Procedimiento para resolver problemas de aplicación

UNIDAD V
CONTENIDO TEMÁTICO
Álgebra en Modalidad de
Bachillerato Virtual
IGUALDADES
I.S.C. Alejandro de Fuentes Martínez
1
ESQUEMA-RESUMEN DE LA UNIDAD V
Propiedades de las
igualdadades y despeje
de fórmulas.
Solución de ecuaciones
fraccionarias de primer
grado
Solución de ecuaciones
enteras de primer grado
IGUALDADES
Resolución de problemas
sobre ecuaciones de
primer grado (modelo
matemático)
Solución de ecuaciones
simultáneas, por los
métodos de reducción,
sustitución y gráfico.
Solución de ecuaciones
de segundo grado,
completas e incompltas;
por los métodos de
Factorización, Fórmula
general, Completando
un trinomio cuadrado
perfecto y gráfico
Resolución de problemas
2
PRESENTACIÓN
Hemos llegado a la última unidad de nuestro curso de álgebra en modalidad de
bachillerato virtual. Lo más esencial de esta última unidad es la aplicación de los
conocimientos adquiridos para la resolución de problemas en situaciones que bien
pueden ser reales o naturales. Por tal motivo, en esta unidad nos centraremos en
resolver ecuaciones lineales y en utilizarlas junto con algunas fórmulas para
resolver problemas de la vida real a través de un método o modelo matemático de
resolución sistemático. Así pues, al cabo de esta última unidad, daremos
testimonio del poder del álgebra como una herramienta para la resolución de
problemas en una multitud de áreas, que incluyen bienes raíces, química,
negocios, la banca, física, finanzas personales, estadística y cálculo entre muchas
más.
Por lo que la dinámica de esta unidad será enfocarnos en la aplicación de lo que
hemos aprendido hacia la solución de problemas variados con el afán de recalcar
que el álgebra es una herramienta básica, un instrumento fundamental que
requieren múltiples áreas del conocimiento y que se aplica en un sin número de
situaciones de la vida diaria.
¡Enhorabuena por haber llegado hasta aquí y a culminar con éxito nuestro curso
de Álgebra!
¡Mucho ánimo!
3
5.1 PROPIEDADES DE LAS IGUALDADES Y DESPEJE
DE FÓRMULAS
Existen tres útiles propiedades de la igualdad: la propiedad reflexiva, la propiedad
simétrica y la propiedad transitiva.
Propiedades reflexiva, simétrica y transitiva de la igualdad
Para todos los números reales a, b, y c:
1. a = a.
propiedad reflexiva
2. Si a = b, entonces b = a.
propiedad simétrica
3. Si a = b y b = c, entonces a = c.
propiedad transitiva
Ejemplos de la propiedad reflexiva
7=7
x+5=x+5
Ejemplos de la propiedad simétrica
Si x = 3, entonces 3 = x
Si y = x + 9, entonces x + 9 = y
Ejemplos de la propiedad transitiva
Si x = a y a = 4y, entonces x = 4y
Si a + b = c y c = 4d, entonces a + b = 4d.
Sin embargo, existen también las propiedades de suma y multiplicación de la
igualdad que son empleadas básicamente para resolver ecuaciones y que se
exponen a continuación:
Propiedades de la suma para la igualdad
Si a = b, entonces a + c = b + c para cualesquiera a, b y c.
La propiedad de la suma para la igualdad establece que podemos sumar el mismo
número en ambos lados de una ecuación sin cambiar la solución de la ecuación
original. Como la resta está definida en términos de una suma, la propiedad de la
suma para la igualdad también nos permite restar el mismo número en ambos
lados de una ecuación.
4
Propiedades de la multiplicación para la igualdad
Si a = b, entonces a  c = b  c para cualesquiera a, b y c.
La propiedad de la multiplicación para la igualdad establece que podemos
multiplicar ambos lados de una ecuación por el mismo número sin cambiar la
solución. Como la división está definida en términos de la multiplicación, la
propiedad de la multiplicación para la igualdad también nos permite dividir ambos
lados de una ecuación por el mismo número distinto de cero.
En muchas ocasiones podrías tener una ecuación o fórmula que tiene despejada
(aislada) una variable pero que necesites despejar una variable diferente. Cuando
se te da una ecuación (o fórmula) que tiene despejada una variable y quieres
despejar una variable diferente, trata a cada variable en la ecuación, excepto a la
que quieres despejar, como si fuesen constantes. Entonces aísla la variable que
quieres despejar utilizando los procedimientos similares a los que se utilizan para
resolver ecuaciones.
