La topolog´ıa de las hojas de ciertas foliaciones singulares

La topologı́a de las hojas de ciertas foliaciones
singulares
David Marı́n
4 de abril de 2005
1
Una breve introducción histórica
El estudio de la topologı́a de las singularidades de variedades analı́ticas complejas
ha sido ampliamente tratado. Entre muchos autores podemos citar a D. Mumford,
a cuyo trabajo [12] sobre las singularidades de superficies nos referiremos en breve,
y a J. Milnor (cf. [11]) quien introdujo la célebre fibración que lleva su nombre
para estudiar singularidades de hipersuperficies en dimensión cualquiera.
En dimensión dos, un problema más general y difı́cil análisis es el estudio topológico de gérmenes de foliaciones singulares. En este campo, los trabajos de C.
Camacho, A. Lins Neto y P. Sad [1, 2] supusieron un avance considerable en dicha
dirección. En efecto, en el primero de ellos se demuestra la célebre fórmula del
ı́ndice, a partir de la cual se obtiene como corolario la existencia de separatrices.
En el segundo se obtiene la invariancia topológica del número de Milnor y la equidesingularización de curvas generalizadas (singularidades de la foliación en las que
en su reducción no aparecen sillas-nodo).
Un poco más tarde, D. Cerveau y P. Sad en [3] abordaron el problema de la
determinación de los espacios de módulos analı́ticos de una singularidad genérica
dentro de una clase topológica dada. Con ese fin, primero necesitaron considerar
la clasificación topológica de dos de tales singularidades, la cual obtuvieron bajo
la hipótesis de que ambas singularidades estaban sumergidas en una deformación
topológicamente trivial. El resultado clave que les permitió abordar el problema, y
por el cual es preciso introducir esa hipótesis restrictiva, es la invariancia topológica
de la holonomı́a proyectiva. Como extrapolación natural, en ese mismo artı́culo
los autores conjeturaron que dicha propiedad deberı́a seguir siendo cierta sin la
hipótesis de deformación, e incluso sin las restricciones genéricas impuestas a la
singularidad.
Recientemente, en [9] se demostró la conjetura de D. Cerveau y P. Sad en
el caso topológicamente quasi-homogéneo (genérico), el cual recordaremos en la
siguiente sección. Se obtuvo ası́ como consecuencia, la clasificación topológica en
dicho contexto.
Es natural intentar demostrar dicha conjetura con la mayor generalidad posible.
Para ello es necesario comprender bien la topologı́a de las hojas de una foliación
singular, lo cual es precisamente el objetivo del presente trabajo.
1
2
El caso topológicamente quasi-homogéneo
En esta sección exponemos las ideas claves de la prueba de la conjetura de Cerveau
y Sad para foliaciones topológicamente quasi-homogéneas en el caso genérico, ası́
como su clasificación topológica. Para las demostraciones completas referimos al
lector directamente al artı́culo [9].
A partir de ahora U denotará una bola abierta centrada en el origen de C2 y
todos los objetos que consideraremos estarán germificados en 0 ∈ U . En particular,
un germen de curva analı́tica S vendrá determinado por el conjunto de ceros de
una función holomorfa f : U → C.
Definición 1. Decimos que un germen de curva analı́tica S es quasi-homogéneo si
admite una ecuación f que es quasi-homogénea, es decir, si f pertenece a su ideal
∂f
jacobiano J(f ) = ( ∂f
∂x , ∂y ). Decimos que S es topológicamente quasi-homogéneo
(abreviado TQH) si es topológicamente conjugado a un germen quasi-homogéneo.
Finalmente decimos que un germen de foliación curva generalizada es TQH si el
conjunto de sus separatrices aisladas es TQH.
Observemos que si S es quasi-homogéneo entonces sus componentes irreducibles
β
son fibras de la función meromorfa analı́ticamente equivalente a yxα . En efecto, una
caracterización alternativa de la quasi-homogeneidad de una ecuación reducida f de
S es que existan coordenadas (x, y) de manera que f se escriba en esas coordenadas
como un polinomio quasi-homogéneo con ciertos pesos α, β:
X
f (x, y) =
aij xi y j .
αi+βj=d
β
Haciendo la ramificación (x, y) = (xα
1 , y1 ) obtenemos que f (x, y) es un polinomio
homogéneo de grado d en las variables (x1 , y1 ) cuya descomposición en factores
lineales nos proporciona constantes c1 , . . . , cd ∈ C tales que
)
(
µ ¶αβ
d
[
x1
xβ
−1
= ck .
