1 El Espacio Vectorial ℜn

Los espacios vectoriales son la estructura más rica que vamos a ver aquı́ con
detalle. Los espacios vectoriales son tan importantes en fı́sica, quı́mica, ingenierı́a, etc. que les vamos a dedicar un capitulo completo a ellos solos. Los
espacios vectoriales más conocidos son los que se construyen sobre ℜn . En este
capı́tulo vamos a repasar estos espacios y despues vamos a generalizarlos a espacio vectoriales arbitrarios. Estamos suponiendo que el lector esta familiarizado
con ℜn , pero para iniciar el tema, vamos a dar un resumen de sus propiedades
más importantes.
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El Espacio Vectorial ℜn
Resumen 1 Recordemos que el espacio vectorial ℜn , o escrito explicitamente
(ℜn , · , + , ⊙), es una estructura algebráica, definida sobre los reales, tal que:
•(ℜ, +, ·) es un campo que con la operación + es grupo Abeliano, con neutro
0ℜ y distributividad entre + y ·, y con la operacion ·, (ℜ\{0ℜ }, ·) es grupo
Abeliano, con neutro 1ℜ sin divisores de cero: a 6= 0ℜ , b 6= 0ℜ ⇒ a · b 6= 0ℜ
•(ℜn , +, ⊙) es espacio vectorial sobre (ℜ, +, ·) tal que (ℜn , +) son grupos
Abelianos con neutro 0ℜn
•(ℜn , ⊙) es un mapeo de ℜ ⊙ ℜn en ℜn (es un nuevo tipo de multiplicación);
⊙ es distributiva con + y asociativa con ·, es decir, si se tiene que, a, b ∈ ℜ,
x, y ∈ ℜn entonces:
a ⊙ (x + y) = (a ⊙ x) + (a ⊙ y)
(a + b) ⊙ x = (a ⊙ x) + (b ⊙ x)
(a · b) ⊙ x = a ⊙ (b ⊙ x)
•⊙ tiene neutro representado por 1ℜ y cumple que 1ℜ ⊙ x = x para todo
x ∈ V.
En otras palabras, (ℜn , · , + , ⊙) es un espacio vectorial sobre el campo (ℜ, +, ·),
donde para x, y ∈ ℜn , x = (x1 , x2 , · · · , xn ), y = (y1 , y2 , · · · , yn ) se tiene:
1. x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 , · · · , xn + yn ),
2. 0ℜn = (0, 0, · · · , 0),
3. −(x1 , x2 , · · · , xn ) = (−x1 , −x2 , · · · , −xn ),
4. ⊙ es la “multiplicación de escalares con vectores”, para k ∈ ℜ, k ⊙
(x1 , x2 , · · · , xn ) = (k · x1 , k · x2 , · · · , k · xn ).
Otros conceptos importantes a recordar de espacios vectoriales son:
•Un subespacio vectorial H de ℜn es un espacio vectorial tal que H ⊂ ℜn ,
y (H, ·, +, ⊙) mismo es un espacio vectorial.
•La interpretación geométrica de un punto en ℜn se suele dar de la forma
siguiente. Un punto x ∈ ℜn es un vector de traslación, determinado por valor
y dirección y representado por una flecha.
•Los Homomorfismos son mapeos lineales entre espacios vectoriales (ℜn , ·, +, ⊙)
y (ℜm , ·, +, ⊙) sobre el mismo campo ℜ:
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•Sean (ℜn , ·1 , +1 , ⊙1 ) y (ℜm , ·1 , +2 , ⊙2 ) espacios vectoriales y f : ℜn →
ℜ una función entre estos espacios. f se llama homomorfismo si f (x +1 y) =
f (x) +2 f (y) y f (a ⊙1 x) = a ⊙2 f (x), para cualesquiera x, y ∈ ℜn , a ∈ ℜ. f se
llama isomorfismo si es homomorfismo y biyección.
