Ley de Gravitación Universal de Newton

Ley de Gravitación Universal de Newton
Los momentos más importantes de la ciencia suceden cuando dos fenómenos que eran considerados
completamente independientes uno del otro son vistos repentinamente como sólo dos versiones de la
misma cosa. Una instancia maravillosa de esta clase de síntesis es la explicación de Newton de que el
movimiento de la luna alrededor de la Tierra (y de los planetas alrededor del sol) y el de una manzana
cayendo al suelo son dos expresiones del mismo fenómeno, la gravedad.
Newton conjeturó que los objetos que se encuentran cerca de la superficie de la Tierra caen hacia el centro
de la misma como resultado de una atracción universal que toda materia tiene hacia toda otra materia.
Luego, él consideró que el movimiento circular de la luna alrededor de la Tierra podía por lo tanto ser
explicado si esa misma gravedad proveyera la fuerza hacia el centro de la órbita circular de la Luna: la
Tierra. Esa fuerza de gravedad proveería la fuerza no-balanceada necesaria para el movimiento circular.
Gravedad Universal
Newton postuló que toda materia en el universo es atraída hacia toda otra materia. Llamó a esta fuerza de
atracción “gravedad” y formuló la siguiente expresión para describir cómo la fuerza de gravedad depende
tanto de la masa de cada uno de los objetos como de la distancia entre sus centros.
𝐹𝐺 =
𝐺𝑚1 𝑚2
𝑟2
En esta ecuación, “G” es una constante que necesitaría ser descubierta a través de experimentación, “m 1” y
“m2” son las masas de los dos objetos y “r” es la distancia entre sus centros. No importa cuál de las dos
masas llames “m1” y cuál “m2”: esto es así como resultado de la tercera ley de Newton, la cual dice que la
fuerza ejercida sobre un objeto será igual a la fuerza ejercida sobre el otro.
Newton tuvo que inventar el cálculo para poder mostrar que la distancia entre dos
objetos esféricos, “r” en su ecuación, debería medirse entre los centros de los
objetos. También pudo demostrar que los objetos esféricos actúan, desde el punto
de vista de la fuerza gravitacional, como si toda su masa estuviera ubicada en un
punto en su centro. Como resultado de esto, la distancia desde una masa esférica,
como la Tierra o el sol, deber ser siempre medida desde su centro.
Pasaron más de cien años antes de que Henry Cavendish lograra medir directamente el valor de “G”. El
valor de “G” aceptado actualmente es:
G = 6.67 x 10 -11 N∙m2/kg2
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Ejemplo 1
¿Cuál es la fuerza entre un objeto esférico de 5 kg y un objeto esférico de 10 kg cuyos centros están separados
por una distancia de 2.5m?
𝐹𝐺 =
𝐺𝑚1 𝑚2
𝑟2
FG = (6.67 x 10 -11 N∙m2/kg2)(5.0kg)(10kg)/(2.5m)2
FG = (6.67 x 10 -11 N∙m2/kg2)(5.0kg)(10kg)/(2.5m)2
FG = 5.3 x 10 -10 N
Esta es una fuerza muy pequeña…por este motivo es que aún la fuerza de gravedad entre grandes objetos
en nuestra vida cotidiana es muy pequeña. Sin embargo, esta fuerza puede ser grande cuando involucra
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objetos muy grandes. Por este motivo es que la notación científica es tan importante para resolver los
problemas en este capítulo.
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Ejemplo 2
¿Cuál es la fuerza gravitacional promedio entre la Tierra y el sol? La masa de la Tierra es 6.0 x 1024 kg, la
masa del sol es 2.0 x 1030 kg y la distancia promedio entre sus centros es 1.5 x 1011m.
FG = Gm1m2/r2
FG = (6.67 x 10-11 N∙m2/kg2)(6.0 x 1024 kg)(2.0 x 1030 kg)/(1.5 x 1011m)2
FG = 36 x 1021N
FG = 3.6 x 1022N desde cada uno hacia el centro del otro
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Ejemplo 3
¿Cuál es la distancia entre dos objetos cuyas masas son 28,000 kg y 50,000 kg si la fuerza gravitacional entre
ellos es 50N?