S = f (0) =
(x, y) : α =
y
y1
k=1
e → U de una foliación F
En particular la reducción de singularidades π : U
TQH (de pesos α, β) siempre viene dado por la desingularización de la foliación
β
Rαβ definida por la función meromorfa yxα . Notemos que la restricción de Rαβ a
∂U = S3 es una fibración en cı́rculos que es de Seifert con dos fibras excepcionales,
las intersecciones de {x = 0} y {y = 0} con ∂U . Además, genéricamente las
componentes irreducibles de S (el conjunto de separatrices de F) son cuspidales,
i.e. ck ∈
/ {0, ∞}. El divisor excepcional π −1 (0) contiene una única componente
irreducible D con un número (que llamaremos valencia de D) de singularidades de
Fe = π ∗ F mayor o igual a tres. El transformado estricto de S por π corta a π −1 (0)
únicamente en d puntos de D que son singularidades de Fe y que se identifican con
las constantes ck (ver Figura 1).
Sea p : U \ {0} → D una fibración C ∞ , en discos punteados, que sea topológicamente conjugada a la foliación Rαβ y de manera que S sea una unión
2
Fe
x
...
...
I
...
.
0
y
..
.
.
µ
...
...
∞
D
Figura 1: La reducción de singularidades de una foliación topológicamente quasihomogénea con pesos α = 2, β = 3 y d = 3 separatrices irreductibles.
e y Σ una fibra holomorfa de p sofinita de fibras de p. Sea D ∗ = D \ Sing(F)
bre b ∈ D ∗ . Consideremos la representación de holonomı́a proyectiva asociada al
divisor D,
H : π1 (D∗ , b) → Diff(Σ, b)
Q
y el subgrupo normal N de π1 (D∗ , b) = ha0 , a1 , . . . , ad , a∞ | i ai = 1i generado
β
por aα
0 y a∞ . Es fácil ver que H(a0 ) y H(a∞ ) son periódicas de periodos α y β
respectivamente. Por tanto la representación de holonomı́a H factoriza por medio
de H : π1orb (D∗ ) := π1 (D∗ )/N → Diff(Σ, b). Por otro lado, un cálculo sencillo (cf.
sección 3.3) muestra que el grupo fundamental de U ∗ = U \ S puede presentarse
como
β
= cq∞ , [c, γi ] = 1i,
hγ0 , γ1 , . . . , γd , γ∞ , c | γ0 · γ1 · · · γd · γ∞ = c, γ0α = cq0 , γ∞
para ciertos enteros no nulos q0 , q∞ . En particular, el centro de π1 (U ∗ ) es isomorfo
a Z con generador c, y su cociente π1 (U ∗ )/hci es isomorfo a π1orb (D∗ ).
Consideremos ahora un homeomorfismo Φ : U → U 0 conjugando dos foliaciones
TQH F y F 0 genéricas con separatrices S y S 0 . Como Φ(S) = S 0 , Φ induce un
isomorfismo Φ∗ : π1 (U ∗ ) → π1 (U 0∗ ) que desciende al cociente por hci dado lugar a
un isomorfismo ϕ : π1orb (D∗ ) → π1orb (D0∗ ). Se puede comprobar que ϕ se eleva a su
vez a un isomorfismo geométrico ϕ : π1 (D∗ ) → π1 (D0∗ ), es decir, de manera que
existe un homeomorfismo φ : D ∗ → D0∗ tal que φ∗ = ϕ.
0
Por otro lado, c = [∂Σ] es enviado por Φ∗ sobre c0 = [∂Σ ] donde Σ0 es una
fibra holomorfa de una fibración Seifert p0 : U 0 \ {0} → D 0 asociada a F 0 . Es
posible modificar tangencialmente el homeomorfismo Φ para que envie una corona
compacta C que sea un retracto por deformación de Σ \ {b} sobre una corona
C 0 ⊂ Σ0 \ {b0 } de las mismas caracterı́sticas. Finalmente, usando la genericidad de
3
F y F 0 obtenemos elementos contractantes dentro del grupo de holonomı́a G de F
que permiten extender Φ|C a un homeomorfismo ψ : Σ → Σ0 .
Es bien conocido, ver por ejemplo [3], que si los residuos de las singularidades
de Fe son suficientemente genéricos (generan un subgrupo aditivo denso de C) y G
no es abeliano entonces éste es rı́gido, lo que implica que ψ es conforme.
La naturalidad de la construcción esbozada implica que el diagrama
φ∗
π1 (D∗ , b) −−−−→ π1 (D0∗ , b0 )


 0

Hy
yH
(1)
ψ∗
Diff(Σ, b) −−−−→ Diff(Σ0 , b0 )
es conmutativo, mostrando de esta manera la invariancia topológica de la holonomı́a
proyectiva en el caso TQH genérico.
