchetes y llaves se resuelven primero los paréntesis, se
quitan aplicando la regla de los signos. Después los corchetes y por último las
llaves. Luego se realizan los productos y divisiones y finalmente las sumas.
4) Los signos + al principio del polinomio no se colocan.
5) Cuando se suprime un paréntesis que lleva delante el signo menos (-), se
cambian todos los signos del interior del paréntesis.
6) Sumar por separado los enteros positivos, y por otro los enteros negativos, y
hallar el resultado entre ambos.
Supresión de paréntesis:
(15 − 4) + 3 − (12 − 5 · 2) + (5 + 16 : 4) −5 + (10 − 23)=
Se efectúan en primer lugar las operaciones contenidas en ellos
Ing. Carina Martínez
Página 5 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
= (15 − 4) + 3 − (12 − 10) + (5 + 4) − 5 + (10 − 8 )=
Se quita el paréntesis cambiando los signos según corresponda
= 15 − 4 + 3 − 12 + 10 + 5 + 4 − 5 + 10 − 8
= 15 + 3 + 10 + 5 + 4 + 10 − 4 − 12 − 5 − 8
= 47 − 29 = 18
Supresión de paréntesis y corchetes:
[15 − (23 − 10 : 2 )] · [5 + (3 ·2 − 4)] − 3 + (8 − 2 · 3 ) =
Primero se opera con las operaciones de los paréntesis
= [15 − (8 − 5 )] · [5 + (6 − 4 )] − 3 + (8 − 6 )
Se realizan las sumas y restas de los paréntesis
= [15 − 3] · [5 + 2] − 3 + 2
= [12] · [7] − 3 + 2
Se opera con los corchetes
= 12 · 7 − 3 + 2
Se multiplica
= 84 − 3 + 2
= 84 + 2− 3
= 86 − 3
= 83
Supresión de paréntesis, corchetes y llaves:
14 − {7 + 4 · 3 - [(-2.2) · (- 12)]}
Primero se trabaja con las operaciones de los paréntesis, luego con los corchetes y por
último se resuelven las llaves
14 − {7 + 4 · 3 - [(-4) · (-12)]} =
14 − {7 + 4 · 3 - 48} =
14 − {7 + 12 - 48} =
14 − 7 - 19 + 48 =
14 + 48 – 7 - 19 =
62 – 19 =
=43
La supresión de paréntesis, corchetes y llaves se realiza considerando que:
Si va precedido del signo +, se suprimirá manteniendo su signo los términos que
contenga.
Si va precedido del signo −, se cambiará de signo a todos los términos que contenga.
Ing. Carina Martínez
Página 6 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
TRABAJO PRÁCTICO N° 1
1)
2)
Representar en la recta numérica los siguientes números enteros: 0, +4, -3, +5.
Representar en la recta numérica los siguientes números enteros: -2, -4, +3,
+1, -4.
3) Añadir a cada número su correspondiente opuesto.
+38
+12
-1
+10
-224
+3.657
4)
Escribe en orden de menor a mayor, todos los números enteros comprendidos
entre:
a) -3 y +5 b) - 7 y 0 c) -2 y +6
5) Ordena de mayor a menor los siguientes números, y después represéntalos en
la recta numérica: +3, -2, +5, -1, +2, 0.
6) Escribe los números enteros comprendidos entre:
a) - 3 <...........................................< +1
c) 0 < ............................................< + 4
d) - 2 < .........................................< + 2
7) Completar la siguiente tabla:
Valor Absoluto
Resultado
|+10|
|−8|
10
Se lee
Valor absoluto de mas 10 es igual a 10
7
7
|−9|
Valor absoluto de menos 15 es igual a 15
8)
Hallar el número que tiene valor absoluto 7 y está situado entre –8 y – 6.
