tal LP (0 , 1 )

Revista de la
Unión Matemática Argentina
Volumen 34. 1988.
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CONTRACCIONES EN ESPACIOS DE ORLICZ
E. LAMI DOZO
Conferencia en honor del Dr. Mischa Cotlar
1.
C A S O DE BANAC H .
Una aplicación T: X
+
(X,d) en sí mis­
X de un espacio métrico
mo, es llamada una contracción de X si d (Tx, Ty)
�
d (x,y) para
cada x e y en X.
El principio de Banach-Picard afirma:
"Una contracción estric­
ta de un espacio métrico completo de ja un dnico punto fijo", o
sea si para un k
E
[0, 1I, d ( Tx, Ty)
�
completo, entonces existe un dnico X
o
kd (x,y)
'rJ
x,y en (X,d)
E X tal que Txo
=
x '
o
Las contracciones pueden verse como un caso límite de contrac­
ciones estrictas. Contrae jemplos simples muestran que hipóte­
sis restrictivas sobre (X, d) deben hacerse para asegurar puntos
fijos, aproximarlos, etc.
Dentro del cuadro de los espacios normados, una teoría sobre
este tema se desarrolló en las décadas del 60 y
70 . Un resul­
tado clásico es el teorema de Browder-Gohde-Kirk.
(B-G-K) Una contracción de un convexo, cerrado y acotado de
un espacio de Banach uniformemente convexo de ja un punto fijo.
Si observamos que todo espacio de Banach uniformemente convexo,
tal
L P (0 , 1 ) ó
lP para
1 < p <
+00,
es reflexivo, el problema de
extender (B-G-K) al caso de un Banach reflexivo está siempre
abierto.
Por otro lad o una contracción de un convexo débilmente compacto
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de un e s pac i o d e B anac h no s i empr e d e j a un punto f i j o . E s to
ocur r e e n LI ( 0 , 1) , d o n d e Al spach ( [A] ) c o ns truye un e j emp l o .
E l t e o r ema ( B - G - K) e s un c a s o part i cul ar d e l te or ema d e K irk
( [K] ) :
( K ) Una c o n tr a c c i6n d e un c o nvexo déb i lmen t e c ompa c to c o n e s ­
truc tur a norma l d e un e sp ac io d e Banach d e ja un punto f i j o .
porqu e.
( i ) cuando un c o nv exo ac o·t ado y c err ado e e X c o n (X, U . U ) d e
Banach t iene l a prop i edad q u e c a d a subc onvexo c errado C
d e e adm i t e un x E C tal que sup Il x - y U < d i áme tro d e C ,
y e: t
s e d i c e qu e e t i ene e s truc tur a norma l .
( i i ) s i eX, u U) e s u n i f o rmemente c o nv exo y C e X e s convexo
c errado y a c o tado , la func ional H ( x) = sup U x - y U admi t e
•
ye:c
un ú n i c o m í n imo c en C , l l amado c e n t r o d e C .
S in emb a r g o n i l a e s truc tur a norma l , n i l a d é b i l compac idad del
dom i n i o son nec es ar ia s como ló mue s tr a e l s i gu i ente c o r o l ar io
d e un t e o r ema d e Kar l ov i t z .
( Ka ) Una c o n t r a c c i 6 n d e · l a bo l a unidad c er r ad a d e tI d e j a un
punto f i j o . ·
E s t o s r e su l tado s mu e s tr an que l a pro p i edad d e d e j ar pun to s f i ­
j o s para l a s co ntracc i o ne s e s tá l i gada a l a topo l o g í a d e l do ­
m i nio y a l a mé tri c a d e l m i smo . Ademá s , e n l o s e s pac i o s cl á ­
s ic o s L P ( 0 , 1) 6 t P
< p < � s e dan r e s pue s t a s po s i t ivas y
ne g a t iv a s a l pr o b l ema d e tener e s t a pro p i ed ad .