Concluimos esta sección con la clasificación topológica de los gérmenes de foliaciones TQH genéricos que se obtiene a partir del resultado anterior. Siguiendo la
terminologı́a de [3] introducimos la siguiente definición:
Definición 2. Decimos que un germen de foliacion TQH es N.A.G. si sus separatrices son todas cuspidales, el grupo de holonomı́a proyectiva de D no es abeliano
y los ı́ndices de Camacho-Sad de las singularidades de Fe sobre D \ {0, ∞} están
en C \ R, son diferentes, y generan un subgrupo (aditivo) denso de C.
Teorema 3. Sean F y F 0 dos gérmenes de foliaciones topológicamente quasihomogéneas N.A.G. Entonces F y F 0 son topológicamente conjugadas si y sólo si
sus holonomı́as son topológicamente conjugadas (mediante el diagrama (1)) y los
ı́ndices de Camacho-Sad de Fe y Fe0 en las singularidades correspondientes coinciden.
3
3.1
Útiles puramente topológicos
La descomposición de Jaco-Shalen-Johannson
Comencemos recordando algunas nociones previas sobre variedades de dimensión
tres que necesitaremos a continuación.
La primera idea para estudiar variedades de dimensión tres es esencialmente
copiar la estrategia utilizada en el caso de superficies: la descomposición mediante
suma conexa. Ello nos lleva a la noción de 3-variedad irreducible M como aquella
que no admite una descomposición no trivial. Dicho de otro modo, en la que toda
esfera es el borde de una bola, es decir, π2 (M ) = 0.
Como esta primera descomposición no es completamente satisfactoria (sólo hay
que recordar la conjetura de Poincaré), debemos refinar la estrategia. Para ello
se introduce la noción de superficie incompresible de M como aquella superficie
F ⊂ M que soporta topologı́a de M . Para una definición precisa, ver [16]. Una
caracterización algebraica de la incompresibilidad es que la inclusión de F en M
4
∼ S2 o que la clase de homotopı́a
induzca un monomorfismo π1 (F ) ,→ π1 (M ) si F 6=
2
de F ,→ M en π2 (M ) sea no nula si F ∼
=S .
La existencia de superficies incompresibles es un problema delicado y difı́cil.
Es natural restringir nuestra atención a las llamadas variedades suficientemente
grandes (Haken) que por definición son aquellas que admiten alguna superficie
incompresible. Una vez hecha esta hipótesis de trabajo, la idea es descomponer la
3-variedad en trozos cortando por superficies incompresibles.
La razón para elegir superficies incompresibles es bastante natural. Pensemos
por ejemplo en una bola de dimensión tres dentro de la cual consideramos un toro
sólido. Podemos descomponer la bola en dos pedazos disjuntos separados por el
borde del toro sólido. Sin embargo esta descomposición no nos ayuda a entender
la topologı́a de la variedad inicial (una bola) sino que la complica más. Esto ha
sucedido en este caso porque el borde del toro sólido no es incompresible en el
mismo. De esta manera llegamos a la definición de 3-variedad ∂-irreducible M
como aquella en la que su borde (si no es vacı́o) es incompresible en M .
La descomposición de una 3-variedad demostrada por W. Jaco y P. Shalen [5]
y K. Johannson [6] independientemente, usando toros incompresibles en lugar de
esferas, puede ser enunciada como sigue:
Teorema 4. Sea M una 3-variedad irreducible, ∂-irreducible suficientemente grande. Entonces existe un sistema minimal de toros incompresibles T tal que M \ T es
una unión disjunta de 3-variedades Mj que son fibradas Seifert o bien atoroidales
(i.e. no admiten toros incompresibles no paralelos al borde). Además, T es único
módulo isotopı́a.
Observación 5. Para todo toro T ⊂ T y toda pieza Mj adyacente a T se tiene
que las inclusiones canónicas inducen monomorfismos
π1 (T ) ,→ π1 (Mj ∪ T ) ∼
= π1 (Mj ) ,→ π1 (M ).
Cuando la 3-variedad M tiene una estructura de grafo, esta descomposición
coincide con la que introdujo F. Waldhausen en [15].
3.2
Variedades de grafo
En esta sección vamos a describir de forma intuitiva un tipo de construcción de
ciertas superficies complejas abiertas que ya aparecen en [7]. Para ello comenzamos
considerando un grafo conexo ∆ y el conjunto V de sus vértices dotado de dos
ponderaciones
e : V → Z y g : V → Z+ .
