TEMA 1 Números enteros y racionales*

TEMA
1
Números enteros y racionales*
• Números enteros:
Se denominan números naturales (también llamados enteros positivos) a los números
que nos sirven para contar objetos: 1,2,3,4,5,... El conjunto de los números naturales se
designa por la letra N:
N={1,2,3,4,5,6,...}
El 0 no lo consideraremos número natural, aunque otros autores si lo hacen.
Se denominan números enteros al conjunto de los números naturales, sus
negativos y el 0. El conjunto de los números enteros se designa por la letra Z:
Z={...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...}
Evidentemente N⊂ Z (Naturales incluidos en enteros)
En el conjunto de los números Z se definen varias operaciones ya conocidas, como
la suma, resta, multiplicación y división.
• Múltiplo, divisor:
Si un número a, al dividirlo por otro b, da división exacta (resto 0), se dice que a es
múltiplo de b y b se dice divisor de a. Ej. 8 es múltiplo de 4 y 4 es divisor de 8.
Además se dice que a es divisible por b y que b divide a a. Ej. 28 es divisible por
7 y 7 divide a 28. Pero 10 no es divisible por 3.
• Par e impar:
Un número entero divisible por 2 se dice par. Impar en caso contrario. Por
ejemplo, 8 es par y 23 es impar. Todos los pares se pueden representar por 2n, siendo n un
número entero cualquiera. Los impares se pueden representar en general por 2n+1.
• Reglas de divisibilidad:
Nos permiten saber si un número es divisible por otro, sin necesidad de efectuar la
división. Las más utilizadas son:
• Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par.
• Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras es 3 o
múltiplo de 3.
1
•
•
Un número es divisible por 5, si termina en 0 o en 5.
Un número es divisible por 9, si la suma de los valores de sus cifras es 9 o
múltiplo de 9.
• Valor Absoluto:
Llamaremos valor absoluto de un número entero, al mismo número con signo positivo,
independientemente del signo que tuviera. Al valor absoluto de n lo designaremos por
|n|, entonces:
 n si n ≥ 0
n =
− n si n < 0
Ej: |5|=5 , |-5|=- (-5)=5
• Algoritmo de la División:
Si a (dividendo)y b (divisor) son dos números enteros con b≠0, existen q (cociente)
y r (resto) enteros tales que a=bq+r, donde 0≤r<|b|. Además q y r son únicos.
A los números a, b, q, y r se les suele llamar dividendo, divisor, cociente y resto.
Ej.
Dados 7 y 3 se tiene que q=2 y r=1, 0≤1<3
La igualdad a=bq+r, se conoce como prueba de la división. Así en el ejemplo
anterior se cumple 7=3·2+1
• Números primos.
Son aquellos que sólo son divisibles por sí mismos o por 1. En el conjunto de los
diez primeros números naturales el 1, 2, 3 , 5 y 7 son primos, mientras que 4, 6, 8, 9 y 10
son números compuestos.
-
Descomposión en factores primos (Factorización):
Llamaremos así a la operación de descomponer un número como producto de
factores primos .
Ej.:
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
-
124 2
62 2
31 31
1
363 3
121 11
11 11
1
Se expresa así:
48=24·3
124=22·31
363=3·112
2
Una sugerencia para descomponer en factores cuando el número termine en uno o más
ceros, es tener en cuenta que cada 0 da lugar a un 2 y un 5. Ej. Descompongamos en
factores el número 90 y el número 5.400. Quedaría:
5400 22.52
90 2.5
54
2
9 3
27
3
3 3
9
3
1
3
3
1
Luego la descomposición factorial en factores primos (descomposición canónica) será:
90 = 2.3 2 .5 y
5.400= 23.33.52
Ej. Descomponer 176400 = 2 4 .3 2 .5 2 .7 2
176400 2 2.52
1764 2
882
2
441
3
147
3
49
7
7
7
1
• Máximo común divisor (m.c.d.) y mínimo común múltiplo (m.c.m.)
Llamaremos máximo común divisor de a1, a2, ..., an al divisor común d>0 tal que
cualquier otro divisor común de a1, a2, ..., an divide también a d. Se designa por m.c.d.(
a1, a2, ..., an ). Es decir es el divisor mayor común a todos ellos, tal como indica su
nombre.
Para hallar el máximo común divisor de dos números o más, los factorizaremos y
luego multiplicaremos los factores comunes elevados al menor exponente.
Ej.: Calcúlese el máximo común divisor de 2640 y 3580.
2640=24·3·5·11
3580=22·5·179
m.c.d.(2640, 3580)=22·5=20
3
Llamaremos mínimo común múltiplo de a1, a2, ..., an y lo designaremos mediante
m.c.m.( a1, a2, ..., an ) al entero positivo más pequeño que es múltiplo de todos ellos a la
vez. Es decir al múltiplo más pequeño, común a todos ellos.
Para hallar al mínimo común múltiplo de dos números o más, los factorizamos y
luego multiplicamos los factores comunes y no comunes elevados al máximo
exponente.
Ej.: Calcúlese el mínimo común múltiplo de 2640 y 3580.
2640=24·3·5·11
3580=22·5·179
m.c.m.(2640,3580)=24·3·5·11·179=472560
Para hallar al mínimo común múltiplo de dos números pequeños, es más rápido proceder