FG = Gm1m2/r2
(FG)(r2)=
Gm1m2
r2= Gm1m2/ FG
r=
(Gm1m2/FG)1/2
Para resolver para r, primero multiplica ambos lados por r2
Luego divide ambos lados por FG
Y saca la raíz cuadrada de ambos lados
Ahora sustituye en los valores dados y resuelve
r= ((6.67 x 10-11 N∙m2/kg2)(2.8 x 104 kg)(5.0 x 104 kg)/(50N))1/2
r = (1.86 x 10-3)
r = 18.6 x 10-4
r = 4.3 x 10-2m
r = 4.3 cm
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Ejemplo 4
La fuerza entre dos objetos de igual masa cuyos centros están separados por 15cm es 2 x 10-4 N. ¿Cuál es la
masa de los objetos?
FG = Gm1m2/r2
FG = Gmm/r2
FG = Gm2/r2
m2 =
(FG)(r2)/G
Primero deja m = m1 = m2
Luego multiplica ambos lados por r2 y divide ambos lados por G
Luego saca la raíz cuadrada de ambos lados
m = ((FG)(r2)/G)1/2
m = (r)(FG/G)1/2
Sustituyendo los valores dados
m = (0.15m)((2 x 10-4 N)/( 6.67 x 10-11 N∙m2/kg2))1/2
m = (0.15m)((0.3 x 107 kg2/m2))1/2
m = (0.15m)((3 x 106 kg2/m2))1/2
m = (0.15m)(1.73 x 103 kg/m)
m = 0.26 x 103 kg
m1 = m2 = 260 kg
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Manzanas que caen: la gravedad de superficie de los planetas
Dado que Newton demostró que la fuerza gravitacional de un objeto esférico puede ser considerada como
emanando de un punto en su centro, puede notarse que una manzana ubicada cerca de la superficie de la
Tierra se encuentra en realidad a una gran distancia del centro gravitacional de la misma. De hecho,
cualquier objeto cerca de la superficie de la Tierra se encuentra siempre a una distancia del centro de la
Tierra dado por el radio de la misma, Re = 6.4 x 106 m. A partir de esto es posible determinar la aceleración
de todos los objetos cercanos a la superficie de la Tierra.
ΣF = ma
GMTm/RT2 = ma
GMT/RT2= a
gT = GMT/RT2
Para un objeto no sujeto de masa “m” cercano a la superficie de la Tierra,
habrá una fuerza gravitacional no balanceada dada por FG = Gm1m2/r2
En esta ecuación, ME es la masa de la Tierra y RE es su radio, es decir, la
distancia desde el centro hasta la superficie de la Tierra. Cancelando la masa
del objeto no sujeto (lo cual muestra que nuestro resultado será
independiente de la masa)
pero esto solo representa “g”, la aceleración de objetos no sujetos cercanos a
la superficie de la Tierra. Ya que estaremos calculando g para otras
circunstancias, llamaremos a “g” cerca de la superficie de la Tierra, “gT”
conectar los valores para “G” aceptados actualmente con la masa y el radio
de la Tierra.
gT = (6.67 x 10 -11N∙m2/kg2)(6.0 x 1024 kg)/(6.4x106m)2
gT = 9.8 m/s2
Este es el resultado que ya había sido medido tiempo antes y demuestra que la más general Teoría
Universal de Gravedad de Newton es consistente con observaciones previas. Sin embargo, no hay nada en
ese análisis que sea único para la Tierra, excepto por los números que usamos para su masa y su radio. La
misma expresión básica daría la aceleración de un objeto no sujeto cercano a la superficie de cualquier
planeta.
La aceleración debido a la gravedad de objetos no sujetos cercanos a un planeta cuya masa es “M” y cuyo
radio “R” es dado por
g = GM/R2
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Ejemplo 5
Calcula g para Saturno dado que la masa de Saturno es 5.7 x 1026 kg y su radio es 6.0 x 107 m.
g = GM/R2
g = (6.67 x 10 -11N∙m2/kg2)(5.7 x 1026 kg)/(6.0x107m)2
g = 1.05 x 101 m/s2
gSaturno = 10.5 m/s2
Por lo tanto, aun cuando Saturno es mucho más grande que la Tierra, su gravedad es solo un poco mayor
debido a su mayor radio.
