Dimensionado economico de redes ramificadas

Dimensionado óptimo
de redes de
distribución de agua
ramificadas considerando
los elementos de regulación
Rafael Pérez García
UNIVERSIDADPOLITÉCNICADEVALENCIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA HIDRÁULICAYMEDIOAMBIENTE
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA HIDRÁULICA Y MEDIO AMBIENTE
TESIS DOCTORAL
Dimensionado óptimo de redes de
distribución de agua ramificadas
considerando los elementos
de regulación
Presentada por:
Rafael Pérez García
Dirigida por:
Fernando Martínez Alzamora
Valencia, Octubre de 1993
INDICE
CAPITULO 1.- INTRODUCCIÓN
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.
JUSTIFICACIÓN . . . . . . . . . . . . .
PROBLEMÁTICA GENERAL DEL
OBJETIVOS DE LA TESIS . . . . .
ESQUEMA DE LA TESIS . . . . . .
BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . .
................
DISEÑO DE REDES
................
................
................
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1.1
1.3
1.8
1.12
1.15
CAPITULO 2.- FACTORES A CONSIDERAR EN EL DISEÑO LAS DE REDES DE
DISTRIBUCIÓN
2.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. FACTORES QUE CONDICIONAN EL DISEÑO . . . . . . . . . . . . .
2.3. EL DISEÑO DE LAS REDES DE RIEGO. DETERMINACIÓN DE
CAUDALES DE CÁLCULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1.
Cálculo de los caudales circulantes. Método probabilístico
de Clèment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 2.1
. . . . 2.2
LOS
. . . . 2.6
. . . . 2.10
. . . . 2.16
. . . . 2.17
CAPITULO 3.- FUNDAMENTOS HIDRÁULICOS
3.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1.
Clasificación de los modelos de una red de distribución . . . . . . .
3.1.2.
Hipótesis que se consideran en un modelo de análisis en
régimen permanente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3.
Definición de las variables y conceptos utilizados . . . . . . . . . . .
3.2. SISTEMA DE ECUACIONES GENERALES QUE DETERMINAN EL
ESTADO ESTACIONARIO DE UNA RED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3. ECUACIONES DE COMPORTAMIENTO DE LOS DIFERENTES
ELEMENTOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.
Tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.1 Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.2 Fórmulas de pérdida de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.3 Factor de fricción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.4 Expresiones explícitas del factor de fricción . . . . . . . . . . . . .
3.3.1.5 Fórmulas semiempíricas de las pérdida de carga . . . . . . . . . .
3.3.1.6 Tuberías equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.2.
Elementos disipativos singulares (accesorios y válvulas) . . . . . . .
3.3.3.
Elementos motrices: bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1
3.2
3.5
3.6
3.8
3.17
3.18
3.18
3.19
3.21
3.23
3.25
3.26
3.31
3.36
3.3.4.
Válvulas especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4.1. Válvulas de retención (VR) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.4.2. Válvula reductora de presión (VRP) . . . . . . . . . . . .
3.3.4.3. Válvula sostenedora de presión (VSP) . . . . . . . . . . .
3.3.4.4. Válvula limitadora de caudal (VLQ) . . . . . . . . . . . .
3.4. TÉCNICAS DE ANÁLISIS DE REDES . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.1.
Redes ramificadas con un único nudo de altura
conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.2.
Redes malladas o con varios nudos de altura conocida . .
3.4.2.1. Formulación por líneas (ecuaciones en q) . . . . . . . .
3.4.2.2. Formulación por nudos (ecuaciones en H) . . . . . . . .
3.4.2.3. Formulación por mallas (ecuaciones en ∆q) . . . . . . .
3.4.3.
Métodos de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.2. Métodos de Cross . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.3. Método de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4.3.4. Método de la Teoría Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.40
3.41
3.43
3.45
3.47
3.49
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3.50
3.52
3.52
3.54
3.58
3.60
3.60
3.61
3.63
3.65
3.67
3.68
CAPITULO 4.- DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS
4.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2. ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN . . . . . . . .
4.3. CLASIFICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN . . . . . . . .
4.3.1.
Funciones cóncavas y convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2.
Conjuntos convexos y no convexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.3.
Problemas de optimización convexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4. IMPLICACIONES ECONÓMICAS RELACIONADAS CON EL DISEÑO
DE REDES HIDRÁULICAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2.
Clasificación de los costes implicados en el diseño de una red . .
4.4.3.
Balance entre los costes implicados en el diseño de una
red. Base temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4.
Estimación de costes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4.1. Tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4.2. Bombas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.4.3. Depósitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5. FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE DISEÑO
ECONÓMICO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2.
Justificación del dimensionado económico de redes desde
un punto de vista hidráulico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3.
Formulación matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
4.2
4.3
4.5
4.7
4.8
4.8
4.8
4.9
4.11
4.16
4.17
4.18
4.19
4.22
4.22
4.22
4.25
4.6. DIÁMETRO MAS ECONÓMICO DE UNA TUBERÍA DE IMPULSIÓN O
GRAVEDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.27
4.6.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.27
4.6.2.
Formulación en diámetros continuos. Concepto de
diámetro económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.28
4.6.3.
Formulación en diámetros discretos. Curva característica
de un tramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.40
4.6.4.
Ejemplo de dimensionado más económico de una tubería
de impulsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.47
4.7. DIMENSIONADO ECONÓMICO DE SISTEMAS DE TUBERÍAS EN
SERIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.55
4.7.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.55
4.7.2.
Formulación en diámetros continuos. Método de la serie
económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.57
4.7.2.1. Aplicación a una serie de tuberías alimentada con
altura de cabecera conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.57
4.7.2.2. Aplicación a una serie de tuberías alimentada
mediante una estación de bombeo (altura de
cabecera variable) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.63
4.7.2.3. Consideraciones prácticas sobre la aplicación del
método de la serie económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.67
4.7.3.
Formulación en diámetros discretos. Método discontinuo
de Labye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.75
4.7.3.1. Serie de tuberías alimentada con altura de cabecera
conocida. Curva característica de una serie de
tuberías . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.76
4.7.3.2. Serie de tuberías alimentada con altura de cabecera
variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.80
4.7.3.3. Observaciones sobre el método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.81
4.7.4.
Ejemplo. Dimensionado de una serie de tuberías . . . . . . . . . . . . 4.82
4.7.5.
Otras formulaciones en diámetros discretos . . . . . . . . . . . . . . . . 4.94
4.8. DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS . . . . . . . 4.97
4.8.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.97
4.8.2.
Aplicación del método de la serie económica al
dimensionado de redes ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.98
4.8.2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.98
4.8.2.2. Red ramificada alimentada con altura de cabecera
conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.98
4.8.2.3. Ejemplo. Dimensionado de una red ramificada con
diámetros continuos y altura de cabecera
conocida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.107
4.8.2.4. Red ramificada alimentada mediante una estación
de bombeo (altura de cabecera variable) . . . . . . . . . . . . . . 4.111
4.8.2.5. Ejemplo. Dimensionado de una red ramificada con
diámetros continuos y altura de cabecera
variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.120
4.8.2.6. Consideraciones sobre la aplicación del método . . . . . . . . . 4.126
4.8.3.
Modelo de Programación Lineal para el dimensionado
óptimo de redes ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3.2. Modelo de Programación Lineal para el
dimensionado de una red ramificada alimentada
con altura de cabecera conocida . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3.3. Modelo de Programación Lineal para el
dimensionado de una red ramificada alimentada
mediante una estación de bombeo (altura de
cabecera incógnita) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3.4. Reducción del tamaño del modelo . . . . . . . . . . . . .
4.8.3.5. Aspectos particulares del problema . . . . . . . . . . . . .
4.8.3.6. Procedimiento de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.8.3.4. Ejemplo. Dimensionado de la red del apartado
4.8.2.5 mediante Programación Lineal . . . . . . . . . . .
4.8.4.
Otros modelos para el dimensionado óptimo de redes
ramificadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.9. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.10 BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 4.130
. . . . . 4.130
. . . . . 4.131
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4.134
4.136
4.140
4.147
. . . . . 4.149
. . . . . 4.152
. . . . . 4.154
. . . . . 4.156
CAPITULO 5.- IMPLEMENTACIÓN DE UN MODELO LINEAL PARA EL
DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS
5.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.1.
Formulación general del problema lineal . . . . . . . . . . . .
5.1.2.
Características de los modelos de PL . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.3.
Análisis de las posibles soluciones . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.4.
Ventajas de la formulación mediante Programación Lineal
5.1.5.
Inconvenientes de la formulación lineal . . . . . . . . . . . . .
5.2. IMPLEMENTACIÓN DEL MODELO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1.
Características generales de la aplicación . . . . . . . . . . . .
5.2.2.
Características de las redes objeto del dimensionado
económico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.3.
Características adicionales del programa . . . . . . . . . . . . .
5.3. ESTRUCTURA GENERAL DEL PROGRAMA DIOPRAM . . . . .
5.4. INTRODUCCIÓN DE LOS DATOS DE LA INSTALACIÓN . . . .
5.4.1.
Datos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.2.
Configuración de la red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.3.
Criterios de diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.4.
Criterios económicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5. TRATAMIENTO PREVIO DE LOS DATOS . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.1.
Cambio de numeración externa a numeración interna . . . .
5.5.2.
Secuencia de nudos y grado de conectividad . . . . . . . . . .
5.5.3.
Asignación de presiones mínimas a los nudos . . . . . . . . .
5.5.4.
Asignación de caudales de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.5.5.
Selección de los diámetros de las tuberías instaladas . . . .
5.5.6.
Cálculo de la presión de cabecera mínima . . . . . . . . . . .
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5.1
5.2
5.8
5.10
5.12
5.13
5.15
5.16
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5.17
5.18
5.21
5.23
5.24
5.24
5.26
5.30
5.32
5.32
5.35
5.36
5.36
4.39
5.40
5.5.7.
5.5.8.
5.6. ETAPA
5.6.1.
5.6.2.
5.6.3.
5.7.
5.8.
5.9.
5.10
5.11
5.12
Cálculo de las presiones estáticas . . . . . . . . . . . . . . . .
Asignación de parámetros de coste energético . . . . . . . .
DE PREDIMENSIONADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Dimensionado económico de una serie de tuberías . . . . .
Dimensionado de una red ramificada mediante el criterio
de la serie económica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.6.4.
Estructura del subprograma de Predimensionado . . . . . .
OPTIMIZACIÓN MEDIANTE PROGRAMACIÓN LINEAL . . .
5.7.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.2.
Selección de diámetros candidatos . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7.3.
Ensamblado y resolución del problema de PL . . . . . . . .
5.7.4.
Configuración de la solución óptima obtenida . . . . . . . .
ANÁLISIS CON VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN . .
5.8.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8.2.
Características generales y datos necesarios . . . . . . . . .
5.8.3.
Estructura del módulo de análisis con VRPs . . . . . . . . .
5.8.4.
Efecto de las VRPs en el estado de la red . . . . . . . . . .
UTILIDADES ADICIONALES DEL PROGRAMA DIOPRAM . .
5.9.1.
Base de datos de materiales de tubería . . . . . . . . . . . . .
5.9.2.
Salida de datos y resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.9.3.
Modificación de las soluciones obtenidas . . . . . . . . . . .
5.9.4.
Configuración de la impresora . . . . . . . . . . . . . . . . . .
EJEMPLO DE APLICACIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.42
5.42
5.48
5.48
5.49
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. 5.54
. 5.56
. 5.63
. 5.63
. 5.66
. 5.71
. 5.95
. 5.97
. 5.97
. 5.98
. 5.99
5.103
5.104
5.104
5.106
5.110
5.112
5.112
5.136
5.141
CAPITULO 6.- INFLUENCIA DE LA PRESIÓN DE TRABAJO DE LAS TUBERÍAS
EN EL DIMENSIONADO ÓPTIMO. UTILIZACIÓN DE LAS VÁLVULAS
REDUCTORAS DE PRESIÓN
6.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. INFLUENCIA DE LA PRESIÓN DE TRABAJO DE LAS TUBERÍAS EN
EL COSTE DE LA RED . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.1.
Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.2.
Tratamiento explícito del problema: Caso de una
conducción en serie de gran longitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2.3.
Tratamiento implícito del problema: Dimensionado de una
red . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. FUNCIONAMIENTO, INSTALACIÓN Y SELECCIÓN DE VÁLVULAS
REDUCTORAS DE PRESIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.2.
Característica de funcionamiento de una VRP . . . . . . . . . . . . . .
6.3.3.
Utilización e instalación de las VRPs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.4.
Selección de una VRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3.5.
Comparación entre la VRP y la cámara de rotura de carga . . . . .
6.1
6.2
6.2
6.4
6.8
6.15
6.15
6.15
6.20
6.25
6.25
6.4. MODELIZACIÓN DEL COMPORTAMIENTO GENERAL DE UNA
VRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.4.1.
Análisis de redes ramificadas incluyendo VRPs . . . . . . . . . . . . .
6.4.2.
Análisis de redes malladas que incorporan VRPs . . . . . . . . . . . .
6.4.2.1. Aplicación del método de las líneas (ecuaciones en q) . . . . . .
6.4.2.2. Aplicación del método de los nudos (ecuaciones en H) . . . . .
6.4.2.3. Aplicación del método de las mallas (ecuaciones en ∆q) . . . .
6.4.2.4. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5. COMPORTAMIENTO HIDRÁULICO DE LA VÁLVULA REDUCTORA
DE PRESIÓN COMO ELEMENTO RESISTENTE . . . . . . . . . . . . . . . .
6.6. OTROS FACTORES A CONSIDERAR EN LA SELECCIÓN DE UNA
VÁLVULA REDUCTORA DE PRESIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.29
6.31
6.33
6.34
6.37
6.39
6.40
6.41
6.49
6.54
6.55
CAPITULO 7.- OPTIMIZACIÓN DE REDES RAMIFICADAS CONTEMPLANDO LA
UBICACIÓN Y TARADO DE VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN
7.1. INTRODUCCIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2. DIMENSIONADO ÓPTIMO CONJUNTO DE UNA RED RAMIFICADA
CON VÁLVULAS REDUCTORAS DE PRESIÓN. MÉTODO LINEAL .
7.2.1.
Planteamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.2.
Formulación del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3.
Método de resolución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4.
Ejemplo de aplicación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5.
Crítica del método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3. CRITERIOS PREVIOS PARA LA IMPLANTACIÓN DE VRPs.
ESTABLECIMIENTO DE LA PRESIÓN ÓPTIMA DE TARADO . . . . .
7.4. UBICACIÓN ÓPTIMA DE UN CONJUNTO DE VRPs EN UN SISTEMA
DE TUBERÍAS EN SERIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.2.
Solución mediante Programación Entera . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.3.
Solución mediante Algoritmos Genéticos . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.4.4.
Solución mediante Programación Dinámica . . . . . . . . . . . . . . .
7.5. EXTENSIÓN DEL MÉTODO DE PROGRAMACIÓN DINÁMICA PARA
LA OPTIMIZACIÓN DE VRPs EN REDES RAMIFICADAS . . . . . . . . .
7.5.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.2.
Efecto de las ramificaciones en la resolución mediante
Programación Dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.5.3.
Posibles VRPs a considerar en una ramificación . . . . . . . . . . . .
7.5.4.
7.6
7.1
7.2
7.2
7.4
7.9
7.11
7.16
7.18
7.24
7.24
7.32
7.37
7.47
7.61
7.61
7.62
7.64
Ejemplo. Optimización de la ubicación de VRPs en una
red ramificada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.69
CONSIDERACIONES ADICIONALES EN LA OPTIMIZACIÓN DE VRPs
EN REDES RAMIFICADAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.75
7.6.1.
Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.75
7.6.2.
Presión óptima de tarado de una VRP a partir de varios
estados de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.3.
Influencia del comportamiento de la VRP como elemento
resistente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.4.
Restricción del número de posibles VRPs. Ahorro
residual por zonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.5.
Selección de determinadas VRPs fuera del proceso de
optimización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.6.6.
Inclusión de VRPs de servicio . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.7. CONCLUSIONES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.8. BIBLIOGRAFÍA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 7.76
. . . . . . 7.77
. . . . . . 7.79
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
7.81
7.83
7.89
7.94
CAPITULO 8.- CONCLUSIONES Y DESARROLLOS FUTUROS
8.1. CONCLUSIÓN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1
8.2. PRINCIPALES LOGROS ALCANZADOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2
8.3. DESARROLLOS FUTUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.10
ANEJO A.- BIBLIOGRAFÍA GENERAL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1
ANEJO B.- ÍNDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.1
Capítulo 4
DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS
4.1.- INTRODUCCIÓN
Como se recordará del capítulo anterior, el diseño de redes hidráulicas de
distribución puede dividirse en dos procesos, no siempre bien diferenciados, a saber, la
determinación del trazado de la red y el conexionado entre sus elementos (layout), y por
otro lado, el dimensionado de dichos elementos para cumplir adecuadamente su función.
El trazado de la red suele estar determinado a priori por multitud de condiciones que
tienen poca o ninguna relación con los criterios de diseño desde un punto de vista
funcional (e incluso económico), por lo que dedicaremos el contenido del presente
capítulo al estudio de la problemática del dimensionado de la red.
El componente económico es un criterio fundamental en el dimensionado de las
redes, puesto que para un conjunto dado de condiciones de funcionamiento compatibles
entre sí, existirá sin duda un numero prácticamente ilimitado de soluciones que resulten
técnicamente validas, y en tal caso, el coste de las diversas soluciones será la
característica que, en última instancia, identificará la "mejor" solución.
En concreto, trataremos del dimensionado de las redes de topología ramificada,
muy habitual en redes de riego, cuyas características principales son una gran dispersión
espacial de los puntos de consumo y un elevado caudal demandado en los mismos. El
objetivo económico cobra una importancia fundamental en este tipo de redes debido a
la considerable inversión necesaria para su implantación. La configuración de tipo
ramificado también es usual en el caso de grandes sistemas regionales para el suministro
de agua a poblaciones, en redes de tipo industrial y en redes de distribución en pequeños
núcleos residenciales.
4.1
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.2.- ESTRUCTURA DE LOS PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN.
La optimización, como principal objetivo del diseño en la ingeniería, implica
siempre encontrar la "mejor" solución a un problema, en términos de calidad, coste,
fiabilidad o cualquier otro criterio de utilidad. La "bondad" de la solución se manifiesta
como un extremo, ya sea máximo o mínimo, de una determinada función de n variables
de decisión, f(x1,...,x2), conocida con el nombre de función objetivo, y que representa
un determinado criterio a optimizar.
En la mayor parte de los sistemas físicos que son objeto de optimización, las
variables de decisión que caracterizan su estado suelen estar ligadas entre sí por una
serie de leyes de comportamiento, de forma que el proceso de optimización queda
restringido a aquellos conjuntos de variables que verifican dichas leyes de
comportamiento. Los problemas de optimización en ingeniería requieren el
establecimiento de condiciones adicionales que describan los límites del funcionamiento
adecuado del sistema.
El conjunto de las leyes de comportamiento del sistema y de las condiciones de
funcionamiento impuestas puede expresarse funcionalmente por medio de un conjunto
de ecuaciones denominadas restricciones, del tipo siguiente:
a) gj ( x1 , x2 , . . . , xn )
bj
j
1 . . . m1
b) gk ( x1 , x2 , . . . , xn ) ≥ bk
k
1 . . . m2
c) gl ( x1 , x2 , . . . , xn ) ≤ bl
l
1 . . . m3
(4.1)
El conjunto formado por la función objetivo y las restricciones se denomina
modelo matemático. El término "modelo", como vimos en el capítulo anterior, indica
que la representación funcional es una abstracción simplificada del comportamiento de
los elementos esenciales que la componen y de las relaciones que existen entre ellos, y
no constituye una descripción completa y exhaustiva de la realidad. Muchos autores
conciben un modelo como el binomio formado por la representación
matemático-funcional (o algorítmica) del mismo, y por el conjunto de los datos
requeridos para su resolución. Como resulta lógico, es necesario que exista un
compromiso entre el nivel de detalle exigido al modelo, las técnicas numéricas
disponibles para su resolución, la disponibilidad y facilidad de manejo del conjunto de
los datos implicados y las conclusiones que finalmente se desee extraer de los
resultados.
4.2
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Tradicionalmente, el diseño de sistemas en ingeniería ha sido acometido como un
proceso de prueba y error, el cual puede proporcionar soluciones muy apropiadas cuando
se trabaja con sistemas sencillos, puesto que un proyectista experimentado está
capacitado para predecir o intuir la influencia de las variables de diseño sobre la
operación del sistema. Sin embargo, resulta casi imposible utilizar tal procedimiento en
el diseño de sistemas complejos, debido al gran número de variables implicadas y a la
extensa y compleja interdependencia que existe entre las variables implicadas.
La aplicación de técnicas de Investigación Operativa sustituye al proceso del
diseño tradicional, proponiendo métodos funcionalmente directos para obtener como
resultado el dimensionado más adecuado de un sistema, utilizando como entrada los
requisitos de funcionamiento del mismo. Además, la aplicación sistemática de los
métodos de optimización permite estudiar la influencia y el efecto del cambio de los
requisitos de diseño sobre la solución óptima. En este sentido encontramos que la
mayoría de las aportaciones realizadas sobre optimización de sistemas datan de los
últimos 20 o 25 años, debido tanto al advenimiento de las técnicas de Investigación
Operativa acontecido desde la 2ª Guerra Mundial, como por la aparición y evolución de
los sistemas informáticos que han servido de soporte fundamental para el desarrollo de
dichas técnicas.
4.3.-
CLASIFICACIÓN DE LAS TÉCNICAS DE OPTIMIZACIÓN.
De una manera general, podemos clasificar los problemas de optimización así
como las técnicas disponibles para su resolución, de la forma siguiente:
1)
Técnicas del Cálculo diferencial clásico: Si el problema no posee restricciones, el
óptimo se obtiene por cálculo diferencial. En el caso de existir restricciones, el
problema puede transformarse en uno equivalente sin restricciones por medio de
la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
2)
Optimización Lineal o Programación Lineal (PL): En este caso se trata de
encontrar el mínimo o el máximo de una función objetivo de naturaleza lineal,
sujeta a un conjunto de restricciones también lineales. El algoritmo más conocido
para la resolución de problemas de PL es el SIMPLEX.
4.3
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
3)
Optimización No Lineal Convexa: Este tipo de problemas contiene al menos, una
función no lineal y por las propiedades de la convexidad, si presenta algún óptimo,
éste será global. Dependiendo del tipo de problema, pueden proponerse distintas
soluciones, como son:
a) Linealización: En este caso el problema no lineal se transforma en uno
lineal, que proporciona una aproximación adecuada y suficiente al problema
real que se esté tratando.
b) Programación cuadrática, que trata con funciones objetivo cuadráticas y
restricciones lineales. Se han desarrollado varios procedimientos de
resolución siendo uno de los más conocidos la transformación en un
problema lineal equivalente (Wolfe 1959).
c) Método de gradiente: Es un procedimiento iterativo en el que la solución es
mejorada en la dirección del gradiente de la función objetivo. El proceso
acaba encerrando al óptimo.
4)
Optimización No Convexa: Si un problema de optimización es no convexo, puede
contener óptimos locales, de forma que una técnica tal y como el método del
gradiente puede finalizar en torno a un óptimo local sin haber tenido oportunidad
de explorar otras soluciones del espacio que pudiesen resultar mejores. Los
procedimientos aplicables a los casos no convexos son los siguientes:
a) Enumeración explícita: En los problemas que tienen un número finito de
soluciones posibles, estas se evalúan y comparan. Los árboles de decisión
son una buena herramienta para el proceso de enumeración.
b) Enumeración implícita o parcial: El proceso de enumeración se estructura de
tal forma que se examina solo una fracción de todas las soluciones posibles,
con el fin de encontrar la óptima entre ellas.
c) Métodos Heurísticos: no permiten garantizar la obtención de la solución
óptima aunque si consiguen mejorar una solución inicial mediante una
aproximación racional.
5)
Problemas especiales: Se han desarrollado técnicas específicas para una gran
variedad de problemas que presentan estructuras especiales, aunque también
resultan de utilidad en problemas con estructura convexa ó incluso en la resolución
de problemas lineales que también podrían ser resueltos mediante las técnicas estándar.
4.4
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Un buen ejemplo de este tipo de técnicas especiales lo constituye la
Programación Dinámica, orientada a la optimización de un determinado problema
mediante la descomposición en una secuencia de subproblemas, resultando
particularmente indicada en aquellos casos en los que el sistema en cuestión puede
ser descompuesto en una serie de etapas.
La panorámica general anterior nos muestra que existe una gran variedad de
problemas y técnicas para resolverlos, que aún podrían completarse con otros muchos,
aunque éste no sea el objeto del presente capítulo. Sin embargo, hemos creído
interesante efectuar esta pequeña introducción con el fin de tener el criterio suficiente
para seleccionar las técnicas y algoritmos más apropiados y eficaces en cada caso.
A continuación repasaremos algunos de los conceptos matemáticos más comunes
en relación con los problemas de optimización, tales como las funciones cóncavas y
convexas, los conjuntos convexos y no convexos, así como determinados aspectos
especiales de las funciones que aparecen en el diseño de redes hidráulicas.
4.3.1.- Funciones cóncavas y convexas.
Las funciones cóncavas y convexas juegan un papel importante en los problemas
de optimización. Se dice que una función f(x) es convexa en un intervalo si el segmento
de recta que une dos puntos cualesquiera de la gráfica de la función se sitúa siempre por
encima de los puntos de dicha gráfica para el intervalo comprendido entre los puntos
considerados, como puede verse en la Figura 4.1. Una función será cóncava, si el
segmento en cuestión queda siempre por debajo de la porción de la curva comprendida
entre el par de puntos.
Expresado matemáticamente, la función f(x) es convexa en un determinado
intervalo [xA,xB] si para cualquier par de valores x1 y x2 incluidos en dicho intervalo se
cumple:
f ( λ x1
( 1 λ ) x2 ) ≤ λ f ( x1 )
( 1 λ ) f ( x2 )
∀λ ∈ [0,1]
(4.2)
( 1 λ ) f ( x2 )
∀λ ∈ [0,1]
(4.3)
o bien, será cóncava si se verifica:
f ( λ x1
( 1 λ ) x2 ) ≥ λ f ( x1 )
4.5
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.1.- Gráficas de funciones cóncavas y convexas de una dimensión.
Los conceptos de funciones convexas y cóncavas de una sola variable, cuya
interpretación geométrica es sencilla, pueden ser extendidos a funciones de n variables.
En este caso, si x es un vector de n dimensiones y f(x) una función del mismo, podemos
decir que la función es convexa en un subconjunto S ⊂ n si para cualquier par de
puntos x1 y x2 de S se cumple la condición:
f λ x1
( 1 λ ) x2 ≤ λ f x1
( 1 λ ) f x2
∀λ ∈ [0,1]
(4.4)
y para el caso de una función cóncava se tendrá una expresión análoga cambiando el
sentido de la desigualdad.
Se dice que una función f(x) es estrictamente convexa en un subconjunto S ⊂
si para cualquier par de puntos x1 y x2 de S se cumple:
f λ x1
( 1 λ ) x2 < λ f x1
( 1 λ ) f x2
∀λ ∈ ] 0,1 [
n
(4.5)
mientras que para la definición de función estrictamente cóncava deberemos cambiar el
sentido de la desigualdad.
Una función lineal verifica la igualdad en (4.4) y (4.5), y por tanto es cóncava y
también convexa, pero no es estrictamente cóncava ni estrictamente convexa. Algunas
propiedades interesantes de las funciones cóncavas y convexas son, por ejemplo, que la
función suma de dos funciones cóncavas (convexas) es asimismo cóncava (convexa), y
si f es una función cóncava (convexa), entonces -f es una función convexa (cóncava).
4.6
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.3.2.- Conjuntos convexos y no convexos.
Cuando se plantean problemas de optimización en espacios de n dimensiones,
correspondientes a las variables de decisión, las restricciones del modelo definen
subconjuntos dentro de n que acotan el dominio de definición de las funciones a
optimizar, dentro de los cuales se encuentran las posibles soluciones; es por ello que se
conocen con el nombre de espacio de soluciones.
Se dice que un conjunto de puntos S ⊂ n es convexo si uniendo dos puntos
cualesquiera de dicho conjunto por medio de un segmento de recta, todos los puntos de
dicho segmento pertenecen al conjunto, esto es, si para cualquier par de puntos x1 y x2
de S se cumple:
x:x
λ x1
( 1 λ ) x 2 / x 1 , x 2 ∈S ⊂
n
; λ ∈[0,1] ⊂ S
(4.6)
En el caso de que no se cumpla la condición anterior se dice que el conjunto es
no convexo. La Figura 4.2 representa ejemplos de conjuntos convexos y no convexos
en 2.
Figura 4.2.- Espacios convexo y no convexo en
2
.
Un conjunto de puntos de n acotado por una serie de desigualdades lineales
constituye un conjunto convexo o a lo sumo, un conjunto vacío. Se denominan puntos
extremos de un conjunto convexo a los que no pueden ser definidos como puntos
contenidos en un segmento de recta entre otros dos puntos cualesquiera del conjunto.
4.7
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.3.3.- Problemas de optimización convexa.
Se dice que un problema de optimización es convexo si el espacio de soluciones
S ⊂ n es convexo y además la función objetivo f(x) a minimizar es convexa en S, o
bien, la función objetivo f(x) a maximizar es cóncava en S. Con esta definición se puede
demostrar que un problema de optimización convexa, en el caso de poseer algún óptimo,
éste será global (no posee óptimos locales).
Las implicaciones de esta conclusión son muy importantes, puesto que el campo
de aplicación de determinados métodos de optimización directos consistentes en la
mejora de una solución factible, tales como la Programación Lineal o el Método del
Gradiente, se delimita a los problemas de optimización convexa.
Un problema de optimización no convexo puede poseer óptimos locales, aunque
no necesariamente.
Cabe naturalmente hablar mucho más acerca de la casuística que puede presentarse
en cuanto a la topología de los diversos espacios de soluciones y la estructura de las
funciones objetivo, aunque ello excede el propósito de esta breve introducción. Para una
revisión en profundidad de todos estos conceptos y sus implicaciones recomendamos
consultar la referencia [4] (Parte 1: Análisis convexo. Cap. 2 y 3, Bazaraa y Shetty).
4.4.- IMPLICACIONES ECONÓMICAS RELACIONADAS CON EL DISEÑO DE
REDES HIDRÁULICAS.
4.4.1.- Introducción.
Los problemas de optimización de redes hidráulicas de distribución que implican
la minimización de un objetivo económico se engloban bajo la denominación de
problemas de diseño económico. La denominación resulta muy rotunda en cuanto a la
importancia primordial que parece tener la minimización del coste del sistema; esta
interpretación no es en absoluto fiel, puesto que el objetivo económico no representa una
restricción en el diseño del sistema, sino más bien al contrario, es casi el único grado
de libertad de que se dispone para realizar tal cometido, mientras que los requisitos
funcionales, expresados como restricciones, definen un conjunto de posibles soluciones
4.8
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
cuya frontera no puede ser traspasada, ni tan siquiera con la justificación del objetivo
económico.
La filosofía general del diseño económico de redes parte de la premisa de que para
reunir un conjunto de requisitos funcionales es posible establecer múltiples soluciones
técnicamente viables y correctas, y de todas las posibles soluciones, la "mejor" será
aquella que represente un coste mínimo. Desde esta perspectiva, el diseño económico
consiste en seleccionar la alternativa más económica de entre un número de alternativas
realistas y factibles.
Desde el punto de vista formal y con arreglo a la estructura general de los
problemas de optimización descrita en el apartado 4.2, el problema de diseño económico
de una red se formula en términos de una función objetivo que contempla los diversos
costes asociados al sistema, y de unas restricciones que representan tanto las leyes
físicas que gobiernan el funcionamiento del sistema, como las condiciones de
funcionamiento que se espera obtener del mismo.
El hecho de contemplar el objetivo económico en el diseño no coarta en absoluto
la imposición de condiciones de funcionamiento cualesquiera, aunque bien puede suceder
que el conjunto de restricciones funcionales resulte incompatible, bien sea por un
excesivo número o por ser demasiado exigentes, esto es, que no exista ninguna solución
factible al problema planteado.
Suponiendo que un determinado problema de diseño posee soluciones
hidráulicamente factibles, para hacer intervenir el factor económico cabe preguntarse en
primer lugar cuáles son los costes que participan o que deben ser considerados en la
optimización del sistema.
4.4.2.- Clasificación de los costes implicados en el diseño de una red.
En una primera clasificación dividiremos los costes que intervienen en costes de
construcción o costes fijos, es decir, aquellos que ineludiblemente hay que realizar para
implantar y construir la red de distribución preparada para su pleno servicio y costes de
explotación o costes variables, que son aquellos que se derivan del uso del sistema.
A título estimativo y haciendo referencia a redes de cierto tamaño, Stephenson [31]
4.9
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
menciona un promedio de coste de las tuberías del orden del 55 % de la inversión,
mientras que los apartados referentes a excavación, montaje y protección de las mismas
los cifra el mismo autor en un 25 % de la inversión, lo que representa un coste asociado
a las conducciones del orden de un 80 % de la inversión. Otros autores estiman
porcentajes similares, del orden del 75 % de la inversión, mientras que el coste de la
estación de bombeo en situaciones convencionales se cifra en torno al 12 % de la
inversión. En cualquier caso resulta evidente que la partida principal de la inversión
corresponde al apartado de las conducciones, circunstancia que se debe tener muy en
cuenta en el diseño económico del sistema.
En cuanto a los costes de explotación, destaca por su importancia el coste
energético, que puede alcanzar e incluso superar el valor de la amortización anual de la
inversión, mientras que los apartados de mantenimiento y personal pueden cifrarse como
una pequeña fracción de la amortización anual de la inversión.
TUBERÍAS
ACCESORIOS
COSTES DE
CONSTRUCCIÓN
(Costes fijos)
OBRA CIVIL
INSTALACIONES
COSTES DE OPERACIÓN
(Costes Variables)
Acoplamientos
Anclajes
Juntas
Valvulería
Excavación
Relleno
Asentamiento
Depósitos
Estaciones bombeo
Sistemas de control y
regulación
Seguridad
ENERGÉTICOS
MANTENIMIENTO
PERSONAL
Figura 4.3.- Clasificación de los costes de una red de distribución.
El coste de operación del sistema está sin duda relacionado con el coste de
inversión; por ejemplo, si se invierte en la automatización del sistema, ello revertirá en
menores necesidades de personal; utilizando conducciones de mayor diámetro se reducen
las necesidades de gasto energético de la red.
4.10
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.4.3.- Balance entre los costes implicados en el diseño de una red. Base temporal.
Hasta el momento se ha hablado del objetivo del diseño económico como la
provisión de una solución factible al mínimo coste, pero por su naturaleza, los costes
implicados están referidos a diferentes bases temporales. El coste de inversión constituye
un pago único, expresado en unidades monetarias, que es necesario realizar para
acometer la construcción y puesta en servicio de la red, mientras que los costes de
operación corresponden a las cantidades devengadas periódicamente para mantener el
funcionamiento del sistema en las condiciones de servicio; los períodos de referencia son
normalmente de duración anual y en consecuencia, los gastos de operación se expresan
en unidades monetarias por año.
Surge por tanto la necesidad de expresar todos los costes implicados en referencia
a una única base temporal, y las formas más sencillas de llevarlo a cabo son:
a)
Trabajar con cantidades totales, esto es, con el total de la inversión y el total de
gastos de operación durante la vida útil del proyecto.
b)
Referir los costes de inversión a un término anual (amortización) para comparar
con los costes de operación.
Aunque ambos puntos de vista pueden ser igualmente válidos a los efectos del
diseño económico del sistema, lo cierto es que la mayoría de los autores prefieren referir
los costes a una base temporal anual, como se hace con cualquier planificación de tipo
económico a medio y largo plazo.
Sin embargo, el valor del dinero cambia con el tiempo. Las leyes de la economía
determinan que una cierta cantidad de dinero en el momento presente tiene más valor
que la misma cantidad cuando ha transcurrido un período de tiempo. El dinero
proporciona beneficios durante el tiempo que ha sido invertido y es un recurso más que
se utiliza para obtener otros recursos. El interés que debe pagarse por el dinero prestado
es el precio de dicho recurso. Al utilizar una suma de dinero de los recursos propios en
una determinada inversión y no en otra, se deja de percibir el beneficio derivado de su
uso alternativo (coste de oportunidad).
El interés a pagar por el uso del dinero durante un período de tiempo expresa el
4.11
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
valor temporal del dinero y es una medida para comparar los pagos en diferentes
períodos de tiempo. Además, se utiliza para transformar los pagos efectuados en
distintos períodos en cantidades equivalentes mediante el descuento y la acumulación.
Una cantidad C en el presente es equivalente a una cantidad futura C' al cabo de
T años y al interés r', igual a:
C
T
1 r
(4.7)
C
Un efecto económico diferente es el que provoca la inflación, al aumentar el coste
de un bien sin modificar su valor. La consecuencia inmediata es la pérdida de poder
adquisitivo del dinero. El efecto de la inflación interviene en proyectos a medio y largo
plazo, puesto que los costes de operación se ven incrementados periódicamente, de la
misma forma que el coste por la sustitución de un equipo al final de su tiempo de vida
será superior al del equipo original. Si un determinado bien cuesta una cantidad G en
el momento presente, al cabo de T años y considerando una tasa de inflación s, su coste
será G' de forma que:
G
(4.8)
T
1 s G
Desde la perspectiva opuesta, una cantidad de dinero C resultará depreciada por
efecto de la inflación, de forma que al cabo de T años, su poder adquisitivo será:
C
C
(4.9)
T
1 s
Considerando los efectos combinados del interés r' y la tasa de inflación s, el valor
real de una suma de dinero C al cabo de T años será:
C
T
1 r
1 s
T
(4.10)
C
La intervención conjunta de ambos efectos puede condensarse en la tasa de interés
real r, de forma que:
1 r
1 r
1 s
→ C
1 r
T
C
(4.11)
Para poder realizar comparaciones realistas entre los costes implicados en el diseño
de una red es necesario trasladar los pagos realizados a lo largo del tiempo a un punto
común en el tiempo, usualmente el inicio del proyecto. Dichas cantidades equivalentes
se conocen como valor presente o actual y al procedimiento para obtenerlas se denomina
4.12
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
actualización o descuento; retomando la expresión (4.11) podemos decir que la cantidad
C' al cabo de T años con un interés r representa un valor actual C = C'/(1+r)T.
La amortización es el proceso por el cual los bienes pierden valor a lo largo de su
vida útil. Para distribuir el coste de la inversión inicial en costes anuales que puedan ser
comparados con los costes anuales de operación se utiliza comúnmente el factor de
amortización at, el cual representa el coste anual de amortización de una inversión
producida en el año 0 igual a una unidad monetaria y que se amortiza a lo largo de
T años a una tasa de interés r. De esta forma, la inversión de un capital inicial C
representa unas cargas anuales de amortización de C·at unidades monetarias.
Figura 4.4.- Amortización con anualidades constantes.
La Figura 4.4 representa la amortización de una inversión inicial C en anualidades
constantes, cuyo valor es el producto del capital invertido por el factor de amortización.
La amortización se prolonga a lo largo de los T años de vida del proyecto a un interés r.
Ello significa que el capital invertido al año 0 (C) hubiese podido llegar a adquirir un
valor C (1+r)T al cabo de T años.
Si actualizamos las cantidades amortizadas anualmente C
actuales corresponde con el valor de la inversión C, esto es:
4.13
at, la suma de los valores
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
T
C
i 1
T
C at
1 r
i
1
C at
i 1
i
1 r
C at
1 r
1 r
T
T
1
(4.12)
r
De aquí se deduce que el valor del factor de amortización es:
T
1 r
at
1 r
T
r
(4.13)
1
De igual modo, si capitalizamos las cantidades amortizadas anualmente hasta el
año T, obtendremos el valor que alcanzaría el capital C (1+r)T, esto es:
C 1 r
T
T 1
C at 1 r
i
T 1
C at
i 0
1 r
i 0
i
C at
1 r
r
T
1
(4.14)
con lo que se vuelve a obtener la misma expresión del factor de amortización de (4.13).
La interpretación consiste en que las cantidades amortizadas anualmente C at
constituyen la pérdida de valor del proyecto, hasta que éste alcanza un valor residual
nulo al finalizar su período de vida.
Para calcular el factor de amortización se utilizan dos parámetros fundamentales,
a saber, el período de vida T del proyecto y la tasa de interés r de la amortización. Tal
y como se ha expuesto, la tasa de interés r representa un coste de oportunidad y
corresponde al precio del dinero en el mercado, lo cual es cierto cuando la entidad
inversora debe endeudarse para acometer el proyecto; sin embargo, cuando se emplean
recursos públicos para llevar a cabo el proyecto, la tasa de interés se identifica como el
beneficio que podría reportar a la economía nacional una utilización alternativa de la
cantidad invertida. Estos factores son importantes en la medida de que las
comparaciones entre costes son muy sensibles a la tasa de interés empleada.
Sobre esta base, el procedimiento habitual consiste en contabilizar el coste del
sistema sobre una base temporal anual, como la suma del coste de amortización de la
inversión más el coste de operación del sistema, esto es:
Coste anual del sistema
Inversión
at
Coste anual de Operación
(4.15)
Algunos autores, como Rodrigo et al. [30], proponen incluir de forma explícita el
4.14
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
efecto inflacionario sobre los costes de operación, concretamente sobre el coste
energético, actualizando los mismos al año 0 (inicio del proyecto) y repartiéndolos
posteriormente en anualidades constantes, cuyo valor será igual al coste energético en
el primer año de funcionamiento de la red multiplicado por el factor de coste equivalente
anual de la energía (EAE).
Para obtener el valor de EAE (ver Figura 4.5) en primer lugar se actualizan las
anualidades correspondientes a la energía al año 0. Si el coste energético en el año 1 es
E1=E (suponemos la energía consumida anualmente se mantiene constante durante toda
la vida útil del proyecto) y considerando una tasa de inflación s, el coste energético del
segundo año será E2=E (1+s), el tercero E3=E (1+s)2, y así sucesivamente hasta el año
T, ET=E (1+s)T-1.
Figura 4.5.- Obtención del factor de coste equivalente anual de la energía.
Para deducir el valor de EAE se supone que el coste energético ha sido pagado en
anualidades constantes de valor E EAE, de forma que el valor actual así obtenido debe
ser igual que proporciona la actualización de los costes energéticos reales, esto es:
E EAE
1
1
(1 r)
(1 r)2
...
1
(1 r)T
E
4.15
1
(1 r)
(1 s)
(1 r)2
...
(1 s)T 1
(1 r)T
→
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
T
→ EAE
i 1
1
→ EAE
(1 r)
r
T
T
1
1
(1 r)i
(1 s)
1
1
(1 s)
i 1
1 s
1 r
1 s
1 r
T 1
i
1 s
1 r
1 s
1 r
1
de donde resulta un valor de EAE igual a:
EAE
(1 s)T
s
(1 r)T
r
r
(1 r)T
(4.16)
1
Obsérvese que en el caso de inflación nula (s=0) el coeficiente EAE vale la unidad,
mientras que si la tasa de inflación es s>0 el coeficiente EAE es mayor que la unidad.
Por ejemplo, considerando una tasa de interés r del 12 %, una tasa de inflación s del 4
% y un período de vida T=20 años se obtiene que EAE=1'29, lo que significa considerar
un coste de la energía anual promedio que resulta casi un 30 % superior al coste
energético del primer año.
La utilización del factor de coste equivalente anual de la energía EAE supone
inclinar la balanza del lado de la corporación que corre con los gastos de energía, que
normalmente estará formada por los usuarios finales del servicio, cuando la inversión
es llevada a cabo total o parcialmente por otra entidad. Al recibir más importancia
relativa el coste energético en el diseño económico de una red, la solución óptima se
desplaza en el sentido de aumentar los costes de inversión y disminuir los costes de
operación.
4.4.4.- Estimación de costes.
Para llevar a cabo el diseño económico de una red hidráulica es necesario efectuar
una estimación preliminar del coste de los elementos que intervienen, o más exactamente
de las funciones de coste asociadas a dichos elementos, que relacionan la capacidad
funcional de los mismos en referencia a uno o varios parámetros de diseño.
Siguiendo la descripción de Orth [26], las funciones de coste están sometidas a tres
tipos de influencia, a saber, de tipo funcional, sistemático y aleatorio. La influencia o
4.16
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
dependencia funcional determina la estructura de la función que relaciona el coste del
elemento con los parámetros que lo caracterizan. Las influencias sistemática y aleatoria
intervienen en el valor de los coeficientes de la función aunque, en general no modifican
la estructura de la misma. Por ejemplo, si se considera la función de coste de una
tubería, el material de la misma o el tipo de moneda al que se refiere el coste son
factores sistemáticos, mientras que las fluctuaciones del precio de mercado de la misma
es un factor de tipo aleatorio. La validez de los resultados que se obtengan en la
optimización dependerá de cuan realista resulte la estimación.
Trataremos a continuación sobre las funciones de coste de algunos de los
elementos más importantes de una red, a saber, tuberías, bombas y depósitos, tanto por
el gran peso que representan en los costes como por su protagonismo principal en la
operación de la red.
4.4.4.1.- Tuberías.
El coste de construcción (adquisición + transporte + instalación) de una conducción
puede aproximarse a la expresión:
Cc
A1
A2 Da
L
1 ≤a ≤2
(4.17)
en la cual D representa el diámetro de la conducción y L su longitud, siendo A1, A2 y
a constantes características que dependen del material de la conducción, presión de
trabajo, etc. El término englobado entre paréntesis corresponde al coste por metro de
tubería, o precio unitario.
La siguiente gráfica muestra los costes unitarios de una tubería de fibrocemento
sin instalar, con diámetros comprendidos entre 200 mm. y 1200 mm., para seis presiones
de trabajo diferentes.
Ajustando los precios a una expresión del tipo (4.17) obtenemos que para las seis
series de tuberías representadas, el coeficiente A1 toma un valor nulo, mientras que el
exponente a adopta valores comprendidos entre 1'43÷1'51.
El coste de mantenimiento de las conducciones suele aproximarse a una relación
proporcional con la longitud de las mismas, o de forma más sencilla, como una porción
del coste de construcción.
4.17
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.6.- Precio unitario de tuberías de fibrocemento (Tarifa de Dic. 1990).
4.4.4.2.- Bombas.
Para evaluar el coste de construcción de una estación de bombeo (EB), el
parámetro más significativo es la potencia instalada W. En este caso se presenta una
situación de economía de escala, puesto que el coste de construcción por kilovatio (kW)
instalado resulta decreciente con la potencia total instalada. El coste de una EB puede
aproximarse a una expresión del tipo:
Cc
A1
A2 Wa
0 <a≤1
(4.18)
en la cual, W es la potencia total instalada, y A1, A2 y a son coeficientes del ajuste.
En la referencia [1], Agüera presenta como ejemplo una comparación de precios
correspondientes a una serie de grupos motor-bomba (incluyendo el correspondiente
cuadro eléctrico) de tres firmas diferentes, cuyo coste se ajusta bien a la expresión:
Cc (ptas.)
66.200 W (Kw)0 725
La Figura 4.7 muestra la comparación entre costes reales y la función de costes
interpolada. Para el estudio se han considerado grupos de potencias comprendidas entre
5'51 y 397 kW.
El coste de operación de una estación de bombeo consta de dos partes bien
diferenciadas: de un lado, los costes derivados de su mantenimiento y conservación, y
4.18
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
de otro, bastante más importante, el coste correspondiente a la facturación eléctrica
anual, pudiendo expresar éste último como:
Co
A3 W
A 4 W m tm
(4.19)
en la cual W es la potencia instalada, Wm es la potencia media consumida (kW) y tm es
el tiempo medio de utilización anual (horas/año); en tal caso, el coeficiente A4 representa
el coste del kW h consumido, mientras que el término A3 corresponde al coste anual
de un kW instalado. El coeficiente A3 puede incluir también otros costes de operación,
proporcionales a la potencia instalada.
En el Capítulo 5 se tratará una forma más detallada y realista de evaluar este coste
teniendo en cuenta la estructura de las tarifas eléctricas.
Figura 4.7.- A juste de la función de coste de grupos motor-bomba.
4.4.4.3.- Depósitos.
El coste de construcción de un depósito depende principalmente de su volumen,
y en el caso de depósitos elevados, la altura también influye decisivamente. En cuanto
al primero de los parámetros, el coste de construcción puede expresarse como:
(4.20)
C c A Va
0 <a ≤1
siendo V el volumen del depósito, A y a, coeficientes del ajuste.
4.19
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Al igual que en el caso de la estación de bombeo, se presenta una situación de
economía de escala, puesto que el coste unitario del depósito (coste por unidad de
capacidad) disminuye al aumentar el volumen del mismo.
Los costes de operación de un depósito pueden ajustarse proporcionalmente al
volumen del mismo, o bien considerarlos como una porción de los costes de
construcción.
Como ejemplo, Escolá et al. presentan en la referencia [12] una comparación de
costes unitarios de construcción de diferentes tipos de depósitos, expresados en unidades
monetarias por m3, tal y como muestra la Figura 4.8.
De los datos que presenta la figura se puede aproximar el coste de construcción
de un depósito enterrado con drenaje a la siguiente expresión:
Cc ( u.m. )
17.166 V ( m3 ) 0 773
Figura 4.8.- Coste unitario de diferentes tipos de depósito en función de su volumen.
La gráfica presentada también resulta de utilidad para evaluar la influencia de la
altura de depósito sobre el coste de construcción. Para ello se considera que la altura H
4.20
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
a la que se ubica el depósito modifica el valor del coeficiente A de la expresión (4.20).
Con esta consideración se ha realizado una interpolación de los valores
correspondientes a depósitos elevados troncocónicos de hormigón armado, obteniendo
el siguiente ajuste:
Cc (u.m.)
66 9 H( m. ) 1 85
68. 000 V( m3 ) 0 737
Como se comprueba en la expresión anterior, el término variable con la altura H
es creciente con un exponente mayor que la unidad, lo cual resulta lógico, puesto que
el coste de la base del depósito no crece solamente por el efecto de una mayor altura,
sino que además requiere una mayor robustez.
4.21
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.5.- FORMULACIÓN GENERAL DEL PROBLEMA DE DISEÑO ECONÓMICO
4.5.1.- Introducción
En el apartado 1.2 del Capítulo de Introducción se presentó una panorámica
general de la problemática en torno al diseño de redes, haciendo distinción entre el
problema de layout (trazado) y el del propio dimensionado de los componentes, entre
la tipología de las redes (mallada y ramificada), la influencia del estado de cargas para
el cuál se diseña la red, así como el caso de una red de nueva implantación frente al
caso de diseño o mejora de una red existente.
En el presente capítulo presentaremos la formulación matemática del problema de
diseño en toda su generalidad de acuerdo con los planteamientos introducidos en los
apartados precedentes. En base a la formulación general, hemos desarrollado a lo largo
del Capítulo diversos casos concretos, siguiendo un enfoque más bien "clásico" del
problema. Así, partiendo del caso más simple del dimensionado económico de una
tubería de impulsión, llegaremos hasta el modelo de PL para el dimensionado de redes
ramificadas, pasando por el dimensionado de una serie de tuberías.
A lo largo de todo el Capítulo se compararán las formulaciones discreta y contínua
del problema, dicotomía que es ya característica en todos los tratados y que enmarca las
preferencias de unos u otros autores.
Antes de entrar en ello creemos interesante presentar una justificación simple pero
clara del planteamiento económico del dimensionado de las redes desde un punto de
vista puramente hidráulico, que ayudará a tener una concepción más clara del mismo.
4.5.2.- Justificación del dimensionado económico de redes desde un punto de vista
hidráulico
Desde un punto de vista puramente hidráulico, cada tramo de una conducción de
sección circular por la que discurre agua a presión, queda caracterizada por cuatro
variables, a saber, el caudal que la atraviesa q, la velocidad de circulación v, el diámetro
de la conducción D y la pérdida de carga hf entre sus extremos. Las cuatro variables
citadas están necesariamente ligadas por dos ecuaciones, que son:
4.22
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
a)
La ecuación de continuidad cuya expresión para tubos de sección circular es:
q
b)
π D2
v
4
(4.21)
La ecuación que modeliza el comportamiento de las tuberías (ver apartado 3.3.1)
conocida como ecuación de pérdidas. Pese a la gran variedad de expresiones para
la ecuación de pérdidas, la más utilizada es la ecuación de Darcy:
hf
8fL
q2
2
5
π gD
(4.22)
donde L representa la longitud del tramo y f el factor de fricción, que es función
del tipo de material, del estado superficial de las paredes internas de la conducción,
y además, de las condiciones del régimen de circulación del fluido.
Puesto que la caracterización hidráulica del tramo de la conducción está
representada por cuatro variables, ligadas tan sólo por dos ecuaciones de
comportamiento, se presenta una situación de clara indeterminación. En la realidad,
alguno de los parámetros viene fijado además usualmente por las condiciones de diseño,
estableciéndose una ligadura adicional en el problema. No obstante, y como tendremos
ocasión de comprobar más adelante, el problema adolece todavía de un cierto grado de
indeterminación, que debe ser resuelta de algún modo.
Uno de los objetivos básicos del diseño es el dimensionado de los elementos, que
en el caso de las tuberías consiste en la selección del diámetro más adecuado a cada
tramo. El diámetro determina la capacidad de la conducción para transportar agua, y por
ello, una fase fundamental en el proceso de dimensionado es la definición de los
caudales que previsiblemente van a circular por las conducciones. La determinación de
los caudales de diseño suele fundamentarse en una estimación previa de las necesidades
y, circunstancialmente, en la disponibilidad de los recursos.
Atendiendo a la complejidad del sistema a diseñar, podemos establecer una escala
de dificultad creciente según el siguiente esquema:
1)
Cuando la canalización objeto de cálculo es una tubería de impulsión ó de
gravedad, el caudal a trasegar suele ser especificado directamente como un
parámetro de diseño, de modo que, a primera vista, sólo será necesario introducir
una restricción más para que el problema quede resuelto.
4.23
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Desde un punto de vista funcional, la indeterminación suele zanjarse
imponiendo, por ejemplo, una pérdida de carga admisible, una velocidad
recomendada o bien, simplemente proponiendo un diámetro determinado y
ensayando su comportamiento. Cualquiera de los criterios expuestos puede
proporcionar soluciones técnicamente válidas; sin embargo, el criterio económico
será en muchos casos el más aconsejable para solventar la indeterminación y
obtener una solución que, siendo hidráulicamente factible, minimice el coste de la
instalación, tanto en lo referente al coste energético debido a las pérdidas por
rozamiento, como a la amortización de la conducción. En el apartado 4.6 se
analizará con detalle este caso.
2)
Supongamos ahora que la conducción forma parte de un conjunto de tuberías
en serie que alimentan unos consumos puntuales o distribuidos a lo largo de su
recorrido, o bien, que pertenece a una red ramificada. En ambos casos, el caudal
que atraviesa cada una de las conducciones puede ser determinado como la suma
de los consumos situados aguas abajo de las mismas. En otras ocasiones, el caudal
de diseño vendrá determinado por criterios probabilísticos (redes de riego a la
demanda, redes de incendio, etc.)
De nuevo es posible recurrir a criterios funcionales para zanjar la
indeterminación que surge en el dimensionado de cada línea, tales como fijar una
velocidad óptima de circulación (criterio de Mougnie, por ejemplo) o especificar
un valor de la pérdida de carga para garantizar unas presiones de servicio mínimas.
Sin embargo, el problema puede ser resuelto satisfactoriamente mediante la
aplicación de criterios económicos. El dimensionado económico de sistemas de
tuberías en serie será el objeto del apartado 4.7, mientras que en el 4.8 se
abordarán los sistemas ramificados.
3)
Finalmente, si la tubería forma parte de una red mallada compleja, la
determinación del caudal que la atraviesa no puede realizarse de forma directa a
partir de la especificación de los consumos; a cambio, intervienen nuevas
ecuaciones de ligadura, conocidas como Leyes de Kirchoff, que ya han sido
presentadas en el capítulo anterior. La primera de ellas establece la ecuación de
continuidad en todos los nudos del sistema, mientras que la segunda responde al
principio de conservación de la energía en las mallas de la red. Como
recordaremos, tales ecuaciones representan una ecuación adicional por cada línea.
4.24
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
De nuevo es necesario establecer una cuarta ligadura necesaria para la
determinación de los diámetros, que puede consistir en una hipótesis basada en la
estimación previa de caudales, en la acotación de las pérdidas de carga admisibles
ó bien, simplemente en fijar de forma directa los diámetros en base a la propia
experiencia. No obstante, hay que reiterar de nuevo la conveniencia de utilizar
criterios económicos como la solución más racional al problema planteado.
El dimensionado económico de las redes malladas queda fuera del alcance de la
presente Tesis, si bien algunos criterios prácticos han sido elaborados en la Introducción.
La complejidad del diseño de redes malladas constituye el último escalón del problema,
y como ya se ha comentado, a menudo los criterios puramente económicos no suelen
ser suficientes. Entendemos que este problema por sí solo sería objeto de una nueva
Tesis a desarrollar como continuación de la presente.
4.5.3.- Formulación matemática.
Como se ha justificado en el apartado anterior, el condicionante económico
constituye el recurso más indicado para resolver la indeterminación creada en los
problemas de diseño, cuando los requerimientos funcionales no son suficientes por sí
mismos para definir una única solución.
A continuación vamos a presentar una formulación general del problema de diseño
económico, que engloba todos los casos antes referidos y que contempla asimismo la
mayoría de las situaciones planteadas en la Introducción.
Matemáticamente, el problema de diseño de una red puede ser formulado en los
siguientes términos (Lansey [17,18]):
 