Para cada v ∈ V sea πv : Uv → Dv un fibrado en discos de clase de Chern
ev ∈ Z ∼
= H 2 (Dv , Z) sobre una superficie de Riemann compacta Dv de género
gv ≥ 0. Para cada arista de ∆ uniendo dos vértices v y v 0 consideramos sendas
trivializaciones locales D × D → D ,→ Dw de πw para w ∈ {v, v 0 }. A continuación
pegamos los abiertos Uv y Uv0 utilizando estas trivializaciones mediante la identificación (x, y) 7→ (y, x) (comparar con [8]). El resultado es una superficie compleja
5
W (∆) dotada de un divisor D =
P
Dv . Hay que hacer notar que sólo la clase
v∈V
topológica de la superficie compleja W (∆) está unı́vocamente determinada por la
construcción descrita. En general, la libertad en la elección de las trivializaciones
locales utilizadas en el pegado hace que se puedan construir de esta manera muchas
superficies complejas analı́ticamente diferentes.
Sea A(∆) la matriz de intersección de las componentes del divisor D. Podemos
ver que

 ev si v = v 0
1 si v y v 0 son adyacentes en ∆
A(∆)vv0 =

0 en otro caso.
Observación 6. Un célebre resultado de H. Grauert (cf. [4]) implica que si A(∆)
es definida negativa entonces W (∆) tiene una única estructura compleja. De manera más precisa, existe una variedad analı́tica F de dimensión dos con una singularidad aislada P ∈ F y un morfismo π : (W (∆), D) → (F, P ) tal que su restricción a W (∆) \ D es un biholomorfismo sobre F \ {P }. Además P es una
singularidad normal de F , cf. [12]. Si además se cumple que | det(A(∆))| = 1
entonces F es un entorno abierto U0 del origen en C2 y una composición de
e 2 → (C2 , 0) tal que la superficie (W (∆), D) es biholomorfa a
explosiones π : C
−1
−1
(π (U0 ), π (0)).
Observemos también que W = W (∆) admite una compactificación natural como variedad topológica de dimensión 4 con borde ∂W no vacı́o. Como la inclusión
natural D ,→ W induce un retracto por deformación, es posible definir una aplicación natural de M (∆) := ∂W (∆) en W ∗ (∆) := W (∆) \ D que también es una
equivalencia homotópica. Como M (∆) es una 3-variedad compacta, se tiene que
Z∼
= H0 (W ∗ ) ∼
= H3 (W ∗ ), H1 (W ∗ ) ∼
= H2 (W ∗ ) y el resto de grupos de homologı́a de
∗
W son nulos.
P
p+2
gv
v
,
Por otro lado, como D es un retracto de W se tiene que H1 (W ) ∼
=Z
donde p = dim H 1 (∆). Además, podemos considerar la sucesión exacta larga de
homologı́a del par (W, ∂W ):
· · · → H2 (W ) → H2 (W, ∂W ) → H1 (∂W ) → H1 (W ) → H1 (W, ∂W ) → · · ·
(2)
La dualidad de Poincaré para variedades con borde implica que H1 (W, ∂W ) ∼
=
H 3 (W ) = 0, pues W tiene el tipo de homotopı́a del divisor D que es un CWcomplejo de dimensión dos. Ası́ pues, de (2) deducimos que el morfismo H 1 (∂W ) →
H1 (W ) es exhaustivo. Por otro lado, si el morfismo H2 (W ) → H2 (W, ∂W ) es
exhaustivo entonces H1 (∂W ) → H1 (W ) es un isomorfismo.
A partir de ahora sólo consideraremos grafos ponderados de manera que p = 0
(i.e. ∆ es un árbol) y g ≡ 0 (i.e. Dv ∼
= P1 para todo v ∈ V ). Estas condiciones
son equivalentes al hecho que el divisor D es simplemente conexo, cf. [12]. En particular, H1 (W ) = 0 y H2 (W, ∂W ) ∼
= H 2 (W ) ∼
= H 2 (D) ∼
= H2 (D) ∼
= ZV ∼
= H2 (W ).
Sin embargo, ello no implica que M = ∂W sea una esfera de homologı́a. De
hecho, como se deduce de los resultados de la siguiente sección, se tiene que
H1 (M (∆)) ∼
= coker (A(∆)) interpretando A(∆) como un endomorfismo de ZV .
6
En particular, H1 (M (∆)) = 0 si y sólo si | det(A(∆))| = 1. Ası́ pues, podemos concluir que en general el grupo fundamental de M (∆) no es trivial. Una presentación
de dicho grupo, bajo las hipótesis expuestas, puede encontrarse en [12]. A continuación, procederemos a calcular el grupo fundamental de una cierta subvariedad
abierta W ∗ (∆) de W ∗ (∆).
3.3
La topologı́a de un divisor
Siguiendo con las notaciones anteriores, consideremos un árbol ∆ conteniendo a ∆.
