4. La probabilidad de que una industria colombiana se ubique en

INSTITUCION EDUCATIVA DISTRITAL RODRIGO DE BASTIDAS
Resolución Nº 0205 de marzo 26 de 2006 Secretaria De Educación Distrital
REGISTRO DANE Nº 147001-000994-1, NIT 819001781-1
Calle 7ª N° 33B-100, Telefono 4336197 Barrio Bastidas Santa Marta
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
DOCENTE: LIC-ING. ROSMIRO FUENTES ROCHA
GRADO UNDECIMO
UNIDAD 4: PROBABILIDAD EXPRESADA COMO CONJUNTO
PROBABILIDAD
La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda
ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es
más susceptible de ocurrir que otro.
TRES DEFINICIONES DE PROBABILIDAD
1. ENFOQUE CLASICO
Este enfoque es el de las situaciones que tienen resultados igualmente probables. En este caso es
necesario identificar primero el número de resultados favorables y después dividir el número entre el
número total de resultados del espacio muestral. Si m es el número de posibles resultados elementales
favorables al evento A y n el número de resultados posibles del espacio muestral S y todos los resultados
elementales son igualmente probables y mutuamente excluyentes, entonces la probabilidad de que ocurra
el evento A es
número de resultados favorables al evento A
P ( A) 
número total de posibles resultados
m
n
Ejemplo1: ¿cuál es la probabilidad de sacar un número impar al lanzar un dado?
Solución
P ( A) 


Recordemos que el espacio muestral al lanzar un dado, son los posibles resultados que se puedan
tener
S={1, 2, 3, 4 , 5, 6 }
Se observa que son seis posibles resultados


Consideremos el evento A: obtener un número impar
Es el conjunto A={1, 3, 5}

Se observa que el número de resultados favorables al evento A es de 3
La probabilidad de sacar un número impar
número de resultados favorables al evento A
P ( A) 
número total de posibles resultados
P(A) 
3
6
se divide
P(A) = 0,5
2. ENFOQUE EMPIRICO
Se basa en las frecuencias relativas de ocurrencia de un evento con respecto a un gran número de
ensayos repetidos. Con lo que la probabilidad viene dada por
número de veces que ocurre A
P ( A) 
número total de ensayos u observaciones
P ( A) 
N( A)
N(S)
Ejemplo 2: Ante el la inclusión de nuevas enfermedades al plan obligatorio de salud POS, una EPS desea
determinar la probabilidad de ocurrencia de ciertas enfermedades laborales, para poder fijar los precios
de las cuotas moderadoras. Se contrata una empresa encuestadora que recolecta información 1500
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Ingeniero de Alimentos, Licenciado en Matemáticas y Física
adultos empleados y encuentra que 65 personas padecen de algunas de las enfermedades establecidas
como laborales. Determine la probabilidad de que se afilien trabajadores con algún tipo de enfermedad
profesional.
Solución
Sea Al suceso “afiliar trabajadores con enfermedades laborales””
Resultados favorables m = 65
Resultados posibles tamaño de la muestra) n=1500
La probabilidad de afiliar trabajadores con enfermedades laborales viene dada por
m
Reemplazando
P ( A) 
n
65
P ( A) 
1500
P ( A)  0 ,043
El resultado puede expresarse en porcentaje multiplicando por 100%, en este caso
P(a)=0,043×100% = 4,3%
3. ENFOQUE SUBJETIVO
Las probabilidades subjetivas son estimaciones personales de la posibilidad que un evento ocurra basadas
en un grado de confianza, son el resultado de un esfuerzo por cuantificar los sentimientos o convicciones
respecto a algo. Los abogados, médicos, administradores, líderes y casi todos los hombres de negocios
utilizan este enfoque satisfactoriamente
PROBABILIDAD EXPRESADA MEDIANTE CONJUNTOS
Dado el lenguaje relacionado, algunas expresiones propias referentes a las operaciones entre conjuntos
son las siguientes
1. UNION DE SUCESOS
La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.
Es decir, el suceso A  B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.
A U B se lee como "A o B"
Ejemplo. Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado,
si
A ="sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A U B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A U B = {2, 3, 4, 6}
Ejemplo: considérese el conjunto de trabajadores de una empresa S y
tomemos los eventos
A= {empleados mujeres}
B = {empleados profesionales}
Entonces AUB = {empleados mujeres ó profesionales}
La afirmación A ocurre o B ocurre se escribe A B y significa que A ocurre ó B ocurre. Por lo tanto la
probabilidad de que A o B ocurran corresponde a la probabilidad A B , esto es:
P(A ocurra o B ocurra) =P(AUB)
2. INTERSECCION DE SUCESOS
La intersección de sucesos, A ∩B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y
B.
Es decir, el suceso A ∩B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.
A ∩B se lee como "A y B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar
par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A ∩B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Ingeniero de Alimentos, Licenciado en Matemáticas y Física
A ∩ B = {6}
En el ejemplo anterior de los empleados de la empresa
A∩B = {empleadas mujeres y profesionales}
La afirmación A ocurre y B ocurre se escribe A∩B y significa que A y B ocurre, así que,
P(A ocurre y B ocurre) = P(A∩B)
4. DIFERENCIA DE SUCESOS
La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.
Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.
A − B se lee como "A menos B".
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A =
"sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.
A = {2, 4, 6}
B = {3, 6}
A − B = {2, 4}
En el ejemplo anterior de los empleados de la empresa
A - B = {empleadas mujeres que no son profesionales}
La afirmación A ocurre y B no ocurre se escribe A-B o bien A ∩ B’, por lo tanto
P(A ocurre y B no ocurre)= P(A ∩ B’ )
5. SUCESOS CONTRARIOS O COMPLEMENTARIOS
El suceso A’= E - A se llama suceso contrario o complementario de A. Es decir, se verifica siempre y
cuando no se verifique A.
Ejemplo
Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar
par". Calcular A’ .
A = {2, 4, 6}
A’= {1, 3, 5}
En el ejemplo anterior de los empleados de la empresa
A’= {empleados hombres}
La afirmación A no ocurre se escribe A’ y significa A no ocurre por
consiguiente P(A no ocurre) = P(A’)
EXPRESIÓN DE LA PROBABILIDAD
1. La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.
0 ≤ P(A) ≤ 1
2. La probabilidad del suceso seguro es 1.
P(E) = 1
3. La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso
contrario es:
P(A’)= 1-P(A)
4. Probabilidad del suceso imposible es cero.
P ()  0
REGLAS DE ADICION
Las reglas de adición se emplean cuando se desea determinar la probabilidad de que ocurra un evento u
otro (o ambos) en una sola observación. Existen dos variantes de la regla de adición dependiendo de si
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Ingeniero de Alimentos, Licenciado en Matemáticas y Física
los dos eventos son mutuamente excluyentes o no. Dos eventos son mutuamente excluyentes o disjuntos
si no pueden ocurrir al mismo tiempo