f(H
,D )
Minimizar coste:
sujeto a: a) Ecuaciones de continuidad:
b) Conservación de la energía:
}
 
G(H
,D)=0
c) Limites de altura:



H
máx≥H≥Hmin
d) Restricciones de diseño:



j(D
)máx≥j(D
)≥j(D
)min
e) Restricciones generales:
 
 
 
w(H
,D)máx≥w(H
,D)≥w(H
,D)min
4.25
4. Dimensionado económico de redes ramificadas

donde H
representa un vector compuesto por las alturas piezométricas en los nudos de

la red (H1, H2,..., HN) y D
es un vector (D1, D2,..., DM) cuyos elementos son las variables
de decisión que intervienen en el diseño, correspondientes normalmente a dimensiones
de los elementos del sistema, como el diámetro de las tuberías, la potencia de las
estaciones de bombeo, volumen y altura de los depósitos, etc. En la función objetivo
 
f(H
,D) deben intervenir las dimensiones de todos los elementos de la red.
Las restricciones funcionales a que está sometido el modelo son de dos tipos: en
primer lugar encontramos las leyes físicas que gobiernan el comportamiento del sistema,
esto es, a) ecuaciones de continuidad y b) conservación de la energía, que pueden ser
 
expresadas como ecuaciones del tipo G(H
,D)=0.
Las desigualdades c), d) y e) expresan condiciones de funcionamiento impuestas
por el proyectista. Las condiciones c) expresan los límites superior e inferior de la altura
piezométrica en los nudos del sistema. El límite inferior Hmin está determinado por las
necesidades del suministro en los nudos de consumo, aunque en términos generales se
puede hablar de un valor mínimo de la altura de presión entre 10 a 15 m.; en cuanto al
límite superior, estará determinado por la resistencia de las propias tuberías o de la
instalación alimentada desde los puntos de consumo.
Las restricciones de diseño d) expresan normalmente una acotación entre valores
extremos de los parámetros de diseño, por ejemplo, diámetros mínimos y máximos.
Finalmente, las restricciones generales de tipo e) representan límites impuestos sobre