Pedimos que su conjunto de vértices V sea tal que para todo v 0 ∈ V 0 := V \V existe
un único v ∈ V adyacente a v 0 en ∆. A cada v 0 ∈ V 0 le asociamos una fibra distinta
P
Dv0 de la fibración en discos πv : Uv → Dv y consideramos el divisor D =
Dv
v∈V
de W (∆). Sea W ∗ (∆) = W (∆) \ D (notemos que el caso V 0 = ∅ no está excluido).
Para todo par v10 , v20 ∈ V 0 se tiene que la matriz de intersección A(∆) del divisor D
verifica A(∆)v10 v20 = Dv10 · Dv20 = 0.
Nuestro próximo objetivo es dar una presentación explı́cita del grupo fundamental de W ∗ (∆). Para ello comenzaremos definiendo una serie de lazos que constituirán un sistema de generadores de dicho grupo.
Para cada v ∈ V consideremos un lazo δv que sea el borde positivamente orientado de un pequeño disco conforme transverso a Dv centrado en un punto regular
de D. Fijemos un punto p de W ∗ (∆) y caminos βv uniendo p y δv en W ∗ (∆) tales
que βv ∩ βw = {p}. Consideremos el sistema de lazos con punto base p dado por:
G:
γv = βv · δv · βv−1 ,
v ∈V.
(3)
Proposición 7. El grupo fundamental de W ∗ (∆) admite la presentación hG|Ri,
donde G es el sistema de lazos introducidos en (3) y R es el conjunto de relaciones
siguientes:
 Q

γvAvv = 1,
∀v ∈ V,
R:
v∈V
 [γ , γ ]avw = 1, ∀v, w ∈ V .
v w
La prueba de esta propiedad se obtiene inductivamente, aplicando el Teorema
de Seifert-Van Kampen a los abiertos fibrados Uv∗ = Uv \ D de W ∗ (∆) de manera
análoga a como se procede en [12]. El caso ∆ = ∆ = •e que corresponde al inicio
de la inducción no está explı́citamente tratado allı́. Se trata del espacio total de
un fibrado π : U → D en discos sobre D = P1 de clase de Chern e. En particular
M (∆) es un S1 -fibrado sobre S2 y la sucesión exacta larga de homotopı́a contiene
el tramo
π2 (S2 ) → π1 (S1 ) → π1 (M (∆)) → 0.
| {z }
| {z }
Z
Z
Se puede comprobar que el primer morfismo (de conexión) se corresponde con la
multiplicación por e : Z → Z de forma que π1 (M (∆)) ∼
= Z/eZ, tal y como se afirma
en la Proposición 7.
7
Corolario 8. El grupo H1 (W ∗ (∆)) es isomorfo al conúcleo de la aplicación lineal
ZV → ZV obtenida eliminando las filas de la matriz A(∆) correspondientes a los
vértices de V 0 .
En efecto, de la proposición anterior se desprende que H1 (W ∗ (∆)) es el grupo
abeliano generado por 1-cadenas cv correspondientes a los lazos γv , v ∈ V módulo
las relaciones
X
A(∆)vv cv = 0, para todo v ∈ V.
v∈V
En lo que sigue, nos interesará estudiar la 3-variedad con frontera
M (∆) := M (∆) \ V (D 0 )
obtenida a partirP
de M (∆) eliminando un entorno tubular de D 0 ∩ M (∆), donde
0
D es el divisor
Dv0 de W (∆).
v 0 ∈V 0
Ejemplo 9. Consideremos el caso de S = {Y 2 = X 3 }. Es bien conocido que
e 2 → C2 de
π1 (C2 \ S) = hx, y| y 2 = x3 i. El morfismo de desingularización π : C
S tiene como grafo dual ponderado ∆ el descrito en la Figura 2, de manera que
W (∆) se identifica con la preimagen por π de un entorno del origen de C 2 y el
divisor D con el transformado total por π de S. La matriz de intersección de D es


0
0
0
1
 0 −3
0
1 

A(∆) = 
 0
0 −2
1 
1
1
1 −1
de manera que en este caso la presentación de π1 (W ∗ (∆)) dada por la Proposición 7
es la siguiente:
hγ0 , γ1 , γ2 , γ3 | γ1−3 γ3 = γ2−2 γ3 = γ0 γ1 γ2 γ3−1 = [γi , γ3 ] = 1i.
Es inmediato comprobar que x = γ1 , y = γ2 son generadores y que la única relación
no trivial entre ellos es y 2 = x3 . Por otro lado, del Corolario 8 deducimos que
H1 (C2 \ S) = (Zc0 ⊕ Zc1 ⊕ Zc2 ⊕ Zc3 )/h−3c1 + c3 , −2c2 + c3 , c0 + c1 + c2 − c3 i = Zc0 .
