2.7 El cálculo en Si..

El Cálculo en Sistemas Deductivos
Cada uno de los sistemas que se han presentado en el capítulo anterior
constituye una caracterización alternativa de la noción de derivabilidad formal.
Haríamos mal, sin embargo, si pensásemos que esto es algo evidente o inmediato. La
distancia que separa las técnicas y procedimientos característicos de cada uno de
estos sistemas es suficiente como para que su equivalencia precise de demostración.
Esta situación contrasta fuertemente con la que tiene lugar en el dominio de la
consecuencia semántica, donde sólo se tiene en cuenta una única definición cuyo
formato, como veremos más adelante, es constantemente reutilizado en contextos
sustancialmente distintos a aquel en el que nos movemos ahora.
Todos estos asuntos y otros parecidos serán investigados en breve aunque eso
sí, convenientemente aligerados de excesivo formalismo y detalle técnico. En lo que
sigue me voy a ocupar de analizar la forma en que cada uno de estos sistemas actúa
en la práctica. Se trata de ver la manera de sacar partido de sus planteamientos
originales describiendo técnicas que faciliten la tarea de establecer la derivación de
argumentos dentro de cada uno de estos sistemas.
Sistemas axiomáticos. Constituye, como ya hemos visto, el único tipo de sistemas
deductivos que operan sobre la demostrabilidad de fórmulas. Esto es, establecen la
teorematicidad de fórmulas, o lo que es lo mismo, su derivabilidad a partir de conjuntos
vacíos de premisas. Obtener nuevos teoremas a partir de otros ya existentes es un
proceso naturalmente complejo. Las únicas dos operaciones que están a nuestra
disposición son la propia regla de prueba que el sistema ofrece, MP, y el reemplazo de
letras esquemáticas por cualesquiera fórmulas de LE, o incluso por nuevas
expresiones esquemáticas.
Lógica de Enunciados
No es fácil dar instrucciones útiles en este caso. Se suele decir que la única
estrategia realmente digna de tener en cuenta a la hora de trabajar con sistemas
axiomáticos es localizar un axioma cuya forma pueda, mediante las oportunas
substituciones, contener como consecuente la fórmula cuya teorematicidad se desea
probar. Una vez localizada esa instancia del axioma, el proceso se repite buscando en
esta ocasión el antecedente de esa instancia del axioma. De nuevo se intenta ver si
esta fórmula puede ser localizada en una instancia de substitución de algún axioma o
en su defecto en el consecuente de uno de ellos. El proceso finaliza si el antecedente
de la fórmula buscada coincide finalmente con una instancia de substitución de algún
axioma, o de algún teorema ya demostrado. Esto se resume en lo siguiente:
[1]
Cada fórmula buscada A en un proceso de prueba en Ax. sólo puede
proceder de uno de los dos siguientes casos:
i.
A es una instancia de substitución de un axioma de Ax. –se
puede aceptar que sea una instancia de un teorema ya
demostrado, o
ii.
A es una instancia de substitución del consecuente de un axioma
o de una subfórmula que sea a su vez el consecuente del
consecuente de un axioma –teorema ya probado-, etc de la
forma B→C.
El concepto de fórmula buscada volverá a aparecer más adelante. Con él sólo
pretendo organizar en la medida de lo posible la identificación de los pasos que
parecen más convenientes en el intento por obtener la derivación de una cierta fórmula
en un determinado sistema deductivo. Pese a que las instrucciones introducidas en [1]
pueden ser empleadas de forma recurrente para retrotraer la demostración de una
fórmula hasta establecer lo que parecen ser sus condiciones de posibilidad, hay que
dejar muy claro que un sistema axiomático no brinda, por sí sólo, medio alguno para
166
El Cálculo en Sistemas Deductivos
determinar si una fórmula es demostrable en su interior. No constituye por sí sólo un
procedimiento capaz de responder a este tipo de preguntas. No es lo que se denomina
habitualmente un procedimiento de decisión. Una fórmula es demostrable sólo si
existe una demostración. Pero no disponemos de medios para saber mediante las
propias técnicas de un sistema axiomático si tal demostración existe o no.
Con esto en mente, tal vez sea bueno ver un ejemplo clásico.
[2] Ejemplo: |Ax p→p.