como sigue: Se coge el mayor de ellos y se va multiplicando sucesivamente por 1, 2, 3, etc.
para hallar sus múltiplos, hasta encontrar uno que sea múltiplo del otro número. El primer
múltiplo que cumpla esa propiedad, será el m.c.m de los dos.
Ej.: Calcúlese el mínimo común múltiplo de 10 y 12.
Los múltiplos sucesivos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60…
El 60 es el primero que es múltiplo también de 10, luego:
m.c.m (10 , 12) = 60
Ej. Idem con 8 y 12
Ej. Idem con 6 , 8 y 10
Propiedad: Se cumple siempre que el producto del m.c.d (a,b) y el m.c.m (a,b) da como
resultado el producto de a por b.
Ejercicio: Hacer el ejercicio 3 de la página 13 del libro de teoría.
(Calcúlese el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo de:
a) 168 y 300 b) 120 y 350
Primos entre sí: Dos números que tienen como m.c.d. de ellos dos, la unidad, se dicen
primos entre sí (Es decir son los que no tienen divisores comunes, exceptuando el 1). Ej. 8
y 21 son primos entre sí (aunque ninguno de ellos es primo)
• Números racionales.
m
donde m y n son enteros y n≠0. En los
n
números racionales se incluyen los enteros pues n=n/1, por lo tanto el conjunto de los
enteros está contenido en el conjunto de los racionales. Al conjunto de los números
racionales lo denominaremos por el símbolo Q:
Los números racionales son los del tipo
Q={m/n | m,n ∈Z y n≠0 }
Los símbolos | y ∈ se leen “tal que” y “pertenece”
Algunos números racionales son 1/2, -5/4, -5, 6, 100/40, ... etc.
4
Al número m/n también se le denomina fracción, a los números m y n se les
denomina numerador y denominador de la fracción.
El significado de la fracción 2/3 es la siguiente: Los dos tercios de una tarta
equivale a dividir la tarta en tres partes y tomar dos.
Dos números racionales a/b y c/d se dice que son iguales o equivalentes si a· d
= b· c
Es decir:
a c
=
⇔ a.d = b.c
b d
Ej. 3/4 es igual o equivalente a 6/8 puesto que 3.8=4.6
Ser iguales o equivalentes significa también tener el mismo valor: Así da lo mismo
dividir una tarta en cuatro partes y tomar 3, que dividirla en 8 y tomar 6. También equivale
a que la expresión decimal obtenida al dividir 3 entre 4, es la misma que al dividir 6 entre 8;
en este caso ambas valen 0,75.
Una fracción es irreducible cuando el numerador y el denominador son primos
entre sí. Ej. 3/4 es irreducible, mientras 6/8 no lo es.
Simplicar una fracción es convertirla en irreducible. La forma de conseguirlo es
dividir el numerador y denominador por el m.c.d. de ambos. También se puede ir
simplificando gradualmente, dividiendo numerador y denominador por divisores comunes,
hasta llegar a convertirla en irreducible. Ej. La fracción simplificada de 30/42 es 5/7.
Nota: Realmente un número racional se define como el conjunto de todas las fracciones equivalentes a una dada, pero no es nuestro objetivo en estos apuntes ser
tan puristas, sino que se domine el tema de operatoria con fracciones. Por ejemplo el número racional 1/2 esta formado por el conjunto de fracciones siguientes:
{1/2, 2/4, 3/6, 4/8, 5/10, ... }
Operaciones con fracciones:
- Reducir dos o más fracciones a común denominador es hallar otras fracciones,
equivalentes, que tengan todas ellas el mismo denominador. Dadas dos fracciones a/b,
c/d la forma más sencilla de encontrar fracciones equivalentes es calcular el m.c.m.(b, d)
= m, y después dividir m por cada uno de los denominadores y multiplicar el resultado
por los numeradores correspondientes, dejando como denominador común m. Así:
Si m dividido por b es p y m dividido por d da q habría que hacer:
a a⋅ p
c c⋅q
=
,
=
b
m
d
m
Ej.: Dados 1/3, 2/4, como el m.c.m.(3, 4)=12 se tiene: 12/3=4 y 12/4=3 luego:
2 2⋅3 6
1 1⋅ 4 4
=
= ,
=
=
4 12 12
3 12 12
- Suma y diferencia: primero se reducen a común denominador (operación anterior),
posteriormente se suma o resta los numeradores dejando por denominador el común
denominador.
5
1 2 4 6 4 + 6 10
5
+ = + =
=
=
↑
3 4 12 12
12
12
6
Ej.:
simplif .
- Multiplicación: se opera multiplicando los numeradores y los denominadores:
4 3 4 ⋅ 3 12
=
⋅ =
5 7 5 ⋅ 7 35
Ej.:
- División: sean a/b y c/d dos números racionales; el cociente de estos dos
números a/b : c/d es otro número racional que tiene por numerador el número a.d y por
denominador el número b.c. (Es como si multiplicáramos en cruz)
3 5 3 ⋅ 6 18
: =
=
5 6 5 ⋅ 5 25
Nota: Utilizaré para la división indistintamente los símbolos : , ÷ ó /
Ej.:
Ejercicio: Hacer el ejercicio 4 de la página 13 del libro de teoría. (Ver resolución en
pág. 12 de estos apuntes)
2 7 3 5
+ − ⋅
3 4  8 9 
Simplifíquese el número racional
y hállese su fracción irreducible.
7 2

