ANEXOS Johannes Kepler

INTRODUCCION
Las leyes propuestas por Johannes Kepler hace cuatro siglos han tenido un
significado especial en el estudio de los astros, ya que permitieron describir su
movimiento; fueron deducidas empíricamente por Johannes Kepler a partir del
estudio del movimiento de los planetas, para lo cual se sirvió de las precisas
observaciones realizadas por Tycho Brahe Sustituyeron una versión idealizada
de las leyes de la física, basandose en una idea fértil : el heliocentrismo,
desarrollado por Nicolás Copérnico, y un concepto innovador, la primacía de la
observación (Tycho Brahe). Sólo tiempo después, ya con el aporte de Isaac
Newton fue posible advertir que estas leyes son una consecuencia de la
llamada Ley de Gravitación Universal.
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INDICE
Concepciones mitológicas en la antigüedad…………..…………………………3
Johannes Kepler (modelos de Universo) .……………………..………………....3
1. Concepciones y leyes de Kepler……………………………….…………………..5
1.1 Primera ley de
Kepler……………………………………………………….………………..7
1.2 Segunda Ley de Kepler…………………………………….………………8
1.3 Tercera Ley de Kepler……………………………………….…………….11
1.4 Nuevo concepto de la ley física…………………………….……....……13
Isaac Newton………………………………………………………….…………….14
2. Ley de la Gravitación Universal………………………………….……………16
Conclusiones……………………………………………………………………..21
Bibliografía………………………………………………………………………..22
Anexos…………………………………………………………………………….23
2
Concepciones mitológicas en la antigüedad
Johannes Kepler
Johannes Kepler (1571-1628). Nació en Leonberg, Alemania, donde comenzó
a estudiar en el colegio latino. En 1584 ingresó en el seminario protestante de
Adelberg y en 1589 comenzó su educación universitaria en teología en la
Universidad Protestante de Tübingen. Allí le influenció un profesor de
matemáticas, Michael Maestlin, partidario de la teoría heliocéntrica del
movimiento planetario desarrollada en principio por el astrónomo polaco
Nicolás Copérnico. Kepler aceptó inmediatamente la teoría copernicana al
creer que la simplicidad de su ordenamiento planetario tenía que haber sido el
plan de Dios.
En 1594 marchó a Graz (Austria), donde elaboró una hipótesis geométrica
compleja para explicar las distancias entre las órbitas planetarias, que se
consideraban circulares erróneamente. Kepler planteó que el Sol ejerce una
fuerza que disminuye de forma inversamente proporcional a la distancia e
impulsa a los planetas alrededor de sus órbitas. Publicó sus teorías en un
tratado titulado Mysterium Cosmographicum en 1596. Esta obra es importante
porque presentaba la primera demostración amplia y convincente de las
ventajas geométricas de la teoría copernicana.
Modelo de universo según Kepler
Excepto por Mercurio, el sistema de Kepler funcionaba de manera muy
aproximada a las observaciones. Debido a su fama como matemático, Kepler
fue invitado por Tycho Brahe a Praga para que trabajara con él como asistente
y calculara las nuevas órbitas de los planetas basándose en sus
3
observaciones. Al morir Tycho, en el año 1601, fue nombrado su sucesor en el
cargo de matemático imperial, puesto que ocupó hasta 1612.
Una de sus obras más importantes durante este periodo fue Astronomía nova
(1609), la gran culminación de sus cuidadosos esfuerzos para calcular la órbita
de Marte. Este tratado contiene la exposición de dos de las llamadas leyes de
Kepler sobre el movimiento planetario. Según la primera ley, los planetas giran
en órbitas elípticas, con el Sol en uno de los focos. La segunda, o regla del
área, afirma que una línea imaginaria desde el Sol a un planeta recorre áreas
iguales de una elipse durante intervalos iguales de tiempo. En otras palabras,
un planeta girará con mayor velocidad cuanto más cerca se encuentre del Sol.
En 1612 Kepler se hizo matemático de los estados de la Alta Austria. Mientras
vivía en Linz, publicó su Harmonices mundi Libri (1619), cuya sección final
contiene otro descubrimiento sobre el movimiento planetario (tercera ley): la
relación entre el cubo de la distancia media (o promedio) de un planeta al Sol y
el cuadrado del periodo de revolución del planeta es una constante y es la
misma para todos los planetas.
Foto 3
Hacia la misma época publicó un libro, Epitome astronomiae copernicanae
(1618-1621), que reúne todos los descubrimientos de Kepler en un solo tomo.
