Solución algebraica de la ecuación cuadrática

SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
1. SOLUCIÓN POR FACTORIZACIÓN
Un aspecto clave en la solución de las ecuaciones cuadráticas ax2+bx+c=0 tiene que ver con la
factorización de los trinomios de la forma ax2+bx+c. Recordemos que estos trinomios pueden
factorizarse en los reales de varias maneras:
1. Por simple inspección o tanteo, cuando los factores son enteros.
2. Por completación al trinomio cuadrado perfecto.
3. Por aplicación del teorema del factor.
Vamos a recordar, con un ejemplo, la utilización de estas tres maneras de factorizar un trinomio de la
forma ax2+bx+c.
Factoricemos el trinomio 3x2+7x-6
1. POR SIMPLE INSPECCION o TANTEO
3(3x2 + 7x − 6)
33 x2 + 7(3x) −18
(3x)2 + 7(3x)−18
(3x+9)(3x− 2)
3(x+3)(3x−2)
Multiplicamos y dividimos por 3



3
3
3
3
3
3x2+7 x - 6=(x+3)(3x-2)
2. POR COMPLETACIÓN AL TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
7
6
7
6
3 [𝑥 2 + 3 𝑥 − 3]Hacemos el coeficiente de x2 igual a 13 [(𝑥 2 + 3 𝑥 + ⋯ ) − 3] Ahora debemos
∴
7
completar al trinomio cuadrado perfecto la expresión (𝑥 2 + 3 𝑥 +). Para lograrlo, debemos sumar la
7
mitad del cuadrado del coeficiente del término 3 𝑥; es decir, debemos sumar (y restar para que no se
7 2
49
7
49
6
7 2
49
6
49
altere la expresión) (6) = 36. Por lo tanto:3 [(𝑥 2 + 3 𝑥 + 36) − 3 − 36]3 [(𝑥 + 6) − 3 − 36]
7 2
3 [(𝑥 + 6) −
121
7
]3 [(𝑥 + 6) +
36
3x−2
11
6
7
] [(𝑥 + 6) −
11
18
6
6
]3 [(𝑥 +
4
2
)] [(𝑥 − 6)]3[(𝑥 + 3)] [(𝑥 − 3)]
3[(𝑥 + 3)] [( 3 )]3x2+7 x - 6=(x+3)(3x-2)
3. POR APLICACION DEL TEOREMA DEL FACTOR
Al repasar la unidad 0 de este texto, recordábamos que si un polinomio tiene CEROS enteros,
necesariamente estos hay que buscarlos en los divisores de su término independiente. Así, pues, los
posibles ceros enteros del polinomio P(x) = 3x2+7x-6 son los divisores de 6: ±1, ±2, ±3, ±6
Un chequeo rápido nos muestra que sólo x=-3 es cero entero de este polinomio. Por lo tanto, (x+3)
es un factor de 3x2+7x-6. El otro factor podemos encontrarlo por simple inspección o buscando sus
coeficientes a través del proceso de la división sintética; así:
3
7
-6
-3
-9
6
3
-2
0
Luego, el otro factor es (3x-2) y la factorización completa del polinomio P(x)=3x2+7x-6 es (x+3)(3x-2).
Finalmente, conviene recordar la propiedad a•b=0 de los números reales porque la usaremos a
continuación en la solución de ecuaciones de segundo grado.
PROPIEDAD DE LOS REALES PARA a•b=0
Sean a y b dos números reales: Si a•b=0 entonces a=0 o b=0
Esta propiedad establece que si el producto de dos números reales es igual a cero, entonces al
menos uno de los factores (o ambos) son iguales a cero. Esta propiedad puede extenderse a un
producto con más de dos factores; es decir: Si a•b•c•d=0 entonces a=0 ó b=0 ó c=0 ó d=0
Los siguientes ejemplos nos muestran de manera detallada cómo usar la factorización y la propiedad a•b=0 para resolver ecuaciones de segundo grado.