Para eventos mutuamente excluyentes se tiene P(AUB) = P(A) + P(B)
Ejemplo: En las elecciones regionales para la escogencia del alcalde en una ciudad, la contienda se
vislumbra en la intención de votos por sus candidatos : el del partido violeta con un 38%, el del partido
naranja con 41%, el partido verde 13%, no sabe no responde 2%, no votaría 6%
a. Determine la probabilidad de que el alcalde escogido sea del partido violeta o del naranja
b. Determine la probabilidad de que el alcalde escogido sea del partido verde o violeta
Solución
Definamos los eventos
A: el alcalde escogido es del partido violeta. Su probabilidad P(A)=38% = 0,38
B: el alcalde escogido es del partido naranja. Su probabilidad P(B) = 41% = 0,41
C: el alcalde escogido es del partido verde. Su probabilidad P(C) =13% = 0,13
a. La probabilidad de escoger un alcalde del partido violeta o naranja viene dada por
P(AUB) = P(A) + P(B)
P(AUB) = 0,38 +0,41
P(AUB) = 0,79
b. La probabilidad de escoger un alcalde del partido verde o del violeta viene dada por
P(CUA) = P(C)+ P(A)
P(CUA) = 0,13 + 0,38
P(CUA) = 0,51

Para eventos mutuamente no excluyentes P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
De las anteriores reglas se obtienen otras particulares que son
a. P(A∩B’) = P(A) – P(A∩B)
b. P(A’ ∩B) = P(B) – P(A∩B)
Ejemplo: Durante un estudio de intención de voto en la ciudad de Santa Marta el 60% de los electores
están a favor de determinada lista para la asamblea, el 70% está a favor de la lista para el concejo y el
50% está a favor de las listas de asamblea y concejo. Si se escoge un elector al azar en esta ciudad. Halle
la probabilidad de el elector vote
a. Por la lista de asamblea o la de concejo
b. Solo por la lista de asamblea
c. Solo por la lista de concejo
Solución
Los eventos son mutuamente no excluyentes. Cuando se afirma que el 60% de los electores está a favor
de la lista para asamblea, no se quiere decir con esto que entre ellos no hayan personas que también
favorezcan la lista del concejo.
Se definen los eventos:
A: El elector votará por la lista de la asamblea. Este evento tiene una probabilidad P(A) = 60%=0,6
B: el elector votará por la lista del concejo. La probabilidad de este evento es P(B) = 0,7.
El evento ”el elector votará por la lista de asamblea y de concejo” corresponde a A∩B y la probabilidad de
este evento P(A∩B) = 0,5
a.
La probabilidad que el elector vote por la lista de asamblea o concejo viene dada por
P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B)
P(AUB) = 0,6 + 0,7 – 0,5
P(AUB) = 0,8
Es decir el 80% de la población votaría por ambas listas
b.
La probabilidad de que el elector vote solo por la lista de asamblea y no por la de concejo viene
dada por
P(A∩B’) = P(A) – P(A∩B)
P(A∩B’) = 0,6 – 0,5
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Ingeniero de Alimentos, Licenciado en Matemáticas y Física
P(A∩B’) = 0,1
Es decir el 10% de los electores votaría solo por la lista de asamblea
c.
El evento el elector votará solo por la lista de concejo y no por la asamblea se expresa como
P(A’ ∩B) = P(B) – P(A∩B)
P(A’ ∩B) = 0,7 – 0,5
P(A’ ∩B) = 0,2
Es decir el 20% de los electores votaría solo por la lista de concejo
REGLAS DE LA MULTIPLICACION
Existen dos variantes de la regla de multiplicación, según si los dos eventos son dependientes e
independientes. Cuando dos eventos son dependientes se emplea el concepto de probabilidad condicional.
La expresión P(B/A) indica la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ya ha ocurrido el evento
A.

