Cap´ıtulo 1 El cuerpo de los números complejos

Capı́tulo 1
El cuerpo de los números complejos
En este primer capı́tulo se revisan los conceptos elementales relativos a los números complejos. El capı́tulo comienza con una breve nota histórica y después se estudia el concepto de
número complejo, las operaciones elementales, y la representación en forma binómica y forma
polar. Para finalizar se estudian las potencias y raı́ces.
1.1.
Nota histórica
Los números complejos aparecen en las Matemáticas a mediados del siglo XVI como respuesta a la búsqueda de soluciones de ecuaciones cuadráticas que no tenı́an solución en el campo
de los números reales.
En 1545, Cardano, en su obra Ars Magnam, plantea y resuelve el problema de buscar dos
números cuya suma sea 10 y cuyo producto sea 40. La ecuación resultante es
x(10 − x) = 40
√
y Cardano obtuvo como solución 5 + −15 y 5 − −15. √
A la vista de√este resultado proclamó:
”Dejando aparte torturas mentales los números son 5 + −15 y 5 − −15 ”.
√
Posteriormente otros matemáticos (Bombelli, Girad, Descartes, ...) trabajaron con números
complejos sin encontrarle más utilidad que la de ser soluciones de ecuaciones algebraicas.
En 1777, con
√ Euler, los números complejos se incorporan a la matemática. Introduce el
sı́mbolo i para −1, los escribió en la forma a + bi y operó con ellos algebraicamente aplicando
que i2 = −1. Demostró que son cerrados para las operaciones básicas y llegó a la ecuación
eiπ + 1 = 0
que relaciona los números más importantes de las Matemáticas.
A principios del siglo XIX, Argand representó los números complejos en el plano y en
1827, Gauss los escribió en la forma (a, b) considerándolos ası́ como elementos de R2 . En 1835
1
2
Hamilton presentó una teorı́a de los números complejos sin utilizar los sı́mbolos i y
ası́ es como se introducen en la actualidad.
1.2.
√
−1 y
Los números complejos
Definición 1.1 Se considera el conjunto R2 y sobre él se definen las operaciones suma y producto como sigue
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) · (c, d) = (a · c − b · d, a · d + b · c)
Habitualmente se denota por C el conjunto R2 cuando le consideramos dotado de estas dos
operaciones. Los elementos de C se denominan números complejos y son pares de números
reales.
Teorema 1.1 El conjunto C con las operaciones anteriores verifica las propiedades siguientes:
1. Asociativa de la suma: ∀z1 , z2 , z3 ∈ C, (z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ).
2. Conmutativa de la suma: ∀z1 , z2 ∈ C, z1 + z2 = z2 + z1 .
3. Elemento neutro de la suma: ∀z ∈ C, z + (0, 0) = z.
4. Elemento simétrico de la suma: ∀z = (a, b) ∈ C, (a, b) + (−a, −b) = (0, 0).
El simétrico de la suma suele denominarse elemento opuesto y se denota por −z.
Estas cuatro propiedades dotan al conjunto C con la operación suma de estructura de
grupo abeliano.
5. Asociativa del producto: ∀z1 , z2 , z3 ∈ C, (z1 · z2 ) · z3 = z1 · (z2 · z3 ).
6. Conmutativa del producto: ∀z1 , z2 ∈ C, z1 · z2 = z2 · z1 .
7. Elemento neutro del producto: ∀z ∈ C, z · (1, 0) = z.
8. Elemento simétrico del producto: ∀z = (a, b) ∈ C, z 6= (0, 0),
µ
(a, b) ·
−b
a
, 2
2
2
a + b a + b2
¶
= (1, 0).
1
o también z −1 .
z
Estas cuatro propiedades dotan al conjunto C − {(0, 0)} con la operación producto de
estructura de grupo abeliano.
El simétrico del producto suele escribirse como
3
9. Distributiva: ∀z1 , z2 , z3 ∈ C, (z1 + z2 ) · z3 = z1 · z3 + z2 · z3 .
La demostración de estas propiedades se reduce a una simple comprobación.
2
Se tiene entonces que el conjunto C = (l-R , +, ·) tiene estructura de cuerpo conmutativo.
Es habitual denotar por i al número complejo (0, 1) y se denomina unidad imaginaria.