−
+ 8
6  4

53
(Sol: −
)
176
Se denomina expresión decimal de un número racional a la forma decimal que
se obtiene al dividir el numerador por el denominador. (Ver en clase como se divide con
decimales, puesto que no dejan calculadora en el examen)
Las expresiones decimales se dividen en dos grandes grupos:
Las expresiones finitas (cuando al dividir en algún momento aparece un resto 0).
Ej.
13/4 = 3,25
1191/250= 4,764
Y las no finitas o infinitas (nunca se llega a un resto nulo).
Estas últimas pueden ser:
- Expresiones periódicas.
- Expresiones no periódicas.
Las expresiones decimales periódicas se clasifican en:
-
Periódicas puras: el periodo (grupo de cifras que se repite) comienza a partir
de las décimas. Ej.: 0,333... que se expresa como 0, 3 ; 1,4545... que se expresa
como 1, 45
6
-
Periódicas mixtas: entre la coma y el período hay cifras que no se repiten. Ej.:
2,13434... que se expresa 2,134 (a la parte decimal que no se repite se le suele
llamar ante período)
Esquema:
 Finitas ( Ej. 3, 28)


 Puras Ej. 2,16




Exp. decim. 
 Periódicas 
 Mixtas Ej. 3,123
 Infinitas 



 No periódicas ( Ej. 2, 010010001...)

