Introducción a las EDPs

Introducción a las EDPs
Damián Ginestar Peiró
Departamento de Matemática Aplicada
Universidad Politécnica de Valencia
Curso 2015-2016
(UPV)
Introducción a las EDPs
Curso 2015-2016
1 / 60
Programa
1
Motivación e investigación
Métodos iterativos. Precondicionado
EADS-CASA
Difusión Neutrónica
Ecuación de la difusión neutrónica dependiente del tiempo
2
Programa de la asignatura
3
Ecuaciones en derivadas parciales
Ecuaciones parabólicas
Ecuaciones elı́pticas
4
Métodos numéricos para la resolución de EDPs
5
Diferencias finitas
Diferencias finitas para problemas elı́pticos
Diferencias finitas para problemas parabólicos
6
Ejemplos de matrices
(UPV)
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Curso 2015-2016
2 / 60
Investigación
(UPV)
Introducción a las EDPs
Curso 2015-2016
3 / 60
Métodos Iterativos
Investigación en resolución de sistemas
Construcción de precondicionadores.
A bloques.
Inversas aproximadas (Sherman-Morrison).
Precondicionadores polinomiales.
(UPV)
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Curso 2015-2016
4 / 60
EADS-CASA
Aplicaciones Aeronáuticas
EMI/EMC
Colaboración con EADS-CASA.
Jornadas IMM 2006
(UPV)
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5 / 60
EMI/EMC
EADS-CASA
Jornadas IMM 2006
(UPV)
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6 / 60
EADS-CASA
Ecuaciones de Maxwell en su forma integral.
Método de los momentos.
Resolución de un sistema para las corrientes.
ZJ = H
(UPV)
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Curso 2015-2016
7 / 60
EADS-CASA
Métodos directos no son válidos para problemas grandes.
Las matrices Z no tienen buenas propiedades para usar los métodos
iterativos usuales y es necesario el uso de precondiconadores
adecuados.
Se han ensayado técnicas de precondiconado combinadas con
transformaciones espectrales de las matrizes.
(UPV)
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Curso 2015-2016
8 / 60
Difusión Neutrónica
Esquema de una central nuclear
(UPV)
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Curso 2015-2016
9 / 60
Difusión Neutrónica
El balance de neutrones dentro de un reactor nuclear puede modelarse
mediante la ecuación de difusión neutrónica
Lφi =
1
Mφi ,
λi
donde