También se denota por j, generalmente en textos de electricidad donde la letra i se utiliza para
representar la intensidad de corriente. En Matlab son válidas ambas formas.
Es un ejercicio sencillo comprobar que la aplicación que asigna a cada número real a el
número complejo (a, 0) es un isomorfismo entre el cuerpo de los números reales y el subcuerpo
de C formado por los complejos de la forma (a, 0). Este isomorfismo permite identificar cada
número real a con el número complejo (a, 0). En la notación escribiremos indistintamente a o
(a, 0).
Teniendo en cuenta esta identificación y la fórmula (a, b) = (a, 0) + (b, 0) · (0, 1), podemos
escribir z = (a, b) = a + b · i. Esta es la forma clásica para denotar los números complejos y
suele denominarse forma binómica. Resulta cómoda para realizar operaciones elementales,
simplemente debemos tener en cuenta que i2 = −1. Ası́, por ejemplo, para multiplicar dos
números complejos, podemos proceder como sigue:
(a + bi) · (c + di) = ac + adi + bdi + bci2 =
= (ac − bd) + (ad + bc)i
Dado z = a + bi ∈ C, se llama parte real de z a Re(z) = a y parte imaginaria de z a
Im(z) = b. El eje de abscisas se llama eje real y el de ordenadas eje imaginario. Se llama
conjugado de z a z̄ = a − bi.
Eje imaginario
y
z=(x,y)
x
-y
Eje real
z=(x,-y)
Figura 1.1: Representación de un número complejo
Ejemplo 1.1 Exprese en forma binómica (1 − 2i)(1 − i).
4
Proposición 1.1 Para cualesquiera z, z1 y z2 elementos de C se verifica que:
1. z1 + z2 = z1 + z2 .
2. z1 · z2 = z1 · z2 .
3. z = z.
Ejemplo 1.2 Exprese en forma binómica
5−i
.
1−i
Multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador
5−i
(5 − i)(1 + i)
6 + 4i
=
=
= 3 + 2i.
1−i
(1 − i)(1 + i)
2
Ejercicio 1.1 Exprese en la forma a + ib: a) (1 + i)(2 − i), b)
1−i
1+i
, c)
.
2+i
1−i
1+z
.
Ejercicio 1.2 Si z = x + iy, x, y ∈ l-R, z 6= 1, halle la parte real y la parte imaginaria de
1−z
Ejercicio 1.3 Si z = x + iy, x, y ∈ l-R, halle: a) Re(z 2 ), b) Im(z 2 ), c) Re(z · i), d) Im(z · i).
Ejercicio 1.4 Sean z, w ∈ C. Estudie si son ciertas las relaciones:
a) Re(z · w) = Re(z) · Re(w),
b) Re(z · i) = − Im(z),
c) Im(z/w) = Im(z)/ Im(w), ( w 6= 0).
Ejercicio 1.5 Represente en el plano los conjuntos siguientes: a) {z ∈ C : Re(z) > 1}, b)
{z ∈ C : Im(z) < 1}, c) {z ∈ C : Re(z) = 2}.
1.3.
Módulo y argumento. Forma polar
Dado z = a + bi ∈ C, se llama módulo de z a |z| =
(a, b) al origen de coordenadas.
√
a2 + b2 . Es la distancia del punto
Proposición 1.2 Sean z1 y z2 elementos de C, se verifica que:
5
z = a + bi
b
ò
a
Figura 1.2: Módulo y argumento
1. |z1 · z2 | = |z1 | · |z2 |.
¯ ¯
¯ z1 ¯ |z1 |
2. ¯¯ ¯¯ =
si z2 6= 0,.
z2
|z2 |
3. z1 · z1 = |z1 |2 .
4. |z1 + z2 | ≤ |z1 | + |z2 | (desigualdad triangular).
Ejemplo 1.3 Represente gráficamente y halle el módulo de: a) 2 + i, b) 2, c) 3i.
Ejemplo 1.4 Represente en el plano complejo los conjuntos: a) {z ∈ C : |z| ≤ 2}, b) {z ∈ C :
|z − i| ≤ 1}, c) {z ∈ C : |z − i| ≥ 1}.
Dado z ∈ C, z 6= 0, se dice que θ ∈ l-R es un argumento de z si se verifica que z =
|z| · (cos(θ) + i sen(θ)).