Indicar el valor absoluto:
9) | +3| =
12) | -15 | - | -2 | =
10) | -4 | =
13) | +5 | - | -2 | + 2. | -5 | =
Realizar las siguientes sumas:
15) ( +10) + ( +5 ) =
18) ( -8 ) + ( -5 ) =
21) ( -4 ) + ( -6 ) =
16) ( +4 ) + ( -6 ) =
19) ( -10 ) + ( -5 ) =
22) ( -4 ) + ( +10 ) =
Realizar las siguientes sumas:
24) ( +8) + ( +12 ) + ( -23 ) + ( -7 ) =
26) ( -5 ) + ( -12 ) + ( +7 ) + ( +3 ) =
11) | +7 | - | -2 | =
14) | -2 | + 3: | -1 | - | -4 | =
17) ( +30) + ( -70 ) =
20) ( -25 ) + ( +35 ) =
23) ( -15 ) + ( -4) =
25) ( +7 ) + ( -2 ) + ( +13 ) + ( -8 ) =
27) ( +15 ) + ( -4 ) + ( +1 ) + ( -3 ) + ( -6 ) =
28) Expresar la siguiente situación como suma de números enteros y resolver: Un
autobús sale de la estación con 19 pasajeros; en la primera parada bajan 8 y
suben 12; en la segunda bajan 14 y suben 16, y en la tercera bajan 23 y suben
7. ¿Cuántos viajeros lleva ahora el autobús?
Ing. Carina Martínez
Página 7 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Realizar las siguientes restas:
29) (-2) – ( -7) =
32) ( +10 ) - ( +15 ) =
30) -12 – ( - 4) =
33) ( -18 ) – ( +25 ) =
31) ( -30 ) – ( -25 ) =
34) (-8) - (-9) - (+5) =
35) En Etiopía se localiza el lugar más caluroso del mundo con una temperatura
media anual de 34 ºC. En la Antártida está el sitio más frío con una
temperatura media anual de -58º C. ¿Cual es la diferencia de temperatura
entre uno y otro lugar?
Multiplicar y dividir utilizando la regla de los signos:
36) ( -5 ) · ( +4 ) =
37) ( +1 ) · ( +8 ) =
38) ( +48 ) : ( +6 ) =
39) ( -100 ) : ( +25 ) =
Suprimir paréntesis y efectuar las operaciones:
40)
41)
42)
43)
44)
45)
46)
47)
48)
- 25 – ( 5 –8 – 10 )
+5 - ( 4 + 3 ) - ( -3 – 8 )
- ( 10 + 8 – 3 ) + 24
25 + ( -10 – 8 ) + 3
(-2) · (3) - (6) : (-2) - (-5)
(-30) : (-10) - (-2) · (-2) - (-4) · (1)
(-2) · (-3) · (4) - (-2) : (-1) - (-2)
(-50) : (-2) - (-3) · (-2) + (-4) · ( 5)
-(8–3+5–1)+(-8–3+9)–(-1+5–2)
Suprimir paréntesis y corchetes y efectuar las operaciones:
49)
50)
51)
52)
53)
54)
55)
56)
57)
18 + [ 9 – ( -3) + 5 ]
- 22 + [ 12 – ( 8 – 14 ) ] + 2
- [ 5 – ( 9 + 2 ) + (3 – 7 ) ] – 6
9–[-5+(-5+7)–(-6–3)]
2 [(4 – 3) – (5 – 9 – 2) + (7 – 4)]
- 32 + ( 15 – 9 ) – [ - 4 + 15 + ( - 8 ) ]
[ ( + 3 ) – ( - 5 ) + ( - 7 ) ] – [ ( + 2 ) – ( - 10 ) ]
( +3 ) · ( -2 ) - [ ( -1 ) · ( -2 ) - ( +4 ) : ( -2 ) ] - ( -2 )
4 - [ 60 : ( 12 – 2 + 5 ) + ( -2 + 5 ) . ( -2 ) – 12 : ( 6 – 4 ) ]
Suprimir paréntesis, corchetes y llaves y efectuar las operaciones:
58)
59)
60)
61)
62)
63)
64)
65)
{ ( -4 ) · [ ( -3 ) + ( -2 ) : ( -1 ) ] - ( -3 ) · ( -2 ) }
15 - { 2 - [ 9 + ( 5 - 1 ) - ( 2 + 8 - 9 ) + 6 ] - 7 } +8
{ 12 + 12 - [ 5 + 1 - 2 + ( 2 - 4 + 8 - 2 )] - 3} - 3
26 + { 5 - [ 1 - ( 4 - 2 ) + 7 ] + ( 6 - 1 + 3 ) } + 4
-3 ( 4 – 6 ) – 2 { 5 [ 3 – 5 ( -7 + 5 ) – 3 ] }
4 – 2 { 3 [ 5 – 2 ( 5 – 6 ) – 7 ] + 10 } + 17
7 . 4 - { [ -2 – ( -2 . 2 + 4) – 12 ] – 4 . ( -1 ) }
{ [–(2 – 5) + (–3) (–2 + 3)] : [(–5) (6 + 3) ] } – 4
Ing. Carina Martínez
Página 8 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ejercicio
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
Respuesta
-20
8
8
-4
-12
9
9
10
2
3
Ing. Carina Martínez
Ejercicio
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
Respuesta
24
-1
-13
35
-2
4
3
20
-29
-11
Ejercicio
56
57
58
59
60
61
62
63
64
Respuesta
-8
12
-2
46
10
37
-94
1
38
Página 9 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
2 - ECUACIONES
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Una ecuación es una igualdad que sólo se verifica para valores definidos de una
variable, generalmente llamada x. Resolver una ecuación consiste en hallar los valores
de x que hacen verdadera la igualdad.
TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS
La transposición de términos es una técnica que permite resolver ecuaciones de
manera sencilla. Con esta técnica se agrupan en un miembro todos los términos con x,
y en otro, los términos independientes.
Importante:
Si un elemento está sumando en un miembro pasa al otro restando. Si está
restando pasa sumado.
Si un número multiplica a todos los elementos de un miembro pasa al otro
dividiendo y si los divide pasa multiplicando.
Ejemplos:
6x – 10 = x + 5
6x – x = 5 + 10
(Agrupar los términos con x a uno de los lados de la igualdad y
aquellos sin x del otro)
5x = 15 (Resolver la igualdad)
x = 15/5 (Despejar x y resolver)
x=3
Otro ejemplo sencillo:
4x - 7 = 2x + 1
4x - 2x = 1 + 7
2x = 8
x=4
Verificación:
A fin de comprobar la validez de la solución se sustituye x por 4 en la ecuación y se
calcula el valor de cada miembro. Si los valores así obtenidos son iguales, la solución
es correcta. Para el ejemplo anterior la comprobación es:
Primer miembro: 4. 4 - 7 = 16 - 7 = 9
Segundo miembro: 2. 4 + 1 = 8 + 1 = 9
Por lo tanto, x = 4 es la solución de la ecuación dada.
Ing. Carina Martínez
Página 10 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
PROBLEMAS:
Una de las aplicaciones más importantes de las ecuaciones es la de resolver
problemas de la vida cotidiana.
Ejemplos:
1) El hermano mayor de una familia con tres hermanos tiene 4 años más que el
segundo y este 3 más que el menor. Si entre todos tiene la edad del padre que tiene 40
años ¿qué edad tiene cada hermano?
Para resolver estos problemas se debe elegir algún valor desconocido para llamarle
"x". En este caso:
x = edad del hermano menor.
A partir de esto expresar los datos del problema y plantear una igualdad (ecuación) con
ellos:
x + 3: edad del hermano mediano
x + 3 + 4 = x + 7 edad del hermano mayor
Ecuación: suma de las edades de los hermanos = 40, por lo tanto: x + x+3 + x+7 = 40
Resolviendo la ecuación se obtiene x = 10; luego la solución del problema es:
Edades de los tres hermanos: 10, 13 y 17 años
2) Juan tiene el doble de dinero que Luis y entre los dos tienen $123 ¿Cuánto dinero
tiene Luis?
x: dinero de Luis
2x: dinero de Juan
2x + x = 123
3x = 123
x = 123/3
x = 41
Luis tiene $41
Ing. Carina Martínez
Página 11 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
TRABAJO PRÁCTICO N° 2
Resolver las siguientes ecuaciones realizando su verificación.
1) 3x = 6
4) 6x – 10 = -16
7) -10x + 9 = -81
2)
5)
8)
x – 15 = - 27
15x – 6 = 9
5x - 15 = 15
3)
6)
9)
-5 + 6x = 7
12x + 12 = 72
2x - 13 = -19
Resolver las siguientes ecuaciones:
10) 5 - 2d = 9
11) - 3f + 1 = 4
12) -12x - 15 = 9
13) 13 - h = 13
14) 3x + 1 = x - 3
15) 2k + 7 = 12 - 3k
16) 1 - 3x = 2x - 9
17) x - 3 = 2 + 2x
18) 3x - 1 = 2.(x + 1)
19) 12x = 3.(3x - 5)
20) -2.(2x - 3) = 6 + x
21) 2x - 1 = 3.(x + 2) – 6x
22) -5x - (4 - x) = 8 - (-x - 2)
23) 2.(x + 2) – 5.(4x - 3) = 1
24) 4 – 2.(x + 7) - (3x + 5) = 2x - (x - 3)
Resolver las siguientes situaciones problemáticas:
25) Un número más su doble suman 210 ¿Cual es ese número?
26) Si al tripe de un número se le resta el mismo número resulta 54. ¿Cuál es el
número?
27) El perímetro de un jardín rectangular es de 58 m. Si el lado mayor mide 11 m.
más que el lado menor. ¿Cuánto miden los lados del jardín?
28) Calcular 3 números consecutivos cuya suma sea 51.
29) Calcular el número que sumado a su anterior y a su siguiente da 114
30) La edad de Juan es el doble que la de Pepe y la edad de Pepe es el triple que la
de Antonio, si entre todos ellos suman 30 años ¿Cual es la edad de Antonio?
31) Pedro tiene el doble de dinero que José y María tiene el tripe que José. ¿Cuánto
dinero tiene cada uno si entre los tres suman $900?
Ing. Carina Martínez
Página 12 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
3 - POTENCIACION DE NUMEROS ENTEROS
La potenciación es una operación matemática que se indica como an, y se lee "a
elevado a n". Involucra dos números: la base a y el exponente n.
Cuando un número a (base) está elevado a otro número n (exponente) significa que
hay que multiplicar la base tantas veces como indique el exponente. En el siguiente
ejemplo puede verse que el 3 debe multiplicarse 4 veces.
Exponente
34 = 3 . 3 . 3 . 3 = 81
Base
PROPIEDADES DE LA POTENCIACION
POTENCIA DE EXPONENTE 0
Cualquier potencia con exponente 0 es igual a 1 (la base nunca debe ser 0).
a0 = 1
POTENCIA DE EXPONENTE 1
Cualquier potencia con exponente 1 es igual a la base.
541 = 54
POTENCIAS DE IGUAL BASE
Cuando se MULTIPLICAN potencias de igual base se SUMAN los exponentes.
a2 . a3 . a = a 2+3+1 = a8
22 . 23 . 22 = a 2+3+2 = 27 = 128
x = x1
x.x=x2
x . x . x = x3
Cuando se DIVIDEN potencias de igual base se RESTAN los exponentes.
a5 : a3 = a 5-3 = a2
34 : 32 = 3 4-2 = 32 = 9
Ing. Carina Martínez
Página 13 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
POTENCIA DE UNA POTENCIA
Si una potencia está elevada a otro número, se MULTIPLICAN los exponentes.