L=
~ D1 ∇
~ + Σa1 + Σ12
−∇
−Σ12

0

~ + Σa2
~ D2 ∇
−∇
y
M=
(UPV)
νΣf 1 νΣf 2
0
0
!
, φi =
Introducción a las EDPs
φ1i
φ2i
!
.
Curso 2015-2016
10 / 60
Difusión Neutrónica
Núcleo del reactor
(UPV)
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Curso 2015-2016
11 / 60
Difusión Neutrónica
Núcleo del reactor
Geometrı́a Rectangular
(UPV)
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Curso 2015-2016
11 / 60
Difusión Neutrónica
Núcleo del reactor
Geometrı́a Rectangular
(UPV)
Geometrı́a Hexagonal
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Curso 2015-2016
11 / 60
Difusión Neutrónica
Para abordar el problema sobre distintos mallados se ha hecho uso de
un método de elementos finitos de alto orden con refinamiento h − p.
Se ha reducido el problema diferencial a uno algebraico
L11 0
−L21 L22
!
ψ1
ψ2
!
1
=
λ
M11 M12
0
0
!
ψ1
ψ2
!
que se reduce al problema ordinario
−1
L−1
11 M11 + M12 L22 L21 ψ1 = λψ1
(UPV)
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12 / 60
Mallas adaptativas
Figura : Malla h-adaptativa
(UPV)
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13 / 60
Difusión Neutrónica
Para resolver el problema parcial de autovalores se usa un método
iterativo basado en productos matriz-vector.
Para realizar estos productos es necesario ir resolviendo sistemas por
la imposibilidad de almacenar las inversas de L11 y L22 .
(UPV)
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14 / 60
Resultados numéricos
En particular, hemos estudiado el problema VVER-440.
(UPV)
(Vacío)
300
25
0
Introducción a las EDPs
(1)
(2)
(3)
reflector radial (5)
Núcleo
barra de control (4)
150
barra de control (4)
275
barra de control (4)
reflector axial (6)
reflector radial (5)
5 5 5 5 5
5 5 5 3 3 3 3 5 5 5
5 5 3 3 3 3 2 3 3 3 3 5 5
5 3 2 3 3 1 2 2 1 3 3 2 3 5
5 5 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 3 3 3 5 5
5 3 3 3 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 3 3 3 5
5 3 3 1 2 1 4 2 1 2 1 2 4 1 2 1 3 3 5
5 3 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 3 5
5 3 3 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 5
5 3 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 3 5
5 3 3 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 5
5 3 3 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 3 3 5
5 2 3 2 4 1 1 2 2 1 4 1 2 2 1 1 4 2 3 2 5
5 3 3 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 3 3 5
5 3 3 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 5
5 3 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 3 5
5 3 3 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 3 3 5
5 3 2 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 2 3 5
5 3 3 1 2 1 4 2 1 2 1 2 4 1 2 1 3 3 5
5 3 3 3 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 3 3 3 5
5 5 3 3 3 1 2 1 2 1 2 1 3 3 3 5 5
5 3 2 3 3 1 2 2 1 3 3 2 3 5
5 5 3 3 3 3 2 3 3 3 3 5 5
5 5 5 3 3 3 3 5 5 5
5 5 5 5 5
(Vacío)
reflector axial (6)
(Vacío)
Curso 2015-2016
15 / 60
Resultados numéricos
Modo 1
(UPV)
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16 / 60
Resultados numéricos
Modo 2
(UPV)
