PDF (Sección 5. Intersección de dos conjuntos)

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SECCIÓN
5
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INTERSECCIÓN DE DOS CONJUNTOS,
5,1"
Definición,
Sean A, B conjuntos. La
por A O B) es el conjunto
A y que también pertenecen
sección B". Gráficamente
intersección de los conjuntos A y B (denotada
formado por los elementos que pertenecen a
a B. Al conjunto A O B se le lee: "A interla intersección puede ilustrarse asf:
El conjunto A O B tiene la siguiente
propiedad; Decir que x 6 A O B es
lo m i s m o que decir que:
x €. A A X e B.
.
Nota; La existencia del conjunto
A n B está garantizada por el axioA,n O
ma de especificación. En efecto:
Sea A un conjunto y sea Rfxj' la r e lación X €: B. Con esto: A O B = •} x e A / x £ B j o sea que
A n B =íx/x e A A X e B J .
Nota;
Obsérvese que A H B = í x £ B / X 6 A V
Definición.
a)
b)
'
Sean A, B conjuntos. Si A f) Ü = 0 se dice que ios conjuntos A y B
son disjuntos.
,
Si A O B y^ íí se dice que A y B se encuentran.
Ejemplo:
•
Demostrar que;
i) A H B C A
ii) A O B C B
"
i)
ii)
Ejemplo:
i)
ii)
-
' £ '
.'
Veamos que A O B C A.
Sea X un elemento arbitrario de A O B, si x £ A O B. Entonces
X C A A X £ B .
S i x G A A x g B e s cierto entonces x G A es
cierto. Por lo tanto A O B C A.
En la misma forma se demuestra que A í i B C B.
Demostrar que
A C\ 0 = 0
Sabemos que ^ O A O 0
Demostremos que A Uí 0 ^
0
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En efecto: por el ejemplo a n t e r i o r
Luego
A O ^ Cl ^ .
A Cí 0 = 0.
Sean A, B, C conjuntos. El conjunto (A O B) H C e s igual al conjunto
A n (B O C) puesto que (A O B) O C = { x / í x <S-A A x £ IB) A X e C }
P o r lo tanto e s t o s conjuntos se pueden d e n o t a r asf: A D B (^ C con lo cual
A O B n C = A O (B O C) = (A O B) O C .
Dados los conjuntos A, B , C, D, el conjunto (A O B) O (C O D) t a m b i é n
existe y se e s c r i b e A fl B O C O D.
EJERCICIOS.
i ) A n B = B O A
ii) Si A C B entonces A O B = A .
iii) A O A = A.
Dados l o s conjuntos A , B , C, c o n s t r u y a m o s un conjunto que s e a la unión
de A y B O C o sea A U (B (1 C),
D e m o s t r e m o s ahora que A U (B O C) = (A U B) O (A U C).
a)
D e m o s t r e m o s que A (J (B fl C) O (A U B) O (A ü C)
Sea X un e l e m e n t o c u a l q u i e r a del conjunto A U (B O C) o s e a que
x £ A U (B O C). E n t o n c e s : i) x £ A ó ii) x & (B O C)
i)
Veamos qué p a s a si x ^ A
Si X S A entonces x g A U B
Si X £ A entonces x ^ A U C
Luego, X £ A U B y a d e m á s x <S A U C p o r lo t a n t o
X e (A U B) n (A U C).
ii) V e a m o s qué p a s a si x ^ (B O C).
• Si X £ B O C e n t o n c e s x £, B A x £ C.
Por estar x £ B, x £ A O B
Por estar x e C , J x e A U C
E n t o n c e s x G A U B - ' ^ x £ A Ü C y p o r lo tanto
X € (A U B) O (A U C)
En c u a l q u i e r a de los dos c a s o s x € (A (J B) (^ (A U C).
Hemos d e m o s t r a d o a s f que s i x e A CJ (B H C) e n t o n c e s
X G (A U B) O (A U C) ó lo que e s lo m i s m o que A O (B U C) e s
subconjunto de (A U B) O (A U C) o s e a A U (B D C) C (A U B) fl
(A U C)
b)
D e m o s t r e m o s que (A U B) O (A U C) C A U (B H C)
Sea X G (A U B) O (A U C). E n t o n c e s x G. A U B A x 6
AU
C.
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O, lo que es equivalente, ( X £ A Ó X £ . B ) A ( x £ A ó x e
Esta relación es cierta en los siguientes casos:
C).
i)
Si X € A es cierta. En este caso x £ A ó x e B f l C e s cierta.
ii) Si X € B A X £ C es cierta. Entonces es también cierta
X i E A ó x e B O c
En cualquier caso x £ A ó X G B O C .
Luego si
; ( x 6 A ó x € B ) A ( x e ; A ó x £ C ) « s c i e r t o entonces
x e A ó x e B O C .
Por lo tanto (A U B) O (A U C) C A U (B O C)
En fin, por a) y b) se concluye ( A U B ) fl (A U C) = A U (B fl. C).
Nota;
De una manera parecida puede d e m o s t r a r s e que:
A O (B U C) =. (A ri B) U (A fl C)
Demostración que dejamos como ejercicio al lector.
Estas dos últimas propiedades observadas son llamadas leyes distributivas. La primera de ellas es la ley distributiva de la unión con respecto a
la intersección y la segunda es la ley distributiva de la^intersección con
respecto a la unión.
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