EJERCICIO 1
Resolvamos la ecuación (2x-1)(x+3)=0
La ecuación (2x-1)(x+3)=0 tiene la forma a•b=0. Por lo tanto, si aplicamos la propiedad de los
𝟏
números reales que acabamos de mencionar nos queda:(2x-1)(x+3)=02x-1=0 ó x+3=0 x = 𝟐
𝟏
ó x = -3. Así pues, la solución de la ecuación es el conjunto S ={−𝟑, 𝟐} Esta solución puede
𝟏
comprobarse si sustituimos la incógnita x primero por -3 y luego por 𝟐 en la ecuación original; así:
Sustituimos x por -3:[ 2(-3)-11][(-3)+3]=0[-6-1][0]=0[-7][0]=00=0 ¡cierto!
𝟏
𝟏
𝟏
𝟕
𝟕
Sustituimos x por 𝟐: [𝟐 (𝟐) − 𝟏] [ 𝟐 + 𝟑] = 𝟎 [1-1][ 𝟐] = 𝟎 [ 0)[ 𝟐] = 𝟎  0=0 ¡cierto!
SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
EJERCICIO 2
Resolvamos la ecuación x2+2x=15
La ecuación es una ecuación de segundo grado. Para resolverla, lo primero que hacemos es igualar
a cero; es decir: x2+2x-15=0. A continuación, factorizamos el polinomio x2+2x-15. Podemos hacerlo
por simple inspección; así: (x+5)(x-3)=0 Ahora igualamos a cero cada factor: (x+5)(x-3)=0x+5=0 ó
x-3=0x=-5 ó x=3 CONCLUSIÓN: La solución de la ecuación x2+2x =15 es el conjunto S = {-5,3}
EJERCICIO 3
Resolvamos la ecuación 3x2 = 2x
En la solución de esta ecuación expliquemos cada paso desarrollado:3x2-2x=0x(3x-2)=0x=0 ó
2
2
3x-2=0x=0 ó x= 3 Por lo tanto, la solución de la ecuación 3x2=2x es el conjunto S ={0, 3}
EJERCICIO 4
Resolvamos la ecuación 2x2-8x+3=0
El polinomio 2x2-8x+3 no tiene factores enteros. Por lo tanto, es bastante difícil factorizarlo por simple
inspección. Igualmente, se dificulta su factorización por el teorema del factor. Vamos a factorizarlo
por completación al trinomio cuadrado perfecto. Explica cada paso realizado:
3
3
3
5
2(x2-4x+2) = 02[(x 2 − 4x) + 2] = 02[(x 2 − 4x + 4) + 2 − 4] = 02[(x − 2)2 − 2 ] = 0
5
5
5
5
5
5
2[(x − 2) + √2] ∙ [(x − 2) − √2] = 0[x − 2 + √2] ∙ [x − 2 − √2] = 0x − 2 + √2 = 0 ó x − 2 − √2 = 0
5
5
x = 2-√2 ó x=2+√2x≈2-1,58 ó x ≈2+1,58x≈0,42 ó x≈3,58 Luego, la solución de la ecuación
es el conjunto {0,42, 3,58} .Muchos estudiantes cometen el siguiente error cuando tienen una
ecuación como ésta x(3x-2)=0: pasan, a dividir, el factor x al otro lado de la ecuación, dejando como
única solución la correspondiente a la ecuación 3x-2=0. Cuidémonos, por lo tanto, de cometer esta
ligereza pues estaríamos eliminando una de las dos soluciones que tiene toda ecuación de segundo
grado.
EJERCICIO 5
Resolvamos la ecuación x2=16
Analicemos cada paso explicando lo que se hace: x2-16=0(x+4)(x-4)=0x+4=0 ó x-4=0x= -4 ó
x=4. Por lo tanto, la solución de la ecuación x2=16 es el conjunto S = {-4,4}
Este tipo de ecuaciones incompletas de segundo grado, en las cuales falta el término de primer
grado bx, también podemos resolverlas aplicando la definición de raíz cuadrada de un número; así:
x2=16x=√16 ó x=-√16x = 4 ó x = - 4 ó en forma más simple: x = ±√16 ó x = ± 4
EJERCICIO 6
Resolvamos la ecuación (x-6)2=10
Esta ecuación podemos resolverla de dos maneras: la primera, desarrollando (x-6)2, igualando a
cero, factorizando y aplicando la propiedad a ∗b = 0; la segunda, aplicando la definición de raíz
cuadrada como lo hicimos en el ejemplo anterior. Esta segunda manera es la más rápida. Veamos:
x-6=±√10x=6±√10x = 6 +√10 ó x= 6-√10 .Por lo tanto, la solución de esta ecuación es el
conjunto S = {6+√10 , 6-√10}. Invitamos a resolver la ecuación de la otra manera y comparar no sólo
los resultados sino los métodos.
