Descargar archivo

Alonso Fernández Galián
TEMA 10: INTEGRACIÓN
La integración es el proceso contrario a la derivación. Así, integrar una función 𝑓 consiste
en encontrar las funciones 𝐹 tales que F '  f .
10.1 PRIMITIVAS. LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN
Dada una función 𝑓, se denominan primitivas de 𝑓 a las funciones 𝐹 tales que:
𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)
Es decir, las primitivas de la función 𝑓 son las funciones cuya derivada es igual a 𝑓.
Ejemplo: La función 𝐹(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 8 es una primitiva de 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 5 . Veamos:
𝐹(𝑥) = 𝑥 2 − 5𝑥 + 8
𝐹 ′ (𝑥) = 2𝑥 − 5 = 𝑓(𝑥)
⟹
𝐹 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑑𝑒 𝑓
Ejemplo: Calcular una primitiva de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 .
Para obtener una potencia tercera al derivar necesitamos una potencia cuarta: 𝑥 4 .
Sin embargo, al derivar 𝑥 4 obtendremos 4𝑥 3 , por lo que deberemos cancelar el factor 4
dividiendo entre él. Así, tenemos que una primitiva de 𝑓(𝑥) = 𝑥 3 es:
1
𝐹(𝑥) = 𝑥 4
4
Veamos:
𝐹′(𝑥) =
1
· 4𝑥 3 = 𝑥 3 = 𝑓(𝑥)
4
Nota: Con más generalidad, si tenemos una función potencial 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑛 , una primitiva
suya es:
1
𝑥 𝑛+1
𝐹(𝑥) =
𝑥 𝑛+1 =
𝑛+1
𝑛+1
La constante de integración. Como la derivada de una función constante es 0, si a una
primitiva de una función 𝑓 le sumamos una constante, obtenemos otra primitiva de 𝑓.
Ejemplo: Comprobar que las funciones 𝐹, 𝐺 y 𝐻 escritas a continuación son primitivas
de la misma función.
𝐹(𝑥) = sen 𝑥
⟹
𝐹′(𝑥) = cos 𝑥
𝐺(𝑥) = sen 𝑥 + 5
⟹
𝐺′(𝑥) = cos 𝑥
𝐻(𝑥) = sen 𝑥 − 3 ⟹ 𝐻′(𝑥) = cos 𝑥
Por tanto, Las funciones 𝐹, 𝐺 y 𝐻 son todas ellas primitivas de la función:
𝑓(𝑥) = cos 𝑥
Se demuestra que, de hecho, todas las primitivas de una función 𝑓 se obtienen a partir de
una de ellas sumando a ésta una constante.
-1-
Matemáticas I
La integral de una función. Dada una función 𝑓, se denomina integral de 𝑓 al conjunto de
todas las primitivas de 𝑓. Se representa por:
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
Donde:
-El símbolo “∫ ” es el símbolo de integración.
-El símbolo “𝑑𝑥” se denomina diferencial de 𝑥, e indica la variable.
Tabla de integrales inmediatas. Veamos las integrales más importantes:
∫ sen 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 + 𝐶
∫ 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶
∫ 𝑥 𝑛 𝑑𝑥 =
∫
𝑥 𝑛+1
+𝐶
𝑛+1
∫ cos 𝑥 𝑑𝑥 = sen 𝑥 + 𝐶
(𝑛 ≠ −1)
1
𝑑𝑥 = ln|𝑥| + 𝐶
𝑥
∫
∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
∫
1
√1 − 𝑥 2
𝑑𝑥 = arcsen 𝑥 + 𝐶
1
𝑑𝑥 = arctg 𝑥 + 𝐶
1 + 𝑥2
Donde para cada valor de la constante 𝐶 obtenemos una primitiva concreta.
