1. Números enteros

1.
Números enteros
Taller de matemáticas 2º ESO
2
1.
Operaciones combinadas:
jerarquía y paréntesis
2.
Lectura, escritura,
representación y usos de los
números enteros
3.
Suma y resta de números
enteros
4.
Multiplicación y división de
números enteros. Regla de
los signos
5.
Potencias de números
enteros
6.
Resolución de problemas
cotidianos mediante máximo
común divisor y mínimo
común múltiplo
Números enteros
1. Operaciones combinadas: jerarquía y paréntesis
•
PRACTICA
Completa las casillas en blanco:
a) 7 x ( 6 + 5 ) = (
c) 2 x 7 + 2 x
)+(
x
b) 7 x ( 6 − 5 ) = (
)
d) 4 x 3 −
+ 2 x 3 = 2 x 13
x
x2+4x
)+(
=
x
)
x8
−2)=5x4
e) 5 x (
•
x
CALCULADORA Y CALCULO MENTAL
1) Calcula mentalmente y, después, comprueba el resultado con la calculadora:
a) 35 x 20
b) 360 : 20
e) 1800 + 200 + 35
c) 400 x 5
d) 540 : 90
f) (4500 + 450 + 50 ) x 2
g) 700 : ( 14 x 5 )
2) Fijándote cada vez en la operación que aparece resuelta, di la solución de las que se te proponen.
Después, comprueba con la calculadora.
⎧ a) 5357 + 3692
⎪ b) 4347 + 3693
⎪
5347 + 3693 = 9040 → ⎨
⎪ c) 6347 + 3693
⎪⎩ d) 6458 + 2582
⎧ e) 380 x 150
⎪
38 x 15 = 570 → ⎨ f) 38000 x 15
⎪ g) 3800 x 1500
⎩
⎧ h) 91000 / 130
⎪ i) 910000 / 13
⎪
910000 / 130 = 7000 → ⎨
⎪ j) 91 / 13
⎪⎩ k) 91000000 / 13
⎧ l) 625 − 32
⎪
624 − 32 = 592 → ⎨ m) 625 − 33
⎪ n) 6240 − 320
⎩
⎧ ñ) 282 / 47
⎪
2 x 3 x 47 = 282 → ⎨ o) 282 / 6
⎪ p) 2820 / 60
⎩
•
OPERACIONES
Sitúa en los cuadros en blanco las operaciones que debes hacer para que el resultado sea el
deseado. Intenta hacerlo mentalmente y, después, comprueba con la calculadora. Incluye paréntesis
cuando sea necesario:
•
a) 10
2
2=7
b) 5
7
4 = 16
c) 5
2
7 = 49
d) 20
12
10 = 40
e) 51
30
15 = 49
f) 6
2
3=1
CIFRAS
Pon en cada cuadro la cifra que convenga para que el resultado sea el que se indica. Intenta hacerlo
mentalmente y comprueba con la calculadora:
a) 4
x
0 = 800
b)
x
d) 4
−
9=8
e)
8:
= 11
h)
g)
2 = 64
c)
1x
0 = 550
2:
=9
f)
7:
=9
1:
= 11
i)
5:
=7
3
Taller de matemáticas 2º ESO
•
TECLAS ESTROPEADAS
a) Imagina que está estropeada la tecla 0 . Para poner en la pantalla el número 10 puedes hacer: 2
x 5 = , 11 - 1 = , 9 + 1 =
u otras muchas cosas. Escribe en la pantalla los siguientes
números, sin usar la tecla 0 :
a) 30
b) 80
c) 100
d) 504
e) 509
f) 30004
b) ¿Cómo podrías multiplicar dos números, por ejemplo, 82 x 15 con una calculadora que tiene
estropeada la tecla de multiplicar?.
c) ¿Cómo harías una división, por ejemplo, 825 : 34, con una calculadora , sin utilizar la tecla de
dividir?.
•
LA OPERACIÓN SECRETA
Sólo el profesor va a utilizar la calculadora. Si tú le dices cualquier número, él te dirá el resultado que
aparece en su calculadora, al aplicarle la “operación secreta”. Se trata de que adivines qué hace tu
profesor con la calculadora.
•
ORDEN Y JERARQUÍA
Realiza mentalmente y después con tu calculadora, cada uno de los cálculos que siguen:
12
2 x3
1) 2 x 4 x 3
2) 2 x 4 + 3
3) 2 x (4 + 3)
4)
5) 12 − (3 − 2)
6) (3 x 6) + (2 x 5)
7) 3 + 42
8) (3 + 4)2
Fíjate bien en el orden en que tecleas los números y los símbolos de las operaciones en la
calculadora y compara los resultados con los obtenidos mentalmente.