•Independencia y bases en (ℜn , +, ⊙) sobre el campo ℜ. Si X ⊂ ℜn , entonces
m
L(X) = {
m
X
ai ⊙ xi | ai ∈ ℜ, x1 , · · · , xm elementos distintos de ℜn , m ∈ N }
i=1
se llama cerradura lineal de X. L(X) es el subespacio más pequeño de ℜn que
contiene a X. X se llama linealmente independiente si para cualesquiera
elementos distintos x1 , · · · , xm de X,
0V =
m
X
ai ⊙ xi con ai ∈ K implica a1 = a2 = · · · = am = 0K .
i=1
X se llama base de ℜn si X es linealmente independiente y L(X) = ℜn .
Cada espacio vectorial ℜn tiene una base y cualesquiera dos bases tienen el
mismo número n de elementos. Este número n se llama dimensión (vectorial)
de ℜn . Por ejemplo dim(ℜn ) = n. La base canónica de ℜn es
{(1, 0, · · · , 0, 0), (0, 1, · · · , 0, 0), · · · , (0, 0, · · · , 0, 1, 0), (0, 0, · · · , 0, 1)}
Hasta aquı́ hemos recordado las propiedades más importantes de ℜn , en
adelante hablaremos de los espacios vectoriales en general.
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Definición de Espacio Vectorial
Los espacios vectoriales son de las estructuras algebraicas más utilizadas en
todas las ramás de la ciencia. En fı́sica e ingenierı́a se utilizan intensamente para
modelar el espacio, las funciones periódicas, soluciones de ecuaciones lineales
y diferenciales, los polinomios, etc. Debido a su rica estructura algebraica, los
espacios vectoriales son también muy interesantes para estudiarse desde el punto
de vista matemático puro. En este capitulo estudiaremos los espacios vectoriales
y sus propiedades más importantes. Empecemos entonces con su definición.
Definición 2 Sea (K, +, ·) campo y V conjunto. Sean ⊕ : V × V → V y
⊙ : K × V → V operaciones binarias asociativas y distributivas, i.e., se tiene
que para todo a, b ∈ K y x, y ∈ V .
a) (a · b) ⊙ x = a ⊙ (b ⊙ x)
b) (a + b) ⊙ x = (a ⊙ x) ⊕ (b ⊙ x).
c) a ⊙ (x ⊕ y) = (a ⊙ x) ⊕ (a ⊙ y)
Un espacio vectorial es el ordenamiento (K, V, ⊕, ⊙) tal que (V, ⊕) es
grupo abeliano y la identidad 1K de K es tal que 1K ⊙ x = x para toda x ∈ V .
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El ejemplo más conocido y más utilizado por todos es sin duda el espacio vectorial ℜn . Sin embargo, un caso más general se puede construir con el producto
cartesiano del campo sobre el que se define el espacio vectorial.
Ejemplo 3 Sea V = K n = K × K × · · · × K = {(a1 , · · · , an ) | ai ∈ K para
toda i = 1, · · · , n}. Si x = (a1 , · · · , an ) y y = (b1 , · · · , bn ), se pueden definir
la suma ⊕ como x ⊕ y = (a1 + b1 , · · · , an + bn )
el producto ⊙ como a ⊙ x = (a · a1 , · · · , a · an )
entonces (V, ⊕) es grupo abeliano con neutro 0V = (0, · · · , 0) e inverso
(−x) = (−a1 , · · · , −an ).
Uno de los espacios vectoriales más usados y más importantes que se utiliza
en todas las áreas de la ingenierı́a, fı́sica, matemáticas, etc. son los polinomios.
Como espacios vectoriales estos se pueden definir como seigue.
Ejemplo 4 Sea Pn = {a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn | ai ∈ K para todo
i = 1, · · · , n} el conjunto de los polinomios sobre el campo K. Si se define la
suma ⊕ entre polinomios x, y ∈ Pn , con x = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn y
y = b0 + b1 x + b2 x2 + · · · + bn xn como:
x ⊕ y = (a0 + b0 ) + (a1 + b1 ) x + · · · + (an + bn ) xn
el producto ⊙ como
a ⊙ x = a · a0 + a · a1 x + · · · + a · an xn
entonces (K, Pn , ⊕, ⊙) es un espacio vectoral.