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales de tipo potencial:
(𝒂) ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 =
(𝒃) ∫
𝑥 2+1
𝑥3
+𝐶 =
+𝐶
2+1
3
1
𝑥 −6+1
𝑥 −5
−1
−6
𝑑𝑥
=
∫
𝑥
𝑑𝑥
=
+
𝐶
=
+𝐶 = 5+𝐶
6
𝑥
−6 + 1
−5
5𝑥
(𝒄) ∫ √𝑥 𝑑𝑥 =
1
∫ 𝑥2
1
3
𝑥 2+1
𝑥2
2√𝑥 3
𝑑𝑥 =
+𝐶 =
+𝐶 =
+𝐶
1
3
3
+
1
2
2
Cálculo de una primitiva concreta. Para determinar el valor de la constante 𝐶, debemos
conocer además algún dato de la primitiva resultante. Por ejemplo:
Calcular la primitiva 𝐹(𝑥) de la función 𝑓(𝑥) = 𝑥 que satisface 𝐹(4) = 13.
𝑥2
𝐹(𝑥) = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 =
+𝐶
2
Como 𝐹(4) = 13, debe cumplirse:
𝐹(4) =
42
+ 𝐶 = 8 + 𝐶 = 13
2
⟹
𝐶=5
Así:
𝑥2
𝐹(𝑥) =
+5
2
-2-
Tema 10: Integración
10.2 PROPIEDADES DE LAS INTEGRALES
Enunciemos las propiedades de las integrales. Las primeras son de carácter teórico,
mientras que las siguientes son útiles a la hora de integrar.
La integración es lo contrario de la derivación. De la propia definición de integral se
deduce que si derivamos una función e integramos el resultado obtenemos la función
original. Así, si indicamos por 𝒟[𝑓] la derivada de una función 𝑓 se tiene:
∫ 𝒟[𝑓(𝑥)] 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶
Recíprocamente, si primero integramos una función y después la derivamos también se
obtiene la función original:
𝒟 [∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥] = 𝑓(𝑥)
Propiedades lineales de integración. Veamos ahora dos propiedades útiles a la hora de
calcular integrales. Ambas se deducen directamente de las propiedades de las derivadas.
(i) La integral de una constante k por una función es igual a la constante por la integral de
una función:
∫ 𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
(ii) La integral de una suma (o resta) de dos funciones es igual a la suma (o resta) de las
integrales de las funciones:
∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
(𝒂) ∫ 5 sen 𝑥 𝑑𝑥 = 5 ∫ sen 𝑥 𝑑𝑥 = 5(− cos 𝑥) + 𝐶 = −5 cos 𝑥 + 𝐶
2
1
(𝒃) ∫ 𝑑𝑥 = 2 ∫ 𝑑𝑥 = 2 ln|𝑥| + 𝐶
𝑥
𝑥
(𝒄) ∫(4 + 7𝑒 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑑𝑥 + 7 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 4𝑥 + 7𝑒 𝑥 + 𝐶
Observemos que la integral de una función polinómica es otra función polinómica:
(𝒅) ∫(4𝑥 2 + 8𝑥 − 3) 𝑑𝑥 = 4 ∫ 𝑥 2 𝑑𝑥 + 8 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 − 3 ∫ 𝑑𝑥 = 4
𝑥3
𝑥2
+ 8 − 3𝑥 + 𝐶 =
3
2
4
= 𝑥 3 + 4𝑥 2 − 3𝑥 + 𝐶
3
(𝒆) ∫(𝑥 3 − 5𝑥 + 8) 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 3 𝑑𝑥 − 5 ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 8 ∫ 𝑑𝑥 =
1
5
= 𝑥 4 − 𝑥 2 + 8𝑥 + 𝐶
4
2
-3-
𝑥4
𝑥2
− 5 + 8𝑥 + 𝐶 =
4
2
Matemáticas I
Algunas integrales no inmediatas pueden convertirse en inmediatas operando de manera
adecuada en el integrando.
Ejemplo: Calcular la siguiente integral:
∫
𝑥2 + 8
𝑑𝑥
𝑥
Dividimos el numerador entre el denominador y luego integramos:
∫
𝑥2 + 8
8
1
𝑥2
𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 + 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + 8 ∫ 𝑑𝑥 = + 8 ln|𝑥| + 𝐶
𝑥
𝑥
𝑥
2
Forma compuesta de las integrales inmediatas. Invirtiendo la regla de la cadena para
derivar funciones compuestas obtenemos:
∫ 𝑔′(𝑥) · 𝑓′(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝐶
Pues :
𝒟[𝑓(𝑔(𝑥))] = 𝑔′(𝑥) · 𝑓′(𝑔(𝑥))
Veámoslo con ejemplos.