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17 / 60
Resultados numéricos
Modo 3
(UPV)
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18 / 60
Resultados numéricos
Modo 4
(UPV)
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19 / 60
Difusión dependiente del tiempo
Para estudiar un transitorio en un reactor, el balance de neutrones dentro
del núcleo se modela mediante la ecuación de la difusión neutrónica
dependiente del tiempo
[v −1 ]
K
X
∂φ
+ Lφ = (1 − β)Mφ +
λk χCk
∂t
k =1
∂Ck
∂t
,
= βk [νΣf 1 νΣf 2 ]φ − λk Ck
,
k = 1, . . . , K
,
donde,
L=
~ · (D1 ∇)
~ + Σa1 + Σ12
−∇
−Σ12
0
~ · (D2 ∇)
~ + Σa2
−∇
, [v −1 ] =
1
v1
0
0
1
v2
y
M=
(UPV)
νΣf 1
0
νΣf 2
0
,
φ=
φ1
φ2
Introducción a las EDPs
,
χ=
1
0
Curso 2015-2016
20 / 60
,
Difusión dependiente del tiempo
Spatial discretization
Método de colocación nodal.
Método de elementos finitos de alto orden
[v −1 ]φ̇ + Lφ = (1 − β)M φ +
K
X
λk XCk
,
k =1
X Ċk
(UPV)
= βk M φ − λk XCk
Introducción a las EDPs
,
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21 / 60
Difusión dependiente del tiempo
Se usa in método implı́cito y, para cada paso de tiempo se ha de resolver
un sistema de ecuaciones de la forma
n+1
n+1
T12
T11
n+1
n+1
T21
T22
(UPV)
!
n+1
Φ
=
n
n
R11
R12
n
0 R22
!
n
Φ +
Introducción a las EDPs
K
X
k =1
λk e
−λk ∆tn
Ckn
0
Curso 2015-2016
!
,
22 / 60
Difusión dependiente del tiempo
3
2.5
potencia
2
1.5
1
0.5
0
0
1
2
3
4
5
6
7
tiempo
(UPV)
Introducción a las EDPs
Curso 2015-2016
23 / 60
Programa
1
Introducción.
2
Matrices dispersas.
3
Métodos directos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
4
Métodos iterativos para la resolución de sistemas de ecuaciones
lineales. Precondicionadores.
(UPV)
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Curso 2015-2016
24 / 60
Ecuaciones en derivadas parciales
(UPV)
Introducción a las EDPs
Curso 2015-2016
25 / 60
Ecuaciones en derivadas parciales
Ecuación del transporte
∂u
~ =0
+ ~v ∇u
∂t
Por ejemplo, describe el transporte de un contaminante a lo largo de
un canal.
Ecuación de difusión o ecuación del calor
∂u
− D∇2 u = 0
∂t
Describe la conducción de calor a través de un medio homogéneo e
isótropo.
Ecuación de ondas
∂2u
− c 2 ∇2 u = 0
∂t 2
Por ejemplo, describe la propagación de ondas transversales de
pequeña amplitud en una cuerda elástica.
(UPV)
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Curso 2015-2016
26 / 60
Ecuaciones en derivadas parciales
Ecuaciones de Laplace y de Poisson
∇2 u = 0 , ∇2 u = f
Describen el estado estacionario de la ecuación de difusión. Juegan un
papel imortante en electrostática.
Ecuación de Black-Scholes
1
∂2u
∂u
∂u
+ σ 2 x 2 2 + rx
− ru = 0
∂t
2
∂x
∂x
Es una ecuación fundamental en finanzas.
Ecuación de Schrödinger
i
∂u
= ∇2 u + V
∂t
Es la ecuación básica de la Mecánica Cuántica.
(UPV)
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Curso 2015-2016
27 / 60
Ecuaciones en derivadas parciales
Ecuación de Burger
∂u
∂u
+ cu
=0
∂t
∂x
∂u
∂u
∂2u
+ cu
=ε 2
∂t
∂x
∂x
Describe la evolución del flujo de un fluido unidimensional. También se usa
en modelos de tráfico.