determinadas variables dependientes de H
yD
. Las restricciones de velocidad máxima
y mínima pertenecen a esta categoría, puesto que representan la acotación de una
variable que no es un parámetro de diseño, pero sí una función de los mismos.
Esta formulación tan general admite soluciones muy concretas cuando el problema
se centra en un tipo de sistema hidráulico determinado, como vamos a ir viendo en los
siguientes apartados
4.26
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.6.- DIÁMETRO MÁS ECONÓMICO DE UNA TUBERÍA DE IMPULSIÓN Y/O
GRAVEDAD
4.6.1.- Introducción.
Cuando es necesario impulsar un caudal de agua mediante una tubería de impulsión
venciendo un desnivel dado, la altura que debe generar la bomba es igual a la diferencia
de cotas a vencer más las pérdidas de carga provocadas en la conducción. El primer
sumando depende exclusivamente de la topografía del terreno y acaso de las necesidades
de presión en el punto de desagüe. Consecuentemente, la energía necesaria para elevar
ese caudal y comunicarle si fuera necesario, una presión residual, es una energía útil,
independiente del diámetro de la tubería.
Sin embargo, el segundo sumando dependerá del diámetro adoptado, puesto que
la energía necesaria para vencer la pérdida de carga disminuye sensiblemente al
aumentar el valor del mismo. No obstante, un incremento del diámetro repercute en un
aumento del coste de la instalación. Se comprende pues que para toda tubería de
impulsión existirá una solución óptima que minimice la suma del coste de la energía
necesaria para vencer las pérdidas más la anualidad de amortización de la tubería.
Figura 4.9.- Tubería de impulsión.
Los distintos métodos que vamos a exponer difieren en la forma de evaluar los dos
4.27
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
sumandos que integran la función de costes a minimizar, aunque el planteamiento
económico es siempre el mismo, como se comprobará más adelante.
Dependiendo del modo en que intervienen los diámetros, podemos clasificar los
métodos de optimización según:
a) Formulación en diámetros continuos: En este caso se considera la aproximación
de que los diámetros de las conducciones actúan como variables continuas.
b) Formulación en diámetros discretos: Se considera únicamente la participación
de diámetros disponibles comercialmente. Se trata por tanto de un conjunto
discreto compuesto de valores estándar.
Tomando como base esta clasificación, revisaremos a continuación los métodos
más empleados hasta la fecha.
4.6.2.- Formulación en diámetros continuos. Concepto de diámetro económico.
A lo largo del tiempo, han ido apareciendo en la bibliografía abundantes trabajos
que proponen, con mayor o menor fortuna, expresiones para el cálculo del diámetro de
una conducción en función del caudal a trasegar.
Algunas de estas expresiones se fundan en el establecimiento previo de valores
"aconsejables" para la velocidad de circulación o para la pérdida de carga unitaria.
Aunque tales recomendaciones están basadas en principios empíricos y funcionales muy
válidos y resultan totalmente apropiadas en la fase de anteproyecto, no garantizan
resultados óptimos desde el punto de vista económico.
Una de las primeras expresiones de este tipo que aparecen en la bibliografía
hidráulica sobre dimensionado económico de tuberías es la de Bresse:
D
15
q
(4.23)
en la cual, el caudal q se expresa en m3/seg, resultando el diámetro D en metros.
El criterio de Bresse es obviamente muy elemental y corresponde a una velocidad
de circulación constante de 0'57 m/seg, valor que aun hoy en día, a pesar de que el
incremento del coste energético en los últimos años ha provocado un descenso de las
4.28
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
velocidades de impulsión recomendables, sigue siendo excesivamente conservador.
Otra expresión que suele utilizarse con frecuencia en redes de distribución es la
que se atribuye a Mougnie:
v max
15
D
0 05
(4.24)
donde vmax (en m/s) es la máxima velocidad admitida para el diámetro D (en m).
Si expresamos la velocidad vmax en función del caudal qmax:
4 q max
v max
π D
(4.25)
2
y transformamos la ecuación del Mougnie, obtenemos:
D
0 85 q max
D
(4.26)
0 05
Tampoco esta expresión tiene en cuenta los factores económicos que intervienen
en la determinación del diámetro, por lo que se hace necesario profundizar en su
definición.
Figura 4.10.- Diámetros obtenidos mediante las fórmulas de Bresse y Mougnie.
4.29
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
La Figura 4.10 presenta la variación del diámetro D obtenido mediante las
fórmulas de Bresse y Mougnie, en función del caudal q, así como las correspondientes
velocidades de circulación. Se observa que mientras los diámetros obtenidos mediante
la fórmula de Bresse dan lugar a un valor constante de la velocidad (0'57 m/s), los
diámetros obtenidos mediante la fórmula de Mougnie proporcionan una velocidad muy
próxima a la de Bresse para pequeños caudales, siendo ésta creciente con el caudal.
Definimos el diámetro más económico, o diámetro óptimo, como aquel que da
lugar al mínimo valor de la suma de los costes anuales correspondientes a la energía
consumida, más el valor de la anualidad por la inversión efectuada. Por tanto, la
ecuación que debe cumplir el diámetro óptimo, es:
(Costes energéticos)Dopt + (Costes de amortización)Dopt = Costes mínimos (4.25)
cuya representación en función del diámetro D, así como la de cada uno de los
sumandos, queda reflejada en la Figura 4.11.
El procedimiento general para obtener el diámetro óptimo consiste en expresar las
diferentes partidas del coste total (GT) en función del diámetro D. La anulación de la
derivada del coste anual total respecto del diámetro (∂GT/∂D = 0) nos permite despejar
el diámetro que hace mínimo el coste total anual GT.
La exactitud de la expresión resultante no depende del procedimiento empleado
sino, en cualquier caso, de los supuestos adoptados para la fijación de los costes.
Partiremos de los siguientes parámetros:
zg
hf
L
q
v
η
at
p
nh
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Desnivel geométrico de elevación (en metros).
Pérdida de carga total de la impulsión (en metros).
Longitud de la impulsión (en metros).
Caudal a elevar (en m3/seg).
Velocidad del fluido (en m/seg).
Rendimiento global del grupo motor-bomba (en tanto por uno).
Factor de amortización.
Precio medio del kW h (en ptas/kW h).
Número de horas de funcionamiento al año.
4.30
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.11.- V ariación de los costes anuales con el diámetro.
Las variables que intervienen en la relación entre el coste por metro lineal y el
diámetro de las tuberías son las siguientes:
el tipo de material y el timbraje
los accesorios y uniones
el tipo de terreno y la profundidad de las zanjas
los costes de excavación y movimientos de tierras
los trastornos en las vías públicas, autorizaciones, medidas de seguridad e
higiene, etc.
En aras de la simplicidad y sin perjuicio de la exactitud, la mayoría de los autores
proponen expresiones del siguiente tipo:
c
A1
A2 Da
(4.26)
en la cual c es el coste unitario de tubería instalada (en ptas/metro lineal), D el diámetro
(m), a un exponente que adopta valores comprendidos entre 1÷2, como ya se vio en el
apartado 4.4.4.1, mientras que A1 y A2 son parámetros de ajuste.
Puesto que el término A1 no interviene en las derivadas por ser una constante, y
además suele adoptar un valor muy pequeño, suele utilizarse una expresión del tipo:
(4.27)
c
A Da
4.31
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Esta expresión es de aplicación general y puede ser interpolada a partir de los
costes actuales del mercado en cada momento incluyendo, si es necesario, los costes
relativos al transporte, montaje, accesorios, etc.
Los coeficientes A y a de la curva de costes, se determinan a partir de las
expresiones que resultan de aplicar logaritmos en (4.27) y efectuar una regresión lineal,
de modo que:
( ln Di ) ( ln ci )
a
( ln Di )2
A
ln ci
exp
ND
( ln Di ) ( ln ci )
ND
( ln Di )2
(4.28)
ND
ln Di
a
(4.29)
ND
estando todos los sumatorios extendidos a los ND diámetros comerciales considerados.
Así pues, el sumando correspondiente a la inversión en tuberías Ctub será:
Ctub ( ptas. )
A Da L
(4.30)
y para poder expresarlo en términos de un coste anual, es necesario conocer la anualidad
de amortización calculada a partir del tipo de interés previsto para el período de vida de
la instalación.
El factor de amortización correspondiente será:
( 1 r )T r
( 1 r )T 1
at
(4.31)
siendo r el interés en tanto por uno y T el período de amortización en años. Así resulta
un valor de la anualidad:
A Da L at
Ga
(4.32)
La potencia total W absorbida por el motor que arrastra la bomba será:
W
γ q Ht
γ q zg h f
η
η
4.32
(4.33)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
donde:
W = Potencia absorbida por la bomba (vatios).
γ
= Peso específico del agua (N/m3).
Ht = Altura total de bombeo (m).
habiendo sido definidas previamente el resto de las variables.
En la expresión anterior se ha considerado que la presión residual al final de la
impulsión es nula (caso de descarga en depósito). En el caso de suponer otro valor, se
añadiría como una constante (al igual que zg) al valor de Ht, sin necesidad de modificar
el planteamiento.
En el caso de una aducción por gravedad con elevación previa a depósito, zg puede
interpretarse como la diferencia entre la altura piezométrica requerida en el punto de
entrada a la red y la cota de aspiración de la bomba, mientras que hf representaría las
pérdidas de carga en la tubería de aducción.
Para el caso del agua, γ = 1000 Kp/m3 = 9810 N/m3, y transformando (4.33) para
expresar la potencia en kilovatios se obtiene:
W ( Kw )
9 81 q zg hf
(4.34)
η
En consecuencia, el gasto energético anual será:
Ge ( ptas / año)
W ( Kw ) nh ( horas / año ) p ( ptas/Kw hora)
Ge
9 81 q zg hf
η
(4.35)
(4.36)
nh p
El coste total anual de la instalación resulta, pues:
GT
Ga
Ge
9 81 q zg hf
η
nh p
A D a L at
(4.37)
Esta última expresión no contempla otros gastos, como puede ser el coste del
equipo de bombeo y su instalación, puesto que este gasto es muy poco sensible a la
variación del diámetro. De hecho, algunos autores prescinden de él (Mendiluce y
Melzer, entre otros) y sólo algunos pocos lo contemplan (Agüera). Su no inclusión
permite obtener notables simplificaciones y aunque se cometan pequeños errores en la
solución, hay que pensar que el diámetro obtenido finalmente deberá ser normalizado
en valores comerciales.
4.33
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
La pérdida de carga en la conducción puede ser expresada utilizando la expresión
de Darcy:
hf
B L
q2
D5
;
8 f
π2 g
B
(4.38)
En realidad el coeficiente B no es constante, puesto que varía con el número de
Reynolds (y este a su vez con el diámetro) y con la rugosidad de la tubería.
En primera aproximación, podemos considerar un valor de B constante, para
posteriormente comprobar su exactitud, o bien utilizar la expresión de Hazen-Williams
en la cual, el valor del coeficiente CH es prácticamente constante, y solamente depende
del tipo de material de la tubería:
10 61
hf
C
1 85
H
L
q1 852
(4.39)
D4 87
Cualquiera de las dos expresiones resulta igualmente válida para nuestros
propósitos. En lo sucesivo utilizaremos la expresión de Darcy (4.38), con la
simplificación de que el coeficiente B se considera constante.
Así pues, sustituyendo (4.38) en (4.37) se obtiene la variación del coste total anual
de la instalación, en función del diámetro:
9 81 q zg
GT ( D )
B L
η
q2
D5
(4.40)
a
nh p
A D L at
Una vez se ha derivado GT(D) con respecto al diámetro, igualando a cero se
obtiene la siguiente expresión para el diámetro óptimo:
1
Dopt
49 05 nh p B a
η A a at
5
q
3
a 5
(4.41)
expresión en la que la altura geométrica de elevación zg no aparece, puesto que se trata
de una constante y es por tanto irrelevante en la determinación del diámetro óptimo.
Con un planteamiento distinto, Stephenson [31] propone obtener el diámetro de la
impulsión que proporciona el mínimo coste anual (inversión + energía) por unidad de
volumen trasegado. Ello equivale a minimizar el coste total anual por unidad de caudal,
4.34
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
esto es:
GT
9 81 q zg hf
η
GT
9 81 zg hf
q
η
nh p
nh p
Ga
Ga
∂
→
GT
9 81 nh p ∂ hf
η
∂q
q
∂q
Ga
q2
(4.42)
0
q
Empleando la expresión de Darcy para las pérdidas de carga hf, se tiene que:
∂ hf
2 hf
∂q
q
Ga
→ Ga
(4.43)
y sustituyendo en (4.42) se obtiene:
9 81 nh p 2 hf
q
η
q
2
2
9 81 q hf
η
nh p
(4.44)
Esta última expresión indica que el coste de la instalación por unidad de caudal (o
volumen) resultará mínimo cuando el gasto de amortización de la impulsión resulte el
doble del gasto energético empleado en vencer pérdidas de carga.
Para obtener el diámetro D* que verifica estas condiciones, se sustituye la
expresión (4.32) del gasto de amortización y la expresión de Darcy (4.38) en (4.44),
obteniéndose:
a
at A D L 2
9 81 q B L q2
η D
5
nh p → D
2 9 81 q3 B nh p
at A η
a 5
(4.45)
1
⇒ D
19 62 B nh p
η A at
a 5
3
qa
5
Comparando con la expresión del diámetro económico (4.41) se comprueba que
el diámetro económico es mayor que el proporcionado por (4.45) en un factor:
Dópt
D
5
2a
1
a 5
(4.46)
El exponente a del precio unitario de la tubería suele ser inferior a 2, y
consecuentemente, el diámetro óptimo Dopt es siempre superior al diámetro D* que hace
4.35
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
mínimo el coste por unidad de volumen servido.
El objetivo propuesto por Stephenson puede resultar adecuado si el coste total
anual de la instalación va a ser finalmente repercutido proporcionalmente al volumen
trasegado, y por supuesto, siempre que el caudal de diseño esté bien determinado, ya
que en el caso de que dicho caudal resulte superior al previsto, el coste energético
invertido en vencer pérdidas de carga puede dispararse (recordemos que dicho coste es
aproximadamente proporcional a la tercera potencia del caudal).
Volviendo al concepto de diámetro económico, objeto del presente apartado, la
fórmula más extendida en nuestro país para el dimensionado económico de tuberías de
impulsión es sin duda la propuesta en 1966 por el ingeniero español Enrique
Mendiluce [24], la cual goza posiblemente de tanta aceptación por su sencillez, facilidad
de manejo y aceptable precisión. Se basa en la hipótesis de que el coste unitario de
tubería varía de forma lineal con el diámetro, esto es, que el coeficiente a en la
expresión (4.27) adopta un valor unidad. Aunque considerando un amplio rango de
diámetros la hipótesis puede desviarse mucho de la realidad, lo cierto es que a escala
local las desviaciones no son tan importantes.
De este modo, tomando a = 1 en (4.41) se obtiene la expresión de Mendiluce:
0 167
Dopt
1 913
nh p B
η A at
q0 5
(4.47)
que guarda cierto parecido con la de Bresse (4.21) sólo que el coeficiente que multiplica
a q0'5, ya no es una constante sino una función de los parámetros de partida.
Conocido el caudal q, y el diámetro óptimo (4.47), podemos expresar la velocidad
óptima de circulación:
vopt
0 348
η A at
1
3
(4.48)
nh p B
expresión que pone de manifiesto las siguientes circunstancias:
La altura de elevación zg así como la longitud del trayecto, no tienen influencia
alguna en el cálculo del diámetro óptimo.
4.36
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
El aumento del coste de la tubería (parámetro A), del valor de la anualidad at
y del rendimiento del grupo η, conducen a velocidades de circulación mayores.
El incremento del número de horas de bombeo al año nh, el coste de la energía
p y el coeficiente de pérdidas B, implican una menor velocidad de circulación.
Estas conclusiones invalidan en cierta forma el criterio tradicional que aconseja
dimensionar la tubería en base a un valor recomendable de la velocidad de circulación.
En cualquier caso puede decirse que dicho valor recomendable es función de la relación
entre parámetros de coste de la tubería y del bombeo.
En un trabajo anterior (1964), Melzer [23] estima que el coste unitario de tubería
es proporcional, no ya a su diámetro sino a su peso. En tal caso y suponiendo que el
espesor de la tubería es bastante menor que su diámetro, ello equivale en la práctica a
considerar el coste unitario proporcional al cuadrado del diámetro:
(4.49)
c A D2
Con esta hipótesis, la expresión de Melzer puede derivarse a partir de la expresión
general de Dopt (4.41) tomando a = 2, de modo que se obtiene:
0 143
Dopt
1 579
nh p B
η A at
q0 43
(4.50)
expresión similar a la de Mendiluce, en la que sólo cambian los exponentes y las
constantes numéricas. La expresión de Melzer se recomienda en el caso de utilizar
tuberías de fundición.
En su estudio, Melzer supone que el precio de la tubería varía con el cuadrado del
diámetro y en consecuencia, esta misma ley se ha supuesto al resto de los costes de la
instalación (excavación, transporte, montaje, etc). Sin embargo, la experiencia muestra
que el coste de instalación de la tubería varía de forma aproximadamente lineal con su
diámetro, lo que conduce a la adopción de exponentes intermedios entre los de Melzer
y Mendiluce. Así ocurre con la fórmula de Vibert, basada en la hipótesis de que
c = A D1'5 y cuya expresión es la siguiente:
0 154
Dopt
1 710
nh p B
η A at
4.37
q0 46
(4.51)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
En una publicación de 1987, Agüera [1] analiza exhaustivamente todas las partidas
que intervienen en la evaluación del coste total del sistema, incluyendo además el coste
del equipo de bombeo y su instalación.
En dicho trabajo, Agüera concluye una fórmula para el diámetro económico
incluyendo el coste de inversión en la estación de bombeo y empleando la fórmula de
pérdidas de carga de Hazen-Williams, resultando:
Dopt
K q0 448
(4.52)
En una publicación posterior, de 1992 [2], el mismo autor plantea de nuevo el
problema considerando la fórmula de pérdidas de carga de Darcy.
Las conclusiones fundamentales de ambos trabajos son las siguientes: para la
estimación del coste unitario de la tubería, Agüera propone, al igual que Vibert, una
expresión del tipo:
c
A D1 5
(4.53)
y en cuanto a los costes que intervienen, considera que la inversión necesaria se
compone de dos sumandos, uno de ellos (Ctub) correspondiente a la tubería:
Ctub
A D1 5 L
(4.54)
y otro correspondiente al coste de la estación de bombeo Ceb, que se estima proporcional
a la potencia W de la misma:
Ceb
α W
(4.55)
en la cual W es la potencia del grupo motor-bomba, y α es el coeficiente de ajuste, en
ptas/kW instalado. En cuanto al coste energético anual, este se ajusta a la
expresión (4.36).
En lugar de amortizar anualmente las inversiones, Agüera propone la actualización
de las anualidades correspondientes al coste energético al inicio del proyecto, por medio
del factor de actualización (inverso del factor de amortización), considerando unidades
monetarias constantes, esto es, con la intervención de tasa de interés efectiva, una vez
descontado el efecto de la inflación.
4.38
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Con todas las consideraciones citadas, la expresión propuesta por Agüera resulta:
Dopt
1 710
Bα
η A
0 154
nh p B
η A at
q0 462
(4.56)
resultando muy similar a la de Vibert.
Aunque la fórmula propuesta por Agüera es la más completa de las expuestas hasta
el momento, hay que efectuar una serie de precisiones al respecto:
a)
Las funciones de coste de la estación elevadora y de la tubería poseen una
tendencia marcada a priori, lineal con la potencia en el primer caso y con un
exponente a = 1'5 en el segundo, restando generalidad al planteamiento.
b)
Al intervenir el coste de la estación elevadora, Agüera considera que la potencia
instalada es exactamente la misma que la potencia promedio consumida, cuando
realmente, la potencia instalada suele ser mayor que este valor.
c)
El hecho de amortizar la inversión en anualidades constantes o bien, actualizar el
coste de la energía tal y como hace Agüera, es indiferente siempre que no
intervenga el coste de la estación elevadora. Sin embargo, cuando se considera este
apartado en la inversión, sería necesario estimar el factor de amortización propio
de la estación elevadora, puesto que su vida útil no coincidirá con el de la tubería
de impulsión.
En todo el planteamiento expuesto se ha considerado que el caudal es conocido e
invariable con el tiempo. Solamente en raras ocasiones se dará ésta circunstancia,
excepto en aquellas instalaciones de bombeo que por las características del pozo y del
depósito de regulación permitan operar a régimen constante.
En las traídas de agua a poblaciones con inyección directa, por ejemplo, tenemos
un caso muy representativo de suministros variables, o también en aquellas impulsiones
que operan a diferentes regímenes con el fin de beneficiarse de la discriminación horaria
de las tarifas eléctricas.
A continuación se va a considerar la intervención de varios estados de carga, con
la siguiente nomenclatura:
4.39
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
ql =
nhl =
pl =
ηl =
caudal bombeado en el estado de carga l.
número de horas/año de funcionamiento en el estado de carga l.
precio promedio de la energía (ptas/kW h) en el período horario
correspondiente al estado de carga l.
rendimiento del grupo motor-bomba para el caudal ql.
Si se considera una variación del coste unitario de tubería de tipo potencial
ajustado a la expresión (4.27) y se adopta la fórmula de pérdidas de Darcy (4.38),
siguiendo el razonamiento anteriormente expuesto se puede concluir la siguiente
expresión general del diámetro económico contemplando distintos estados de carga:
Dopt
49 05 B
A a at
EC
l 1
q
l 3
1
5 a
nhl p l
ηl
(4.57)
la cual constituye una generalización de la (4.41), estando el sumatorio está extendido
a los EC estados de carga contemplados.
Como resumen de este estudio en torno a las expresiones del diámetro económico
más importantes, entendemos que cualquiera de ellas proporciona resultados aceptables
y pueden ser utilizadas indistintamente, puesto que la incertidumbre en los datos
manejados supera posiblemente a la discrepancia de diámetros obtenidos con cada una
de ellas, y además no debe olvidarse que el diámetro teórico obtenido mediante estas
expresiones debe ser normalizado posteriormente para considerar diámetros comerciales.
4.6.3.- Formulación en diámetros discretos. Curva característica de un tramo.
Las fórmulas expuestas en el apartado anterior se fundamentan en considerar el
diámetro como una variable de tipo continuo. En la realidad esto nunca es así, puesto
que los diámetros disponibles configuran una serie de valores discretos que se ajustan
a los tamaños estándar que proporcionan los fabricantes de tuberías.
Esta característica de discontinuidad hace necesario complementar las
formulaciones en diámetros continuos con algún procedimiento que permita "normalizar"
los diámetros teóricos obtenidos.
4.40
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
La forma más sencilla consiste en sustituir el diámetro teórico obtenido por el
diámetro normalizado más cercano en tamaño, bien sea el inmediato superior
(supranormalización) o el inmediato inferior (infranormalización); en el primer caso se
obtendría una pérdida de carga inferior a la teórica y en el segundo, superior.
En general, la decisión de adoptar un determinado diámetro está asociada con la
pérdida de carga que produce dicho diámetro para unas condiciones hidráulicas dadas.
En consecuencia, el modo más sencillo de normalizar el diámetro consiste en
sustituirlo por dos tramos de diámetros diferentes D1 y D2 (D1 ≤ D ≤ D2), cuyas
longitudes denominaremos L1 y L2, de forma que la pérdida de carga producida por
ambos tramos sea igual a la que proporciona el diámetro teórico para las mismas
condiciones hidráulicas.
Utilizando la expresión de pérdidas de Darcy y supuesto el mismo factor de
fricción para los diámetros D, D1 y D2, la longitud de cada uno de los tramos será:
(a)
L1
L2
5
D2
D1
(b) L1
L
D5
5
L2
L1
L
D
5
D2
5
D1
5
D2
5
→
(4.58)
L2
L
L
L1
L
D1
5
D5
D1
5
D2
5
siendo L la longitud total de la tubería y D el diámetro teórico.
Si consideramos valores diferentes del factor de fricción f para el diámetro
teórico D, f1 para D1 y f2 para D2 resultará:
L1
L
fD
5
f1 D 1
5
f2 D2
5
f2 D2
5
; L2
L
L1
L
f1 D 1
5
f1 D 1
5
fD
5
f2 D2
5
(4.59)
Una cuestión adicional es cuál debe ser la pareja de diámetros normalizados D1 y
D2 que proporcione el mínimo coste para una pérdida de carga fija. Puede comprobarse
que con la estructura de precios de las tuberías, la combinación más económica está
formada por dos diámetros adyacentes entre cuyos valores está comprendido el diámetro
teórico (Fujiwara y Dey [13]). Sin embargo, no debe confundirse este problema con el
4.41
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
que aquí se ha planteado, puesto que las pérdidas de carga en la tubería no constituyen
un dato del problema, ni en el caso de una impulsión ni en el de una aducción con
altura de cabecera variable.
Figura 4.12.- Partición de una tubería en dos tramos de diámetro normalizado.
Otro posible planteamiento aplicado al dimensionado de tuberías de impulsión y
gravedad con diámetros discretos es el formulado por Cabrera y Martínez [7] en 1978,
basado en la evaluación de los gastos reales para un rango de diámetros normalizados
dentro del cual se supone que se encuentra el óptimo. Al realizar un cómputo de los
costes reales, no es necesario realizar hipótesis alguna sobre la función de costes de la
tubería que, como se ha visto, es el punto clave del problema.
Uno de los métodos más conocidos de entre los que utilizan diámetros discretos,
es el método discontinuo de Labye. Se fundamenta en el trazado de lo que se conoce
como curva característica de un tramo, que es una representación gráfica del coste de
una tubería en función de la pérdida de carga que produce (para un caudal q dado) y de
los diámetros comerciales considerados.
El caso más sencillo se plantea con una única conducción con longitud conocida
y que trasiega un caudal asimismo conocido. Se suponen cuatro posibles diámetros
comerciales D1<D2<D3<D4, que han sido seleccionados de entre toda la gama de
fabricación, por ejemplo, como consecuencia de las limitaciones de velocidad máxima
y mínima.
Si toda la conducción es de diámetro D4, se presentará una pérdida de carga hf,4,
4.42
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
y el coste de la conducción será C4. Esta situación está representada por el punto D de
la Figura 4.13.
Empleando el diámetro comercial inmediato inferior D3 se obtiene la situación
representada por el punto C de la gráfica, con una pérdida de carga hf,3 y un coste de
la conducción C3. Actuando de esta forma se obtendrán sucesivamente los pares de
valores correspondientes a D2 (punto B) y D1 (punto A).
La línea ABCD definida por dichos puntos se denomina curva característica del
tramo de tubería y está formada por una serie de segmentos de recta que unen los pares
de vértices contiguos. La pendiente de los segmentos toma un valor (Ci+1-Ci)/(hf,i+1-hf,i)
negativo y decreciente en valor absoluto según aumenta el diámetro. Dividiendo ambas
coordenadas por la longitud de la conducción se obtiene una curva totalmente semejante
a la curva característica, representando en abcisas la pérdida de carga unitaria o
pendiente hidráulica j, y en ordenadas el coste unitario de la tubería c. De esta forma,
la pendiente de los segmentos trazados será (ci+1-ci)/(ji+1-ji) = (Ci+1-Ci)/(hf,i+1-hf,i).
Figura 4.13.- Curva característica de un tramo.
El significado físico de un punto M de la curva característica comprendido, por
ejemplo, entre los puntos B y C (Fig. 4.14), correspondería a una conducción compuesta
por los diámetros D2 y D3 cuyas longitudes respectivas serán:
4.43
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
L2
L
MC
;
BC
L3
L
BM
(4.60)
BC
En consecuencia, el coste y la pérdida de carga correspondientes a la configuración
física del punto M responden a:
C
C2
MC
BC
C3
BM
BC
; hf
hf,2
MC
BC
hf,3
BM
(4.61)
BC
Aunque la curva así definida no es diferenciable en los vértices, se puede
comprobar que se ajusta a la definición de una función convexa. La propiedad de
convexidad de la curva característica de un tramo es consecuencia de los precios de
mercado de las tuberías, y para su comprensión es necesario interpretar el significado
de la gráfica.
Figura 4.14.- Curva característica. Pérdida de carga admisible.
Tomando como referencia la curva característica de la Figura 4.13, supongamos
que la pérdida de carga admisible en la conducción es hf,m, de forma que hf,2>hf,m>hf,3.
Todos los puntos contenidos en el segmento vertical MN de la Figura 4.14
representan combinaciones de los diámetros permitidos (D1,..., D4) que hacen posible
obtener la pérdida de carga admisible hf,m; algunas de ellas requieren la intervención de
dos diámetros, tales como el punto N (combinación de D1 y D4) o el punto M
4.44
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
(combinación de D2 y D3) y el resto requiere combinar tres (punto O) e incluso los
cuatro diámetros disponibles (punto P).
Como puede observarse, la solución que proporciona la pérdida de carga
establecida y con el mínimo coste está representada por el punto M, consistente en una
combinación de los diámetros D2 y D3, y que verifica las relaciones establecidas en
(4.60) y (4.61).
Si la curva característica fuese cóncava en lugar de convexa, sucedería que para
una determinada pérdida de carga, la combinación de diámetros más económica estaría
compuesta por los dos diámetros admisibles extremos D1 y D4. Si así ocurriese, toda la
gama de diámetros intermedios de una serie de diámetros posibles quedaría desechada
en favor de la utilización de los diámetros admisibles máximo y mínimo, no siendo por
consiguiente competitiva en el mercado.
El método expuesto permite el dimensionado más económico de una tubería de
traída cuando se conoce la pérdida de carga disponible entre sus extremos. Sin embargo,
también puede aplicarse al caso de impulsiones y tuberías de gravedad con altura
variable, incorporando los costes energéticos. El procedimiento consistiría
esquemáticamente en:
1º)
Trazar la curva característica del tramo, representando para cada diámetro en
lugar del coste C de la tubería, el coste anual amortizado C at de la misma,
en función de la pérdida de carga provocada para el caudal de diseño y
uniendo por segmentos los puntos consecutivos correspondientes (Curva C1
de la Figura 4.15).
2º) Conociendo los parámetros de bombeo (caudal, rendimiento, número de horas
anuales y precio del kW h), representar sobre la misma gráfica la curva de
costes energéticos uniendo los puntos consecutivos correspondientes a cada
diámetro (curva C2 de la Figura 4.15). La curva de costes energéticos así
representada será lineal en hf ya que:
Ge
9 81 q nh p
η
4.45
zg
hf
(4.62)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.15.- Curvas característica, de costes energéticos y costes totales.
3º) Obtener la curva del coste total anual de la instalación, sumando las dos curvas
anteriores (Curva C3). De esta forma, el diámetro óptimo corresponderá al
punto más bajo de la curva de costes totales anuales y la altura de bombeo
necesaria se determinará sumando el desnivel geométrico (zg) a la pérdida de
carga correspondiente a dicho punto (hf(Dopt)).
Obsérvese que en el caso representado, la solución óptima es única, y corresponde
a una tubería de diámetro único.
Un caso atípico que puede surgir consiste en que la pendiente de las curvas C1
(coste anual de amortización) y C2 (coste energético) sean iguales en valor absoluto. En
tal caso existirían infinitas soluciones representadas por un segmento horizontal en la
curva C3 de costes totales (ver Figura 4.16).
Como una solución válida al problema con infinitas soluciones puede adoptarse
cualquiera de los diámetros correspondientes a los extremos del segmento horizontal
(diámetros Di o Di+1) o bien una combinación de ambos. No obstante, y considerando
que los gastos que no han intervenido en el cálculo serán normalmente crecientes con
la altura de bombeo, parece aconsejable hacer uso de la solución que proporciona un
menor valor de la pérdida de carga (diámetro mayor Di+1).
4.46
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
El método discontinuo de Labye aplicado al dimensionado económico de tuberías
de impulsión y gravedad con altura de cabecera variable nos permite concluir que, en
general, la solución óptima deberá contar con un diámetro único, y en consecuencia, el
proceso de normalización subsiguiente a cualquier método de optimización en diámetros
continuos deberá consistir no ya en la partición de la tubería en dos tramos de diferente
diámetro, sino en comprobar cuál de los dos diámetros, inmediato inferior o inmediato
superior al teórico obtenido, proporciona un resultado más económico.
Figura 4.16.- Problema con infinitas soluciones óptimas.
4.6.4.- Ejemplo de dimensionado económico de una tubería de impulsión.
Como aplicación de los distintos métodos vistos hasta ahora y a fin de contrastar
los resultados que se obtienen mediante su aplicación, vamos a resolver un ejemplo
práctico de dimensionado económico de una tubería de impulsión.
El objetivo es determinar el diámetro óptimo de una impulsión que debe vencer
un desnivel geométrico zg = 50 m. con una longitud de la conducción L = 2500 m. Se
supone que la descarga se efectúa con una presión residual nula. El caudal a elevar es
constante e igual 55 litros/segundo. Todas las pérdidas menores de la instalación,
debidas a válvulas, codos, etc, se consideran englobadas en un coeficiente adimensional
de pérdidas K = 30. Se prevé el funcionamiento de la instalación a lo largo de
nh = 5000 h/año. El rendimiento del grupo elevador, del 60 % (η = 0'60); la viscosidad
4.47
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
cinemática del agua a 18ºC, ν = 1'1
p = 12 ptas/kW h.
10-6 m2/seg. y el precio medio del kW
h,
La tubería a instalar será de fibrocemento, cuya rugosidad absoluta es de
0,025 mm., y se instalará enterrada en una zanja, cuyas dimensiones muestra la Figura
4.17, estando la generatriz superior de la tubería a una profundidad Pf = 1'20 m. La
anchura de la zanja en la base será D + 0'6 m., y considerando un talud t = 0'2, la
anchura de la zanja a nivel del suelo será D + 0'6 + 2 t (Pf+D) m. La profundidad total
de la zanja deberá ser D + Pf m.
Para la realización de la zanja se considera la intervención de cuatro costes,
correspondientes a la excavación, relleno, transporte de sobrante a vertedero y reposición
del firme, cuyos costes unitarios son:
Excavación
pexc =
1.600 ptas/m3
Relleno
prell =
560 ptas/m3
Transporte a vertedero
ptsv =
240 ptas/m3
Reposición firme
prep =
960 ptas/m2
Con la geometría de zanja de la Figura 4.17 y considerando que el volumen
sobrante posee un factor de esponjamiento de 1'3, los volúmenes de excavación, relleno,
sobrante y la superficie de reposición, expresados todos ellos por metro lineal de tubería
y en función del diámetro, resultan:
Volumen de excavación (m3/m) : Vexc
Volumen de relleno (m3/m) : Vrell
Volumen sobrante (m3/m) : Vsob
[D
Superficie de reposición (m2/m) : Srep
t (D Pf) ] [ D Pf ]
π D2
4
Vexc
13
06
(4.63)
(4.64)
π D2
4
2 t (D Pf)
06
D
(4.66)
La altura de presión de servicio a la salida del grupo será de 50 m. más la
correspondiente pérdida de carga, mientras que en el otro extremo de la tubería será
cero. En consecuencia, la presión de servicio media en toda la tubería es de 2'5 atm.,
aproximadamente.
4.48
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.17.- Sección de la zanja empleada.
Si suponemos una sobrepresión media debida al golpe de ariete de otras 2'5 atm.,
lo que podría justificarse de inmediato, resulta que la tubería, por término medio, debe
soportar 5 atm. con lo que podemos estimar en primera aproximación un timbraje medio
para toda la tubería de clase B (50 m.) según la norma MOPU.
Una vez definido el diámetro óptimo, se dimensionará la tubería con toda exactitud
calculando el golpe de ariete. Normalmente no será necesario un cálculo más exacto del
diámetro a partir de los nuevos timbrajes.
Conocido ya el tipo de tubería, se escoge un intervalo de diámetros que
supuestamente incluirá al diámetro óptimo; por seguir un determinado criterio,
seleccionamos aquellos diámetros que proporcionen velocidades de circulación
comprendidas entre 0'5 y 2 m/s. En la siguiente tabla se incluyen los diámetros
seleccionados, la velocidad que proporcionan, y su coste unitario mayorado en un 25 %
para incluir el transporte, montaje y colocación.
Diámetro (mm)
200
250
300
350
Velocidad (m/s)
1'75
1'12
0'78
0'57
5.200
7.230
10.000
12.330
Coste unitario (ptas/m.)
Tabla 4.1.- Relación de diámetros considerados.
4.49
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Con todos estos datos y con ayuda de las expresiones correspondientes al
movimiento de tierras (4.63-4.66) es posible establecer el coste total por metro de
tubería instalada y enterrada para cada uno de los posibles diámetros, tal y como resume
la siguiente tabla.
Diámetro
200 mm.
250 mm.
300 mm.
350 mm.
Excavación
Relleno zanja
Transporte sobrante a
vertedero
Reposición de firme
2.420
830
24
1.306
2.644
898
36
1.372
2.880
968
54
1.440
3.124
1.040
70
1.508
SUMAS PARCIALES
MOVIMIENTOS TIERRAS
4.580
4.950
5.340
5.742
COSTE TUBERÍA MONTADA
5.200
7.230
10.000
12.330
TOTAL
9.780
12.180
15.340
18.072
Tabla 4.2.- Coste unitario de la tubería montada y enterrada (ptas/metro lineal).
Supuesto un interés del 11 % y 30 años de vida de las instalaciones, el factor de
amortización at valdrá:
(1 r)T r
(1 r)T 1
at
1 1130 0 11
1 1130 1
0 115
(4.67)
Para el cálculo de la pérdida de carga producida por cada uno de los diámetros
utilizando la expresión de Darcy, se puede obtener el valor del factor de fricción
mediante el ábaco de Moody o mediante la fórmula de Colebrook, a partir de los valores
del número de Reynolds y la rugosidad relativa:
Re
v D
ν
4 q
π ν D
εr
ε
D
4 0 055
π 1 1.10 6 D
0 025 10
D
63662
D
(4.68)
3
El factor de pérdidas global de la instalación B, se calcula teniendo en cuenta las
pérdidas menores, de modo que:
hf
f
L
8
K
q2
2
4
D
π g D
4.50
B L
q2
D5
(4.69)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
y despejando resulta:
B
8
π g
2
f
D K
L
8 26 10 3 f
(4.70)
0 012 D
Como resultado de todas estas consideraciones, la siguiente tabla muestra los
valores del factor de fricción, coeficiente equivalente de pérdidas B y pérdida de carga
hf para cada uno de los diámetros.
f
B (m2/s2)
200
0'0155
1'479
10-3
34'95
250
0'0158
1'553
10-3
12'03
300
0'0161
1'628
10-3
5'07
350
0'0165
1'710
10-3
2'46
Diámetro (mm.)
hf (m.)
Tabla 4.3.- Pérdidas de carga asociadas a los diámetros considerados.
Por otra parte, el gasto energético anual responde a la expresión:
Ge
Ge
9 81 q zg hf
η
53.955
50 hf
nh p
9 81 0 055 5000 12
50 hf
0 60
2.697.750
53.955 hf (ptas/año)
(4.71)
Con todos los coste calculados, establecemos la curva característica de la tubería
(en gastos de amortización), la curva de coste energético y la curva de gasto total:
Pérdida hf (m.) Diámetro (mm.)
Ga (ptas/año)
Ge (ptas/año)
GT (ptas/año)
2'46
350
5.195.700
2.830.479
8.026.179
5'07
300
4.410.250
2.971.302
7.381.552
12'03
250
3.501.750
3.346.829
6.848.579
34'95
200
2.811.750
4.583.477
7.395.227
Tabla 4.4.- Relación de costes en función del diámetro adoptado.
4.51
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
El diámetro D = 250 mm. es el que proporciona el mínimo gasto total anual, que
asciende a 6.848.579 ptas/año. La Figura 4.18 representa las curvas característica, de
coste energético y de coste total de la conducción.
Figura 4.18.- Comparación de costes en los diámetros propuestos.
A continuación comprobaremos los resultados que se obtendrían a partir de las
fórmulas del diámetro económico tratadas en 4.6.2. En primer lugar será necesario
proceder a la interpolación de la función de costes unitarios de la tubería completamente
instalada. A partir de los valores contenidos en la Tabla 4.2 podemos aproximar las
diferentes funciones de coste como:
Interpolación general :
c (ptas/m.)
57.951 7 D ( m. ) 1 111
Mendiluce :
c (ptas/m.)
50.096 9 D ( m. )
Melzer :
c (ptas/m.)
189.337 7 D ( m. ) 2
Vibert :
c (ptas/m.)
96.854 5 D ( m. ) 1 5
(4.72)
La representación gráfica de los costes resultantes de cada una de las
interpolaciones de la Figura 4.19 muestra claramente que las más ajustadas a los costes
reales son la interpolación general y la de Mendiluce (exponentes próximos a la unidad).
4.52
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.19.- Comparación de las diferentes funciones de coste interpoladas.
Para el coeficiente de pérdidas B se adoptará el valor promedio para los cuatro
diámetros (Tabla 4.3), de modo que B (promedio) = 1'592 10-3. Con los valores
estimados de los parámetros de la función de costes y del coeficiente de pérdidas se
obtiene:
Fórmula general (4.41): A = 57.951'7 ; a = 1'111 ; B = 1'592
Dopt
49 05 nh p B
η A a at
1
a 5
10-3.
3
qa
5
(4.73)
0 243 m.
10-3.
Fórmula de Mendiluce (4.47): A = 50.096'9 ; a = 1'0 ; B = 1'592
0 167
Dopt
1 913
nh p B
η A at
q0 5
0 246 m.
Fórmula de Melzer (4.50): A = 189.337'7 ; a = 2'0 ; B = 1'592
(4.74)
10-3.
0 143
Dopt
1 579
nh p B
η A at
4.53
q0 43
0 225 m.
(4.75)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Fórmula de Vibert (4.51): A = 96.854'5 ; a = 1'5 ; B = 1'592
10-3.
0 154
Dopt
1 710
nh p B
η A at
q0 46
0 234 m.
(4.76)
Obsérvese que todos los diámetros obtenidos con las expresiones anteriores
resultan muy cercanos al diámetro normalizado óptimo, aunque la fórmula general y la
de Mendiluce son las que más se ajustan en este caso al resultado óptimo.
En último lugar hay que subrayar que la solución óptima obtenida con diámetro
normalizado (Dopt = 250 mm.) no se ajusta de forma precisa al criterio de Stephenson
citado en 4.6.2 para que el coste por unidad de caudal sea mínimo. En este caso, el
diámetro normalizado que mejor se ajustaría a dicho criterio sería D* = 200 mm, puesto
que el gasto de amortización representa 2.811.750 ptas/año, mientras que el gasto
energético invertido en pérdidas de carga es de 1.885.727 ptas/año. El diámetro teórico
que verificaría el criterio de Stephenson de que el gasto de amortización debe de ser el
doble del gasto energético invertido en vencer pérdidas de carga, se encontrará
ligeramente por encima del valor D = 200 mm. Considerando la solución óptima con
diámetro teórico obtenida mediante la interpolación general en (4.73), el diámetro que
minimiza el coste anual por unidad de caudal o volumen resultará:
D
Dopt
D
2a
5
1
a 5
Dopt 0 876
2 1 111
5
1
6 111
0 243 0 876
4.54
0 876 →
0 212 m.
(4.77)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.7.- DIMENSIONADO ECONÓMICO DE SISTEMAS DE TUBERÍAS EN SERIE.
4.7.1.- Introducción.
El caso que se presenta a continuación consiste en el dimensionado económico de
un sistema de n tuberías dispuestas en serie, sin ramificaciones ni mallas.
Conceptualmente resulta muy similar al caso que se ha estudiado en el apartado anterior,
referente a tuberías de aducción y de impulsión, aunque ahora el problema consiste en
dimensionar n tuberías en serie, para obtener una altura fijada en el nudo extremo aguas
abajo; en el caso de existir un aporte de energía, también será necesario determinar la
altura de bombeo, guardando paralelismo con el problema planteado para las aducciones
en el apartado anterior.
La Figura 4.20 representa un sistema compuesto por una serie de n tuberías,
alimentado desde un depósito cuyo nivel se considera fijo en principio. El problema que
se plantea es dimensionar las tuberías de la serie para que en el nudo extremo n situado
aguas abajo exista una presión residual mayor o igual a un valor mínimo.
Figura 4.20.- Serie de tuberías alimentada desde un depósito de nivel fijo.
Se consideran datos del problema las longitudes L1,..., Ln de las tuberías, así como
los caudales circulantes por las mismas q1,...,qn. Estos caudales pueden haber sido
4.55
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
calculados por acumulación de los consumos Qi producidos en los nudos aguas abajo
de la línea en cuestión, o mediante cualquier otro procedimiento.
Por fijar criterios, adoptaremos una numeración correlativa de los nudos y líneas
del sistema, creciente en el sentido aguas abajo, de forma que el nudo 0 corresponde al
nudo de cabecera, y el nudo n al extremo aguas abajo de la serie. Siguiendo el criterio
de numeración habitual en redes de tipo ramificado, como se expuso en el Capítulo 3,
la línea i será aquella cuyo extremo aguas abajo es el nudo i.
Denominaremos H0 a la altura piezométrica en el nudo de cabecera y Hn al valor
mínimo de la altura piezométrica en el último nudo de la serie. Ambos valores son, en
principio, datos del problema y la diferencia entre ellos expresa la máxima pérdida de
carga ∆H admisible en la serie de tuberías:
∆H
H0
Hn
(4.78)
En el problema representado en la Figura 4.20 sólo se considerará la intervención
del coste de las tuberías (inversión). Si el sistema está alimentado mediante una estación
de bombeo en lugar de utilizar un depósito (Figura 4.21), además de la amortización
anual de las tuberías, se considerará la intervención de los costes energéticos anuales.
Solamente tendremos en cuenta estos dos tipos de costes por tratarse de los más
importantes, aunque no resultaría demasiado complejo el complementar los métodos que
se van a exponer incluyendo otros tipos de costes.
Figura 4.21.- Serie de tuberías alimentada desde una estación de bombeo.
4.56
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.7.2.- Formulación en diámetros continuos. Método de la serie económica.
4.7.2.1.-
A plicación a una serie de tuberías alimentada con altura de cabecera
conocida.
El método que se presenta a continuación, conocido como método de la serie
económica (Munizaga [25]) está basado en la consideración de que el diámetro de las
tuberías es una variable de tipo continuo. Muchos otros autores han desarrollado
anteriormente formulaciones similares, como por ejemplo el método continuo de Labye
y Lechapt (1961), o las fórmulas de Mannes y Maury (citadas por el propio Munizaga).
El sistema sobre el cual se aplica el método está compuesto por un conjunto de
tuberías conectadas en serie, en el cual se impone como única restricción la caída de
presión entre sus extremos, tal y como representa la Figura 4.20. Como cualquier
formulación en diámetros continuos, el método requiere una normalización de los
diámetros posterior al proceso de optimización propiamente dicho.
Puesto que se consideran los diámetros como variables continuas, es necesario
establecer una relación de tipo continuo entre el diámetro de la tubería y su coste
unitario, como por ejemplo una expresión del tipo (4.27), ci = A Dai.
Definiremos el coeficiente de rozamiento unitario ri de la tubería i como:
ri
h f,i
Li q
2
i
(m3 s 1)
2
(4.79)
Con esta definición, utilizando cualquier expresión de la pérdida de carga cuyo
exponente de caudal sea 2, el coeficiente de rozamiento unitario adopta la forma:
ri
Bi D i
(4.80)
b
en la cual Di representa el diámetro de la tubería, y Bi un coeficiente que dependerá de
la fórmula de pérdidas adoptada y de los parámetros hidráulicos de la conducción; en
particular, si empleamos la fórmula de Darcy tendremos que:
Bi
8 fi
π2 g
;
4.57
b
5
(4.81)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
siendo fi el factor de fricción correspondiente a la tubería i para el caudal de diseño qi
especificado, el diámetro Di y las características del material de tubería adoptado.
Para simplificar el desarrollo, en principio se admitirá que el valor del factor de
fricción f es el mismo para todas las tuberías e independiente de su diámetro y del
caudal que trasiegan, lo que implica utilizar un coeficiente B constante en la expresión
(4.81), aunque como veremos posteriormente, esta aproximación no afecta a la validez
del planteamiento.
La pérdida de carga total a lo largo de la serie de tuberías ∆H viene fijada por la
diferencia entre la altura piezométrica H0 en el origen de la serie, y la altura mínima Hn
en el extremo final de la serie, de modo que:
n
∆H
H0
Hn
n
n
2
hf,i
B Di
r i Li qi
i 1
i 1
b
2
Li qi
(4.82)
i 1
mientras que el coste total de las tuberías de la serie será:
n
n
CT
n
a
c i Li
Ci
i 1
A Di Li
i 1
(4.83)
i 1
donde Ci representa el coste total de la tubería i.
Sustituyendo la expresión (4.80) en (4.27) se puede obtener la relación que existe
entre el coste unitario ci de la tubería i, y su coeficiente de rozamiento unitario ri,
resultando:
ci
A Ba /b ri
(4.84)
a /b
Haciendo uso de esta última expresión, el coste total de la serie resulta:
n
CT
A Ba /b
ri
a /b
Li
(4.85)
i 1
Supongamos que existe un conjunto de diámetros (D1...Dn), correspondiente cada
uno de ellos a una de las líneas de la serie, tales que verifican exactamente la relación
(4.82), esto es, la pérdida de carga total que producen coincide exactamente con ∆H.
4.58
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
En esta situación, supongamos que se reduce el diámetro de la tubería j con la
intención de disminuir el coste total de la serie. Esta reducción del diámetro
D'j = Dj - ∆Dj provocará un incremento de la pérdida de carga ∆h cuyo valor será:
∆h
∆ rj L j q j
siendo ∆ rj
2
rj
rj
Dj
B
Dj
Dj
b
Dj
b
(4.86)
Para restituir la altura piezométrica en el nudo extremo n será necesario aumentar
el diámetro de alguna de las tuberías de la serie. Supongamos que se incrementa el
diámetro de la tubería k de forma que D'k = Dk + ∆Dk, restituyendo de este modo la
altura piezométrica en el nudo extremo n, esto es:
∆h
∆ rk Lk qk siendo ∆ rk
2
rk
rk
Dk
B
Dk
Dk
b
Dk
b
(4.87)
La modificación de los diámetros Dj y Dk influye sobre el coste de las tuberías,
de forma que el abaratamiento conseguido en la línea j será, en valor absoluto y de
forma aproximada:
∆ Cj