Si z = 0 no tiene sentido asignarle un argumento pues para cualquier valor de θ se cumple
que z = |z| · (cos(θ) + i sen(θ)).
Observamos que un número complejo está determinado si conocemos su módulo y uno de
sus argumentos. Si r es el módulo de un número complejo z y θ es un argumento se tiene
z = r · (cos(θ) + i sen(θ))
(1.1)
A la representación de un complejo mediante su módulo y un argumento se le denomina
forma polar y suele denotarse z = rbθ o también z = rθ . Como veremos posteriormente, esta
representación resulta muy útil para realizar determinadas operaciones como, por ejemplo, el
cálculo potencias y raı́ces.
Dado un número complejo en forma polar z = rbθ , su conjugado es z = rb−θ .
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Otra representación habitual, conocida como forma de Euler, se obtiene al escribir
eiθ = cos(θ) + i sen(θ).
Esta expresión la entenderemos simplemente como una notación, no debe interpretarse como
una exponencial compleja La exponenciación compleja se estudiará posteriormente. Utilizando
esta notación se obtiene otra forma de representar números complejos: si |z| = r y θ es un
argumento de z, se puede escribir
z = r · eiθ
Ejemplo 1.5 Exprese
√ en forma polar y represente en el plano los números complejos: a) 1 − i,
b) −1, c) −i, d) 1 + 3i.
Observemos que, debido a la periodicidad de las funciones sen y cos, cada número complejo
posee infinitos argumentos. Si θ es un argumento de z ∈ C, θ + 2kπ, con k ∈ ZZ, también
son argumentos del número z y no hay más. Si quiere asignarse a cada número complejo
un argumento único basta fijar un intervalo de amplitud 2π para elegir argumentos. Suele
denominarse argumento principal a aquel que pertenece al intervalo (−π, π].
De modo más general, dado α ∈ l-R, se denota por argα (z) la función que a un número
complejo z le asocia el único argumento de z que pertenece al intervalo (α − π, α + π). El
dominio de definición de esta función es C \ Hα , donde Hα = {z = ρeiα+π : ρ ≥ 0}.
ë
Hë
Figura 1.3: Rama del argumento
Algunos autores consideran el intervalo (α − π, α + π] en vez de (α − π, α + π). Como se
verá posteriormente, eligiendo argumentos en (α − π, α + π) la función argα es continua en su
dominio de definición mientras que si se eligen en (α − π, α + π] la función es discontinua para
los números cuyo argumento es α + π.
Ejemplo 1.6 Halle: a) arg0 (2), b) arg0 (i), c) argπ (−1), d) arg3π (2).
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Proposición 1.3 Sean z1 = r1 · eiθ1 y z2 = r2 · eiθ2 dos números complejos. Se verifica entonces
z1
r1
que z1 · z2 = (r1 r2 )ei(θ1 +θ2 ) . Si además z2 6= 0,
= ei(θ1 −θ2 ) .
z2
r2
Como consecuencia se tiene que si z = r · eiθ 6= 0, entonces
1
1
= · e−iθ .
z
r
Esta proposición nos permite interpretar geométricamente la multiplicación de números
complejos. Multiplicar por z = r · eiθ representa una homotecia de razón r y un giro de ángulo
α, en sentido antihorario, ambos respecto al origen de coordenadas. Por ejemplo, multiplicar
por el número i = 1bπ/2 representa un giro de π/2, centrado en el origen, en sentido antihorario.
z
zi
ù
2
Figura 1.4: Interpretación geométrica de la multiplicación
√
2
Ejemplo 1.7 Usando la forma polar calcule: a) (1 + i) , b)
3+i
.
1+i
Ejemplo 1.8 Obtenga las coordenadas de los vértices de un triángulo equilátero centrado en el
origen con uno de sus vértices en el punto (1, 0).
Ejemplo 1.9 Sea T el triángulo de vértices (0, 0), (1, 0) y (1, 1). Halle las coordenadas del
triángulo obtenido aplicar a T un giro centrado en el origen de ángulo π/4 en sentido antihorario.
Ejemplo 1.10 Halle la imagen del conjunto A = {z = rbθ ∈ C : 0 < r < 1, 0 < θ < π/4}
mediante la aplicación f (z) = 2z 2 + i.
√
Ejercicio 1.6 Exprese en forma polar: a) i, b) −i, c) − 3 + i, d) −2 − 2i.