Notación 5 En lo que sigue, generalmente vamos a denotar las operaciones ⊕
y ⊙ en el espacio vectoral, simplemente como + y · respectivemente y al espacio
vectorial simplemente como V .
Ejemplo 6 El conjunto de funciones periódicas Fp , con la suma y el producto
de funciones, también es un espacio vectorial.
Ejercicio 7 Demuestre con todo detalle que K n es espacio vectorial.
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Subespacios Vectoriales
En la misma forma como hemos definido subgrupos y subanillos, se puede definir
subespacios vectoriales. Este concepto será el tema de esta sección. Su definición
formal es como sigue.
Definición 8 Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y H ⊆ V. H es un
subespacio Vectorial de V, si H es espacio vectorial con las mismás operaciones binarias.
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Para demostrar que un espacio vectorial es subespacio de otro, afortunadamente no es necesario probar todas las propiedades de espacio vectorial del subconjunto, es suficiente con ver que las dos operaciones del subconjunto son cerradas, esto es debido a que las operaciones ya cumplen con todas las propiedades
de espacio vectorial de entrada. Esta propiedad la enunciaremos como el siguiente lema.
Lema 9 Sea V espacio vectorial sobre un campo K y H ⊆ V . H es subespacio
Vectorial de V si
1) Para todos h1 , h2 ∈ H implica que h1 + h2 ∈ H
2) Para todos a ∈ K, h ∈ H implica que a · h ∈ H
Dem. 10 Se cumplen todas las propiedades de espacio vectorial. Ejemplo 11 Sea el plano ℜ2 y H 1 = {(a, b) ∈ ℜ2 | b = ma} con m ∈
ℜ una recta que pasa por el origen. Veamos que una recta que pasa por el
origen es subespacio vectorial del plano. Usemos el lema anterior. Entonces
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , ma1 + ma2 ) = (a1 + a2 , m(a1 + a2 )) ∈ H 1 .
Es decir, es cerrado para la suma. Por otro lado se tiene que a · (a1 , b2 ) =
(a · a1 , a · b1 ) = (a · a1 , a · (m · a1 )) = (a · a1 , m · (a · a1 )) ∈ H 1 , por lo que la
recta también es cerrada para el producto. Entonces esta recta es un subespacio
de ℜ2 .
Ejemplo 12 Sea H 2 = {(a, b) ∈ ℜ2 | b = ma + n}, con m, n ∈ ℜ pero m · n 6= 0
una recta que no pasa por el origen. ¿Es H 2 ⊆ ℜ2 un subespacio vectorial del
plano? Veamos esto, si (a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) = (a1 + a2 , m(a1 + a2 ) + 2n) ∈
/ H 2,
este punto no está en la misma recta. Entonces una recta que no pasa por el
origen no es subespacio vectorial de plano.
Ejemplo 13 Sea H 3 = {(a, b) ∈ ℜ2 | b = na} ¿Es H 1 ∪ H 3 ⊆ ℜ2 un subespacio
vectorial del plano? Para ver esto, sean x1 = (a1 , b1 ) ∈ H 1 y x2 = (a2 , b2 ) ∈ H 3 ,
entonces se tiene que x1 + x2 = (a1 + a2 , ma1 + na2 ) ∈
/ H 1 ∪ H 3 , el cual no está
1
3
en la unión. Por lo tanto H ∪ H no es subespacio vectorial del plano.
Generalmente la unión de espacios vectoriales no siempre es un espacio vectorial, pero la intersección sı́, ya que si
1) x, y ∈ H1 ∩ H2 esto implica que x, y ∈ H1 y x, y ∈ H2 y esto implica que
x + y ∈ H1 ∩ H2
2) a ∈ K y x ∈ H1 ∩ H2 esto implica que a · x ∈ H1 y a · x ∈ H2 esto implica
que a · x ∈ H1 ∩ H2
Entonces podemos escribir el siguiente
Lema 14 La intersección de espacios vectoriales, es espacio vectorial.