Veamos los siguientes ejemplos:
Ejemplo 1:
Despeja y de la ecuación 5x – 8y = 32
Solución: Despejaremos la variable y aislando el término que contiene a y en el
lado izquierdo de la ecuación:
5𝑥 – 8𝑦 = 32
5𝑥 – 5𝑥 – 8𝑦 = – 5𝑥 + 32
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 5𝑥 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
– 8𝑦 = – 5𝑥 + 32
−8𝑦
−8
=
𝑦=
−5𝑥+32
−8
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 – 8
−5𝑥 + 32
−8
5
𝑦=
−1(−5𝑥 + 32)
−1(−8)
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑟 – 1
Y de esta forma, la variable y despejada queda como se muestra a continuación
𝑦=
5𝑥− 32
8
5
o 𝑦 = 8𝑥 − 4
Ejemplo 2:
Despeja y de la ecuación 2 y  3 
1
( x  3 y)
2
Solución: Como esta ecuación contiene una fracción, empezamos por multiplicar
ambos lados de la ecuación por el mínimo común denominador, 2 (O mínimo
común múltiplo, mcm, como lo estudiamos en la unidad anterior ¿Recuerdas?).
Luego aislamos la variable y agrupando todos los términos que contienen a la
variable en un lado de la ecuación y los demás términos en el otro lado de la
ecuación.
2𝑦 − 3 =
1
(𝑥 + 3𝑦)
2
1
2(2𝑦 − 3) = 2 [ (𝑥 + 3𝑦)] 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑒𝑙 𝑚𝑐𝑑 𝑜 𝑚𝑐𝑚, 2
2
4𝑦 – 6 = 𝑥 + 3𝑦
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎.
4𝑦 – 3𝑦 – 6 = 𝑥 + 3𝑦 – 3𝑦 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 3𝑦 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠.
𝑦– 6 = 𝑥
𝑦– 6 + 6 = 𝑥 + 6
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑦 = 𝑥 + 6
.
Ahora despejaremos una variable en una fórmula. Recuerda: Nuestro objetivo es
aislar la variable que estamos despejando. Usamos el mismo procedimiento
general empleado en los ejemplos 1 y 2.
6
Ejemplo 3:
La fórmula para el perímetro de un rectángulo es 𝑃 = 2𝑙 + 2𝑤, donde 𝑙 es la
longitud y 𝑤 es el ancho del rectángulo, como lo muestra la figura siguiente.
𝑙
𝑤
Despeja n de la fórmula anterior.
Solución: Ya que estamos despejando a 𝑤, debemos aislar la 𝑤 en un lado de la
ecuación.
𝑃 = 2𝑙 + 2𝑤
𝑃 – 2𝑙 = 2𝑙 – 2𝑙 + 2𝑤
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 2𝑛 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑃 – 2𝑙 = 2𝑤
𝑃 − 2𝑙 2𝑤
=
2
2
𝑃 − 2𝑙
=𝑤
2
Así, 𝑤 =
𝑃−2𝑙
2
ó𝑤 =
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2.
𝑃
2
−
2𝑙
2
𝑃
= −𝑙
2
Entonces, despejar una variable significa dejarla sola a un lado del signo igual.
Coloquialmente podríamos expresar que para pasar un número, o una variable, al
otro lado del signo igual tenemos que seguir estas reglas:

Si está sumando pasa restando y si está restando pasa sumando.

Si está multiplicando pasa dividiendo y si está dividiendo pasa
multiplicando.
Lo anterior se ha aceptado como una forma coloquial de aplicar las propiedades
de la suma y de la multiplicación para la igualdad que mencionamos desde el
comienzo de este primer subtema.
7
5.2 SOLUCIÓN DE ECUACIONES ENTERAS DE PRIMER
GRADO
Una ecuación es una proposición matemática de igualdad. Una ecuación debe
contener un signo igual y una expresión matemática de cada lado del signo igual.
Ejemplos de ecuaciones
x+8=–7
2x2 – 4 = – 3x + 13
Los números que hacen de una ecuación una proposición verdadera se llaman
soluciones (o raíces) de la ecuación. El conjunto solución de una ecuación es el
conjunto de números reales que hacen verdadera a la ecuación.
Ecuación
2x + 3 = 9
Solución
3
Conjunto solución
{3}
Dos o más ecuaciones con el mismo conjunto solución son ecuaciones
equivalentes. Por lo general las ecuaciones se resuelven comenzando con la
ecuación dada y produciendo una serie de ecuaciones equivalentes más simples.
Ejemplos de ecuaciones equivalentes
Ecuaciones
Conjunto solución
2x + 3 = 9
{3}
2x = 6
{3}
x=3
{3}
En este tema analizaremos cómo resolver ecuaciones enteras de primer grado
o ecuaciones lineales con una variable, como también se les conoce.
