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Metodologı́a de la Asignatura
Índice
1
Metodologı́a de la Asignatura
2
Relaciones
3
Funciones
4
Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
5
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Introducción a la Lógica II
Félix Bou
[email protected]
Versión 20 de mayo de 2009
F. Bou ([email protected])
Introducción a la Lógica II
Versión 20 de mayo de 2009
1 / 114
F. Bou ([email protected])
Metodologı́a de la Asignatura
Introducción a la Lógica II
Versión 20 de mayo de 2009
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Metodologı́a de la Asignatura
Metodologı́a de la asignatura
Metodologı́a de la asignatura
Horario
Grupo A3
(A. 407)
Datos Profesor
Félix Bou.
Departament de Lògica, Història i Filosofia de la Ciència.
Despacho 4.040 (4a planta).
E-mail: [email protected] ([email protected])
Teléfono: 93 4037978.
Grupo B1
(A. 403)
Martes
Miércoles
Jueves
Martes
Miércoles
Jueves
Teorı́a
10:00-11:00h
10:00-11:00h
10:00-11:00h
19:00-20:00h
19:00-20:00h
19:00-20:00h
Consultas
—
09:00-10:00h
—
—
—
20:00-21:00h
Prácticas
—
—
15:00-16:00h
—
18:00-19:00h
—
Examen Final
Grupo A3 (A. 407)
Grupo B1 (A. 403)
F. Bou ([email protected])
Introducción a la Lógica II
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F. Bou ([email protected])
1a Convocatoria
19 Jun, 09:00-11:00h
19 Jun, 16:00-18:00h
Introducción a la Lógica II
2a Convocatoria
2 Sept, 12:00-14:00h
2 Sept, 19:00-21:00h
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Metodologı́a de la Asignatura
Relaciones
Sistema de Evaluación
Motivando las Relaciones
Evaluación Continua
Recordemos que . . .
Tres exámenes parciales durante el curso. Las fechas son
I
I
I
Jueves 12 de marzo de 2009.
Jueves 16 de abril de 2009.
Jueves 21 de mayo de 2009.
Hace falta aprobar los tres exámenes con una nota mı́nima de 3, y en
tal caso la nota final será la media de los tres exámenes parciales.
Sólo se obtendrá la calificación de “No Presentado” en caso de no
realizar los tres exámenes parciales.
Evaluación Única
Todo el mundo puede realizar el examen final, incluso aquellas
personas que antes han hecho uno o más de los exámenes parciales.
La asistencia al examen final supone automáticamente la renuncia a
la nota de la evaluación continua, i.e., la nota final será la obtenida
en el examen final.
F. Bou ([email protected])
Introducción a la Lógica II
Versión 20 de mayo de 2009
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Toda propiedad determina un conjunto, el conjunto de los objetos que
cumplen dicha propiedad. En sı́mbolos, si Φ es un propiedad al
conjunto que determina, por comprensión, lo denotamos {x : Φ(x)}
(es decir, {x : x verifica el propiedad Φ}).
En los conjuntos no importa el orden, por ejemplo, {1, 2} = {2, 1}.
Ası́ pues, ¿qué sucede si realmente tenemos una noción en la que el
orden importa? Pues que es evidente que la noción de conjunto no es
un buen candidato a formalizar esa noción.
Ejemplos de Propiedades Binarias en las que importa el orden
Ser padre de
Ser hijo de
Ser profesor de la asignatura
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Relaciones
Introducción a la Lógica II
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Relaciones
Par Ordenado
La Operación Producto Cartesiano
En primer lugar (antes de hablar de relaciones) introducimos el
concepto de par ordenado.
Dados dos objetos a y b el par ordenado de a y b es un nuevo objeto
(que denotamos ha, bi) que nos permitirá distinguir su primera
componente, a, de su segunda componente, b.
Si A y B son dos conjuntos cualesquiera, el producto cartesiano de A
por B, en sı́mbolos A × B, es el conjunto de todos los pares
ordenados cuya primera componente es un elemento de A y cuyo
segunda componente es un elemento de B. Es decir,
A × B = {hx, y i : x ∈ A y y ∈ B}.
Esto significa que para cualesquiera objetos a, b, c y d, se cumple que
ha, bi = hc, di
sii
a = c y b = d.
Lo anterior es el único requisito que le exigimos a un par ordenado. Es
decir, lo único que asumimos es que los pares ordenados son objetos
que cumplen la condición anterior, y no nos preocupamos de averiguar
qué objeto es.
El término “cartesiano” por supuesto hace referencia a Descartes. Y
el término “producto” hace referencia al hecho que si A tiene n
elementos y B tiene m elementos, entonces A × B tiene n · m
elementos.
Lo fundamental es que la noción de par ordenado nos va a permitir
distinguir el orden. Por ejemplo, hMarta, Anai =
6 hAna, Martai
mientras que {Marta, Ana} = {Ana, Marta}.
Ejemplo: Si A = {1, 2} y B = {2, 3, 4}, entonces
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Introducción a la Lógica II
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A × B = {h1, 2i, h1, 3i, h1, 4i, h2, 2i, h2, 3i, h2, 4i}.
F. Bou ([email protected])
Introducción a la Lógica II
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Relaciones
Relaciones
Algunas propiedades del Producto Cartesiano
Relaciones (Binarias)
Una relación (binaria) es un conjunto de pares ordenados.
Si A = ∅ entonces A × B = ∅.
La idea intuitiva es que todo relacional binario (i.e., propiedad binaria)
determina una relación, aquella que cumple que un par ordenado
pertenece a la relación en cuestión si este relacional se da entre el
primer componente del par y el segundo componente del par. Por
ejemplo, el relacional “ser más alto que” determina la relación binaria
Si B = ∅ entonces A × B = ∅.
Si A 6= ∅ y B 6= ∅ entonces A × B 6= ∅.
Los tres puntos anteriores nos dicen que
A×B =∅
sii
A = ∅ o B = ∅.
A × B 6= ∅
sii
A 6= ∅ y B 6= ∅.
Ası́ pues,
{hx, y i : x ser más alto que y }.
B × A ={hx, y i : x ∈ B y y ∈ A}.
El producto cartesiano no es conmutativo porque por ejemplo
{1} × {2} 6= {2} × {1}. [De hecho, A × B = B × A sii (o bien A = ∅
o bien B = ∅ o bien A = B).]
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Una relación (binaria) en un conjunto A es un conjunto de pares
ordenados tales que tanto el primer componente del par como el
segundo componente son elementos de A. Es decir, R es una relación
en A sii R es un subconjunto de A × A.
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Relaciones
Introducción a la Lógica II
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Relaciones
Relaciones (Binarias)
Ejemplos de Relaciones Binarias
Sea A = {x : x es un ser humano}. Entonces,
R = {hx, y i : x ∈ A y y ∈ A y x es madre de y }
Usamos la letras R, S y T para referirnos a las relaciones (binarias).
En el caso que el par ordenado ha, bi ∈ R diremos que los objetos a, b
están relacionados por R. Y en caso contrario (i.e., ha, bi 6∈ R)
diremos que no están relacionados por R.
En ocasiones escribiremos aRb en lugar de escribir ha, bi ∈ R. Y
análogamente también usaremos a6 Rb como sinónimo de ha, bi 6∈ R.
es una relación binaria en A. Y
S = {hx, y i : x ∈ A y y ∈ A y y es madre de x}
es otra relación en el conjunto A.
Sea B = {1, 2, 3, . . .}. Entonces,
T = {hx, y i : x ∈ B y y ∈ B y x ≤ y }
es una relación binaria en B.
Clasifica las siguientes afirmaciones según sean verdaderas o falsas.
h1, 0i ∈ T es falsa. h1, 1i ∈ T es verdadera. h1, 2i ∈ T es verdadera.
h2, 1i ∈ T es falsa. hFelix, 2i ∈ T es falsa. h 23 , 2i ∈ T es falsa.
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Introducción a la Lógica II
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Relaciones
Relaciones
Algunas Observaciones Más
Conjuntos asociados a una Relación (Binaria)
A nivel intuitivo tenemos la analogı́a siguiente
Propiedades
Conjuntos
=
El dominio de una relación R, en sı́mbolos dom(R), es el conjunto de
los primeros componentes de los pares de R. Ası́ pues,
Relacionales (Binarios)
Relaciones (Binarias)
Es decir, los conjuntos son a las propiedades lo mismo que las
relaciones (binarias) son a los relacionales (binarios). Mientras que los
conjuntos corresponden a las extensiones de las propiedades, las
relaciones (binarias) corresponden a las extensiones de los relacionales
(binarios).
Por el principio de extensionalidad dos relaciones R y S son la misma
sii a ellas pertenecen los mismos pares. En otras palabras, R = S sii
para cualesquiera objetos x, y , se cumple que
hx, y i ∈ R sii hx, y i ∈ S.
dom(R) = {x : existe y tal que hx, y i ∈ R}.
El recorrido de una relación R, en sı́mbolos rec(R), es el conjunto de
los segundos componentes de los pares de R. Ası́ pues,
rec(R) = {x : existe y tal que hy , xi ∈ R}.
El campo de una relación R, en sı́mbolos campo(R), es el conjunto
de todos los componentes (indistintamente de si son primer o
segundo componente) de los pares de R. Ası́ pues,
campo(R) = {x : existe y tal que hx, y i ∈ R o hy , xi ∈ R}.
De hecho, se cumple que
Ası́ pues, R 6= S sii
campo(R) = dom(R) ∪ rec(R).
existen dos objetos x, y tales que el par hx, y i
pertenece a una de las relaciones pero no a la otra.
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Introducción a la Lógica II
Relaciones
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Relaciones
Algunos Ejemplos Concretos de Relaciones
Algunas Relaciones con Nombre Propio
Sea A un conjunto. Entonces, de entre todas las relaciones en A
destacamos las siguientes.
Sea R el conjunto {h1, 6i, h4, 7i, h6, 6i, h2, 5i, h3, 2i, h6, 1i}. Clasificar
las siguientes afirmaciones según sean verdaderas o falsas.
I
I
I
I
“R
“R
“R
“R
es
es
es
es
una
una
una
una
relación” es verdadera.
relación en {1, 2, 3, 4, 5, 6}” es falsa.
relación en {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}” es verdadera.
relación en {1, 2, 3, . . .}” es verdadera.
La relación de identidad en A, en sı́mbolos IdA , es el conjunto de los
pares ordenados con ambas componentes siendo iguales y
pertenenciendo a A. Ası́ pues,
IdA = {hx, xi : x ∈ A}.
Y también es claro que
Sea R la misma relación que antes. Calcular
I
I
I
IdA = {hx, y i : x ∈ A y y ∈ A y x = y }.
domR = {1, 2, 3, 4, 6}.
recR = {1, 2, 5, 6, 7}.
campoR = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
La relación nula en A es el conjunto vacı́o. [Es una relación puesto
que es un conjunto de pares ordenados]
La relación total en A es el conjunto de los pares ordenados con
ambas componentes siendo elementos de A. Ası́ pues, la relación total
en A es precisamente A × A.
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Introducción a la Lógica II
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Relaciones
Relaciones
Observaciones sobre estas relaciones destacadas
Operaciones con Relaciones
Sea A el conjunto ∅. Entonces,
I
I
IdA = ∅.
A × A = ∅.
Las relaciones son en particular conjuntos. Por tanto, todas las
operaciones con conjuntos se pueden realizar en particular también
con relaciones.
Si R y S son dos relaciones cualesquiera, entonces
Sea A el conjunto {a}. Entonces,
I
I
IdA = {ha, ai}.
A × A = {ha, ai}.
I
Sea A el conjunto {a, b}. Entonces,
I
I
I
IdA = {ha, ai, hb, bi}.
A × A = {ha, ai, ha, bi, hb, ai, hb, bi}.
I
Sea A un conjunto cualesquiera. Entonces,
I
I
¿Cuál es la menor relación en A? Es ∅. Esto significa que (i) ∅ es una
relación en A, y que además (ii) para cualquier relación R en A se
cumple que ∅ ⊆ R.
¿Cuál es la mayor relación en A? Es A × A. Esto significa que (i) A × A
es una relación en A, y que además (ii) para cualquier relación R en A
se cumple que R ⊆ A × A.
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[Union] R ∪ S = {hx, y i : hx, y i ∈ R o hx, y i ∈ S}.
[Intersección] R ∩ S = {hx, y i : hx, y i ∈ R y hx, y i ∈ S}.
[Diferencia] R − S = {hx, y i : hx, y i ∈ R y hx, y i 6∈ S}.
Otra forma (dice exactamente lo mismo) de escribir las igualdades
anteriores es decir que
I
I
I
R ∪ S = {ha, bi : ha, bi ∈ R o ha, bi ∈ S}.
R ∩ S = {ha, bi : ha, bi ∈ R y ha, bi ∈ S}.
R − S = {ha, bi : ha, bi ∈ R y ha, bi 6∈ S}.
F. Bou ([email protected])
Relaciones
Sea R = {h1, 3i, h1, 5i, h2, 5i} y S = {h2, 1i, h5, 2i}. Entonces,
I
I
I
R̆ = {hx, y i : hy , xi ∈ R}.