(
(
)
)
Nota: Puesto que al dividir el numerador entre el denominador, siempre da un
resto menor que divisor, pueden pasar dos cosas:
• O el resto es 0, en cuyo caso la expresión decimal resultante es finita.
• O el resto acaba por repetirse, con lo que se repiten también las cifras
decimales, estableciendo un periodo y dando lugar a una expresión
decimal periódica.
Por tanto: Todo número racional tiene una expresión decimal finita o periódica.
Si a cada fracción le corresponde una expresión decimal finita o periódica, también
a cada expresión decimal finita o periódica le corresponde una fracción que la genera
(generatriz), que se obtiene según estas reglas:
1. Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal exacta, se coloca en
el numerador la parte entera seguida de la parte decimal sin la coma y en el
denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte
decimal.
793
Ej. 7,93 =
100
2. Para hallar la fracción generatriz de una expresión decimal periódica pura, se
coloca en el numerador la parte entera seguida de un período sin la coma al que
se le resta la parte entera y en el denominador tantos nueves como cifras tiene el
período.
183 − 1 182
Ej. 1,8383... =
=
99
99
3. Para hallar la fracción generatriz correspondiente a una expresión decimal
periódica mixta, se coloca en el numerador la parte entera seguida del ante
período seguido de un período sin la coma, menos el número formado por la
parte entera y el ante período sin la coma, y por denominador tantos nueves
como cifras tiene el período seguidos de tantos ceros como cifras tiene el ante
período.
1675 − 16 1659
Ej. 1, 67575... =
=
990
990
7
Por tanto: Toda expresión decimal finita o periódica procede de una fracción
(número racional)
Ejercicio: Hacer el ejercicio 5 de la página 13 del libro de teoría.
Encuéntrese la forma fraccionaria del los números racionales 0, 387 , 0, 386767676... y
0, 235666...
De todo lo que se ha dicho, resulta que: Todo número racional tiene una expresión
finita o periódica y viceversa. Más detallado:
-
Todo número racional tiene una sola expresión decimal finita o
periódica.
Y viceversa:
-
Toda expresión decimal finita o periódica tiene su fracción generatriz
que representa un número racional.
Es decir hay una correspondencia biyectiva (ya se verá el significado en el tema 3
de Conjuntos) entre el conjunto Q de los números racionales y el conjunto de las
expresiones decimales finitas o periódicas.
8
SÍMBOLOS MATEMÁTICOS
Incluyo a continuación una relación de símbolos lógico matemáticos que irán apareciendo a
lo largo de los temas:
{a, b, c, ... } Indica el conjunto formado por los elementos a, b, c,...
Si n es un número n significa valor absoluto de un nº
El arco del número 1´3 quiere decir periodo y equivale a 1´33333...
a < b se lee “a menor que b”
a > b se lee “ a mayor que b”
a ≤ b se lee “a menor o igual que b”
a ≥ b se lee “a mayor o igual que b”
Si a y b son dos números reales: (a , b) significa el intervalo abierto de extremos a y b.
Si a y b son dos números reales: [a , b] significa el intervalo cerrado de extremos a y b.
La barra vertical
significa “tal que”
a ∈ A significa “ el elemento a pertenece al conjunto A”
a ∉ A significa que “ el elemento a no pertenece al conjunto A”
A ⊂ B significa “ el conjunto A está incluido en el conjunto B”
A ⊄ B significa no incluido
Si A es un conjunto A significa “cardinal de A, es decir el número de elementos de A”
φ , hablando de conjuntos, es el conjunto vacío
φ hablando de sucesos es el suceso imposible
⇔ significa al igual que ↔ “ si y solo si”, lo que equivale a que si se cumple lo de la
izquierda de la flecha, se cumple lo de la derecha de la flecha y viceversa
⇒ al igual que → significa “implica” es decir “ de lo de la izquierda se deduce lo de la
derecha”
∪ significa unión de conjuntos
∩ significa intersección de conjuntos
BC significa el complemento o conjunto complementario de B
f : A → B se lee “ aplicación o función f de A en B”
g f significa composición de las funciones f y g (en ese orden)
∀ significa “para todo” o “ para cada”
n
  es el número combinatorio “ n sobre r” que significa “número de combinaciones de n
r
elementos tomados de r en r “
Si A es un conjunto P(A) significa el conjunto de las partes de A, o conjunto potencia de A.
Si A es un suceso p(A) significa “probabilidad de A”
9
OTRA FORMA DE PASO DE FORMA DECIMAL A FORMA DE FRACCIÓN
A)
Caso de expresión decimal finita. Ejemplo 2,345
Se dividen todas las cifras, sin la coma, entre la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal y después se simplifica.
2,345 =
B)
2345 469
=
1000 200
Caso de expresión decimal periódica pura. Ejemplo 3, 24
Pasos a seguir:
1.
Se le asigna al número el nombre de una variable, por ejemplo "x"
2.
Se multiplican ambos miembros de la igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene un periodo.
3.
Se restan las dos últimas igualdades.
4.
Se despeja la variable "x" y el resultado simplificado obtenido es la forma fraccionaria buscada (Comprobar dividiendo con la calculadora)
3, 24
x = 3,2424...
100 x = 324,2424...
99 x = 321
321
321 107
Luego 3, 24 =
=
x=
99
33
99
Ejemplo propuesto:
1.
2.
3.
4.
C)
Caso de expresión decimal periódica mixta. Ejemplo
x = 5, 234
Pasos a seguir:
1.
Se le asigna al número el nombre de una variable, por ejemplo "x"
2.
Se multiplican ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene la parte decimal no periódica (para convertirla en pura
y poder seguir con el mismo proceso anterior del caso b) )
3.
Se multiplican ambos miembros por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene un periodo.
4.
Se restan las dos últimas igualdades.
5.
Se despeja la variable "x" y el resultado simplificado obtenido es la forma fraccionaria buscada (Comprobar dividiendo con la calculadora)
x = 5, 234
x = 5,23434...
10 x = 52,3434...
1000 x = 5234,3434... (observa que he multiplicado la igualdad anterior por 100)
Ejemplo propuesto:
1.
2.
3.
4.
5.
D)
990 x = 5182
5182
5182 2591
x=
luego 5, 234 =
=
990
495
990
Caso de expresión decimal no finita ni periódica. Ejemplo 2,121121112...
No se puede convertir en fracción ya que se trata de un número irracional, ya que todos los racionales (fracciones) tienen una expresión decimal finita
o periódica.
10
EJERCICIOS CON NÚMEROS ENTEROS Y RACIONALES
1.-
¾ a) 3 ⋅ ( 5 − 2 ) − 3 ⋅ ( 3 ⋅ 5 ) − 2 ⋅ 3 =
Sol. 54
¾ b) 11 + (18 + 2 )  ⋅ 3 + (11 + 18 ) + 21 ⋅ 7 =
Sol. 443
¾ c) ( −3) + (10 − 8 )  −  − ( −3) + 5 − 8 − 4  =
Sol. 13
¾ d) 10 ⋅1 ⋅ ( −1) ⋅ ( −2 ) =
Sol. 20
¾ e) 35 ⋅ ( −3) − 3 ⋅ ( 2 − 4 ) =
Sol. -99
¾ f) [ 2 + 5 − 3] − 2 +  −2 − 2 − 5 + ( −4 )  =
Sol. -11
2.- m.c.d. y m.c.m.
¾ 60
¾ 525
¾ 77
y
y
y
42
320
42
mcd= 6
mcd= 5
mcd= 7
mcm=420
mcm=33600
mcm=462
3.- Calcula y simplifica:
1 5 1 1
¾ a)  −  ⋅  −  =
2 8 3 9
Sol. −
 2  6 1    2 6  1 
¾ b)  ⋅  ⋅   ÷  ⋅  ⋅  =
 3  7 4    3 7  4 
Sol. 1
  2   1 1    2
  5 25  
¾ c)  −   ⋅  −   ÷  − 2  ⋅  1 − −   =
  4 12  
  3   5 4    7
Sol.
1
120
191
60
¾ d)
1 3  4 1
1 3