EJERCICIO 7
Resolvamos la ecuación 2x2-3x+4=0
Damos un tiempo prudencial para que factorice el polinomio 2x2-3x+4.
¿Verdad que aparentemente, ninguno de los métodos sugeridos para factorizar este polinomio
funciona? La razón es que probablemente este polinomio no tiene factores reales. Para
comprobarlo, recordemos un criterio para saber si un polinomio de la forma ax2+bx+c tiene o no
factores reales. El criterio es el siguiente: El polinomio ax2+bx+c NO tiene factores reales si la
expresión b2-4ac es negativa.
En nuestro caso: a=2, b=-3 y c=4. Por lo tanto: b2-4ac=(-3)2-4(2)(4)=9-32=-23. Luego, b2-4ac es
negativo y el polinomio 2x2-3x+4 no tiene factores reales. CONCLUSIÓN: Como el polinomio
2x2-x+4 no tiene factores reales, entonces la ecuación tampoco tiene soluciones o raíces reales.
SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
EJERCICIO 8
Resolvamos la ecuación 4x2+9=12x
Tenemos: 4x2-12x+9=0(2x-3)2=0(2x-3)(2x-3)=02x-3=0 ó 2x-3=0x =
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
ó x =
𝟑
𝟐
Luego, la
solución de la ecuación es el conjunto S = {𝟐 , 𝟐} = {𝟐}.Notemos que, en este caso, las soluciones de
𝟑
𝟑
la ecuación son iguales: x = 𝟐 , x = 𝟐. Esto ocurre cuando el polinomio ax2+bx+c es un trinomio
cuadrado perfecto. También podríamos haber resuelto más rápido la ecuación si, en el paso donde
(2x-3)2=0, aplicamos la definición de raíz cuadrada; así: (2x-3)2=02x-3=±√0
3
2x- 3=02x=3x=2
2. SOLUCIÓN MEDIANTE LA FÓRMULA CUADRÁTICA
El método de completación al trinomio cuadrado perfecto nos permite resolver cualquier ecuación
cuadrática, pero su aplicación suele ser bastante tediosa. Afortunadamente existe un método general y sencillo con el cual podemos resolver cualquier ecuación de segundo grado. Este método es el
de la FORMULA CUADRÁTICA. Esta fórmula, bastante popular entre los estudiantes de
secundaria, se deduce al aplicar a la forma general de la ecuación cuadrática ax 2+bx+c=0 el método
de completación al trinomio cuadrado perfecto. Observemos todo el proceso:
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝐱 + 𝒄 = 𝟎; a≠0
Si dividimos ambos lados por a obtenemos:
𝐛
𝟐
↓
𝐜
𝒙 + 𝐚𝐱+𝐚 = 𝟎
Restando
↓
𝐛
↓
a ambos lados nos queda:
𝐛 𝟐
𝐜
𝒙𝟐 + 𝐚 𝐱 = − 𝐚
Ahora sumamos(𝟐𝐚) a ambos lados de la igualdad para que el lado
izquierdo sea un trinomio cuadrado perfecto:
𝐛 𝟐
𝐛
𝐜
𝐚
𝐜
𝐛 𝟐
𝐛
𝐛 𝟐
𝐛 𝟐
𝒙𝟐 + 𝐚 𝐱 + (𝟐𝐚) = − 𝐚 + (𝟐𝐚) Pero 𝒙𝟐 + 𝐚 𝐱 + (𝟐𝐚) = (𝐱 + 𝟐𝐚)
↓
𝐛 𝟐
𝐜
𝐛𝟐
(𝐱 + 𝟐𝐚) = − 𝐚 + 𝟒𝐚𝟐
Ahora sumamos las fracciones del lado derecho:
↓
𝐛 𝟐
(𝐱 + 𝟐𝐚) =
𝐛𝟐 −𝟒𝐚𝐜
𝟒𝐚𝟐
↓
𝐛 𝟐 −𝟒𝐚𝐜
𝐛
𝐱 + 𝟐𝐚 = ±√
𝟒𝐚𝟐
Saquemos raíz cuadrada a ambos lados:
Simplifiquemos el radical del lado derecho:
↓
𝐛
𝐱 + 𝟐𝐚 =
𝐛
±√𝐛 𝟐 −𝟒𝐚𝐜
↓
𝐱 = − 𝟐𝐚 ±
↓
𝟐𝐚
√𝐛 𝟐 −𝟒𝐚𝐜
𝟐𝐚
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
Despejamos la x:
Finalmente, sumamos las fracciones de igual denominador del lado
derecho:
𝒙=
𝟐𝒂
Esta última expresión: es la fórmula para resolver cualquier ecuación de segundo grado y debe
utilizarse cuando no dan resultado o son difíciles otros métodos como el de la factorización. Se llama
FÓRMULA CUADRÁTICA o FÓRMULA DEL BACHILLER, por su popularidad entre los
estudiantes de secundaria. La expresión b2-4ac, que aparece dentro de la raíz cuadrada en la
fórmula cuadrática, se denomina DISCRIMINANTE y es muy importante ya que nos proporciona
información útil acerca de las soluciones o raíces de la ecuación; así:
 Si b2-4ac es positivo, entonces ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales distintas.