Igualmente importante fue el primer libro de texto de astronomía basado en los
principios copernicanos, y durante las tres décadas siguientes tuvo una
influencia capital para muchos astrónomos.
La última obra importante aparecida en vida de Kepler fueron las Tablas
rudolfinas (1625). Basándose en los datos de Brahe, las nuevas tablas del
movimiento planetario reducen los errores medios de la posición real de un
planeta de 5° a 10'. Más adelante, Isaac Newton se basó en las teorías y
observaciones de Kepler para formular su ley de la gravitación universal.
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1. Concepciones y Leyes de Kepler
La
teoría
del
movimiento
planetario se desarrolla ahora con inusitado impulso. Nos encontramos
alrededor del año 1600. El Renacimiento y la Reforma están pasando. El
sistema de Copérnico era seguido por unos pocos astrónomos que
comprendían las ventajas de cálculo que ofrecía, pero que no tomaban en serio
sus implicaciones físicas y filosóficas. A través de este silencio se levantó una
voz anunciando los primeros gritos de la batalla que se acercaba. El panteísta
antiortodoxo Giordano Bruno, evangelizando a Copérnico, viajó por toda
Europa anunciando que los límites del Universo estaban infinitamente alejados
y que nuestro sistema solar es simplemente uno entre los infinitos que existen.
A causa de las distintas herejías pronunciadas fue juzgado por la Inquisición y
quemado en el patíbulo en 1600. Sin embargo, las semillas de una nueva
ciencia estaban fructificando vigorosamente en todas partes. En Inglaterra
surgen Francis Bacon (1561-1626) y William Gilbert (1540-1603); en Italia,
Galileo Galilei (1564-1642). Y en Copenhague, Tycho Brahe (1546-1601), el
primer hombre desde los griegos que aportó mejoras en las observaciones
astronómicas, pasó casi toda su vida registrando las observaciones de los
movimientos planetarios que efectuaba con una precisión no alcanzada hasta
entonces. Sus datos eran, frecuentemente, de una precisión superior a medio
minuto de arco, más de veinte veces mejores que las de Copérnico, cuando el
telescopio todavía no se había inventado.
Después de la muerte de Tycho, su ayudante alemán Johannes Kepler
continuó sus observaciones y, especialmente, el análisis de la gran cantidad de
datos recopilados. En tanto que Tycho había desarrollado un sistema planetario
propio, Kepler era partidario de Copérnico. El propósito de sus trabajos era la
construcción de unas tablas astronómicas de los movimientos planetarios
mejores que las que entonces existían construidas sobre los datos poco
precisos de la época del propio Copérnico. Pero la motivación de Kepler, y su
principal preocupación, era la perfección de la teoría heliocéntrica, cuya
armonía y simplicidad contemplaba con arrebatada e increíble delicia.
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Desde el comienzo de sus trabajos fue fuertemente influido por el punto de
vista metafísico asociado a la tradición pitagórica y neoplatónica. a Esta
tradición había revivido en el Renacimiento como uno de los desafíos a la
hegemonía de Aristóteles. Para Kepler, aún más que para Copérnico, la
directriz de la mente divina era el orden geométrico y las relaciones
matemáticas que venían expresadas en las características del sencillo
esquema heliocéntrico Entre sus primeras publicaciones encontramos un
intento entusiasta de ligar los seis planetas conocidos y sus distancias al Sol
con las relaciones entre los cinco sólidos regulares de la geometría. El mejor
resultado de este trabajo fue llamar la atención de Kepler hacia Tycho y
Galileo.
Al intentar ajustar los nuevos datos de la órbita de Marte a un sistema de
Copérnico con movimiento circular uniforme simple (aunque se usasen
ecuantes), Kepler halló, después de cuatro años de labor, ¡que esto no podía
hacerse!
Los nuevos datos colocaban la órbita justamente ocho minutos de arco fuera
del esquema de Copérnico. Copérnico no habría dado importancia a esto,
porque sabía que sus observaciones tenían errores dentro de este margen.
Pero Kepler sabía que el ojo infalible de Tycho y sus soberbios instrumentos
daban medidas con un margen de error científico menor; frente a los hechos
cuantitativos, Kepler no quiso ocultar, con hipótesis convenientes, estos ocho
minutos (con una integridad que ha de considerarse como actitud
característica) como una fatal diferencia. Para él, estos ocho minutos
significaban, simplemente, que el esquema de Copérnico, con un número
limitado de esferas concéntricas y epiciclos, fallaba para explicar el movimiento
real de Marte cuando las observaciones de aquel movimiento se hacían con
suficiente precisión.
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1.1 PRIMERA LEY DE KEPLER
Kepler debió quedarse anonadado con este descubrimiento, pues,
después de todo, era un copernicano convencido. Siguieron algunos
años de continua labor buscando un medio de retocar la teoría de
Copérnico para hacerla aplicable a las nuevas observaciones tanto
como a las antiguas. Kepler terminó, finalmente, por desechar la premisa
que ligaba el sistema de Copérnico más explícitamente a las doctrinas
de la antigua Grecia. Cuando Kepler estaba estudiando las trayectorias
de los planetas según la imagen heliocéntrica, se le ocurrió que podían
corresponder a una figura, la elipse, cuyas propiedades ya eran
conocidas por los matemáticos del siglo II a. C. (Resulta irónico que
Apolonio, que propuso el artificio de los epiciclos, desarrollara la teoría
de las elipses sin pensar en su posible aplicación a la astronomía). Por
tanto, si se admitía que la elipse era la trayectoria “natural” de los
cuerpos celestes, se obtenía un esquema geométrico del mundo, de
gran simplicidad, en el cual todos los planetas se mueven en órbitas
elípticas con el Sol en uno de los focos. Esta ley de las órbitas elípticas
es una de las tres grandes leyes de Kepler del movimiento planetario,
generalmente conocida como su primera ley.
La primera ley de Kepler, al enmendar la teoría heliocéntrica de
Copérnico da una representación mental maravillosamente simple del
sistema solar. Se eliminan todos los epiciclos, todos los excéntricos; las
órbitas son simples elipses. Una representación esquemática del
sistema solar según la concepción actual es en esencia la misma de
Kepler, pero con la adición de los planetas Urano, Neptuno y Plutón,
descubiertos mucho después.
Aunque Kepler era feliz al saber que podía reemplazar las complicadas
combinaciones de epiciclos y excéntricas utilizadas hasta entonces para
describir la órbita de un planeta mediante una simple elipse, debió
hacerse a sí mismo la siguiente pregunta: “¿No es algo misterioso que
de todos los tipos posibles de trayectorias los planetas hayan elegido
justamente la elipse? Podemos comprender la predisposición de.
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Platón por los movimientos circulares y uniformes, ¡pero no podemos
entender fácilmente la insistencia de la Naturaleza en la elipse!”. La
respuesta racional a esta cuestión no llegó hasta que un destacado
genio inglés, de casi ochenta años, demostró que la ley de la elipse era
una de las muchas consecuencias sorprendentes de una ley de la
Naturaleza de mucho mayor alcance. Sin embargo, todavía no estamos
preparados para seguir su razonamiento.
Si, de momento, aceptamos la primera ley de Kepler como un resumen
de hechos observados –una ley empírica—observamos que para
describir las trayectorias la ley nos da todas las posibles localizaciones
de un planeta determinado, pero no nos dice cuando estará en
cualquiera de estas posiciones; nos habla de la forma de una órbita,
pero no dice nada de la velocidad variable con que el planeta la recorre.
Esto hace que la ley resulte inadecuada para un astrónomo que desea
conocer la posición que un planeta ocupa en un momento determinado,
o para un profano que ya sabe (como observamos antes en relación:
con el ecuante) que el Sol parece moverse más rápido a través de las
estrellas en invierno que en verano. Naturalmente, Kepler conocía bien
todo esto y, de hecho, incluso antes de enunciar lo que ahora llamamos
su “primera” ley, había establecido ya otra que regía las variaciones de
velocidad de un planeta
1.2 SEGUNDA LEY DE KEPLER
Kepler sabía que necesitaba una relación matemática entre la
velocidad de un planeta en una posición de su órbita y la velocidad
en cualquier otra posición. Si pudiese encontrarse tal relación se
determinaría el movimiento de un planeta cualquiera con muy pocos
datos: dos para determinar la elipse (por ejemplo, las longitudes de
los ejes mayor y menor), un tercer dato para dar la velocidad en
algún punto particular de su trayectoria (por ejemplo, en el perihelio,
donde el planeta está más próximo al Sol), y otro dato más para
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determinar la inclinación del plano de su órbita respecto al de los
otros planetas. Así, si pudiese encontrarse una relación simple entre
la velocidad y la posición, se resumirían las características del
movimiento de los planetas de un modo compacto y elegante.
Pero hasta ahora nada había que indicase que tal relación existía.
Por eso se dijo que Kepler estaba en éxtasis cuando fue capaz, con
su ingenio y trabajo continuo, de establecer esa “segunda” ley a partir
del voluminoso conjunto de datos de que podía disponer. Bien
pudiera haber estado en éxtasis; pues toda su labor habría sido de
poca utilidad sin este descubrimiento.
La ruta de Kepler hacia la segunda ley fue una obra asombrosa, de la
cual surgió el resultado correcto como una deducción de tres
hipótesis incorrectas. En primer lugar, Kepler admitía que los
planetas siguen sus órbitas por la acción de una fuerza procedente
del Sol y que la intensidad de esta fuerza era inversamente
proporcional a la distancia comprendida entre el planeta y el Sol. (En
el pensamiento de Kepler, y usando su imaginación, él razonaba que
la fuerza a cualquier distancia r debe estar uniformemente distribuida
sobre la circunferencia de un circulo en el plano orbital; a mayor
distancia, por ejemplo , la misma fuerza total debe distribuirse sobre
un círculo cuya longitud de circunferencia es doble; por tanto, la
intensidad de la fuerza en cualquier punto de dicho circulo sería solo
la mitad ) El suponía, entonces, que la velocidad del planeta debe ser
proporcional a la fuerza que le impulsa y, por tanto, inversamente
proporcional a la distancia La hipótesis de que la velocidad es
proporcional a la fuerza neta resulta, naturalmente, incompatible con
los principios modernos de la física; era, simplemente, una de las
ideas de Aristóteles o del sentido común que Kepler compartía con
todos sus contemporáneos. De acuerdo con la primera hipótesis de
Kepler, el tiempo que tarda un planeta en recorrer una pequeña
distancia a lo largo de su trayectoria sería proporcional a su distancia
al Sol. Esto es aproximadamente correcto y resulta ser exacto en
ciertos puntos especiales de la órbita Kepler se propuso, entonces,
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calcular el tiempo que tarda el planeta en cubrir un segmento grande
de la trayectoria (durante el cual cambia su distancia al Sol) sumando
las distancias planeta-Sol para cada uno de los pequeños arcos que
componen este gran segmento. El suponía que la suma de estas
distancias era igual al área barrida por la línea trazada desde el Sol
al planeta. Esta es una buena aproximación para las órbitas reales
que Kepler estaba analizando, pero las matemáticas necesarias para
un resultado exacto no se inventaron hasta pasado otro medio siglo.
Kepler introdujo como tercera hipótesis que la órbita era circular. Esto
es de nuevo sólo una aproximación bastante buena para casi todas
las órbitas planetarias (Kepler no había establecido todavía su
“primera ley”, que requería que las órbitas fuesen elípticas); pero,
realmente, no era necesario hacer tal aproximación.
La segunda ley de Kepler, que él encontró siguiendo una línea de
razonamiento que no convencería a un lector actual, se expresó en el
párrafo anterior: el área barrida por la línea Sol-planeta es
proporcional al tiempo transcurrido. O bien, en la forma que
ha llegado a ser estándar: Durante un determinado intervalo de
tiempo una recta trazada del planeta al Sol barre áreas iguales en
cualquier punto de su trayectoria. También se llama Ley de las áreas
iguales. A pesar de la inexactitud de las hipótesis utilizadas en su
deducción
original,
la
propia
ley
describe,
exactamente,
el
movimiento de cualquier planeta alrededor del Sol; también se aplica
al movimiento de la Luna alrededor de la Tierra o de un satélite
alrededor de cualquier planeta.
El hecho de que la Tierra se mueva más rápidamente (o que el Sol
visto desde la Tierra se mueva con mayor velocidad sobre el fondo
de las estrellas) en invierno que en verano, era bien conocido por los
astrónomos desde mucho antes; era un efecto que podía explicarse
por la introducción del artificio de los “ecuantes” en el sistema
geocéntrico y una razón de por qué el sistema de Copérnico sin
ecuantes no era completamente adecuado para representar los
detalles del movimiento planetario. La ley segunda de Kepler cumple
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el mismo objetivo que el ecuante, pero en una forma mucho más
satisfactoria. Sin embargo, en el propio trabajo de Kepler, la segunda
ley es una regla empírica que, aunque exacta, no tiene explicación
teórica.