Las ecuaciones son igualdades. Nunca debemos olvidar esto. Antes de que
estudiemos el método para resolver una ecuación lineal (o de primer grado),
debemos distinguir entre identidades y ecuaciones. Cuando dos expresiones son
iguales para cualesquiera valores que se pongan en lugar de las letras que figuran
en la expresión es una identidad. Cuando la igualdad sólo se cumple para
determinados valores de la expresión es una ecuación.
Por ejemplo: 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2 es una identidad y 2x2 + 3x = 5 es una ecuación.
8
Con frecuencia, para resolver una ecuación tendremos que aplicar una
combinación de propiedades a fin de aislar la variable. Nuestra meta es tener la
variable completamente sola en un lado de la ecuación, esto es, aislarla, o
despejarla. A continuación damos un procedimiento general para resolver
ecuaciones lineales.
Para resolver ecuaciones lineales:
1. Quita fracciones. Si la ecuación contiene fracciones, elimínalas
multiplicando ambos lados de la ecuación por el mínimo común
denominador o mínimo común múltiplo.
2. Simplifica cada lado de forma separada. Simplifica cada lado
de la ecuación tanto como sea posible. Utiliza la propiedad
distributiva
para
eliminar
paréntesis
y
reduce
términos
semejantes como sea necesario.
3. Aísla el término variable en un lado. Utiliza la propiedad de la
suma para dejar todos los términos que contienen la variable en
un lado de la ecuación y todos los términos constantes en el otro
lado. Para hacer esto quizá se requiera aplicar varias veces la
propiedad de la suma.
4. Despeja la variable. Aplica la propiedad de la multiplicación para
obtener una ecuación que tenga sola la variable (con un
coeficiente de 1) en un lado.
5. Comprueba. Verifica, mediante sustitución la solución obtenida
en el paso 4 en la ecuación original.
En concreto, resolver una ecuación es hallar su solución o soluciones, o bien
concluir que no tiene solución. Para resolver una ecuación, se pasa a otra
equivalente cuya fisonomía sea más sencilla. Así, mediante una serie de pasos
sucesivos se llega a una última ecuación del tipo x = s en la que la incógnita está
despejada (es decir, aislada en el primer miembro), con lo que la solución es
9
evidente. Por ejemplo, para resolver la ecuación 5x – 6 = 3x + 12 se procede como
se explica a continuación: Para pasar los términos en x al primer miembro y los
números al segundo miembro, se resta en ambos miembros 3x y se suma 6, con
lo que queda: 5x – 3x = 12 + 6.
Y simplificando, 2x = 18. Luego, para despejar la x se divide por 2 en ambos
miembros: x = 18/2 = 9. La solución es evidentemente: x = 9.
Sin embargo, hay tipos de ecuaciones para cuya resolución se requieren técnicas
especiales. Es el caso, por ejemplo, de las ecuaciones cuadráticas y bicuadradas,
de las cuales, estudiaremos las primeras más adelante en esta unidad.
Vamos a resolver otros tres ejemplos más:
Ejemplo 2:
Resuelve la ecuación 2x + 9 = 14
Solución:
2𝑥 + 9 = 14
2𝑥 + 9 – 9 = 14 – 9
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 9 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
2𝑥 = 5
2𝑥 5
=
2
2
𝑥=
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 2
5
2
Y verificamos el resultado:
2𝑥 + 9 = 14
5
2 ( ) + 9 = 14
2
5 + 9 = 14
14  14 𝑽𝒆𝒓𝒅𝒂𝒅𝒆𝒓𝒐
Y como el valor satisface la igualdad, la solución de la ecuación es
5
.
2
10
Cuando una ecuación contenga términos semejantes del mismo lado del signo
igual, reduzca los términos semejantes antes de aplicar las propiedades de suma
o multiplicación.
Ejemplo 3:
Resuelve la ecuación – 2b + 8 = 3b –7
Solución:
– 2𝑏 + 8 = 3𝑏 – 7
– 2𝑏 + 2𝑏 + 8 = 3𝑏 + 2𝑏 – 7
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 2𝑏 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠.
8 = 5𝑏 – 7
8 + 7 = 5𝑏 – 7 + 7
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 7 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠.
15 = 5𝑏
15
5𝑏
=
5
5
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 5.
3 = 𝑏
Por último resolveremos un ejemplo que contiene paréntesis anidados.
Ejemplo 4:
Resuelve la ecuación 7𝑐 – 15 = – 2[6(𝑐 – 3) – 4(2 – 𝑐)]
Solución:
7𝑐 – 15 = – 2[6(𝑐 – 3) – 4(2 – 𝑐)]
7𝑐 – 15 = – 2[6𝑐 – 18 – 8 + 4𝑐] 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎.
7𝑐 – 15 = – 2[10𝑐 – 26]
𝑅𝑒𝑑𝑢𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑠𝑒𝑚𝑒𝑗𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠.
7𝑐 – 15 = – 20𝑐 + 52
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎.
