Sistemas de Numeración

Diversos Sistemas de Numeración
Profesora: Carmen López Esteban
Curso: 1ª Magisterio. Esp. Educación Infantil
Grupo: A.
Diversos Sistemas de Numeración
La herencia hindú
Hay constancia que trescientos años a.C. se conocía en la India un sistema no posicional
(brahmi) parecido al jónico.
Tal vez por influencia griega o babilónica, este sistema se redujo a nueve cifras y
con ellas se representaron los múltiplos de diez, cien, etc. (al principio no se utilizaba el
cero). Con lo cual se reunieron las tres características fundamentales de nuestro sistema
de numeración: decimal, cifrado y posicional. Aproximadamente en el siglo V se
suprimieron las referencias a las palabras que usaban para nombrar las potencias de la
base porque es fácil sobrentenderlas cuando se mantiene el orden de las unidades. El
problema que supuso la ausencia de unidades se sorteó diciendo “zuñía” que significaba
“vacío”. Por ejemplo: 301 se decía: eka, sunya, tri. En el año 876 d.C. la forma gráfica
de la numeración que nosotros llamamos indoarábiga era:
Este sistema es el germen que fructificará en nuestro sistema de cifras. Su acertada
combinación produjo la forma grafica de la numeración que nosotros llamamos
indoarabiga.
Después de la expansión de la religión musulmana se difundió desde sus orígenes en la
península Arábiga hasta dominar un territorio que se extendía desde la península Ibérica
hasta los límites de la actual China, los árabes empezaron a incorporar a su propia
ciencia los resultados de "ciencias extranjeras". Los traductores de instituciones como la
Casa de la Sabiduría de Bagdad, mantenida por los califas gobernantes y por donaciones
de particulares, escribieron versiones árabes de los trabajos de matemáticos griegos e
indios. Los numerales hindú que en algunos casos se hallan estrechamente relacionados
con los nuestros, fueron llevados a Bagdad, en Irak, hace unos mil trescientos años, son
los siguientes:
Observar que el cero es simplemente un punto, y que el siete es exactamente igual a
nuestro cero.
Las Cifras en 976 D.C. En un manuscrito español, fechado en 976 D.C., aparecen las
nueve cifras hindú-arábigas:
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Este es un ejemplo de una forma inicial de números indios usada al este del imperio
árabe.
Aparece en un escrito de Al-Sijzi, no un trabajo original de él mismo sino más bien el
trabajo de otro matemático del que Al-Sijzi copió en Shiraz y dató su copia en 969.
Los números del tratado de Al-Sijzi de 969
Los números habían cambiado de forma unos
100 años más tarde cuando se hizo esta copia de
uno de los textos astronómicos de Al-Biruni.
Los números del tratado de Al-Biruni
Aquí están los números como aparecen en una
copiado en 1082
copia de 1082.
De hecho, una mirada más detallada mostrará
que entre 969 y 1082 el mayor cambio en los
números era el hecho de que el 2 y el 3 han sido rotados 90º.
Al-Banna dio esta forma a los números en su libro de aritmética práctica escrito hacia el
principio del siglo XIV. Vivió la mayor parte de su vida en Marruecos que tenía un
contacto muy cercano con Al-Andalus o Andalucía, que era la región del sur de España
controlada por los árabes.
El primer ejemplo conocido de los números indios en un documento en Europa fue, sin
embargo, mucho tiempo antes de Al-Banna. Los números aparecen en el Codex
Vigilanus copiado por un monje en España en 976. Sin embargo la mayor parte de
Europa no estaba lista en este tiempo para aceptar ideas nuevas de ninguna clase. La
aceptación fue lenta, incluso tan tarde como el siglo XV cuando la matemática europea
inició su rápido desarrollo que continúa hoy en día.
Forma de los números de Al-Banna al-Marrakushi
El ábaco jugó un papel determinante en este procese de aceptación ya que las otras
técnicas operacionales resultaban largas, complicadas y requerían de tal habilidad que
no estaban al alcance de cualquiera. Más adelante se prescindiría del ábaco y daría paso
a lo que hoy entendemos por aritmética de columnas.
Europa: un camino plagado de dificultades
Una constante cultural de todos los pueblos conocidos ha sido, y es, expresar los datos
relativos a cantidades y ordenaciones mediante un sistema de signos y reglas al que, en
términos generales, se denomina sistema de numeración.
Cuatro grandes períodos puedes distinguirse en la evolución y formación de un mejor
sistema de representación de números:
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o Periodo inicial: Paleolítico y comienzos del neolítico. Cada objeto se
representa mediante un símbolo.
o Periodo de los grandes imperios fluviales o culturas de la edad de bronce:
Edad de Bronce. Se descubre el principio de agrupamiento. El mejor sistema de la época
es el babilónico.
o Tercer periodo o periodo alfabético: Edad de Hierro. Todas las culturas del
mediterráneo incorporan el abecedario a la representación de números, da lugar a
diferentes sistemas mixtos, ordinales, posiciónales. La ausencia conceptual de cero
supone una grave limitación.
o Cuarto periodo: Con la incorporación del cero a comienzos de la era cristiana
se consolida el principio posicional, adquiriendo coherencia el sistema decimal de
numeración. Fechas claves de su difusión:
(aparición de las primeras aritméticas comerciales).
 La oscuridad
Antes del milenio el conocimiento occidental de la aritmética era realmente pobre. No
existía el sentido operativo actual, era más bien una esforzada y solitaria inmersión en el
manejo de recopilaciones de enigmáticas tablas sirias o egipcias, y/o en la interpretación
de los misteriosos números que aparecían en las Escrituras sagradas. En las últimas
décadas del S. X se recupera el cálculo con ábaco por el Papa Silvestre II.
 Alborear
Fibonacci escribe en su famoso libro Liber abaci publicado en Pisa en 1202: Lo que
supuso una revolución para el mundo matemático, es un amplio tratado que empieza
con la introducción de las nueve cifras, añade el cero, se ocupa de las operaciones con
los enteros: sumar y multiplicar y aporta las pruebas del 1 al 7, del 7 al 9 y del 9 al 11,
y sigue con otros aspectos, fracciones, reglas de tres, progresiones, raíces e incluso algo
de geometría y álgebra.
 Invasión contra conservadurismo
La complejidad de la idea de valor de posición, la no aceptación del cero como numeral,
el esfuerzo del cálculo mental que conllevan, la escasez de papel y la poca necesidad de
efectuar cálculos con números grandes se tuvieron que enfrentar con la sencillez del
cálculo abacista, el hábito adquirido y la familiaridad, influencia y extensión del sistema
de notación romano. Pero a final S. XV, gracias a la invención de la imprenta junto con
las aritméticas mercantiles, este sistema se extiende. Fue importante el papel jugado por
la Hansa, la liga mercantil de las ciudades del Báltico, en las que nacieron los signos + y
– que empleamos en la actualidad.
En los primeros libros impresos aún se observan algunas variantes en la forma de
escribir algunas cifras sobre todo el 4 y el 5. Entre las obras más importantes:
 Summa de la art de arismetica, el primer libro de matemáticas impreso en
España en 1492. Es una aritmética mercantil escrita en catalán cuyo autor es
Francesc Santcliment.
 Compendio del ábaco, de Francisco Pelos, en el que en algunas ocasiones se
emplea la letra i para designar el número 1. Esto sucedía también en la
aritmética catalana con la letra i y con la letra z que se empleaba para el 3.
 Tratado subtilisimo de arismetica de Juan de Ortega, impresa en 1512 en
español, siendo la aritmética mercantil más importante de la época.
 Cosmographia de Ptolomeo (1482), en la que se resaltan los números que
aparecen al señalar las coordenadas de ciudades y lugares.
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Otros Sistemas Históricos