1. |(p→((p→p)→p))→((p→(p→p))→(p→p))
tomando Ax.2 y
reemplazando del siguiente
modo: A=p, B=p→p y C=p.
2. |p→((p→p)→p)
tomando Ax.1 y
reemplazando del siguiente
modo: A=p, B=p→p.
3. |(p→(p→p))→(p→p)
MP entre 1 y 2
4. |p→(p→p)
tomando Ax.1 y
reemplazando A=p, B=p.
5. |p→p
MP entre 3 y 4.
La idea de ser parte consecuente de una fbf, mencionada de manera
sumamente informal en [1.ii], podría haberse depurado mucho más hasta obtener una
definición rigurosa. Sin embargo, este ejemplo basta para que nos hagamos una idea
de cuál sería su utilidad. La fórmula buscada p→p es parte consecuente de la
correspondiente instancia de substitución de Ax.2 aunque no es propiamente su
167
Lógica de Enunciados
consecuente. Vemos que la demostración progresa en la medida en que se van
encontrando instancias de substitución de los axiomas que permiten descargar por
medio de MP los correspondientes consecuentes. Eso es lo que sucede en 2 y luego
en 4.
La forma que adopta una de estas demostraciones merece comentario. Como
se puede ver, disponemos cada fórmula en una línea, aunque aquí, en realidad, lo que
aparecen en las distintas líneas son instancias de axiomas o teoremas. A la derecha
de cada línea colocamos una breve leyenda que justifica el tipo de operaciones que
dan lugar a la introducción de la fórmula que figura en dicha línea. Eso es todo. La
leyenda puede ser más o menos explícita, pero debe aclarar las razones que hay para
añadir una línea al listado. La demostración finaliza cuando se alcanza una línea que
contenga la fórmula inicialmente buscada. Al no tratarse de un procedimiento de
decisión en el sentido que he indicado más arriba, no hay forma de saber si el listado
lleva o no al punto deseado, ya que este siempre puede crecer mediante la adición de
una nueva línea convenientemente justificada.
Para finalizar, voy a hacer uso del sistema Ax’ descrito en [8] en un ejercicio de
derivación con supuestos –premisas-. Esto obliga a que empleemos la regla R1 como
una regla de inferencia, esto es, aplicable sobre cualquier fórmula y no sólo sobre
axiomas. Aunque este paso puede estar prohibido o limitado en ciertas ocasiones,
este no es, por fortuna, el caso ahora. Aprovecharé también para obtener un esquema
inferencial válido operando sólo con letras esquemáticas. La diferencia con el caso en
que procedemos con fórmulas de LE no va mucho más allá de un mero cambio
notacional.
168
El Cálculo en Sistemas Deductivos
[3]
Ejemplo: A→(B→C), A&B |Ax’ C
1. A→(B→C)
supuesto 1
2. A&B
supuesto 2
3. A&B→A
Ax.4
4. A
MP 2,3
5. B→C
MP 1,4
6. A&B→B
Ax.5
7. B
MP 2,6
8. C
MP 5,7
Este es un caso que permite entender muy bien el tipo de ventajas que se
desprenden de manejar sistemas más abundantes en recursos. Baste imaginar el
modo en que se habría tenido que proceder en caso de llevar a cabo esta derivación
con el primero de los sistemas considerados, es decir con Ax’.
Cálculo de Deducción Natural. Con el Cálculo de Deducción Natural nos situamos de
pleno en el dominio de la derivabilidad. Su atención está dirigida a establecer
argumentos derivables siendo un caso límite el que representa la prueba de una
fórmula a partir del conjunto vacío de premisas. En tal caso decimos, como en Ax., que
dicha fórmula es un teorema. Los teoremas demostrables en Ax. y en DN son los
169
Lógica de Enunciados
mismos, aunque como ya he dicho, este es un resultado que ha de ser establecido
mediante la oportuna demostración.
El modo de operar en Cálculo de Deducción Natural es bastante similar al que
hemos visto en el caso de los sistemas axiomáticos. Una derivación tiene, de hecho, el
mismo aspecto que una demostración en un sistema axiomático. Un primer lugar se
anota, en líneas sucesivas, las fórmulas que figuran como premisas y a continuación
se procede, según patrones heurísticos más o menos estructurados, a añadir nuevas
fórmulas con cuyo concurso se llega finalmente a la conclusión. Veremos primero un
ejemplo para ofrecer después un patrón heurístico bastante atinado.
[4] Ejemplo:
p→q&r, r&s→h, tvs |DN p&¬t→h
1.
p→q&r
2.
r&s→h
3.
tvs
4.
p&¬t
5.
p
E& 4
6.
q&r
E→ 1,5
7.
r
E& 6
8.
t
9.
¬s
10. ¬t
E& 4
11. t&¬t
I& 8,10
12. ¬¬s
I¬ 9-11
13. s
E ¬ 12
14. s
15. ¬s
16. s&¬s
17. ¬¬s
18. s
19. s
Ev 8-13, 14-18
20 r&s
I& 7,19
21 h
E→ 2,20
22 p&¬t→h
170
E¬ 17
El Cálculo en Sistemas Deductivos
Una lectura apresurada del ejemplo anterior puede producir la impresión de hallarnos
ante un galimatías de reglas empleadas con una perspicacia difícil de entender para el
profano. Sin embargo, hay un sistematismo en todo ello que, con un poco de esfuerzo,
se puede hacer explícito.
[5]
Guía heurística para la resolución de derivaciones en DN
1.
Identifíquese la fórmula buscada –fbfb, en símbolos- en función
de la información disponible.
2.
Inténtese localizar la fbfb entre las subfórmulas de alguna de las
fórmulas anteriores.
-
si es posible obtener la fbfb mediante el uso de
alguna regla de eliminación, entonces dirigirse al paso
3
3.
si no es posible tal cosa, dirigirse al paso 4
Aplicar la regla de eliminación que corresponda si tal cosa es
posible o seleccionar la fórmula que falte como nueva fbfb
volviendo entonces al paso 1.
4.
Si la fbfb no está entre las subfórmulas de alguna fórmula
anterior, entonces identifíquese su conectiva principal.
5.
Si la fbfb es atómica, o su conectiva principal es “v· entonces
dirigirse al paso 7.
6.
En caso contrario, proceder a copiar el formato de la regla de
introducción de la conectiva identificada substituyendo lo que
corresponda. Dirigirse al paso 8.
7.
Aplicar la regla (I¬) sobre la negación de fbfb.
8.
Si la última fbf no es la conclusión, dirigirse al paso 1.
La descripción de este procedimiento saca provecho de la propia filosofía que
subyace al planteamiento del Cálculo de Deducción Natural. Si una fórmula cuya
conectiva ha sido identificada puede figurar en una línea de una derivación ello sólo
puede deberse a que es el resultado de una regla de eliminación, en caso de que la
171
Lógica de Enunciados
fórmula buscada figure en alguna fórmula y sea eliminable, o en caso contrario, tiene
que ser el resultado de la aplicación de la regla de introducción de su conectiva
principal. Eso es todo. El ejemplo [4], analizado a la luz de esta guía, tiene un aspecto
muy diferente.
Hay que tener muy presente que lo anterior es una guía heurística y sólo eso.
Es decir, no proporciona una colección de instrucciones capaces de hacer ver cuándo
una derivación en DN no puede llevar a fin perseguido y cuándo sí puede hacerlo
aunque aún no haya llegado. En otras palabras, así descrita, esta guía heurística no
hace del Cálculo de Deducción Natural un procedimiento de decisión.
El paso 5 del listado de instrucciones que constituyen la guía anterior hace una
excepción en el caso de la disyunción que merece comentario. En lugar de considerar
que la presencia de una fórmula del tipo AvB en una derivación se debe al uso de la
correspondiente regla de introducción se procede a analizar esta fórmula como si se
tratase de un átomo. Esta especie de efecto de cancelación de la estructura provocado
por la presencia de la disyunción se explica analizando con un poco de atención el
carácter de esta peculiar conectiva. Si se pudiese suponer en general que la razón por
la que una fórmula del tipo AvB es añadida a una derivación es el uso de su regla de
introducción correspondiente ello obligaría a presumir la derivabilidad previa de alguna
de sus subfórmulas inmediatas. Esquemáticamente estaríamos ante:
[6]
Hipótesis para la derivación de fbfs del tipo AvB
Caso 1
Caso 2
…
…
nA
n’ B
n+1 AvB
…
172
Iv, n
n’+1 AvB
…
Iv, n’
Si las cosas fueran realmente de este modo, tendríamos que aceptar la validez
general de la siguiente regla relativa a la derivabilidad en DN: Si |DN AvB, entonces o
bien |DN A, o bien |DN B. Esta regla es obviamente inaceptable. El siguiente ejemplo de
derivación en DN permite entender las razones.
[7]
1.
Ejemplo:
|DN pv¬p
¬(pv¬p)
2.
p
3.
pv¬p
4.
(pv¬p)&¬(pv¬p) I& 1,3
Iv 2
5.
¬p
6.
pv¬p
Iv 5
7.
(pv¬p)&¬(pv¬p)
I& 1,6
8.
¬¬(pv¬p)
9.
pv¬p
E¬ 8
El principio representado por esta fórmula, conocido en la literatura y la historia
como Principio de Tertium Non Datur, o Principio de Tercio Excluso es derivable sin
que para ello podamos suponer la derivabilidad de |DN p o de |DN ¬p. Obviamente, nada
impide la existencia de casos particulares en los que la derivación de una fórmula del
tipo AvB pueda obtenerse a partir de la derivación de alguno de sus disyuntos, pero
como hemos visto, eso es algo que no cabe suponer en general.
El uso de la regla (I¬) combinada más tarde con su contrapartida (E¬) alude a
una estrategia que en ocasiones se denomina Prueba por Reducción al Absurdo. Su
justificación intuitiva es más o menos clara: si ignoramos si algo es consecuencia de
una cierta colección de datos, pero no somos capaces de establecer ese hecho de
forma directa, entonces tal vez sea más fácil suponer que se sigue lo contrario para
forzar así una contradicción. Si suponer algo supone asumir contradicciones ello se
debe a que se cumple exactamente lo contrario de lo que se ha supuesto. Este
principio, así expuesto, constituye un procedimiento de demostración que va mucho
Lógica de Enunciados
más allá de las modestas técnicas que caracterizan el Cálculo de Deducción Natural.
Se trataría, más bien, de un principio metateórico aplicable a cualquier dominio
particular o cálculo cuyos efectos se dejan sentir en algunas discusiones típicas en
fundamentos de Matemáticas.
Un último comentario acerca de los rasgos definitorios de DN me lleva a hablar
de un tópico muy extendido relativo al modo de interpretar las reglas de este
procedimiento. Una de las supuestas bondades de DN es que el par de reglas –
introducción y eliminación- asociado a cada conectiva puede ser interpretado como la
definición de la conducta de esa conectiva en el cálculo. Esto implica que cada uno de
estos pares ha de ser capaz de establecer esa conducta sin recurrir a ningún uso
previo de la conectiva afectada y que cada par de reglas ha de ser independiente por
completo de los demás. Es un asunto bastante controvertido determinar si el Cálculo
de Deducción Natural se ajusta realmente a estos requisitos o si, más bien, lo hace
sólo en la superficie y bajo condiciones contextuales muy determinadas. La regla de
introducción del negador viola ambos requisitos, por ejemplo. Seguramente se puede
sostener que esa circunstancia puede ser reconducida mediante cambios oportunos
en el formato de esa regla, pero también hay quien opina que tales cambios requieren
un fuerte protagonismo del contexto general en que se opera.
Tablas Analíticas. El Cálculo de Tablas Analíticas, TA, se mueve, al igual que DN, en
el terreno de la derivabilidad de argumentos y no en el de la demostración de
teoremas. En cualquier caso, ya hemos visto que para el lenguaje L E y el tipo de
caracterización de la consecuencia que nos ocupa, la diferencia entre una y otra cosa
se desvanece en la práctica. La novedad en el caso de TA es que su diseño está
pensado para generar un procedimiento de decisión para la consecuencia en LE. No
se trata de un rasgo atribuible tan sólo al formato general de un cálculo del tipo de TA,
sino que también interviene en ello la bondad de las reglas que caracterizan las
conectivas de LE. Dicho de otra forma, habremos de enfrentarnos a cálculos de Tablas
Analíticas para lenguajes distintos de LE que, pese a conservar el formato general de
uno de estos procedimientos, no resultará ya un procedimiento de decisión. La razón
174
El Cálculo en Sistemas Deductivos
de que sea así residirá, como parece obvio, en las características de las nuevas reglas
que haya sido preciso considerar en tales casos.