∂Cj
∂rj
a
a
A B b rj
b
 ∆ rj
a b
b
∆ rj Lj
(4.88)
∆ rk L k
(4.89)
mientras que el encarecimiento de la tubería k será:
∆ Ck

∂Ck
∂rk
a
a
A B b rk
b
 ∆ rk
a b
b
Si el conjunto de diámetros (D1...Dn) representa una solución de coste mínimo y
el valor de ∆h es lo suficientemente pequeño, entonces deberá cumplirse que:
∆ Cj
∆ Ck
(4.90)
lo que equivale a:
rj
a b
b
∆ rj Lj
rk
a b
b
∆ rk Lk
(4.91)
pero como el valor de ∆h es el mismo en el caso de la línea j y la k, se cumple:
∆h
∆ rj L j q j
∆ rk L k q k
2
2
(4.92)
y sustituyendo esta última relación en (4.91), se obtiene:
r
a b
b
j
q
2
j
r
4.59
a b
b
k
2
qk
(4.93)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Obsérvese que la conclusión expresada en (4.93) no depende en absoluto de las
tuberías j y k escogidas, y en consecuencia, podemos afirmar que la condición que
deben cumplir los diámetros de las tuberías para obtener el mínimo coste del sistema se
puede expresar como:
r
a b
b
i
2
qi
N (constante)
i
(4.94)
1...n
La constante N se denomina característica de la serie. La serie de tuberías cuyos
diámetros responden a este criterio se conoce como serie económica.
La misma conclusión se puede obtener por medio de un razonamiento analítico,
planteando el siguiente problema de optimización:
n
A Ba/b
Minimizar : CT
ri
a/b
Li
i 1
n
sujeto a :
(4.95)
n
ri L i q i ≤ ∆ H
2
h f,i
i 1
i 1
que puede resolverse aplicando el método de los multiplicadores de Lagrange. Para ello
se define la función lagrangiana auxiliar L = L(Di,λ) como:
n
L
L (Di , λ )
A Ba/b
n
ri
a/b
λ
Li
i 1
(4.96)
∆H
2
r i Li qi
i 1
cuyas variables independientes serán los n diámetros de las tuberías (D1...Dn) y el factor
multiplicador λ.
Las condiciones de óptimo del problema (4.95) son:
a)
∂L
∂ Di
0
i
1...n
b)
∂L
∂λ
(4.97)
0
La primera condición (a) conduce a:
∂L
∂ Di
a
∂ L d ri
∂ ri d D i
a
A B b ri
b
→r
a b
b
i
2
qi
a b
b
a A Ba/b
b
λ
4.60
λ qi Li
2
d ri
d Di
0
(4.98)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
La segunda condición (b) es equivalente a la restricción de presión, considerando
la igualdad de los términos.
Puesto que el multiplicador λ es una constante del problema, la condición de
óptimo se expresará en la forma:
r
a b
b
i
a A Ba/b
λ
b
2
qi
N ( constante )
i
1...n
(4.99)
que es exactamente la misma relación que hemos obtenido mediante el razonamiento
desarrollado anteriormente.
El valor de la característica N de la serie puede obtenerse a partir del valor ∆H
mediante la restricción de presión expresada como igualdad:
n
∆H
ri Li q
2
i
N
b
a b
i 1
n
Li q
2a
a b
i
(4.100)
i 1
de donde despejando resulta:
a b
b
∆H
N
n
Li q
(4.101)
2a
a b
i
i 1
Por otra parte, despejando los coeficientes ri de la condición de economía (4.94)
y sustituyendo en (4.85), el coste total de la serie de tuberías puede expresarse como:
CT
A B
a
b
N
a
a b
n
Li q
2a
a b
i
(4.102)
i 1
y dividiendo entre sí las expresiones (4.101) y (4.102), se obtiene:
CT
A Ba/b
N
∆H
(4.103)
relación fundamental que indica que para la serie económica existe una proporcionalidad
entre el coste total de la serie CT y la pérdida de carga total ∆H, pudiendo extrapolarse
una relación similar para cada una de las tuberías de la serie en la forma:
Cj
A Ba/b
N
4.61
h f,j
(4.104)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
que indica que el coste total Cj de la tubería j es proporcional a la pérdida de carga hf,j
en la misma.
Por tanto, en la serie económica la solución óptima se caracteriza porque el
cociente entre el coste de una línea y su pérdida de carga es un valor constante para
todas las líneas de la serie, y coincide con el cociente entre el coste total de la serie y
la pérdida de carga total.
A partir del valor de la característica de la serie (4.101) y despejando de la
condición de economía (4.94) se deduce el valor del coeficiente rj como:
rj
N
b
a b
qj
2b
a b
∆H
n
Li q
qj
2a
a b
i
2b
a b
(4.105)
i 1
y de la definición del coeficiente de rozamiento unitario se despeja el diámetro Dj:
rj
B Dj
→ Dj
b
1/b
(4.106)
2
a b
j
(4.107)
B1/b rj
con lo que finalmente se obtiene:
Dj
n
B
∆H
Li q
2a
a b
i
1/b
q
i 1
y si denominamos:
K
B
∆H
n
Li q
2a
a b
i
1/b
i 1
B1/b
N1/a b
(4.108)
obtendremos la expresión del diámetro óptimo teórico Dj como:
Dj
K q
2
a b
j
(4.109)
donde K es una constante que depende de los parámetros de la serie y qj es el caudal
que atraviesa la tubería j.
4.62
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.7.2.2.-
A plicación a una serie de tuberías alimentada mediante una estación de
bombeo (altura de cabecera variable).
Otra posible aplicación del método de la serie económica, aunque no fue
contemplada en el estudio realizado por Munizaga, es el dimensionado de una serie de
tuberías alimentada por una estación de bombeo (representado en la Figura 4.21). Esta
situación se presenta cuando la cota de alimentación es insuficiente para proporcionar
una presión mínima de servicio en el extremo aguas abajo de la serie de tuberías.
Al incluir el coste de la energía consumida se considera una base anual para la
medida del coste total, de forma que, en lugar de trabajar con el coste total de una
tubería se empleará el valor de la amortización anual de dicho coste, multiplicando por
el factor de amortización at.
Retomando la expresión (4.35), el coste energético anual es:
Ge ( ptas / año)
W ( Kw ) nh ( horas / año ) p ( ptas/Kw hora)
9 81 qb Hb
→ Ge
η
(4.110)
nh p
donde qb es el caudal bombeado y Hb es la altura de bombeo. Si consideramos que el
caudal bombeado debe de ser un dato del problema, y suponemos que el rendimiento
es aproximadamente constante en el rango de posibles valores de la altura de bombeo,
el coste energético anual puede expresarse como una función lineal de la altura de
bombeo Hb en la forma:
Ge
9 81 qb nh ⋅ p
η
Hb
(4.111)
Kb ⋅ Hb
siendo en este caso la restricción de presión mínima para la serie:
n
n
h f,i ≤ ∆ H
z0
Hb
Hn →
i 1
h f,i
H b ≤ z0
Hn
(4.112)
i 1
donde z0 representa la cota de aspiración de la bomba (cota del nudo 0).
Mediante el mismo razonamiento que en el epígrafe anterior, consideremos que
existe un conjunto de diámetros (D1...Dn) y un valor de la altura de bombeo Hb tales que
4.63
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
se ajustan a la restricción (4.112). Si en esta situación se reduce el diámetro de la tubería
j, de forma que D'j = Dj - ∆Dj, con la intención de reducir el coste total de la serie, se
induce un incremento de la pérdida de carga ∆h cuyo valor será:
∆h
∆ rj L j q j
siendo ∆ rj
2
rj
rj
Dj
B
Dj
b
Dj
Dj
b
(4.113)
La restauración de la altura en el nudo n puede realizarse bien mediante el
incremento del diámetro de cualquier otra línea, o bien a través del aumento de la altura
de bombeo H'b = Hb + ∆h. Puesto que suponemos una pequeña variación en los
alrededores de la solución óptima, el ahorro conseguido al reducir el diámetro Dj será
igual al encarecimiento debido a una altura H'b mayor, esto es:
a b
b
a
∆ Cj
a
A ⋅ a t B b rj
b
∆ rj Lj
Kb ⋅ ∆ h
(4.114)
K b ⋅ ∆ rj ⋅ L j q j
2
y despejando obtendremos:
a
rj
a b
b
a
⋅ at ⋅ A ⋅ B b
b
Kb
2
qj
(4.115)
Dado que los coeficiente a, A, b, B y Kb son constantes para el problema
planteado, de nuevo encontramos que la condición de economía se plasma en una
característica de la serie, cuyo valor en esta ocasión será:
a
rj
a b
b
2
qj
a
⋅ a ⋅ A⋅ B b
b t
Kb
N ( constante )
(j
1...n )
(4.116)
Al igual que en el caso anterior, si aplicamos el método de los multiplicadores de
Lagrange al siguiente problema de optimización:
n
Minimizar : CT
Kb Hb
at A Ba/b
ri
a/b
Li
i 1
n
h f,i
sujeto a :
(4.117)
n
i 1
Hb ≤ z0
2
Hb
ri L i q i
Hn
i 1
la función lagrangiana correspondiente a este problema L = L(Di,Hb,λ) será:
n
L Kb Hb
at A B
a/b
n
ri
i 1
a/b
Li
λ
2
r i Li qi
i 1
4.64
Hb
z0
Hn
(4.118)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
siendo sus variables independientes los n diámetros de las tuberías (D1...Dn), la altura
de bombeo Hb y el factor multiplicador λ.
Las condiciones de óptimo del problema (4.117) son:
a)
∂L
∂ Di
0
i
1...n
b)
∂L
∂ Hb
0
∂L
∂λ
c)
0
(4.119)
La primera condición (a) conduce a:
∂L
∂ Di
a
∂ L d ri
∂ ri d D i
a
a t A B b ri
b
→r
a b
b
i
a b
b
d ri
λ qi Li
2
0
d Di
(4.120)
a/b
a at A B
b
λ
2
qi
mientras que la condición (b) representa:
∂L
∂ Hb
Kb
λ
→ λ
Kb
(4.121)
1...n
(4.122)
y sustituyendo en (4.120) obtenemos:
r
a b
b
i
q
2
i
a/b
a at A B
b
Kb
i
que es la misma relación que hemos obtenido en (4.115). Por otro lado, la condición (c)
equivale a la restricción de presión mínima en forma de igualdad.
La característica N de la serie ya no depende en este caso de los caudales y
longitudes de la serie de tuberías. Para obtener el valor óptimo de la altura de bombeo
Hb será necesario calcular la pérdida de carga correspondiente a los diámetros óptimos.
Despejando de (4.122) obtenemos el valor de los coeficientes ri:
r
a b
b
i
q
2
i
a/b
a at A B
→ ri
b
Kb
N
b
a b
q
2b
a b
i
(4.123)
de modo que la pérdida de carga total en la serie de tuberías será:
n
n
h f,i
i 1
ri L i q
i 1
2
i
N
b
a b
n
Li q
2a
a b
i
i 1
4.65
∆H
z0
Hb
Hn
(4.124)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
y finalmente, la altura de bombeo Hb resultará:
Hb
Hn
z0
N
b
a b
n
Li q
2a
a b
i
(4.125)
i 1
El coste total anual del sistema CT estará compuesto de dos sumandos, a saber, el
coste de amortización de la inversión en tuberías Ga y el coste energético Ge:
CT
Ga
at A B
a
b
Ga
a
a b
N
Ge
n
Li q
2a
a b
i
(4.126)
i 1
Ge
Kb Hb
Kb
Hn
z0
N
b
a b
n
Li q
2a
a b
i
i 1
y puede escribirse también como:
CT
Kb
Hn
z0
Kb
Kb N
Hn
z0
b
a b
Kb
b
1
a
b
a
1
n
Li q
i 1
2a
a b
i
(4.127)
∆H
El término Kb [Hn-z0] representa el coste energético debido al desnivel geométrico
que es necesario vencer en ausencia de pérdidas de carga; el segundo término incluye
tanto el coste energético invertido en pérdidas de carga Kb ∆H, como la amortización
anual de las tuberías (b/a) Kb ∆H.
Los diámetros óptimos Di pueden obtenerse a partir de la definición de ri y la
condición de economía (4.122), de forma que:
Di
y si denominamos:
K
b B Kb
a at A
b B Kb
a at A
1
a b
1
a b
4.66
2
a b
qi
(4.128)
B1/b
N1/a b
(4.129)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
se obtiene:
Di
K q
2
a b
i
(4.130)
donde K es una constante que ya no depende de los parámetros de la serie de tuberías
(longitudes y caudales).
4.7.2.3.-
Consideraciones prácticas sobre la aplicación del método de la serie
económica.
a) Factor de fricción:
En el desarrollo del método de la serie económica hemos supuesto que el
coeficiente B de la fórmula general de pérdidas de carga:
2
h f,i
B Li
qi
D
(4.131)
b
i
es constante e igual para todas las conducciones. Ello equivale a suponer un factor de
fricción f uniforme en todas las tuberías (ecuación de Darcy), lo que en general nunca
será cierto, puesto que f depende tanto de las características de la conducción, como del
caudal circulante y del diámetro.
Para asignar el valor adecuado del factor de fricción a cada una de las tuberías se
recurre, como es habitual, a un procedimiento iterativo que se inicia suponiendo un valor
de f único para todas las tuberías, que servirá para establecer los diámetros en una
primera aproximación.
A partir los diámetros obtenidos en primera aproximación, conocidos los caudales
circulantes y las características del material empleado (rugosidad), se recalcula el factor
de fricción individualmente para cada una de las tuberías y con el ello, el valor del
coeficiente Bi, que ahora será diferente al calcular el diámetro óptimo de cada tubería
según (4.107) o (4.128). El proceso de cálculo se repite hasta que la discrepancia entre
los valores supuestos y los calculados sea inferior a determinada tolerancia.
La Figura 4.22 representa el proceso iterativo a seguir para contemplar los valores
reales del factor de fricción en cada una de las tuberías de la serie económica,
suponiendo el empleo de la expresión de pérdidas de Darcy y la fórmula de Colebrook
para el factor de fricción f.
4.67
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.22.- Cálculo iterativo del factor de fricción en la solución óptima de la serie
económica.
b) Propiedades de la línea de alturas piezométricas:
La condición que proporciona los diámetros óptimos en la serie económica es:
r
a b
b
i
q
2
i
N
→
ri
N
b
a b
q
2b
a b
i
(4.132)
válida tanto cuando la altura de cabecera conocida como cuando se trata de una
incógnita. Despejando el valor de la pendiente hidráulica ji de la línea i, obtenemos:
4.68
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
ji
h f,i
Li
ri q
2
i
N
b
a b
q
2a
a b
i
(4.133)
expresión que indica que, para una serie económica dada (N constante), la pendiente
hidráulica de una determinada línea resultará mayor cuanto más grande sea el caudal que
la atraviesa. Si se tiene en cuenta que existe una distribución de consumos a lo largo de
la serie, deberá cumplirse que qi≥qj cuando i<j (línea i aguas arriba de línea j). Como
consecuencia, la pendiente de la línea de alturas piezométricas será decreciente, en valor
absoluto, en el sentido aguas abajo, tal y como muestra la Figura 4.23.
Figura 4.23.- Línea de alturas piezométrica en la serie económica.
c) Incompatibilidad en puntos intermedios de la serie económica:
Para establecer el dimensionado óptimo de los diámetros de la serie únicamente
ha intervenido una restricción de presión mínima en el nudo extremo de la misma. Es
necesario no obstante comprobar si la solución obtenida es compatible con la topografía
del terreno. Una situación de incompatibilidad típica es la mostrada en la Figura 4.24,
que representa una serie de tuberías dimensionada mediante el criterio de la serie
económica considerando únicamente la restricción de mínima presión residual que
impone el nudo extremos aguas abajo. La optimización de dicho sistema conduce a una
línea de alturas piezométricas (LAPa) que en determinadas zonas del trazado queda por
debajo de la línea de cotas del terreno, presentando por tanto presiones manométricas
negativas.
4.69
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Para soslayar esta situación indeseable se descompone el problema de
dimensionado en dos subproblemas: en primer lugar se dimensiona la serie que discurre
entre el nudo 0 de cabecera y el nudo c que presenta problemas de presión, para que en
éste último exista una altura de presión mínima hc (valor que teóricamente podría ser
nulo); posteriormente se aplicará el criterio la serie económica a las tuberías restantes,
desde el nudo c hasta el nudo extremo aguas abajo n.
Figura 4.24.- Solución incompatible con la topografía del terreno.
El problema que se plantea es establecer algún procedimiento analítico para
determinar la existencia de estas situaciones problemáticas en alguno de los nudos
intermedios de la serie, sin necesidad de recurrir a una representación gráfica.
Volviendo sobre la condición de economía expresada en (4.132), para una
determinada línea i, con un caudal conocido qi, se comprueba que cuanto mayor sea el
valor de la característica de la serie N, mayor será el coeficiente ri de dicha línea en la
solución óptima, y en consecuencia, dará lugar a diámetros menores. Por esta razón, para
averiguar si la altura piezométrica que proporciona la solución de la serie económica va
a resultar insuficiente en el nudo intermedio c, se comparan las características obtenidas
en la serie de tuberías original, que denominaremos Nn, con la característica que se
obtendría planteando la restricción de presión en el nudo Nc:
Nn
∆H
n
Li q
a b
b
;
Nc
∆ Hc
c
2 a / (a b)
i
Li q
i 1
i 1
4.70
2 a / (a b)
i
a b
b
(4.134)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
siendo ∆Hc la pérdida de carga admisible entre el nudo 0 de cabecera y el nudo c.
Si la característica Nc es menor que Nn, significará que la condición de presión
mínima en el nudo c es más restrictiva que la condición de presión mínima referida al
nudo extremo n. Consecuentemente, si se dimensiona la serie completa a partir de la
característica Nn, encontraremos que la altura piezométrica resultante en el nudo c resulta
inferior a la exigida.
Como criterio general, el dimensionado de la serie deberá realizarse comenzando
por las tuberías comprendidas entre la cabecera de la serie y el nudo crítico en cuanto
a requisitos de presión mínima; dicho nudo estará caracterizado por una característica
Nc menor que la característica referida a cualquier otro nudo. Expresado de otro modo,
el nudo crítico c será aquel que cumpla:
∆ Hc
c nudo crítico si
c
∆ Hk
<
∀ nudo k ≠ c
k
2 a / (a b)
2 a / (a b)
Li qi
(4.135)
Li qi
i 1
i 1
El criterio es válido cuando se trata de una serie de tuberías alimentada con altura
piezométrica conocida, pero en el caso de que la altura de alimentación sea una
incógnita, no resulta útil, puesto que el valor de la característica de la serie es la misma
sea cual sea el nudo de referencia, como podemos comprobar en (4.115). En este caso,
el "síntoma" que caracteriza la existencia de un nudo crítico intermedio consistirá en que
la altura de bombeo Hb necesaria para satisfacer su requisito de presión mínima es
mayor que la requerida para cualquier otro nudo; haciendo referencia a la expresión de
Hb de (4.125) podemos afirmar que:
c nudo crítico si :
b
Hc
Na
b
c
2 a / (a b)
b
Li qi
i 1
> Hk
Na
k
2 a / (a b)
b
Li qi
(4.136)
i 1
∀ nudo k ≠ c
d) Normalización de los diámetros de la solución:
Como en todos los casos en los que se obtiene una solución configurada por
diámetros teóricos, hay que proceder a un ajuste de la solución para que conste
únicamente de diámetros comercialmente disponibles, proceso que recibe el nombre de
4.71
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
normalización de diámetros. Como recordaremos, el modo más sencillo de acometer esta
tarea consiste en asignar a cada una de las líneas el diámetro normalizado más próximo
en tamaño al teórico obtenido. Cuando el diámetro normalizado es superior, decimos que
se ha supranormalizado, y en caso contrario, infranormalizado.
En primer lugar trataremos el caso de la serie de tuberías alimentada con altura
de cabecera conocida.
En el supuesto de que todas las líneas de la serie se infranormalicen, la pérdida
de carga total resultante será superior al valor admisible; para restituir la presión en el
extremo de la serie al valor mínimo será necesario incrementar el diámetro de una o
varias líneas; una vez más, el criterio económico resulta de utilidad para escoger el o
los diámetros que deben ser aumentados. Puesto que se parte de una situación con
déficit de carga, el incremento de diámetro que resultará más económico será aquel que
proporcione un menor coste por metro de carga recuperado, expresado por el cociente:
(k 1)
φi
Ci D i
h f,i D
(k 1)
i
(k)
C i Di
h f,i D
(k)
i
∆ Ci
∆ ci
∆ h f,i
∆ ji
(4.137)
que denominaremos pendiente económica de la línea i; el superíndice + señala que se
trata de un incremento del diámetro de la línea. Las variables que intervienen son las
siguientes:
Ci
hf,i
D(ki)
D(ki+1)
ci
=
ji
= Coste total (ptas) de la línea i.
= Pérdida de carga (m.) en la línea i, para el caudal de diseño qi.
= Diámetro actual de la línea i.
= Diámetro inmediato superior a D(ki).
Coste unitario de la línea i (ptas/metro).
= Pérdida de carga unitaria en la línea i (m/m).
A partir de esta definición se puede afirmar que el incremento de diámetro que
resultará económicamente más favorable corresponderá a una línea m con el mínimo
valor de la pendiente económica φm+ , esto es:
φm ≤ φi
i
1...n
(4.138)
El cambio realizado en la línea m puede dar lugar a tres posibilidades, a saber:
4.72
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
a)
que el nudo extremo aguas abajo de la serie continúe siendo deficitario en
presión. En tal caso, se repetirá la operación de cambio, seleccionando de
nuevo la línea en la cual resulte más económico, incluida la recién
modificada.
b)
que la presión en el nudo extremo de la serie alcance exactamente el valor
mínimo exigido. Aunque teóricamente es posible, sin duda se trata de un
caso no habitual. Como se explicará más adelante, esta situación no implica
necesariamente la finalización de la fase de normalización.
c)
que la presión en el nudo extremo sea superior a la mínima exigida. En este
estado, es posible aprovechar el exceso innecesario de presión para reducir
algún diámetro. Un caso similar se presenta cuando se supranormalizan los
diámetros teóricos, de modo que las acciones a emprender serán análogas a
las que se explican a continuación.
Cuando en todas las líneas se adopta el diámetro normalizado inmediato superior
al teórico obtenido (supranormalización), se obtendrá en el nudo n extremo de la serie
una presión superior al valor mínimo establecido.
La reducción de cualquiera de los diámetros, además de eliminar el exceso
innecesario de presión, permite reducir el coste del sistema de tuberías. Concretamente,
la reducción más económica corresponderá a la línea m que presente la máxima
pendiente económica en reducción de diámetros, esto es:
φm ≥ φi
i
(4.139)
1...n
siendo:
(k 1)
φi
Ci D i
h f,i D
(k 1)
i
(k)
C i Di
h f,i D
(k)
i
∆ Ci
∆ ci
∆ h f,i
∆ ji
(4.140)
donde D(ki) es el diámetro actual de la línea i, y D(ki-1) el diámetro normalizado inmediato
inferior. Al igual que sucede cuando se incrementa algún diámetro, pueden acontecer
tres posibles resultados, a saber:
4.73
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
a)
que la reducción de diámetro no elimine totalmente el exceso de presión en
el nudo n, lo que permitirá seguir reduciendo diámetros con el mismo
criterio.
b)
que el cambio en el diámetro conduzca a una presión en el nudo extremo n
exactamente igual a la mínima requerida.
c)
que la presión resultante en el nudo extremo sea inferior al mínimo
establecido.
Como se pone de manifiesto, la normalización de los diámetros teóricos deviene
un proceso iterativo, en el cual intervienen decisiones de aumentar determinados
diámetros y reducir otros, decisiones que están guiadas en cada instante por los valores
de la pendiente económica en las líneas, φ+i y φ-i.
La finalización del proceso se alcanza cuando una misma línea polariza ambos
tipos de modificación (incremento y disminución del diámetro) en etapas alternativas.
La solución óptima final con diámetros normalizados consistirá en la asignación
de un único diámetro a todas las líneas de la serie, excepto una de ellas (supongamos
que se trata de la línea m), concretamente aquella línea que determina la finalización del
proceso, la cual estará compuesta por dos segmentos de diámetros consecutivos, de
forma que la pendiente económica φm correspondiente a los dos diámetros verificará la
condición:
φi ≤ φm ≤ φi
siendo : φ m
φm D
(k 1)
m
∀i ≠ m
(4.141)
→D
(k)
m
φ m D →D
(k)
m
(k 1)
m
lo cual significa que la pendiente φm es la menor de las pendientes económicas de las
líneas de la serie en incremento de diámetros, y simultáneamente, es también la mayor
de las pendientes económicas en disminución de diámetros.
Cuando la alimentación de la serie se efectúa mediante una estación de bombeo,
los criterios a seguir para aumentar o reducir diámetros cambian ligeramente, puesto que
el efecto de cualquiera de estas acciones sobre la presión en el nudo extremo n puede
compensarse por una modificación de la altura de bombeo en el sentido contrario.
4.74
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Para evaluar la conveniencia económica de cualquier cambio, será necesario
comparar con el coeficiente Kb (4.111), que expresa el coste, en ptas/año, de bombear
con un metro adicional en la altura de bombeo Hb. La pendiente económica deberá ser
expresada también sobre una base anual, multiplicando por el factor de amortización at.
Un incremento del diámetro en la línea i resultará económicamente eficiente
solamente cuando suceda:
at φ i ≤ Kb
(4.142)
lo que significa que el incremento en el coste de amortización debido al aumento del
diámetro en la línea i, sea menor que el ahorro conseguido al disminuir el coste
energético.
Por el contrario, la reducción del diámetro de la línea i es adecuada
económicamente cuando:
at φ i ≥ K b
(4.143)
En este caso, la normalización se lleva a cabo mediante sucesivas transformaciones
(aumento y reducción de diámetros), en cada una de las cuales se ajusta la altura de
bombeo Hb para mantener la presión en el nudo extremo n en el valor mínimo
admisible. El proceso concluye cuando no existe ninguna posibilidad de cambio
económicamente conveniente, esto es, cuando:
max at φ i ≤ Kb ≤ min at φ i
i
∀i
(4.144)
i
de modo que ninguna línea resultará desdoblada en dos diámetros en este caso.
4.7.3.- Formulación en diámetros discretos. Método discontinuo de Labye.
El método que estudiaremos a continuación fue desarrollado por Labye [16] en
1966 para el dimensionado económico de redes ramificadas considerando un conjunto
discreto de diámetros comercialmente disponibles.
El método de Labye está basado en los mismos conceptos que el procedimiento
de normalización de los diámetros expuesto en el apartado anterior, haciendo uso de los
criterios de eficiencia económica que proporciona el valor de la pendiente económica
en las líneas de la serie.
4.75
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.7.3.1.-
Serie de tuberías alimentada con altura de cabecera conocida. Curva
característica de una serie de tuberías
En primer lugar trataremos la aplicación del método de Labye para el
dimensionado económico de una serie de tuberías alimentada con altura de cabecera
conocida.
La base del método de Labye es el desarrollo de la curva característica de la serie,
como una extensión del concepto de curva característica de un tramo (apartado 4.6.3).
Se trata de una representación funcional que proporciona el coste mínimo total de la
serie de tuberías CT para cada posible valor de la pérdida de carga total ∆H en la misma.
Para explicar su construcción, imaginemos que la serie de tuberías está configurada por
un conjunto óptimo de diámetros comerciales {D(k1),...,D(kn)}, de modo que la pérdida de
carga total en la serie es ∆H*, siendo su coste total CT* . La representación de esta
solución óptima en el plano (CT,∆H) corresponde al punto A de la figura.
Figura 4.25.- Representación de la solución óptima en el plano (CT ,∆H).
Supongamos que la pérdida de carga admisible en la serie sea ∆H1=∆H*+δH
ligeramente superior a ∆H*; ello significa que es posible reducir el diámetro de alguna
de las líneas para consumir el exceso de presión y, a la vez, reducir el coste de la serie.
Una reducción de este tipo implica sustituir una parte de alguna tubería de la serie por
el diámetro inmediato inferior. La reducción de diámetro más eficiente desde el punto
de vista económico, como se ha comprobado en el apartado anterior, corresponderá a
4.76
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
la línea m con mayor pendiente económica φm- de entre todas las líneas de la serie. La
configuración óptima de diámetros que proporciona una pérdida de carga total ∆H1 con
un coste total CT,1, representada por el punto A1 en la Figura 4.25, será idéntica a la
anterior, excepto en la línea m, que estará compuesta de dos segmentos, uno de ellos
con el diámetro original D(mk ), y el otro con el diámetro inmediato inferior D(mk -1). La
longitud Lm(D(mk -1)) correspondiente al tramo de menor diámetro verificará la relación:
δH
(k 1)
Lm Dm
jm D
(k 1)
m
jm D
(k)
m
(4.145)
donde jm representa la pendiente hidráulica en la línea m, para el caudal de diseño qm.
Si por el contrario, la pérdida de carga admisible en la serie es ∆H2=∆H*-δH, será
necesario aumentar el diámetro en alguna de las líneas para restaurar el déficit de
presión δH, aún a costa de aumentar el coste de la serie. El incremento de diámetro más
eficiente corresponderá a la línea m con la mínima pendiente económica φm+ . La solución
óptima que da lugar a la pérdida de carga total ∆H2, cuyo coste es CT,2, corresponde al
punto A2 en la Figura 4.25, y está configurada por los mismos diámetros que la solución
inicial, excepto en la línea m, formada por dos tramos de diámetros D(mk ) y D(mk +1)
(inmediato superior). La longitud Lm(D(mk +1)) del tramo de mayor diámetro será en este
caso:
δH
(k 1)
Lm Dm
jm D
(k)
m
jm D
(k 1)
m
(4.146)
donde jm representa la pendiente hidráulica en la línea m, para el caudal de diseño qm.
El procedimiento descrito sirve para construir nuevos puntos de la curva
característica de la serie a partir de algún punto conocido. El problema que surge es
pues, determinar un punto de partida de la curva, esto es, una determinada configuración
de diámetros que sea óptima para la pérdida de carga que produce en la serie aunque
ésta resulte aun alejada de la pérdida deseada. Como vamos a comprobar, el hecho de
trabajar con diámetros discretos proporciona una base adecuada para determinar al
menos dos puntos de la curva característica, que servirán como referencia para trazar el
resto de la curva.
En el diseño de cualquier sistema de tuberías suele establecerse limitaciones en la
velocidad de circulación, de modo que ésta resulte comprendida entre un valor mínimo,
4.77
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
aconsejable para evitar un virtual estancamiento del agua en la tubería, con los
consiguientes problemas sanitarios, y un valor máximo, por encima del cual se considera
que pueden aparecer problemas importantes de erosión del material de la tubería, además
de incrementarse la sobrepresión que podría sobrevenir por efecto de un golpe de ariete.
Aunque los valores extremos dependen de varios factores, como son las características
fisicoquímicas del agua, el material de las tuberías, etc., los límites habituales en redes
de distribución se encuentran entre 0'5 y 2'5 metros/segundo.
Los límites de velocidad determinan la gama de diámetros comerciales que pueden
ser empleados en una línea concreta en función de su caudal de diseño. Si denominamos
{D(1i),..., D(ki),..., D(NiDi)} a los posibles diámetros que pueden ser empleados en la línea i,
ordenados de menor a mayor, deberá cumplirse:
4 qi
π vmin
(ND i)
≥ Di
> . . . > Di > . . . > Di ≥
(k)
(1)
4 qi
(4.147)
π vmax
siendo vmin y vmax los límites de velocidad mínima y máxima respectivamente, y qi el
caudal de diseño de la línea i, y NDi el número de posibles diámetros para dicha línea.
La solución constituida por todos los diámetros mínimos admisibles {D(11),...,D(1n)}
es una solución óptima para la pérdida de carga total que provocan, puesto que no existe
otra combinación factible más económica que proporcione la misma pérdida de carga
total, a la que denominaremos ∆Hmax. De igual modo, una solución formada por los
máximos diámetros en cada línea {D(N1D1),...,D(NnDn)} constituye asimismo una solución
óptima para la pérdida de carga asociada ∆Hmin.
Estas dos soluciones óptimas extremas constituyen los límites de la curva
característica de la serie. Para la construcción de la curva característica puede
comenzarse, por ejemplo, desde el extremo inferior (punto O1 de la Figura 4.26)