Para eventos independientes P(A∩B)=P(A).P(B)
Ejemplo: Se lanzan dos monedas al aire, ¿cuál es la probabilidad de que ambas caigan cara?
Solución.
La probabilidad de que una de las monedas caiga escrita cara escrita P(A) es 1/2 = 0,5. La probabilidad
de que la otra moneda caiga igual, denotada por P(B), es también ½, la probabilidad de que ambas
caigan cara viene dada por
P(A∩B) = 0,5×0,5
P(A∩B) = 0,25

Para eventos dependientes P(A∩B)=P(A).P(B/A), De donde se desprende P (B / A) 
P ( A  B)
P ( A)
Ejemplo: Se tienen 10 rollos de película fotográfica en una caja y que se sabe que tres están
defectuosos, se van a seleccionar dos, uno después del otro ¿cuál es la probabilidad de escoger un rollo
con defectos seguido por otro también en igual condición
Solución
El primer rollo seleccionado de la caja que se encontró defectuoso es el evento A, de modo que P(A) =
3/10 = 0,3. Para el siguiente rollo seleccionado lo llamaremos el evento B, por lo tanto P(B) = 2/9=0,22,
porque después de descubrir que en la primera selección tenía un rollo con defectos, solo quedaron dos
rollos en la caja que contenía 9 rollos, por lo tanto
P(A∩B) = 0,3×0,22
P(A∩B) = 0,066
DIAGRAMAS DE ARBOL (ARBORIGRAMAS)
Un diagrama de árbol es una representación gráfica útil para para organizar cálculos que abarcan varias
etapas. Para la construcción de un diagrama en árbol se partirá poniendo una rama para cada una de las
posibilidades, acompañada de su probabilidad. En el final de cada rama parcial se constituye a su vez, un
nudo del cual parten nuevas ramas, según las posibilidades del siguiente paso, salvo si el nudo representa
un posible final del experimento (nudo final).
Hay que tener en cuenta: que la suma de probabilidades de las ramas de cada nudo ha de dar 1.
Ejemplo: Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la
probabilidad de:
1 Seleccionar tres niños.
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Ingeniero de Alimentos, Licenciado en Matemáticas y Física
𝑃(𝐴) =
10 9
8
×
×
= 0,214
16 15 14
EJERCICIOS
PROPUESTOS REGLAS ADITIVAS
1. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes y P(A) = 0.3 y P(B)=0.5, Encuentre
a. P(AB)
b. P(A´)
c. P(A´B)
Sugerencia dibuje un diagrama de Venn y defina las probabilidades que se asocian a las distintas regiones
2. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes y P(A) = 0.2 , P(B)= 0.3 y P(C)=0.2, encuentre
a. P(ABC)
b.𝑃[𝐴´ ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)]
3. Una Multinacional abre una nueva sucursal en una ciudad, donde ha escogido 100 nuevos empleados de
los cuales 54 tienen experiencia en ventas, 69 en servicio al cliente y 35 en ambas funciones. Si se
seleccionan aleatoriamente uno de estos empleados, encuentre la probabilidad que:
a. Tenga experiencia en ventas o en servicio al cliente
b. No tenga experiencia en ninguna de las dos áreas
c. Tenga experiencia en servicio al cliente pero no en ventas
4. La probabilidad de que una industria colombiana se ubique en Lima es de 0.7, que se localice en
Maracaibo es de 0.4, y de que se encuentre ya sea en Lima o en Maracaibo es de 0.8 ¿Cuál es la probabilidad
de que la industria se Localice?
a. En ambas ciudades
b. En ninguna de ellas
EJERCICIOS PROPUESTOS DE REGLAS MULTIPLICATIVAS
6. Suponga que P(A)=0,40 y P(B/A)= 0,30, cual es la probabilidad conjunta de A y B
7. Considérese que P(X1)=0,75 y P(Y2/X1)=0,40 ¿cuál es la probabilidad conjunta de X1 y Y2
8. En una carpeta hay 20 hojas de vida, ocho llevan son de administradores de empresas y el resto de otras
profesiones.
a. Hallar la probabilidad de extraer dos hojas de vida de administradores en forma consecutiva,
b. de tres administradores en forma consecutiva
Material compilado por Rosmiro Fuentes Rocha, Ingeniero de Alimentos, Licenciado en Matemáticas y Física