•
CALCULADORA Y PARÉNTESIS
Algunas calculadoras tienen teclas de paréntesis, pero otras no. Fíjate bien en cómo opera tu
calculadora. Efectúa, usando cuando sea necesario, las teclas de paréntesis de tu calculadora:
2x3+7
•
2x(3+7)
(3+8)x2
REGULARIDADES
Completa:
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = .....
1x8+1=9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = .....
Continúa con las mismas reglas. Comprueba los resultados con la calculadora.
4
3+8x2
Números enteros
•
LOS SIGNOS FUGADOS
Escribe los signos de las operaciones y los paréntesis necesarios para que se verifiquen las
siguientes igualdades:
3
3
3
3 = 3;
4
4
4
4 = 3;
5
5
5
5 = 3;
1
2
3 = 1;
2
3
4 = 1;
1
1
2
3
4
5 = 1;
...................................................................
•
RESULTADO 100
Entre cada una de las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9 coloca uno de los signos de las cuatro
operaciones aritméticas en los lugares convenientes para que la siguiente expresión sea una
igualdad:
1
•
2
3
4
5
6
7
8
9 = 100
DE COMPRAS
a) El otro día en el mercado compré carne y pescado gastándome 18 euros. Sabiendo que el precio
de la carne fue el doble que el del pescado, ¿cuánto me costó la carne?.
b) La compra de un dia fue:
Artículo Cantidad
Precio
Manzanas 1’5 Kg
90 cents / kilo
Jamón
300 gr. 130 cents / 100 gr.
Queso
400 gr.
1090 cents / kilo
Yogur
5
32 cents / unidad
Calcula lo que hemos gastado.
2. Lectura, escritura, representación y usos de números enteros
•
CUENTA CORRIENTE
El movimiento de una cuenta corriente durante un mes viene reflejado en la tabla:
FECHA CONCEPTO HABER DEBE SALDO
5430
29 nov. Recibo gas
2428
1 dic.
Recibo luz
8532
2 dic.
Nómina
86430
10 dic.
Alquiler
12000
12 dic. Op. bancaria 10000
20 dic. Op. bancaria
50000
28900
Los ingresos efectuados se escriben en la columna Haber y los pagos realizados en la Debe.
Completa tú la columna Saldo detrás de cada operación.
5
Taller de matemáticas 2º ESO
•
RECTA NUMÉRICA
Para sumar dos números enteros, por ejemplo 4+3,
procedimientos:
en la recta numérica podemos seguir dos
1) Estando en la posición 0, aplicamos dos cambios consecutivos de amplitud 4 y 3, siendo el
resultado el número de la recta que se obtiene tras los cambios, osea 7:
2) Estando en la posición +4, aplicamos un cambio de amplitud +3:
a) Realiza las siguientes operaciones utilizando los dos procedimientos anteriores:
2+5
1+3+4
(−6)+9+(−5)+(−1)
b) Sin efectuar las sumas, predice el signo del resultado: 7+ (−12)
(−15)+(−3)
7+(−3)
c) Escribe la operación indicada mediante los desplazamientos:
•
CARTILLA DE AHORRO
En las cartillas de ahorro se reflejan una serie de datos que informan del estado de la cuenta del
cliente. Este es un estracto (incompleto) de una cartilla:
FECHA CONCEPTO CARGO ABONO SALDO
3/5/93
?
4/5/93
Recibo
3600
147351
8/5/93
Traspaso
95000
?
13/5/93
Alquiler
?
−15649
18/5/93
Recibo
21500
?
21/5/93
Efectivo
45000
?
28/5/93
Haberes
?
?
30/5/93
Intereses
20246 264597
a) Completa las anotaciones de la cartilla.
b) Anota los datos anteriores en este otro modelo de cartilla:
6
Números enteros
FECHA CONCEPTO
MOVIMIENTO
SALDO
3/5/93
4/5/93
•
−3600
Recibo
AVE
El tren de Alta Velocidad Español puede transportar a 329 pasajeros de Madrid a Sevilla realizando
cinco paradas: Madrid, Ciudad Real, Puertollano, Córdoba y Sevilla. El equema informa de las
variaciones del número de pasajeros en las cinco estaciones en que tiene parada.