3.4
Interpretación cohomológica de foliaciones logarı́tmicas
Del Corolario 8 se deduce que H 1 (W ∗ (∆), C) = Hom(H1 (W ∗ (∆)), C) es isomorfo
a
X
{(µv̄ ) ∈ CV :
A(∆)vv µv̄ = 0, ∀v ∈ V }, mediante µ 7→ (µ(cv̄ ))v̄∈V .
v̄∈V
A partir de ahora supondremos que | det(A(∆))| = 1. Por la Observación 6, existe
e 2 → (C2 , 0) tal que W (∆) es biholomorfo
una composición de explosiones π : C
8
v0 ∈ V 0
v3
v1
e3 = −1
e1 = −3
v2
e2 = −2
Figura 2: El grafo dual ponderado de la reducción de singularidades de la cúspide
ordinaria {Y 2 = X 3 }.
la preimagen de un entorno abierto U del origen de C2 . Para cada componente
irreducible π(Dv0 ), v 0 ∈ V 0 de S = π(D 0 ) ⊂ U consideramos una ecuación reducida
1
fv0 en U . Existe un isomorfismo natural entre H 1 (W ∗ (∆), C) y HDR
(U \ S) dado
explı́citamente por
X
dfv0
µv 0
µ 7→ ωµ =
.
fv 0
0
0
v ∈V
Definición 10. Para cada v 0 ∈ V 0 y v̄ ∈ V consideremos el orden de anulación
mv̄v0 ∈ Z+ de π ∗ fv0 a lo largo de Dv :
Z
1
dfv0
.
mv̄v0 =
2iπ π(cv̄ ) fv0
Lema 11. Para todo v ∈ V se tiene la igualdad cv =
P
mvv0 cv0 en H1 (W ∗ (∆)).
v 0 ∈V 0
Antes de efectuar la demostración de este cálculo podemos ilustrarlo con ayuda
del Ejemplo 9. Con las notaciones introducidas allı́ se tiene que c1 = 2c0 , c2 = 3c0
y c3 = 6c0 .
Demostración. Como
L | det(A(∆))| = 1 resulta que coker (A(∆)) = 0 y por tanto
Zcv0 . Por consiguiente, existen enteros nvv0 de manera que
H1 (W ∗ (∆)) =
v 0 ∈V 0
P
nvv0 cv0 . Sólo hemos de observar que nvv0 = mvv0 . En efecto,
cv =
v 0 ∈V 0
mvv0 =
1
2iπ
Z
π(cv )
Z
X
X
dfv0
dfv0
1
=
=
nvv00
nvv00 δv0 v00 = nvv0 ,
fv 0
2iπ π(cv00 ) fv0
00
0
00
0
v ∈V
v ∈V
donde δv0 v00 es la delta de Kronecker.
9
Observemos que si µ ∈ H 1 (W ∗ (∆), C) no es nulo entonces ωµ define una foliación logarı́tmica Fµ sobre U cuyas separatrices contienen a S. Una propiedad
interesante de esta formulación es que con ella es posible caracterizar las foliaciones
logarı́tmicas dicrı́ticas, es decir, aquellas que admiten una infinidad de separatrices.
Proposición 12. La foliación logarı́tmica Fµ es no dicrı́tica si y solo si para todo
/ Q+ siempre que v, w ∈ V son
v ∈ V se tiene que µv 6= 0 y el cociente Iwv = − µµwv ∈
adyacentes en ∆. En tal caso, el divisor D es invariante por la foliación Feµ = π ∗ Fµ
y sus ı́ndices de Camacho-Sad verifican que CS(Feµ , Dv , Dw ∩ Dv ) = Iwv .
Demostración.
Consideremos la integral primera multiforme de Fµ dada por Fµ =
Q µv 0
fv0 . Si v, w ∈ V son adyacentes en ∆ entonces existen coordenadas locales
v 0 ∈V 0
(x, y) en un entorno Uvw de Dv ∩ Dw en W (∆) de manera que Dv ∩ Uvw = {x = 0}
y Dw ∩ Uvw = {y = 0}. La derivada logarı́tmica de π ∗ Fµ se escribe en estas
coordenadas como
!
Ã
!
Ã
X
X
dx
dy
+
µv0 mwv0
+ d(función holomorfa).