I
I
Por tanto, ha, bi ∈ R̆ sii hb, ai ∈ R. Es claro que dom(R̆) = rec(R),
rec(R̆) = dom(R), campo(R̆) = campo(R).
A partir de dos relaciones R y S definimos su producto relacional, en
sı́mbolos R|S, como la relación definida por la igualdad
I
I
R|S = {hx, y i : hay algún z tal que hx, zi ∈ R y hz, y i ∈ S}.
I
Por tanto, para cualesquiera objetos a y b se cumple que
I
I
ha, bi ∈ R|S, sii
hay algún objeto c tal que ha, ci ∈ R y hc, bi ∈ S.
Introducción a la Lógica II
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I
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R̆ = {h3, 1i, h5, 1i, h5, 2i}.
S̆ = {h1, 2i, h2, 5i}.
R|S = {h1, 2i, h2, 2i}.
S|R = {h2, 3i, h2, 5i, h5, 5i}.
R|R = ∅.
S|S = {h5, 1i}.
Consideramos las relaciones en los números naturales (i.e.,
N = {1, 2, 3, . . .}) siguientes: R = {hx, y i : x ≤ y } y
S = {hx, y i : x > y }. Entonces,
I
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Algunos Ejemplos
A partir de una relación R definimos la relación inversa de R, en
sı́mbolos R̆, como la relación que se da entre objetos a y b si y sólo si
R se da entre b y a. Es decir,
I
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Relaciones
Operaciones Nuevas con Relaciones
I
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R̆ = {hx, y i : y ≤ x} = {hx, y i : x ≥ y }.
S̆ = {hx, y i : y > x} = {hx, y i : x < y }.
R|S = {hx, y i : existe z tal que x ≤ z y z > y } = N × N.
S|R = {hx, y i : existe z tal que x > z y z ≤ y } = (N − {1}) × N.
R|R = {hx, y i : existe z tal que x ≤ z y z ≤ y } = R.
S|S = {hx, y i : existe z tal que x > z y z > y }= {hx, y i : x ≥ y + 2}.
F. Bou ([email protected])
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Relaciones
Relaciones
Otro Ejemplo
Propiedades de las Operaciones con Relaciones
Sea P la relación en el conjunto de los seres humanos definida de
modo que ha, bi ∈ P sii a es progenitor (padre o madre) de b. Y sea
H la relación en el conjunto de los seres humanos tal que ha, bi ∈ H
sii a es hermano(a) de b. Entonces, las siguientes relaciones (todas
ellas en el conjunto de los seres humanos) cumplen que
I
I
I
I
I
I
ha, bi ∈ P̆ sii b es progenitor de a. Es decir, ha, bi ∈ P̆ sii a es hijo(a)
de b.
ha, bi ∈ H̆ sii b es hermano(a) de a. Es decir, H̆ = H.
ha, bi ∈ (H|P) sii existe c tal que a es hermano(a) de c y c es
progenitor de b. Es decir, ha, bi ∈ (H|P) sii a es tı́o(a) de b.
ha, bi ∈ (P̆|H) sii existe c tal que c es progenitor de a y c es
hermano(a) de b. Es decir, ha, bi ∈ (P̆|H) sii a es sobrino(a) de b.
ha, bi ∈ (P|P) sii existe c tal que a es progenitor de c y c es progenitor
de b. Es decir, ha, bi ∈ (P|P) sii a es abuelo(a) de b.
¿Cómo definir la relación que se da en un par ordenado ha, bi cuando a
es nieto de b? Entre otras posibilidades se puede utilizar la relación
Para cualesquiera relaciones R, S y T se cumple que
˘
R̆ = R.
˘
¿Por qué? Porque ha, bi ∈ R̆, sii hb, ai ∈ R̆, sii ha, bi ∈ R.
R|(S|T ) = (R|S)|T .
¿Por qué? Porque ha, bi ∈ (R|(S|T )), sii existe c tal que ha, ci ∈ R y
hc, bi ∈ (S|T ), sii existen c y d tal que ha, ci ∈ R y hc, di ∈ S y
hd, bi ∈ T , sii existe d tal que ha, di ∈ (R|S) y hd, bi ∈ T , sii
ha, bi ∈ ((R|S)|T ).
(R|S) = (S̆|R̆).
¿Por qué? Porque ha, bi ∈ (R|S), sii hb, ai ∈ (R|S), sii existe c tal que
hb, ci ∈ R y hc, ai ∈ S, sii existe c tal que hc, bi ∈ R̆ y ha, ci ∈ S̆, sii
existe c tal que ha, ci ∈ S̆ y hc, bi ∈ R̆, sii ha, bi ∈ (S̆|R̆).
P̆|P̆. Otra posibilidad es (P|P).
F. Bou ([email protected])
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Relaciones
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Relaciones
Clases de Relaciones
Algunas Reflexiones sobre las anteriores clases
Sea R una relación. Se dice que
R es una relación reflexiva en un conjunto A sii todo elemento de A
esta relacionado consigo mismo por R. Es decir, sii para todo x ∈ A
se cumple que hx, xi ∈ R.
R es una relación reflexiva sii R es una relación reflexiva en el
conjunto campo(R).
R es una relación irreflexiva sii ningún objeto está relacionado consigo
mismo por R. Es decir, sii todo objeto x cumple que hx, xi 6∈ R.
R es una relación simétrica sii para cada par de objetos x, y se cumple
que si hx, y i ∈ R entonces hy , xi ∈ R.
R es una relación asimétrica sii para cada par de objetos x, y se
cumple que si hx, y i ∈ R entonces hy , xi 6∈ R.
R es una relación antisimétrica sii para cada par de objetos x, y se
cumple que si hx, y i ∈ R y hy , xi ∈ R entonces x = y . Es decir, sii
para cada par de objetos x, y diferentes, si hx, y i ∈ R entonces hy , xi 6∈ R .
R es una relación transitiva sii para cualesquiera objetos x, y , z se
cumple que si hx, y i ∈ R y hy , zi ∈ R entonces hx, zi ∈ R.
Sea R una relación. Por las definiciones anteriores se tiene que
R no es una relación reflexiva en un conjunto A sii existe un elemento
x ∈ A tal que hx, xi 6∈ R.
R no es una relación reflexiva sii existe un elemento x ∈ campo(R)
tal que hx, xi 6∈ R.
R no es una relación irreflexiva sii existe un objeto x que cumple que
hx, xi ∈ R.
R no es una relación simétrica sii existen un par de objetos x, y que
cumplen que hx, y i ∈ R y hy , xi 6∈ R.
R no es una relación asimétrica sii existen un par de objetos x, y que
cumplen que hx, y i ∈ R y hy , xi ∈ R.
R no es una relación antisimétrica sii existen un par de objetos x, y
que cumplen que hx, y i ∈ R y hy , xi ∈ R y x 6= y .
R no es una relación transitiva sii existen objetos x, y , z que cumplen
que hx, y i ∈ R y hy , zi ∈ R y hx, zi 6∈ R.
F. Bou ([email protected])
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F. Bou ([email protected])
Introducción a la Lógica II
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Relaciones
Relaciones
Algunos Ejemplos
Más Ejemplos
Consideramos las relaciones R1 = {h1, 1i, h2, 3i},
R2 = {h1, 1i, h1, 2i, h2, 1i}, R3 = {h1, 2i, h1, 3i, h2, 3i},
R4 = {h1, 2i, h1, 3i, h2, 1i}, R5 = {h1, 1i, h1, 2i, h2, 2i},
R6 = {h1, 2i, h2, 1i, h2, 2i}, R7 = {h1, 2i, h2, 3i, h1, 3i, h3, 3i},
R8 = {h1, 2i, h2, 1i, h1, 1i, h2, 2i}, R9 = {h1, 2i, h2, 1i, h1, 1i} y
R10 = {h1, 2i, h1, 3i}.
A continuación completamos el cuadro siguiente.
Consideramos las relaciones siguientes en el conjunto de los números
naturales N = {1, 2, 3, . . .}. Se trata de ≤= {hx, y i : x ≤ y },
<= {hx, y i : x < y }, S = {hx, y i : y = x + 1}, Id = {hx, y i : x = y } y
D = {hx, y i : x 6= y }.
A continuación completamos el cuadro siguiente.
Reflexiva
Irreflexiva
Simétrica
Asimétrica
Antisimétrica
Transitiva
R1
F
F
F
F
V
V
F. Bou ([email protected])
R2
F
F
V
F
F
F
R3
F
V
F
V
V
V
R4
F
V
F
F
F
F
R5
V
F
F
F
V
V
R6
F
F
V
F
F
F
R7
F
F
F
F
V
V
Introducción a la Lógica II
R8
V
F
V
F
F
V
R9
F
F
V
F
F
F
R10
F
V
F
V
V
V
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∅
V
V
V
V
V
V
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Reflexiva en N
Irreflexiva
Simétrica
Asimétrica
Antisimétrica
Transitiva
F. Bou ([email protected])
Relaciones
≤
V
F
F
F
V
V
<
F
V
F
V
V
V
S
F
V
F
V
V
F
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Id
V
F
V
F
V
V
D
F
V
V
F
F
F
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Relaciones
Caracterización de las diversas clases de Relaciones
Relaciones de Equivalencia
Para cualquier conjunto A la relación IdA (i.e., la relación de
identidad en A) cumple que es reflexiva en A, simétrica y transitiva.
Sea R una relación en un conjunto A. Se cumple que
Estas tres popiedades (reflexiva en el conjunto, simétrica y transitiva)
caracterizan en cierta forma relaciones a las que podriamos llamar de
“igualdad en cierto aspecto”. Por ejemplo, las relaciones
R es una relación reflexiva en el conjunto A sii IdA ⊆ R.
R es una relación reflexiva sii Idcampo(R) ⊆ R.
R es una relación irreflexiva sii R ∩ IdA ⊆ ∅. Es decir, sii R ∩ IdA = ∅.
R es una relación simétrica sii R ⊆ R̆. Es decir, sii R = R̆.
R es una relación asimétrica sii R ∩ R̆ ⊆ ∅. Es decir, sii R ∩ R̆ = ∅.
R es una relación antisimétrica sii R ∩ R̆ ⊆ IdA .
R es una relación transitiva sii R|R ⊆ R.
R1 = {ha, bi : a y b son palabras que tienen la misma primera letra}
R2 = {ha, bi : a y b son automóviles de la misma marca}
R3 = {ha, bi : a y b son personas que viven en el mismo paı́s}
R4 = {ha, bi : a y b son personas que tienen la misma edad}
R5 = {ha, bi : a y b son mascotas que tienen el mismo dueño}
cumplen las tres propiedades anteriores [la reflexiva corresponde en
cada caso a un conjunto diferente: palabras, automóviles, . . . ].
Una relación de equivalencia en un conjunto A es una relación en A
que además es reflexiva en A, simétrica y transitiva.
F. Bou ([email protected])
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Versión 20 de mayo de 2009
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Relaciones
Relaciones
Clasificar los elementos de A a partir de una relación de
equivalencia en A
A nivel intuitivo la idea detrás de una relación de equivalencia en A es
que nos permite clasificar los elementos del conjunto A. Cuando
decimos “clasificar” nos referimos a que podemos distribuir (repartir)
todos los elementos de A en diferentes clases (i.e., diferentes
subconjuntos de A) disjuntas.
Por ejemplo, la relación de equivalencia llamada R1 en la diapositiva
anterior nos permite clasificar todas las palabras en diferentes clases:
(1) una clase es la de las palabras que comienzan con la letra a, (2)
otra clase es la de las palabras que comienzan con la letra b, (3) otra
clase es la de las palabras que comienzan con la letra c, (4) otra clase
es la de las palabras que comienzan con la letra d, etc. Teniendo en
cuenta que hay 27 letras del alfabeto lo que acabamos de observar es
que la relación de equivalencia R1 nos clasifica todas las palabras en
27 clases diferentes y disjuntas.
F. Bou ([email protected])
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Clasificar los elementos de A a partir de una relación de
equivalencia en A
Consideramos la relación R en los números naturales que se da entre
aquellos números que tienen la misma paridad. En particular,
h1, 3i ∈ R, h2, 4i ∈ R y h1, 2i 6∈ R.
I
I
Es fácil comprobar que R es una relación de equivalencia en el conjunto
de los números naturales.
¿Qué clasificación nos determina esta relación de equivalencia? Permite
clasificar todos los números naturales en exactamente 2 clases
diferentes y disjuntas:
1
2
una clase es la de los números naturales pares, y
la otra clase es la de los números naturales impares.
Consideramos la relación R 0 en los números naturales que se da entre
aquellos números tales que ambos son pares. En particular,
h1, 3i 6∈ R 0 , h2, 4i ∈ R 0 y h1, 2i 6∈ R 0 .
I
I
Es fácil comprobar que R 0 no es una relación de equivalencia en el
conjunto de los números naturales porque no es reflexiva en el conjunto
de los números naturales (ya que por ejemplo h1, 1i 6∈ R 0 ).
Al no ser una relación de equivalencia en el conjunto de los números
naturales no nos determina una clasificación en dicho conjunto.
F. Bou ([email protected])
Relaciones
Consideramos la relación S en los números naturales que se da entre
aquellos números que tienen el mismo resto al dividir entre 10
(recordemos que el resto de dividir entre 10 ha de ser un número de
los que hay del 0 al 9). En particular, h1, 11i ∈ S, h22, 4i 6∈ S y
h126, 66i ∈ S. De hecho, dos números naturales están relacionados
por S sii tienen el mismo último digito en su representación decimal.
I
Es fácil comprobar que S es una relación de equivalencia en el conjunto
de los números naturales.
¿Qué clasificación nos determina esta relación S de equivalencia?
Permite clasificar todos los números naturales en las siguientes clases
diferentes y disjuntas:
1
2
la clase de los números naturales cuyo resto al dividir entre 10 da 0,
la clase de los números naturales cuyo resto al dividir entre 10 da 1,
..
.
10
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Relaciones
Clasificar los elementos de A a partir de una relación de
equivalencia en A
I
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la clase de los números naturales cuyo resto al dividir entre 10 da 9,
Clasificar los elementos de A a partir de una relación de
equivalencia en A
Consideramos la relación IdA de identidad en el conjunto A.
I
I
Es fácil comprobar que IdA es una relación de equivalencia en el
conjunto A.
¿Qué clasificación nos determina la relación IdA de equivalencia?
Permite clasificar todos los elementos de A en exactamente tantas
clases diferentes y disjuntas como elementos pertenecen a A. Cada una
de estas clases está formada por un único elemento de A.
Consideramos la relación total en A, es decir, la relación A × A.
I
I
Es fácil comprobar que A × A es una relación de equivalencia en el
conjunto A.
¿Qué clasificación nos determina la relación A × A de equivalencia?
Permite clasificar todos los elementos de A en exactamente una sóla
clase. Ası́ pues, esta única clase contiene a todos los elementos de A.
Resumiendo, la relación S nos clasifica todos los números naturales en
exactamente 10 clases diferentes y disjuntas.
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Relaciones
Relaciones
La noción de Partición (o Clasificación)
Algunos Ejemplos sobre Particiones
Una partición (o clasificación) de un conjunto A es una colección de
subconjuntos no vacı́os de A (estos subconjuntos son llamados las
clases de la partición) tal que todo elemento de A pertenece a uno de
estos subconjuntos y sólo a uno.
Dicho de otro modo, una partición (o una clasificación) de un
conjunto A es una colección Π de subconjuntos de A tal que
I
I
I
∅ 6∈ Π (i.e., no hay clases vacı́as),
si X ∈ Π, Y ∈ Π y X 6= Y , entonces X ∩ Y = ∅ (i.e., las clases son
disjuntas entre sı́),
si a ∈ A entonces existe un X ∈ Π tal que a ∈ X (i.e., todo elemento
de A pertenece a alguna clase).
Los elementos de Π son las clases de dicha partición (i.e., X es una
clase de la partición Π sii X ∈ Π).
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¿La colección {{1}, {2, 3}} es una partición del conjunto {1, 2, 3}?
Sı́ (porque se cumplen las tres condiciones escritas en la página
anterior).
¿Es {{1}, {2, 3}} una partición del conjunto {1, 2, 3, 4}? No (porque
falla la última de las tres condiciones en el caso de tomar a como 4).
¿Es {∅, {1}, {2, 3}} una partición del conjunto {1, 2, 3}? No (porque
falla la primera de las tres condiciones).
¿Es {{1}, {2}, {2, 3}} una partición del conjunto {1, 2, 3}? No
(porque falla la segunda de las tres condiciones en el caso de tomar X
como {2} y tomar Y como {2, 3}).
Sea Aa el conjunto de todas las palabras que comienzan con la letra
a. Y análogamente consideramos los conjuntos Ab , Ac , . . . , Ay , Az .
¿Es la colección {Aa , Ab , Ac , . . . , Ay , Az } una partición del conjunto
de todas las palabras? Sı́ (porque se cumplen las tres condiciones
explicitadas en la definición de partición).
F. Bou ([email protected])
Relaciones
Calcular todas las particiones del conjunto {1, 2, 3, 4}. A continuación
vamos enumerando todas las particiones de dicho conjunto.
1
2
{{1}, {2}},
{{1, 2}}.
3
4
Ası́ pues, en total hay 2 particiones.
Calcular todas las particiones del conjunto {1, 2, 3}. A continuación
vamos enumerando todas las particiones de dicho conjunto.
1
2
3
4
5
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Más Ejemplos sobre Particiones
Calcular todas las particiones del conjunto {1, 2}. A continuación
vamos enumerando todas las particiones de dicho conjunto.
2
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Relaciones
Más Ejemplos sobre Particiones
1
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5
6
7
8
{{1}, {2}, {3}},
{{1}, {2, 3}},
{{2}, {1, 3}},
{{3}, {1, 2}},
{{1, 2, 3}}.
9
10
11
12
13
Ası́ pues, en total hay 5 particiones.
14
15
{{1}, {2}, {3}, {4}},
{{1}, {2}, {3, 4}},
{{1}, {3}, {2, 4}},
{{1}, {4}, {2, 3}},
{{1}, {2, 3, 4}}.
{{2}, {3}, {1, 4}},
{{2}, {4}, {1, 3}},
{{2}, {1, 3, 4}}.
{{3}, {4}, {1, 2}},
{{3}, {1, 2, 4}}.
{{4}, {1, 2, 3}}.
{{1, 2}, {3, 4}},
{{1, 3}, {2, 4}},
{{1, 4}, {2, 3}},
{{1, 2, 3, 4}}.
Ası́ pues, en total hay 15 particiones.
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F. Bou ([email protected])
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Relaciones
Relaciones
Nota Avanzada sobre el Número de Particiones
¿Cuál es la conexión entre las Relaciones de Equivalencia y
las Particiones?
Por curiosidad comentamos que el número de particiones de un
conjunto con n elementos se conoce como el n-ésimo número de Bell
(en honor de Eric Temple Bell) y se suele denotar Bn . En particular,
B1 = 1, B2 = 2, B3 = 5, B4 = 15, B5 = 52, B6 = 203, etc.
¿Cómo calcular dicho número en general? La mejor forma es calcular
Bn+1 por recursión a partir de los anteriores ya conocidos (i.e., de
Bn , Bn−1 , . . . , B2 , B1 , B0 tomando el convenio que B0 = 1) usando la
fórmula
n X
n
Bn+1 =
Bk .
k
k=0
En las próximas diapositivas vamos a analizar esta conexión con todo
detalle pero todo lo que diremos se puede resumir en que para cualquier
conjunto A se cumple que,
Toda relación R de equivalencia en el conjunto A determina una
partición de A a la cual llamaremos A/R.
Toda partición Π del conjunto A determina una relación de
equivalencia en A a la cual llamaremos RΠ .
Toda relación R de equivalencia en el conjunto A cumple que coincide
con la relación de equivalencia asociada a la partición A/R. Es decir,
R = RA/R .
Toda partición Π del conjunto A cumple que coincide con la partición
asociada a la relación RΠ . Es decir, Π = A/RΠ .
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Relaciones
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Relaciones
¿Cuál es la partición A/R determinada por la relación de
equivalencia R?
¿Cuál es la partición A/R determinada por la relación de
equivalencia R?
Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A.
Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A.
Definición
Para cada a ∈ A, definimos el conjunto [a]R (al cual llamaremos la clase
de equivalencia de a respecto a R) como el conjunto de todos los
elementos de A relacionados con a. Es decir,
Definición
Definimos el conjunto A/R (al cual llamaremos el conjunto cociente de A
respecto a R) como el conjunto de las clases de equivalencia respecto a R
de todos los elementos de A. Es decir,
[a]R = {x ∈ A : hx, ai ∈ R}.
A/R = {[a]R : a ∈ A}.
Usando que R es reflexiva en A deducimos que para cada a ∈ A, se
cumple que a ∈ [a]R . Por tanto, [a]R 6= ∅.
Usando que R es simétrica y transitiva deducimos que para cada
a ∈ A y b ∈ A, se cumple que si ha, bi ∈ R entonces [a]R = [b]R .
[¿Por qué? Porque hx, ai ∈ R sii hx, bi ∈ R]
Usando que R es simétrica y transitiva deducimos que para cada
a ∈ A y b ∈ A, se cumple que si ha, bi 6∈ R entonces [a]R ∩ [b]R = ∅.
Hecho
Se cumple que A/R es una partición de A. Es decir,
Para cada a ∈ A se cumple que [a]R 6= ∅.
Para cada a ∈ A y b ∈ A, si [a]R 6= [b]R entonces [a]R ∩ [b]R = ∅.
Para cada a ∈ A se cumple que existe un b ∈ A tal que a ∈ [b]R .
[¿Por qué? Porque si hx, ai ∈ R y hx, bi ∈ R entonces ha, bi ∈ R]
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Relaciones
Relaciones
Un Ejemplo sobre A/R
Otro Ejemplo sobre A/R
Sea A el conjunto {1, 2, 3, 4, 5, 6}, y sea R la relación
{h1, 2i, h2, 1i, h4, 3i, h3, 4i, h4, 6i, h6, 4i, h3, 6i, h6, 3i} ∪ IdA . Es
evidente que R es una relación de equivalencia en el conjunto anterior
A. ¿Qué partición (clasificación) A/R nos determina esta relación de
equivalencia R?
I
Comenzamos calculando las clases de equivalencia de todos los
elementos de A. En este caso se tiene que
F
F
F
I
Sea N el conjunto {1, 2, 3, . . .} de los nñumeros naturales, y
consideramos otra vez la relación S en los números naturales que se
da entre aquellos números que tienen el mismo resto al dividir entre
10 (i.e., si tienen el mismo último digito en su representación
decimal). Es evidente que S es una relación de equivalencia en el
conjunto anterior N. ¿Qué partición (clasificación) N/S nos determina
esta relación de equivalencia S?
I
Las clases de equivalencia de los elementos de N son
F
[1]R = [2]R = {1,2}.
[3]R = [4]R = [6]R = {3, 4, 6}.
[5]R = {5}.
F
F
F
F
Una vez calculadas todas las clases de equivalencia es evidente que el
conjunto cociente A/R es {[1]R , [2]R , [3]R , [4]R , [5]R , [6]R }, es decir
{[1]R , [3]R , [5]R }, es decir
A/R = {{1, 2}, {3, 4, 6}, {5}}.
F
F
F
F
F
I
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[1]S = {1, 11, 21, 31, . . .} = [11]S = [21]S = . . ..
[2]S = {2, 12, 22, 32, . . .} = [12]S = [22]S = . . ..
[3]S = {3, 13, 23, 33, . . .} = [13]S = [23]S = . . ..
[4]S = {4, 14, 24, 34, . . .} = [14]S = [24]S = . . ..
[5]S = {5, 15, 25, 35, . . .} = [15]S = [25]S = . . ..
[6]S = {6, 16, 26, 36, . . .} = [16]S = [26]S = . . ..
[7]S = {7, 17, 27, 37, . . .} = [17]S = [27]S = . . ..
[8]S = {8, 18, 28, 38, . . .} = [18]S = [28]S = . . ..
[9]S = {9, 19, 29, 39, . . .} = [19]S = [29]S = . . ..
[10]S = {10, 20, 30, 40, . . .} = [20]S = [30]S = . . ..
Por tanto, es evidente que el conjunto cociente N/S es precisamente
{[1]S , [2]S , [3]S , [4]S , [5]S , [6]S , [7]S , [8]S , [9]S , [10]S }.
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Relaciones
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Relaciones
¿Cuál es la relación de equivalencia RΠ determinada por la
partición Π?
Sea Π una partición del conjunto A.
Definición
Definimos la relación RΠ como aquella que relaciona dos objetos de A sii
estos dos objetos pertenecen a una misma clase de la partición Π. Es decir,
relaciona dos objetos sii la clase de la partición a la que pertenece el
primer objeto coincide con la clase de la partición a la que pertenece el
segundo objeto. Es decir,
RΠ = {ha, bi : a ∈ A y b ∈ A y existe X ∈ Π tal que a ∈ X y b ∈ X }.
Un Ejemplo sobre ΠR
Sea A el conjunto {1, 2}. Anteriormente vimos que en este conjunto
hay exactamente 2 particiones, que son Π = {{1}, {2}} y
Π0 = {{1, 2}}.
I
I
Sea A el conjunto {1, 2, 3}. Anteriormente vimos que en este
conjunto hay exactamente 5 particiones, que son
Π1 = {{1}, {2}, {3}}, Π2 = {{1}, {2, 3}}, Π3 = {{2}, {1, 3}},
Π4 = {{3}, {1, 2}} y Π5 = {{1, 2, 3}}.
I
I
Hecho
I
Se cumple que RΠ es una relación de equivalencia en A. Es decir,
I
[Reflexiva en A] Para cada a ∈ A se cumple que ha, ai ∈ RΠ .
¿Qué relación es RΠ ? Es la relación IdA .
¿Qué relación es RΠ0 ? Es la relación A × A.