Ecuación de los medios porosos
∂u
~ u γ ∇u
~
= k∇
∂t
con k > 0 y γ > 1. Esta ecuación aparece en la descripción de fenómenos de
filtración.
Ecuación Eikonal
~ ∇u = c(x )
aparece en óptica geométrica y si u es su solución, sus superficies de nivel,
u(x ) = t, describen la posición de un frente de luz en el tiempo t.
(UPV)
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Curso 2015-2016
28 / 60
Ecuaciones en derivadas parciales
Ecuaciones de Maxwell
~
~
∂E
~ ×B
~ ×E
~ = ~0 , ∂ B + ∇
~ = ~0
−∇
∂t
∂t
~E
~B
~ =0, ∇
~ =0
∇
Son las ecuaciones básicas de la electrodinámica clásica.
Ecuaciones de Navier-Stokes
∂~u ~ 1~
+ ~u ∇ ~u = − ∇P
+ ν∇2~u
∂t
ρ
~u =0
∇~
Estas ecuaciones describen la evolución de un fluido viscoso
homogéneo e incompresible.
(UPV)
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Curso 2015-2016
29 / 60
Ecuación del calor
Consideremos un elemento cúbico con uno de sus vértices en el punto
(x , y, z ) y cuyas aristas tienen longitudes (∆x , ∆y, ∆z ).
Se introducen las magnitudes
T (x , y, z ) (o C ) La temperatura en el punto (x , y, z ).
qx (x , y, z ) (W /m 2 ) El flujo de calor por unidad de superficie
transversal al eje X. Análogamente, se introducen qy (x , y, z ),
qz (x , y, z ), para los ejes Y y Z, respectivamente.
Q(x , y, z , t), (W /m o C ) Una fuente de calor.
kx (x , y, z ), (W /m o C ). La conductividad térmica del material en la
dirección del eje X. Análogamente se introducen ky (x , y, z ),
kz (x , y, z ), para los ejes Y y Z.
ρ(x , y, z ), (Kg/m 3 ). La densidad del material.
c(x , y, z ) (J /Kg o C ). El calor especı́fico del material.
(UPV)
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Curso 2015-2016
30 / 60
Ecuación del calor
El balance de energı́a en el elemento será
∆E = (qx (x , y, z , t) − qx (x + ∆x , y, z , t)) ∆y∆z ∆t
+ (qy (x , y, z , t) − qy (x , y + ∆y, z , t)) ∆x ∆z ∆t
+ (qz (x , y, z , t) − qz (x , y, z + ∆z , t)) ∆x ∆y∆t
+Q(x , y, z , t)∆x ∆y∆z ∆t.
La energı́a generada o perdida en el elemento se usa en calentarlo o
enfriarlo, por tanto,
∆E = ρ(x , y, z )c(x , y, z ) (T (x , y, z , t + ∆t) − T (x , y, z , t)) ∆x ∆y∆z .
(UPV)
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Curso 2015-2016
31 / 60
Ecuación del calor
Desarrollando en serie de Taylor alrededor del punto (x , y, z ) y tomando el
lı́mite cuando ∆x , ∆y, ∆z y ∆t tienden a cero, se llega a que
−
∂qx
∂qy
∂qz
∂T
−
−
+ Q = ρc
.
∂x
∂y
∂z
∂t
Por Ley de Fourier se tiene que
qx = −kx
(UPV)
∂T
∂T
∂T
, qy = −ky
, qz = −kz
,
∂x
∂y
∂z
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Curso 2015-2016
32 / 60
Ecuación del calor
y, por tanto, se tiene la ecuación del calor, que es de la forma
∂
∂x
∂T
kx
∂x
∂
+
∂y
∂T
ky
∂y
∂
+
∂z
∂T
kz
∂z
+ Q = ρc
∂T
∂t
En caso que ρ, c, kx = ky = kz sean constantes, la ecuación del calor se
escribe de la forma
∂T
k 2
=
∇ T + Q̃ .
∂t
ρc
(UPV)
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33 / 60
Ecuación del calor sin fuentes
El problema más sencillo, donde se considera que no hay fuentes de calor y
las condiciones de contorno son homogéneas.
∂T
∂2T