− ⋅ 1 − ⋅ − 2  − 2 ⋅ + =
3 2  3 2
5 4

Sol.
¾ e)
5 3 
7
3
− ⋅8 − + 2⋅  − 7 =
4 2 
3
4
Sol. −
1
36
33
2
11
EJERCICIOS CON FRACCIONES
1.-
2 7 3 5
+ − ⋅
3 4 8 9=
7 2 
−  + 8
6 4 
Sol. −
53
176
Sol. −
203
369
2.-
1 4
3 3
⋅ − 2⋅ − 
2 3
5 4 =
7 3 1
− ⋅
5 2 4
3 4
−
4 3
3.-
1 15 12 15 12
+ −
− +
=
24 40 135 54 375
Sol.
41
500
Sol.
23
10
Sol.
1
2
4.-
2 1 2 2 1
+ ÷ + ÷  =
3 3 5 5 2
5.




 2  6 
1 5 

+
⋅
−
÷
⋅ + 1 =
1
1



  3  5  1 + 1 3 
 3

 2

Este tema ha sido pasado a soporte informático por los alumnos José Miguel Sánchez y Jesús Ramil,
basándose en el libro Matemáticas Especiales, de E. Bujalance y otros, editado por la editorial Sanz y
Torres y en las explicaciones dadas en las tutorías presenciales, por el profesor tutor del Centro de la Uned
Alzira-Valencia “Francisco Tomás y Valiente”, José Luis Lombillo, que los ha corregido, completado y
ampliado.
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