I
¿Qué
¿Qué
¿Qué
¿Qué
¿Qué
relación
relación
relación
relación
relación
es
es
es
es
es
RΠ1 ?
RΠ2 ?
RΠ3 ?
RΠ4 ?
RΠ5 ?
Es
Es
Es
Es
Es
la
la
la
la
la
relación
relación
relación
relación
relación
IdA .
IdA ∪ {h2, 3i, h3, 2i}.
IdA ∪ {h1, 3i, h3, 1i}.
IdA ∪ {h1, 2i, h2, 1i}.
A × A.
[Simétrica] Para cada a ∈ A y b ∈ A, si ha, bi ∈ RΠ entonces hb, ai ∈ RΠ .
[Trans] Para cada a, b, c ∈ A, si ha, bi ∈ RΠ y hb, ci ∈ RΠ entonces ha, ci ∈ RΠ .
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Relaciones
Relaciones
Otro Ejemplo sobre ΠR
Sea A el conjunto {1, 2, 3, 4}. Anteriormente vimos que en este
conjunto hay exactamente 15 particiones. Para cada una de ellas
escribimos la relación asociada correspondiente (seguimos el mismo
orden que en la diapositiva anterior donde las escribimos).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
IdA ,
IdA ∪ {h3, 4i, h4, 3i},
IdA ∪ {h2, 4i, h4, 2i},
IdA ∪ {h2, 3i, h3, 2i},
IdA ∪ {h2, 3i, h2, 4i, h3, 4i, h3, 2i, h4, 2i, h4, 3i},
IdA ∪ {h1, 4i, h4, 1i},
IdA ∪ {h1, 3i, h3, 1i},
IdA ∪ {h1, 3i, h1, 4i, h3, 4i, h3, 1i, h4, 1i, h4, 3i},
IdA ∪ {h1, 2i, h2, 1i},
IdA ∪ {h1, 2i, h1, 4i, h2, 4i, h2, 1i, h4, 1i, h4, 2i},
IdA ∪ {h1, 2i, h1, 3i, h2, 3i, h2, 1i, h3, 1i, h3, 2i},
IdA ∪ {h1, 2i, h2, 1i} ∪ {h3, 4i, h4, 3i},
IdA ∪ {h1, 3i, h3, 1i} ∪ {h2, 4i, h4, 2i},
IdA ∪ {h1, 4i, h4, 1i} ∪ {h2, 3i, h3, 2i},
A × A.
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Las relaciones de equivalencia en un conjunto y las
particiones en ese conjunto se determinan mútuamente
Hecho
Sea R una relación de equivalencia en un conjunto A. Entonces la relación
RA/R es precisamente la relación R (i.e., RA/R = R).
[¿Por qué? Porque hx, y i ∈ RA/R sii, existe X ∈ A/R tal que x ∈ X y
y ∈ X sii, existe a ∈ A tal que x ∈ [a]R y y ∈ [a]R sii, existe a ∈ A tal que
ha, xi ∈ R y hb, xi ∈ R sii, hx, y i ∈ R. ]
Hecho
Sea Π una partición un conjunto A. Entonces la partición A/RΠ es
precisamente la partición Π (i.e., A/RΠ = Π).
[¿Por qué? Porque X ∈ A/RΠ sii, existe a ∈ A tal que X = [a]RΠ sii, existe
a ∈ A tal que X = {x ∈ A : hx, ai ∈ RΠ } sii, existe a ∈ A tal que
X = {x ∈ A : x está en la misma clase de Π que a} sii, X ∈ Π. ]
45 / 114
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Relaciones
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Un tipo especial de relaciones: las funciones
Una Consecuencia Immediata
Sea A un conjunto. Entonces, hay tantas relaciones de equivalencia en A
como particiones del conjunto A hay.
Por tanto, el número de Bell n-ésimo también coincide con el número de
relaciones de equivalencia en un conjunto con n elementos.
Hay relaciones que tienen la peculiaridad de que ningún objeto se
relaciona con más de un objeto a la vez. Ası́ pues, estas relaciones
cumplen que el objeto b con el que se relaciona (si es que lo hay) a
través de R un objeto a queda totalmente determinado utilizando sólo
a y R.
En el lenguaje natural nos encontramos continuamente con relaciones
de este tipo particular:
I
I
I
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Funciones
Las relaciones de equivalencia en un conjunto y las
particiones en ese conjunto se determinan mútuamente
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la relación {hx, y i : y es el alcalde de x} tiene dicha peculiaridad. Es
precisamente dicha particularidad la que hace que no haya ninguna
ambigüedad al usar una expresión como “el alcalde de Barcelona”
(automáticamente sabemos que se refiere a Jordi Hereu).
la relación {hx, y i : y es el año de nacimiento de x} tiene dicha
peculiaridad. Es precisamente dicha particularidad la que hace que no
haya ninguna ambigüedad al usar una expresión como “el año de
nacimiento de Ramón y Cajal” (automáticamente sabemos que se
refiere al año 1852).
...
F. Bou ([email protected])
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Funciones
Funciones
Funciones
Algunos Ejemplos sobre Funciones
¿Qué es una función?
Una función es una relación R tal que para cualesquiera objetos a, b, c, se
cumple que
¿Es la relación {ha, bi : a ∈ N y b ∈ N y b = a + 1} una función? Si
(porque se tiene que si b = a + 1 y c = a + 1 entonces b = c.).
si ha, bi ∈ R y ha, ci ∈ R, entonces b = c.
En otras palabras, una función es una relación R que cumple que para
todo a ∈ dom(R) hay un único objeto b tal que ha, bi ∈ R.
¿Es la relación {ha, bi : a ∈ N y b ∈ N y a = b + 1} una función? Si
(porque se tiene que si a = b + 1 y a = c + 1 entonces b = c.).
Usaremos las letras f , g , h, F , G , H para referirnos a funciones.
Si f es una función y a ∈ dom(f ), entonces denotaremos f (a) al
único objeto b tal que ha, bi ∈ f . Es decir, para todo elemento a del
dominio de f se cumple que,
f (a) = b sii ha, bi ∈ R.
Diremos que f (a) es el valor de f en el argumento a o el valor que f
asigna al argumento a.
F. Bou ([email protected])
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¿Es la relación {h2, 3i, h2, 4i} una función? No (porque se tiene que el
2 está relacionado con más de un objeto).
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¿Es la relación {ha, bi : a ∈ N y b ∈ N y a < b} una función? No
(porque se tiene que el 1 está relacionado tanto con el 2 como con el
3.).
Sea A un conjunto. ¿Es la relación {ha, {a}i : a ∈ A} una función? Sı́.
Sea A un conjunto. ¿Es la relación IdA (es decir, la relación
{ha, ai : a ∈ A}) una función? Sı́.
F. Bou ([email protected])
Funciones
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Ejemplos de Funciones
Sea f una función. Entonces, por el principio de extensionalidad es
evidente que
f = {ha, f (a)i : a ∈ dom(f )}.
Dicho de otra forma, para todo par de objetos a, b se cumple que
ha, bi ∈ f
sii a ∈ dom(f ) y f (a) = b.
Sea f una función. Entonces, por el principio de extensionalidad es
evidente que
rec(f ) = {f (a) : a ∈ dom(f )}.
Sean f y g dos funciones. Entonces, por el principio de
extensionalidades evidente que
dom(f ) = dom(g )
f = g sii
para todo a ∈ dom(f ), se cumple que f(a) = g(a).
Por tanto, para definir una función basta con (i) especificar su
dominio, y (ii) decir que que valor asigna la función a cada elemento
del dominio.
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Funciones
Igualdad entre Funciones
F. Bou ([email protected])
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Sea G la función cuyo dominio es el conjunto A de las palabras y tal
que para cada palabra p (i.e., p ∈ A) se cumple que G (p) es la
primera letra de p. Resumiendo, G es la función que asigna a cada
palabra su primera letra.
Sea g la función cuyo dominio es el conjunto A de los números
naturales y tal que para cada número natural n (i.e., n ∈ N) se
cumple que g (n) es n3 . Resumiendo, g es la función que asigna a
cada número natural su cubo.
Sea h la función cuyo dominio es el conjunto A de las palabras y tal
que para cada palabra p (i.e., p ∈ A) se cumple que h(p) es el número
de letras que tiene la palabra p. Resumiendo, h es la función que
asigna a cada palabra el número de letras que tiene dicha palabra.
F. Bou ([email protected])
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Funciones
Funciones
Más Ejemplos de Funciones
Función de A en B
Sea h1 la función cuyo dominio es el conjunto {V , F } × {V , F } (i.e.,
el producto cartesiano consigo mismo del conjunto formado por los
dos valores de verdad) y que a cada elemento ha, bi del dominio le
asigna el valor de verdad de la fórmula p ∨ q al interpretar p por el
valor a y q por el valor b. Resumiendo, h1 es la función
{hhV , V i, V i, hhV , F i, V i, hhF , V i, V i, hhF , F i, F i}.
Sea h2 la función cuyo dominio es otra vez el conjunto
{V , F } × {V , F } y que a cada elemento ha, bi del dominio le asigna
el valor de verdad de la fórmula p → q al interpretar p por el valor a y
q por el valor b. Resumiendo, h2 es la función
Una función f es una función de A en B si además de ser una función
cumple que dom(f ) = A y que para todo a ∈ A se tiene que
f (a) ∈ B. En otras palabras, f es una función tal que dom(f ) = A y
rec(f ) ⊆ B.
Usaremos la notación f : A −→ B para indicar que f es una función
de A en B.
{hhV , V i, V i, hhV , F i, F i, hhF , V i, V i, hhF , F i, V i}.
F. Bou ([email protected])
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F. Bou ([email protected])
Funciones
I
dom(f ) = A,
para todo a ∈ A se cumple que f (a) ∈ B [i.e., rec(f ) ⊆ B],
para todo b ∈ B se cumple que existe a ∈ A tal que f (a) = b [i.e.,
B ⊆ rec(f )].
Una biyección entre un conjunto A y un conjunto B es una función de
A sobre B que además es inyectiva.
F. Bou ([email protected])
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Algunos Ejemplos sobre las Clases anteriores
Una función f es inyectiva si para cualesquiera a, b ∈ dom(f ), se
cumple que
si f (a) = f (b) entonces a = b.
En otras palabras,
si a 6= b entonces f (a) 6= f (b).
Una función f se dice que es sobre B si además de ser función se
cumple que B ⊆ rec(f ). En otras palabras, f es una función tal que
para todo b ∈ B se cumple que existe a ∈ dom(f ) tal que f (a) = b.
Una función f es una función de A sobre B si además de ser función
se cumple que dom(f ) = A y rec(f ) = B. En otras palabras, f es una
función tal que
I
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Funciones
Varias Clases de Funciones
I
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Sea Z el conjunto de los números enteros, i.e.,
Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}. Consideramos la función f que asigna
a cada número entero n su opuesto −n (en particular se tiene que
f (−2) = 2, f (−1) = 1, f (0) = 0, f (1) = −1, f (2) = −2). Es
evidente que es una función de Z en Z. ¿Es inyectiva? Sı́ (porque
números diferentes tienen opuestos diferentes). ¿Es sobre Z?
Sı́ (porque todo número entero es el opuesto de algún número
entero). ¿Es una biyección entre Z y Z? Sı́.
Consideramos la función g que asigna a cada número entero n su
cuadrado n2 (en particular se tiene que g (−2) = (−2)2 = 4,
g (−1) = (−1)2 = 1, g (0) = 0, g (1) = 12 = 1, g (2) = 22 = 4). Es
evidente que g es una función de Z en Z. ¿Es inyectiva? No (porque
por ejemplo g (1) = g (−1) siendo el 1 y el −1 dos números
diferentes). ¿Es sobre Z? No (porque el número −1 no es el cuadrado
de ningún número entero). ¿Es sobre {0, 1, 2, . . .}? No (porque 2 no
es el cuadrado de ningún entero). ¿Es una biyección entre Z y Z? No.
F. Bou ([email protected])
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Funciones
Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Más Ejemplos sobre las Clases anteriores
Motivación de los lenguajes de Primer Orden
Sea A el conjunto de las personas. Consideramos la función F que
asigna a cada persona su madre. Es evidente que F es una función de
A en A. ¿Es inyectiva? No (porque hay personas diferentes con la
misma madre). ¿Es sobre A? No (porque hay personas que no son la
madre de nadie). ¿Es sobre el conjunto M de las mujeres? No (porque
no toda mujer es madre de alguien). ¿Es una biyección entre A y A?
No.
Sea A el conjunto {Madrid, Barcelona, Valencia}. Consideramos la
función G que asigna a cada elemento de A su alcalde. De hecho,
G = {hMadrid, Gallardóni, hBarcelona, Hereui, hValencia, Barberài}.
¿Es inyectiva? Sı́ (porque ciudades diferentes tienen alcaldes diferentes).
¿Es sobre el conjunto de los alcaldes de España? No (porque por
ejemplo el alcalde de Tarragona no es el alcalde ninguna de las ciudades
pertenecientes a A). ¿Es sobre el conjunto {Gallardón, Hereu, Barberà}?