2. CASO DE O RL I CZ.
En un traba j o r ec i e nt e , ob tuv imo s r e sul tado s s im i l ar e s al c a ­
s o de l o s esp ac i o s c l§ s i c osde L e b e s gue en e l cuadro más ge ­
neral d e l os e s p a ci o s d e Or l i c z ( [ L - T] ) .
Una fun c i 6 n de Or Z i c z e s una · func i6n � : R+ � R+ c r e c i ente ,
c o n t i nu a , e s tr ic t amente po s i· t iva en ( O J� ) ' nul a y cont inua
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en O .
En u n e spac i o n c o n una tr ibu A y una med ida
du lar a s oc i ad o a � e s l a func ional
�:
A
+
R+ , e l m o ­
d e f inida par a x A -med ibl e a val or e s c omp l e j o s .
E l "gra�" e sp ae i o de Or l i e z
e s u n e spac i o v e c tor ial . L a t o p o l o gí a d e f in ida t omando
{x +r B � ( r ) ; T7 O } como b a s e d e entorno s d e l a func i ó n x , donde
{x; P� (X) .;;; r } , hac e de L � un e spac io v e c tor i a l topo ­
B� ( r )
l óg ico .
=
E l "p e q u eño " e s p ae i o de Or l i e z
{ x ; p � ( tx ) < +00 , p a r a todo t > O }
e s u n sub e spac io v e c tor i a l c er r ado d e L� .
L�
=
iní{A > O ; p� ( X /A ) .;;; 1 } d e f i ­
L a fun e i ona l d e Min kow s k i v� ( x )
�
ne una no rma e n L cuando � e s c onve x a . E n part i cu l ar , par a
n = { 0 , 1 ) c o n l a �ed ida d e L eb e s gue (ó n = N c o n l a med id a que
cu e n t a l o s punto s ) y s i � ( t)
tP , 1 .;;; p < +00 , el e spac io d e
P
�
�
Orl ic z L P ( O , l ) ( ó I P ( N) ) e s el c l á s i c o LP ( O , 1 ) (ó IP ) .
=
=
Supondr emo s s iemp r e n
=
(0, 1) ó n
=
N ó n
=
R.
Traba j amo s c o n do s noc ione s d e c ontr ac c ió n : T : B e L � + B e s
una p � - c ontr ac c ió n s i para x , y e n B , p� ( Tx - Ty) .;;; p � ( x - y) , T e s
v � - c ontrac c i ó n s i v � ( Tx -T y) .;;; v � ( x - y) .
El domin io B s e r á e s t r e l lado c o n r e s p ec to a un c entro u e n B ,
o s e a ( l - A ) u+Ax E B s i x E B Y O .;;; A .;;; l .' Ademá s B s er á T - c o m ­
pac to para l a t op o l o gí a T d e l a c o nv e r genc ia en med ida . Una
bo l a B � ( r ) en l� e s T - c ompa c ta , a s í extend emo s (Ka). Un sub ­
conj unto T - c ompac t o d e LP( O , l ) , 1 < p < 00 e s d é b i lmen t e c o mp a� ­
to pero no l a i nver s a , l o que h ac e e s ta hipó t e s i s topo ló g i c a
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más restrictiva que en (B - G - K) pero el dominio B es s 6 1 0 e s tr e l l .!
do , n o nec esar iament e c onvexo . Fina1m.e nte un T-compac to , déb i l ­
mente c ompac to d e L1 (O , 1 ) e s compacto para l a norma , a s ! evita ­
mo s e l e j emp l o d e A1 s p ac h.
El r e s ul tado 'má s s impl e e s e l
TE OREMA 1. Sea B u n s ub c o njun t o T - c o mp ac t o y e s tpe l l ado d e L �
q u e v e p�fi c a sup {p� ( x) ; x E B} < +� . Sup o ngamo s � s ub a di t i v a y
e s tp i c tame n te c pe c i e n t e e n R+. En t o n c e s u n a p� -ao n tpa c c i ó n de
B deja u n p u n t o fijo .