correspondiente a una configuración de diámetros {D(11),...,D(1n)}, cuya pérdida de carga
asociada es ∆Hmax y con un coste CT,min. En primer lugar se calculan las pendientes
económicas correspondientes a un aumento del diámetro para cada una de las líneas φ+i;
el cambio óptimo corresponderá a la línea m con menor pendiente económica
(φm+ ≤φ+i , ∀i), y consiste en incrementar su diámetro al inmediato superior D(m1 ) → D(m2 ).
La nueva solución, representada en la Figura 4.26 por el punto A, estará configurada por
los diámetros {D(11),...,D(m2 ),...,D(1n)}, con una pérdida de carga total ∆HA < ∆Hmax y un
coste total CT,A > CT,min.
4.78
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.26.- Curva característica de una serie de tuberías.
El proceso se repite para obtener nuevos puntos de la curva característica, hasta
alcanzar el extremo superior O2 de la curva. También se puede construir la curva
comenzando en O2, teniendo en cuenta que el cambio óptimo consistirá en este caso en
una reducción del diámetro en aquella línea m cuya pendiente económica sea superior
a todas las demás ((φm- ≥φ-i , ∀i).
A partir del trazado de la curva característica es inmediato obtener la solución
óptima al problema de la serie alimentada con altura piezométrica conocida. En primer
lugar se determina la pérdida de carga admisible ∆H como la diferencia entre la altura
disponible en cabecera H0 y la altura requerida Hn en el nudo extremo n. El punto de
la curva característica cuya abcisa es ∆H corresponde a la solución óptima (en el caso
de la Figura 4.26 corresponde al punto Q). Obsérvese que el punto óptimo Q está
situado entre los vértices P y R; las soluciones asociadas a estos dos puntos son iguales
excepto en el diámetro una línea (llámese línea q), de modo que cada línea tiene
asociado un único diámetro normalizado. La solución óptima representada por el punto
Q es idéntica a las representadas por P y R excepto para la línea q, que estará
compuesta por dos segmentos de diámetros consecutivos D(kq) (correspondiente a la
solución P) y D(kq+1) (correspondiente a la solución R).
4.79
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Si denominamos Lq a la longitud de la línea, las longitudes de los tramos
respectivos serán:
(k 1)
Lq ( Dq
)
Lq
QP
;
RP
(k)
Lq ( Dq )
Lq
RQ
(4.148)
RP
y el coste de la solución será:
CT , opt
4.7.3.2.-
C T,P
C T,R
C T,P
QP
RP
C T,R
C T,R
C T,P
RQ
(4.149)
RP
Serie de tuberías alimentada con altura de cabecera variable.
Cuando el problema de dimensionado de la serie de tuberías incluye la necesidad
de dotar de presión al sistema mediante una estación de bombeo, será necesario
contemplar los costes energéticos y para una adecuada comparación, el coste de
inversión en tuberías se reducirá a una base anual multiplicando por el factor de
amortización at.
El problema es idéntico al tratado en el apartado 4.6.3, en referencia al
dimensionado de tuberías de impulsión y gravedad, y para acometer su solución se
construye la curva característica de la serie, siendo su abcisa el valor de la pérdida de
carga total ∆H y en ordenadas, el coste anual de amortización Ga=at CT correspondiente
a la solución óptima para dicha pérdida. La curva característica de la serie representa
las combinaciones de diámetros que proporcionan el mínimo coste de inversión para
cada posible valor de la pérdida de carga ∆H.
A continuación se representa la curva de coste energético Ge = Kb Hb
= Kb (Hn-z0) + Kb ∆H = Ge,0 + Kb ∆H. El término Ge,0 (correspondiente a la abcisa
∆H=0) es el gasto energético útil invertido en salvar el desnivel geométrico entre la
cabecera y el nudo extremo, y proporciona la presión mínima requerida en éste, mientras
que el término Kb ∆H representa el coste energético invertido en pérdidas de carga en
la serie de tuberías.
Finalmente se obtiene la curva de costes totales anuales GT, como suma de los
costes de amortización y energético (ver Figura 4.27).La solución óptima corresponderá
en este caso al punto mínimo de la curva de costes totales GT, con una altura de bombeo
Hb = (Hn-z0) + ∆H*, estando constituida cada línea por un único diámetro.
4.80
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.27.- Curvas característica, de coste energético y de coste total.
En el caso de que algún tramo de la curva característica posea la misma pendiente
en valor absoluto que la curva de coste energéticos, el tramo correspondiente en la curva
de costes totales será horizontal, lo que significa que existen infinitas soluciones al
problema. Al igual que en el dimensionado de una tubería de impulsión, en este caso
recomendamos escoger la solución que represente la menor pérdida de carga, y en
consecuencia, la menor altura de bombeo, puesto que los costes que no han sido
considerados en el cálculo, normalmente serán crecientes con la altura de bombeo Hb.
4.7.3.3.-
Observaciones sobre el método.
Las ventajas aportadas por el método de Labye frente al método de la serie
económica son evidentes: al trabajar con diámetros discretos y comercialmente
disponibles, no requiere un procedimiento de normalización posterior de los mismos; por
otra parte, aunque al iniciar el cálculo se desconoce el diámetro que poseerán las líneas
en la solución óptima, sí se conoce a priori la gama de diámetros entre los que se
encuentra el óptimo para cada línea y en consecuencia, puede calcularse de forma exacta
las pérdidas de carga que provoca cada uno de los posibles diámetros en cada una de
las líneas. En definitiva, elimina la necesidad de normalización de diámetros y de
realizar un cálculo iterativo de las pérdidas de carga exactas.
Sin embargo, presenta dos inconvenientes fundamentales que ensombrecen
considerablemente las ventajas anteriores, a saber:
4.81
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
a)
El hecho de trabajar con variables discretas exige el manejo de un abultado
conjunto de datos, que comporta un considerable esfuerzo computacional, y
que sin duda deviene impracticable para un cálculo manual con un número
moderado de líneas.
b)
El método de Labye no permite intuir en modo alguno la existencia de nudos
críticos intermedios hasta que no ha sido finalizado el dimensionado de la
serie de tuberías y calculadas las presiones en todos los nudos. Es necesario
pues realizar todo el cálculo para poder apercibirse de la factibilidad de la
solución final en los puntos intermedios de la serie. Sin embargo, y como se
ha visto en 4.7.2.3, el método de la serie económica proporciona recursos
suficientes para sacar a la luz cualquier nudo crítico intermedio que pueda
presentar problemas de presión, antes incluso de comenzar el cálculo de la
solución óptima.
4.7.4.- Ejemplo. Dimensionado de una serie de tuberías.
Como aplicación de los dos métodos de dimensionado óptimo que acabamos de
estudiar, se dimensionará una serie de cinco líneas, representada en la siguiente figura,
en la cual se indican la numeración, longitud y caudal circulante por cada una de las
líneas. La máxima pérdida de carga admisible es ∆H = 12 m.
Figura 4.28.- Serie de tuberías a dimensionar.
4.82
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Se empleará tubería de fibrocemento (rugosidad ε = 0'025 mm.), cuyo coste
unitario completo se indica en la siguiente tabla.
Diámetro (mm.)
Precio
(ptas/m.l.)
200
250
300
350
400
450
500
600
700
4160
5784
8000
9864
13000
15660
18800
23830
25820
La velocidad de circulación del agua por las tuberías está restringida por los
siguientes límites: vmin = 0'5 m/s, y vmax = 2'0 m/s.
Para calcular las pérdidas de carga se emplea la fórmula de Darcy:
hf
8fL
q2
2
5
π gD
B L
q2
D5
obteniendo el factor de fricción f a partir de la fórmula de Colebrook; a tal efecto se
considera un valor de la viscosidad cinemática del agua a 17ºC de ν = 1'1 10-6 m2/s.
En primer lugar y atendiendo a los límites de velocidad, se determinan los
diámetros que pueden ser utilizados en el dimensionado de cada una de las líneas; la
siguiente tabla muestra la velocidad de circulación en cada una de las líneas
correspondiente a cada diámetro (la zona sombreada indica los valores que no cumplen
los límites de velocidad establecidos).
Caudal
(m3/s)
Línea
Diámetros (mm.)
200
250
300
350
400
450
500
600
700
1
0'22
7'00
4'48
3'11
2'29
1'75
1'38
1'12
0'78
0'57
2
0'16
5'09
3'26
2'26
1'66
1'27
1'01
0'81
0'57
0'42
3
0'12
3'82
2'44
1'70
1'25
0'95
0'75
0'61
0'42
0'31
4
0'08
2'55
1'63
1'13
0'83
0'64
0'49
0'41
0'28
0'21
5
0'05
1'59
1'02
0'71
0'52
0'40
0'31
0'25
0'18
0'13
Tabla 4.5.- V elocidades de circulación (m/s).
a) A plicación del método de la serie económica:
El primer paso consiste en ajustar la curva de coste unitario de la tubería a una
función del tipo c = A Da, obteniendo los coeficientes A y a mediante las expresiones
(4.28) y (4.29):
A
50.754
a
1 54
→ ci ( ptas/m.)
4.83
A Di ( m. )a
50754 Di1 54
(4.151)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Para establecer el valor del coeficiente B en la fórmula de pérdidas, se estima un
valor promedio del factor de fricción f = 0'015. De este modo, el coeficiente B resulta:
8 f
B
1 24 10 3
(4.152)
2
π g
Aplicando (4.101), el valor de la característica de la serie N es:
a b
b
∆H
N
5
12
1511 87
2 a/(a b)
i 1
Li qi
1 308
1 79 10
3
(4.153)
El valor obtenido de la característica N de la serie permite calcular el coste total
óptimo del sistema (con diámetros teóricos) mediante (4.103):
A Ba / b
∆H
N
CT
50754 1 24 10
1 79 10 3
3 0 308
12
43.317.285 ptas. (4.154)
así como la expresión del diámetro de cada línea en función del caudal (4.107):
Dj
B
∆H
K
2
a b
5
B
∆H
Li q
2a
a b
i
1/b
q
2
a b
j
K q
2
a b
j
i 1
5
Li q
2a
a b
i
1/b
→ Dj
0 68984
0 68984 qj0 3058
i 1
(4.155)
0 3058
La siguiente tabla presenta los diámetros teóricos obtenidos mediante la expresión
anterior (4.155), así como los diámetros normalizados que resultan al supranormalizar
e infranormalizar.
Línea
Diámetro
teórico (m.)
Diámetros estándar (m.)
Supranorm.
Infranorm.
1
0'434
0'450
0'400
2
0'394
0'400
0'350
3
0'361
0'400
0'350
4
0'31
0'350
0'300
5
0'276
0'300
0'250
Tabla 4.6.- Diámetros óptimos.
4.84
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Para proceder a normalizar los diámetros aplicando los criterios descritos en
4.7.2.3 se calcula la pérdida unitaria de carga real que produce cada uno de los posibles
diámetros en las líneas, para el caudal de diseño considerado, resultados que reproduce
la siguiente tabla.
Diámetros estándar (mm.)
Línea
Caudal
1
0'22
2
0'16
3
0'12
4
0'08
5
0'05
200
10'162
250
300
350
400
450
500
600
700
0'342
5'3
2'97
1'77
0'725
5'64
2'925
1'64
0'981
0'403
7'05
3'3
1'716
0'965
0'578
8'125
3'315
1'56
0'813
3'396
1'394
0'659
Tabla 4.7.- Pérdida de carga unitaria o pendiente hidráulica (m/Km. de tubería).
El ajuste del factor de fricción para los diámetros teóricos no resulta indispensable,
puesto que en la fase de normalización se tienen en cuenta las pérdidas de carga reales
que provocan los diámetros estándar.
Con los datos de la tabla se calcula el coste y la pérdida de carga asociada a las
soluciones normalizadas iniciales:
Solución supranormalizada : →
Solución infranormalizada : →
Coste :
CT,s
48.746.800 ptas.
Pérd. carga : ∆ Hs
8 953 m. < 12 m.
Coste :
38.446.400 ptas.
CT,i
Pérd. carga : ∆ Hi
(4.156)
17 565 m. > 12 m.
La última etapa para alcanzar la solución óptima consiste en introducir cambios
en los diámetros, siguiendo el criterio de la pendiente económica, hasta ajustar la pérdida
de carga establecida.
Obtención de la solución óptima a partir del sistema supranormalizado:
Partiendo de la solución supranormalizada, se introducirán modificaciones
sucesivas, reduciendo el diámetro de una línea en cada iteración, atendiendo al criterio
de reducir el diámetro de la línea i que presenta una mayor pendiente económica φ-i:
4.85
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Diámetro
actual (mm.)
Diámetro
inferior (mm.)
1
450
400
1.141.631
2
400
350
1.155.064
3
400
350
4
350
300
1.062.108
5
300
250
1.106.893
Línea
φ-i (ptas/m.)
1.979.798
Como se puede constatar en el cuadro anterior, el cambio más económico consiste
en reducir el diámetro de la línea 3 de 400 mm. a 350 mm. La solución obtenida en este
cambio proporciona una pérdida de carga total de ∆H = 9'666 m., todavía por debajo de
la pérdida prescrita de 12 m., lo que indica que es posible efectuar más reducciones de
diámetro.
Diámetro
actual (mm.)
Diámetro
inferior (mm.)
1
450
400
2
400
350
3
350
300
497.067
4
350
300
1.062.108
5
300
250
1.106.893
Línea
φ-i (ptas/m.)
1.141.631
1.155.064
La reducción del diámetro en la línea 2 de 400 mm. a 350 mm. proporciona una
solución con ∆H = 11'838 m., por lo que seguimos reduciendo diámetros.
Diámetro
actual (mm.)
Diámetro
inferior (mm.)
φ-i (ptas/m.)
1
450
400
1.141.631
2
350
300
3
350
300
497.067
4
350
300
1.062.108
5
300
250
1.106.893
Línea
----
El cambio de diámetro en la línea 1 de 450 a 400 mm. da como resultado una
solución cuya pérdida de carga es ∆H = 14'634 m., mayor que la admisible. Ahora
resulta necesario aumentar el diámetro de alguna tubería, correspondiendo el cambio más
eficiente a la línea con menor pendiente económica φ+i:
4.86
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Diámetro
actual (mm.)
Diámetro
superior (mm.)
φ+i (ptas/m.)
1
400
450
1.141.631
2
350
400
1.155.064
3
350
400
1.979.798
4
350
400
4.198.126
5
300
350
2.536.054
Línea
La tabla anterior indica que el aumento de diámetro más conveniente consiste
precisamente en deshacer el cambio anterior, lo que significa la conclusión del proceso
de normalización. En la solución óptima, que se encuentra entre las dos últimas
soluciones obtenidas, la línea 1 cuenta con un tramo de diámetro 450 mm. y otro de 400
mm.
Línea
Diámetro
(mm.)
Longitud
(m.)
Pérdida de
carga (m.)
Coste (ptas.)
1
450
400
1130
70
3'356
0'371
17.695.800
910.000
2
350
800
4'512
7.891.200
3
350
450
1'485
4.438.800
4
350
700
1'092
6.904.800
5
300
850
1'185
6.800.000
12'0
44.640.600
TOTAL
Tabla 4.8.- Solución óptima en diámetros estándar.
Si hubiésemos partido de la solución infranormalizada, el proceso de cálculo
hubiese resultado similar para llegar al mismo resultado, por lo que no resulta necesario
efectuar el desarrollo.
b) A plicación del método discontinuo de Labye:
Los punto extremos de la curva característica de la serie se obtienen asignando a
cada línea el diámetro estándar máximo y mínimo. En el ejemplo que nos ocupa, los
puntos extremos X1 y X2 estarán configurados tal y como indica la Tabla 4.9.
Para obtener los puntos de la curva característica es indiferente comenzar desde
el extremo X1 con los diámetros de menor tamaño, o desde X2 con los mayores. En el
4.87
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
primer caso se adoptarán sucesivos aumentos de diámetro en aquella línea que presente
una menor pendiente económica φ+i; si por el contrario se comienza desde X2, se
introducen reducciones sucesivas de diámetro en la línea que posea mayor pendiente
económica φ-i.
Punto X1 :
Coste CT = 34.676.000 ptas.
Pérdida ∆H = 28'37 m.
Punto X2 :
Coste CT = 75.995.200 ptas.
Pérdida ∆H = 2'212 m.
Línea
Diámetro (mm.)
Diámetro (mm.)
1
400
700
2
350
600
3
300
500
4
250
400
5
200
350
Tabla 4.9.- Puntos extremos de la curva característica de la serie.
Comenzaremos pues la construcción de la curva desde el punto X1:
Punto X1
Coste CT = 34.676.000 ptas.
Pérdida ∆H = 28'37 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
400
450
1.141.631
2
350
400
1.155.064
3
300
350
497.067
4
250
300
460.707
5
200
250
Punto A
Coste CT = 36.056.400 ptas.
240.024
Pérdida ∆H = 22'62 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
400
450
1.141.631
2
350
400
1.155.064
3
300
350
497.067
4
250
300
460.707
5
250
300
1.106.893
4.88
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Punto B
Coste CT = 37.607.600 ptas.
Pérdida ∆H = 19'253 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
400
450
1.141.631
2
350
400
1.155.064
3
300
350
497.067
4
300
350
1.062.108
5
250
300
1.106.893
Punto C
Coste CT = 38.446.400 ptas.
Pérdida ∆H = 17'565 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
400
450
1.141.631
2
350
400
1.155.064
3
350
400
1.979.798
4
300
350
5
250
300
Punto D
Coste CT = 39.751.200 ptas.
1.062.108
1.106.893
Pérdida ∆H = 16'336 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
400
450
1.141.631
2
350
400
1.155.064
3
350
400
1.979.798
4
350
400
4.198.126
5
250
300
Punto E
Coste CT = 41.634.800 ptas.
1.106.893
Pérdida ∆H = 14'634 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
400
450
2
350
400
1.155.064
3
350
400
1.979.798
4
350
400
4.198.126
5
300
350
2.536.054
4.89
1.141.631
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Punto F
Coste CT = 44.826.800 ptas.
Pérdida ∆H = 11'838 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
450
500
2
350
400
3
350
400
1.979.798
4
350
400
4.198.126
5
300
350
2.536.054
Punto G
Coste CT = 47.335.600 ptas.
2.616.667
1.155.064
Pérdida ∆H = 9'666 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
450
500
2.616.667
2
400
450
2.070.039
3
350
400
4
350
400
4.198.126
5
300
350
2.536.054
Punto H
Coste CT = 48.746.800 ptas.
1.979.798
Pérdida ∆H = 8'953 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
450
500
2
400
450
3
400
450
3.541.944
4
350
400
4.198.126
5
300
350
2.536.054
Punto I
Coste CT = 50.874.800 ptas.
2.616.667
2.070.039
Pérdida ∆H = 7'925 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
450
500
2.616.667
2
450
500
4.764.795
3
400
450
3.541.944
4
350
400
4.198.126
5
300
350
4.90
2.536.054
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Punto J
Coste CT = 52.459.200 ptas.
Pérdida ∆H = 7'300 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
450
500
2
450
500
4.764.795
3
400
450
3.541.944
4
350
400
4.198.126
5
350
---
-----
Punto K
Coste CT = 56.227.200 ptas.
2.616.667
Pérdida ∆H = 5'860 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
500
600
4.813.397
2
450
500
4.764.795
3
400
450
4
350
400
4.198.126
5
350
---
-----
Punto L
Coste CT = 57.424.200 ptas.
3.541.944
Pérdida ∆H = 5'522 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
500
600
4.813.397
2
450
500
4.764.795
3
450
500
8.113.695
4
350
400
4.198.126
5
350
---
-----
Punto M
Coste CT = 59.622.200 ptas.
Pérdida ∆H = 4'999 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
500
600
2
450
500
3
450
500
8.113.695
4
400
---
-----
5
350
---
-----
4.91
4.813.397
4.764.795
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Punto N
Coste CT = 62.134.200 ptas.
Pérdida ∆H = 4'472 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
500
600
2
500
600
8.702.422
3
450
500
8.113.695
4
400
---
-----
5
350
---
-----
Punto O
Coste CT = 68.170.200 ptas.
4.813.397
Pérdida ∆H = 3'218 m.
φ+i (ptas./m.)
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
1
600
700
2
500
600
8.702.422
3
450
500
8.113.695
4
400
---
-----
5
350
---
-----
Punto P
Coste CT = 70.558.200 ptas.
5.195.822
Pérdida ∆H = 2'758 m.
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
φ+i (ptas./m.)
1
700
---
-----
2
500
600
8.702.422
3
450
500
8.113.695
4
400
---
-----
5
350
---
-----
Punto Q
Coste CT = 71.971.200 ptas.
Pérdida ∆H = 2'584 m.
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
φ+i (ptas./m.)
1
700
---
-----
2
500
600
8.702.422
3
500
---
-----
4
400
---
-----
5
350
---
-----
4.92
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Punto extremo X2
Pérdida ∆H = 2'122 m.
Coste CT = 75.995.200 ptas.
Línea
D (mm.)
D superior (mm.)
φ+i (ptas./m.)
1
700
---
-----
2
600
---
-----
3
500
---
-----
4
400
---
-----
5
350
---
-----
La solución óptima proporcionada por el método de Labye, caso de existir, se
encuentra comprendida normalmente entre dos de los vértices de la curva característica,
aunque ocasionalmente puede corresponder exactamente a un vértice. En el ejemplo que
nos ocupa, la pérdida de carga total estipulada es ∆H = 12 m., valor que no corresponde
a ninguno de los vértices calculados, siendo los más próximos los puntos E (∆H=16'634
m.) y F (∆H=11'838 m.), de modo que las soluciones que representan dichos vértices
sólo se diferencian entre sí en cuanto al diámetro de la línea 1; en consecuencia la
solución óptima estará configurada por dos diámetros consecutivos en la línea 1,
concretamente 450 y 400 mm., poseyendo el resto de las líneas el diámetro asociado a
los puntos E y F. Como se puede comprobar, la solución óptima coincide con la que se
ha obtenido por aplicación del método de la serie económica y su posterior
normalización.
c) Comparación entre ambos métodos:
La resolución del ejemplo mediante el método de Labye consiste en la
construcción de la curva característica de la serie, a partir de la cual obtenemos la
configuración óptima para una determinada pérdida de carga ∆H. Aunque no es
necesario construir la curva completa para obtener la solución óptima, el caso presentado
nos obliga a obtener al menos un total de siete puntos, a saber, X1 (extremo inferior),
A, B, C, D, E y F, para obtener la solución óptima. De haber comenzado su
construcción a partir del extremo superior X2, hubiese sido necesario realizar el doble
de cálculos aproximadamente.
La aplicación del método de la serie económica ha resultado menos laboriosa, con
una primera fase muy sencilla que permite determinar los diámetros teóricos, y una fase
posterior de normalización en la que sólo ha sido necesario realizar tres cambios para
determinar la solución óptima en diámetros estándar. Curiosamente, la solución inicial
4.93
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
propuesta al supranormalizar (ver Tabla 4.6) coincide con la configuración del punto H
de la curva característica, mientras que el resultado de la infranormalización coincide
con la configuración del punto C. En general, las configuraciones obtenidas por supra
o infranormalización de una solución óptima en diámetros continuos no coinciden
necesariamente con puntos de la curva característica de Labye, pero la aplicación de los
criterios de la pendiente económica conducirá en pocas iteraciones a alguno de los
puntos de la misma.
A partir de la expresión (4.154) del coste total de la serie económica, podemos
trazar una curva característica "teórica", conceptualmente similar a la curva de Labye,
esto es, una representación de la función CT = CT(∆H) que proporciona el coste de la
configuración óptima para cada posible pérdida de carga, ahora con diámetros teóricos:
CT
A Ba / b
∆H
N
A Ba / b
2 a/(a b)
Li qi
a b
b
∆ H a/ b
93.063.439 ∆ H
0 308
La Figura 4.29 muestra el trazado de ambas curvas características, la "real" y la
"teórica", y como se comprueba, se aproximan bastante entre sí.
La Figura 4.30 es una vista ampliada de la anterior, en la cual se indican los
puntos correspondientes a la solución óptima en diámetros continuos, así como los
puntos obtenidos por supra e infranormalización, que se encuentran sobre la curva
característica real (puntos H y C respectivamente).
4.7.5.- Otras formulaciones en diámetros discretos.
En el apartado anterior se ha expuesto el contenido esencial del método de Labye
como paradigma de las formulaciones en diámetros discretos, en primer lugar, por la
gran popularidad de que ha gozado y en segundo lugar, porque permite sacar a la luz
alguno de los aspectos determinantes en el dimensionado óptimo de una serie de
tuberías, concretamente la relación que existe entre el coste del sistema y la pérdida de
carga cuando se trabaja con diámetros discretos.
A pesar de sus loables y evidentes características didácticas, la implementación y
aplicación directa del método de Labye resulta más compleja que otros métodos, tales
como el de la serie económica.
4.94
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.29.- Representación de las curvas características de la serie.
4.95
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.30.- Ampliación de la Figura 4.29.
Existen otras posibles formulaciones en diámetros discretos, como la formulación
mediante Programación Lineal, que considera como variables de decisión no ya los
diámetros, sino la longitud parcial de un determinado diámetro comercial dentro de una
línea, cuya aplicación al dimensionado óptimo de redes ramificadas será estudiada en
el apartado siguiente. Otra forma posible de abordar el problema sería mediante
Programación Dinámica, cuyas variables de estado son las alturas piezométricas en los
nudos del sistema. Puesto que las referencias bibliográficas sobre este último tipo de
formulación tratan del dimensionado de redes ramificadas, se comentará más
ampliamente al final del siguiente apartado.
4.96
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.8.- DIMENSIONADO ECONÓMICO DE REDES RAMIFICADAS
4.8.1.- Introducción
El problema de dimensionado económico de una red ramificada representa avanzar
un escalón más en la complejidad de los sistemas que se estudian en el presente
capítulo. De hecho, el dimensionado de una serie de tuberías constituye un caso
particular de red ramificada; en el caso más general, el problema de dimensionado de
una red ramificada poseerá tantas restricciones de presión mínima de servicio como, al
menos, nudos extremos o terminales desde los cuales se suministran caudales de
servicio.
Por establecer un paralelismo con el caso anterior de una serie de tuberías,
imaginemos que una red ramificada está constituida por una arteria principal, y además,
por un conjunto de ramificaciones conectadas a lo largo del trayecto de la arteria
principal. El proyectista puede estar tentado a dimensionar económicamente la arteria
principal, para posteriormente dimensionar el resto de las ramificaciones secundarias
atendiendo al valor de la altura piezométrica en el nudo origen de la ramificación. Puede
suceder que la presión existente en la cabecera de alguna ramificación sea insuficiente
para dotar con una mínima presión a los nudos de consumo de la misma (solución que
hidráulicamente no resultaría factible); por otra parte, y en el caso de que no se presente
ningún problema con la presión en las ramificaciones, el coste del sistema total no será,
posiblemente, el óptimo, puesto que la presión de alimentación de las ramificaciones se
obtiene como resultado de un proceso de cálculo anterior, en el cual no ha sido
considerada en absoluto la influencia económica de las ramificaciones conectadas a la
arteria principal. Este sencillo razonamiento pone de manifiesto la necesidad de que la
formulación del problema incluya la totalidad del sistema para poder asegurar la
obtención de una solución factible y además, óptima.
En general, el problema de dimensionado óptimo va a consistir en determinar los
diámetros de las conducciones de la red ramificada para que se cumplan determinadas
condiciones hidráulicas de funcionamiento y además, que el coste total del sistema sea
el mínimo posible; por añadidura, cuando existe la necesidad de aportar energía al
sistema, será necesario además determinar la altura de bombeo, de modo que la suma
de la amortización de las tuberías y el coste energético sea mínima.
4.97
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Continuando con la clasificación formal que hemos estado utilizando en los
anteriores apartados, trataremos el problema en primer lugar bajo la perspectiva de las
formulaciones en diámetros continuos, tales como la ampliación del método de la serie
económica, las aportaciones de Chiplunkar y Khanna [10], o la de Fujiwara y Dey [14];
posteriormente estudiaremos la formulación mediante Programación Lineal, en diámetros
discretos.
4.8.2.- Aplicación del método de la serie económica al dimensionado de redes
ramificadas
4.8.2.1.- Introducción.
A continuación vamos a presentar una ampliación del método de la serie
económica para realizar el dimensionado económico de redes ramificadas, cuya principal
característica reside en la formulación del problema considerando los diámetros como
variables continuas. En primer lugar se estudia el caso de un red ramificada alimentada
con altura de cabecera conocida (alimentada por ejemplo, mediante un depósito elevado
cuyo nivel es fijo y conocido); posteriormente se analizará el dimensionado de una red
ramificada cuya altura de alimentación es incógnita en el problema (por ejemplo, cuando
la red se alimenta a través de una estación de bombeo). Por simplicidad, supondremos
que de la cabecera de la red parte una única línea; ello no supone limitación alguna,
puesto que en el caso de abordar el dimensionado de una red ramificada con varias
líneas partiendo de la cabecera, puede estudiarse el problema considerando de forma
aislada el dimensionado de las subredes encabezadas por cada una de las posibles líneas
que parten de la cabecera.
4.8.2.2.- Red ramificada alimentada con altura de cabecera conocida.
El problema que se propone es dimensionar los diámetros de una red ramificada
compuesta por n líneas, tal y como representa la Figura 4.31, considerando que está
alimentada desde un depósito cuyo nivel se considera fijo, y teniendo en cuenta además
que en los nudos extremos situados aguas abajo deberá existir una presión residual de
servicio mayor o igual que un determinado valor mínimo.
4.98
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Los datos del problema son las longitudes L1,..., Ln de las tuberías, los caudales
circulantes por las mismas q1,...,qn, el coeficiente B de la fórmula de pérdidas y los
coeficientes A y a de la curva de costes unitarios de la tubería empleada. Como es
habitual en redes ramificadas, las líneas serán numeradas correspondiendo a la
numeración del nudo situado aguas abajo de las mismas.
Figura 4.31.- Red ramificada alimentada desde un depósito de nivel fijo.
Denominaremos H0 a la altura piezométrica en el nudo de cabecera y Hk al valor
mínimo de la altura piezométrica en un nudo genérico k, extremo o terminal. Los
valores de H0 en el nudo de cabecera y Hk para todos los nudos extremos k son datos
del problema y las diferencias ∆Hk = H0 - Hk expresan la máxima pérdida de carga
admisible en la serie de tuberías comprendida entre el nudo 0 de cabecera y el nudo
extremo k.
En el problema de dimensionado planteado, las variables de decisión son
únicamente los diámetros D1,...,Dn en cada línea y consecuentemente, la función objetivo
sólo incluirá los costes de inversión asociados a las tuberías. Utilizando la curva de
costes unitarios c = A Da, la inversión total en tuberías (coste total de la red) resulta:
n
n
a
c i Li
CT
i 1
A Di Li
i 1
4.99
(4.157)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Las restricciones de presión mínima en los nudos extremos k se expresan como:
2
h f,i
i ∈S k
B Li
i ∈S k
qi
5
Di
≤ ∆ Hk
k nudo extremo
(4.158)
donde Sk simboliza el conjunto de líneas que se encuentran en el trayecto entre la
cabecera de la red (nudo 0) y el nudo extremo k.
Podemos construir la función lagrangiana L de igual modo que en el apartado
anterior para resolver el dimensionado de una serie de tuberías, sólo que en este caso,
sus variables son tanto los diámetros de las tuberías Di como los multiplicadores de
Lagrange λk, correspondiente cada uno de ellos a una restricción de presión mínima en