= a2 2 , 0 < x < l , t > 0 ,
∂t
∂x
con las condiciones de contorno
T (0, t) = 0 , T (l , t) = 0 ,
y la condición inicial
T (x , 0) = g(x ) .
(UPV)
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Curso 2015-2016
34 / 60
Ecuación del calor sin fuentes
Método de separación de variables, buscando soluciones de la forma
T (x , t) = X (x )P (t) .
Sustituyendo esta solución en la ecuación
P 0 (t)
X 00 (x )
=
= −λ ,
a 2 P (t)
X (x )
o sea,
P 0 (t) + a 2 λP (t) = 0 ,
X 00 + λX (x ) = 0 .
Condiciones de contorno
X (0) = 0 , X (l ) = 0 .
(UPV)
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Curso 2015-2016
35 / 60
Ecuación del calor sin fuentes
Se tienen los autovalores
λn =
nπ
l
2
, n = 1, 2, . . . ,
y las autofunciones
nπx
Xn (x ) = sen
l
.
La parte temporal queda de la forma
Pn0 + a 2 λn Pn = 0 ,
cuya solución es de la forma
Pn (t) = an e −a
(UPV)
2λ
nt
= an e −(
Introducción a las EDPs
nπa 2
t
l
)
.
Curso 2015-2016
36 / 60
Ecuación del calor sin fuentes
La solución del problema se escribirá de la forma
T (x , t) =
∞
X
2
an e
−( nπa
t
l )
n=1
nπx
sen
l
.
Como se ha de satisfacer la condición inicial, se cumplirá
∞
X
nπx
g(x ) =
an sen
l
n=1
,
y, utilizando la propiedad de ortogonalidad de las funciones seno
2
an =
l
(UPV)
Z l
0
nπx
g(x ) sen
l
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dx .
Curso 2015-2016
37 / 60
Ecuaciones elı́pticas
La ecuación elı́ptica más simple es la ecuación de Laplace
∇2 u =
∂2u
∂2u
∂2u
+
+
=0.
∂x 2
∂y 2
∂z 2
aparece en problemas de gravitación y de electrostática, para describir el
potencial de velocidades de un fluido no turbulento, para describir la
distribución estacionaria de temperaturas, etc.
∇2 u =
∂2u
∂2u
+
=0.
∂x 2
∂y 2
Otra ecuación elı́ptica muy usual es la ecuación de Poisson,
∇2 u = Q ,
que aparece en problemas estacionarios con fuentes.
(UPV)
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38 / 60
Ecuaciones elı́pticas
Si se pretende resolver las ecuaciones en un recinto finito, Ω, será
necesario tener unas condiciones de contorno, que pueden ser de la forma:
1
2
3
u (~x ) = f (~x ), ~x ∈ Σ, siendo Σ la frontera de Ω. Este problema se
conoce como un problema de Dirichlet o primer problema de contorno.
~ = g (~x ), siendo ~n un vector unitario normal a la superficie Σ. A
~n ∇u
este problema se le llama problema de Neumann o segundo problema
de contorno.
~ + αu = h (~x ), ~x ∈ Σ. A este problema se le llama problema
~n ∇u
mixto o tercer problema de contorno.
(UPV)
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39 / 60
Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas
La ecuación de Laplace
∂2u
∂2u
∂2u
+
+
=0,
∂x 2
∂y 2
∂z 2
sobre un rectángulo de aristas (a, b, c), suponiendo que se tienen
condiciones de frontera de la forma
u(0, y, z ) = u(a, y, z ) = u(x , 0, z ) = u(x , b, z ) = u(x , y, 0) = 0 ,
y u(x , y, c) = V (x , y).
(UPV)
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40 / 60
Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas
Separación de variables,
u(x , y, z ) = X (x )Y (y)Z (z ) .
Obtenemos la ecuación
1 d 2X
1 d 2Y
1 d 2Z
+
+
=0.
X (x ) dx 2
Y (y) dy 2
Z (z ) dz 2
Suponemos que
1 d 2X
= −α2
X (x ) dx 2
1 d 2Y
= −β 2
Y (y) dy 2
1 d 2Z
= γ2
Z (z ) dz 2
con γ 2 = α2 + β 2 .
(UPV)
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Curso 2015-2016
41 / 60
Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas
se tiene que X (x ), Y (y) y Z (z ) han de cumplir
X (0) = X (a) = Y (0) = Y (b) = Z (0) = 0 .
Por ello, se tienen las soluciones
X (x ) = sen (αx )
Y (y) = sen (βy)
Z (z ) = senh
siendo
α=
(UPV)
q
α2
+
β2z
πn
πm
, β=
, n, m ∈ Z .
a
b
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42 / 60
Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas
La forma general de la solución buscada es pues
u(x , y, z ) =
∞ X
∞
X
Am,n sen (αn x ) sen (βm y) senh (γn,m z )
n=1 m=1
siendo
πm
πn
, βm =
, γn,m = π
αn =
a
b
s
n2 m2
+ 2 .
a2
b
Haciendo u(x , y, c) = V (x , y), se tiene
V (x , y) =
∞ X
∞
X
Am,n sen (αn x ) sen (βm y) senh (γn,m c) ,
n=1 m=1
de lo que se tiene que
An,m =
4
ab senh (γn,m c)
(UPV)
Z a
Z b
dx
0
dyV (x , y) sin (αn x ) sin (βm y) .
0
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Curso 2015-2016
43 / 60
Métodos numéricos
Mostraremos distintos métodos numéricos para la aproximación de
problemas de contorno. Mientras que en los problemas de valores
iniciales las condiciones que determinan la solución del problema se
imponen en un mismo punto (condiciones iniciales), en los problemas
de contorno las condiciones se imponen en puntos separados.
Para una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden
y 00 = f x , y, y 0 , a ≤ x ≤ b ,
con las condiciones
y(a) = α , y(b) = β .
(UPV)
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Curso 2015-2016
44 / 60
Diferencias finitas
Se tiene un problema de la forma
y 00 = p(x )y 0 + q(x )y + r (x ) , a ≤ x ≤ b , y(a) = α , y(b) = β .
El primer paso consistirá en dividir el intervalo [a, b] en N + 1
subintervalos del mismo tamaño cuyos extremos son los nodos
xi = a + i ∆x , i = 0, 1, . . . , N + 1 ,
siendo ∆x = (b − a)/(N + 1).
(UPV)
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Curso 2015-2016
45 / 60
Diferencias finitas
En los nodos interiores se ha de cumplir
y 00 (xi ) = p (xi ) y 0 (xi ) + q (xi ) y (xi ) + r (xi ) ,
con i = 1, 2, . . . N .
Se hace uso del desarrollo de Taylor
y (xi+1 ) = y (xi + ∆x ) = y (xi ) + ∆xy 0 (xi )
∆x 2 00
∆x 3 000
+
y (xi ) +
y (xi ) + O ∆x 4 .
2
6
Además
y (xi−1 ) = y (xi − ∆x ) = y (xi ) − ∆xy 0 (xi )
∆x 2 00
∆x 3 000
+
y (xi ) −
y (xi ) + O ∆x 4 .
2
6
(UPV)
Introducción a las EDPs
Curso 2015-2016
46 / 60
Diferencias finitas
Se tiene
y 00 (xi ) =
1
2
(y
(x
)
−
2y
(x
)
+
y
(x
))
+
O
∆x
,
i−1
i
i+1
∆x 2
y
y 0 (xi ) =
1
(y (xi+1 ) − y (xi−1 )) + O ∆x 2 .
2∆x
En los nodos i = 1, . . . , N , las ecuaciones
yi−1 − 2yi + yi+1
yi+1 − yi−1
= p (xi )
+ q (xi ) yi + r (xi ) .
2
∆x
2∆x
Condiciones de contorno
y0 = α , yN +1 = β .
(UPV)
Introducción a las EDPs
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47 / 60
Diferencias finitas
en forma matricial de la forma
Ay = b ,
donde A es la matriz tridiagonal





A=



2 + ∆x 2 q (x1 )
−1 − ∆x
p (x2 )
2
p (x1 )
−1 + ∆x
2
2 + ∆x 2 q (x2 )
.
0
.
.
.
.
.
.
.
..
..
.
···
.
.
.
···
−1 −
.
0
.
.
.
.
p
−1 + ∆x
2
.
∆x
2

0
0
..
..
.
0
···
···
0
−1 + ∆x
p (x2 )
2
p (xN )
xN −1



,




2 + ∆x 2 q (xN )
y los vectores



y =

y1
y2
..
.
 y
N −1
yN
(UPV)






 , b=




p (x1 ) α
−∆x 2 r (x1 ) + 1 + ∆x
2
−∆x 2 r (x2 )
..
.
−∆x 2 r (xN −1 )
−∆x 2 r (xN ) + 1 − ∆x
p (xN ) β
2
Introducción a las EDPs



 .


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48 / 60
Diferencias finitas para problemas elı́pticos
Problema de contorno asociado a la ecuación de Poisson
∂2u
∂2u
+
= −f , (x , y) ∈ [0, l1 ] × [0, l2 ] ,
∂x 2
∂y 2
u(x , y) = 0 , para x = 0; x = l1 ; y = 0; x = l2 .
(UPV)
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49 / 60
Diferencias finitas para problemas elı́pticos
El primer paso que realizaremos consistirá en discretizar el rectángulo
[0, l1 ] × [0, l2 ]
y m+1=l 2
y j+1
yj
y3
y2
y1
y 0=0
x 0=0
(UPV)
x1
x2
x3
x4
xi
x i+1
x n+
xi = i ∆x ,
i = 0, 1, 2, . . . , N + 1 ,
yj = j ∆y ,
j = 0, 1, 2, . . . , M + 1 .
Introducción a las EDPs
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50 / 60
Diferencias finitas para problemas elı́pticos
Se tiene que
∂2u
ui−1j − 2uij + ui+1j
(ui , uj ) ≈
,
∂x 2
∆x 2
∂2u
uij −1 − 2uij + uij +1
(ui , uj ) ≈
,
∂y 2
∆y 2
donde uij = u (xi , yj )
La ecuación
1
1
(ui−1j − 2uij + ui+1j ) +
(uij −1 − 2uij + uij +1 ) = −fij .
2
∆x
∆y 2
(UPV)
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Diferencias finitas para problemas elı́pticos
Orden: i = 1, . . . , N , j = 1, . . . , M ,
l = i + n(j − 1) .
0
50
100
Se obtiene un sistema de
ecuaciones de la forma
150
200
Au = f ,
250
300
350
0
(UPV)
50
Introducción a las EDPs
100
150
200
nz = 1729
250
300
350
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52 / 60
Diferencias finitas para problemas parabólicos
Consideraremos la ecuación del calor o ecuación de la difusión dependiente
del tiempo que consideraremos tiene la forma
∂2u
∂u
=α 2 .
∂t
∂x
Condiciones de contorno
Distribución espacial de la u en el instante inicial es conocida.
(UPV)
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53 / 60
Diferencias finitas para problemas parabólicos
Se discretiza el tiempo y el espacio en intervalos igualmente
espaciados, t = n∆t, n = 0, 1, 2, . . ., y x = x0 + i ∆x ,
i = 0, 1, . . . , Nx .
Se toma una aproximación para la derivada temporal de la forma
∂u
u(x , t + ∆t) − u(x , t)
≈
+ O (∆t) .
∂t
∆t
Para la derivada espacial se toma
u(x − ∆x , t) − 2u(x , t) + u(x + ∆x , t)
∂2u
2
≈
+
O
∆x
.
∂x 2
∆x 2
(UPV)
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Diferencias finitas para problemas parabólicos
Se suele utilizar la notación u (n∆t, x0 + i ∆x ) = uin , y se escribe la
aproximación de la ecuación como
n
u n − 2uin + ui+1
uin+1 − uin
= α i−1
,
∆t
∆x 2
o sea,
n
n
uin+1 = uin + r ui−1
− 2uin + ui+1
,
r=
α∆t
.
∆x 2
Método explı́cito.
Para garantizar la estabilidad del esquema explı́cito, se puede ver que es
necesario que se cumpla la condición
0<
α∆t
< 0.5 ,
∆x 2
que se conoce como la condición de Courant, y que limita la longitud del
paso temporal que es necesario elegir una vez se ha elegido un paso
espacial.
(UPV)
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Diferencias finitas para problemas parabólicos
Para evitar problemas de estabilidad, se puede evaluar la derivada segunda
espacial en el instante (n + 1)∆t, en vez de hacerlo en el instante n∆t,
obteniendo de este modo la aproximación
n+1
u n+1 − 2uin+1 + ui+1
uin+1 − uin
= α i−1
,
∆t
∆x 2
o sea,
n+1
n+1
−rui−1
+ (1 + 2r )uin+1 − rui+1
= uin ,
que es un método implı́cito.
(UPV)
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56 / 60
Diferencias finitas para problemas parabólicos
Para cada paso de tiempo, se ha de resolver un sistema de ecuaciones de
la forma

(1 + 2r )
−r
−r
(1 + 2r )

−r
···

−r
(1 + 2r )
−r
−r
(1 + 2r )




u1n+1
 
u1n + ru0n+1
.
.
.
 
=
 
.
.
.
n+1
uN
x
(UPV)
Introducción a las EDPs
n
uN
x


.

n+1
+ ruN
+1
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x
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Diferencias finitas para problemas parabólicos
Otro método más preciso es el método de Crank-Nicolson
α
uin+1 − uin
=
∆t
2
(UPV)
n+1
n+1
n − 2u n + u n
− 2uin+1 + ui+1
ui−1
ui−1
i
i+1
+
∆x 2
∆x 2
Introducción a las EDPs
!
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.
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Ejemplos de matrices
Problemas más complejos como el análisis estructural, o el estudio de la
dinámica de fluidos computacional utilizan otras técnicas de discretización
de las ecuaciones como los volúmenes finitos o los elementos finitos.
Estructura de un coche
227362 incógnitas
5757996 elementos no nulos
(UPV)
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Ejemplos de matrices
Cigüeñal de un coche
148770 incógnitas
5396386 elementos no nulos
(UPV)
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