(22)3 = 22.3 = 26 = 64
EXPONENTE PAR
Las potencias con EXPONENTE PAR dan siempre como resultado NÚMEROS
POSITIVOS.
32 = 9
y
(-3)2 = 9
EXPONENTE IMPAR
Las potencias con exponente IMPAR tienen como resultado un número cuyo SIGNO es
IGUAL al de la BASE
33 = 27
y
(-3)3 = -27
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
La potencia es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.
(2 . 3)2 = 22 . 32
62
= 4.9
36 = 36
La potencia NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
(2 + 3)2 ≠ 22 + 32
52
≠ 4+9
25 ≠ 13
RADICACION DE NUMEROS ENTEROS
Para sacar la raíz de un número (radicando), se busca el número que elevado al índice
dé por resultado el radicando.
Indice
3
√8 = 2
Radicando
porque 23 = 8
Raíz
Ejemplos:
√25 = 5 porque 5² = 25
3
√27 = 3 porque 33 = 27
Ing. Carina Martínez
Página 14 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
PROPIEDADES DE LA RADICACION
INDICE PAR
Si el índice es PAR entonces el radicado TIENE que ser POSITIVO y la raíz tiene dos
resultados, uno positivo y otro negativo, se usará el resultado positivo.
√16 = ± 4
42 = 16
(-4)2 = 16
porque
√-16
no se puede hacer
porque
2
4 = 16
2
(-4) = 16
Nunca dará negativo
INDICE IMPAR
Si el índice es IMPAR entonces la raíz va a tener el MISMO SIGNO que el
RADICANDO.
3
3
√8 = 2 porque
√-8 = -2 porque
23 = 8
(-2)3 = -8
RAIZ DE UNA RAIZ
En este caso se MULTIPLICAN los ÍNDICES.
√3√64 =
2.3
√64 = 6√64 = 2 porque 26 =64
o bien: √3√64 = √4 = 2
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
La radicación es DISTRIBUTIVA con respecto a la MULTIPLICACION y a la DIVISION.
n
Si X e Y son números reales positivos, entonces
En la multiplicación
√4 . 9 = √4 . √9
√36 = 2 . 3
6 = 6
n
x
y
n
x
y
En la división
√16 : 4 = √16 : √4
√4 = 4:2
2 = 2
La radicación NO ES DISTRIBUTIVA con respecto a la SUMA y a la RESTA.
En la suma
√4 + 9 = √4 + √9
√13 = 2 + 3
√13 ≠ 5
Ing. Carina Martínez
En la resta
3
√27 - 8 = 3√27 - 3√8
3
√19 = 3 – 2
3
√19 ≠ 1
Página 15 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
TRABAJO PRÁCTICO N° 3
Escribir en forma de una sola potencia:
1) 33 · 34 · 3 =
2) 57 : 53 =
3) (53)4 =
4) (5 · 2 · 3)4 =
5) (34)4 =
6) (62)3 =
7) (25)4 =
8) (43)2 =
9) [ (-3)3]2 =
10)25 · 24 · 2 =
11)(-2)7 : (-2)6 =
12)[(23 )4]0=
Resolver y escribir el nombre de la propiedad que debe aplicarse para su resolución:
14)42 . 45 =
13)76 : 73 =
16)[(22 )3]2=
15)(22)4 =
Realizar las siguientes operaciones con potencias:
17) (−2)0 . (−2) =
18) 5−2 : 5−3 =
20) 2−2 · 2−3 · 24 =
21) 22 : 23 =
23) 22 : 2−3 =
24) 2−2 : 2−3 =
26) (−3)1 · (−3)3 · (−3)4 =
27) (−8) · (−2)2 =
29) 3−2 · 3−4 · 34 =
30) 4−2 : 43 =
Extraer factores cuando sea
posible:
Realizar las siguientes
sumas:
19) (−2)−2 · (−2)3 · (−2)2 =
22) 2−2 : 23 =
25) [(−2)− 2] 3 · (−2)3 · (−2)4 =
28) (−27) · (−3) · (−3)2 · (−3)0=
31) (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 =
32)
33)
35)
34)
Realizar los siguientes
productos:
37)
36)
Efectuar las divisiones de radicales:
38)
39)
ECUACIONES CON POTENCIACIÓN Y RADICACIÓN
Ing. Carina Martínez
Página 16 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Se cumplen las mismas propiedades vistas para la resolución de potencias y radicales;
para despejar x se procede de igual manera que lo aprendido en paso 1b.