7𝑐 + 20𝑐 – 15 = – 20𝑐 + 20𝑐 + 52
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 20𝑐 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠.
27𝑐 – 15 = 52
27𝑐 – 15 + 15 = 52 + 15
𝑆𝑢𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠 20𝑐 𝑎 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠.
27𝑐 = 67
27𝑐
27
67
= 27
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 27.
67
𝑐 = 27  Observa, por último, que la solución no fue entera.
11
5.3 SOLUCIÓN DE ECUACIONES FRACCIONARIAS DE
PRIMER GRADO
Cuando una ecuación tiene fracciones, empezamos multiplicando ambos lados de
la ecuación por el mínimo común denominador. A manera de recordatorio: el
mínimo común denominador (mcd) de un conjunto de denominadores, (también
llamado mínimo común múltiplo, mcm) es el número más pequeño que cada
uno de los denominadores divide sin residuo. Por ejemplo, si los denominadores
de dos fracciones son 5 y 6, entonces el mínimo común denominador es 30, ya
que 30 es el número más pequeño que dividen 5 y 6.
Al multiplicar ambos lados de la ecuación por el mcd, cada término de la ecuación
se multiplicará por el mínimo común denominador. Después de realizar este paso,
la ecuación no debe tener fracciones.
Veremos a continuación un par de ejemplos:
Ejemplo 1:
Resuelve la ecuación 5 −
2𝑎
3
= −9
Solución:
5−
3 (5 −
2𝑎
3
= −9
2𝑎
) = 3(−9)
3
2𝑎
3(5) − 3 ( 3 ) = −27
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 3
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎
15 − 2𝑎 = −27
15 − 15 − 2𝑎 = −27 − 15
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 15 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
− 2𝑎 = −42
−2𝑎
−42
=
2
−2
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 − 2
𝑎 = 21
12
Ejemplo 1:
1
Resuelve la ecuación: 2 (𝑥 + 4) =
Solución:
1
3
𝑥
Empecemos multiplicando ambos lados de la ecuación por 6, el
mínimo común de denominador o mínimo común múltiplo de 2 y 3.
1
1
6 [ (𝑥 + 4)] = 6 ( 𝑥)
2
3
3(𝑥 + 4) = 2𝑥
3𝑥 + 12 = 2𝑥
𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑝𝑜𝑟 6
𝑆𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎
3𝑥 − 2𝑥 + 12 = 2𝑥 − 2𝑥 𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 2𝑥 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑥 + 12 = 0
𝑥 + 12 − 12 = 0 − 12
𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 12 𝑑𝑒 𝑎𝑚𝑏𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑥 = −12
Por último, en el tema de resolución de problemas, buscaremos resolver
problemas cotidianos que involucran fracciones algebraicas.
13
5.4 RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS SOBRE
ECUACIONES DE PRIMER GRADO
(MODELO MATEMÁTICO)
Una de las razones principales para estudiar álgebra, y matemáticas en general,
es que las podemos utilizar para resolver problemas de la vida diaria. Para
resolver de forma matemática la mayor parte de los problemas de aplicación de la
vida real, necesitamos ser capaces de expresar el problema en símbolos
matemáticos usando expresiones o ecuaciones, y cuando lo hacemos, creamos
un modelo matemático de la situación.
En esta sección presentamos un procedimiento para resolución de problemas y
analizamos fórmulas. Una fórmula es una ecuación que es un modelo matemático
de una situación de la vida real. En el transcurso de esta unidad, y sobre todo, en
tu trabajo final, resolverás problemas; para hacerlo determinarás una ecuación o
fórmula que represente o modelo la situación del mundo real.
Ahora daremos un procedimiento general de cinco pasos para la resolución de
problemas, desarrollado por George Polya y presentado en su libro How to solve
it. Ten por seguro que puedes enfocar cualquier problema siguiendo este
procedimiento general.
George Polya
14
Procedimiento para resolver problemas de aplicación
1. Entiende el problema.

Lee el problema cuidadosamente al menos dos veces. En la primera
lectura, obtén un panorama general del problema. En la segunda lectura,
determina:
a) De forma precisa qué te piden determinar y
b) Qué información proporciona el problema.

Si es posible, haz un bosquejo que ilustre el problema. Etiqueta la
información dada.

Lista la información en una tabla, si eso te ayuda en la resolución del
problema.

2. Traduce el problema a lenguaje matemático.

Por lo general, esto implicará expresar el problema de forma algebraica.

En ocasiones esto incluye seleccionar una fórmula particular por utilizar,
mientras que en otras debes generar tu propia ecuación. Puede ser
necesario verificar otras fuentes para la fórmula apropiada por usar.
3. Realiza los cálculos matemáticos necesarios para resolver el problema.
4. Comprueba la respuesta obtenida en el paso 3.

Pregúntate: “¿La respuesta tiene sentido?” “¿Es razonable la respuesta?”