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
(𝒂) ∫ 2𝑥 cos 𝑥 2 𝑑𝑥 = sen 𝑥 2 + 𝐶
(𝒃) ∫ 4 cos(4𝑥 + 3) 𝑑𝑥 = sen(4𝑥 + 3) + 𝐶
(𝒄) ∫(2𝑥 − 3)(𝑥 2 − 3𝑥 + 2)5 𝑑𝑥 =
3
(𝑥 2 − 3𝑥 + 2)6
+𝐶
6
3
(𝒅) ∫ 3𝑥 2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 + 𝐶
Nota: En muchas ocasiones, para que una integral sea inmediata falta que aparezca una
constante multiplicando al integrando, lo que se soluciona multiplicando y dividiendo por
dicha constante, y sacando el factor que no necesitamos fuera de la integral.
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
(𝒂) ∫ 𝑥 cos 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫
1
1
1
2𝑥 cos 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 cos 𝑥 2 𝑑𝑥 = sen 𝑥 2 + 𝐶
2
2
2
1
1
1
(𝒃) ∫ sen 5𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 5 sen 5𝑥 𝑑𝑥 = (− cos 5𝑥) + 𝐶 = − cos 5𝑥 + 𝐶
5
5
5
(𝒄) ∫
𝑥
𝑥
1
2𝑥
1
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 = ∫
𝑑𝑥 = arctg (𝑥 2 ) + 𝐶
4
2
2
2
2
1+𝑥
1 + (𝑥 )
2 1 + (𝑥 )
2
-4-
Tema 10: Integración
10.3 INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE
Una de las técnicas de integración más importantes es la del cambio de variable, que
consiste en sustituir cierta función por una nueva variable, de manera que la integral
quede expresada únicamente en términos de esta última variable. Antes de ver en detalle
en qué consiste esta técnica debemos introducir el concepto de diferencial de una función.
La notación diferencial. El concepto de diferencial de una función proviene de la
expresión de Leibnitz para indicar la derivada de 𝑦:
𝑑𝑦
= 𝑦′
𝑑𝑥
Despejando 𝑑𝑦 obtenemos:
𝑑𝑦 = 𝑦′𝑑𝑥
Es decir, la diferencial de la variable dependiente 𝑦 es igual a su derivada multiplicada
por la diferencial de la variable independiente 𝑥. Por ejemplo:
𝑦 = sen 𝑥
⟹
𝑑𝑦 = cos 𝑥 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑥3
⟹
𝑑𝑦 = 3𝑥 2 𝑑𝑥
𝑦 = 𝑡 2 + 5𝑡
⟹
𝑑𝑦 = (2𝑡 + 5)𝑑𝑡
Así, la diferencial de 𝑦 no es sino una forma útil de agrupar una expresión de la forma
𝑦’𝑑𝑥 que pueda aparecer bajo el signo de integración.
Cambio de variable para la forma compuesta de una integral inmediata. La técnica del
cambio de variable permite identificar fácilmente la forma compuesta de una integral
inmediata agrupando los factores convenientemente:
∫ 𝑔′ (𝑥)𝑓′(𝑔(𝑥)) 𝑑𝑥 = {
𝐶𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒: 𝑡 = 𝑔(𝑥)
𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 =
} = ∫ 𝑓′ (𝑔(𝑥))
⏟
⏟
𝐷𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑛𝑑𝑜:
𝑑𝑡 = 𝑔′ (𝑥) 𝑑𝑥
𝑡
𝑑𝑡
= ∫ 𝑓′(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑓(𝑡) + 𝐶 = 𝑓(𝑔(𝑥)) + 𝐶
Ejemplo: Calcular ∫ 2𝑥 sen 𝑥 2 𝑑𝑥 mediante un cambio de variable:
Cambio de variable: 𝑡 = 𝑥 2
Diferenciando:
𝑑𝑡 = 2𝑥 𝑑𝑥
∫ 2𝑥 sen 𝑥 2 𝑑𝑥 = ∫ sen (𝑥 2 ) 2𝑥
⏟ 𝑑𝑥 = ∫ sen 𝑡 𝑑𝑡 = − cos 𝑡 + 𝐶 = − cos 𝑥 2 + 𝐶
𝑡
𝑑𝑡
Pasos para realizar un cambio de variable. Existen varias maneras de realizar un mismo
cambio de variable. La forma más sistemática es la siguiente.