Ejemplo:
POTENCIACION
x2 - 4 = 0
RADICACION
3
√x = 3
x2 = 4
x = 33
x
= √4
x = 27
x
=±2
4 - NÚMEROS RACIONALES (Q)
Una fracción es una parte de la unidad. Cuando se tiene una unidad cualquiera, puede
interesar una parte más pequeña para tomar. Ej: si hay una tarta de 8 porciones y hay
cuatro personas, lo normal sería que cada persona tomase dos porciones,
expresándose así:
Lo que aquí se expresa es que cada persona tomaría dos octavos de tarta, es decir,
dos partes de las ocho que hay.
a
Una fracción es una expresión de la forma
donde a, b Є Z y b ≠ 0. En esta
b
expresión los números a y b se llaman: a numerador y b denominador.
Para el ejemplo anterior: la parte de arriba (2) sería el numerador, y la parte de abajo
(8), el denominador.
FRACCIONES EQUIVALENTES
a
c
Dos fracciones
y
son equivalentes, si al aplicarles el mismo número al
b
d
numerador y al denominador se obtiene el mismo resultado.
Para saber si dos fracciones son equivalentes los productos cruzados deben ser
iguales.
Ejemplo:
Ing. Carina Martínez
Página 17 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Comprobar si las siguientes fracciones son equivalentes, al aplicarles al entero 4:
1/2 ; 2/4; 3/6 ; 4/8
4 . (1/2) = 2
4 . (2/4) = 2
4 . (3/6) = 2
4 . (4/8) = 2
REDUCCIÓN DE FRACCIONES
A excepción de las fracciones irreducibles, una fracción puede simplificarse dividiendo
ambos términos entre un mismo número:
La fracción original y la reducida serán equivalentes.
Para recordar:
a. Si se multiplica el numerador y el denominador de una fracción por un mismo
número distinto de cero, la nueva fracción es equivalente a la primera
(amplificación).
b. Si se divide el numerador y el denominador de una fracción por un número que
sea divisor de ambos se obtiene una fracción equivalente a la primera
(simplificación).
c. Mediante la amplificación y la simplificación de una fracción se obtienen
fracciones equivalentes.
a
c
a
c
y
son números racionales, entonces
<
sí y solo sí a . d < b . c o
b
d
b
d
a
c
geométricamente, si
está a la izquierda de
en la recta numérica.
b
d
Si
La inversa de la fracción
a
b
es la fracción .
b
a
Una fracción es propia si el numerador es menor que el denominador y es impropia
cuando el numerador es mayor que el denominador.
REDUCCIÓN A FRACCIÓN IRREDUCIBLE
Hallando el Máximo Común Divisor (M.C.D.) de los dos términos y dividiendo ambos
términos por él, se llega a una fracción irreducible.
Ejemplo: Hallar la fracción irreducible de:
TRABAJO PRÁCTICO N° 4
Ing. Carina Martínez
Página 18 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ing. Carina Martínez
Página 19 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ing. Carina Martínez
Página 20 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ing. Carina Martínez
Página 21 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ing. Carina Martínez
Página 22 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ing. Carina Martínez
Página 23 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ing. Carina Martínez
Página 24 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ing. Carina Martínez
Página 25 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ing. Carina Martínez
Página 26 de 27
NIVELACIÓN 2012 - MATEMÁTICA
Ing. Carina Martínez
Página 27 de 27