4
4
Homomorfismos
Los homomorfismos son una herramienta de mucha ayuda en espacios vectoriales. Para estudiar las propiedades de espacio vectorial, el espacio ℜn es sin
duda el más estudiado y el más simple. Basta entonces relacionar todos los
espacios homomorfos e isomorfos con el plano n-dimensional para haberlos estudiado todos. Pero la sorpresa es que todos los espacios vectoriales de la misma
dimensión, son isomorfos. Esta es la razón por cuál el plano n-dimensional es
tan interesante. Para ver esto, iniciemos con la siguiente definición:
Definición 15 Sean (V1 , ·, +1 , ⊙1 ) y (V2 , ·, +2 , ⊙2 ) espacios vectoriales sobre
K. Un homomorfismo entre V1 y V2 es un mapeo que preserva las operaciones,
es decir f : V1 ⇀ V2 se llama homomorfismo si
f (x +1 y)
= f (x) +2 f (y)
f (a ⊙1 x)
= a ⊙2 f (x) para toda x, y ∈ V1 y a ∈ K
Como siempre, f se llama:
· isomorfismo, si f es homomorfismo y biyección
· automofismo, si f es homomorfismo y V1 = V2
Notación 16 Dos espacios vectoriales se llaman isomorfos, si existe un
isomorfismo entre ellos, se escribe V1 ∼
= V2
Un ejemplo sencillo e ilustrativo usando planos n-dimensionales es el siguiente.
Ejemplo 17 Sea V1 = ℜn , y V2 = ℜn+1 . El mapeo f : ℜn ⇀ ℜn+1 tal que
f ((a1, · · · , an )) = (a1, · · · , an , 0) es un homomorfismo 1 − 1 pero no sobre, ya
que ningún (a1 . · · · , an , an+1 ) con an+1 6= 0 es imagen de algún x ∈ ℜn .
Algunas de las propiedades generales de los homomorfismos es que estos
mapean el cero en el cero y los inversos en los inversos, veamos esto.
Comentario 18 Sean V1 y V2 espacios vectoriales y f : V1 ⇀ V2 un homomorfismo entre ellos, entonces
f (0V1 )
= 0V2 , ya que f (0 · x) = 0 · f (x)
f (−x) = −f (x) para toda x ∈ V1 ya que f (x − x) = f (x) + f (−x)
Otra propiedad importante de los espacios vectoriales, es que bajo homomorfismos se conservan las propiedades de subespacio, esto es
Comentario 19 f (V1 ) es subespacio de V2 .
Incluso si H es subespacio de V1 , se tiene que f (H) es subespacio de V2 ,
ya que si x2 , y2 ∈ f (H), y a ∈ K, esto implica que existen x1 , y1 ∈ H con
f (x1 ) = x2 y f (y1 ) = y2 , tal que x2 + y2 = f (x1 + y1 ) ∈ f (H) y a · x2 =
f (a · x1 ) ∈ f (H). Esto da pie al siguiente
5
Lema 20 Sean V1 y V2 espacios vectoriales. Sea H ⊂ V1 y f : V1
homomorfismo. Entonces f (H) ⊂ V2
⇀ V2
Una relación muy importante entre espacio vectoriales es la relación de ser
isomórficos, esta relación es una relación de equivalencia y por tanto separa los
espacios vectoriales en clases de equivalencia en el conjunto de espacios vectoriales. Esta separación es muy importante porque al separar este espacio en clases,
limita el estudio de los espacios vectoriales a sólo estudiar un representante de
cada clase de estos. Para esto tenemos el siguiente lema:
Lema 21 Sean V1 , V2 y V3 espacios vectoriales y f : V1 ⇀ V2 y g : V2 ⇀ V3
isomorfismos. Entonces
a) f −1 es isomorfismo
b) f ◦ g es isomorfismo.
Ejercicio 22 Demostrar el lema.
Lema 23 Sean V1 y V2 espacios vectoriales. La relación V1 ∼ V2 sii V1 ∼
= V2
son isomorfos, es una relación de equivalencia.
Dem. 24 Veamos que ∼ cumple la definición de relación de equivalenca.
1) V1 ∼ V1 , ya que la identidad en V1 es un isomorfismo.