el nudo extremo k:
2
n
L ( Di , λ k )
λk
a
A Di Li
i ∈S k
k
i 1
B Li
qi
5
Di
∆ Hk
(4.159)
Las condiciones de óptimo del problema son:
∂L
∂ Di
a)
∀i
0
;
∂L
∂ λk
b)
0
∀k
(4.160)
Por simplificar la formulación, podemos expresar tanto la función objetivo (4.157)
como las restricciones de presión mínima (4.158) en función del coeficiente de
rozamiento unitario ri de las líneas como:
n
A Ba / b
CT
ri
a/b
(4.161)
Li
i 1
i ∈S k
h f,i
ri L i q i ≤ ∆ H k
2
i ∈S k
k nudo extremo
(4.162)
en cuyo caso la función L se expresa como:
n
L
A Ba / b
ri
i 1
a/b
λk
Li
k
2
j ∈S k
r j Lj qj
∆ Hk
(4.163)
La condición de óptimo (b) de (4.160) expresa que en la solución óptima, la suma
de pérdidas de carga en un trayecto debe de ser exactamente igual a la máxima perdida
de carga permitida; no puede ser mayor que este valor, puesto que se violaría la
4.100
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
restricción de presión mínima, y si la pérdida de carga total en el trayecto Sk fuese
menor de la máxima exigida, se encarece innecesariamente el coste de las tuberías que
lo componen.
La aplicación de la primera condición a) conduce al siguiente resultado:
∂L
∂ Di
∂ L d ri
∂ ri d D i
a
a
A B b ri
b
a
→
a
A Bb
b
ri
a b
b
2
qi
k ∈T i
a b
b
qi
2
k ∈T i
λk
Li
d ri
d Di
0
(4.164)
λk
donde Ti simboliza el conjunto de trayectos a los que pertenece la línea i. En el caso de
una línea j que únicamente pertenece al trayecto k, obtendríamos:
a
a
A Bb
b
rj
a b
b
qj
(4.165)
λk
2
Si utilizamos la nomenclatura de la característica Nk del trayecto, podemos escribir
(4.165) para la línea j de la siguiente forma:
rj
a b
b
qj
λk
1
Nk
2
(4.166)
a
A Ba / b
b
y generalizando la expresión (4.166) para cualquier línea i tendremos:
ri
a b
b
qi
k ∈T i
2
λk
a
A Ba / b
b
k ∈T i
1
Nk
1
Ni
(4.167)
De este modo se concluye una condición de óptimo muy similar al caso de una
serie de tuberías, según la cual, para cada línea i de la red, el diámetro óptimo cumple
la condición:
r
a b
b
i
2
qi
Ni
∀i
(4.168)
siendo Ni la característica de la línea i. El valor de Ni, tal como indica la expresión
(4.167), se obtiene según:
4.101
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
1
Ni
(4.169)
1
Nk
k ∈T i
lo que significa que la inversa de la característica Ni a aplicar en la línea i para obtener
su diámetro óptimo es igual a la suma de las inversas de las características asociadas a
las líneas terminales k (o a cualquier otra línea que pertenezca exclusivamente al
trayecto Sk) que se sitúan aguas abajo de la línea i.
El coste y la pérdida de carga de cada línea i pueden ser expresados a partir de
su característica Ni de forma análoga al caso del dimensionado de una serie de tuberías,
esto es:
a
a b
a
A B b Ni
Ci
h f,i
N
b
a b
i
2a
a b
(4.170)
Li qi
Li q
2a
a b
i
(4.171)
El coste total de la red resultará:
n
CT
Ci
A B
a
b
i 1
n
N
a
a b
i
Li q
2a
a b
i
(4.172)
i 1
y la pérdida de carga asociada a cada uno de los trayectos Sk será:
i ∈S k
h f,i
N
i ∈S k
b
a b
i
Li q
2a
a b
i
∆ Hk
(4.173)
El problema de dimensionado se reduce pues a obtener los n valores de las
características Ni de las líneas, a partir de los cuales obtenemos el diámetro óptimo
teórico de cada línea según:
r
a b
b
i
ri
2
qi
Ni
B Di
b
→ Di
4.102
1
b
B N
1
a b
i
q
2
a b
i
(4.174)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Si se dispone de los valores de las características Nk en las líneas terminales,
podemos calcular el resto de características Ni a partir de las definiciones (4.169).
Sustituyendo estas definiciones en las ecuaciones de pérdidas (4.173) resulta un sistema
de ecuaciones no lineales en Nk, correspondiendo cada ecuación a un nudo extremo k,
y cada característica Nk a la línea terminal k.
Como recordaremos, en el dimensionado óptimo de una serie de tuberías se
concluyó que la pendiente hidráulica de una línea asociada con la solución óptima es
mayor cuanto mayor sea su caudal de diseño; en el caso de una red ramificada no
sucede necesariamente de ese modo, como vamos a comprobar. Para una línea i
cualquiera se cumple que:
1
Ni
k ∈T i
1
Nk
1
1
> max
N i k ∈T N k
→
→
Ni < min Nk
(4.175)
k ∈T i
i
lo que significa que la característica de la línea i es menor que la característica de
cualquiera de las líneas que se encuentran aguas abajo de i. Despejando el valor de la
pendiente hidráulica ji a partir de la expresión (4.168) obtenemos:
ji
ri q
2
i
N
b
a b
i
q
2a
a b
i
(4.176)
En el caso de dos líneas a y b que posean la misma característica (lo que implica
que aguas abajo de ambas se encuentran los mismos nudos terminales), se cumplirá que
ja>jb si qa>qb, y viceversa. Sin embargo, si la línea a se encuentra aguas arriba de un
mayor número de nudos terminales que la línea b, o lo que es lo mismo, el conjunto
Ta incluye a Tb y es distinto del mismo, sucederá que Na<Nb; si el caudal q que discurre
por ambas líneas es el mismo, se cumplirá que:
ja
N
b
a b
a
q
2a
a b
<N
b
a b
b
2a
b
qa
jb
(4.177)
sin embargo, si el caudal qa en la línea a es mayor que qb, no es posible hacer ninguna
afirmación general sobre cuál de las dos pendientes hidráulicas es mayor, puesto que
dependerá de los valores de qa, qb, Na y Nb.
Desgraciadamente no es posible obtener la solución de los valores de las
características Nk de un modo sencillo y directo, tal y como se hacía en el caso de una
serie de tuberías. Algunos autores han planteado aproximaciones para la solución de este
4.103
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
problema; de entre estas aportaciones cabe destacar el método propuesto en 1974 por
Deb [11], de naturaleza iterativa, que aprovecha la circunstancia de que en una serie de
tuberías, la relación entre el coste de una tubería individual y el coste total es la misma
que existe entre la pérdida de carga en la tubería y la pérdida de carga total, para la
solución óptima.
En 1982, Chiplunkar y Khanna [10] presentaron un método de resolución en el
cual se obtiene una aproximación del valor de la característica Ni de una línea
igualándolo al mínimo valor de las características de las tuberías que se encuentran
aguas abajo. Este criterio no resulta exacto, tal y como acabamos de demostrar, puesto
que Ni es incluso menor que el menor de dichos valores; sin embargo, los autores
justifican este procedimiento aproximado en base al hecho de que en la posterior fase
de normalización de los diámetros se producirán unas desviaciones sobre el valor de los
mismos de una magnitud mayor incluso de las que se derivan del hecho de no
considerar el valor exacto de Ni.
Fujiwara y Dey [14] propusieron en 1989 un método de resolución para un caso
particular, consistente en el dimensionado de una red ramificada alimentando nudos
situados a la misma cota y con la misma presión mínima de servicio, lo que significa
que las pérdidas de carga admisibles ∆Hk en todos los trayectos poseen el mismo valor.
A continuación proponemos un método iterativo para obtener los valores de las
características Nk en las líneas terminales, a partir de los cuales será posible determinar
el valor de la característica Ni de cualquier línea de la red.
Método de resolución
El primer paso consiste en determinar una estimación de los valores de las
características Nk de las líneas terminales, que denotaremos con N(0k), a partir de la
máxima pérdida de carga admisible en el trayecto que transcurre desde la cabecera al
nudo extremo k (conjunto de líneas Sk) mediante la expresión de la serie económica,
esto es, como si se tratase de dimensionar de forma independiente las series de tuberías
comprendidas entre el nudo de cabecera de la red y los nudos terminales k:
N
∆ Hk
(0)
k
2 a / (a b)
i ∈S k
Li qi
4.104
a b
b
(4.178)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Los valores N(0k) permiten a su vez calcular la característica del resto de las líneas,
en una primera aproximación, mediante la expresión (4.169), de modo que para una
línea j obtendremos:
1
(0)
Nj
(4.179)
1
k ∈T j
N
(0)
k
Una vez se ha determinado la característica N de todas las líneas de la red, se
calcula la pérdida de carga correspondiente a cada línea, según:
h
(0)
f,i
N
b
(0) a b
i
Li qi
2a
a b
(4.180)
Acumulando las pérdidas de carga obtenidas a lo largo del trayecto k obtenemos
el valor de la pérdida de carga total en el trayecto ∆H(0k) según:
∆H
(0)
k
h
i ∈S k
(0)
f,i
N
b
(0) a b
i
i ∈S k
Li qi
2a
a b
(4.181)
La comparación de la pérdida de carga obtenida en primera aproximación ∆H(0k)
con el valor ∆Hk, que es el objetivo que se desea obtener, nos proporciona la siguiente
estimación de las características N(1k). Si suponemos que la característica propuesta Nk
guarda una proporcionalidad con el término [∆Hk](a+b)/b, obtenemos:
N
(0)
k
(1)
Nk
∆H
(0)
k
∆ Hk
a b
b
a b
b
→ N
(1)
k
N
(0)
k
∆ Hk
a b
b
(4.182)
∆ Hk
(0)
Si ∆H(0k) resulta mayor que la máxima pérdida permitida ∆Hk, la característica N(1k)
será menor que la estimación anterior N(0k), y en consecuencia, se obtendrán pérdidas de
carga de menor magnitud, buscando que la suma de las mismas a lo largo del trayecto
Sk coincida con la máxima pérdida permitida.
En el caso contrario, si ∆H(0k)<∆Hk, entonces resultarán valores mayores de N(1k),
obteniéndose consecuentemente mayores pérdidas de carga.
4.105
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Con los nuevos valores obtenidos N(1k) se repite el cálculo de la característica del
resto de las líneas N(1i), las correspondientes pérdidas de carga en las líneas h(f1,)i, y a partir
de estos últimos valores, la pérdida de carga estimada ∆H(1k) en los trayectos Sk. De este
modo, se repite el procedimiento hasta que la pérdida de carga estimada en todos los
trayectos Sk se aproxime de forma suficiente a ∆Hk.
La Figura 4.32 representa el diagrama de flujo del proceso iterativo descrito.
Figura 4.32.- Proceso iterativo para obtener Nj en las líneas de una red ramificada.
4.106
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.8.2.3.-
Ejemplo. Dimensionado de una red ramificada con diámetros continuos y
altura de cabecera conocida.
Como aplicación del método que acabamos de exponer, realizaremos el
dimensionado óptimo de los diámetros teóricos de la red ramificada que muestra la
siguiente figura.
Figura 4.33.- Red ramificada a dimensionar.
Para el dimensionado se utilizará tubería de fibrocemento, similar en características
y precios a la tubería que se ha empleado en el ejemplo 4.7.4., de modo que obtenemos
los siguientes parámetros del problema:
Curva de coste unitario de la tubería : c ( ptas / m.lineal )
A
Factor de fricción promedio : f
0 015 → B
50.574
50.754 D ( m. ) 1 54
;
1 24 10
Exponente del diámetro en fórmula de pérdidas (Darcy) : b
En primer lugar necesitaremos obtener los valores Li
L1
L3
L5
q12a/(a+b) = 750'76
q32a/(a+b) = 347'86
q52a/(a+b) = 175'64
L2
L4
q22a/(a+b) = 304'92
q42a/(a+b) = 285'83
4.107
a
1 54
3
5
qi2a/(a+b) para cada línea:
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
En el ejemplo que se presenta, los nudos críticos son precisamente los extremos
o terminales, esto es, los nudos 2, 4 y 5. Los trayectos comprendidos entre el nudo de
cabecera y los nudos críticos están compuestos por las siguientes líneas:
Trayecto
Máx. Pérdida de carga admisible
S2 = {1,2}
S4 = {1,3,4}
S5 = {1,3,5}
∆H2 = 30 m.
∆H4 = 10 m.
∆H5 = 15 m.
de modo que:
j ∈S 2
Lj q
2a
a b
j
1.055 68 ;
j ∈S 4
Lj q
2a
a b
j
1.384 45 ;
j ∈S 5
Lj q
2a
a b
j
1.274 26
De este modo obtenemos una primera aproximación de N(02), N(04) y N(05):
N
j ∈S 2
(0)
N4
a b
b
∆ H2
(0)
2
10
1.384 45
Lj q
2a/(a b)
j
1 308
1 5820 10
1 308
30
1.055 68
3
9 4906 10
15
1.275 26
(0)
;
N5
3
1 308
2 9977 10
3
9 3355 10
4
y a partir de estas características, calculamos el resto:
1
(0)
N3
1
(0)
N4
1
1 0354 10
3
;
(0)
N1
(0)
1
(0)
N5
N2
1
1
(0)
N4
1
(0)
N5
y mediante las características N(0i) obtenemos un primer valor de la pérdida de carga en
cada línea según (4.180):
h
(0)
f,i
N
b
(0) a b
i
Li qi
2a
a b
de modo que:
h(f0,1) = 3'62 m. ; h(f0,2) = 8'67 m. ; h(f0,3) = 1'82 m. ; h(f0,4) = 2'06 m. ; h(f0,5) = 2'07 m.
y consecuentemente la pérdida de carga en los trayectos será:
∆H(02) = 12'29 m. ; ∆H(04) = 7'50 m. ; ∆H(05) = 7'51 m.
4.108
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
A partir de estos valores, calculamos el valor de las características en segunda
aproximación según:
N
(1)
2
N
(0)
2
(1)
a b
b
∆ H2
∆H
9 4906 10
(0)
2
3
2 3048 10
N4
;
3
30
12 29
(1)
N5
1 308
30 4954 10
7 4069 10
3
3
En las tablas que se muestran a continuación se resumen los resultados obtenidos
en el proceso iterativo tal y como ha sido descrito.
Iteración 1
Línea
1
N
(m.)
Trayecto
∆H k (m.) [Error]
10-3
5'63
0-2
26'78 [-10'73%]
3
h
j
1'6620
f,j
2
30'4954
10
21'15
0-4
11'10 [+11%]
3
1'7578
10-3
2'72
0-5
12'48 [-16'8%]
2'3048
10
-3
2'75
10
-3
4'13
4
5
7'4069
Iteración 2
Línea
1
N
h
1'5829
∆H k (m.) [Error]
(m.)
Trayecto
10-3
5'43
0-2
29'13 [-2'9%]
3
j
f,j
2
35'3780
10
23'70
0-4
10'51 [+5'1%]
3
1'6571
10-3
2'60
0-5
12'99 [-13'4%]
4
2'0107
10-3
2'48
9'4214
-3
4'96
5
10
Iteración 3
Línea
N
h
j
f,j
(m.)
Trayecto
∆H k (m.) [Error]
1
1'5481
10-3
5'33
0-2
29'73 [-0'9%]
2
36'7663
103-
24'40
0-4
10'24 [+2'4%]
3
1'6162
10-3
2'55
0-5
13'61 [-9'3%]
4
1'8840
10-3
2'36
5
11'3721
103-
5'73
4.109
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Iteración 4
Línea
N
h
∆H k (m.) [Error]
(m.)
Trayecto
-3
5'30
0-2
29'92 [-0'3%]
j
f,j
1
1'5342
10
2
37'2037
103-
24'62
0-4
10'14 [+1'4%]
3
1'6002
10-3
2'54
0-5
14'16 [-5'6%]
4
1'8265
10-3
2'30
5
12'9146
103-
6'32
Iteración 5
Línea
N
h
∆H k (m.) [Error]
(m.)
Trayecto
-3
5'27
0-2
29'96 [-0'13%]
j
f,j
1
1'5241
10
2
37'3339
103-
24'69
0-4
10'06 [+0'6%]
3
1'5890
10-3
2'52
0-5
14'48 [-3'5%]
4
1'7936
10-3
2'27
5
13'9257
103-
6'69
Iteración 6
Línea
N
h
j
f,j
(m.)
Trayecto
∆H k (m.) [Error]
1
1'4998
10-3
5'21
0-2
29'93 [-0'23%]
2
37'3991
103-
24'72
0-4
9'93 [-0'7%]
3
1'5624
10-3
2'49
0-5
14'63 [-2'47%]
4
1'7499
10-3
2'23
5
14'5834
103-
6'93
Iteración 7
Línea
N
h
j
f,j
(m.)
Trayecto
∆H k (m.) [Error]
1
1'5169
10-3
5'25
0-2
30'03 [+0'1%]
2
37'5136
103-
24'78
0-4
10'01 [+0'1%]
3
1'5808
10-3
2'51
0-5
14'87 [-0'87%]
4
1'7661
10-3
2'25
5
15'0677
103-
7'11
4.110
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Como criterio de convergencia adoptamos un error máximo del 1% en la
pérdida de carga ∆Hk en todos los trayectos críticos. A partir de los valores finales de
las características Nj de las líneas podemos calcular el diámetro óptimo de cada una de
ellas así como su coste:
Líne
a
Coste
(ptas.)
1
2
3
4
5
22.358.411
4.267.481
10.262.196
8.215.014
3.047.124
Diámetro
(m.)
0'451
0'173
0'394
0'307
0'199
Coste Total CT
48.150.226 ptas.
Tabla 4.10.- Diámetros y costes de la solución óptima.
Una vez obtenida la solución óptima en diámetros continuos, es necesario
normalizar la misma a fin de asignar diámetros estándar en cada una de las líneas. El
procedimiento de normalización a aplicar en el caso de una red ramificada será
estudiado posteriormente.
4.8.2.4.-
Red ramificada alimentada mediante una estación de bombeo (altura de
cabecera variable).
En el caso de que la red ramificada requiera ser alimentada mediante una estación
de bombeo, es necesario incluir los costes energéticos en el problema de dimensionado,
e introducir la altura de bombeo como una variable adicional. El problema propuesto
consiste en dimensionar los diámetros de una red ramificada compuesta por n líneas,
considerando que se alimenta a través de una estación de bombeo, debiendo determinar
además la altura de bombeo necesaria para que en los nudos extremos situados aguas
abajo exista una presión residual de servicio mayor o igual que un determinado valor
mínimo.
Además de los datos concernientes a la configuración de la red (longitudes
L1,...,Ln, caudales circulantes q1,...,qn), y al tipo de tuberías empleado (coeficiente B de
la fórmula de pérdidas y coeficientes A y a de la curva de coste unitario), se consideran
4.111
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
conocidos los parámetros de la estación de bombeo (caudal bombeado qb, número de
horas de funcionamiento al año nh, precio del kW hora p y rendimiento η), así como
el factor de amortización at aplicable a la inversión en tuberías.
Figura 4.34.- Red ramificada alimentada mediante una estación de bombeo.
Denominaremos Hb a la altura de bombeo, z0 a la cota de aspiración de la estación
y Hk al valor mínimo de la altura piezométrica en un nudo genérico k, extremo o
terminal, siendo estos valores datos del problema. La máxima pérdida de carga admisible
∆Hk entre el nudo de cabecera y un nudo extremo k no es, en este caso, un dato
conocido, puesto que la altura de bombeo Hb está por determinar, y valdrá:
∆ Hk
z0
Hb
(4.183)
Hk
Como se ha expresado en la introducción, consideraremos una única línea en
cabecera, que en adelante denominaremos línea 1, cuyos extremos son, aguas arriba el
nudo 0 (cabecera de la red) y aguas abajo el nudo 1.
Además de la altura de bombeo Hb, los diámetros D1,...,Dn de las líneas son
también variables de decisión en el problema de dimensionado de la red; la función
objetivo deberá incluir la amortización de la inversión más el coste de la energía,
expresando ambos términos como un coste anual, que será en este caso:
n
CT ( ptas/año )
Ge
Ga
Kb Hb
a
at
A Di Li
i 1
4.112
(4.184)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
En la expresión anterior, el coste de las tuberías se ha aproximado mediante la
curva de coste unitario c = A Da, siendo at el factor de amortización de la inversión en
tuberías, y siendo Kb un coeficiente que representa el coste energético anual por cada m.
de altura de bombeo, cuyo valor es:
9 81 qb nh p
Kb (ptas/m. y año )
(4.185)
η
en la cual qb es el caudal bombeado (m3/seg), nh es el número de horas de bombeo por
año, p es el precio de la energía (ptas/kW hora) y η es el rendimiento global de la
estación de bombeo, expresado en tanto por uno.
Las restricciones de presión mínima en los nudos extremos k se expresan como:
z0
Hb
h f,i ≥ Hk
i ∈S k
k nudo extremo
(4.186)
o lo que es lo mismo:
i ∈S k
i ∈S k
Hb ≤ z0
h f,i
Hk
↓
B Li
q
2
i
(4.187)
Hb ≤ z0
5
Di
Hk
donde recordemos que Sk simboliza el conjunto de líneas que se encuentran en el
trayecto entre la cabecera de la red (nudo 0) y el nudo extremo k.
Para resolver el problema de optimización propuesto mediante el método de los
multiplicadores de Lagrange, se construye la función lagrangiana L=L(Di,Hb,λk), aunque
en esta ocasión, dicha función representa un coste anual:
2
n
L
Kb Hb
λk
a
i
at
A D Li
i 1
k
i ∈S k
B Li
qi
D
5
i
Hb
z0
(4.188)
Hk
o expresada en términos del coeficiente de rozamiento unitario ri:
L
Kb Hb
at A B
a n
b
i 1
ri
a/b
λk
Li
k
2
i ∈S k
r i Li qi
4.113
Hb
z0
Hk
(4.189)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
dondeLas
N1 simboliza
condiciones
la de
característica
óptimo resultan
de la ahora:
línea 1 (línea de cabecera).
a)
∂L
∂ Di
∀i
0
;
∂L
∂ Hb
b)
0
;
c)
∂L
∂ λk
0
∀k
(4.190)
La aplicación de la condición (a) proporciona los siguientes resultados:
a)
∂L
∂ Di
a
∂ L d ri
∂ ri d D i
a
a A B b ri
b t
a
a
a A B b ri
b t
→
a b
b
a b
b
λ k Li
2
qi
k ∈T i
d ri
d Di
0
(4.191)
qi
λk
2
k ∈T i
en la cual Ti simboliza el conjunto de trayectos críticos a los que pertenece la línea i,
o el conjunto de nudos terminales que se sitúan aguas abajo de dicha línea. Si el
problema se formula en términos de las características Nk de las líneas terminales, cuyo
valor es:
a
a
a A Bb
b t
λk
Nk
(4.192)
podemos expresar (4.191) como:
a
ri
a b
b
2
qi
a
a A Bb
b t
k ∈T i
1
λk
k ∈T i
1
Nk
Ni
(4.193)
donde Ni representa la característica de la línea i.
El desarrollo de la condición (b) proporciona el siguiente resultado:
b)
∂L
∂ Hb
λk
Kb
0
→
λk
Kb
k
(4.194)
k
donde el sumatorio está extendido a todos los trayectos críticos. Si reescribimos la
expresión anterior en términos de las características Nk resulta:
a
at A B a / b
a
1
b
(4.195)
Kb
λk
at A B a / b
b
N
N
k
k
k
1
4.114
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Finalmente la condición (c) da como resultado:
c)
∂L
∂ λk
2
i ∈S k
r i Li qi
Hb
z0
Hk
0
(4.196)
→
i ∈S k
ri L i q
2
i
z0
Hb
∀k
Hk
lo que significa que con la configuración óptima, la presión en el nudo k debe de
resultar exactamente igual al valor mínimo requerido.
Al igual que en el caso de que la red esté alimentada con una altura de cabecera
conocida, se cumple la condición de que el inverso de la característica Ni a aplicar en
la línea i para obtener su diámetro es igual a la suma de las inversas de las
características asociadas a las líneas terminales k que se sitúan aguas abajo de la línea i.
La diferencia del caso de alimentación mediante estación de bombeo estriba en que
los valores de la pérdida de carga ∆Hk en los trayectos críticos son desconocidos (puesto
que la altura de bombeo Hb está por determinar), aunque sin embargo, sí es conocido
el valor de la característica N1 en la línea de cabecera, sin más que despejar de (4.195).
A partir del valor de las características Ni de cada línea, es posible calcular el
coste de amortización, según:
Ga
at A B
a
b
n
N
a
a b
i
Li q
2a
a b
i
(4.197)
i 1
También la pérdida de carga de cada línea i puede ser expresada a partir de su
característica Ni de forma análoga al caso del dimensionado de una serie de tuberías,
esto es:
h f,i
N
b
a b
i
Li q
4.115
2a
a b
i
(4.198)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
y la pérdida de carga total en un trayecto k cualquiera será:
∆ Hk
i ∈S k
h f,i
N
b
a b
i
i ∈S k
Li q
2a
a b
i
(4.199)
y en consecuencia, la altura de bombeo Hb puede obtenerse a partir de cualquiera de los
valores de ∆Hk según:
Hb
Hk
∆ Hk
∀k
z0
(4.200)
De este modo, el coste total anual de la solución óptima será:
CT
Ge
Ga
Kb Hb
at A B
a
b
n
N
a
a b
i
Li q
2a
a b
i
(4.201)
i 1
El problema de dimensionado se limita de nuevo a obtener los n valores de las
características Ni de las líneas, que proporcionarán el valor óptimo de los diámetros:
Di
1
b
B N
1
a b
i
q
2
a b
i
(4.202)
Finalmente, el valor de la altura de bombeo Hb se obtiene a partir de las pérdidas
de carga calculadas para cualquier trayecto, por aplicación de los diámetros óptimos.
Realizando un balance global del sistema, vemos que disponemos de tantas
ecuaciones de pérdidas como nudos extremos, cuyas incógnitas son las características
Nk de las líneas terminales. Además, la altura de bombeo Hb constituye una incógnita
adicional; sin embargo, existe una ecuación adicional, que indica que la suma de los
inversos de todas las características Nk es igual al inverso de la característica N1 de la
línea de cabecera, que es conocida.
Dado que el sistema de ecuaciones es no lineal, resulta necesario establecer algún
método indirecto para su solución. Cabe la posibilidad de utilizar simplificaciones, como
la propuesta por Chiplunkar y Khanna [10] y que se ha expuesto en el apartado anterior.
Un procedimiento sencillo para resolver este problema consiste en transformarlo en un
problema de dimensionado con altura piezométrica conocida, y constaría de los
siguientes pasos:
4.116
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
1.-
Obtener el valor de la característica N1 en la línea de cabecera, dado por
(4.195):
a
a A Ba/b
(4.203)
b t
N1
Kb
2.-
Obtener la pérdida de carga ∆H*k en todos los trayectos críticos de la red
dimensionando sus líneas con la característica N1, esto es:
∆ Hk
N
b
a b
1
i ∈S k
3.-
(4.204)
A partir de las pérdidas de carga ∆H*k calculadas, fijar el valor de la altura
de bombeo H*b como el valor necesario para mantener la presión mínima en
todos los nudos extremos k, esto es:
Hb
max Hk
k
4.-
Li q
2a
a b
i
∆ Hk
z0
(4.205)
Una vez fijado el valor de la altura de bombeo, se resolvería el problema de
dimensionado como una red alimentada con altura piezométrica conocida.
El método expuesto no deja de ser una simplificación, y en consecuencia, produce
un alejamiento de la solución óptima. Siguiendo la pauta del método propuesto en el
apartado anterior, desarrollaremos a continuación un método iterativo para obtener la
solución óptima exacta.
Método de resolución
La Figura 4.35 representa un esquema del procedimiento de resolución que se
presenta a continuación, y que describiremos haciendo referencia a dicha figura.
El primer paso consiste en determinar el valor de la característica N1 en la línea de
cabecera a partir de la expresión (4.203) con los datos disponibles.
Puesto que la suma de los inversos de las características Nk en las líneas
terminales es igual al inverso de N1, determinaremos (2) una primera estimación de
dichas características, que denominaremos N^ (0k), suponiendo que todos estos valores son
iguales, esto es, si existen K nudos terminales, entonces N^ (0k) = K N1 ∀k.
4.117
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Figura 4.35.- Procedimiento iterativo para obtener las características N j y la altura de
bombeo Hb en una red ramificada.
4.118
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Tomando como punto de partida esta primera estimación de los valores N^ (0k), se
calculan (3) los valores de las características en el resto de las líneas N^ (0j), también en
primera estimación, de modo que puede obtenerse (4) la pérdida de carga estimada h^ (f0,)j
en todas las líneas de la red, y (5) la pérdida estimada en los trayectos críticos ∆H^ (0k).
La altura de bombeo estimada H(0b) estará determinada (6) por el trayecto crítico
que exija un mayor valor de la misma para mantener el valor mínimo de la presión en
su extremo aguas abajo, considerando la pérdida de carga estimada ∆H^ (0k), como indica
la expresión (4.205).
Considerando que en el resto de los trayectos críticos existe un exceso innecesario
de presión, se recalcula la pérdida de carga en dichos trayectos (7), que ahora
denominaremos ∆H(0k), de modo que ∆H^ (0k) = z0 + H(0b) - Hk.
Los nuevos valores obtenidos de ∆H(0k) sirven de punto de partida para calcular (8)
una segunda estimación de las características, que denominaremos N(0k), mediante la
misma relación de proporcionalidad con respecto a las pérdidas de carga en el trayecto
utilizada en (4.182), cuando se estudió el caso de la red alimentada con altura de
cabecera conocida.
Como es natural, la suma de los inversos de las nuevas características N(0k)
obtenidas (9), que denominaremos N(01), no será igual al inverso de N1. Para restaurar la
igualdad, los valores de las características N^ (1k) en la siguiente iteración (11), se obtienen
a partir de la relación:
(1)
N̂k
N1
N
(0)
1
(0)
Nk
(4.206)
de modo que ahora sí se cumplirá que:
1
N1
1
k
(1)
(4.207)
N̂k
El procedimiento se reanuda en el paso (3) con el cálculo de las características del
resto de líneas N^ (1j) y se prolonga hasta que (10) la discrepancia relativa entre el valor
real de la característica en la línea de cabecera N1 y el valor estimado en la iteración i
correspondiente N(1i ) sea menor de una determinada tolerancia ε.
4.119
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Al finalizar el cálculo se habrá obtenido la solución óptima, representada por las
características en las líneas terminales Nk y la altura de bombeo Hb. Para obtener el
diámetro de cualquier línea j de la red, se calculará en primer lugar su característica Nj
a partir de:
1
Nj
k ∈T j
∀j
1
Nk
(4.208)
de modo que su diámetro será:
1
b
B N
Dj
1
a b
j
q
2
a b
j
(4.209)
El coste anual de la solución óptima (amortización más energía) será pues:
n
CT
Ge
Ga
Kb Hb
a
at A
Dj Lj
(4.210)
j 1
4.8.2.5.-
Ejemplo. Dimensionado de una red ramificada con diámetros continuos y
altura de cabecera variable.
A continuación aplicaremos el método expuesto para dimensionar una red
ramificada alimentada desde una estación de bombeo, cuyo esquema, similar al del
ejemplo 4.8.2.3, muestra la Figura 4.36.
La altura piezométrica mínima en los nudos terminales es:
H2 = 60 m.
;
H4 = 80 m.
;
H5 = 75 m.
La cota de aspiración de la estación de bombeo es z0 = 0 m., la estación bombea
un caudal qb = q1 = 0'23 m3/s., durante un promedio de nh = 3.000 horas/año, siendo su
rendimiento global η = 0'65. El precio de la energía es p = 12 ptas/kW hora y el factor
de amortización de la red se calcula con un interés del 9 % durante 30 años, resultando
at = 0'09734.
Para el dimensionado se utilizará tubería de fibrocemento de las mismas
características que en el ejemplo anterior, obteniendo los siguientes parámetros:
4.120
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
En
* Coeficientes
los tres nudos
de la
terminales
curva de(K=3),
coste unitario:
la primeraAestimación
= 50.754 de
; aN^=(0k)1'54
resulta:
* Factor de fricción promedio: f = 0'015 → B = 1'24 10-3
Figura 4.36.- Red ramificada a dimensionar.
Los valores Li
L1
L4
qi2a/(a+b) para cada línea son los mismos que en ejemplo anterior:
q12a/(a+b) = 750'76
q42a/(a+b) = 285'83
;
;
L2
L5
q22a/(a+b) = 304'92
q52a/(a+b) = 175'64
;
L3
q32a/(a+b) = 347'86
Para los trayectos comprendidos entre la cabecera de la red (nudo 0) y los nudos
críticos 2, 4 y 5, tendremos:
j ∈S 2
Lj q
2a
a b
j
1.055 68 ;
j ∈S 4
Lj q
2a
a b
j
1.384 45 ;
j ∈S 5
Lj q
2a
a b
j
El coeficiente Kb resulta:
Kb
9 81 qb
η
nh p
124.964 31 ptas/m. y año
de modo que la característica N1 en la línea de cabecera resulta:
N1
a
a A Ba / b
b t
Kb
4.121
1 5499 10
3
1.274 26
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
(0)
(0)
N̂2
(0)
N̂4
N̂5
4 6497 10
K N1
3
La única característica que resta calcular corresponde a la línea 3:
1
(0)
N̂3
1
2 3249 10
1
(0)
3
(0)
N̂4
N̂5
La siguiente tabla presenta los resultados de la iteración 0 en curso. La columna
(1) corresponde precisamente a los valores de las características que acabamos de
obtener.
Iteración 0
Línea (1)
^ (0)
N
(2)
^ (0)
h
(m.)
(3)
∆H^
(0)
(m.)
(5)
1
1'5499
10-3
5'338
2
4'6497
10-3
5'022
3
2'3249
10-3
3'372
4
4'6497
10-3
4'708
13'418
5
4'6497
10-3
2'893
11'604
∆H
(0)
10'360
(4) H^
(0)
b
(m.)
(6)
(0)
2'6380
10-3
2'1512
10-2
3'0067
10-3
13'418
4'6497
10-3
18'418
8'5092
10-3
33'418
= 93'418 m.
N
(7) Err = 70'2 %
El siguiente paso consiste en calcular la pérdida de carga en cada una de las líneas
conforme a las características obtenidas (columna (2)) según (4.198):
(0)
N̂
ĥ f,j
b
(0) a b
j
Lj qj
2a
a b
obteniéndose la pérdida de carga en los trayectos (columna (3)) según:
∆ Ĥ2
ĥ1
∆ Ĥ4
ĥ1
∆ Ĥ5
ĥ1
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
(0)
10 360 m.
ĥ2
(0)
ĥ3
(0)
ĥ3
(0)
13 418 m.
(0)
11 604 m.
ĥ4
ĥ5
La altura de bombeo H^ (0b) (4) se obtiene como el máximo de los valores
[Hk + ∆H^ (0k)] - z0, que en la iteración 0 corresponde al nudo terminal 4. Con el valor de
4.122
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
la altura de bombeo obtenido, se recalcula la pérdida de carga ∆H(0k) en los trayectos
(columna (5)), según la expresión:
∆ Hk
(0)
z0
(0)
Ĥb
Hk
Se corrige la expresión de las características en las líneas terminales (columna (6))
mediante:
(0)
(0)
N̂k
Nk
∆H
a b
b
(0)
k
∆ Ĥk
(0)
Con las nuevas características N(0k) se obtiene el valor de la característica en la
línea de cabecera:
1
1
(0)
N1
1
N
(0)
2
N
2 6380 10
1
(0)
4
3
(0)
N5
El error relativo (7) cometido en la iteración 0 sobre el valor de N1 expresado
porcentualmente es:
Err