Si la respuesta no es razonable, vuelve a verificar tu método de resolución
del problema y tus cálculos.

Si es posible, verifica la solución en el problema original.
5. Responde la pregunta. Asegúrate de haber respondido la pregunta que se te
hizo y estableces tus respuestas con claridad.
15
5.5 SOLUCIÓN DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS POR
LOS MÉTODOS DE REDUCCIÓN, SUSTITUCIÓN Y
GRÁFICO
En ocasiones es necesario determinar una solución común a dos o más
ecuaciones lineales. Nos referimos a estas ecuaciones como un sistema de
ecuaciones lineales (también se les denomina ecuaciones lineales simultáneas).
Por ejemplo,
(1)𝑦 = 𝑥 + 5
(2)𝑦 = 2𝑥 + 4
Sistema de ecuaciones
lineales o simultáneas
Una solución de un sistema de ecuaciones es un par ordenado o pares
ordenados que satisfacen todas las ecuaciones del sistema. La única solución del
sistema anterior es (1,6).
Verificación de la ecuación (1)
(1,6)
𝑦=𝑥+5
6= 1+5
6 = 6 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
Verificación de la ecuación (2)
(1,6)
𝑦 = 2𝑥 + 4
6 = 2(1) + 4
6 = 6 𝑉𝑒𝑟𝑑𝑎𝑑𝑒𝑟𝑜
El par ordenado (1,6) satisface ambas ecuaciones y es la solución del sistema de
ecuaciones.
Un sistema de ecuaciones puede tener más de dos ecuaciones, Si un sistema
consta de tres ecuaciones con tres variables, como x, y y z, la solución será una
terna ordenada de la forma (x,y,z). Si la terna ordenada (x,y,z) es una solución
del sistema, debe satisfacer las tres ecuaciones del sistema.
16
Resolver sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de
reducción
El método más sencillo para resolver un sistema de ecuaciones es el método de
reducción, o método de la suma o de eliminación (como también se le conoce).
El objetivo de este proceso es obtener dos ecuaciones cuya suma sea una
ecuación con una sola variable. Ten presente que tu meta inmediata es obtener
una ecuación con una sola incógnita. Veamos un ejemplo.
Ejemplo 1: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con el método de
reducción:
2𝑥 + 5𝑦 = 3
3𝑥 − 5𝑦 = 17
Solución: Observa que una ecuación tiene +5𝑦 y la otra tiene −5𝑦. Sumando las
ecuaciones podemos eliminar la variable 𝑦 y obtener una ecuación con una sola
incógnita, 𝑥.
2𝑥 + 5𝑦 = 3
3𝑥 − 5𝑦 = 17
5𝑥
= 20
Ahora obtenemos el valor para la variable que queda, 𝑥.
5𝑥 20
=
5
5
𝑥=4
Por último, despejamos 𝑦 sustituyendo 4 en vez de 𝑥 en cualquiera de las
ecuaciones originales.
2𝑥 + 5𝑦 = 3
2(4) + 5𝑦 = 3
8 + 5𝑦 = 3
5𝑦 = −5
𝑦 = −1
Una comprobación mostrará que la solución es (4,1)
17
Podemos resumir el procedimiento que aplicamos de la siguiente manera:
Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas por el método de
reducción o de la suma
1. En caso necesario, reescribe cada ecuación en la forma general, es
decir, de modo que los términos con variables queden del lado
izquierdo del signo igual y la constante del lado derecho del signo
igual.
2. Si es necesario, multiplica una o ambas ecuaciones por una
constante (o constantes) para que al sumar las ecuaciones, la suma
contenga sólo una variable.
3. Suma los lados respectivos de las ecuaciones. Con esto se obtiene
una sola ecuación con una variable.
4. Despeja la variable en la ecuación obtenida en el paso 3.
5. Sustituye el valor determinado en el paso 4 en cualquiera de las
ecuaciones originales. Resuelve esa ecuación para determinar el
valor de la variable restante.
6. Comprueba tu solución en todas las ecuaciones en el sistema.
Veamos un par de ejemplos adicionales:
Ejemplo 2: Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones con el método de
reducción o de suma:
2𝑥 + 𝑦 = 11
(𝑒𝑐. 1)
𝑥 + 3𝑦 = 18
(𝑒𝑐. 2)
Solución: El objetivo del proceso de suma es obtener dos ecuaciones cuya suma
sea una ecuación con una sola variable. Para eliminar la variable 𝑥, multiplicamos
la (𝑒𝑐. 2) por – 2 y sumamos las dos ecuaciones.