2) Si V1 ∼ V2 , si usamos la inversa del isomorfismos se tendra que V2 ∼ V1 .
3) Si V1 ∼ V2 y V2 ∼ V3 , usando la composición de isomorfismo, tendremos
que V1 ∼ V3 . 5
Independencia Lineal y Bases
El concepto de independencia lineal se basa en el simple hecho de cómo poder
escribir un conjunto de vectores en términos del mı́nimo posible de vectores
de otro conjunto. La pregunta que está detrás de este concepto es ¿cuál es el
mı́nimo número de vectores con el que yo puedo representar todos los vectores
de algún espacio o subespacio vectorial? Entonces, el primer problema que
tenemos, es encontrar este número y luego encontrar un conjunto mı́nimo de
vectores. Cuando esto se puede hacer, podremos trabajar en muchas ocasiones
sólo con estos vectores, sin tomar en cuenta todo el espacio. Vamos a iniciar
con la siguiente definición:
Definición 25 Sea V espacio vectorial sobre el campo K y X ⊆ V . En general
X no necesariamente subespacio vectorial de V . Un elemento de V de la forma
x=
m
X
ai · xi ,
ai ∈ K,
x, xi ∈ X todos distintos
i=1
se llama combinación lineal de los elementos x1 , · · · , xm de X.
Con esta definición podemos construir un subespacio vectorial. Para eso
definamos la cerradura lineal de un conjunto de vectores.
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Definición 26 Al conjunto de todas las combinaciones lineales de un conjunto,
es decir, al conjunto
L(X) := {x =
n
X
ai · xi | ai ∈ K, xi ∈ X elementos distintos}
i=1
se le llama cerradura lineal de X
Lema 27 Sea V espacio vectorial y X ⊂ V . L(X) es un subespacio de V .
Pn
Pn
· xi , con xi ∈ X y ai , bi ∈ K.
y y = i=1 biP
Dem. 28 Sean x P
= i=1 ai xi P
n
n
n
Entonces x + y = i=1 ai · xi + Pi=1 bi · xi = P
i=1 (ai + bi ) · xi ∈ L(X) ya que
n
n
ai + bi ∈ K. Además a · x = a · i=1 ai · xi = i=1 a · ai · xi ∈ L(X) ya que
a · ai ∈ K. Entonces x + y y a · x ∈ L(X) para todos los vectores x, y ∈ L(X),
con a ∈ K. Esto implica que L(X) es el subespacio mı́nimo de V que contiene
a X. Corolario 29 Sea V espacio vectorial y X ⊂ V . Si X es subespacio de V, se
sigue entonces que L(X) = X.
Dem. 30 X ⊆ L(X) ya que si x ∈ X, esto implica que x = a1 ·x1 +· · ·+an ·xn =
1·x ∈ L(X). Por otro lado, si x ∈ L(X), se tiene que x = a1 ·x1 +· · ·+an ·xn con
xi ∈ X y como X es subespacio, se sigue que a1 · x1 + · · · + an · xn ∈ X. Vamos a ver algúnos ejemplos de lo anterior.
Ejemplo 31 .
a) H 1 = {(a, b) ∈ ℜ2 | a, b ∈ ℜ, b = am} una recta que pasa por cero en ℜ2 .
Se tiene:
L(H 1 ) = {x = a1 (a, am) | a, m, a1 ∈ ℜ} = H 1
b) H 2 = {(a, b) ∈ ℜ2 | a, b ∈ ℜ, b = am + n, m · n 6= 0} una recta que no pasa
por el origen. Entonces:
L(H 2 )
= {x = a1 (a, am + n) | a1 b, m, n ∈ ℜ}
= {x = (a1 a, a1 am + a1 n) | a1 , b, m, n ∈ ℜ} = ℜ2
Por lo que, una recta que no pasa por el origen, no es un subespacio, genera ℜ2 .
Con esto ya podemos introducir el concepto de independencia lineal.
Definición 32 Sea V espacio vectorial sobre el campo K y X ⊂ V un subconjunto arbitrario de V . X se llama linealmente independiente
P si para
cualquiera elementos distintos x1 , x2 , · · · , xn ∈ X se tiene que 0V = ni=1 ai ·xi ,
ai ∈ K, implica que necesariamente a1 = a2 = · · · = an = 0K .