Sı́ (porque todo elemento de este conjunto es el alcalde de una de las
ciudades pertenecientes a A). ¿Es una biyección entre A y
La lógica de enunciados sólo es útil para analizar la estructura de los
enunciados compuestos formados a partir de otros más simples con
ayuda de expresiones veritativo-funcionales.
Esto nos da una incapacidad de la lógica de enunciados para mostrar
la corrección de argumentos como los siguientes:
I
I
Todos los hombres son mortales, Juan es un hombre; por tanto, Juan
es mortal.
El planeta Marte tiene agua, Marte no es la Tierra; por tanto, algún
planeta diferente de la Tierra tiene agua.
Para estudiar la corrección de argumentos como los anteriores
necesitamos un lenguaje formal que nos permita representar la
estructura de enunciados como los anteriores. Y no queremos perder
tampoco el poder de representación que ya tenı́amos en la lógica de
enunciados.
{Gallardón, Hereu, Barberà}? Sı́.
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
3
4
5
6
Nombres propios: Juan, Marte, la Tierra, etc. Los nombres propios son
expresiones para referirnos a un objeto determinado.
Predicados (propiedades): ser mortal, ser humano, contener agua, etc.
Los predicados expresan propiedades de un cierto objeto.
Relacionales: ser hijo de, es mayor que, ser trillizos, etc. Los relaciones
son expresiones que utilizamos para indicar que un objeto
está relacionado de algún modo con otro.
la relación de identidad: “es igual a”.
Cuantificadores: “todos”, “algunos”. Los cuantificadores son
expresiones que utilizamos para hablar de la totalidad o de una parte
de un conjunto de objetos.
Conectivas Proposicionales: y, o, implica, si y sólo si, no ocurre.
F. Bou ([email protected])
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Motivación de los Lenguajes de Primer Orden
Por tanto, nuestro nuevo lenguaje tendrá que permitirnos al menos
utilizar expresiones del tipo de:
2
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Motivación de los Lenguajes de Primer Orden
1
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Los seis elementos anteriores son exactamente los presentes en los
lenguajes de primer orden.
No hay un sólo lenguaje de primer orden sino una familia de lenguajes
de primer orden.
Todos los lenguajes de primer orden tienen en común los tres últimos
elementos de la lista anterior.
Simplemente se diferencian en los tres primeros elementos,
dependiendo del ámbito de la realidad del que queramos hablar
conviene tener unos u otros nombres propios, predicados y
relacionales.
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Los Lenguajes de Primer Orden
Los Lenguajes de Primer Orden
Todos los lenguajes de primer orden tienen en común los sı́mbolos
siguientes:
1
2
3
4
5
Variables: x, y , z, . . . , x1 , x2 , . . . (hay infinitas).
Conectivas: ∧, ∨, →, ↔, ¬.
Cuantificadores: ∀ (cuantificador universal), ∃ (cuantificador
existencial).
Sı́mbolo de igualdad: ≈.
Paréntesis: ), (.
Para identificar un lenguaje de primer orden basta con decir cuáles son
sus sı́mbolos propios, es decir, (i) cuáles son sus constantes, (ii) cuáles
son sus sı́mbolos de predicado, y (iii) cuáles son sus sı́mbolos
relacionales (indicando el número asociado a cada sı́mbolo relacional).
Las conectivas, los cuantificadores y el sı́mbolo de igualdad son los
sı́mbolos lógicos del lenguaje. Y los paréntesis son los sı́mbolos
auxiliares del lenguaje.
Todo lenguaje de primer orden está caracterizado por los sı́mbolos
que tiene además de los comunes. Estos sı́mbolos, llamados sı́mbolos
propios, son de tres tipos (y sólo de uno de ellos):
1
2
3
Constantes individuales: c, d, e, . . . , c1 , c2 , . . .
Sı́mbolos de predicado: P, Q, P1 , P2 , . . ..
Sı́mbolos relacionales: R, S, T , R1 , R2 , . . . Cada sı́mbolo relacional tiene
asociado un número natural ≥ 2 que indica el tipo de relación que
puede expresar (binaria, ternaria, etc.).
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Ejemplos de lenguajes de primer orden
L≈ es el que no tiene sı́mbolos propios (lenguaje puro de la identidad).
El que tiene una constante individual c y un sı́mbolo relacional
ternario R.
L1 es el que tiene dos constantes individuales c, d, un sı́mbolo de
predicado P, un sı́mbolo relacional binario R y un sı́mbolo relacional
ternario S.
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Fórmulas de un lenguaje de Primer Orden
Ejemplos de fórmulas en un lenguaje de Primer Orden
Sea L un lenguaje de primer orden.
Una expresión del lenguaje L es una sucesión finita de sı́mbolos de L.
Un término del lenguaje L es una variable o una constante de L.
Una fórmula atómica del lenguaje L es una expresión de alguna de las
tres formas siguientes:
1
2
3
t ≈ t 0 donde t, t 0 son términos del lenguaje L.
Pt donde P es un sı́mbolo de predicado de L y t es un término de L.
Rt1 . . . tn donde R es un sı́mbolo relacional n-ario de L y t1 , . . . , tn son
términos de L.
Una fórmula del lenguaje L es una expresión que se obtiene de
acuerdo a alguna de las reglas siguientes:
1
2
3
Toda fórmula atómica de L es una fórmula de L.
Si α, β son fórmulas también lo son (α ∧ β), (α ∨ β), (α → β),
(α ↔ β) y ¬α.
Si α es una fórmula y x es una variable, ∀xα y ∃xα son fórmulas.
Omitiremos los paréntesis exteriores de las fórmulas (como en el caso
proposicional), y usaremos α, β, . . . para referirnos a las fórmulas.
F. Bou ([email protected])
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Ejemplo en los lenguajes L≈ y L1 anteriores
x),
(y ∀
x
c
(x ≈ y )
y ≈x
∀cx ≈ c
∀yx ≈ y
Px
Rxy
Px ∧ ¬Rxy
F. Bou ([email protected])
Expresión
No
Sı́
Sı́
No/Sı́
Sı́
Sı́
No/Sı́
Sı́
No/Sı́
No/Sı́
No/Sı́
Término
No
No
Sı́
No/Sı́
No
No
No
No
No
No
No
Fórmula Atómica
No
No
No
No
No
Sı́
No
No
No/Sı́
No/Sı́
No
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Fórmula
No
No
No
No
No
Sı́
No
Sı́
No/Sı́
No/Sı́
No/Sı́
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Ejemplos de fórmulas en un lenguaje de Primer Orden
Diversos Tipos de Fórmulas
Una conjunción es una fórmula de primer orden de la forma (α ∧ β).
Una disyunción es una fórmula de primer orden de la forma (α ∨ β).
Un condicional es una fórmula de primer orden de la forma (α → β).
Ejemplos de fórmulas atómicas (se sobreentiende el lenguaje)
Un bicondicional es una fórmula de primer orden de la forma (α ↔ β).
x ≈ y , x ≈ c, Pc, Rxy , Rdy , Rcd, etc.
Una negación es una fórmula de primer orden de la forma ¬α.
Una cuantificación universal es una fórmula de primer orden de la
forma ∀xα.
Ejemplos de fórmulas no atómicas (se sobreentiende el lenguaje)
¬x ≈ y , ¬Px, Px → Rxy , Px ∧ ¬Qy , ∀xPx, ∀x¬Px,
∀x(∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rxc), ∀x∀xPx, etc.
Una cuantificación existencial es una fórmula de primer orden de la
forma ∃xα.
Toda fórmula de primer orden es o bien una conjunción, o una
diyunción, o un condicional, o un bicondicional, o una negación, o
una cuantificación universal, o una cuantificación existencial, o una
fórmula atómica.
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
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Subfórmulas
Al igual que en el caso proposicional podemos asociar a cada fórmula de un
lenguaje de primer orden su árbol genealógico, que describe la construcción
o generación de la fórmula de acuerdo a las reglas anteriores. Por ejemplo,
El árbol genealógico de ∀x∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rxc es
Px
Rxy
Px ∧ Rxy
∃y (Px ∧ Rxy )
Rxc
∀x∃y (Px ∧ Rxy )
¬Rxc
∀x∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rxc
El árbol genealógico de ∀x(Px → ∃yRxy ) → ∀x(∃yRxy → ¬Qx) es
Rxy
Rxy
Qx
Px
∃yRxy
∃yRxy
¬Qx
Px → ∃yRxy
∃yRxy → ¬Qx
∀x(Px → ∃yRxy )
∀x(∃yRxy → ¬Qx)
∀x(Px → ∃yRxy ) → ∀x(∃yRxy → ¬Qx)
Los árboles genealógicos permiten justificar que se es una fórmula.
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Justificación de porqué una expresión es una fórmula
F. Bou ([email protected])
F. Bou ([email protected])
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Las subfórmulas de una fórmula son las fórmulas que aparecen en su
árbol genealógico, incluida la propia fórmula.
Por ejemplo, ∀x∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rxc tiene 8 subfórmulas, y
∀x(Px → ∃yRxy ) → ∀x(∃yRxy → ¬Qx) tiene 10 subfórmulas según
lo que hemos visto en la anterior diapositiva.
¿Cuáles son la subfórmulas de la fórmula ∀y ∀x((x ≈ y ∧ Px) → Py )?
Para responder a esta pregunta comenzamos construyendo el árbol
genealógico de esta fórmula, el cual es
x ≈y
Px
(x ≈ y ∧ Px)
Py
((x ≈ y ∧ Px) → Py )
∀x((x ≈ y ∧ Px) → Py )
∀y ∀x((x ≈ y ∧ Px) → Py )
Por tanto, hay siete subfórmulas que son: x ≈ y , Px, (x ≈ y ∧ Px),
Py , ((x ≈ y ∧ Px) → Py ), ∀x((x ≈ y ∧ Px) → Py ) y
∀y ∀x((x ≈ y ∧ Px) → Py ).
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Más Ejemplos de Subfórmulas
Variables libres y ligadas
¿Cuántas subfórmulas tiene la fórmula ∀xPx → ∃xPx y cuáles son?
Para responder a esta pregunta comenzamos construyendo el árbol
genealógico de esta fórmula, el cual es
Px
Px
∀xPx
∃xPx
∀xPx → ∃xPx
Por tanto, hay cuatro subfórmulas que son: Px, ∀xPx, ∃xPx y
∀xPx → ∃xPx.
¿Cuántas subfórmulas tiene la fórmula ∀x(Px → ∃xPx) y cuáles son?
Para responder a esta pregunta comenzamos construyendo el árbol
genealógico de esta fórmula, el cual es
Px
Px
∃xPx
Px → ∃xPx
∀x(Px → ∃xPx)
Por tanto, hay cuatro subfórmulas que son: Px, Px → ∃xPx, ∃xPx y
∀x(Px → ∃xPx).
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Una aparición de una variable x en una fórmula α es libre si no es
ligada. Es decir, sii dicha aparición de la variable x no está bajo el
alcance de ninguna cuantificación de la forma ∀x o ∃x.
Es evidente que toda aparición de una variable en una fórmula es o
bien libre o bien ligada.
F. Bou ([email protected])
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Sentencias y Fórmulas Abiertas
Una variable x está libre en una fórmula α si hay alguna aparición
libre de la variable x en la fórmula α. Es decir, si hay una aparición de
x en α que no aparece bajo el alcance de ningún cuantificador de la
forma ∀x o ∃x.
Indicar con las apariciones de variables que son ligadas, y con las
apariciones de variables que son libres en las siguientes fórmulas.
Escribiremos α(x1 , . . . , xn ) para denotar a una formula α tal que sus
variables libres están entre (no tienen porque ser exactamente)
x1 , . . . , xn .
∀x(Px → Rxy ) → (∃yPy → Rxz).
∀x(Px → Rxy ) → (∃y Py → Rxz).
∀z∀x(Px → x ≈ y ) ∧ Qz. ∀z∀x(Px → x ≈ y ) ∧ Qz.
Una fórmula con una o más variables libres es una fórmula abierta.
Algunos ejemplos de fórmulas abiertas son ¬c ≈ y , Px →
Rxy , ∀x∃yRxy → Rxx, ∀x(∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rzx), . . .
∀x(Px → ∃yRxy ) → ∀x(∃yRxy → ¬Qx).
∀x(Px → ∃y Rxy ) → ∀x(∃y Rxy → ¬Qx).
∀x∀y ((Py ∧ x ≈ c) → Py ) → Px. ∀x∀y ((Py ∧ x ≈ c) → Py ) → Px.
Introducción a la Lógica II
Una aparición de una variable x en una fórmula α es ligada si aparece
en una subfórmula de α que es una cuantificación ligada a x. Es
decir, sii dicha aparición de la variable x está bajo el alcance de una
cuantificación de la forma ∀x o ∃x.
Lenguajes de Primer Orden: Sintaxis
Ejemplos sobre Variables libres y ligadas
F. Bou ([email protected])
Una cuantificación ligada a una variable x es una fórmula de la forma
∀xα o de la forma ∃xα (donde α es otra fórmula).
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Toda fórmula sin variables libres es una sentencia (o una fórmula
cerrada), y las denotaremos σ, δ, . . .. Algunos ejemplos de sentencias
son
¬c ≈ d, Pc → Rcc, ∀x∀y (Px → Rxy ), ∀x(∃y (Px ∧ Rxy ) → ¬Rxc), . . .
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Semántica
Estructuras
Antes hemos introducido la sintaxis de los lenguajes de primer orden.
Ahora prestamos atención a su semántica, es decir, vamos a decir
cómo se les atribuye significado a los lenguajes de primer orden (hasta
ahora sólo son sı́mbolos sintácticos).
Recordemos para identificar un lenguaje de primer orden basta con
decir cuáles son sus sı́mbolos propios, es decir, (i) cuáles son sus
constantes, (ii) cuáles son sus sı́mbolos de predicado, y (iii) cuáles son
sus sı́mbolos relacionales (indicando el número asociado a cada
sı́mbolo relacional).
Desde un punto de vista intuitivo, para interpretar un lenguaje de
primer orden L debemos hacer dos cosas:
1
2
Definición
Una estructura para un lenguaje de primer orden L consiste en un par
ordenado A = hA, Fi donde
1
2
A es un conjunto no vacı́o llamado el universo (o dominio) de la
estructura.
F es una regla que asigna un objeto a cada sı́mbolo propio de L
cumpliendo las condiciones siguientes:
I
I
Fijar un conjunto A no vacı́o de objetos (los elementos del discurso).
Interpretar cada uno de los sı́mbolos propios del lenguaje L, es decir,
F
F
F
asignar a cada constante un elemento del conjunto A.
asignar a cada sı́mbolo de predicado un subconjunto (puede ser vacı́o)
de A.
asignar a cada sı́mbolo relacional n-ario una relación n-aria (puede ser
vacı́a) en A.
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
I
2.1. si c es una constante de L, la regla le asigna un elemento de A, al
que denotamos c A y llamamos la interpretación (denotación) de c en
A.
2.2. si P es un sı́mbolo de predicado de L, la regla le asigna un
subconjunto de A, al que denotamos P A y llamamos la interpretación
de P en A.
2.3. si R es un sı́mbolo relacional n-ario de L, la regla le asigna una
relación n-aria en A, a la que denotamos R A y llamamos la
interpretación de R en A.
Usaremos los nombres A, B, C, . . . para referirnos a las estructuras.
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Ejemplos de Estructuras
Más Ejemplos de Estructuras
Consideramos otra vez el lenguaje L1 de antes. Una estructura para
este lenguaje es por ejemplo
A = hA, c A , d A , P A , R A , S A i,
donde A es el conjunto de los objetos celestes del sistema solar, c A es
la Tierra, d A es la Luna, P A es el conjunto de los planetas, R A es la
relación “ser satélite de” entre objetos celestes del sistema solar y S A
es la relación vacı́a.
Otra estructura para ese mismo lenguaje es
B = hB, c B , d B , P B , R B , S B i,
Otro ejemplo más de estructura para el lenguaje L1 es
C = hC , c C , d C , P C , R C , S C i,
donde C = {1, 2, 3, 4}, c C = 2, d C = 1, P C = {1, 2},
R C = {h1, 3i, h1, 1i, h3, 2i} y S C = {h1, 1, 3i, h2, 1, 4i, h3, 2, 1i}.
donde B es el conjunto de los números naturales (i.e.,
B = {1, 2, 3, . . .}), c B es el número 5, d B es el número 1, P B es el
conjunto de los números pares, R B es la relación “ser menor estricto
que” entre números naturales y S B es la relación
{hm, n, ki : m, n, k son números naturales y m · n = k}.
F. Bou ([email protected])
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F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Algunas Observaciones sobre las Estructuras
Sentencias Verdaderas en una Estructura
El universo de una estructura nunca es vacı́o.
Es posible que la interpretación de un sı́mbolo de predicado o de un
sı́mbolo relacional sea el conjunto vacı́o. Esto es ası́ para poder hablar
de propiedades y relaciones que no posee ningún objeto del universo
de la estructura.
Es obvio que un lenguaje de primer orden puede interpretarse en
distintas estructuras.
Una estructura para un lenguaje de primer orden nos proporciona la
interpretación de los sı́mbolos propios del lenguaje.
Para determinar el valor de verdad de las sentencias (de un lenguaje
de primer orden) debemos fijar también el significado de los sı́mbolos
no propios.
¿Cuál es el significado de los sı́mbolos no propios? Desde un punto de
vista intuitivo se tiene que el significado de
I
I
I
I
las conectivas ∧, ∨, →, ↔, ¬ es el mismo que en la lógica proposicional.
el cuantificador universal ∀ se lee “para todo objeto del dominio de la
estructura”.
el cuantificador existencial ∃ se lee “para algún objeto del dominio de
la estructura”.
el sı́mbolo de igualdad ≈ es la relación de identidad (igualdad).
Dada una sentencia σ y una estructura A automáticamente queda
determinado si la sentencia σ es verdadera en la estructura A
(escribiremos A |= σ) o si por contra la sentencia σ es falsa en la
estructura A (escribiremos A 6|= σ).
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
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Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
Consideramos otra vez las estructuras A, B, C de antes. Clasificar las
siguientes sentencias según sean verdaderas o falsas.
A
B
C
Pc
V
F
V
V
V
F
¬Pd
∀x∀y ((Px ∧ Py ) → x ≈ y )
F
F
F
F
F
V
∃xRxx
V
V
V
∃xRdx
F
F
V
∃xRxd
∃x∃yRxy
V
V
V
∀x(Px → ∃yRyx)
F
V
V
∃x∀y (¬x ≈ y → Rxy )
F
V
F
F
V
F
∃x∃ySxyx
F
V
F
∀x∃yRxy
F
F
F
∃x∀yRxy
Rxd
?
?
?
?
?
?
∀y (¬x ≈ y → Rxy )
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
F. Bou ([email protected])
F. Bou ([email protected])
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Consideramos el lenguaje de primer orden que tiene un sı́mbolo de
constantes c, dos sı́mbolos de predicado P, Q y un relacional binario R.
Sobre este lenguaje consideramos la estructura
A = hA, c A , P A , Q A , R A i,
donde A es el conjunto de los números naturales (i.e., A = {1, 2, 3, . . .}),
c A es el número 1, P A es el conjunto de los números pares, Q A es el
conjunto de los números impares y R A es la relación “ser menor estricto
que”. Entonces,
La sentencia ∀x(Px ∨ Qx) expresa que todo número natural es par o
impar. Y por tanto, es verdadera en esta estructura A.
La sentencia ∀y (Py ∨ Qy ) expresa lo mismo que la anterior; luego es
verdadera en A.
La sentencia ∀x(Px ↔ ¬Qx) expresa que todo número natural es par
sii no es impar. Y por tanto, es verdadera en A.
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
(cont.)
La sentencia ∃xRxx expresa que hay algún número natural que es
menor estricto que si mismo. Y por tanto, es falsa en A.
La sentencia ∀xRcx expresa que el 1 es menor estricto que todo
número natural, i.e., que todo número natural es mayor estricto que
el 1. Y por tanto, es falsa en A.
La sentencia ∀x(Rcx ∨ x ≈ c) expresa que todo número natural es o
bien mayor estricto que el 1 o bien el número 1. Y por tanto, es
verdadera en A.
La sentencia ∀x∃yRxy expresa que todo número natural tiene uno
estrictamente mayor. Y por tanto, es verdadera en A. Y lo mismo es
expresado por ∀y ∃xRyx.
La sentencia ∀x∃yRyx expresa que todo número natural tiene uno
estrictamente menor. Y por tanto, es falsa en A.
F. Bou ([email protected])
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
La sentencia ∀x∀y (Rxy ∨ Ryx) expresa que dados dos números
naturales o bien el primero es estrictamente menor que el segundo o
bien el segundo es estrictamente menor que el primero. Y por tanto,
es falsa en A.
La sentencia ∀x(Px → ∃y (Qy ∧ Rxy )) expresa que para todo número
natural si es par entonces hay un número impar estrictamente mayor
que él, i.e., todo número par tiene un impar estrictamente mayor. Y
por tanto, es verdadera en A.
La sentencia ∀x(Px → ∃y (Qy ∧ Ryx)) expresa que para todo número
natural si es par entonces hay un número impar estrictamente menor
que él, i.e., todo número par tiene un impar estrictamente menor. Y
por tanto, es verdadera en A.
La sentencia ∀x(Qx → ∃y (Py ∧ Ryx)) expresa que para todo número
natural si es impar entonces hay un número par estrictamente menor
que él, i.e., todo número impar tiene un par estrictamente menor. Y
por tanto, es falsa en A.
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Introducción a la Lógica II
Versión 20 de mayo de 2009
Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
Consideramos la estructura (en el lenguaje de primer orden del ejemplo
anterior)
B = hB, c B , P B , Q B , R B i,
donde B es el conjunto {1, 2, 3, 4}, c B = 1, P B = {1, 2, 3}, Q B = {2, 4} y
R B = {h1, 2i, h2, 3i, h3, 3i}. Entonces,
La sentencia ∃x(Px ∧ Qx) es verdadera (puesto que 2 ∈ P B y 2 ∈ Q B ).
La sentencia ∃xRcx es verdadera (puesto que 1 está relacionado por R B
con algún objeto ya que h1, 2i ∈ R B ).
La sentencia ∃yRyc es falsa (puesto que ningún objeto está relacionado
por R B con 1). Y los mismo para ∃xRxc.
La sentencia ∀x(Px ∨ Qx) es verdadera (puesto que todos los elementos
del dominio o bien pertencen a P B o a Q B ).
La sentencia ∃x(¬Qx ∨ c ≈ x) es verdadera (puesto que el condicional
¬Qx ∨ c ≈ x es verdadera si interpretamos x como 3).
La sentencia ∃x(Qx → c ≈ x) es verdadera (puesto que el condicional
Qx → c ≈ x es verdadera si interpretamos x como 3).
Introducción a la Lógica II
(cont.)
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
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Otro Ejemplo sobre la verdad/falsedad de Sentencias
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(cont.)
La sentencia ∀xPx ∨ ∀xQx es falsa (puesto que ni todos los objetos
pertenecen a P B ni todos los objetos pertenecen a Q B ).
La sentencia ∀x∃yRxy es falsa (puesto que 4 no está relacionado por
R B con ningún objeto).
La sentencia ∃y ∀x¬Rxy es verdadera (puesto que ningún objeto
está relacionado por R B con 1, i.e., puesto que ∀x¬Rxy es verdadera
si interpretamos y como 1).
La sentencia ∀x(Px → ∃yRxy ) es verdadera (puesto que todos los
elementos de P B están relacionados por R B con algún objeto).
La sentencia ∀x∀y ∀z((Rxy ∧ Rxz) → y ≈ z) es verdadera (puesto
que la relación R B es una función).
La sentencia ∀xPx → ∃xPx es verdadera (puesto que el segundo
miembro del condicional es verdadero).
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Verdad Lógica
Más sobre la Verdad Lógica
Hasta ahora hemos hablado de la noción de verdad en una estructura.
Conviene remarcar que no se puede hablar del valor de verdad de una
sentencia, puesto que una sentencia admite significados diferentes en
estructuras diferentes.
Una sentencia de un lenguaje de primer orden L es una verdad lógica
si es verdadera en toda estructura para L. Las verdades lógicas
también son llamadas sentencias universalmente válidas o lógicamente
válidas.
Todas las sentencias que tienen forma de una tautologı́a
(proposicional) son verdades lógicas. Este tipo de sentencias son
verdades lógicas en virtud de la semántica de las conectivas. Ası́ pues,
la sentencia (∃xPx ∧ ∀xQx) → ∀xQx es una verdad lógica, puesto que
es de la forma (α ∧ β) → β, la cual es una tautologı́a. Análogamente,
utilizando que α → (α ∨ β) es una tautologı́a, resulta que la sentencia
∃xPx → (∃xPx ∨ ∀xQx) también es una verdad lógica.
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
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Introducción a la Lógica II
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∀x x ≈ x,
∀x∀y (x ≈ y → y ≈ x),
∀x∀y ∀z((x ≈ y ∧ y ≈ z) → x ≈ z).
∀x∀y ((x ≈ y ∧ Px) → Py ),
Las tres primeras sentencias esencialmente están afirmando que la
relación de igualdad es una relación de equivalencia, es decir, que es
reflexiva, simétrica y transitiva. Y la cuarta sentencia expresa que
objetos identicos cumplen las mismas propiedades.
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¿Cómo justificar que la sentencia ∀x∃yRxy → ∃x∀yRxy no es una
verdad lógica? Hemos de encontrar una estructura donde la sentencia
anterior no sea verdadera (i.e., sea falsa). Por ejemplo, se puede
comprobar que dicha sentencia es falsa en la estructura B considerada
anteriormente (véanse las diapositivas anteriores). Otro ejemplo
(aunque con el anterior ya bastaba para saber que no es una verdad
lógica) de estructura donde la sentencia anterior es falsa es la
estructura con dominio el conjunto de seres humanos, y que interpreta
el sı́mbolo relacional binario R con la relación binaria “ser hijo de”.