√
√
√
Ejercicio√1.7 Usando la forma polar calcule: a) ( 3 + i)(1 + 3i), b) (1 − i)2 , c) (− 3 +
i)/(2 + 2 3i).
Ejercicio 1.8 Pruebe que ρbθ = rbφ si, y sólo si, ρ = r y θ = φ + 2kπ con k ∈ ZZ.
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Ejercicio 1.9 Pruebe que ∀z, w ∈ C se verifica ||z| − |w|| ≤ |z − w|. (Escriba z = (z − w) + w
y aplique la desigualdad triangular).
Ejercicio 1.10 Halle la imagen del conjunto A = {z ∈ C : |z| < 1, Im(z) > 0} mediante la
aplicación f (z) = 2z 2 .
Ejercicio 1.11 Halle una función f que transforme el conjunto A = {z ∈ C : |z − 1| <
1, Re(z) ≤ 1} en B = {z ∈ C : |z − 1| < 1}.
1.4.
Potencias y raı́ces
Proposición 1.4 Sea z = r · eiθ 6= 0 y m ∈ ZZ, se verifica entonces que z m = rm · eimθ .
Como consecuencia de esta proposición se obtiene la siguiente igualdad, conocida como
fórmula de Möivre:
(cos(θ) + i sen(θ))n = cos(nθ) + i sen(nθ)
(1.2)
Ejemplo 1.11 Calcule: a) (1 + i)3 , b) (1 +
√
3i)4 , c) (1 −
Ejercicio 1.12 Calcule: a) (1 + i)9 , b) (−1 + i)17 , c) (1 −
√
3i)2 , (d) i3 , (e) i4 .
√
3i)15 , d) i1023 .
Proposición 1.5 Sean z = r · eiθ 6= 0 y n ∈ lN; se verifica que z tiene exactamente n distintas
que son
√
θ+2kπ
wn = n r · ei n para k ∈ {0, . . . , n − 1}.
(1.3)
El conjunto formado por todas las raı́ces nésimas de z está constituido por n números que
dividen a √
la circunferencia centrada en el origen
n
de radio r en√n partes iguales. Este conjunto
se denota por n z y al utilizar esta notación debemos tener en cuenta que ciertas operaciones
habituales en el caso de raı́ces de√números rea√
√
les, como por ejemplo n xy = n x n y, no son
válidas en el campo de los números complejos.
w2
w1
2ù
n
w0
2ù
n
2ù
n
wn-1
Figura 1.5: Raı́z n-ésima.
Ejemplo 1.12 Halle y represente gráficamente las raı́ces siguientes: a)
√
4
i, b)
√
3
−1, c)
√
3
2i.
9
Ejemplo 1.13 Determine un polinomio en C cuyas raı́ces sean los vértices de un hexágono
regular que está centrado en el origen y que tiene uno de sus vértices en (1, 0).
Ejemplo 1.14 Obtenga las coordenadas de un hexágono regular centrado en el punto (0, 1) que
tiene uno de sus vértices en (2, 1).
2
4
Ejercicio 1.13 Halle las
√ soluciones de las ecuaciones siguientes: a) z = i, b) z = −1, c)
3
5
z = 1 + i, d) z = 1 + 3i.
Ejercicio 1.14 Obtenga un polinomio en C cuyas raı́ces sean los vértices de un pentágono
regular que está centrado en el origen y que tiene uno de sus vértices en (1, 0). Halle los otros
dos vértices.
Ejercicio 1.15 Obtenga las coordenadas de un triángulo equilátero centrado en el punto (1, 1)
que tiene uno de sus vértices en (1, 3).
Ejercicio 1.16 Sean a, b, c ∈ C, a 6= 0. Completando
cuadrados, demuestre que las soluciones
√
2
−b + b − 4ac
de la ecuación az 2 + bz + c = 0 son z =
.
2a
Ejercicio 1.17 Halle las soluciones de la ecuación z 2 − 4z + 8 = 0.
Ejercicio 1.18 Demuestre que, para n ∈ lN, z n = (z̄)n ∀z ∈ C.
Ejercicio 1.19 Para z ∈ C se considera un polinomio p(z) = a0 + a1 z + · · · + an z n donde
a0 , · · · , an ∈ l-R. Demuestre que p(z1 ) = 0 si, y sólo si, p(z1 ) = 0.