La numeración egipcia. Sistema aditivo en base 10

La numeración china antigua: Sistema multiplicativo en base 10

La numeración babilónica: Sistema posicional en base 60
En los restos babilónicos aparecen distintos símbolos para el cero:

La numeración maya: Sistema posicional en base 12
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
La numeración romana Expresa los números por medio de las siguientes letras:
En la escritura y lectura de estos números deben tenerse en cuenta las siguientes reglas:
a. Una misma cifra repetida varias veces suma sus valores. Así, XX se lee 20; pero no
puede emplearse la misma cifra más de tres veces seguidas.
b. Una cifra antepuesta a otra de mayor valor que ella se resta del valor de aquélla, y si
va pospuesta, se suma; así, IV vale 4 y VI vale 6.
c. Una cifra colocada entre otras dos mayores que ella, resta su valor de su inmediata
de la derecha. Así, XIV se lee 14.
d. Una cifra representa un valor 1000 veces mayor cuando lleva encima una raya
horizontal. Así, D vale 500000.
La numeración romana, aunque presenta una clara influencia griega en la adopción de
letras para ciertas unidades como X, C y M, muestra un marcado retorno a los primeros
métodos cardinales: iteración, aditividad y sustractividad.
A pesar de que ha permanecido hasta nuestros días se dará uno cuenta de la pobreza y
esterilidad de este simbolismo al intentar efectuar una suma con las cifras romanas, ¡y
ya no hablemos de recurrir a ellas para la multiplicación!

Grecia. Los griegos desgraciadamente no continuaron la tradición numérica de
sus vecinos. Hay referencias muy tempranas, 450 a.C. del sistema ático, pero
éste fue pronto sustituido, más o menos en el período alejandrino, por el jónico,
en el que se utilizaban las letras del alfabeto de una forma entre ordinal, aditiva y
multiplicativa. El sistema de numeración jónico era alfabético, las letras tenían
los siguientes valores:
Los números intermedios hasta el mil se representaban aditivamente mediante
combinaciones de estos símbolos:
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Para los múltiplos de 1000, el alfabeto se repetía adoptando un principio
multiplicativo. Empleaban las nueve primeras letras del alfabeto para los nueve
primeros múltiplos de 1000, precedidas con un acento. Con este sistema, cualquier
número menor que 10000 se escribía como máximo con cuatro letras, y para evitar la
confusión entre número y palabra se dibujaba en la parte superior una línea:
Al llegar a las decenas de millar se expresaban mediante la letra M del sistema ático
acompañada del multiplicador puesto en la parte superior.
A continuación, separando el número de unidades de diez mil del resto del número
mediante un punto. Así: