TEMA 33: POTENCIA, EJE Y CENTRO RADICAL 1 La potencia

TEMA 33: POTENCIA, EJE Y CENTRO RADICAL
1
POTENCIA: Se conoce como potencia de un punto P con respecto a una circunferencia O al producto de las
distancias de dicho punto a los de intersección de cada secante que pasa por P en la circunferencia. Es independiente de la secante elegida porque es un valor constante mientras se mantenga la distancia del punto al centro.
Triángulos semejantes OBC ↔ OAD;
OA / OC = OD / OB →
OA x OB = OC x OD
Constante de potencia = OA
x OB
2
OA x OB = OC x = OT
Segmento
representativo
de la potencia
2
Potencia = PA x PB = PH
W
La potencia planteada en función de la distancia del punto al centro de la circunferencia y de su radio
P = (d + r) x (d - r) = d2 - r2 > 0
P = (d + r) x (d - r)= d2 - r2 < 0
P = (d + r) x (d - r) = d2 - r2 = 0
EJE RADICAL: Se llama eje radical de dos circunferencias al lugar geométrico formado por los puntos del
plano que tienen igual potencia para cada una de ellas (aunque dicha potencia variará para cada punto).
Este lugar geométrico es una recta perpendicular a la que une los centros.
El eje radical es perpendicular a la Pasa por el punto medio de las Si las circunferencias se cortan, el eje
línea que une los centros
tangentes exteriores comunes
radical pasa por los puntos comunes
porque éstos tienen potencia cero.
Los puntos del
eje radical tienen
igual potencia
Si son tangentes, el eje radical pasa Si son interiores, el eje estará fuera
por el punto de tangencia
Si son concéntricas, el eje radical se
halla en el infinito
Circunferencia
auxiliar
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TEMA 33: POTENCIA, EJE Y CENTRO RADICAL
2
CENTRO RADICAL:
Es el punto de
igual
potencia
con
respecto
a
tres
circunferencias.
La intersección
de los ejes radicales de
cada
pareja
de
circunferencias tiene la
misma potencia con
respecto a las tres
dadas.
Eje radical
HACES DE CIRCUNFERENCIAS
CORRADICALES
Si se cuenta con dos circunferencias y su eje
radical,
se
denominan
circunferencias
corradicales con las primeras a aquellas que
tienen el mismo eje radical. Existe un conjunto
Eje radical
indefinido de ellas.
Si las dos circunferencias definidoras del haz son
tangentes exteriores, formarán parte del haz
todas aquellas que pasen por el punto de
tangencia y tengan su centro en la misma recta
que las dos iniciales.
Si las dos circunferencias que definen el haz son
secantes, todas las demás también pasarán por
los dos puntos de corte.
Si las dos circunferencias son exteriores pueden hallarse las demás a partir de la definición de los polos. Para ello, dadas
las dos circunferencias y su eje radical, trazar una tangente a una de ellas desde el punto O en que se corta el eje radical con la
línea de los centros CC´. Con centro en O y radio OT (tangente anterior), dibujar una circunferencia que cortará a la línea de los
centros CC´ en los puntos M y N (denominados polos del haz). Las circunferencias buscadas del haz serán aquellas con centro en
la misma línea de los centros CC´ (exterior al diámetro MN) y radio la tangente desde el centro elegido a la circunferencia de
diámetro MN.
Cómo trazar las circunferencias corradicales de un haz
Los haces ortogonales tienen su centro en los ejes radic.
POLAR RESPECTO A UN POLO Y UN CIRCULO DIRECTOR:
Se
denomina
polar
respecto a un punto fijo P,
llamado polo y un círculo director
dado de centro O, a la recta que
como lugar geométrico es el eje
radical de dos circunferencias, la
del círculo director y la trazada
con diámetro OP.
polar
P
P
polar
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