µv0 mvv0
x
y
v 0 ∈V 0
v 0 ∈V 0
|
{z
}
{z
}
|
µv
µw
Si µv , µw 6= 0 entonces Dv y Dw son Feµ -invariantes y obtenemos la fórmula anunciada para los ı́ndices de Camacho-Sad de Feµ . Si µv = 0 y µw 6= 0 entonces Dv es
transverso a Feµ que por tanto es dicrı́tica si w ∈ V . Finalmente, si µv = µw = 0, deben existir (pues µ 6≡ 0) dos nuevos divisores adyacentes Du y Dw0 con u ∈ V tales
que µu = 0 y µw0 6= 0, en cuyo caso también concluimos que Fµ es dicrı́tica.
3.5
La topologı́a de las separatrices
Sea F el germen de una curva generalizada y consideremos el conjunto S de separatrices aisladas de F, que no es vacı́o [1]. Siguiendo a [12], consideremos la variedad
de dimensión tres M (S) = S3² \ V (S) obtenida eliminando de una pequeña esfera
S3² , centrada en el origen, un entorno tubular V (S) de S ∩ S3² . Observemos que con
las notaciones introducidas, M (S) no es más que la 3-variedad con frontera M (∆)
asociada al grafo dual ponderado ∆ de la desingularización de S.
Observación 13. La variedad M = M (S) satisface las hipótesis del Teorema 4.
En efecto:
- Es bien conocido, ver por ejemplo [16], que si ∂M 6= ∅ y M 6∼
= B3 entonces
M es suficientemente grande (Haken).
- La sucesión exacta larga de homotopı́a de la fibración de Milnor f /|f | : M →
S1 (donde F es la fibra de Milnor)
0 → π2 (F ) → π2 (M ) → π2 (S1 ) → π1 (F ) → π1 (M ) → π1 (S1 ) → 0
| {z }
| {z }
0
0
implica que π2 (M ) = 0 por lo cual M es irreducible.
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(4)
- El cálculo de π1 (M ) obtenido en la sección anterior muestra que
π1 (∂M ) ,→ π1 (M ), es decir, que M es ∂-irreducible.
De los trabajos de F. Waldhausen y W. Neumann [16, 13] se desprende la
siguiente propiedad, también expuesta con claridad en el capı́tulo 4 de la tesis
doctoral de P. Popescu-Pampu, cf. [14, Théorème 4.11.2.]
Proposición 14. La descomposición de JSJ de M (S) viene determinada por el
grafo dual ∆(S) de la desingularización de S de la manera siguiente: las piezas de
M (S) \ V (T ) son todas de tipo Seifert y están en correspondencia biyectiva con los
vértices de valencia mayor o igual a tres (llamados vértices de ruptura) de ∆(S).
Observación 15. Las piezas Seifert de la descomposición de JSJ de M corresponden a las piezas topológicamente quasi-homogéneas (TQH) de U ∗ = U \ S, cf.
sección 2.
La unicidad de la descomposición de JSJ de M = M (S) implica que si Φ es
un homeomorfismo conjugando dos foliaciones singulares F y F 0 entonces Φ∗ :
π1 (U ∗ ) → π1 (U 0∗ ) es un isomorfismo que envı́a el grupo fundamental de una pieza
Seifert Mj de M sobre el grupo fundamental de una pieza Seifert Mj0 de M 0 =
M (S 0 ):
π1 (Mj ) ⊂ π1 (M ) ∼
= π1 (U ∗ ),
Φ∗ (π1 (Mj )) = π1 (Mj0 ) ⊂ π1 (U 0∗ ).
¿Qué relación existe entre dicha descomposición topológica de U ∗ en piezas TQH
y la dinámica de la foliación F? A fin de responder a esta pregunta introducimos
a continuación la noción de 1-conexidad foliada.
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La noción de 1-conexidad foliada
Definición 16. Sea F una foliación en U y V ⊂ U . Decimos que V es 1-conexo
en U respecto a la foliación F (y notaremos V #F U ) si para todo camino γ en
una hoja L de F que sea homótopo (a extremidades fijas) a un camino β contenido
en V existe un camino α contenido en L ∩ V homótopo (a extremidades fijas) a β
en V y a γ en L:
α ⊂ L ∩ V −−−−→ V ⊃ β




y
y
γ⊂L
−−−−→ U ⊃ β ∼ γ
Observación 17. Las siguientes propiedades son inmediatas:
• reflexiva: U #F U ;
• transitiva: W #F V , V #F U =⇒ W #F U ;
• caracterización de la incompresibilidad de las hojas:
{p} #F U
⇐⇒
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π1 (Lp ) ,→ π1 (U ).