MADRID
C. REAL PUERTOLLANO CORDOBA
SEVILLA
Suben
240
45
−
52
−
Bajan
−
28
37
115
157
Con estos datos completa la siguiente tabla:
BAJAN
SUBEN
TOTAL
Madrid
−
240
+240
C. Real
−28
Puertollano
Córdoba
Sevilla
Total
3. Sumas y restas de enteros
•
TABLA DE SUMAS
Completa la siguiente tabla:
3+(−2)=1
2+(−2)=0
1+(−2)=
0+(−2)=
(−1)+(−2)=
(−2)+(−2)=
(−3)+(−2)=
3+(−1)=2
2+(−1)=
1+(−1)=
0+(−1)=
(−1)+(−1)=
(−2)+(−1)=
(−3)+(−1)=
3+0=
2+0=
1+0=
0+0=
3+1=
2+1=
1+1=
0+1=
3+2=
2+2=
1+2=
0+2=
(−1)+0=
(−2)+0=
(−3)+0=
(−1)+1=
(−2)+1=
(−3)+1=
(−1)+2=
(−2)+2=
(−3)+2=
¿Qué condiciones deben cumplir dos números enteros para que su suma sea positiva? ¿Y negativa?
¿Y cero?.
•
COMPLETA
Completa las siguientes igualdades:
173 = 100 +
•
(−51) = (−30) +
(−51) = 30 +
83 =
+ (−50)
INVENTA
Inventa un problema que pueda resolverse mediante esta operación:
(−3500) + (+5000)
7
Taller de matemáticas 2º ESO
•
ALTURA Y PROFUNDIDAD
Para medir la altura a que se encuentra una zona de La Tierra se toma como referencia el “nivel del
mar”. Es decir, que una zona que se encuentre al mismo nivel que el mar se considera que tiene
altitud cero. También la profundidad de las zonas marinas se mide tomando como referencia el nivel
del mar.
En las tablas se indica la altura de algunos montes famosos y de algunas fosas marinas.
PICOS
ALTURA EN METROS
FOSAS
PROFUNDIDAD EN METROS
Mont Blanc (Alpes)
4810
F. de Puerto Rico
9219
Everest (Himalaya)
8848
F. de las Marianas
10863
Aconcagua (Andes)
6959
F. de Filipinas
10540
a) ¿Cuál de estos picos es más alto?. ¿Qué fosa es más profunda?.
b) ¿Qué diferencia de altura hay entre los montes Everest y Mont Blanc?.
c) ¿Qué diferencia de profundidad existe entre la Fosa de las Marianas y la de Filipinas?.
d) ¿Cuál es la diferencia entre el pico más alto y la fosa más profunda?.
Para contestar estas preguntas puede serte útil representar en una misma recta las alturas y las
profundidades.
•
CAMBIO DE ESTADO
Las sustancias pueden presentarse en estado sólido, líquido o gaseoso. El paso de un estado a otro
se produce cuando la sustancia alcanza la temperatura de cambio de estado.
En la siguiente tabla se indica la temperatura que necesitan algunas sustancias para pasar del estado
sólido a líquido (punto de fusión) y para pasar de líquido a gaseoso (punto de ebullición).
8
Números enteros
Eter
Alcohol
Benzol
Agua
Mercurio
Hidrógeno
TEMPERATURA
DE FUSIÓN EN ºC
−117º
−114º
5º
0º
−39º
−259º
TEMPERATURA
DE EBULLICIÓN EN ºC
35º
78º
80º
100º
357º
−252º
a) ¿Cuál es el estado en que se encuentra normalmente en la naturaleza cada una de estas
sustancias?.
b) Ordena de menor a mayor las temperaturas de fusión de las diferentes sustancias. Haz lo mismo
con las temperaturas de ebullición
c) Tenemos hidrógeno líquido a −259ºC. ¿Qué variación de temperatura habrá de producirse para
pasar a gas?
d) En un frasco hay alcohol a 9ºC. ¿Cuánto habrá de variar la temperatura para que pase a estado
sólido?.
e) ¿Qué diferencia de temperatura hay entre los puntos de fusión y de ebullición del benzol.?. ¿Y
entre las del mercurio?.
•
TEMPERATURAS
a)
Un día en Viena la temperatura descendió 5º entre el mediodía y las nueve de la noche. Al
mediodía era de −1º. ¿Qué temperatura tenían a las nueve de la noche?.
b)
El 31 de enero de 1980 se tomaron estas temperaturas: Viena −6º ; Berlín −3º. Alguien que
fuera de Viena a Berlín, ¿qué variación de temperatura percibiría?.
c)
Barcelona 8º ; Copenhague −1º. ¿Cuál es la diferencia de temperatura entre estas dos
ciudades?.