¿Cómo justificar que la sentencia ∀x(Px → Qx) no es una verdad
lógica? Hemos de encontrar una estructura donde la sentencia
anterior sea falsa. Por ejemplo, se puede comprobar que dicha
sentencia es falsa en la estructura con dominio el conjunto de seres
humanos, que interpreta el sı́mbolo de predicado P como el conjunto
de seres humanos que son polı́ticos y que interpreta el sı́mbolo Q
como el conjunto de los polı́ticos que han estudiado algo en la UB.
∀x(Px → Px),
∀xPx → Pc,
Pc → ∃xPx,
∀xPx → ∃xPx,
∀x(Px → Qx) → (∀x(Qx → Rx) → ∀x(Px → Rx)),
∀x(Px → Qx) → (∀xPx → ∀xQx),
∀x(Px → Qx) → (∃xPx → ∃xQx),
∃x(Px → ∀yPy ),
∃x∀yRxy → ∀x∃yRxy ,
etc.
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I
Más sobre la Verdad Lógica (cont.)
Más ejemplos de verdades lógicas son
I
I
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Más sobre la Verdad Lógica (cont.)
I
Otros ejemplos de verdades lógicas que se pueden justificar por la
misma razón anterior (ser tautologı́as proposicionales) son
(∀x x ≈ c → ∃yPy ) ↔ (¬∀x x ≈ c ∨ ∃yPy ),
(Pc → ∀xPx) ∨ (∀xPx → Pc), etc.
Ejemplos de verdades lógicas en base a un motivo diferente (porque
no son tautologı́as proposicionales) son por ejemplo
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Equivalencia Lógica
Equivalencia Lógica (cont.)
Decimos que dos sentencias de un lenguaje de primer orden son
lógicamente equivalentes si son verdaderas en exactamente las
mismas estructuras. Y por tanto, también son falsas en exactamente
las mismas estructuras.
Escribiremos σ ≡ δ para indicar que dichas dos sentencias son
lógicamente equivalentes.
Es evidente que: i) σ ≡ σ, ii) si σ ≡ δ entonces δ ≡ σ, iii) si σ ≡ δ y
δ ≡ γ entonces σ ≡ γ. Es decir, la relación de equivalencia lógica es
reflexiva, simétrica y transitiva.
Todos los principios de equivalencia lógica válidos en lógica
proposicional también valen para la lógica de primer orden.
Recordemos que
I
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
∀xPx ≡ ∀yPy [Cambio de Variables]
∃xPx ≡ ∃yPy [Cambio de Variables]
¬∀xPx ≡ ∃x¬Px
¬∃xPx ≡ ∀x¬Px
∃xPx ≡ ¬∀x¬Px
∀xPx ≡ ¬∃x¬Px
∀x(Px ∧ Qx) ≡ ∀xPx ∧ ∀xQx
∃x(Px ∨ Qx) ≡ ∃xPx ∨ ∃xQx
...
¬∀x∀yRxy ≡ ∃x∃y ¬Rxy
¬∀x∃yRxy ≡ ∃x∀y ¬Rxy
¬∃x∀yRxy ≡ ∀x∃y ¬Rxy
¬∃x∃yRxy ≡ ∀x∀y ¬Rxy
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Sustitución de fórmulas lógicamente equivalentes
Consecuencia Lógica
Decimos que un conjunto Γ de sentencias de una lenguaje de primer
orden L es satisfacible si existe una estructura A en la que son
verdaderas todas las sentencias de Γ.
Propiedad
Si en una fórmula sustituimos una subfórmula por una fórmula
lógicamente equivalente a ella obtenemos una fórmula lógicamente
equivalente a la fórmula inicial.
En tal caso, decimos que A satisface Γ, o que A es un modelo de Γ ,
y escribimos A |= Γ.
Y se dice que Γ es insatisfacible si no es satisfacible, es decir, si en
toda estructura al menos una sentencia de Γ es falsa.
Por ejemplo,
∀x∀y (¬Rxy → ¬Ryx) ≡ ∀x∀y (Rxy ∨ ¬Ryx) ≡ ∀x∀y (¬Ryx ∨ Rxy ) ≡
∀x∀y (Ryx → Rxy ).
∀x∃y (Py ∨ ¬Rxy ) → ∀xPx ≡ ¬∀x∃y (Py ∨ ¬Rxy ) ∨ ∀xPx ≡
∃x∀y ¬(Py ∨ ¬Rxy ) ∨ ∀xPx∀x ≡ ∃x∀y (¬Py ∧ Rxy ) ∨ ∀xPx.
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I
I
σ ≡ ¬¬σ,
σ → δ ≡ ¬σ ∨ δ,
σ ∧ δ ≡ ¬(¬σ ∨ ¬δ),
σ → δ ≡ ¬(σ ∧ ¬δ),
σ ∨ δ ≡ ¬(¬σ ∧ ¬δ),
σ ∧ δ ≡ ¬(σ → ¬δ),
σ ∨ δ ≡ ¬σ → δ.
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En virtud de lo dicho en el punto anterior obtenemos muchas
equivalencias lógicas, pero tambień hay ejemplos de equivalencias
lógicas que no son debidos a motivos proposicionales. Entre estos
ejemplos podemos encontrar las siguientes equivalencias lógicas
Introducción a la Lógica II
Versión 20 de mayo de 2009
Ejemplo: el conjunto formado por las sentencias
∀x(Px ∨ Qx), ∃x(Px ∧ ¬Qx), ∀x(Qx → ∃y (Ryx ∧ Py ))
es satisfacible. Para justificarlo podemos considerar la estructura A
cuyo universo es {1, 2} y donde P A = {1}, Q A = {2} y
R A = {h1, 2i}.
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Consecuencia Lógica (cont.)
Consecuencia Lógica (cont.)
Ejemplo: el conjunto formado por las sentencias
Decimos que una sentencia σ es consecuencia de un conjunto de
sentencias Γ si σ es verdadera en toda estructura que satisface Γ.
∃x(Px ∧ Qx), ∀x(Px → Rxx), ∀x(Qx → ¬Rxx)
es insatisfacible. Para justificarlo supongamos que hay una estructura
A en la que las tres sentencias anteriores son verdaderas. Por la
primera de las sentencias debe haber un objeto a en el universo A de
forma que a ∈ P A y a ∈ Q A . Por tanto, usando la segunda sentencia
sabemos que ha, ai ∈ R A . Y usando la tercera sentencia sabemos que
ha, ai 6∈ R A . Obviamente, hemos llegado a una contradicción y por
tanto sabemos que no puede suceder que haya una estructura que
haga verdadera las tres sentencias anteriores.
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
En tal caso, también diremos que el argumento formado por las
premisas Γ y la conclusión σ es lógicamente correcto.
Escribiremos Γ |= σ para indicar que σ es consecuencia de Γ. Y
escribiremos Γ 6|= σ para indicar que σ no es consecuencia de Γ, es
decir, que existe una estructura que es modelo de Γ pero no lo es de
σ.
Escribiremos γ1 , . . . , γn |= σ para indicar que {γ1 , . . . , γn } |= σ. Y
escribiremos |= σ para indicar que σ es una verdad lógica.
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Consecuencia Lógica (cont.)
Fórmulas con Variables Libres
Propiedad
Sea Γ un conjunto de sentencias, y sean σ, δ un par de sentencias.
Entonces,
1
Γ |= σ
sii
Γ ∪ {¬σ} es insatisfacible.
2
Γ 6|= σ
sii
Γ ∪ {¬σ} es satisfacible.
3
Γ |= σ → δ
sii
Una ecuación del tipo
x 2 − 5x + 6 = 0
Γ ∪ {σ} |= δ.
Los ejemplos anteriores sobre satisfabilidad justifican que
∀x(Px ∨ Qx), ∀x(Qx → ∃y (Ryx ∧ Py )) 6|= ¬∃x(Px ∧ ¬Qx) y que
∃x(Px ∧ Qx), ∀x(Px → Rxx) |= ¬∀x(Qx → ¬Rxx).
Por tanto, usando que ¬∃x(Px ∧ ¬Qx) ≡ ∀x(Px → Qx) y
¬∀x(Qx → ¬Rxx) ≡ ∃x(Qx ∧ Rxx), resulta que también sabemos
que ∀x(Px ∨ Qx), ∀x(Qx → ∃y (Ryx ∧ Py )) 6|= ∀x(Px → Qx) y que
∃x(Px ∧ Qx), ∀x(Px → Rxx) |= ∃x(Qx ∧ Rxx).
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no es ni verdadera ni falsa; todo depende de como interpretemos la
variable x. En dicho ejemplo si interpretamos la x como 2 entonces la
ecuación es verdadera, si interpretamos la x como 3 entonces la
ecuación es verdadera, y si interpretamos la x como un número
diferente del 2 y del 3 entonces la ecuación es falsa. Cuando en
matemáticas se habla de las soluciones de una ecuación con una
incógnita x se piensa precisamente en las formas de interpretar la
variable x para que la ecuación sea verdadera.
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Fórmulas con Variables Libres (Cont.)
Fórmulas con Variables Libres (Cont.)
El caso de los pronombres en el lenguaje natural es parecido al de las
variables (o incógnitas) en las matemáticas. La oración
él es estudiante de la UB
tampoco es ni verdadera ni falsa; todo depede del contexto. En dicho
ejemplo si interpretamos el pronombre como yo mismo (i.e., el
profesor) entonces la oración es falsa, pero si lo interpretamos como
cualquiera de vosotros entonces la oración es verdadera. ¿Cuáles creéis
que son las soluciones para dicha oración? Es decir, ¿de qué formas
podemos interpretar el pronombre para que la oración sea verdadera?
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Las fórmulas con exactamente una variable libre (por ejemplo, Px,
∃xRxy , ∃yRyx, Px ∨ ¬Qx, etc.) se comportan análogamente a los
ejemplos anteriores de una ecuación (con una incógnita) y de una
expresión con pronombres.
Dada una fórmula α con una sola variable libre y una estructura A
definimos el conjunto de soluciones de α en la estructura A como el
conjunto
{a ∈ A : α es verdadera en A interpretando la variable libre como a}.
Análogamente, podrı́amos considerar soluciones de fórmulas con más
de una variable libre (por ejemplo, Px ∧ Qy , Rxy ∧ ¬Ryx, etc.), pero
en tal caso en vez de tener un conjunto deberı́amos pensar en
relaciones binarias, ternarias, etc dependiendo del número de variables
libres que tenga la fórmula.
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Fórmulas con Variables Libres (Cont.)
Fórmulas con Variables Libres (Cont.)
Un detalle interesante es que si la sentencia ∀xα es verdadera en una
estructura A entonces esto significa exactamente que el conjunto de
soluciones de la fórmula α (fijémonos que sólo tiene una variable
libre) en esa misma estructura es el conjunto A.
Por tanto, si la sentencia ∀xα es falsa en una estructura A entonces
esto significa exactamente que el conjunto de las soluciones de la
fórmula α en esa misma estructura es un conjunto diferente del total.
Análogamente, si la sentencia ∃xα es verdadera en una estructura A
entonces esto significa exactamente que el conjunto de las soluciones
de la fórmula α en esa misma estructura es un conjunto no vacı́o.
Por tanto, si la sentencia ∃xα es falsa en una estructura A entonces
esto significa exactamente que el conjunto de las soluciones de la
fórmula α en esa misma estructura es el conjunto ∅.
Ejemplo: Sea A la estructura tal que su dominio es el conjunto
A = {1, 2, 3, . . .} de los números naturales, c A es el número 1, P A es el
conjunto de los números pares, Q A es el conjunto de los números
múltiplos de 3 (i.e., Q A = {3, 6, 9, 12, . . .}), R A es la relación binaria “ser
menor estricto que”, y S A es la relación ternaria {ha, b, ci : c = a + b}.
Entonces, el conjunto de soluciones de
Px es el conjunto P A de los números pares.
¬Px es el conjunto {1, 3, 5, 7, . . .} de los números impares.
∃x∃y (¬Px ∧ ¬Py ∧ Sxyz) es el conjunto {2, 4, 6, 8, . . .} de los
números pares.
∃x∃ySxyz es el conjunto A − {1} (i.e., {2, 3, 4, 5, . . .}).
Px ∧ ¬Qx es el conjunto {2, 4, 8, 10, 14, 16, . . .} de los números pares
que no son múltiplos de 3 (i.e., el conjunto de los números pares que
no son múltiplos de 6).
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Fórmulas con Variables Libres (Cont.)
Fórmulas con Variables Libres (Cont.)
Ejemplo: Sea A una estructura para el lenguaje de primer orden con dos
sı́mbolos de predicado P, Q, y dos sı́mbolos relacionales binarios R y S.
Entonces, el conjunto de soluciones de
∃x∃y (Px ∧ Py ∧ Sxyz) es el conjunto {4, 6, 8, . . .} de los números
pares excepto el 2.
x ≈ c es el conjunto {1}.
¬Px es el conjunto A − P A .
∀y (x ≈ y ∨ Rxy ) es el conjunto {1}.