N1
(0)
N1
N1
 100

1 5499 10 3 2 6380 10 3
 100
1 5499 10 3
70 2 %
Considerando un error admisible del 1 %, será necesario corregir el valor de las
características en la siguiente iteración según:
(1)
N̂k
(0)
Nk
N1
(0)
(0)
Nk
0 5875
N̂1
De esta manera se repite el procedimiento hasta que el error sobre la característica
N1 sea inferior al 1 %. A continuación se resume en las siguientes tablas los resultados
obtenidos en cada una de las iteraciones.
4.123
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Iteración 1
Línea (1)
^ (1)
N
(2)
^ (1)
h
(m.)
(3)
∆H^
(1)
(m.)
(5)
1
1'5499
10-3
5'338
2
1'2639
10-2
10'787
3
1'7665
10-3
2'734
4
2'7318
10-3
3'135
11'207
5
4'9993
10-3
3'058
11'130
∆H
(1)
16'125
(4) H^
(1)
b
(m.)
(6)
N
(1)
1'9166
10-3
2'9976
10-2
2'0475
10-3
11'207
2'7318
10-3
16'207
8'1733
10-3
31'207
(7) Err = 23'7 %
= 91'207 m.
Iteración 2
Línea (1)
N^
(2)
(2)
h^
(2)
(m.)
(3)
∆H^
(2)
(m.)
1
1'5499
10-3
5'338
2
2'4241
10-2
17'747
3
1'6558
10-3
2'602
4
2'2092
10-3
2'665
10'605
5
6'6096
10-3
3'785
11'725
(5)
∆H
23'086
(4) H^
(2)
b
(2)
(m.)
(6)
N
(2)
1'7086
10-3
3'5052
10-2
1'7961
10-3
10'605
2'2092
10-3
15'605
9'6063
10-3
30'605
= 90'605
(7) Err = 10'2 %
Iteración 3
Línea (1)
^ (3)
N
(2)
^ (3)
h
(m.)
(3)
∆H^
(3)
(m.)
1
1'5499
10-3
5'338
2
3'1797
10-2
21'838
3
1'6293
10-3
2'570
4
2'0040
10-3
2'474
10'382
5
8'7142
10-3
4'676
12'584
(5)
∆H
27'177
(4) H^
(3)
b
(3)
(m.)
(6)
N
(3)
1'6275
10-3
3'6789
10-2
1'7028
10-3
10'382
2'0040
10-3
15'382
1'1331
10-2
30'382
= 90'382
(7) Err = 5'0 %
Iteración 4
Línea (1)
^ (4)
N
(2)
^ (4)
h
(m.)
(3)
∆H^
(4)
(m.)
1
1'5499
10-3
5'338
2
3'5034
10-2
23'519
3
1'6216
10-3
2'561
4
1'9085
10-3
2'383
10'282
5
1'0790
10-2
5'506
13'405
(5)
∆H
28'857
(4) H^
4.124
(4)
b
(4)
(m.)
N
(4)
1'5902
10-3
3'7314
10-2
1'6610
10-3
10'282
1'9085
10-3
15'282
1'2808
10-2
30'282
= 90'282
(6)
(7) Err = 2'6 %
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Iteración 5
Línea (1)
^ (5)
N
(2)
^ (5)
h
(m.)
∆H^
(3)
(5)
(m.)
1
1'5499
10-3
5'338
2
3'6369
10-2
24'201
3
1'6189
10-3
2'557
4
1'8601
10-3
2'337
10'232
5
1'2484
10-2
6'155
14'051
∆H
(5)
(5)
29'539
(4) H^
(5)
b
(m.)
(6)
N
(5)
1'5715
10-3
3'7489
10-2
1'6402
10-3
10'232
1'8601
10-3
15'232
1'3874
10-2
30'232
(7) Err = 1'4 %
= 90'232
Iteración 6
Línea (1)
N^
(6)
(2)
h^
(6)
(m.)
∆H^
(3)
(6)
(m.)
1
1'5499
10-3
5'338
2
3'6975
10-2
24'508
3
1'6177
10-3
2'556
4
1'8346
10-3
2'312
10'206
5
1'3684
10-2
6'603
14'497
∆H
(5)
(6)
29'847
(4) H^
(6)
b
(m.)
(6)
N
(6)
1'5616
10-3
3'7559
10-2
1'6294
10-3
10'206
1'8346
10-3
15'206
1'4567
10-2
30'206
= 90'206
(7) Err = 0'8 %
Una vez realizada la 6ª iteración se obtiene un error sobre N1 del 0'8 % < 1 %.
Para ajustar todavía más la solución final, se corrige el valor de las características a
partir del cociente N1/N(61), obteniendo:
N1 = 1'5499 10-3 ; N2 = 3'7277 10-2 ; N3 = 1'6171 10-3
N4 = 1'8208 10-3 ; N5 = 1'4457 10-2
A partir de los valores finales de las características, obtenemos los diámetros de
la solución óptima, mediante (4.202). El resumen de la solución óptima se presenta en
la siguiente tabla.
Línea Diámetro (m.)
Coste (ptas/m.l.)
1
0'450
22.259.162
2
0'174
4.293.645
3
0'392
10.198.816
4
0'305
8.152.523
5
0'201
3.088.337
Coste total tub. C
tub
H
b
= 90'2 m.
Coste energético G e = K
b
Amortización G a = a
C
tub
a
+G
t
Coste total anual C T = G
H
b
= 11.281.781 ptas/año
= 0'09734
47.992.483 =
4.671.588 ptas/año
e
= 15.953.369 ptas/año
= 47.992.483 ptas.
Tabla 4.11.- Diámetros y costes de la solución óptima.
4.125
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.8.2.6.- Consideraciones sobre la aplicación del método.
a) Incompatibilidad de presiones en puntos intermedios de la red.
En la aplicación o adaptación del método de la serie económica al dimensionado
de una red ramificada se han empleado restricciones de presión mínima únicamente en
los nudos extremos de la red. Puede suceder que, una vez obtenida la solución óptima
del dimensionado, las presiones en algunos puntos intermedios (no considerados en las
restricciones) resulten insuficientes.
Es necesario establecer algún criterio que nos permita identificar la presencia de
nudos intermedios que, hipotéticamente, puedan presentar problemas de presión una vez
se ha optimizado el dimensionado únicamente en base a los nudos extremos.
Para centrar ideas, comenzaremos con el problema de dimensionado de una red
ramificada con altura de cabecera conocida. Para comprobar si un determinado nudo
intermedio c va a resultar crítico, esto es, sí presentará problemas de presión con la
solución final, bastará comprobar si la característica asociada al trayecto Sc, desde el
nudo de cabecera (nudo 0) hasta el nudo c, es inferior a las características de todos los
trayectos definidos por los nudos extremos de la red y que pasan por el nudo c. Ello
equivale en definitiva al siguiente criterio:
∆ Hc
c crítico si
2 a / (a b)
i ∈S c
Li qi
∆ Hk
<
∀ k / S c ⊂ Sk
( k nudo extremo)
2 a / (a b)
i ∈S k
Li qi
(4.211)
donde ∆Hc es la pérdida de carga admisible en el trayecto Sc.
Cuando el problema consiste en el dimensionado de una red cuya altura de
cabecera es incógnita, la identificación de los nudos intermedios críticos resulta
ligeramente distinta, puesto que no es posible hacer uso del criterio expresado en
(4.211), ya que la pérdida de carga admisible ∆Hc en el trayecto Sc, y el resto de los
valores ∆Hk, son desconocidos.
En este caso, y únicamente a efectos de identificar los nudos intermedios que
puedan resultar críticos, se asigna una pérdida de carga hipotética ∆H*k en el trayecto Sk,
4.126
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
que será calculada a partir de la característica de la línea de cabecera N1 según la
expresión:
∆ Hk
b
a b
1
2a
a b
i
N
i ∈Sk
Li q
(4.212)
Con la estimación de las pérdidas ∆H*k, será crítico aquel nudo intermedio que
necesite una altura de bombeo mayor que los nudos extremos situados aguas abajo para
contar con una mínima presión de servicio; si Hc es la mínima altura piezométrica
requerida en el nudo c, dicho nudo será crítico si:
c crítico si
∆ Hc
Hc > ∆ Hk
H k ∀ k / S c ⊂ Sk
( k nudo extremo)
(4.213)
Si existen nudos críticos intermedios, las modificaciones sobre el procedimiento
de dimensionado son similares en los dos casos comentados, y consisten en permitir que
el nudo crítico intermedio actúe como un nudo extremo de la red, de modo que el
conjunto de líneas ubicadas aguas abajo del nudo crítico c se dimensiona separadamente
de la red principal, como si se tratase del dimensionado de una red ramificada con altura
de cabecera conocida, sólo que dicha altura será, en esta ocasión, la altura piezométrica
mínima en el nudo crítico Hc.
b) Normalización de la solución.
Otro problema pendiente es la fase de normalización de los diámetros teóricos
obtenidos, al objeto de asignar diámetros estándar a las líneas de la red. Como siempre,
el primer paso consiste en asignar un diámetro estándar por línea, bien sea al inmediato
superior al teórico (supranormalización), o el inmediato inferior (infranormalización), o
simplemente considerando el diámetro estándar más cercano en tamaño al teórico
(criterio de proximidad).
De los dos casos que habitualmente se consideran, trataremos en primer lugar el
proceso de ajuste económico de los diámetros en redes alimentadas mediante una
estación de bombeo. Como ya se refirió en el apartado 4.7.2.3, el cambio de diámetro
económicamente más adecuado está determinado por la pendiente económica para el
aumento φ+i o la disminución φ-i de diámetro.
En el caso que nos ocupa, puesto que es posible aumentar y disminuir la altura de
4.127
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
bombeo Hb a voluntad, los cambios en los diámetros de la red estarán condicionados por
la relación entre los valores de {at φ+i} y {at φ-i} con el coeficiente Kb, que representa
el coste anual de cada metro de altura de bombeo.
En definitiva, el aumento de diámetro en una línea cualquiera j resultará
económicamente adecuado si se verifica que {at φ+j}<Kb, y por el contrario, la reducción
del diámetro en dicha línea resultará adecuada si {at φ-j}>Kb. Al igual que en el caso de
la serie de tuberías, se realizarán las modificaciones pertinentes en los diámetros hasta
que no exista ninguna posibilidad económicamente aceptable, esto es, hasta que se
verifique:
max at φ i ≤ Kb ≤ min at φ i
i
∀i
(4.214)
i
La altura de bombeo se reajusta de modo que la presión en todos los nudos del
sistema sea igual o superior al valor mínimo establecido.
Existirá en este caso uno o varios nudos en los cuales, la presión residual sea
exactamente la mínima. Puesto que para todas las líneas de la red se cumple:
max at φ i ≤ min at φ i
i
(4.215)
i
se deduce que, una vez fijado el valor de la altura de bombeo Hb, ya no es posible
acometer ningún cambio de diámetro que resulte económico en los trayectos
comprendidos entre la cabecera de la red y los nudos cuya presión adopta el valor
mínimo, que denominaremos trayectos "críticos". Por esta razón, los diámetros asignados
a las líneas de los trayectos críticos permanecen invariables en lo que resta del proceso
de normalización.
Una vez han sido fijados los diámetros estándar en los trayectos críticos de la red,
y puesto que la altura de bombeo Hb también ha sido fijada, es posible determinar la
altura piezométrica definitiva en todos los nudos pertenecientes a tales trayectos. El
proceso ulterior de modificación de los diámetros del resto de las líneas de la red será
absolutamente similar al que se realizaría en el caso de una red ramificada alimentada
con altura conocida, que es precisamente el que analizamos a continuación.
El ajuste económico de los diámetros en el caso de una red alimentada con altura
piezométrica conocida consiste, como siempre, en analizar los cambios de diámetro más
4.128
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
eficientes desde la perspectiva económica, en función de los valores de la pendiente
económica φ+i y φ-i, aunque es necesario definir un orden de actuación, esto es, si la
disminución económica de un determinado diámetro produce un déficit de presión en
un nudo concreto, sólo tendrá sentido restaurar la presión aumentando el diámetro de
una línea de su trayecto, aunque su pendiente φ+i sea superior a la de otras líneas fuera
del trayecto afectado por el déficit de presión.
Por esta razón, los cambios de diámetro se llevarán a cabo de forma secuencial
por trayectos, comenzando por el trayecto definido por el nudo que presente un mayor
déficit de presión (o la mínima holgura de presión), sin modificar los diámetros del resto
de las líneas. Al igual que en el caso de una serie de tuberías, las modificaciones de
diámetros en el trayecto finalizarán cuando un determinada línea del trayecto polariza
un incremento y disminución alternativo del diámetro en etapas sucesivas. La solución
para las líneas del trayecto estará configurada con un único diámetro estándar por línea,
excepto, en general, una línea que contará con dos diámetros consecutivos en tamaño,
y que es precisamente la línea que determina la finalización del proceso. En definitiva
se trata de ajustar los diámetros del trayecto como si se tratase de una serie de tuberías
aislada. Una vez finalizado el ajuste de los diámetros del trayecto, se determina la altura
piezométrica en los nudos que pertenecen al mismo, y se acomete el mismo
procedimiento para el resto de los trayectos cuyo diámetro todavía no es definitivo.
En el caso de que el ajuste realizado sobre los diámetros del trayecto inicial dé
como resultado un déficit de presión en cualquier nudo que no pertenezca a dicho
trayecto, será necesario continuar los cálculos en el trayecto determinado por este último
nudo, puesto que resulta más deficitario en presión que el inicialmente considerado.
4.129
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.8.3.- Modelo de Programación Lineal para el dimensionado óptimo de redes
ramificadas.
4.8.3.1.- Introducción.
El modelo de Programación Lineal que describiremos a continuación es un tipo
de formulación en diámetros discretos, puesto que para el dimensionado de las tuberías
de la red se considera un conjunto discreto de diámetros, que habitualmente
corresponderán a los diámetros estándar disponibles comercialmente.
A pesar de esta característica, se trata de una formulación de tipo continuo, ya que
las variables de decisión que intervienen en el problema de optimización son las
longitudes parciales de cada posible diámetro comercial que forma parte de cada una de
las líneas de la red, y ocasionalmente, la altura de bombeo de la estación elevadora en
cabecera.
La formulación del problema de dimensionado mediante Programación Lineal (PL)
ha sido desarrollada por multitud de autores, entre los que podemos citar los trabajos de
Labye [16] en 1966, Karmeli et al. [15] en 1968, Calhoun [8] en 1970. En esta misma
línea, Robinson y Austin [29] desarrollaron en 1976 un modelo de dimensionado de
redes ramificadas mediante PL considerando la intervención de válvulas reductoras de
presión, trabajo que será analizado en profundidad en el Capítulo 7. Otras aportaciones
sobre la formulación mediante PL se deben a Bhave [6] en 1979, Pleban y Amir [28]
en 1981 y Martínez et al. [22] en 1987.
El modelo de Programación Lineal parte de la hipótesis de que una línea de la red
puede estar constituida por varios tramos de diferentes diámetros. Si el conjunto de
diámetros posibles está compuesto por diámetros comerciales, la solución óptima
obtenida mediante esta formulación no requerirá ningún ajuste posterior de los
diámetros, siendo plenamente apta para su implementación.
La formulación de un modelo lineal no es el resultado de una "linealización" del
problema, sino que es totalmente exacta, puesto que considerando tramos de diámetro
uniforme dentro de una línea, el coste del tramo y también la pérdida de carga que
provoca son funciones lineales de la longitud del mismo. De este modo, tanto la función
objetivo como las restricciones resultan ser funciones lineales de las longitudes parciales
4.130
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
de los tramos de diámetro uniforme. Desde el punto de vista matemático, el conjunto
de soluciones factibles delimitado por las restricciones lineales del problema, es un
conjunto convexo y la función objetivo a minimizar es también convexa; se trata por
tanto de un problema convexo, del que podemos asegurar que no posee óptimos locales.
Las situaciones que pueden presentarse son las siguientes: en el caso de que las
restricciones sean incompatibles entre sí, el espacio de soluciones es vacío y no existe
solución al problema. Si el espacio de soluciones es no vacío, bien puede existir una
única solución óptima, o infinitas soluciones óptimas, todas ellas con el mismo coste
asociado.
4.8.3.2.-
Modelo de Programación Lineal para el dimensionado de una red ramificada
alimentada con altura de cabecera conocida.
El problema que se plantea es el dimensionado óptimo de los diámetros de una red
ramificada compuesta por n líneas, cuya altura piezométrica de alimentación H0 en el
nudo de cabecera (nudo 0) posee un valor fijo y conocido, de modo que en un conjunto
de nudos k de la red, en el que se incluyen al menos todos los nudos terminales, exista
una altura piezométrica mayor o igual a un valor mínimo Hk. Ello equivale a limitar la
pérdida de carga en los trayectos comprendidos entre el nudo 0 y un nudo genérico k
de modo que:
i ∈S k
hf,i ≤ H0
Hk
∆ Hk
(4.216)
siendo: hf,i = Pérdida de carga (m.) en la línea i.
Sk
= Conjunto de líneas pertenecientes al trayecto entre los nudos 0 y k.
∆Hk = Máxima pérdida de carga admisible (m.) en el trayecto comprendido
entre los nudos 0 y k.
Para introducir la formulación lineal consideraremos que se dispone de un conjunto
{D ,....,D(ND)} que contiene un total de ND diámetros posibles para ser utilizados en el
dimensionado de la red, a los que en adelante denominaremos diámetros candidatos,
ordenados de menor a mayor tamaño, de modo que D(1)<...<D(ND). La Figura 4.39
muestra una línea i cualquiera de una red, por la que transcurre un caudal qi, compuesta
por tramos de diferentes diámetros, de entre los diámetros candidatos.
(1)
El coste total de las tuberías de la línea i representada en la Figura 4.37 será:
ND
cj Li,j
Coste de la línea i (ptas) : Ci
j 1
4.131
(4.217)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
donde: Ci
= Coste total de las tuberías de la línea i (ptas).
cj = Coste unitario del diámetro D(j) (ptas/metro lineal).
Li,j = Longitud del tramo de diámetro D(j) en la línea i (m.).
Figura 4.37.- Línea compuesta por varios tramos de diferente diámetro.
Como es lógico, deberá cumplirse que la suma de las longitudes parciales Li,j sea
igual a la longitud Li de la línea i:
ND
Li
(4.218)
Li,j
j 1
La pérdida de carga total hf,i que se produce en la línea i será:
ND
hf,i
(4.219)
ji,j Li,j
j 1
donde: hf,i = Pérdida de carga total (m.) en la línea i.
ji,j = Pérdida de carga unitaria para cada uno de los diámetros D(j) (m/m.) en la
línea i.
Utilizando la expresión de pérdidas de Darcy, la pendiente hidráulica ji,j resulta:
ji,j
8 fi,j
1
π g D
2
4.132
(j) 5
2
qi
(4.220)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
La formulación global del problema de dimensionado óptimo consistirá en
minimizar la siguiente función objetivo, configurada por los costes asociados a las
tuberías, esto es:
n
Coste del sistema
ND
CT
(4.221)
cj Li,j
i 1
j 1
y sometida a unas restricciones de presión mínima del tipo:
ND
i ∈S k
hf,i
i ∈S k
ji,j Li,j ≤ ∆ Hk
H0
Hk
∀k
(4.222)
j 1
Las restricciones de presión mínima pueden plantearse para cualquier nudo de la
red además de los extremos o terminales, se trate o no de un nudo de consumo, en el
cual sea necesario asegurar una presión mínima. Naturalmente, cuanto mayor sea el
número de restricciones de presión mínima, tanto mayor será el tamaño del modelo y
la complejidad de su resolución.
Como indica la expresión (4.218), es necesario plantear también restricciones que
podemos calificar de tipo geométrico, a fin de asegurar que la suma de las longitudes
parciales Li,j en una línea sea exactamente igual a la longitud de la misma:
ND
Li,j
Li
∀i
1 .. n
(4.223)
j 1
Finalmente habrá que añadir las restricciones de no negatividad de las variables
de decisión, puesto que una solución del tipo Li,j<0 carece de sentido físico. Esta
condición constituye además una exigencia para la resolución del problema mediante
Programación Lineal:
Li,j ≥ 0
∀i , j
(4.224)
Como puede comprobarse, el problema de dimensionado queda configurado por
una función objetivo y unas restricciones de naturaleza lineal en cuanto a las variables
de decisión Li,j, y como tal, puede ser resuelto mediante el algoritmo SIMPLEX.
4.133
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.8.3.3.-
Modelo de Programación Lineal para el dimensionado de una red ramificada
alimentada mediante una estación de bombeo (altura de cabecera incógnita).
En ocasiones, las presiones mínimas de servicio en la red sólo pueden ser
garantizadas mediante la intervención de una estación elevadora. En tal caso, y como
se ha constatado en apartados anteriores, existe una estrecha relación económica entre
la altura de bombeo Hb y los diámetros de las tuberías de la red, puesto que una vez
establecidas las condiciones de diseño (presiones y caudales de servicio), el aumento de
la altura de bombeo permite la utilización de diámetros menores en las tuberías,
resultando una disminución de la inversión en tuberías a cambio de un incremento del
coste energético de bombeo. Por el contrario, una disminución de la altura de bombeo
trae como consecuencia la necesidad de emplear diámetros mayores en las tuberías,
encareciendo por tanto la inversión en tuberías a costa de un abaratamiento de los costes
energéticos. Esta relación se concreta en una función objetivo a minimizar que incluye
tanto el coste energético anual como la amortización anual de la inversión en tuberías.
En definitiva, las variables de decisión que intervienen en este nuevo problema son,
además de las longitudes parciales Li,j de cada diámetro candidato D(j) en las líneas de
la red, la altura de bombeo Hb.
Como ya se ha visto, el coste energético anual de una estación de bombeo es:
Ge (ptas/año)
donde: W
nh
p
qb
Hb
η
Kb
=
=
=
=
=
=
=
W nh p
9 81 qb Hb
η
nh p
Kb Hb
(4.225)
Potencia media consumida (kW).
Número de horas anuales de utilización.
Precio de la energía (ptas/kW hora).
Caudal bombeado (m3/segundo).
Altura de bombeo (m.).
Rendimiento global de la EB (tanto por uno).
Coste unitario anual de cada metro de altura de bombeo.
El coste anual de amortización del sistema de tuberías se obtiene multiplicando su
coste total por el factor de amortización at, esto es:
Ga
at Ctub
n
ND
i 1
j 1
at
4.134
cj Li,j
(4.226)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
La función objetivo que debe ser minimizada es precisamente la suma de los
costes anuales referidos, a saber:
CT
Ge
Ga
Kb Hb
n
ND
i 1
j 1
at
(4.227)
cj Li,j
función que es lineal respecto de las variables del problema (Li,j y Hb).
Las restricciones de presión mínima se formulan para asegurar que en los nudos
k prescritos por el proyectista exista una altura piezométrica no inferior a Hk, aunque en
este caso, la magnitud de la pérdida de carga admisible ∆Hk en el trayecto comprendido
entre la cabecera de la red (nudo 0) y el nudo k no será un valor conocido, puesto que
dependerá del valor de la altura de bombeo Hb. En efecto, si z0 es la cota de aspiración
de la EB situada en la cabecera de la red, la pérdida de carga ∆Hk admisible en el
trayecto 0-k será:
∆ Hk
z0
Hb
(4.228)
Hk
Así pues, las restricciones de presión mínima adoptarán la siguiente forma:
ND
i ∈S k
hf,i
i ∈S k
ji,j Li,j ≤ ∆ Hk
j 1
z0
Hb
Hk
↓
∀k
(4.229)
ND
i ∈S k
ji,j Li,j
Hb ≤ z0
Hk
∀k
j 1
Es necesario además formular las restricciones geométricas para todas las líneas
de la red:
ND
Li,j
Li
∀i
1 .. n
(4.230)
j 1
y las restricciones de no negatividad de las variables de decisión:
Li,j ≥ 0 ∀ i , j ; Hb ≥ 0
(4.231)
De nuevo, el problema formulado en estos términos resulta completamente lineal,
tanto por la función objetivo como por las restricciones impuestas, pudiendo ser resuelto
mediante cualquier algoritmo de Programación Lineal, tal como el algoritmo SIMPLEX.
4.135
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.8.3.4.- Reducción del tamaño del modelo.
La aplicación del modelo de Programación Lineal al dimensionado óptimo de
redes ramificadas es, sin ninguna duda, el método preferido por los investigadores para
este cometido, puesto que posee una gran sencillez en su planteamiento, que no es fruto
de ninguna simplificación o aproximación, sino más bien al contrario, es el resultado de
considerar que las líneas de la red estarán finalmente configuradas con diámetros
comercialmente disponibles, esto es, un conjunto discreto y finito.
Una ventaja adicional es que el problema de dimensionado óptimo formulado
como un problema lineal puede ser resuelto mediante cualquiera de los paquetes de
software disponibles en el mercado de Programación Lineal. Lo que en principio es
ventajoso trae como consecuencia dos inconvenientes, a saber: a) exige del usuario la
introducción de una gran cantidad de información, y b) el tamaño del modelo puede ser
excesivo para el software disponible.
Si n es el número de líneas de la red, ND el número de diámetros candidatos y
K es el número de nudos críticos considerados en las restricciones de presión mínima,
el usuario debe aportar los siguientes datos:
ND costes unitarios de los diámetros candidatos (coeficientes de coste de la
función objetivo).
Coeficiente Kb en el caso de que intervenga el coste energético.
n longitudes de línea (términos independientes en las restricciones geométricas).
n ND pendientes hidráulicas asociadas con cada uno de los diámetros
candidatos en cada una de las líneas de la red, algunos de ellos repetidos a lo
largo de las K restricciones de presión mínima.
K términos independientes en las restricciones de presión mínima, que pueden
ser o bien la pérdida de carga admisible ∆Hk en los trayectos 0-k en el caso de
que la altura de cabecera sea conocida, o bien los términos (z0-Hk) en el caso
de que la altura de cabecera sea incógnita.
Si consideramos el dimensionado de una red ramificada alimentada desde un
depósito, con n=150 líneas, ND=12 diámetros candidatos y K=40 nudos críticos, el
número total de datos necesarios asciende a 2.002; de ellos, n ND=1.800 corresponden
4.136
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
a las pendientes hidráulicas, que se calculan a partir de las características de la tubería
empleada y de los caudales circulantes por las líneas, mientras que el resto (202)
corresponde a datos básicos del problema. Esta sencilla estimación pone de manifiesto
la importancia que tiene el desarrollo e implementación de herramientas informáticas de
apoyo al usuario que faciliten la labor de comunicación con el software de optimización,
por medio de la construcción y elaboración, a partir de los datos básicos, del problema
de PL que finalmente será optimizado. Precisamente el objetivo del Capítulo 5 es
exponer los puntos básicos de la implementación informática de un modelo de
Programación Lineal similar al descrito.
Incidiendo en el segundo inconveniente, los recursos disponibles para resolver
problemas de PL son limitados, tanto por el software (imposibilidad de manejar un
elevado número de variables) como por el hardware (capacidad de memoria limitada)
y por ello puede ocurrir que un determinado problema de dimensionado óptimo no
pueda ser resuelto con los medios informáticos disponibles.
Una posible solución a este inconveniente reside en la reducción del tamaño del
modelo en dos frentes bien distintos: por un lado, cabe la posibilidad de reducir el
número de restricciones de presión mínima consideradas y por otro, es posible asimismo
reducir el conjunto de diámetros candidatos.
En el dimensionado de una red ramificada pueden plantearse tantas restricciones
de presión mínima como nudos posee la red menos uno, o lo que es lo mismo, tantas
restricciones como líneas. Como mínimo, será necesario plantear una restricción de
presión mínima para cada nudo extremo o terminal de la red.
Alperovits y Shamir [3] proponen utilizar inicialmente elnúmero mínimo de
restricciones de presión, esto es, sólo las correspondientes a los nudos terminales; una
vez obtenida la solución óptima, y en el caso de que en algún nudo intermedio se
obtenga una presión por debajo del valor mínimo, será necesario reformular el problema,
planteando restricciones adicionales de presión mínima para dichos nudos.
Otra posibilidad para reducir el tamaño del modelo reside en emplear un número
reducido de diámetros candidatos. A pesar de que la formulación del modelo contempla
la posibilidad de que una línea esté configurada por varios tramos de diferentes
diámetros, la experiencia nos demuestra que en la solución óptima final, las líneas de
4.137
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
la red estarán configuradas por uno, o a lo sumo dos diámetros entre los posibles, y en
este último caso, se tratará de dos diámetros consecutivos en tamaño. Este hecho puede
demostrarse como consecuencia de la estructura de precios de las tuberías comerciales
(Fujiwara y Dey [13]).
De este modo, una posibilidad para reducir el tamaño del modelo consiste en
seleccionar un pequeño número de diámetros para cada línea, con la esperanza de que
el o los diámetros finales pertenezcan al conjunto de diámetros candidatos. Puesto que
el objetivo es seleccionar diámetros candidatos lo más cercanos al diámetro óptimo de
cada línea, ya no cabe hablar de un conjunto de diámetros candidatos para toda la red,
sino de un conjunto de diámetros candidatos {D(1i),..., D(NDii)} para cada línea i, integrado
por un total de NDi diámetros.
La selección del conjunto de diámetros candidatos para cada línea admite criterios
muy diversos; así por ejemplo, Bhave [6] propone un método de selección de diámetros
candidatos para redes ramificadas con altura de cabecera conocida, denominado método
del trayecto crítico, que consiste en primer lugar en asignar a cada línea i un valor
teórico de la pendiente hidráulica ~ji. Para asignar dicha pendiente se comienza por el
trayecto crítico, que será aquel cuya pendiente hidráulica disponible es la menor de todas
las posibles, esto es:
Sm trayecto crítico ⇔
H0
Hm
j ∈S m
min
Lj
H0
k
j ∈S k
Hk
(4.232)
Lj
siendo H0 la altura en cabecera, y Hm y Hk las alturas mínimas en los nudos m y k
respectivamente.
La pendiente hidráulica ~jm asignada a todas las líneas del trayecto crítico Sm será
precisamente:
∀ i ∈Sm ⇒ j̃ i
j̃ m
H0
Hm
j ∈S m
Lj
∆ Hm
j ∈S m
Lj
(4.233)
A partir del valor de la pendiente hidráulica en el trayecto Sm, podemos estimar
un valor teórico de la altura piezométrica en cualquier nudo k del mismo según:
H̃k
H0
j̃ m
4.138
j ∈ Sk
Lj
(4.234)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Los nudos k del trayecto crítico constituyen asimismo la cabecera de otros posibles
trayectos a los que pertenecen el resto de las líneas de la red, y sobre los cuales se
volverá a aplicar el criterio del trayecto crítico hasta que, finalmente, se haya asignado
un valor de la pendiente hidráulica ~ji a todas y cada una de las líneas de la red.
El valor obtenido de la pendiente hidráulica ~ji corresponde a un diámetro teórico
Di de modo que, empleando la expresión de pérdidas de Darcy se cumpla:
2
j̃ i
8 fi q i
π g
2
1
D
(4.235)
5
i
Tomando como referencia el diámetro teórico estimado Di para la línea i por
medio del criterio del trayecto crítico, Bhave sugiere que el conjunto óptimo de
diámetros candidatos para la línea i debe de contar con dos diámetros normalizados,
consecutivos en tamaño, de modo que D(1i)≤Di≤D(2i), aunque contempla excepcionalmente
la posibilidad de adoptar tres e incluso cuatro diámetros candidatos.
Siguiendo unas pautas similares, Pleban y Amir [28] plantean la selección de tres
diámetros candidatos por línea, consecutivos en tamaño, atendiendo a su proximidad a
un diámetro teórico estimado Di; la estimación del diámetro Di se obtiene a través del
siguiente criterio:
Di (mm.)
25
qi (m3/hora)
(4.236)
2
lo que significa considerar una velocidad de circulación del agua de 1'132 m/s. En
unidades del sistema internacional, la expresión anterior resultará:
Di
4 qi
π 1 132
1 061
qi
(4.237)
Para poder asegurar que la solución óptima obtenida es un óptimo global, el grupo
de diámetros candidatos asignado a cada línea debe ser tal que, si el proceso de
optimización fuese libre de seleccionar cualquiera de los diámetros posibles, el resultado
continuaría siendo el mismo.
Tal condición equivale en la práctica a asegurar que los diámetros óptimos de cada
línea en la solución final se sitúen en el centro de la gama escogida. En el caso de que
4.139
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
el diámetro óptimo de una línea coincida con alguno de los extremos del conjunto de