Cuando la relación de consecuencia de una Lógica, ya se trate de
caracterizarla en términos de consecuencia semántica o en términos de derivabilidad
formal, queda asociada a un procedimiento de decisión, decimos que esa Lógica es
decidible. La Lógica Clásica definida sobre L E es, entonces, decidible. Esto explica que
el Cálculo de Tablas Analíticas haya sido considerado en ocasiones, e impropiamente
a mi juicio, como un método preliminar destinado a determinar si un argumento es o no
derivable. Si el resultado es afirmativo, entonces se procede a su cálculo real, que es,
por lo común, una construcción en DN. Esto supone, en el fondo, un intento de
justificar la vigencia del Cálculo de Deducción Natural en el tratamiento de Lógicas
decidibles, cuando en tales casos, lo que el sentido común aconseja es olvidarse de
DN y trabajar sólo con cálculos que aporten un procedimiento de decisión.
Antes de seguir comentando las características de TA, convendrá que
consideremos algún ejemplo.
[8] Ejemplo:
(p&(q&r))→s, p→q |TA p→(r→s)
1. (p&(q&r))→s
2. p→q
T0
T1
3. ¬{p→(r→s)}
T2
4. p
5. ¬(r→s)
T4
6. r
T5
T6
7. ¬s
8. ¬p
T3
9. q
10. ¬(p&(q&r))
12. ¬p
11. s
13. ¬(q&r)
14. ¬q
15. ¬r
175
Lógica de Enunciados
T0= Premisas + negación de la conclusión
T1= T0+ (F→) sobre 3
T2= T1 + (F→) sobre 5
T3= T2 + (V→) sobre 2
T4= T3 + (V→) sobre 1
T5= T4 + (F&) sobre 10
T6= T5 + (F&) sobre 13.
En esta ocasión he optado por representar exactamente la secuencia de tablas
que extienden a T0, denominada en ocasiones cabecera, hasta llegar a una tabla
terminada, según la terminología introducida en [14.ii]. Cada una de las ramas de T6
resulta estar cerrada, y por tanto la propia tabla T 6 es una tabla cerrada. Esto permite
afirmar que el argumento anterior es efectivamente derivable.
En el desarrollo de este ejercicio me he permitido el lujo de detener el desarrollo de
una rama en el mismo momento en que aparece en ella una fórmula y su negación. La
razón de ello se puede exponer en forma de un teorema trivial.
[9]
Teorema: Toda rama cerrada extendida mediante la aplicación de
reglas a fórmulas no usadas en esa rama da lugar a una tabla cerrada.
Esquema de demostración. La rama original cerrada forma parte de
toda rama de la tabla terminada que resulta de usar todas las fórmulas
no usadas.
Que el método de Tablas Analíticas constituya en este caso un procedimiento
de decisión para la consecuencia lógica de LE depende del carácter efectivo de la
noción de tabla terminada. Podemos decir que una tabla tiene este carácter debido a
que llega un punto en que no hay forma de extender una rama mediante el uso de
fórmulas sin añadir fórmulas ya presentes en esa rama. La apreciación de este
176
El Cálculo en Sistemas Deductivos
fenómeno permite considerar cada fórmula usada como una entidad que ya ha vertido
todas su información. Puesto que cada regla añade sólo fórmulas de menor grado
lógico, hay un punto en que cada fórmula que podía ser usada ya lo ha sido, y no hay
más que átomos y/o negaciones de átomos sin usar. Puesto que estas fórmulas no
son sujeto de la cabecera de regla alguna, podemos dar por finalizado el proceso de
extensión de la tabla. Se puede afirmar, por tanto, que la existencia de tablas
terminadas depende de dos hechos fundamentales: i. que cada regla sólo introduce un
número finito –2 a lo sumo- de fórmulas de menor grado lógico que la que figura en la
cabecera y ii. que la extensión de una tabla mediante la aplicación de la
correspondiente regla a una fórmula ya usada sólo introduce información que ya está
presente en la rama.
A continuación voy a ofrecer un ejemplo en el que la tabla terminada que se
obtiene queda abierta. Omitiré las explicaciones en este caso.
[10] Ejemplo: ¬p→q, q |TA p
1. ¬p→q
2. q
3. ¬{p}
4. ¬¬p
(V→) en 1
6. p
(F¬) en 4
5.q
(V→) en 1
La segunda rama de esta tabla terminada queda abierta y, por tanto, el
argumento anterior no es derivable.