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Campo Gravitacional
Especialmente al considerar objetos enormes como planetas o estrellas, es conveniente pensar en la fuerza
ejercida sobre un objeto debido a la atracción gravitacional de otro de manera ligeramente diferente.
Podemos pensar en el primer objeto como creando un “campo gravitacional” y el otro objeto como
reaccionando a ese campo. Este campo gravitacional es ese “g” que tan bien conocemos. Por ejemplo,
podemos de igual manera pensar en la fuerza de un objeto de masa m cerca de la superficie de la Tierra
como siendo dado por
FG = GMEm/RE2
FG = m (GME/RE2)
O por
FG = mg, donde g = GME/RE2
Todos describen exactamente la misma situación, pero una vez que se calcula g cerca de la Tierra como 9.8
m/s2, es mucho más fácil calcular la fuerza de gravedad sobre todos los objetos cerca de la superficie de la
Tierra, su peso, usando solamente FG = mg, que volviendo a la ecuación FG = GMEm/RE2, cada vez.
Viéndolo de esta manera, podemos pensar en cada objeto como creando un campo gravitacional que se
extiende a través de todas las ubicaciones en el espacio.
Campo Gravitacional
Cuando un objeto esférico crea un campo gravitacional, el tamaño de ese campo en una
ubicación particular en el espacio es dado por
g = GM/r2
donde M es la masa del objeto que crea el campo y r es la distancia desde el centro de ese
objeto. Las unidades de campo gravitacional son aceleración, m/s2.
La dirección del campo gravitacional es la dirección en que una masa de prueba pequeña se movería si
fuera puesta en esa ubicación, es decir, hacia el centro del objeto esférico creador del campo. La siguiente
ilustración describe el campo gravitacional de un objeto esférico como, por ejemplo, un planeta. La
dirección de las flechas muestra la dirección del campo gravitacional, mientras que su longitud muestra el
tamaño relativo del campo. Nota que el campo se vuelve más débil a medida que aumenta la distancia y que
siempre apunta hacia el centro del planeta.
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En el caso del campo gravitacional de la Tierra, su dirección siempre apuntará hacia el centro de la misma.
En ubicaciones que están sobre la superficie terrestre, la magnitud del campo es 9.8 m/s2. Sin embargo,
dado que el campo disminuirá a razón de 1/r2, disminuirá a distancias por encima de la superficie terrestre.
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Ejemplo 6
¿Cuál es el campo gravitacional de la Tierra a una distancia de 8.0 x 106 m por sobre su superficie?
El primer paso en un problema como éste es descubrir qué tan lejos se encuentra la ubicación estudiada del
centro del objeto que está creando el campo gravitacional. Esto es “r” en la ecuación. Un error típico
consiste en utilizar la distancia hasta la superficie del objeto en lugar de la distancia hasta su centro. En
este ejemplo se nos dio la distancia desde la superficie de la Tierra, a la cual llamaremos la altura del objeto.
A esto debemos agregar el radio de la Tierra para obtener la distancia de esa ubicación desde el centro de la
Tierra, r = h + RE.
El radio de la Tierra es 6.4 x 106 m, por lo tanto, la superficie de la Tierra se encuentra a esa misma
distancia de su centro, y la ubicación estudiada se encuentra a una altura de 8.0 x 106 m por sobre la
superficie. De esta manera su ubicación es 14.4 x 106m desde el centro de la Tierra, r = 14.4 x 106m. Con
esta información, hay dos maneras de calcular “g” en esa ubicación.
La primera manera utiliza la masa de la Tierra y la distancia directamente:
g = GM/r2
g = (6.67 x 10 -11N∙m2/kg2)(6.0 x 1024 kg)/(14.4x106m)2
g = 1.9 m/s2 hacia el centro de la Tierra
La segunda manera aprovecha el hecho de que conocemos g para la superficie de la Tierra. Por lo que sólo
debemos calcular cuánto más lejos que la superficie se encuentra esta ubicación del centro de la Tierra, y
sustituirla en la ecuación. En este caso, r =14.4x106 m y RE = 6.4 x 106 m, entonces r = (14.4/6.4)RE = 2.25 RT.
