Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes

UNIVERSIDAD MILITAR NUEVA GRANADA
INSTITUTO DE EDUCACIÓN A DISTANCIA
Programa
:
Ingeniería Civil
Asignatura
:
Ecuaciones Diferenciales
Tutor
:
Jorge A. León R.
Semestre
:
Quinto
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Ing.Oscar Restrepo
EJERCICIOS UNIDADES 4 - 5
Temas a evaluar:




Ecuaciones lineales homogéneas con coeficientes constantes
Coeficientes Indeterminados, método de superposición
Coeficientes indeterminados, método del anulador
Variación de parámetros
Problemas de valor inicial y de valores en la frontera:
1. En los problemas a. y b., cada familia de funciones es la solución general de la
ecuación diferencial en el intervalo indicado. Determine un miembro de la familia
que sea solución del problema de valor inicial.
a. Y = c1e4x + c2e-x,
(-∞, ∞);
y”- 3y’ - 4y = 0,
y(0) = 1, y’(0) = 2
b. y = c1x + c2xlnx,
(0, ∞);
x2y” – xy’ + y = 0,
y(1) = 3, y’(1) = -1
2. Si ( ) = cos(
intervalo (-∞, ∞).
)+
(
) es la solución general de x” + w2x = 0, en el
Demuestre que una solución que satisface las condiciones iniciales x(0) = x0, x’(0) =
x1 es:
( )=
cos (
)+
(
)
Ecuaciones lineales homogéneas:
3. En los problemas a. y b., compruebe si los conjuntos de funciones son linealmente
independientes en el intervalo (-∞, ∞).
a. f1(x) = x,
b.
( ) = 0,
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f2(x) = x2,
( )=
f3(x) = 4x - 3x2
,
( ) =
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4. En los problemas a. a c. , compruebe que las funciones dadas forman un conjunto funda
mental de soluciones de la ecuación diferencial en el intervalo indicado. Forme la
solución general.
a. y”- 2y’ + 5y = 0;
excos2x,
exsen2x, (-∞, ∞)
b. x2y” – 6xy’ + 12y = 0;
x3,
x4 , (0, ∞)
c. x3y”’ + 6x2y” + 4xy’ - 4y = 0; x,
x-2,
x-2lnx, (0, ∞)
5. Determine una solución general de la ecuación diferencial dada.
a.
− 10
+ 26 = 0
b.
+5
−6 = 0
c.
+8
+ 16 = 0
d.
−2
− 2 = 0;
(0) = 0,
(0) = 3
Ecuaciones no homogéneas:
6. Compruebe que la familia biparamétrica de las funciones dadas en los problemas
a. y b. sea la solución general de la ecuación diferencial no homogénea en el
intervalo indicado.
a. y” – 7y’ + 10y = 24ex;
b. y”+ y = secx;
y = c1e2x + c2e5x + 6ex , (-∞, ∞)
y = c1cosx + c2senx + xsenx + cosx ln(cosx), (-π/2, π/2)
7. Compruebe que: (a) yp1 = 3e2x y yp2 = x2 + 3x son, respectivamente, soluciones
particulares de:
y” - 6y’ + 5y = -9e2x
y” - 6y’ + 5y = 5x2 + 3x – 16.
y
(b) Use la parte (a) para determinar soluciones particulares de:
y” - 6y’ + 5y = 5x2 + 3x – 16 - 9e2x
y
y” - 6y’ + 5y = -10x2 – 6x + 32 + e2x.
8. Determine la solución general de cada ED de segundo orden:
a.
y” – 36y = 0
b.
y” + 4y’ - y = 0
c.
3y” + 2y’ + y = 0
d.
d 3u d 2u

 2u  0
dt 3 dt 2
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9. Resuelva las siguientes ED por los métodos de: coeficientes indeterminados y
superposición:
a.
−2
+5 =
b.
−2
−4
cos (2 )
+8 =6
10. Resuelva las siguientes ED por coeficientes indeterminados, método del anulador:
a. y” + 4y’ + 4y = 2x + 6
b. y” + 25y = 20sen5x
11. Resolver las siguientes ED por variación de parámetros:
a. 2y” – 2y’ – 4y = 2e3x
b.
y” – y’ = 2x + 4
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