Las reglas de TA pueden ser claramente agrupadas en dos clases. La primera
está formada por todas aquellas reglas que prolongan una tabla Tn en una tabla Tn+1
sin aumentar el número de ramas ya existentes. Estas son (V&), (Fv), (F→) y (F¬). La
segunda son aquellas que producen dos ramas nuevas a partir de cada una de las
ramas que quede bajo su alcance. Como es obvio son las restantes, esto es, (Vv),
177
Lógica de Enunciados
(V→) y (F&). El uso de una de estas reglas introduce lo que se denomina un punto de
bifurcación a continuación de cada nodo terminal en una rama. Veámoslo con un
ejemplo.
[11]
Ejemplo:
....
....
A→B
....
Tn
C
Tn+1
D
¬A
E
B
¬A
B
En Tn los nodos ocupados por las fórmulas D y E son nodos terminales. Estos nodos
quedan bajo el alcance de A→B que está en Tn sin usar. El resultado es, como se
puede ver, una tabla Tn+1 que consta de doble número de ramas que Tn al haber
convertido en puntos de bifurcación los nodos terminales de Tn. Esto ilustra también un
aspecto trivial pero a tener en cuenta en el desarrollo de una tabla. Cuando se procede
a usar una fórmula en una tabla, el resultado de la aplicación de la correspondiente
regla debe añadirse a continuación de cada nodo terminal que quede bajo el alcance
de esa fórmula. Pero el aspecto que me interesaba comentar no era este, sino el que
se refiere al modo de proceder cuando se tienen varias fórmulas sin usar en una rama.
¿Cómo se ordena la aplicación de las correspondientes reglas a tales fórmulas? Como
es evidente, se puede proceder por estricto orden de aparición sin preocuparnos de
nada más, o bien se puede aplicar un poco de análisis e intentar que las tablas
bifurquen en varias ramas lo más tarde posible. Esta situación remite a un conflicto
como el que se ilustra en el siguiente ejemplo:
178
El Cálculo en Sistemas Deductivos
[12]
Ejemplo:
....
....
A→B
A→B
C&D
C&D
C
¬A
B
C
C
D
D
D
¬A
B
Las dos tablas anteriores constituyen desarrollos alternativos de una y la
misma tabla original. La diferencia reside en el orden en que han sido usadas las
fórmulas que aún permanecen sin usar en cada una de ellas. En la primera, la de la
izquierda, se ha seguido un estricto orden de aparición, lo cual provoca la inmediata
adición de un punto de bifurcación al cual ha de añadirse el resultado del uso de la
siguiente fórmula. En la segunda tabla, la de la derecha, se ha optado por usar primero
la fórmula que no introduce puntos de bifurcación. El resultado en este caso es una
tabla que ramifica más tarde, logrando así un desarrollo más económico de cada una
de estas demostraciones. Las fórmulas a las que les corresponden reglas que no
introducen puntos de bifurcación se denominarán aquí fórmulas tipo α, mientras que
aquellas otras que sí introducen puntos de bifurcación se denominarán fórmulas tipo β.
La rutina más aconsejable para construir una de estas tablas es otorgar siempre
prioridad al uso de fórmulas tipo α con independencia de cuál sea su orden de
aparición. Faltaría demostrar que este tipo de estrategia no altera el resultado de una
tabla analítica en curso, pero pienso que el ejemplo [112] es suficientemente claro
como para ahorrarnos ese trabajo.
179
Lógica de Enunciados
La demostración de teoremas no ofrece en este caso mayor problema. La tabla T0, o
cabecera, constará en ese caso de un único nodo ocupado por la negación de la
fórmula que se desea demostrar.
Cálculo de Secuentes: Los Cálculos de Secuentes constituyen un grupo de
procedimientos cuya importancia ha ido claramente en aumento en los últimos
tiempos. La razón seguramente reside en que en ellos se combinan una cierta
flexibilidad en el tratamiento práctico de problemas con una notable capacidad para
brindar resultados metateóricos de importancia. La idea que subyace a la construcción
de un sistema de secuentes es que de toda inferencia aceptable no es sino la
complicación de un único caso elemental: el representado en el axioma. La división en
dos tipos de reglas, estructurales y lógicas, permite distinguir, no sin ciertos riesgos,
elementos impuestos por condiciones generales de la consecuencia de aquellos otros
directamente imputables a la representación de la conducta de las conectivas. En la
actualidad existe considerable polémica en cuanto a la relación existente entre estos
dos ámbitos y en el modo en que determinan el comportamiento global de una relación
de consecuencia. La gran flexibilidad de estas reglas, así como el inmenso potencial
de recursos con el que se conectan han permitido que se investiguen y consideren
variantes y alternativas que en otros formalismos habrían quedado prácticamente
ocultas. Dejaré a un lado este tipo de problemas, sin duda apasionantes para el
experto, y mostraré simplemente el modo de proceder con este tipo de cálculos.
