Repartido 4

Electromagnetismo – Profesorado de Física - Profesor Álvaro Suárez
2013
Repartido N°4 “Corriente eléctrica”
1. Critique la siguiente frase: “La resistencia eléctrica de un conductor cilíndrico homogéneo de resistividad , largo L
y sección transversal A se calcula como R   L / A “
2. Un alambre cilíndrico que consta de dos partes de igual longitud L e
idéntica sección A pero con resistividades diferentes 1 y  2 , se conecta a
una fuente de voltaje. Asuma que la densidad de corriente es uniforme en
todos los puntos del alambre.
a) Explique por qué se acumulan cargas en la interfaz entre las dos partes del
alambre cilíndrico y demuestre que la densidad de carga en dicha interfaz
está dada por:
 V ( 2  1 )
 0
L( 1  2 )
b) ¿Se acumulan cargas en alguna otra parte del circuito?
c) ¿Se puede considerar que el alambre tiene asociada una capacitancia?
3. Una esfera de radio a, hecha con un material óhmico de conductividad g y permitividad , que se encuentra en el
vacío, tiene inicialmente una densidad volumétrica de carga  0 uniforme.
a) Determine la densidad volumétrica de carga y la densidad de corriente en función del tiempo.
b) Determine el campo eléctrico en todo el espacio y la densidad superficial de carga en la superficie de la esfera en
función del tiempo.
4. Dos cilindros conductores concéntricos de radios a y b y largo L, están separados por un material dieléctrico de
permitividad ε y conductividad g. Para t < 0 los conductores están descargados y en t  0 una carga eléctrica Q0 es
depositada sobre la superficie del cilindro interior (distribuida uniformemente).
a) Calcule la densidad de corriente en función del tiempo través del material dieléctrico.
b) Calcule el calor disipado por efecto Joule y demuestre que es igual a la disminución de la energía electrostática
almacenada en el campo eléctrico.
5. Considere dos placas planas paralelas conductoras de área A, separadas una
distancia L. El espacio entre las placas está lleno por dos sustancias cuyas
conductividades y permitividades son (g1,1) y (g2,2), como se muestra en la
figura. Suponga que el sistema está aislado y que inicialmente hay carga libre
+Q0 y –Q0 sobre las placas conductoras izquierda y derecha, respectivamente.
Asuma que el campo eléctrico es siempre ortogonal a las placas y que la
corriente en el sistema es estacionaria.
a) Calcule el calor disipado por efecto Joule y demuestre que es igual a la
disminución de la energía electrostática almacenada en el campo eléctrico.
b) Suponga ahora que la placa conductora izquierda se mantiene a un potencial
V1 y la placa derecha a un potencial V2 (con V1> V2). Determine la densidad de corriente entre las placas y el circuito
RC equivalente.
6. Dos medios dieléctricos homogéneos con constantes dieléctricas
3
k1  2 ,
k2  3 y conductividades
3
g1  15 10 S / m , g1  10 10 S / m están en contacto en el plano z  0 . Por dichos medios circula una corriente
estacionaria. Si en la región z  0 (medio 1) hay un campo eléctrico uniforme E1  20iˆ  50kˆ :
a) Determine el campo eléctrico en el medio 2.
b) Determine las densidades de corrientes en los medios 1 y 2 y los ángulos que forman J1 y J 2 con el plano z  0 .
c) Calcule la densidad de carga superficial en la superficie z  0 .
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2013
7. El espacio entre dos placas conductoras paralelas de área A, está relleno con un medio óhmico homogéneo cuya
conductividad varía linealmente de g1 en una placa ( x  0 ) a g2 en la otra ( x  d ). Se conectan las placas
conductoras a una fuente de voltaje cuya diferencia de potencial es V0 .
a) Determine la resistencia total entre las placas.
b) Si la placa ubicada en x  0 está a mayor potencial que la ubicada en x  d , determine las densidades
superficiales de carga en las placas.
8. Un resistor de conductividad g tiene forma de cono circular recto truncado. Los radios de los
extremos son a y b y la altura es l. Si el ángulo del cono es pequeño, puede suponerse que la
densidad de corriente es constante a través de cualquier sección transversal.
a) Determine la resistencia eléctrica del cono truncado.
b) El resultado obtenido, ¿Se reduce al esperado cuando a  b ?
9. Un material conductor de grosor uniforme h y conductividad g tiene la
forma de un cuarto de arandela circular plana, con radio interior a y radio
exterior b.
a) Determine la resistencia entre las caras de los extremos.
b) Determine la resistencia entre las caras planas superior e inferior.
c) Determine la resistencia entre los lados curvos.
10. Entre dos superficies esféricas conductoras ideales, de radios a y b, hay un material óhmico de conductividad g y
permitividad  . Las superficies esféricas se conectan a una fuente de voltaje V , de modo que V (r  b)  0 y
V (r  a)  V0 .
a) Determine la resistencia del arreglo.
b) Halle la potencia disipada por efecto Joule y verifique que vale V02 / R .
c) Calcule la capacitancia del sistema. Verifique que el resultado coincide con el dado a partir de la relación
RC   / g .
d) En un determinado instante t  0 se desconecta la fuente. Para t > 0: halle la diferencia de potencial V(t) entre
las superficies conductoras ideales y las densidades superficiales de carga en cada superficie.
Algunos resultados:
3. a)   0e gt / , J 
a 3 0
g 0 r  gt / 
a
eˆ ,  (t )  0 (1  e gt /  )
e
eˆr  gEdentro , b) E fuera 
2 r
3 0 r
3
3
Q2  d ( L  d ) 
gQ0  gt / 
(V1  V2 ) g1 g 2 ˆ
Q 2 Ln(b / a)
i
e
eˆr , b) U  0
. 5. a) U  0  
 , b) J 
2 A  1
2 
[ g 2 d  g1 ( L  d )]
2 Lr
4
6. a) E1  20iˆ  75kˆ , b) J1  0,3iˆ  0,75kˆ , J 2  0,2iˆ  0,75kˆ , 1  68,2 ,  2  75,1 , c)   125 0
 V ( g  g1 )
 V ( g  g1 )
d Ln( g 2 / g1 )
7. a) R 
, b)  ( x  0)  0 0 2
,  (x  d )   0 0 2
.
A( g 2  g1 )
g1d Ln( g 2 / g1 )
g 2 d Ln( g 2 / g1 )
l

4h
2 Ln(b / a)
8. a) R 
. 9. a) R 
, b) R 
, c) R 
.
2
2
g ab
2 ghLn(b / a)
g (b  a )
 gh
4. a) J 
10. a) R 
 bV0 e gt / 
 aV0 e gt / 
V 2 4 gab
(b  a)
4 ab
, b) P  0
, c) C 
, d) Va  Vb  V0e gt / ,  a (t ) 
,  b (t ) 
a(b  a)
b(b  a)
4 gab
(b  a)
(b  a)