FUNCIONES ARITMETICAS DE TIPO MANGOLDT nk nk,t

Púb . Mat . UAB
N° 21 Oct . 1980
Actes VII JMHL
FUNCIONES ARITMETICAS DE TIPO MANGOLDT nk n k,t
Catalina Calderón García
Dpto . de Matemáticas
Universidad del Pais Vasco
ABSTRACT .- From a function of type M¿bius, uk, it is defined ano
ther two functions A k and A k ,t . Them, it is obtained,
as a particular case, the Mangoldt's function A .
Para cada
tica
A
k
por
k
(1)
donde
entero positivo definimos la función aritmé-
Ak(n) _~ u k (d)
d/n
uk
log n/d
es una función generalizada de Mióbius que sé define de
la siguiente forma :
uk(1) = 1
(2)
u * (n) = 0
k
,
uk(n) = (-1)2
si
(n)
si
pk+1/n
n =
r
1=1
2 (n) =
Si
k=1
la función uk
para algún
a.
pil
p
primo
0 < a l < k,
r
coincide con la función de M¿bius
usual y por lo tanto la f6rmula'anterior (1) da la función de
Mangoldt .
La serie de Dirichlet que genera la función
a partir de la correspondiente a la función
función
Ak
se obtiene
uk . Esto es, para la
se verifica
1ak
00
~(2s)
Yk(s)
uk(n) n- s =
~(s)
donde
~ ( (k+l) s)
~(2(k+l) s)
Yk(s) =
Re s > 1
si
k
es par
si
k
es impar
de (3) y (4) y diferenciando término a término la función Zeta
7
se obtiene en el semiplano
. uk(n) " n
-s
Ak
Podemos escribir para
co
Ak(n)
n=l
donde
log n-n-
s
=
(1k
n=1
n=1
(5)
Re s> - 1
.n-s
(n) " n-s
n=1
la expresi5n
C'(s)
C (s)
~(2s) Yk (s)
Re s > 1
Y k (s) esta dada por (4) .
Se observa en (5) que cuando
k=1
se obtiene la serie co-
rrespondiente a la función de Mangoldt usual .
Si
k=2
la función
n = p11 . . . prr
por
O(n)
A2
y la
= a1. . . ar
función S definida para
siendo los
a l >0
y
pi
primos distintos se verifica una propiedad que relaciona estas
funciones con la función u de M8bius
(6)
160
fl
2 (n)
_ -
u (d)
d/n
log d
S (n/d) .
Una generalización inmediata de la función
guiente . Para
es la si-
números naturales cualesquiera definimos la
k, t
Ak ,t por la expresión
función
t
(log n/d)
Ak~ t (n) = 5 u k(d)
d/n
(7)
Si
Ak
t=1
Ak~ 1 (n) =
obtenemos la función (1),
A*(n) .
La diferenciación término a término de la función Zeta nos
da
(8)
C
(t)
(4) y (8)
dé (3),
Co
(9)
>n=1
= (-1) t
(s)
vemos que
Ak~ t (n) " n
n=1
=
n=1
Así obtenemos para la función
(10)
donde
log t n " n -s
co
1
-s
~7
Co
-s
uk(n) " n
n=1
-s
log t n " n
,^k ,t
co
(t)
~ (2s) y k (s)
(s)
n=l
yk (s)
"
Re s > 1
viene dada por (4) .
IVIC, A . 14
1,
define una función generalizada de Mangoldt
At de la siguiente forma
(11)
At (n) = T u(d)
d/n
(log n/d)
t
y obtiene la serie de Dirichlet para esta función, esto es
(t)
00
7 At(n) . n - s = (-1) t
(12)
(s)
Obtendremos a continuación una expresión que relaciona la
función
Ak,t
con la función
Ak
y
At .
De la identidad
1
(s)
(-1)
t
1
(t)
(s)
~ (s)
C (2s)
Yk (s) _ ( - 1)
t
C (t) (s)
~ (s)
~ (2 s)
~ (s)
Yk (s)
se deduce la relación
Yd/n "k,t(d)
(13)
u(n/d)
_
d/n
At(d) uk(n/d)
Aplicando ahora la inversión de M6bius a la función
f (n) _
d/n
i, (d) Ak ,t (n/d)
obtenemos por último que
Ak,t(n) °
d/n
m/d
At (m)
uk
BIBLIOGRAFIA
111
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