2𝑥 + 𝑦 = 11
−2𝑥 − 6𝑦 = −36
(𝑒𝑐. 1)
(𝑒𝑐. 2) 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 − 2
Ahora sumamos,
18
2𝑥 + 𝑦 = 11
−2𝑥 − 6𝑦 = −36
−5𝑦 = −25
𝑦=5
Ahora despejamos 𝑥 sustituyendo 5 en lugar de 𝑦 en cualquiera de las ecuaciones
originales.
2𝑥 + 𝑦 = 11
2𝑥 + 5 = 11
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑟 5 𝑒𝑛 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝑦.
2𝑥 = 6
𝑥 = 3
La solución es (3,5). Observa que podríamos haber eliminado la variable y
multiplicado la (𝑒𝑐. 1) por –3 y después haber realizado la suma. ¿Estás de
acuerdo?
A veces ambas ecuaciones deben multiplicarse por números diferentes para
eliminar una de las variables. El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento:
Ejemplo 3:
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de reducción o
de la suma:
4𝑥 + 3𝑦 = 7
(𝑒𝑐. 1)
3𝑥 − 7𝑦 = −3
(𝑒𝑐. 2)
Solución:
Podemos eliminar la variable x multiplicando la (𝑒𝑐. 1) por –3 y la (𝑒𝑐. 2) por 4.
19
−12𝑥 − 9𝑦 = −21
(𝑒𝑐. 1) 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 − 3
12𝑥 − 28𝑦 = −12
(𝑒𝑐. 2) 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 4
−37𝑦 = −33
𝑦=
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
33
37
Ahora podemos determinar 𝑥 sustituyendo
33
37
en lugar de 𝑦 en una de las
ecuaciones originales y resolviendo para 𝑥. Si realizas esto, verás que, aunque
puedes hacerlo, resulta ser un poco más laborioso. Una forma más sencilla para
obtener el valor de 𝑥 es regresar a las ecuaciones originales y aplicando el mismo
principio básico del método de reducción, eliminar en este caso la variable 𝑦.
28𝑥 + 21𝑦 = 49
(𝑒𝑐. 1) 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 7
9𝑥 − 21𝑦 = −9
(𝑒𝑐. 2) 𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 4
37𝑥
= 40
𝑥=
𝑆𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
40
37
40 33
Y por tanto, la solución es (37 , 37)
20
Resolver sistemas de ecuaciones simultáneas por el método de
sustitución.
Con frecuencia es difícil determinar una solución exacta del sistema de
ecuaciones a partir de su gráfica (método que veremos después de este); en este
sentido, una calculadora graficadora podría no dar una respuesta exacta. Cuando
se requiere una respuesta exacta, el sistema debe resolverse de manera
algebraica, ya sea por el método de sustitución (que veremos ahora) o por el de
reducción o suma (que acabamos de estudiar) de ecuaciones.
Comencemos nuestro estudio del método de sustitución.
Para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas por el método de
sustitución
1. Despeja una variable en cualquier ecuación. (Si es posible, despeja
una variable con un coeficiente numérico igual a 1 para no trabajar
con fracciones).
2. Sustituye la expresión hallada para la variable del paso 1 en la otra
ecuación. Con esto obtendrás una ecuación con una sola variable.
3. Resuelve la ecuación obtenida en el paso 2 para determinar el valor
de esta variable.
4. Sustituye el valor encontrado en el paso 3 en la ecuación del paso
1. Resuelve la ecuación para determinar la variable restante.
5. Comprueba tu solución en todas las ecuaciones en el sistema.
Veamos un par de ejemplos:
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Ejemplo 1:
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones mediante sustitución:
𝑦 = 3𝑥 − 5
𝑦 = −4𝑥 + 9
Solución:
Como en ambas ecuaciones ya está despejada 𝑦, podemos sustituir 3𝑥 – 5 por
𝑦 en la segunda ecuación y después despejar la variable restante, 𝑥.
3𝑥 − 5 = −4𝑥 + 9
7𝑥 − 5 = 9
7𝑥 = 14
𝑥=2
Ahora determinamos 𝑦 sustituyendo 𝑥 = 2 en cualquiera de las ecuaciones
originales. Utilizaremos la primera ecuación.
𝑦 = 3𝑥 − 5
𝑦 = 3(2) − 5
𝑦 = 6−5 =1
Una verificación mostrará que la solución del sistema de ecuaciones es (2,1)
Ejemplo 2:
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones por sustitución:
2𝑥 + 𝑦 = 11
𝑥 + 3𝑦 = 18
Solución:
Comienza por despejar una de las variables en cualquiera de las ecuaciones.
Puedes despejar cualquiera de las variables; sin embargo, si despejas una
variable con coeficiente numérico 1, puedes evitar trabajar con fracciones. En este
sistema, el término 𝑦 en2𝑥 + 𝑦 = 11
y el término 𝑥 en 𝑥 + 3𝑦 = 18 tienen
coeficientes numéricos 1.