X se llama linealmente
dependiente si X no es linealmente independiente.
P
Es decir, si 0V =P ni=1 ai · xi implica que al menos un aj 6= 0. En tal caso
n
0V = aj · xj + i=1,i6=j ai · xi de donde podemos despejar xj como xj =
P
n
−a−1
j
i=1,i6=j ai · xi . O sea, xj depende de todas los demás vectores en forma
lineal.
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Notación 33 Cuando un conjunto de vectores sean linealmente independientes,
diremos que son l.i.
Al número minimo de vectores con los que podemos escribir todos los vectores de algún espacio o subespacio, se le llama base. Su definición es como
sigue.
Definición 34 Sea V espacio vectorial sobre el campo K y X ⊂ V . X se llama
base de V si
1) L(X) = V
2) X es linealmente independiente.
Esto es ası́ ya que 1) asegura la representatividad de cada x ∈ V por combinación lineal de los elementos deP
X. Es decir, L(X) ⊂ V implica que x ∈ L(X),
n
lo podemos escribir como x = i=1 ai · xi con cada xi ∈ X y cada ai ∈ K,
pero además x ∈ V. Por otro lado, V ⊆ L(X) implica
que si x ∈ V entonces
P
x ∈ L(X), esto es, x se puede escribir como x = ni=1 ai · xiP∈ L(X) siempre.
n
es única, ya que x = i=1 ai · xi y x =
Pn2) asegura que la representaciónP
n
i=1 (ai − bi ) · xi lo que implica que ai = bi
i=1 bi · xi , entonces x − x = 0V =
Vamos a ver un ejemplo muy representativo.
Ejemplo 35 V = K n Si definimos
e1
=
(1K , 0K , · · · , 0K )
e2
=
en
=
(0K , 1K , · · · , 0K )
..
.
(0K , 0K , · · · , 1K )
(1)
es una base en K n . Es decir, el conjunto E = {e1 , · · · , en } genera todo el
espacio K n = L(E), ya que x = (a1 , · · · , an ) = a1 · e1 + · · · + an · en ∈ L(E).
Por otro lado, E es linealmente independiente, ya que 0V = a1 ·e1 +· · ·+an ·en =
(a1 , · · · , an ) = (0K , · · · , 0K ) implica ai = 0, para toda i. Entonces K n siempre
tiene una base. Al conjunto (1) se le llama base canónica de K n y su dimensión
es n.
Ejemplo 36 Sea Pn el espacio vectorial de los polinomios de grado n. Entonces, una base de Pn es En = {1, x, x2 , · · · , xn }. Claramente la dimensión
del espacio Pn es n + 1.
Ejemplo 37 En el espacio de las funciones periódicas Fp , el conjunto Ep =
{1, cos(θ), cos(2θ), cos(3θ), · · · }, es una base de este espacio vectorial. La dimensión del espacio Fp es infinita.
En todo espacio vectorial es posible definir una base. La base canónica es,
desde muchos puntos de vista, la más simple. Este hecho lo ponemos en el
siguiente lema.
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Lema 38 Todo espacio vectorial contiene una base.
La demostración de este lema la dejaremos para libros mas especializados.
Aún más fuerte que este lema (y también enunciaremos sin demostración), es
el hecho de que para todo espacio vectorial siempre existe una base de éste y el
número de vectores de dos bases diferentes es siempre el mismo.
Proposición 39 Sea V espacio vectorial sobre K y sean X ⊆ V y Y ⊆ V dos
bases de V . Si X es finito, implica que Y es finito y tiene el mismo número de
elementos que X.
En base a esta proposición, es posible entonces hacer la siguiente definición:
Definición 40 La dimensión de un espacio vectorial V es el número de elementos de la base de V .
Notación 41 La dimensión de V se denota como dim V = n.
El concepto de dimensión esta basado entonces en la existencia de un espacio
vectorial y por tanto, del número de vectores de su base. Vamos a ver algunos
ejemplos para dejar más claro este concepto.