Podemos luego sustituirlo en la ecuación y obtener:
g = GM/r2
Sustituyendo en nuestra expresión por r
g = GMT/(2.25 RT) 2
g = GMT/(5.06 RT 2)
g = (GMT/RT 2) (1/5.06)
m/s2)
Elevando esa expresión al cuadrado
Reagrupando para obtener (GMT/RT 2)
Sustituyendo: gT = GMT/RT2 = 9.8 m/s2
g = (9.8
/ 5.06
g = 1.9 m/s2 hacia el centro de la Tierra
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Ejemplo 7
¿Cuál es el campo gravitacional de la Tierra a una altura por sobre su superficie que es 5 veces el radio de la
Tierra?
En este caso, la ubicación que está siendo estudiada es 5RE por encima de la superficie de la Tierra.
Debemos agregar una distancia adicional de RE, para poder alcanzar el centro de la Tierra, entonces
r = 6 RE, o algebraicamente:
r = h + RE
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r = 5RE + RE
r = 6RE
Habiendo encontrado “r”, el Segundo método que usamos demostrará ser más simple.
g = GM/r2
g = GMT/(6 RE) 2
g = GMT/(36 RE
g = (GMT/RT
g = (9.8
2)
m/s2)
2)
(1/36)
/ 36
Sustituyendo r = 6 RE
Luego elevando al cuadrado todo en el denominador
Reagrupando para obtener el término“(GMT/RT 2)” solo
Luego usando gT = 9.8 m/s2 = GMT/RT 2
g = 0.27 m/s2 hacia el centro de la Tierra
Movimiento Orbital
Newton basó gran parte de su teoría en el trabajo de Johannes Kepler, el cual estaba basado a su vez en las
observaciones astronómicas de Tycho Brahe. Newton llegó a la conclusión de que para que los planetas
permanecieran en sus órbitas alrededor del sol debía haber una fuerza atrayéndolos hacia el sol. Los
escritos de Kepler podrían resumirse en tres leyes:

Primera Ley de Kepler establece que las órbitas de los planetas son elípticas, con el sol en un
extremo.

• Segunda Ley de Kepler establece que si dibujas una línea imaginaria entre el sol y un planeta, esa
línea cubriría áreas iguales en tiempos iguales. En otras palabras, mientras más cerca del sol se
encuentra un planeta, más rápido se mueve.
Tercera Ley de Kepler establece que existe una relación específica entre período orbital y radio
orbital para cada planeta en el sistema solar. Más específicamente, para todos los planetas que
orbitan al sol, la razón de su período orbital al cuadrado dividida por su radio orbital al cubo T2/r3
arrojan la misma cifra.

Newton demostró que estas leyes solo podían cumplirse si había una fuerza atrayendo a los planetas hacia
el sol. Esa fuerza debía ser proporcional a la masa del planeta en órbita y debía disminuir a razón de 1/r2.
Aplicando esta tercera ley, Newton también dedujo que si la fuerza era proporcional a la masa del planeta,
entonces debía ser también proporcional a la masa del sol. El resultado fue consistente con su ley de
Gravitación Universal:
FG = GMm/r2
Esta ecuación puede demostrarse en consistencia con la tercera ley de Kepler. Usaremos la aproximación
de que las órbitas de los planetas con casi circulares de manera tal de poder utilizar nuestro análisis
anterior de movimiento circular, ya que el mismo resultado es obtenido para órbitas elípticas
Sabemos de nuestro análisis anterior que un objeto sólo puede moverse en forma circular si existe una
fuerza neta dirigida hacia el centro de ese círculo. Si no existiera dicha fuerza, el objeto no se movería en
círculos sino en línea recta. También sabemos que la aceleración necesaria para mantener un objeto en
movimiento circular es v2/r. Si aplicamos esto a los planetas que orbitan alrededor del sol, sabemos que
debe existir una fuerza neta dirigida hacia el sol y que el tamaño de esa fuerza debe ser igual a ma, o en el
caso del movimiento circular, m(v2/r). Si la fuerza fuera provista por la gravedad, entonces debe ser dada
por F = GMm/r2.