(𝒊)
(𝒊𝒊)
(𝒊𝒊𝒊)
(𝒊𝒗)
(𝒗)
(𝒗𝒊)
Se introduce una nueva variable 𝑡 que sea función de 𝑥.
Se despeja la variable 𝑥.
Se diferencia en la igualdad obtenida.
Se sustituye en la integral hasta que la única variable que aparezca sea 𝑡.
Se integra la función.
Finalmente se deshace el cambio de variable.
-5-
Matemáticas I
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
1
1
1
1
(𝒂) ∫ 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 = 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑒 𝑡 + 𝐶 = 𝑒 4𝑥 + 𝐶
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 ∗
4
4
4
4
∗ Hacemos el cambio de variable 𝑡 = 4𝑥. Despejando 𝑥 y diferenciando:
1
1
𝑡 = 4𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑡
4
4
(𝒃) ∫
cos √𝑥
√𝑥
𝑑𝑥 =
cos 𝑡
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒
=∫
2𝑡 𝑑𝑡 = 2 ∫ cos 𝑡 𝑑𝑡 = 2sen 𝑡 + 𝐶 =
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 ∗
𝑡
= 2sen√𝑥 + 𝐶
∗ Hacemos el cambio de variable 𝑡 = √𝑥. Así:
𝑡 = √𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑡 2 ⟹ 𝑑𝑥 = 2𝑡 𝑑𝑡
(𝒄) ∫
(ln 𝑥)2
ln 𝑥
𝑡
𝑡2
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒
𝑑𝑥 =
= ∫ 𝑡 𝑒 𝑡 𝑑𝑡 = ∫ 𝑡 𝑑𝑡 = + 𝐶 =
+𝐶
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 ∗
𝑥
𝑒
2
2
∗ Hacemos el cambio de variable 𝑡 = ln 𝑥. Así:
𝑡 = ln 𝑥 ⟹ 𝑥 = 𝑒 𝑡 ⟹ 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑡 𝑑𝑡
(𝒅) ∫
1
√3𝑥 − 5
𝑑𝑥 =
1 2
2
2
𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑜 𝑑𝑒
= ∫ · 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 + 𝐶 = √3𝑥 − 5 + 𝐶
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 ∗
𝑡 3
3
3
∗ Hacemos el cambio de variable 𝑡 = √3𝑥 − 5. Así:
1
2
𝑡 = √3𝑥 − 5 ⟹ 𝑥 = (𝑡 2 + 5) ⟹ 𝑑𝑥 = 𝑡 𝑑𝑡
3
3
Integral logarítmica. La integral de una función racional en la que el numerador es la
derivada del denominador es igual al logaritmo del denominador:
∫
𝑓′(𝑥)
𝑑𝑥 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶
𝑓(𝑥)
Comprobémoslo mediante un cambio de variable:
∫
𝑓′(𝑥)
1
1
𝑡 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥 = ∫
𝑓′(𝑥) 𝑑𝑥 = {
𝑑𝑡 = ln|𝑡| + 𝐶 = ln|𝑓(𝑥)| + 𝐶
′ (𝑥)𝑑𝑥 } = ∫
𝑑𝑡
=
𝑓
𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
𝑡
Ejemplo: Calcular las siguientes integrales:
(𝒂) ∫
𝑥2
2𝑥 − 4
𝑑𝑥 = ln|𝑥 2 − 4𝑥 + 7| + 𝐶
− 4𝑥 + 7
(𝒃) ∫ tg 𝑥 𝑑𝑥 = ∫
sen 𝑥
−sen 𝑥
𝑑𝑥 = − ∫
𝑑𝑥 = − ln|cos 𝑥| + 𝐶
cos 𝑥
cos 𝑥
-6-