Px ∧ Qx es el conjunto P A ∩ Q A .
∃y (y ≈ c ∧ Syyx) es el conjunto {2}.
Px ∨ Qx es el conjunto P A ∪ Q A .
∃y ∃z(y ≈ c ∧ Syyz ∧ Syzx) es el conjunto {3}.
∃yRxy es el conjunto dom(R A ).
x ≈ c ∨ ∃y (y ≈ c ∧ Syyx) es el conjunto {1, 2}.
∃yRyx es el conjunto {2, 3, 4, 5, . . .} de los números naturales excepto
el 1.
∃y (Ryx ∧ ∀z(y ≈ z ∨ Ryz)) es el conjunto {2, 3, 4, 5, . . .} de todos los
números naturales excepto el 1.
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∃yRyx es el conjunto rec(R A ).
∃y (Ryx ∨ Rxy ) es el conjunto campo(R A ).
∃y (Rxy ∧ Syz) es la relación binaria R A |S A .
∃y (Rxy ∧ Szy ) es la relación binaria R A | S A .
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Fórmulas con Variables Libres (Cont.)
Fórmulas con Variables Libres (Cont.)
Ejemplo: Sea A la estructura tal que su dominio es el conjunto
A = {1, 2, 3, 4, 5}, c A es el número 2, P A = {1, 2, 5}, Q A = {3, 5},
R A = {h2, 1i, h2, 5i, h1, 5i, h5, 5i} y S A = {h2, 5i, h5, 2i, h5, 5i}. Entonces,
el conjunto de soluciones de
Ejemplo: Continuamos considerando la misma estructura, es decir, una A
con dominio el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, c A es el número 2,
P A = {1, 2, 5}, Q A = {3, 5}, R A = {h2, 1i, h2, 5i, h1, 5i, h5, 5i} y
S A = {h2, 5i, h5, 2i, h5, 5i}. Entonces, el conjunto de soluciones de
∃yRyx es el conjunto {1, 5}.
∃yRxy es el conjunto {1, 2, 5}.
∃y (Ryx ∧ Syx) es el conjunto {5}.
∃y (Ryx ∨ Syx) es el conjunto {1, 2, 5}.
∀y (Py → Ryx) es el conjunto {5}.
∀y ((Py ∧ Qy ) → ¬Ryx) es el conjunto {1, 2, 3, 4}.
∃y (Py ∧ Syx) es el conjunto {2, 5}.
∃y (Qy ∨ Ryx) es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.
∀y (∃zRyz → Ryx) es el conjunto {5}.
∀y (∃zSyz → Ryx) es el conjunto {5}.
∀z(Rzx → ∃yRzy ) es el conjunto {1, 2, 3, 4, 5}.
∀z(Rzx → ∃ySzy ) es el conjunto {1, 2, 3, 4}.
Px ∧ Qx es el conjunto {5}.
Px ∨ Qx es el conjunto {1, 2, 3, 5}.
Px ∨ ¬Qx es el conjunto {1, 2, 4, 5}.
Px ∧ ¬Qx es el conjunto {1, 2}.
¬Px ∧ ¬Qx es el conjunto {4}.
¬Px ∨ ¬Qx es el conjunto {1, 2, 3, 4}.
Px → Qx es el conjunto {3, 4, 5}.
Px ↔ Qx es el conjunto {4, 5}.
Px → ¬Qx es el conjunto {1, 2, 3, 4}.
Px ↔ ¬Qx es el conjunto {1, 2, 3}.
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Simbolización
Simbolización (cont.)
Proceso de Simbolización
Dado un enunciado (i.e., una oración a la que le podemos asignar un valor
de verdad) el proceso para simbolizarlo es el siguiente:
1
Elegimos un lenguaje de primer orden y una estructura para dicho
lenguaje de forma que el enunciado describa propiedades de la
estructura.
2
Damos una sentencia de dicho lenguaje de primer orden que expresa
(en la estructura) lo mismo que el enunciado.
Ejemplo: ¿Cómo formalizar el enunciado todo planeta es un satélite?.
Tomamos el lenguaje de primer orden que consta de dos sı́mbolos de
predicado P, Q. Y consideramos la estructura A = hA, P A , Q A i,
donde A es el conjunto de los objetos celestes, P A es el conjunto de
los planetas y Q A es el conjunto de los satélites. El enunciado que
nos interesa podemos formalizarlo como la sentencia ∀x(Px → Qx).
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Observamos que los dos ejemplos anteriores los hemos formalizado
con la misma sentencia. Por tanto, no se puede hablar del significado
de una sentencia (por ejemplo, ∀x(Px → Qx)), puesto que una
sentencia admite significados diferentes en estructuras diferentes.
Siempre hay que hablar del significado de una sentencia en una
estructura.
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Simbolización (cont.)
Simbolización (cont.)
En muchas ocasiones es claro cuál es el lenguaje y la estructura a
considerar en una formalización. Ası́ pues, y en vista a proceder ágilmente,
en los siguientes ejemplos nos limitamos a dar directamente las sentencias
que formalizan los siguientes enunciados.
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Algún número es par y primo: ∃x(Px ∧ Qx).
Todo número par es primo: ∀x(Px → Qx).
La Tierra es un planeta: Pc.
La Luna es un planeta: Pd.
La Luna es un satélite: Qd.
La Tierra gira alrededor del Sol: Rce.
Todo planeta gira alrededor del Sol: ∀x(Px → Rxe).
Algún planeta gira alrededor del Sol: ∃x(Px ∧ Rxe).
Ningún planeta es un satélite: ¬∃x(Px ∧ Qx), o ∀x(Px → ¬Qx).
Hay como mucho un planeta: ∀x∀y ((Px ∧ Py ) → x ≈ y ).
Hay exactamente un planeta: ∃xPx ∧ ∀x∀y ((Px ∧ Py ) → x ≈ y ).
Hay al menos dos planetas: ∃x∃y (Px ∧ Py ∧ ¬x ≈ y ).
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Ejemplo: ¿Cómo formalizar el enunciado todos los seres humanos son
racionales?. Tomamos, como antes, el lenguaje de primer orden que
consta de dos sı́mbolos de predicado P, Q. Y consideramos la
estructura B = hB, P B , Q B i, donde B es el conjunto de los seres
vivientes, P B es el conjunto de los seres humanos y Q B es el conjunto
de los seres racionales. El enunciado que nos interesa podemos
formalizarlo como ∀x(Px → Qx).
Ningún número par es primo: ¬∃x(Px ∧ Qx), o ∀x(Px → ¬Qx).
Para cada número hay uno mayor: ∀x∃yRxy . [Asumimos que R se
interpreta como la relación ”ser menor que”]
Para cada número primo hay un número par mayor:
∀x(Qx → ∃y (Py ∧ Rxy )).
Para cada número primo hay un primo mayor:
∀x(Qx → ∃y (Qy ∧ Rxy )).
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Simbolización (cont.)
Simbolización (cont.)
En la lógica tradicional (desde Aristóteles) se han considerado cuatro
tipos de enunciados cuantificacionales (la lógica tradicional los
llamaba categóricos), que son
1
2
3
4
Universal Afirmativo (Todo P es Q): se formaliza como
∀x(Px → Qx)
¬∃x(Px ∧ ¬Qx),
Existencial Afirmativo (Algún P es Q): se formaliza como
∃x(Px ∧ Qx)
¬∀x(Px → ¬Qx),
Universal Negativo (Ningún P es Q): se formaliza como
¬∃x(Px ∧ Qx)
∀x(Px → ¬Qx),
Existencial Negativo (Algún P no es Q o No todo P es Q): se formaliza
como
¬∀x(Px → Qx).
∃x(Px ∧ ¬Qx)
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Carlos estudia griego y latı́n: Pc ∧ Qc.
Carlos y Dora estudian griego, pero Ester estudia latı́n: Pc ∧ Pd ∧ Qe.
Ni Carlos ni Dora estudian griego pero ambos estudian latı́n:
¬Pc ∧ ¬Pd ∧ Qc ∧ Qd.
Todos las personas que estudian griego estudian latı́n: ∀x(Px → Qx).
Algunas personas estudian griego y latı́n: ∃x(Px ∧ Qx).
Algunas personas no estudian ni griego ni latı́n: ∃x(¬Px ∧ ¬Qx).
Todas las personas estudian griego o latı́n: ∀x(Px ∨ Qx).
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Simbolización (cont.)
Simbolización (cont.)
Hay estudiantes de griego que no estudian latı́n: ∃x(Px ∧ ¬Qx).
Nadie estudia griego: ¬∃xPx o ∀x¬Px.
Nadie estudia griego y nadie estudia latı́n: ¬∃xPx ∧ ¬∃xQx.
Nadie estudia griego y latı́n: ¬∃x(Px ∧ Qx).
Nadie que estudie griego estudia latı́n: ¬∃x(Px ∧ Qx) o
∀x(Px → ¬Qx).
Las personas que no estudian griego tampoco estudian latı́n:
∀x(¬Px → ¬Qx) o ¬∃x(¬Px ∧ Qx).
Dora es profesora de las personas que estudian griego:
∀x(Px → Rdx).
Los profesores de las personas que estudian griego son profesores de
Carlos: ∀x(∃y (Py ∧ Rxy ) → Rxc) o ∀x∀y ((Py ∧ Rxy ) → Rxc).
Los profesores de Ester son todos profesores de alguien que estudia
latı́n: ∀x(Rxe → ∃y (Rxy ∧ Qy )).
Los profesores de Dora y Ester son profesores de Carlos:
∀x((Rxd ∧ Rxe) → Rxc).
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Consideramos el lenguaje de primer orden con dos sı́mbolos de predicado
P, Q, un sı́mbolo relacional binario R y tres constantes c, d, e.
Interpretémoslo en la estructura cuyo dominio es el conjunto de las
personas de modo que la interpretación de P es el conjunto de las
personas que estudian griego, la de Q el conjunto de las personas que
estudian latı́n y la de R la relación “x es profesor de y” y las constantes
c, d, e denotan a Carlos, Dora y Ester, respectivamente. Simbolicemos las
oraciones siguientes:
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Carlos y Dora no tienen profesores en común : ¬∃x(Rxc ∧ Rxd).
Sólo las personas que estudian griego estudian latı́n: ∀x(Qx → Px).
Únicamente los profesores de Dora no son profesores de Ester:
∀x(¬Rxe → Rxd).
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Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Lenguajes de Primer Orden: Semántica
Simbolización (cont.)
Simbolización (cont.)
Consideramos el lenguaje de primer orden con dos sı́mbolos de predicado
P, Q, tres sı́mbolos relacionales binario R, S, T y tres constantes c, d, e.
Interpretémoslo en la estructura cuyo dominio es el conjunto de las
personas de modo que la interpretación de P es el conjunto de los
hombres, la de Q el conjunto de las mujeres, la de R la relación “x es
progenitor de y”, la de S la relación “x es hermano de y”, la de T la
relación “x es antepasado de y” y las constantes c, d, e denotan a Carlos,
Dora y Ester, respectivamente. Simbolicemos las oraciones siguientes:
Los antepasados de Dora son antepasados de Ester: ∀x(Txd → Txe).
Hay quienes tienen hijos y quienes no: ∃x∃yRxy ∧ ∃x¬∃yRxy .
Dos personas son hermanas si y sólo si tienen los mismos
progenitores: ∀x∀y (Sxy ↔ ∀z(Rzx ↔ Rzy )).
Dora es hermana de un hijo de Carlos: Qd ∧ ∃x(Sdx ∧ Rcx ∧ Px).
Un progenitor de un antepasado es un antepasado:
∀x∀y ∀z((Rxy ∧ Tyz) → Txz).
Los padres son antepasados: ∀x∀y (Rxy → Txy ).
Nadie es progenitor de sus hermanos: ¬∃x∃y (Rxy ∧ Sxy ) o
∀x∀y (Rxy → ¬Sxy ).
Dora es abuela materna de Ester: Qd ∧ ∃x(Rdx ∧ Qx ∧ Rxe).
Ester es bisabuela de Carlos: Qe ∧ ∃x∃y (Rex ∧ Rxy ∧ Ryc).
Todo el mundo tiene abuelos: ∀x∃y ∃z(Ryz ∧ Rzx).
Todo el mundo tiene bisabuelos: ∀x∃y ∃z∃u(Ryz ∧ Rzu ∧ Rux).
Dora es madre de Ester: Qd ∧ Rde.
Dora es tı́a de Carlos: Qd ∧ ∃x(Sdx ∧ Rxc).
Carlos es abuelo de Dora: Pc ∧ ∃x(Rcx ∧ Rxd).
Dora es nieta de Carlos: Qd ∧ ∃x(Rxd ∧ Rcx).
Todo el mundo tiene padre: ∀x∃y (Py ∧ Ryx).
Todo el mundo tiene dos progenitores: ∀x∃y ∃z(Ryx ∧ Rzx ∧ y 6≈ z).
Nadie es progenitor de si mismo: ¬∃xRxx o ∀x¬Rxx.
Algunos no tienen hermanos: ∃x¬∃ySxy o ∃x∀y ¬Sxy .
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