Despejamos 𝑦 en 2𝑥 + 𝑦 = 11.
22
2𝑥 + 𝑦 = 11
𝑦 = −2𝑥 + 11
Ahora sustituimos −2𝑥 + 11 en vez de 𝑦 en la otra ecuación, 𝑥 + 3𝑦 = 18, y
despejamos la variable restante, 𝑥.
𝑥 + 3𝑦 = 18
𝑥 + 3(−2𝑥 + 11) = 18
𝑆𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑦𝑒 − 2𝑥 + 11 𝑝𝑜𝑟 𝑦
𝑥 − 6𝑥 + 33 = 18
−5𝑥 = −15
𝑥=3
Por último, sustituimos 𝑥 = 3 en la ecuación 𝑦 = −2𝑥 + 11 y despejamos 𝑦.
𝑦 = −2𝑥 + 11
𝑦 = −2(3) + 11 = 5
La solución es el par ordenado (3,5). Comprueba esta solución.
Para terminar con este segundo método, si al resolver un sistema de ecuaciones,
ya sea por sustitución o por el método de reducción o suma, llegas, luego de
realizar tu comprobación, a una igualdad falsa, como 5 = 6 o 0 = 3, el sistema es
inconsistente y no tiene solución. De ahí la importancia de realizar siempre las
comprobaciones.
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Resolver sistemas de ecuaciones simultáneas por el método
gráfico.
Para resolver de manera gráfica un sistema de ecuaciones simultáneas con dos
variables, grafica ambas ecuaciones del sistema en los mismos ejes. La solución
del sistema será el par o pares ordenados comunes a ambas rectas, o el punto de
intersección de las rectas del sistema.
Cuando graficamos dos rectas, hay tres situaciones posibles, como se ilustra en
las figuras siguientes.
Exactamente 1 Solución
(rectas que se intersectan)
No hay Solución
(rectas paralelas)
Número infinito de soluciones
(la misma recta)
Consistente
Inconsistente
Dependiente
(a)
(b)
(c)
En la figura (a), las rectas 1 y 2 se intersecan exactamente en un punto. Este
sistema de ecuaciones tiene exactamente una solución. Éste es un ejemplo de un
sistema de ecuaciones consistente. Un sistema consistente de ecuaciones es
un sistema que tiene una solución.
Las restas 1 y 2 de la figura (b) son diferentes pero paralelas. Las rectas no se
intersecan, y este sistema de ecuaciones no tiene solución. Éste es un ejemplo de
un sistema inconsistente
de ecuaciones. Un sistema inconsistente de
ecuaciones es un sistema de ecuaciones que no tiene solución.
En la figura (c), las rectas 1 y 2 en realidad son la misma. En este caso, todo punto
de la recta satisface ambas ecuaciones y es una solución del sistema de
ecuaciones. Este sistema tiene un número infinito de soluciones. Éste es un
ejemplo de un sistema dependiente de ecuaciones. En un sistema dependiente de
ecuaciones lineales, ambas ecuaciones representan la misma recta. Un sistema
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de dependiente de ecuaciones es un sistema de ecuaciones que tiene un
número infinito de soluciones. Observa que un sistema dependiente también es n
sistema consistente, ya que tiene soluciones.
Ejemplo 1:
Resuelve en forma gráfica el siguiente sistema de ecuaciones:
𝑦=𝑥+2
𝑦 = −𝑥 + 18
Solución:
Grafica ambas ecuaciones en los mismos ejes, como lo muestra la siguiente figura. La
solución es el punto de intersección de las dos rectas (1,3).
y = x +2
(1,3)
y = - x +4
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5.6 SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO,
COMPLETAS E INCOMPLETAS; POR LOS MÉTODOS
DE
FACTORIZACIÓN,
FÓRMULA
GENERAL,
COMPLETANDO
UN
TRINOMIO
CUADRADO
PERFECTO Y GRÁFICO
Por último, y para entrar de lleno en la materia de solución de problemas, vamos a
resumir a continuación los métodos de solución de ecuaciones de segundo grado
o cuadráticas como también se les conoce.
PROCEDIMIENTOS
EJEMPLOS
La forma general de una ecuación
cuadrática es 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎.
𝑥2 − 5𝑥 + 17 = 0
Para resolver una ecuación cuadrática Resuelve 3𝑥 2 + 13𝑥 − 4 = 2𝑥 mediante
mediante factorización
factorización:
1. Utiliza la propiedad de la suma para
quitar todos los términos de un lado
de la ecuación. Esto resultará en un
lado de la ecuación igual a cero.
2. Reduce los términos semejantes de
la ecuación y luego factoriza.
3. Iguala a cero cada factor, que tenga
una
variable,
resuelve
las
ecuaciones
y
determina
las
soluciones.