 Si b2-4ac=0, entonces ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales iguales (una solución real
repetida).
 Si b2-4ac es negativo, entonces ax2+bx+c=0 no tiene soluciones reales y ambas son complejas.
Recordemos que esta misma expresión fue la que utilizamos para saber si un polinomio cuadrático
tenía o no factores reales. Las soluciones de la ecuación cuadrática ax2+bx+c=0 pueden obtenerse
factorizando el polinomio ax2+bx+c y aplicando la propiedad A•B=0 o aplicando directamente la
SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
−𝒃±√𝒃𝟐 −𝟒𝒂𝒄
fórmula cuadrática: 𝒙 =
.La expresión b2-4ac se denomina DISCRIMINANTE ya que nos
𝟐𝒂
permite determinar si la ecuación ax2+bx+c=0 tiene dos soluciones reales, una solución real o
ninguna solución real dependiendo de si b2-4ac es positivo, cero o negativo, respectivamente.
EJERCICIO 9
Resolvamos la ecuación 3x2-2x-5=0, utilizando la fórmula cuadrática. En este caso: a=3, b=-2 y c=-5.
Por lo tanto,𝑥 =
siguientes: 𝑥1 =
5
−(−2)± √(−2)2 −4(3)(−5)
2+ 8
6
5
2(3)
= 3 ó 𝑥1 =
2− 8
6
=
2 ± √4 + 60
6
=
2 ± √64
6
=
2±8
6
Tenemos, pues, las dos soluciones
= −1. Luego, la solución de la ecuación 3x2-2x-5=0 es el conjunto
𝑆 = {−1, 3}
EJERCICIO 10
Resolvamos la ecuación 5m+3m2=4, utilizando la fórmula cuadrática. En primer lugar, igualamos a
cero la ecuación; así: 3m2+5m-4=0. Ahora tenemos: a=3, b=5 y c=-4. Por lo tanto:𝑚 =
−5± √(5)2 −4(3)(−4)
𝑚2 =
2(3)
−5− √73
=
−5 ± √25+48
6
=
−5± √73
6
Luego, tenemos dos soluciones reales distintas: 𝑚1 =
−5+ √73
6
y
S=
.Por lo tanto, el conjunto solución de la ecuación 5m+3m2=4 es:
6
−5+ √73 −5− √73
{ 6 , 6 }
EJERCICIO 11
Resolvamos la ecuación x2+13=4-5x
Tenemos: x2+13-4+5x=0 igualamos a cerox2+5x+9=0 ¿por qué? Por lo tanto, a=1, b=5 y c=9:
𝑥=
−5±√(5)2 −4(1)(9)
2(1)
=
−5±√25−36
2
=
−5±√−11
2
.Como vemos, el discriminante b2-4ac es negativo. En
consecuencia, la ecuación x2+13=4-5x no tiene soluciones reales sino soluciones complejas y las
escribimos así: 𝑥1 =
EJERCICIO 12
−5+√11𝑖
2
y 𝑥2 =
2𝑧 2
−5−√11𝑖
2
2𝑧+4
Resolvamos la ecuación: 𝑧−2 − 1 = 𝑧−2
En primer lugar, observemos que la ecuación presenta denominadores. Por lo tanto, debemos proceder a eliminarlos. El m.c.m de los denominadores es z-2. Multipliquemos, ambos lados de la