1.3 TERCERA LEY DE KEPLER
La primera y la segunda leyes de Kepler fueron publicadas juntas en
1609 en su Astronomía Nova (Nueva astronomía). Pero Kepler aún
estaba insatisfecho con un aspecto de sus descubrimientos: no se
había hallado ninguna relación entre los movimientos de los distintos
planetas. Hasta entonces, cada planeta parecía tener su órbita
elíptica propia y su propia velocidad, pero no parecía existir un
modelo general para todos los planetas. Ni había ninguna razón por
la que pudiese esperarse que existiese tal relación. Sin embargo,
Kepler estaba convencido de que, al investigar las diferentes
posibilidades, encontraría una relación simple que ligase todos los
movimientos que ocurren en el sistema solar. El buscaba esta regla,
incluso en el dominio de la teoría musical, esperando, como los
partidarios de Pitágoras, encontrar una conexión entre las órbitas
planetarias y las notas musicales; su gran trabajo (1619) se tituló Las
armonías del mundo.
Esta convicción de que existe una regla simple, tan intensa que nos
parece una obsesión, era parcialmente un indicio de sus primeras
preocupaciones por los números y parcialmente también el buen
instinto del genio para encontrar el resultado correcto Pero, en
realidad era, igualmente, indicio de una profunda tendencia que se
manifiesta a través de toda la historia de la ciencia: la creencia en la
simplicidad y uniformidad de la Naturaleza Esta creencia ha sido
siempre manantial de inspiración que ha ayudado a los científicos a
vencer los obstáculos inevitables en su trabajo y ha sostenido su
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espíritu durante los periodos de intensa e infructuosa labor. Para
Kepler fue esta creencia la que hizo soportable una vida de penosos
infortunios personales, de modo que podría escribir triunfalmente al
llegar, al fin, al descubrimiento de su tercera ley del movimiento
planetario: “....después de descubrir por el continuo trabajo durante
largo tiempo, utilizando las observaciones de Brahe, la verdadera
distancia de las órbitas, al fin la verdadera relación... logro arrojar las
sombras de mi mente al obtener un acuerdo tan perfecto entre mi
trabajo de diecisiete años sobre las observaciones de Brahe, y este
estudio que ahora presento, que al principio creí que estaba
soñando...”
Esta ley, en terminología moderna, establece que el período T de un
planeta dado (esto es, el tiempo que tarda en una revolución
completa en su órbita alrededor del Sol), y el radio R medio (el valor
de R para una órbita elíptica es igual a la mitad de la longitud del
segmento rectilíneo que va del perihelio al afelio; la mayor parte de
las trayectorias planetarias son casi circulares de tal modo que R es,
entonces, simplemente el radio de la órbita circular), de su órbita, es
una constante que tiene el mismo valor para todos los planetas.
Pero, si T2/(R)3
es el mismo para todos los planetas, podemos
calcular su valor numérico .para uno de ellos (para la Tierra TE = 1
año, RE = 15 x 107 km.) y, por tanto, siempre podremos calcular el
valor de T para cualquier otro planeta si se conoce R, y . viceversa.
La tercera Ley de Kepler se denomina, con frecuencia, la ley
armónica, ya que establece una bella relación entre los planetas.
Desde este punto podemos vislumbrar el progreso que hemos
realizado hasta ahora. Partiendo de la multitud inconexa de los
mecanismos de Ptolomeo hemos alcanzado una formulación
heliocéntrica que contempla el sistema solar como una unidad simple
y lógicamente conexa Nuestra mente capta el universo kepleriano de
un vistazo y reconoce movimientos principales como la expresión de
simples leyes matemáticas.
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1.4 Nuevo concepto de la ley física
Kepler, utilizando la obra de Tycho, sus propias observaciones y sus
tres poderosas leyes, construyó unas tablas precisas del movimiento
de los planetas que habían sido necesarias desde hacía tiempo y
que aún serían útiles un siglo después, hombre prodigioso.
Debemos señalar dos características que tuvieron un gran efecto en
todas las ciencias físicas. Una, que ya hemos estudiado, es una
nueva actitud ante los hechos observados. Ya indicamos el cambio
que se produce en la obra de Kepler desde su insistencia inicial en
un modelo geométrico y su forma como principal herramienta de
explicación, al estudio del propio movimiento y de las relaciones
numéricas que le sirven de base. La otra es su afortunado intento de
formular leyes físicas en forma matemática, con el lenguaje de la
geometría y del álgebra. En este sentido, la ciencia de Kepler fue
totalmente moderna; él más que ninguno otro antes, se inclina ante el
árbitro implacable y supremo de toda teoría física, a saber, la
evidencia en la observación realizada de un modo preciso y
cuantitativo. Además, en el sistema kepleriano, no se consideraba
que los planetas se movían en sus órbitas a causa de su naturaleza
o influencia divina, como enseñaban los escolásticos, ni que sus
formas esféricas sirviesen de explicación autoevidente a sus
movimientos circulares, como en el pensamiento de Copérnico; y así
nos quedamos sin ninguna intervención física que “explicase” el
movimiento planetario tan bien descrito en estas tres leyes. El mismo
Kepler sintió la necesidad de reforzar sus descripciones matemáticas
con un mecanismo físico. En uno de sus últimos libros nos dice cómo
han cambiado sus propios puntos de vista: “En una ocasión yo creí
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firmemente que la fuerza motriz de un planeta residía en un alma.