3𝑥 2 + 11𝑥 − 4 = 0
(3𝑥 − 1)(𝑥 + 4) = 0
3𝑥 − 1 = 0
1
𝑥=3
𝑥+4=0
𝑥 = −4
1
4. Comprueba las soluciones en la Una comprobación muestra que 3 y −4
ecuación original.
son soluciones.
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Para resolver una ecuación mediante la Resuelve 𝑥 2 − 2𝑥 − 15 = 0 mediante la
fórmula cuadrática
fórmula cuadrática:
𝑎 = 1,
𝑏 = −2,
𝑐 = −15
2
−𝑏 ± √𝑏 − 4𝑎𝑐
𝑥=
2𝑎
1. Escriba la ecuación cuadrática en la
forma general, 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎. Y
determina los valores numéricos
para 𝒂, 𝒃 y 𝒄.
2. Sustituye los valores para 𝒂, 𝒃 y 𝒄 en
la fórmula cuadrática y luego evalúa
la fórmula para obtener la solución
𝑥=
−(−2) ± √(−2)2 − 4(1)(−15)
2(1)
𝑥=
Fórmula cuadrática
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝒙=
𝟐𝒂
2 ± √64
2
𝑥=
𝑥=
2+8
2
=
10
2
2±8
2
=5 ó 𝑥=
2−8
2
=
−6
2
= −3
Las soluciones son 5 y – 3
Soluciones de una ecuación cuadrática
Determine el número de soluciones de
3𝑥 2 − 𝑥 + 7 = 0
Para una ecuación cuadrática de la forma
𝑎 = 3,
𝑏 = −1,
𝑐=7
𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎, 𝒂 ≠ 𝟎, el discriminante
𝑏 2 − 4𝑎𝑐 = (−1)2 − 4(3)(7)
es 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄.
= 1 − 84
Si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 > 𝟎, la ecuación cuadrática
= −83
tiene dos soluciones reales distintas.
Como el discriminante es negativo, la
Si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 = 𝟎, la ecuación cuadrática ecuación no tiene soluciones reales.
tiene una sola solución real.
Si 𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄 < 𝟎, la ecuación cuadrática no
tiene soluciones reales.
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Para resolver una ecuación cuadrática Resuelve 𝑥 2 + 4𝑥 − 12 = 0 completando
completando el cuadrado
el cuadrado:
1. Si es necesario, utiliza la propiedad
de la multiplicación (o división) para
una igualdad, a fin de hacer que el
coeficiente principal sea 1.
𝑥 2 + 4𝑥 − 12 = 0
2. Reescribe la ecuación con el
término constante, solo, en el lado
derecho de la ecuación.
𝑥 2 + 4𝑥 = 12
3. Toma un medio del coeficiente
numérico del término de primer
grado, elévalo al cuadrado, y suma
esta cantidad a ambos lados de la
ecuación.
𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 12 + 4
el
(𝑥 + 2)2 = 16
5. Utiliza la propiedad de la raíz
cuadrada en ambos lados de la
ecuación.
𝑥 + 2 = ±√16
4. Reemplaza el trinomio
cuadrado de un binomio.
con
6. Despeja la variable.
7. Comprueba tus soluciones en la
ecuación original.
𝑥 + 2 = ±4
𝑥 = −2 ± 4
𝑥 = −2 − 4 = −6
ó
𝑥 = −2 + 4 = 2
Las soluciones son – 6 y 2.
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Solución de ecuaciones cuadráticas La gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 es una
mediante el método gráfico
parábola.
Las gráficas de ecuaciones de la forma
𝒇(𝒙) = 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 son parábolas.
a) La parábola abre hacia arriba
cuando 𝒂 > 𝟎 y hacia abajo cuando
𝒂 < 𝟎.
b) El eje se simetría es la recta 𝒙 =
𝒃
− .
𝟐𝒂
𝒃
c) El vértice es el punto (− 𝟐𝒂 ,
𝟒𝒂𝒄−𝒃𝟐
𝟒𝒂
)
a) Abre hacia arriba ya que 𝑎 > 0
b) El eje de simetría es
−2
𝑥 = − 2(1) = 1
c) El vértice es (1,4)
d) La intersección con el eje 𝑦 es
(0, − 3)
e)
d) La intersección con el eje 𝒚 es el
punto (𝟎, 𝒄).
e) Para obtener la(s) intersecciones
con el eje 𝒙, hacemos 𝒇(𝒙) = 𝟎 y
resolvemos para x.
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 1) = 0
𝑥−3=0
𝑥=3
𝑥+1=0
𝑥 = −1
ó
Las intersecciones con el eje 𝑥 son:
(3,0) y (−1,0)
La gráfica de 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 es la
siguiente:
x=1
f(x)=x2-2x+3
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REFERENCIAS
Álgebra Intermedia. Allen R. Ángel. PEARSON/Prentice Hall. México, 2008.
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