diámetros candidatos, ello significa que existe la posibilidad de que hubiese sido
escogido un diámetro situado fuera de los límites del conjunto de los candidatos. La
única forma de averiguarlo es permitir que el algoritmo de resolución cuente con la
posibilidad de "traspasar" los extremos del conjunto de diámetros candidatos, y el modo
más común y sencillo para conseguirlo consiste en desplazar el conjunto de diámetros
candidatos, de modo que el diámetro extremo obtenido en la solución óptima quede
centrado dentro del nuevo conjunto de diámetros candidatos.
El número mínimo de diámetros candidatos es de dos, puesto que pueden aparecer
hasta dos diámetros por línea en la solución final, pero lo cierto es que un número tan
limitado de diámetros candidatos exigiría sin duda un gran número de operaciones de
desplazamiento del conjunto de diámetros candidatos para poder asegurar la consecución
de una solución óptima global.
Se trata en definitiva de buscar el compromiso entre un número de variables
creciente con el número de diámetros candidatos por línea, y un número de operaciones
necesarias, mayor cuanto menor sea el número de diámetros candidatos. En general, un
número de cuatro diámetros candidatos parece suficiente para cumplir adecuadamente
este cometido, como veremos en capítulo siguiente.
De la reducción del tamaño del modelo se concluyen evidentes ventajas, no
solamente en cuanto a las necesidades de memoria, sino también en lo referente al
tiempo de cálculo.
4.8.3.5.- A spectos particulares del problema.
a) Restricciones de velocidad:
Las restricciones de velocidad máxima y mínima no aparecen en forma explícita
en el modelo lineal, de modo que su imposición debe realizarse en la fase de selección
de los diámetros candidatos de una determinada línea. Para ello, será necesario respetar
las siguientes relaciones:
(ND i)
Di
≤
4 qi
π vmin
;
4.140
Di ≥
(1)
4 qi
π vmax
(4.238)
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
que indican que el máximo diámetro candidato D(NDii) en la línea i debe dar lugar a una
velocidad superior al valor mínimo establecido vmin, con el caudal de diseño qi
considerado, mientras que el mínimo diámetro candidato D(1i) debe dar lugar a una
velocidad inferior a la máxima vmax.
Cuando el conjunto de diámetros candidatos se aproxima por alguno de sus
extremos a uno de los valores límite determinado por las restricciones de velocidad, el
proceso queda acotado por estos valores. En tal situación se pueden adoptar dos tipos
de acción:
a)
Si el conjunto de diámetros candidatos tiene un tamaño fijo, a partir de la
posición en la cual se alcanza el límite, se completará el conjunto repitiendo
el diámetro extremo correspondiente.
b) Si el conjunto de diámetros candidatos puede alterar dinámicamente su
tamaño, se considerará completo cuando se alcanza alguno de los diámetros
extremos.
En la Figura 4.40 se representan los dos casos para el supuesto b) en los cuales, la
selección de diámetros candidatos queda restringida al imponer diámetros extremos por
efecto de los límites de velocidad.
a) Con un diámetro mínimo de 300 mm. la lista queda acotada por la izquierda:
Diámetro teórico
(mm.)
...
300
300
300
300
316'8
300
350
400
450
500
600
600
...
b) Con un diámetro máximo de 600 mm. la lista queda acotada por la derecha:
Diámetro teórico
(mm.)
...
300
300
350
400
450
567'3
500
600
600
600
600
...
Figura 4.38.- Efecto de las restricciones de velocidad sobre la selección de diámetros
candidatos.
El caso representado en la figura corresponde al establecimiento de un conjunto
4.141
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
de cuatro diámetros candidatos seleccionados alrededor de un valor teórico estimativo
del diámetro de la línea.
La intervención de los límites de velocidad es importante no sólo por lo que se
refiere a la selección del conjunto de diámetros candidatos, sino también por su
influencia en el funcionamiento hidráulico del sistema, como se comenta a continuación.
La limitación de la velocidad máxima equivale a imponer un diámetro mínimo
en cada una de las líneas; ello significa que en algunas trayectos de tuberías se
presentará una pérdida de carga menor de la estrictamente necesaria para respetar el
requisito de presión mínima de servicio en el nudo extremo del trayecto. En tal caso, se
dice que en el nudo extremo existe una holgura de presión, esto es, la presión dinámica
residual en el nudo es mayor de la estrictamente necesaria.
El hecho de que exista un leve exceso de presión no representa en general un
problema, aunque dependiendo de la magnitud de la holgura, podría resultar necesario
adoptar alguna medida para reducir la presión.
La limitación de velocidad mínima equivale a imponer un diámetro máximo en
cada línea. Cuando la red a dimensionar se alimenta con una altura piezométrica fija y
conocida (mediante un depósito, por ejemplo), la limitación de velocidad mínima podría
llegar a ser incompatible con las restricciones de presión mínima, esto es, la pérdida de
carga que proporcionan los diámetros máximos podría ser todavía excesiva para alcanzar
la presión mínima requerida en los nudos de servicio. Llegados a una circunstancia de
este tipo sólo cabe la posibilidad de "relajar" la limitación de velocidad mínima (y
permitir por tanto mayores diámetros) o bien reformular el problema alimentando la red
a través de una estación elevadora.
b) Costes energéticos:
En el planteamiento general que ha sido presentado, se supone que la estación
de bombeo que alimenta la red aporta un caudal qb uniforme durante nh horas de
funcionamiento anual. Sin embargo, es muy habitual que el caudal bombeado se ajuste
a las necesidades del consumo, bien sea directamente ó modulado a través de un
depósito intermedio.
4.142
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
En general, el interés de conocer el caudal bombeado reside únicamente en el
cálculo de los costes energéticos, y por esta razón puede soslayarse el problema
contabilizando dichos costes con referencia a la potencia media utilizada durante las nh
horas anuales de bombeo.
En función de la modulación horaria del bombeo, puede resultar muy conveniente
contratar el suministro eléctrico con discriminación horaria. En tal caso, será necesario
conocer en detalle la distribución de los consumos de energía eléctrica a lo largo del
tiempo, según los períodos llano, valle y punta, de modo que la constante Kb (ptas/m.
y año) se calcularía según:
h
Kb
qb nhh ph
9 81
h
siendo:
h
qhb
nhh
ph
ηh
=
=
=
=
=
η
(4.239)
h
Indice de período horario.
Caudal bombeado durante el período h.
Número de horas anuales de bombeo en el período h.
Precio del kW h consumido en el período h.
Rendimiento global de la EB en el período h.
Además, si Kr es el recargo (o descuento, si es negativo) porcentual por energía
reactiva, se multiplicará Kb por un factor (1 + Kr/100) para obtener los costes reales que
supone el consumo de energía.
En el planteamiento anterior se ha supuesto la altura de elevación independiente
del caudal bombeado. En otro caso, el coeficiente Kb pasaría a depender de Hb,
convirtiendo la función objetivo en no lineal. La solución del problema exigiría en tal
caso un prceso iterativo, en el que Kb se ajusta para cada nuevo valor de Hb obtenido.
c) Múltiples estados de carga:
En el desarrollo del modelo se ha considerado un único estado de carga como
situación de diseño, pero admite la posibilidad de considerar varios estados de carga
como hipótesis de diseño. Con esta consideración y en el caso de que la red esté
alimentada con altura piezométrica conocida, las restricciones de presión mínima
ND
resultan:
l
l
(4.240)
j i,j Li,j ≤ ∆ Hk
∀k,l
i
i ∈S k j 1
4.143
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
siendo:
jil,j
=
∆Hkl
=
Pendiente hidráulica provocada por el diámetro candidato D(ji) en
la línea i, para el estado de carga l (caudal qll).
Pérdida de carga máxima admisible en el trayecto Sk y en el
estado de carga l.
En el caso de que la red se alimente a través de una estación de bombeo es
necesario modificar también las restricciones de presión mínima y la expresión del coste
energético anual. La reformulación de las restricciones de presión conduce a:
ND i
l
i ∈S k j 1
donde:
Hbl
Hkl
=
=
j i,j Li,j
H b ≤ z0
Hk ∀ k , l
l
l
(4.241)
Altura de bombeo para el estado de carga l.
Altura piezométrica mínima en el nudo k y el estado de carga l.
El término correspondiente al coste energético también resultará:
l
Ge
9 81
l
donde:
qbl
ηl
nhl
=
=
=
l
qb Hb nhl
η
l
⋅p
Caudal bombeado en el estado de carga l.
Rendimiento global de la EB en el estado de carga l.
Número de horas anuales de bombeo en el
correspondiente al estado de carga l.
(4.242)
período
Cada estado de carga adicional considerado va a representar añadir un conjunto
completo de restricciones de presión, lo que equivale a aumentar de forma considerable
el tamaño del modelo, con los inconvenientes asociados de aumento del tiempo de
cálculo y posible falta de disponibilidad de memoria para el tratamiento de las variables
implicadas.
Además, la expresión (4.242) puede generalizarse aun más si el precio del kw
varía en función del período horario, como se ha visto antes.
h
d) Dimensionado de ampliaciones:
El dimensionado de la ampliación de una red existente puede ser resuelto
fácilmente con el modelo lineal, tan sólo modificando las restricciones de presión
4.144
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
mínima, de forma que la presencia de las tuberías instaladas está asociada a una pérdida
de carga adicional, cuyo valor será además conocido para los caudales de diseño.
Para reformular las restricciones de presión mínima, se considera que el conjunto
de líneas de un trayecto Sk se divide en dos conjuntos, uno de ellos integrado por las
líneas que poseen tuberías en servicio y que por lo tanto, no son objeto de
dimensionado, denominado SEk , y otro constituido por aquellas líneas del trayecto que
deben de ser dimensionadas, denominado SNk , de modo que SEk ∩ SNk = ∅ y
SEk ∪ SNk = Sk. Con esta nueva nomenclatura, las restricciones de presión mínima en el
caso de una red alimentada con altura conocida pasarán a ser:
ND i
Ji,j Li,j ≤ ∆ Hk
i ∈S
N
k
hf,i
i ∈S
j 1
∀k
(4.243)
E
k
y en el caso de estar alimentada con altura piezométrica incógnita será:
ND i
Ji,j Li,j
i ∈S
N
k
j 1
hf,i
i ∈S
H b ≤ z0
Hk
∀k
(4.244)
E
k
donde hf,i representa la pérdida de carga en una línea ya construida, para el caudal de
diseño correspondiente qi.
e) Limitación de presiones máximas:
Las presiones máximas que se registran en la red en régimen permanente ocurren
cuando al caudal circulante es nulo, esto es, en ausencia de pérdidas de carga (presión
hidrostática). Si la altura de alimentación de la red es fija y conocida, los valores de las
presiones máximas en régimen permanente están determinadas por dicho valor, y la
única posibilidad de modificarlo es introducir elementos auxiliares, tales como válvulas
reductoras de presión (Robinson y Austin [29]). La intervención de este tipo de válvulas
en el dimensionado de redes ramificadas será ampliamente estudiada en el Capítulo 7.
Por el contrario, cuando la altura de bombeo Hb es una variable de diseño, sí es
posible modificar las presiones estáticas que van a soportar los elementos del sistema,
y en consecuencia, cabe la posibilidad de introducir restricciones de presión máxima. Si
denominamos PMAXk a la máxima altura de presión permitida en un nudo k cualquiera
4.145
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
de la red, cuya cota es zk, la restricción de presión máxima en dicho nudo se formulará
como:
(4.245)
H k , max zk
PMAXk ≤ z0 Hb
siendo Hk,max la máxima altura piezométrica permitida en el nudo.
Como se desprende de la expresión (4.245), la única variable que puede
intervenir sobre las presiones máximas es la altura de bombeo Hb. Sin embargo, la
experiencia nos demuestra que en multitud de ocasiones para poder mantener una
presión mínima en determinados puntos altos de la red, se obliga a otros puntos de cota
geométrica más baja a soportar presiones por encima de lo que sería deseable, esto es,
las restricciones de presión mínima entran en conflicto con las de presión máxima.
Situaciones de este tipo pueden derivar fácilmente en una incompatibilidad entre
las restricciones, que obligue a incluir válvulas reductoras de presión (VRP) en el
trazado de la red. La finalidad de tales dispositivos es doble, puesto que, desde el punto
de vista funcional actúan para mantener las presiones de servicio por debajo del valor
máximo admisible, pero además, y como consecuencia de ello, al reducir las presiones
internas que soportan las tuberías, pueden permitir la utilización de espesores inferiores
y por tanto, tuberías más económicas.
f) Inclusión de costes adicionales:
Hasta el momento se ha considerado únicamente la intervención del coste de
inversión en tuberías (o su amortización anual) y, en caso necesario, el coste energético
del bombeo. El principal inconveniente que se deriva de incluir cualquier otro tipo de
coste reside en la no linealidad de las funciones de coste asociadas. Un ejemplo de este
tipo de funciones corresponde al coste de construcción de la estación de bombeo, cuya
importancia con respecto al total de la inversión puede ser relativamente elevada.
Como recordaremos del apartado 4.4.4.2, el coste de construcción de la estación
de bombeo puede aproximarse a una función tal como:
Cc,eb
A1
A2 W a
(0<a≤1)
(4.246)
en la cual, W representa la potencia instalada en la EB, y donde el exponente a adopta
valores menores que 1, comprendidos en general entre 0'7 y 0'8. Esta situación implica
que el coste residual por cada kilovatio instalado disminuye cuanto mayor es la potencia
instalada. Si consideramos que la potencia instalada está relacionada linealmente con la
altura de bombeo Hb (puesto que el caudal bombeado se considera dato de diseño), y
4.146
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
teniendo en cuenta que el término de coste fijo A1 no se ve afectado por el proceso de
optimización, el coste de construcción de la EB puede ser expresado como:
Cc,eb
α Hb
a
(4.247)
La introducción de este coste adicional en la función objetivo (o cualquier otro
cuya función de coste no sea lineal, por ejemplo, en el caso de modulación del bombeo
planteado en b) requiere linealizar la función de coste asociada, procediendo en forma
iterativa en la optimización y reajustando la función lineal aproximada en cada iteración.
4.8.3.6.- Procedimiento de resolución.
Todas las consideraciones expuestas ponen claramente de manifiesto que la
aplicación de un modelo de Programación Lineal para el dimensionado óptimo de una
red ramificada no consiste en la aplicación pura y simple de una metodología
matemática de tipo general, sino que exige un esfuerzo adicional en la preparación del
problema y en la interpretación de los resultados obtenidos, que sólo puede ser
concretado después de un conocimiento profundo del comportamiento hidráulico del
sistema objeto del dimensionado.
Veamos pues la metodología a seguir en líneas generales hasta llegar a la
solución óptima definitiva. El primer cálculo básico consiste en la selección del conjunto
de diámetros candidatos para cada línea. Comenzando con los datos de partida (trazado,
topografía, longitudes de línea, consumos y condiciones de diseño en general) y
mediante un procedimiento de predimensionado cualquiera se asigna un diámetro teórico
por línea, que servirá de referencia para establecer los diámetros comerciales candidatos.
A partir del caudal de diseño de las líneas qi y de los diámetros candidatos D(ji) de la
misma, es posible calcular la pendiente hidráulica ji,j asociada a cada uno de los
diámetros candidatos, que son los coeficientes en las restricciones de presión mínima.
Los precios unitarios de los diámetros que intervienen, y en su caso, el factor de
amortización, así como el coste energético permiten construir la función objetivo a
minimizar.
Una vez ensamblado el problema lineal queda en disposición de ser resuelto
mediante el algoritmo SIMPLEX, que consta de dos fases: la fase I consiste en encontrar
una solución factible y en el caso de que ésta exista, la fase II consiste en mejorar
progresivamente dicha solución hasta encontrar la solución óptima. Ahora bien, tal y
4.147
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
como se ha descrito el proceso de preparación de los datos, la fase I puede ser omitida,
puesto que la solución teórica obtenida en el predimensionado puede servir como
solución factible inicial una vez supranormalizados los diámetros teóricos.
La solución final estará constituida por las longitudes parciales de cada uno de
los diámetros considerados que configuran cada línea de la red, y en su caso, por la
altura de bombeo Hb. A continuación hay que comprobar si es necesario desplazar el
grupo de diámetros candidatos en alguna línea, al objeto de que todos los diámetros
óptimos queden centrados en la solución final. Una vez obtenida ésta, se completarán
los resultados con la evaluación de los costes y con el cálculo definitivo de las presiones
en todos los nudos. La siguiente figura resume el procedimiento de resolución descrito.
Figura 4.39.-
Esquema de la aplicación del modelo de Programación Lineal para el
dimensionado óptimo de una red ramificada.
4.148
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.8.3.7.- Ejemplo. Dimensionado de la red del apartado 4.8.2.5 mediante Programación
Lineal.
Como aplicación del modelo lineal realizaremos a continuación el dimensionado
de la red ramificada del ejemplo 4.8.2.5, representada en la figura siguiente.
Figura 4.40.- Red ramificada a dimensionar.
Recordemos que la red se alimenta desde una estación de bombeo, con una cota
de aspiración z0 = 0 m., bombeando un caudal qb = q1 = 0'23 m3/s., durante un promedio
de nh = 3.000 horas/año, siendo su rendimiento global η = 0'65. El precio de la energía
es p = 12 ptas/kW hora.
La altura piezométrica mínima exigida en los nudos terminales es H2 = 60 m.,
H4 = 80 m. y H5 = 75 m. El factor de amortización de la red se calcula con un interés
del 9 % durante 30 años, resultando at = 0'09734.
Para el dimensionado se utilizará tubería de fibrocemento, con rugosidad
ε = 0'025 mm., y cuyos precios unitarios se detallan a continuación:
Diámetro (mm.)
Precio
(ptas/m.l.)
200
250
300
350
400
450
500
600
700
4160
5784
8000
9864
13000
15660
18800
23830
25820
Tabla 4.12.- Precio unitario de las tuberías empleadas.
4.149
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
El coeficiente de coste energético Kb resulta:
9 81 qb
Kb
η
nh p
124.964 31 ptas/m. y año
Se considera una limitación de las velocidades de circulación comprendida entre
0'5 y 2 m/s, de modo que los diámetros posibles en cada una de las líneas serán los que
muestra la tabla siguiente, en la zona sin sombrear:
Diámetros (mm)
Línea
Caudal
(m3/s)
200
250
300
350
400
450
500
600
700
1
0'23
7'32
4'69
3'25
2'39
1'83
1'45
1'17
0'81
0'60
2
0'05
1'59
1'02
0'71
0'52
0'40
0'31
0'25
0'18
0'13
3
0'15
4'77
3'06
2'12
1'56
1'19
0'94
0'76
0'53
0'39
4
0'07
2'23
1'43
0'99
0'73
0'56
0'44
0'36
0'25
0'18
5
0'05
1'59
1'02
0'71
0'52
0'40
0'31
0'25
0'18
0'13
Tabla 4.13.- V elocidades de circulación en las líneas (m/s).
Los límites de velocidad definen de hecho un conjunto de cuatro o cinco
diámetros posibles por línea, que utilizaremos directamente como diámetros candidatos
para formular el problema de Programación Lineal.
La Tabla 4.14 muestra los valores de la pendiente hidráulica, expresada en metro
por Km. de tubería para cada línea y cada diámetro candidato.
Línea
Caudal
(m3/s)
1
0'23
2
0'05
3
0'15
4
0'07
5
0'05
Diámetros (mm.)
200
10'162
10'162
250
3'396
300
1'394
350
400
450
500
600
700
5'760
3'223
1'920
0'787
0'371
5'002
2'594
1'457
0'871
0'358
0'637
0'659
6'335
2'502
1'220
3'396
1'394
0'659
Tabla 4.14.- Pendiente hidráulica (m./Km.) en las líneas de la red.
4.150
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Para completar la formulación del problema resta únicamente obtener los
coeficientes de la función objetivo referidos a las tuberías, que resultan de multiplicar
los costes unitarios de la Tabla 4.12 por el factor de amortización at.
El problema de optimización queda formulado del siguiente modo:
Minimizar
1265.42 L1400 + 1524.34 L1450 + 1829.99 L1500 + 2319.61 L1600 + 2513.32 L1700 +
404.93 L2200 + 563.01 L2250 + 778.72 L2300 + 960.16 L2350 +
960.16 L3350 + 1265.42 L3400 + 1524.34 L3450 + 1829.99 L3500 + 2319.61 L3600 +
563.01 L4250 + 778.72 L4300 + 960.16 L4350 + 1265.42 L4400 +
404.93 L5200 + 563.01 L5250 + 778.72 L5300 + 960.16 L5350 +
124964.31 HB
Sujeto a:
a) Restricciones geométricas:
Línea
Línea
Línea
Línea
Línea
1:
2:
3:
4:
5:
L1400
L2200
L3350
L4250
L5200
+
+
+
+
+
L1450
L2250
L3400
L4300
L5250
+
+
+
+
+
L1500
L2300
L3450
L4350
L5300
+
+
+
+
+
L1600 + L1700 = 1500
L2350
= 1250
L3500 + L3600 = 850
L4400
= 1000
L5350
= 720
b) Restricciones de presión mínima:
Trayecto 0-2
( 5.760 L1400 + 3.223 L1450 + 1.920 L1500 + 0.787 L1600 + 0.371 L1700 +
10.162 L2200 + 3.396 L2250 + 1.394 L2300 + 0.659 L2350 )
10-3
- HB <= -60
Trayecto 0-4
( 5.760 L1400 + 3.223 L1450 + 1.920 L1500 + 0.787 L1600 + 0.371 L1700 +
5.002 L3350 + 2.594 L3400 + 1.457 L3450 + 0.871 L3500 + 0.358 L3600 +
6.335 L4250 + 2.502 L4300 + 1.220 L4350 + 0.637 L4400 )
10-3
- HB <= -80
Trayecto 0-5
( 5.760 L1400 + 3.223 L1450 + 1.920 L1500 + 0.787 L1600 + 0.371 L1700 +
5.002 L3350 + 2.594 L3400 + 1.457 L3450 + 0.871 L3500 + 0.358 L3600 +
10.162 L5200 + 3.396 L5250 + 1.394 L5300 + 0.659 L5350)
10-3
- HB <= 75
Con la nomenclatura empleada, la variable HB corresponde a la altura de bombeo
en m., y las variables Lnddd corresponden a las longitudes parciales en la línea n del
diámetro ddd, expresando estos tres dígitos el valor del mismo en mm.
La solución óptima ha sido obtenida mediante el programa LP83 [32], para
resolución de problemas de PL, y los resultados definitivos se resumen a continuación.
4.151
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
Línea Longitud Diámetro
(m.)
(mm.)
Coste
(ptas)
1
1500
450
23.490.000
Hb = 91'6 m.
2
1250
200
5.200.000
Coste energético G e = K
b
3
850
350
8.384.400
Amortización G a = a
C
tub
4
1000
300
8.000.000
5
720
200
2.995.200
a
+G
t
Coste total anual C T = G
H
b
= 11.446.731 ptas/año
= 0'09734
48.069.600 =
4.679.095 ptas/año
e
= 16.125.826 ptas/año
Coste total tub.: Ctub = 48.069.600 ptas.
Tabla 4.15.- Diámetros y costes obtenidos en la solución óptima.
Recordando el ejemplo 4.8.2.5, la solución óptima obtenida con diámetros
teóricos proporcionaba los siguientes resultados:
Hb
Coste energético Ge = Kb H b
Coste total tub. Ctub
Amortización Ga = at Ctub
Coste total anual CT = Ga + Ge
=
=
=
=
=
90'2 m.
11.281.781 ptas/año
47.992.483 ptas.
4.671.588 ptas/año
15.953.369 ptas/año
Lógicamente no cabe la comparación, puesto que la solución con diámetros
teóricos no es realista, pero el hecho de que resulte más económica frente a la solución
obtenida con diámetros estándar es consecuencia del valor promedio del factor de
fricción considerado (f=0'015) en el dimensionado con diámetros continuos, ligeramente
inferior en promedio al valor real del factor de fricción y también por el hecho de
trabajar con diámetros normalizados, y la aproximación que supone la curva de costes
de la tubería.
4.8.4.- Otros modelos para el dimensionado óptimo de redes ramificadas.
Además de los métodos comentados en los apartados anterior, existen
naturalmente, otras muchas posibilidades para acometer el dimensionado óptimo de una
red ramificada, cuyo estudio exhaustivo excede el objetivo del presente capítulo.
En cuanto a las formulaciones en diámetros continuos podemos decir que en
general todas ellas siguen pautas similares al método de la serie económica, y presentan
diferencias únicamente en la normalización de los diámetros teóricos.
4.152
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
En lo referente a formulaciones con diámetros discretos cabe citar de nuevo el
método discontinuo de Labye [16], que consiste, al igual que en el caso de una serie de
tuberías, en el establecimiento de la curva característica, en este caso referida a toda la
red. La curva característica de una serie proporciona la configuración de diámetros más
económica para cada posible pérdida de carga en dicha serie, y en el caso de una red
ramificada se construye la curva característica de la red combinando las curvas
características de las diversos conjuntos de líneas de la red que no presenten
ramificaciones, refiriendo la pérdida de carga a un único nudo de la red (normalmente
el más crítico). Los inconvenientes principales de este método estriban en la gran
magnitud del conjunto de datos que se maneja, y en que no permite identificar la
presencia de nudos intermedios con problemas de presión hasta que no se ha finalizado
el dimensionado completo.
Otra de las formulaciones en diámetros discretos que goza de cierta popularidad
es la formulación mediante Programación Dinámica (Yang et al. [35]). En esta última
formulación, el proceso de optimización se realiza por etapas (que corresponden a los
nudos físicos de la red) cuya variable de estado asociada es la altura piezométrica en el
nudo. La variable de decisión que relaciona los estados de una etapa y la adyacente es
precisamente el diámetro de la línea que une los nudos asociados a cada etapa, y
relaciona las alturas piezométricas en ambos nudos a través de la pérdida de carga en
la línea (recordemos que el caudal de línea es un dato del problema). Además, cada
posible decisión (diámetro de la línea) acarrea un coste diferente.
La formulación mediante Programación Dinámica resulta muy versátil porque la
relación entre las variables del problema no está sujeta a ninguna limitación en cuanto
a la tipología de las funciones; sin embargo, su aplicación presenta dos dificultades
principales, a saber: en primer lugar, y al igual que en el caso del método de Labye,
trabaja con un gran volumen de información, puesto que necesita conservar los
resultados intermedios de cada etapa hasta el final del proceso. El segundo problema
consiste en que las variables de estado (alturas piezométricas) sólo pueden tomar valores
discretos, y como consecuencia de ello, siempre se obtendrán soluciones con holgura de
presión en los nudos. Teóricamente es posible ajustar las presiones tanto como sea
necesario sin más que aumentar el número de intervalos de altura considerados en cada
nudo, pero ello trae como consecuencia un incremento proporcional del conjunto de
datos de trabajo.
4.153
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
4.9.- CONCLUSIONES
En el capítulo presente se han revisado los principales conceptos y métodos
relacionados con el dimensionado económico de redes ramificadas, siendo el objetivo
de todos ellos minimizar los costes de la red, cuyo funcionamiento está sujeto a una
serie de condicionantes y restricciones.
Optimizar un sistema significa encontrar la mejor configuración del mismo
atendiendo a un determinado criterio de utilidad, que en el caso del dimensionado
económico de redes se traduce en la minimización de los costes implicados en la
construcción y operación de tales sistemas. La solución obtenida con estas premisas no
pretende ser la mejor hablando en términos globales, puesto que frente a otras soluciones
presentará sus ventajas e inconvenientes; lo único que de ella puede asegurarse es que
representa la solución más económica atendiendo a unos requisitos de funcionamiento.
En consecuencia, los métodos de optimización deben de ser considerados como una
herramienta auxiliar más en la toma de decisiones.
El éxito o fracaso en la aplicación un método de optimización cualquiera pasa
necesariamente por la definición de una marco de trabajo adecuado, que consiste en el
establecimiento de hipótesis de diseño acertadas, por ejemplo, en cuanto a la estimación
de los caudales consumidos y la previsión de demandas futuras, así como en una
estimación realista de la relación que existe entre los parámetros de diseño considerados,
la capacidad funcional de los elementos que componen la red y los costes derivados de
tales parámetros. El análisis de la solución obtenida constituye asimismo una etapa
fundamental para identificar la validez de la misma, que dependerá no ya del método
de optimización utilizado, sino de la suficiencia, compatibilidad y acierto con que han
sido definidos los requisitos de funcionamiento.
Una vez establecidas las premisas del dimensionado, se han presentado diversos
métodos de optimización aplicados sobre sistemas de complejidad creciente, comenzando
con el caso de una tubería de impulsión o gravedad, analizando posteriormente el
dimensionado de una serie de tuberías, para finalmente incidir sobre la problemática del
dimensionado de redes ramificadas con un único punto de inyección. Los dos primeros
tipos de sistemas pueden ser considerados casos particulares y simplificados de redes
ramificadas y su estudio ha permitido establecer paulatinamente los principios generales
del dimensionado de redes ramificadas.
4.154
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
En el desarrollo de los métodos para el dimensionado óptimo se ha puesto
especial énfasis en la clasificación entre formulaciones en diámetros continuos y en
diámetros discretos. El primer tipo de formulación permite en general la aplicación del
método de los multiplicadores de Lagrange y resulta especialmente adecuado para el
cálculo manual de soluciones, que si bien pudieran no resultar óptimas al concluir el
proceso de normalización de los diámetros teóricos, proporcionan un coste muy cercano
al de la solución óptima global.
En cuanto a las formulaciones en diámetros discretos, su principal característica
es el gran volumen de datos que manejan, que hace imprescindible la concurrencia de
medios informáticos y la implementación de algoritmos adecuados para su aplicación.
De entre las formulaciones en diámetros discretos cabe destacar el modelo de
Programación Lineal por la importancia que ha cobrado en los últimos años debido, por
una parte, a la amplia disponibilidad existente de paquetes estándar de PL, y por otra,
a la posibilidad adicional que presenta esta formulación para analizar y cuantificar la
influencia de los parámetros de diseño en la solución óptima final por medio del análisis
de sensibilidad. El inconveniente principal de la formulación mediante Programación
Lineal es, sin duda, el tedioso proceso de introducción de los datos necesarios para el
ensamblado del modelo.
En el Capítulo 5 se presentará la implementación informática de un modelo de
Programación Lineal para el dimensionado económico de redes ramificadas, que además
de la consecución de soluciones óptimas tiene como objetivo facilitar la comunicación
e interactividad con el usuario, tanto en la entrada de datos para el modelo, como el
análisis, modificación y acabado de la solución final.
4.155
4. Dimensionado económico de redes ramificadas
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