2𝑧 2
ecuación por z-2: (𝑧 − 2) ∙ (𝑧−2 − 1) = (𝑧 − 2) ∙
2𝑧 2
2𝑧+4
(𝑧 − 2) ∙ (𝑧−2 − (𝑧 − 2)) =
𝑧−2
(𝑧−2)∙(2𝑧+4)
𝑧−2
Propiedad
distributiva 2z2-(z-2)=2z+4; con z≠22z2-z+2=2z+42z2-z+2-2z-4=02z2-3z-2=0
1
1
(2z+1)(z-2)=02z+1=0 ó z-2=0z =− 2 ó z = 2 .Como vemos, hay dos soluciones z=− 2, z=2 y una
restricción z≠2. Como esta restricción contradice una de las soluciones, entonces z=2 no puede ser
1
solución de la ecuación y, en consecuencia, la única solución de esta ecuación es z = − 2 Por lo
2𝑧 2
1
tanto, el conjunto solución de la ecuación es S = {− 2}.Tengamos en cuenta que la ecuación 𝑧−2 −
2𝑧+4
1 = 𝑧−2 no es una ecuación cuadrática simple; por lo tanto, no es equivalente a la ecuación 2z 2-3z2=0. En cambio, sí es equivalente a la ecuación 2z2-3z-2=0; z≠2.
EJERCICIO 13
Resolvamos la ecuación (m2-n2)x2+2(m2+n2)x+m2-n2=0, con m≠± n
Si aplicamos la fórmula cuadrática tendríamos: a=m 2-n2; b=2(m2+n2); c=m2-n2 .Por lo tanto:
𝑥=
𝑥=
−2(m2 +n2 )±√[2(m2 +n2 )]2 −4(m2 −n2 )(m2 −n2 )
2(m2 −n2 )
=
−2(m2 +n2 )±√4(m4 +2m2 n2 +𝑛4 )−4(m4 −2m2 n2 +n4 )
−2(m2 +n2 )±√4m4 +8m2 n2 +4𝑛4 −4m4 +8m2 n2 −4n4 )
𝑥1 =
𝑥1 =
2(m2 −n2 )
−2(m2 +n2 )+4mn
−2(m2 +n2 )−4mn
ó
𝑥
=
𝑥1
2
2
2
2(m −n )
2(m2 −n2 )
−(m−n)2
−(𝑚+𝑛)2
n−m
ó
𝑥
=
𝑥
=
2
1
(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)
(𝑚+𝑛)(𝑚−𝑛)
𝑚+𝑛
=
=
2(m2 −n2 )
−2(m2 +n2 )±4mn
−2(m2 +n2 )±√16m2 n2
2(m2 −n2 )
−2(m2 +n2 −2mn)
2(m2 −n2 )
𝑚+𝑛
ó 𝑥2 = 𝑛−𝑚
=
ó 𝑥2 =

2(m2 −n2 )
−2(m2 +n2 +2mn)
2(m2 −n2 )

SOLUCIÓN ALGEBRAICA DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
n−m 𝑚+𝑛
Luego, el conjunto solución de esta ecuación es S = {𝑚+𝑛 , 𝑛−𝑚}
EJERCICIO 14
Despejemos la variable y, en la ecuación 3x2-4xy+y2=12.
Un examen detenido de la ecuación nos permite determinar que es de segundo grado en la variable
y; por lo tanto, igualemos a cero y ordenemos los términos de acuerdo con dicha variable:
y2-4xy+3x2-12=0 Igualamos a cero y ordenamos. En consecuencia, a=1, b=-4x y c=3x2-12. Luego:
𝑦=
−(−4x)±√(−4𝑥)2 −4(1)(3x2 −12)
√𝑥 2
2
=
−(−4x)±√16𝑥 2 −12x2 +48)
2
=
4x±√4𝑥 2 +48
2
=
4x±√4(𝑥 2 +12)
2
=
4x±2√(𝑥 2 +12)
y = 2𝑥 ±
+ 12 .Por lo tanto, al despejar la y obtenemos dos ecuaciones 𝐲 = 𝟐𝒙 +
𝟐
√𝒙 + 𝟏𝟐 𝒚 𝐲 = 𝟐𝒙 − √𝒙𝟐 + 𝟏𝟐
2