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ΣF = ma
Asumir que la fuerza gravitacional es responsable y que el movimiento es
circular arroja
FG = m(v2/r)
GMm/r2 = mv2/r
Sustituyendo en la fórmula de Newton para la fuerza gravitacional
Cancelando la masa del planeta en órbita (demostrando que esa masa del
objeto en órbita no importa) y una de las r
GM/r = v2
Ahora sustituyendo v = 2πr/T
GM/r = (2πr/T) 2
GM/r = 4π2r2/T2
T2/r3
=
Elevando al cuadrado todo en el lado derecho de la ecuación
Ahora resolver para T2/r3
4π2/GM
Todo lo que se encuentra en la derecha de esta ecuación, 4π2/GM, es una constante. Tampoco indicamos en
ningún punto de este análisis de qué planeta estábamos hablando…por lo tanto, este análisis es verdadero
para cualquier planeta que orbita al sol. Esto es consistente con la tercera ley de Kepler la cual establece
que la razón de T2/r3 es la misma para las órbitas de todos los planetas.
De hecho, este análisis será verdadero para cualquier sistema orbital, para todos los objetos que orbitan la
Tierra, todos los que orbitan Saturno, etc. Lo único que cambia es que la masa del objeto orbitado se
convierte en “M” en la ecuación anterior. La masa del objeto en órbita no interesa.
Todos los objetos en órbita obedecen a la relación
T2/r3 = 4π2/GM
Donde T es el período de la órbita, r es el radio de la órbita, G es la Gravitación Universal Constante y M es
la masa del objeto orbitado.
El hecho de que T2/r3 sea constante para todos los planetas se conocía antes de que Newton desarrollara su
ley de gravitación Universal. Eso fue lo que lo llevó a la conclusión de que la fuerza gravitacional debe
disminuir a razón de 1/r2; de otra manera, el análisis anterior predeciría el resultado equivocado. Pasaron
muchos años antes de que la constante “G” fuera medida por Henry Cavendish…pero las evidencias para
esta ley llegaron mucho antes. Surgieron del desarrollo paralelo de una ley que predeciría la caída de los
objetos cercanos a la superficie de un planeta.
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Ejemplo 8
Ahora determinemos la aceleración de la luna hacia la Tierra y veamos si es consistente con la Teoría de
Gravitación Universal de Newton. La clave es que el radio de la órbita lunar es 60 veces el radio de la
Tierra…por lo tanto r = 60RE. Dado esto, podemos calcular el campo gravitacional a esa distancia de la Tierra.
Esto representará la aceleración de cualquier objeto en esa ubicación, incluyendo la luna, hacia la Tierra.
Podemos luego compararla con la aceleración centrípeta de la luna basada en el período y radio de su órbita.
Primero calculemos el campo gravitacional debido a la Tierra a una distancia igual a la distancia de la Luna
con respecto a la Tierra, el radio de la órbita lunar.
g = GM/r2
g = GMT/(60
RT) 2
g = GMT/(3600 RT 2)
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Sustituyendo r = 60 RT
Luego elevando todo en el denominador al cuadrado
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g = (GMT/RT
2)
Reagrupando para obtener el término“(GMT/RT 2)” solo
(1/3600)
Luego, usando gT = 9.8 m/s2 = GMT/RT 2
g = (9.8 m/s2) / 3600
g = 0.0027 m/s2
g = 2.7 x 10-3 m/s2 hacia el centro de la Tierra
Ahora, calculemos la aceleración de la Luna hacia la Tierra usando su período, 27.3 días, y el radio de su
órbita, 60 RT.