Ejemplo 42 dim K n = n pues se necesitan n elementos {ei }ni=1 para representar todo el espacio.
Ejemplo 43 Sea H 1 = {(a, am)} ⊆ ℜ2 . Una base de H 1 es X = {(1, m)},
entonces se tiene que dim X = 1. Esto implica a su vez que dim H 1 = 1.
Ejemplo 44 Sea V = {0V }, se tiene que dim V = 0
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Transformaciones Lineales
Los homomorfismos entre espacios vectoriales son de tal importancia, que incluso reciben un nombre especial. En esta sección veremos estos homomorfismos, sus propiedades más importantes y algúnos ejemplos representativos de
homomorfismos entre espacios vectoriales.
Definición 45 Sean V1 y V2 espacios vectoriales sobre el mismo campo K. Se
define el conjunto Hom(V1 , V2 ) = {f : V1 ⇀ V2 | f es homomorfismo}
Notación 46 A los homomorfismo entre espacios vectoriales se les llama transformaciones lineales o mapeos lineales y se denotan por L(V1 , V2 ) :=
Hom(V1 , V2 )
Vamos a escribir explı́citamente el concepto de transformación lineal. Sea
f ∈ L(V1 , V2 ), esto implica que la suma y el producto en los espacios se conservan
bajo f , esto es f (x + y) = f (x) + f (y) para todos los vectores x, y ∈ V1 y
f (k · x) = k · f (x) para todo k ∈ K, x ∈ V2 . Si ahora tomamos como conjunto
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base al conjuto de todas las transformaciones lineales, podemos introducir en
L(V1 , V2 ) la estructura de espacio vectorial. Vamos a definir entonces la suma y
el producto como
(f ⊕ g)(x)
=
f (x) + g(x)
(k ⊙ f )(x)
=
k · f (x) k ∈ K, x ∈ V1
y observemos que (f ⊕ g) ∈ L(V1 , V2 ), ya que + está definida en V2 . Ası́ mismo
(k ⊙ f ) ∈ L(V1 , V2 ) ya que · está definido en K × V2 → V2 . Entonces se tiene que
f ⊕ g y k ⊙ f son mapeos de V1 en V2 . Éste es un resultado muy importante,
porque con él tenemos el siguiente lema.
Lema 47 Sean V1 y V2 espacios vectoriales. Entonces (L(V1 , V2 ), ·, ⊕, ⊙) es un
espacio vectorial sobre K
Ejercicio 48 Demostrar el lema.
La pregunta que surge inmediatamente después de definir los mapeos lineales, es si la composición de mapeos lineales es también lineal y forma un espacio vectorial. Para ver esto, sean f ∈ L(V1 , V2 ) y g ∈ L(V2 , V3 ) y g ◦ f : V1 ⇀ V3
Para ver si g ◦ f ∈ L(V1 , V3 ), hay que checar las propiedades de espacio vectorial, dado que f y g son lineales. Sean x, y ∈ V1 entonces la suma cumple con
(g ◦ f )(x + y) = g(f (x) + f (y)) = g ◦ f (x) + g ◦ f (y), por la propiedades de
linearidad de ambas funciones. Análogamente, sean x ∈ V1 , k ∈ K, entonces
(g ◦ f )(k · x) = g(f (k · x)) = g(k · f (x)) = k · (g ◦ f )(x), por lo que ambas
propiedades se cumplen.
Otro caso interesante es cuando ambos espacios, el de salida y el de llegada
son el mismo, i.e., cuando V1 = V2 = V , entonces, claramente L(V, V ) es
un espacio vectorial sobre K con las operaciones + y · sobre V . Además,
si f, g ∈ L(V, V ) implica que f ◦ g ∈ L(V, V ). Algunas propiedades de estos
espacios son:
a) Sea k ∈ K, y f, g ∈ L(V, V ) entonces k · (g ◦ f ) = (k · g) ◦ f = g ◦ (k · f )
ya que para para toda x ∈ V se tiene que
[k · (g ◦ f )](x) = k · (g ◦ f )(x) =
=
k · g(f (x)) = (k · g) · (f (x)) = [(k · g) ◦ f ](x)
g(k · f (x)) = g((k · f )(x)) = [g ◦ (k · f )](x)
b) Como ◦ es asociativo para todo mapeo, entonces es asociativo para las
transfomaciones lineales.
c) (g + h) ◦ f = g ◦ f + h ◦ f es distributiva, para f, g, h ∈ L(V, V ).
b), c) y la cerradura para ◦ implican que (L(V, V ), +, ◦) es un anillo.