Sin embargo, cuando reflexioné que esta causa de movimiento
disminuía en proporción a la distancia, del mismo modo que la luz del
Sol disminuye en proporción a la distancia a este astro, llegué a la
conclusión de que esa fuerza debe ser sustancial; no en el .sentido
literal, sino... de la misma manera que decimos que la luz es algo
sustancial significando que es un ente no sustancial que emana de
un cuerpo sustancial.”
ISAAC NEWTON
Científico inglés (Woolsthorpe, Lincolnshire, 1642 - Londres, 1727).
Hijo póstumo y prematuro, su madre preparó para él un destino de
granjero; pero finalmente se convenció del talento del muchacho y le
envió a la Universidad de Cambridge, en donde hubo de trabajar
para pagarse los estudios. Allí Newton no destacó especialmente,
pero asimiló los conocimientos y principios científicos de mediados
del siglo XVII, con las innovaciones introducidas por Galileo, Bacon,
Descartes, Kepler y otros.
Tras su graduación en 1665, Isaac Newton se orientó hacia la
investigación en Física y Matemáticas, con tal acierto que a los 29
años ya había formulado teorías que señalarían el camino de la
ciencia moderna hasta el siglo XX; por entonces ya había obtenido
una cátedra en su universidad (1669).
Suele considerarse a Isaac Newton uno de los protagonistas
principales de la llamada «Revolución científica» del siglo XVII y, en
cualquier caso, el padre de la mecánica moderna. No obstante,
siempre fue remiso a dar publicidad a sus descubrimientos, razón por
la que muchos de ellos se conocieron con años de retraso.
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Newton coincidió con Leibniz en el descubrimiento del cálculo
integral, que contribuiría a una profunda renovación de las
Matemáticas; también formuló el teorema del binomio (binomio de
Newton). Pero sus aportaciones esenciales se produjeron en el
terreno de la Física.
Sus primeras investigaciones giraron en torno a la óptica: explicando
la composición de la luz blanca como mezcla de los colores del arco
iris, Isaac Newton formuló una teoría sobre la naturaleza corpuscular
de la luz y diseñó en 1668 el primer telescopio de reflector, del tipo
de los que se usan actualmente en la mayoría de los observatorios
astronómicos; más tarde recogió su visión de esta materia en la obra
Óptica (1703).
También trabajó en otras áreas, como la termodinámica y la acústica;
pero su lugar en la historia de la ciencia se lo debe sobre todo a su
refundación de la mecánica. En su obra más importante, Principios
matemáticos de la filosofía natural (1687), formuló rigurosamente las
tres leyes fundamentales del movimiento: la primera ley de Newton o
ley de la inercia, según la cual todo cuerpo permanece en reposo o
en movimiento rectilíneo uniforme si no actúa sobre él ninguna
fuerza; la segunda o principio fundamental de la dinámica, según el
cual la aceleración que experimenta un cuerpo es igual a la fuerza
ejercida sobre él dividida por su masa; y la tercera, que explica que
por cada fuerza o acción ejercida sobre un cuerpo existe una
reacción igual de sentido contrario.
De estas tres leyes dedujo una cuarta, que es la más conocida: la ley
de la gravedad, que según la leyenda le fue sugerida por la
observación de la caída de una manzana del árbol. Descubrió que la
fuerza de atracción entre la Tierra y la Luna era directamente
proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia que las separa, calculándose dicha fuerza
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mediante el producto de ese cociente por una constante G; al
extender ese principio general a todos los cuerpos del Universo lo
convirtió en la ley de gravitación universal.
La mayor parte de estas ideas circulaban ya en el ambiente científico
de la época; pero Newton les dio el carácter sistemático de una
teoría general, capaz de sustentar la concepción científica del
Universo durante varios siglos. Hasta que terminó su trabajo
científico propiamente dicho (hacia 1693), Newton se dedicó a aplicar
sus principios generales a la resolución de problemas concretos,
como la predicción de la posición exacta de los cuerpos celestes,
convirtiéndose en el mayor astrónomo del siglo. Sobre todos estos
temas mantuvo agrios debates con otros científicos (como Halley,
Hooker, Leibniz o Flamsteed), en los que encajó mal las críticas y se
mostró extremadamente celoso de sus posiciones.