a = v2/r
Sustituyendo v = 2πr/T
a = (2πr/T)2/r
a = 4π2r/T2
T =(27.3 días)(24 h/día)(3600s/h)=2.36 x 106 s
r = 60 RE = 60(6.4 x 106 m) = 3.8 x 108 m
a = 4π2(3.8 x 108 m)/(2.36 x 106 s)2
a = 2.7 x 10-3 m/s2 hacia el centro de la Tierra
Esta es una sorprendente confirmación de la Teoría newtoniana de Gravitación Universal. Muestra
claramente que la fuerza que mantiene a la luna en órbita es exactamente la misma que hace que
una manzana caiga al suelo: el campo gravitacional de la Tierra
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Ejemplo 9: Satélites Geoestacionarios
Frecuentemente es importante hacer que un satélite mantenga una posición constante justo encima del
Ecuador de la Tierra. Caso contrario, las antenas satelitales, por ejemplo la televisión satelital, no podrían
siempre apuntar al mismo punto en el espacio. Para que un satélite permanezca encima del mismo punto en
la Tierra, debe completar una órbita de la Tierra en 24 horas, de manera tal que orbite a la misma escala en
que rota la Tierra. ¿A qué altura sobre el suelo deben orbitar los satélites geoestacionarios?
La manera más simple de resolver este problema es comparando la órbita de un satélite geoestacionario
con la de otro objeto que orbita la Tierra: la luna. Conocemos el período y el radio orbital e la luna y por la
tercera ley de Kepler sabemos que T2/r3 será igual para todos los objetos que orbitan la Tierra.
Tm2/rm3 =Tgs2/rgs3
rgs3 (Tm2/rm3) = Tgs2
rgs3
=
(rm3/Tm2)
(Tgs2)
Donde el suscripto “m” es para la luna y “gs” es para un satélite
geoestacionario. Ahora resolvemos para rgs. Primero multiplicamos ambos
lados por rgs.
Luego multiplicamos ambos lados por (rm3/Tm2)
Sustituyendo rm=60RE, Tm =27.3 días y Tgs =1 día
rgs3 = ((60RE)3/(27.3 días)2)(1 día) 2
rgs3 = 216000RT3/745
rgs3 = 290RT3
rgs = 6.6RT
Esto nos da la distancia a la que el satélite debe encontrarse del centro de la Tierra. Sin embargo, para
calcular su distancia por sobre la superficie de la Tierra necesitamos sustraer el radio de la Tierra, RT.
h = r – RT
h = 6.6RT - RT
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h = 5.6 RE
Para obtener una respuesta en metros, simplemente sustituimos el
valor de RE
h = 5.6 (6.4 x 106 m)
h = 36 x 106 m
h = 36,000 km por sobre la superficie de la Tierra
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Ejemplo 10: Pesando la Tierra
El valor de “G” fue medido por primera vez en 1978. Esto fue un logro de Henry Cavendish, más de un siglo
después de la publicación de las teorías de Newton. Era una proeza difícil debido a que el valor de “G” es tan
pequeño. Pero Cavendish pudo utilizar un instrumento muy preciso para determinar la fuerza gravitacional
entre dos masas esféricas medidas con exactitud. Su medida es frecuentemente llamada “el peso de la
Tierra”, ya que permitió determinar la masa de los cuerpos celestes, incluyendo la de la Tierra. Cavendish
determinó que:
G = 6.67 x 10-11 N∙m2/kg2
Con esta información, determinemos la masa de la Tierra.
G = GMT/RT2
Resolviendo para MT
Me = gRT2/G
Ahora coloquemos números reales
MT = (9.8 m/s2) (6.4 x 106m)2/(6.67 x 10-11 N∙m2/kg2)
MT = (9.8 m/s2) (41 x 1012 m2) /(6.67 x 10-11 N∙m2/kg2)
MT = (401 x 1012 m2) / (6.67 x 10-11 N∙m2/kg2)
MT = 6.0 x 1024 kg
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El Lanzamiento de un satélite y La falta de Peso
Se requieren dos pasos para poner un satélite en órbita. Primero debes llegar a su peso específico, y luego
debes darle la velocidad correcta; Tanto con respecto a su tamaño como a su dirección. La dirección de la
velocidad debe ser tangente a su órbita, y perpendicular a la línea entre el satélite y el centro de la esfera
que el mismo orbitará. La magnitud depende del campo gravitacional a esa altura, g, en tanto g a esa altura
debe ser igual a la aceleración centrípeta del satélite.
g = ac
Expresión sustituta para g y ac
GM/r2 = v2/r
Cancelando una r y sacando la raíz cuadrada de ambos lados
(GM/r)1/2
v=
Así, la velocidad que un satélite necesita para mantener su órbita es una función sólo de la masa del objeto
orbitado y la distancia desde su centro.