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Álgebras
La última estructura algebraica que veremos aquı́ es la de álgebra. Las álgebras
son más ricas en estructura que los espacios vectoriales, ya que en estas se definen
10
tres operaciones binarias. Para definir las álgebras usaremos el concepto de
módulo. Al igual que en los espacios vectoriales, los módulos se definen usando
dos operaciones binarias definidas en el conjunto con propiedades especiales. La
definición de un módulo es la siguiente.
Definición 49 Sea K anillo. (V, ⊕, ⊗) se llama módulo sobre K si:
1) (V, ⊕) grupo abeliano
2) ⊗ es mapeo de K × V en V, y para toda a, b ∈ K, y para toda x, y ∈ V
se tiene:
a) (a · b) ⊗ x = a ⊗ (b ⊗ x) es asociativa,
b) a ⊗ (x ⊕ y) = (a ⊗ x) ⊕ (a ⊗ y)
c) (a + b) ⊗ x = (a ⊗ x) ⊕ (b ⊗ x) son distributivos.
Es decir, un módulo consiste de un anillo K, de un grupo abeliano y de una
operación que combina elementos de K y V . Con este concepto es más sencillo
definir álgebra. Es más, un espacio vectorial, es un módulo muy particular, se
tiene:
Corolario 50 Un módulo (V, ⊕, ⊗) es un espacio vectorial, si se cumple que:
a) K es un campo o semicampo.
b) 1K ⊗ x = x para toda x ∈ V.
Usando la definición de módulo, podemos definir el concepto de álgebra.
Definición 51 Una estructura (A, +, ·, ◦) sobre K se llama álgebra si
1) K es anillo conmutativo con unidad
2) (A, +, ·) módulo sobre K, con 1K · x = x, para toda x ∈ A
3) ◦ es mapeo de A × A en A con las propiedades
a) k · (x ◦ y) = (k · x) ◦ y = x ◦ (k · y) para toda k ∈ K x, y ∈ A
(asociatividad).
b) z ◦ (x + y) = z ◦ x + z ◦ y; (x + y) ◦ z = x ◦ z + y ◦ z, para todos
x, y, z ∈ A (distributividad).
Ejemplo 52 Sea V espacio vectorial sobre el campo K, x ∈ V y k ∈ K. L =
(L(V, V ), +, ·, ◦) es un álgebra sobre el campo K con las siguientes operaciones
en L(V, V ).
+ : L(V, V ) × L(V, V )
⇀ L(V, V )
(f, g) → (f + g)(x) = f (x) + g(x),
· : K × L(V, V ) ⇀ L(V, V )
(k, g) → (k · f )(x) = k · f (x),
◦ : L(V, V ) × L(V, V ) ⇀ L(V, V )
(f, g) → (f ◦ g)(x) = f (g(x)).
para todas las f, g ∈ L(V, V ).
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Corolario 53 L es una álgebra asociativa (◦ es asociativa), no-conmutativa (◦
no es conmutativa), con unidad (◦ tiene unidad, el mapeo identidad).
Ejemplo 54 Sea K campo y K 3 , +, · su espacio vectorial asociado. Entonces
el espacio vectorial K 3 , con el producto cruz entre vectores definido por:
x × y = (a2 b3 − a3 b2 , a3 b1 − a1 b3 , a1 b2 − a2 b1 ) para x = (a1 , a2 , a3 ), y =
(b1 , b2 , b3 ), es un álgebra no conmutativa, asociativa.
Ejercicio 55 Demostrar con todo detalle que K 3 , +, ·, × , donde × es el producto cruz entre vectores, es una álgebra.
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