Como profesor de Cambridge, Newton se enfrentó a los abusos de
Jacobo II contra la universidad, lo cual le llevó a aceptar un escaño
en el Parlamento surgido de la «Gloriosa Revolución» (1689-90). En
1696 el régimen le nombró director de la Casa de la Moneda,
buscando en él un administrador inteligente y honrado para poner
coto a las falsificaciones. Volvería a representar a su universidad en
el Parlamento en 1701. En 1703 fue nombrado presidente de la
Royal Society de Londres. Y en 1705 culminó la ascensión de su
prestigio al ser nombrado caballero.
2. LEY DE LA GRAVITACION UNIVERSAL
La Luna gira alrededor de la Tierra. Como su tamaño no parece que
cambie, su distancia será aproximadamente la misma y por lo tanto su
órbita deberá parecer un círculo. Para mantener a la Luna moviéndose
en ese círculo antes que deambular por ahí, la Tierra deberá ejercer una
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atracción sobre la Luna. Newton llamó a esa fuerza de atracción la
gravedad.
¿Es la misma que atrae todos los objetos hacia abajo?
Supuestamente la anterior pregunta se le ocurrió a Newton cuando vio a
una manzana caer del árbol. John Conduitt, asistente de Newton en la
real moneda y marido de su sobrina, dijo esto sobre el asunto cuando
escribió sobre la vida de Newton.
En el año 1666 se retiró de nuevo de Cambridge ... con su madre en
Lincolnshire y mientras estaba meditando en un huerto cayó en la cuenta
de que el poder de la gravedad (que hizo caer a una manzana desde el
árbol al suelo) no estaba limitada a una cierta distancia de la Tierra, sino
que su poder debía extenderse mucho más de lo que habitualmente se
pensaba. ¿Por qué no tan arriba como a la Luna?, reflexionaba, y si así
fuese, que influenciara su movimiento y quizá la retuviera en su órbita,
con lo cual él caía en calcular cual sería el efecto de esa suposición ...
( Keesing, R.G., La historia del manzano de Newton, Contemporary
Physics, 39, 377-91, 1998)
Si esa era la misma fuerza, entonces debería existir una conexión entre
la forma como caen los objetos y el movimiento de la Luna alrededor de
la Tierra, es decir, su distancia y periodo orbital. El periodo orbital que
conocemos es el mes lunar, corregido por el movimiento de la Tierra
alrededor del Sol, que también afecta al tramo de tiempo entre una "luna
nueva" y la siguiente. La distancia fue estimada anteriormente en la
antigua Grecia, vea aquí y aquí .
Para calcular la fuerza de gravedad sobre la Luna, se debe conocer que
débil es a la distancia de la Luna. Newton mostró que si la gravedad a la
distancia R era proporcional a 1/R2 ("inverso del cuadrado de la
distancia"), la aceleración g medida en la superficie de la Tierra debería
predecir correctamente el periodo orbital de la Luna.
Newton fue más allá y propuso que la gravedad es una fuerza
"universal" y que la gravedad del Sol mantenía a los planetas en sus
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órbitas. Fue capaz de mostrar que las leyes de Kepler eran
consecuencia natural de la "ley de los inversos cuadrados" y hoy todos
los cálculos de las órbitas de los planetas y satélites siguen su huellas.
Hoy en día los estudiantes que deducen las leyes de Kepler de la "ley
de los inversos-cuadrados" usan el cálculo diferencial, una herramienta
matemática en cuya creación Newton tuvo una gran participación. Es
interesante, sin embargo, que en la demostración que Newton publicó no
usaba el cálculo, saino que dependía de propiedades complejas de las
elipses y de otras secciones cónicas. Richard Feynman, físico
independiente ganador del Premio Nobel, volvió a deducir esa
demostración (como hicieron algunos predecesores distinguidos). Vea la
referencia al final de la sección.
Aquí volveremos a desandar los cálculos, que enlazan la gravedad
observada sobre la Tierra con el movimiento de la Luna a través del
cielo, dos observaciones aparentemente inconexas. Si quiere comprobar
los cálculos, necesitará una calculadora de mano.