La velocidad de un objeto en órbita circular es dada por:
v = (GM/r)1/2 tangente a su órbita
donde M es la masa del objeto orbitado y r es la distancia desde su centro.
Es importante saber que la dirección de la velocidad es crítica. Si el satélite es enviado a su altura orbital
verticalmente hacia arriba, la velocidad que debe dársele para que entre en órbita será perpendicular a su
velocidad de lanzamiento. Así, en el momento en que alcanza su punto más alto, y se detiene
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momentáneamente, sus cohetes deben arder en una dirección perpendicular al camino que siguió para
alcanzar ese punto. Esto le da al satélite velocidad en la dirección correcta para mantener su órbita.
Si al satélite se le da demasiada o muy poca velocidad para su altura dada, basada en la fórmula de más
arriba, entonces la órbita será elíptica en lugar de circular. Si la velocidad es muy alta en el punto en que
los cohetes se encienden entonces la órbita estará en su menor altitud en ese punto, el perigeo de la órbita
del satélite. Si es muy poca, estará en el punto más alto de su órbita, su apogeo.
Este análisis nos muestra también por qué los objetos parecen no tener peso en el espacio. No es que la
gravedad no esté presente; sabemos por nuestra discusión anterior que el campo gravitacional de un
objeto se extiende a través de todo el espacio, disminuyendo a razón de 1/r2, pero sin llegar nunca a cero.
Sin embargo, todos los objetos en un vehículo especial tienen la misma velocidad y se encuentran a la
misma distancia del centro de la Tierra. Como resultado, están en órbita todos juntos. Si quitaras el
vehículo, todos los objetos en él, incluidos sus ocupantes, seguirían orbitando la Tierra exactamente de la
misma manera. Por lo tanto si intentaras pararte en una balanza, la balanza, el piso de la nave y tú flotarían
todos juntos en órbita…no ejercerías ningún peso sobre la balanza, parecerías no tener peso. La fuerza de
gravedad real que actuaría sobre ti no es muy diferente de la que actúa cuando estás parado en la superficie
de la Tierra.
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Ejemplo 11
Determina la fuerza de gravedad que actúa sobre una persona de 100 kg parado sobre la superficie de la
Tierra como en órbita a bordo de la Estación Espacial Internacional. Calcula la diferencia porcentual.
La Estación Espacial Internacional orbitando la Tierra a una altura de 218 millas
Sobre la superficie de la Tierra
FG = mg
FG = (100kg)(9.8
FG = 980N
Sobre la superficie de la Tierra, g = 9.8 m/s2
m/s2)
En la Estación Espacial Internacional en órbita
Primero debemos calcular su distancia desde el centro de la Tierra. Su altura orbital es 218 millas, o 0.35 x
106 m, por sobre la superficie de la Tierra. A esto debe agregársele la distancia desde la superficie hasta el
centro de la Tierra, RT, el cual es 6.4 x 106 m. Entonces su distancia desde el centro de la Tierra es dada por:
r = h + RT
r = 0.35 x 106 m + 6.4 x 106 m
r = 6.75 x 106 m
Lo cual no es muy diferente de RT, 6.4 x 106 m.
Ahora podemos calcular g en esa ubicación.
g = GM/r2
g = (6.67 x 10 -11N∙m2/kg2)(6.0 x 1024 kg)/(6.75x106m)2
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g = 8.8 m/s2
FG = (100kg)(8.8 m/s2)
FG = 880N
Ahora podemos usar el valor de g para calcular FG
Entonces, un astronauta de 100 kg sentiría una fuerza gravitacional de 980N cuando se encuentra parado
sobre la superficie de la Tierra y una fuerza de 880N cuando se encuentra en órbita en la Estación Espacial
Internacional. Esa diferencia de 100N representa un porcentaje de disminución de 100N/980N = 10%. El
hecho de que el astronauta sentiría una reducción del 10% en fuerza gravitacional, no serviría para explicar
por qué él o ella flota dentro de la cabina, como se muestra en la imagen. Este fenómeno es explicado por el
hecho de que tanto la estación espacial como el astronauta giran en órbita juntos alrededor del planeta.
Universal Gravitation - 11
v 1.0
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