Sea F una foliación singular definida en un entorno U0 del origen de C2 y sea
S el conjunto de sus separatrices aisladas. Es natural tomar como U0 un abierto
topológicamente equivalente a una bola centrada en el origen. Una pregunta natural
que podemos plantearnos es: ¿bajo qué circunstancias se tiene la incompresibilidad
de las hojas de F restringida a U0∗ = U0 \ S? Esta cuestión claramente depende de
la elección de U0 ya que es fácil construir artificialmente abiertos de manera que
las hojas de F|U0∗ contengan ciclos no triviales pero homótopos a constante en U0∗ ,
cf. Figura 3.
∂U
U
?
γ
L
Figura 3: Ejemplo de un abierto U en el que no se tiene la 1-conexidad foliada de
un punto, pues el lazo γ ⊂ L es homótopo a constante en U pero no en la hoja L.
Para matizar este problema, podemos considerar una situación cuya dinámica
es muy sencilla: el caso hamiltoniano, i.e. una foliación F cuyas hojas vienen dadas
por las curvas de nivel de una función holomorfa f : (C2 , 0) → (C, 0) de manera que
S = f −1 (0). Es la situación que tratada en [11], donde se muestra que si ε, η > 0
son suficientemente pequeños entonces el tubo de Milnor U = Uε,η = f −1 (Dη ) ∩ Bε
verifica que f restringida a U ∗ = U \ S define una fibración localmente trivial sobre
D∗η . La sucesión exacta larga de homotopı́a correspondiente acaba en
1 = π2 (D∗η ) → π1 (F ) → π1 (U ∗ ) → π1 (D∗η ) → 1,
donde F es la fibra de Milnor, i.e. una hoja cualquiera de F restringida a U ∗ .
Ası́ pues, podemos concretar la cuestión anterior preguntándonos sobre la existencia de un sistema fundamental de entornos en los que sea válida la incompresibilidad de las hojas (en el complementario de S). Observemos que, en la construcción
de Milnor, los abiertos Uε,η son saturados por F. En general, no es posible encontrar abiertos saturados por una foliación singular. A fin de superar esta dificultad
e0 → U0 de reducción de singularidades de F y sean
consideremos el morfismo π : U
∗
e
e
F = π F y S el transformado estricto de S. Diremos que una singularidad de Fe es
interior si no está sobre Se ni sobre ninguna rama muerta del divisor excepcional
e0 , es decir, sobre una unión maximal de divisores de valencia menor o
π −1 (0) de U
igual a dos conteniendo un único divisor de valencia uno.
El siguiente resultado proviene de un trabajo conjunto con J.-F. Mattei, cf. [10]:
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Teorema 18. Con las notaciones anteriores, supongamos que todas las singularidades interiores de Fe son linealizables. Entonces existe un sistema de entornos U
del origen tal que para todo U de U las hojas de F restringida a U ∗ = U \ S son
incompresibles en U ∗ . Además, para todo par U, U 0 ∈ U tal que U ⊂ U 0 se tiene
que la inclusión natural induce un isomorfismo entre π1 (U ∗ ) y π1 (U 0∗ ).
De hecho, el resultado obtenido en [10] es más preciso: allı́ demostramos la
1-conexidad foliada de uniones arbitrarias de bloques topológicamente quasi-homogéneos de U ∗ .
Referencias
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[2] César Camacho, Alcides Lins Neto, and Paulo Sad. Topological invariants
and equidesingularization for holomorphic vector fields. J. Differential Geom.,
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[3] Dominique Cerveau and Paulo Sad. Problèmes de modules pour les formes différentielles singulières dans le plan complexe. Comment. Math. Helv.,
61(2):222–253, 1986.
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[5] William H. Jaco and Peter B. Shalen. Seifert fibered spaces in 3-manifolds.
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[10] David Marı́n and Jean-François Mattei. The topology of the leaves of some
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[11] John Milnor. Singular points of complex hypersurfaces. Annals of Mathematics
Studies, No. 61. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1968.
[12] David Mumford. The topology of normal singularities of an algebraic surface
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1961.
13
[13] Walter D. Neumann. A calculus for plumbing applied to the topology of
complex surface singularities and degenerating complex curves. Trans. Amer.
Math. Soc., 268(2):299–344, 1981.
[14] Patrick Popescu-Pampu. Arbres de contact des singularités quasi-ordinaires
et graphes d’adjacence pour les 3-variétés réelles. PhD thesis, Université Paris
7, 2001.
[15] Friedhelm Waldhausen. Eine Klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten.
I, II. Invent. Math. 3 (1967), 308–333; ibid., 4:87–117, 1967.
[16] Friedhelm Waldhausen. On irreducible 3-manifolds which are sufficiently large.
Ann. of Math. (2), 87:56–88, 1968.
David Marı́n
Departament de Matemàtiques
Universitat Autònoma de Barcelona. Edifici C.
08193 Bellaterra (Barcelona)
[email protected]
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