Si respetásemos al pie de la letra el diseño del Cálculo de Secuentes ofrecido
en el capítulo anterior, una demostración partiría de una colección finita de instancias
del axioma que van siendo empleadas por turno para obtener nuevos secuentes
mediante el uso de las oportunas reglas de introducción. Veámoslo con un ejemplo.
180
El Cálculo en Sistemas Deductivos
[13]
Ejemplo: p→(q&r), r&¬q |SC r&(p→s)
1.
r, p, q ⇒q, s (Ax)
2.
r, r, p, q ⇒q, s (Mon. 1)
3.
q&r, r, p⇒q, s (I& 2)
4. r, p ⇒ p, q, s (Ax)
5.
p→(q&r), r, p ⇒ q, s (I→ 3,4)
6.
p→(q&r), r⇒ q, p→s (D→ 5)
7.
p→(q&r), r, ¬q ⇒ p→s (I¬ 6)
8. p→(q&r), r, ¬q ⇒ r (Ax)
9. p→(q&r), r, ¬q ⇒ r&(p→s) (D& 7,8)
10. p→(q&r), r&¬q ⇒ r&(p→s)
Como sucede en el caso del Cálculo de Deducción Natural, la contemplación
de una de estas derivaciones puede llevar a pensar en la necesidad de contar con una
especie de intuición especial sin la que el resultado difícilmente se alcanzaría. Puede
decirse que el Cálculo de Secuentes constituye, de nuevo, un tipo de procedimiento
muy alejado de los mecanismos que hacían de las Tablas Analíticas un procedimiento
de decisión. No es un cálculo orientado a la decisión. Sin embargo, existe un modo de
operar con este tipo de cálculo capaz de aprovechar una propiedad cuyo valor ya
tuvimos oportunidad de ver al comentar el procedimiento Tablas Analíticas. Si
revisamos una por una las reglas del Cálculo de Secuentes apreciaremos sin especial
esfuerzo que todas ellas, salvo una, contienen secuentes en su cabecera cuyas
fórmulas reaparecen en la conclusión de esa regla, ya sea como tales, o como
subfórmulas de una fórmula de mayor grado lógico. Esta característica singular se
suele denominar propiedad de las subfórmulas. Una regla preserva la propiedad de las
subfórmulas cuando se comporta del modo indicado. Hay una, la regla de corte, que
evidentemente no preserva esta propiedad. La fórmula de corte, A, en el formato
ofrecido en [16] en el capítulo anterior, desaparece en el secuente que constituye la
conclusión de esa regla. Esto supone, desde un punto de vista intuitivo, aceptar que
puede haber información que no figura en el secuente que resulta de un proceso de
cálculo que se precisa, no obstante, para la obtención de ese secuente. Si existiesen
secuentes que sólo son derivables mediante un uso relevante de la regla de corte,
entonces nos veríamos obligados a aceptar un componente conjetural ineliminable en
181
Lógica de Enunciados
el proceso de cálculo que lleva a ese secuente: sería necesario acertar con la fórmula
de corte que se precisa en el proceso que permite derivar finalmente un cierto
secuente. Si, por el contrario, no hay ningún secuente derivable qué sólo pueda
obtenerse con la participación relevante de la regla de corte, entonces podríamos
considerar que un secuente contiene siempre toda la información relevante que es
preciso considerar a la hora de establecer su derivación en un Cálculo Secuencial.