Para e l r e su1 tado s i gu iente introduc imo s mod o s de c r ec imien ­
to de � , diciendo qUe � tiene e xpone n tes de cpecimiento no nulos �i � es
estrictamente creciente, no acotada en R+ y verifica para cada A E (0,1)
1 imt sup � < 1
� ( t)
dond e t
+
+� s i
n
=
( 0 , 1) , t
+
°
si
n
( 1)
N
Y
t
+
O Y +� s i
n
=
Además , e s c l á s ic a l a noc ión � v e ri fi ca l a c o ndi a i ó n �2 s i en
(1 ) e l l ími te super ior e s finito para A = 2.
TEOREMA
2.
Se a B ·un s u b c o njun to T-c o mp a ato y e s tp e l Z a do de
q u e v e p i fi c a sup{p� (x - y ) <
+� ,
ti e n e e xp o n e n t e s de cpecimiento
L�
x , y E B } < +� . Sup o n g amo s que �
no nu l o s
y
q u e v e pi fi c a l a a o ndi
c i ó n �2' En t o n c e s una p� -aon tp a a a i ó n de B deja u n p u n to fijo .
I n troduc imo s aho ra una cond i c ión s obre � insp irada d e [B - L ] ,
� v e p i fi ca BL k s i
donde t converge como en ( 1) .
TEOREMA 3. Se a B u n s u b c o nju n to T-c o mp a c t o y e s tp e lZado de L : .
Supo n gamo s que � t i e n e expo n e n t e s de c p e c imi e n to no nu l o s� q u e
v e pi fi c a l a oondi c i ó n BLk y p a pa e l m i smo k;
s up{p� ( k ( x - y) ) ; x , y en B} < +�. En t o n c e s u n a p� -co n t pa cción de
B deja un pu n to fijo .
R.
20
Para v.p':contracc iones tenemo s el
4 . Se a B c o mo e n e Z te o 1'ema
d
1'a to o K E R
TEOREMA
+
Y
Supongam o s q u e
c on t1'a aci6n
de
.p
2
que ade m4s v e 1' i fique p a -
sUp{p.p ( K ( x - y); x , y en B} < +00
sup{V.p ( x - y ) ; x , y en B} < +00
ve 1'ifi a a B L k p a 1'a un k > 1. En to n a e s'una v.p­
B d eja u n p u n to fijo .
E j emplos t íp ic o s d e func ione s .p para e s to s r e s ul t ad o s s o n
.p p ( t ) = t P , O < P � 1, �(t ) = � ( t P ) con � c onvexa y O < P
<
1.
Contrar iame n t e al c a so d e B anach , no e s obvio d e ver una con ­
trac c i6n c omo l ím i t e d e contracc iones e s tr ic ta s en e s t o s e spa ­
'
cio s d e Orl ic z. Por e j emp l o s i Rf e s l o c alment e no aco t ado ,
( .p ( t) = - l/l o g t , O < t � l/e , .p ( t ) = t e , t > l/e como un c a s o ) ,
entonc e s tocj.a p.p - contracci6n e s tr i c ta de una "bo l a" B .p ( r ) e s
cons tante.
Finalment e o tro pro b l ema abie r to es enc o n trar un convexo c erra­
do y acotado C de i 2 tal que para c ada r enormamiento e quivale n ­
te d e i 2 , c ad a c o n tr�c c i6n d e C para el r enormamiento d e j e un
punto f i j o .
R E F E R E N CIA S
[A ]
AL S PA CH , D . , P r o c . AMS 8 2 ( 1 9 81 ) , 4 2 3 - 4 2 4 .
[B L ]
B R E ZI S , H . , ·LI E . B , E . , P r o c . AM S 88 ( 1 983) , 4 8 6 - 4 9 0 .
[L T ]
LAMI D O Z O , E . , T URPI N , P . ,
1 5 5 - 1 88 .
S t u d i a M a t h . LXXX VI ( 1 9 8 7 ) ,
D e p ar t am en to de Mat em� t ic a , Uriiversidad de Bu enos Air e s .
e , In st i t u to A r g en tino de MatemStica , CONIC ET .
Re c ib ido en mayo d e 1 989.