Asumimos que la órbita de la Luna es un círculo, y que la atracción de la
Tierra se dirige siempre hacia el centro de la Tierra. Haga a RE ser el
radio medio de la Tierra, (estimado por Eratóstenes)
RE= 6 371 km
La distancia R a la Luna está a unos 60 RE. Si la masa m sobre la Tierra
es atraída por una fuerza mg, y como lo asevera la "ley del inverso
cuadrado" de Newton,
luego la atracción sobre masas iguales a la
distancia de la Luna será 602 = 3600 veces menor e igualará
mg/3600
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Si m es la masa de la Luna, cual es la fuerza que mantiene a la Luna en
su órbita. Si la órbita es un círculo, como R = 60 RE su longitud será
2 π R = 120 π RE
Suponga que el tiempo necesario para recorrer una órbita es de T
Segundos. La velocidad v del movimiento es
v = distancia/tiempo = 120 π RE/T
(Por favor, observe que: la gravedad no es la que proporciona a la Luna
su
velocidad.
La
velocidad
que
tiene
la
Luna
fue
adquirida
probablemente cuando se creó. Pero la gravedad impide que la Luna se
aleje y la confina en una órbita.)
La fuerza centrípeta que mantiene a la Luna en su órbita debe, por
consiguiente, ser igual a
mv2/R = mv2/(60 RE)
y si la gravedad de la Tierra suministra esa fuerza, entonces
mg/3600 = mv2/(60 RE)
dividiendo ambos lados por m
y luego multiplicándolos por 60 lo
simplifica a
g/60 = v2/RE = (120 π RE)2/(T2 RE)
Anule un factor de
RE , multiplicando ambos lados por 60 T2 y
dividiéndolos por g nos da
T2 = (864 000 π2 RE)/g = 864 000 RE (π2/g)
19
De manera providencial, en las unidades usamos g ~ 9.81 que es muy
parecido a π2 ~ 9.87. De tal forma que el término en paréntesis es
cercano a 1 y puede eliminarse. Esto nos deja (los dos paréntesis están
multiplicados)
T2 = (864 000) (6 371 000)
Con una calculadora manual es fácil encontrar las raíces cuadradas de
dos términos. Tenemos (con una precisión de 4 cifras)
864 000 = (929.5)2
6 371 000 = (2524)2
Luego
T ≅ (929.5) (2524) = 2 346 058 segundos
Para obtener T en días dividimos por 86400, el número de segundos en
un día, para obtener
T = 27.153 días
muy cercano al valor aceptado de
T = 27.3217 días
Newton vio correctamente esto como una confirmación de la "ley del
inverso cuadrado". Más de un siglo después, en 1796, su compatriota
Henry Cavendish midió realmente en el laboratorio la débil atracción
gravitacional entre muestras de material. Un siglo después de esto
(como ya se ha dicho) el físico húngaro Lorand Eötvös mejoró
grandemente la precisión de estas medidas.
20
CONCLUSIONES
Las conclusiones que podemos decir son:
Las leyes de Kepler establecen que:

Los planetas describen una órbita elíptica y el Sol está sobre uno
de los focos de la elipse.

La línea que une al Sol con el planeta, barre áreas iguales en
tiempos iguales.
Datos que sin duda han sido bien utilizados por el hombre en los cuatro
siglos que han pasado desde que fueron formulados, permitiendo que
existan progresos enormes en materia espacial, ya sea poniendo en
órbita objetos con fines cívico-militares o bien realizando investigaciones
en el espacio.
Newton estableció con la Ley de gravitación universal, que existe una
fuerza de atracción que actúa entre todos los cuerpos del universo.
Además logró observar que la fuerza gravitatoria depende de la masa de
los cuerpos y la distancia entre ellos.
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BIBLIOGRAFÍA
Web:
http://www.phy6.org/stargaze/Mgravity.htm
http://www.astrosurf.com./astronosur
Revistas

REVISTA MEXICANA DE FÍSICA E 51 (1) 13–17
“Tres aspectos del problema de Kepler”
E. Pina Garza y J.L. del Río Correa
Departamento de Física, Universidad Autónoma Metropolitana Iztapalapa
55 534 Mexico, D.F., 09340 Mexico

http://revistas.unam.mx/index.php/rbu/article/view/25101
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ANEXOS
23
Johannes Kepler
1 Ley de Kepler.- Esquema del
sistema Solar mostrando los
tamaños relativos de las órbitas
y, a diferente escala, los
tamaños relativos de los
planetas, se incluye la órbita
completa de Plutón.
24
25
Isaac Newton
Ley de la Gravitación Universal
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