Establecer que no existe ningún secuente que sólo sea derivable mediante un
uso relevante de la regla de corte supone demostrar que para cada posible derivación
en la que participa esta regla existe otra con idéntico resultado en la que la regla de
corte no se precisa. Este resultado, nada trivial desde un punto de vista formal e
incluso intuitivo, recibe el nombre de Teorema de Eliminación de Corte. Fue
establecido por vez primera por Gentzen bajo el rótulo bastante elocuente de
Hauptschatz –o Proposición Fundamental-. El Cálculo de Secuentes para LE admite la
eliminación de Corte. Este dato permite afirmar que cada secuente derivable puede
ser obtenido mediante el uso de reglas en las que la información codificada en el
axioma nunca disminuye, preservando la propiedad de la subfórmula. Combinando
estos datos podemos afirmar que un uso inverso de las reglas a partir de un secuente
ofrecido a modo de hipótesis, conducirá finalmente a secuentes que sólo contengan
fórmulas atómicas, actuando de este modo como una especie de punto final en el
proceso. Si cada uno de esos secuentes es una instancia del axioma, es obvio que
podrán ser empleados, mediante la inversión literal del proceso, para derivar el
secuente propuesto. En caso contrario, es decir, si alguno de esos secuentes no es
una instancia del axioma, entonces la conclusión será exactamente la contraria: el
secuente original no será derivable.
Lo que se obtiene de este modo es un tratamiento del Cálculo de Secuentes
capaz de hacer de él un procedimiento de decisión para la consecuencia sobre LE.
Como se acaba de ver, que esto sea así depende esencialmente de un resultado de
gran alcance: la eliminabilidad de la regla de corte. Que esta regla sea eliminable, en
el sentido que ya he indicado, no garantiza que el Cálculo resultante sea un
182
El Cálculo en Sistemas Deductivos
procedimiento de decisión, pero al menos es condición necesaria para que lo pueda
ser.
El siguiente ejemplo muestra cómo se procede invirtiendo el desarrollo normal
de una derivación en Sq actuando, además, sobre la demostración de un teorema.
[14]
Ejemplo: |Sq (p→(q→r))→(p&q)→r
1.
⇒(p→(q→r))→(p&q)→r
2.
(p→(q→r)) ⇒ (p&q)→r
(D→ 1)
3.
(p→(q→r)), (p&q) ⇒ r
(D→ 2)
4.
(p→(q→r)), p, q ⇒ r
5.
q→r, p, q ⇒ r
(I & 3)
6. p, q ⇒ r, p
(I→ 4)
(I→ 4)
(Ax)
7.
p, q, r ⇒ r (I→ 5)
(Ax)
8. p, q ⇒ r, q
(I→ 5)
(Ax)
Como se puede ver, la inversión de lo que sería el proceso normal de prueba
acaba por mostrar que los tres secuentes atómicos –que sólo contienen fórmulas
atómicas- a que se llega, 6 7 y 8, son instancias del axioma. Por tanto, si partiéramos
de estos aplicando ahora las reglas en su orden natural, el resultado sería, como es
evidente el deseado.
Veamos ahora un ejemplo de argumento no derivable.
[15]
Ejemplo: p→(q→p) |Sq q→p
183
Lógica de Enunciados
1.
p→(q→p) ⇒ q→p
2.
p→(q→p), q ⇒ p
3.
q→p, q ⇒ p (I→ 2)
5. p, q ⇒ p (I→ 3)
(Ax)
(D→ 1)
4. q ⇒ p, p (I→ 2)
6. q ⇒ p, q
(I→ 3)
(¡!)
(Ax)
El secuente atómico que figura en 4 no es una instancia del axioma y en
consecuencia, el argumento no es derivable. Puesto que la serie de reglas empleadas
en [15] es, en realidad, la única que cabe emplear –sin introducir operaciones
redundantes- para obtener el resultado deseado, el que se llegue a la conclusión de
que es preciso considerar un secuente que no es una instancia del axioma equivale a
mostrar la imposibilidad de demostrar ese secuente recurriendo sólo a principios
lógicos, o que es lo mismo, recurriendo sólo a las herramientas de Sq. Una forma
alternativa de entender este resultado es aquella por la cual lo que queda en evidencia
es que este argumento es derivable siempre y cuando existan razones extralógicas
para sostener la aceptabilidad de un secuente como 4.
Orientación Bibliográfica.
En general, sirven las mismas referencias que en la sesión anterior. Para
obtener listados de problemas se hace necesario acudir a [Deaño, 1975], [Copi,1961]
[Garrido, 1974], y [Falguera y Martínez Vidal, 1999].
184