•
INVESTIGA
a) Completa la tabla y redacta con tus palabras lo que observes:
a
4
−7
−6
8
−21
15
−17
b
5
−2
1
−12
21
9
−36
a−b
−1
−5
opuesto de b a + opuesto de b
−5
−1
2
b) Completa la siguiente tabla. ¿Qué significa
¿Cuando será positivo? ¿Y cero?
−(−a)? ¿Cuándo -a será un número negativo?
a opuesto de a = -a −(−a)
−17
−(−17)=17
−17
43
−43
−15
0
c) Escribe el opuesto de cada uno de los siguientes números:
1) +13
2) −21
3) +1
4) 0
5) −8
9
Taller de matemáticas 2º ESO
d) Suma a cada uno de los siguientes números su opuesto:
1) (−1)
•
2) (+35)
3) (−1500)
4) (+7)
TABLA DE RESTAS
Completa la siguiente tabla:
3−(−2)=5
2−(−2)=4
1−(−2)=
0−(−2)=
(−1)−(−2)=
(−2)−(−2)=
(−3)−(−2)=
3−(−1)=4
2−(−1)=
1−(−1)=
0−(−1)=
(−1)−(−1)=
(−2)−(−1)=
(−3)−(−1)=
3−0=
2−0=
1−0=
0−0=
(−1)−0=
(−2)−0=
(−3)−0=
3−1=
2−1=
1−1=
0−1=
(−1)−1=
(−2)−1=
(−3)−1=
3−2=
2−2=
1−2=
0−2=
(−1)−2=
(−2)−2=
(−3)−2=
¿Qué condiciones deben cumplir dos números enteros para que su resta sea positiva? ¿Y negativa?
¿Y cero?.
•
CASILLEROS
Completa los siguientes casilleros, de forma que para pasar de una casilla a la siguiente, tengamos
que sumar o restar siempre la misma cantidad:
4
-2
-2
-11
-6
-11
+9
-3
+3
+1
-25
-3
-2
-5
¿Te animas con lo que siguen?
-2
•
-8
TIRAS
Completa las siguientes tiras, sabiendo que de un cuadrado al siguiente hay que sumar o restar
siempre el mismo número:
a)
-6
b)
c)
•
2
-21
-25
0
5
OPERACIONES COMBINADAS
a) Efectúa las siguientes operaciones:
1) 573 + (−385) − (−193) =
2) (−3750) − (-4865) + (-58) + 2845=
3) 9576 − (−374)− (−6321)− (−5280) =
4) 170 + (−1510) + (−3520) + 3958 =
5) (−3)+(−5)+(−8)=
6) 36 + (−15)+(−7)=
10
Números enteros
b) Si a = 302 y b = −521, calcula las siguientes operaciones:
a+b
a−b
−a + b
−a + (−b)
−(a + b)
−a + a
−a + (−a)
−a − b
(−a) − b
a − (−b)
a − (−a)
− (−b −a)
c) Efectúa las siguientes operaciones:
•
a) −[ 11+ (−8) ]
b) −[ (−5)−9 ]
c) − (7 − 2)
d) −[ (−23)−(−40) ]
e) −(13+5)
f) −[ (−6)+2 ]
g) 5−[ 3−(−1) ]
h) (7 + 9)−[ 1−(−6) ]−(−9)
PARÉNTESIS
Quita paréntesis en cada una de las siguientes expresiones y calcula su resultado:
•
a) −7 − (−10) − (−3) = −7+10+3 = 6
b) 8− (−10) − (−6) =
c) 2 − (−4) − (−11+5) =
d) 2 − (5 −9 +6) − (−3) =
e) 3 − [ −(7−2)+1] − 4 =
f) 2 − [ −4 − (9+5−3)+12] =
QUITA PARÉNTESIS
Quita paréntesis, como se ha hecho en la primera expresión:
•
1) (+a)+(+b)=a+b
2) (+a)+(−b)
3) (+a)−(+b)
4) (+a)−(−b)
5) (−a)+(+b)
6) (−a)+(−b)
7) (−a)−(+b)
8) (−a)−(−b)
CALCULA M
Calcula el valor de m en cada caso:
a) 7 − (−m) = 11
•
b) (+5) − (+m) = −1
c) (−m) − (−2) = −9
CARRERA CON SORPRESAS
Grupos de cuatro alumnos. Una sesión de clase. Puede usarse en varias ocasiones.
Un tablero, una baraja, cuatro fichas de distintos colores y dos dados, para cada equipo, numerados
0, 1, 2, 3, −1 y −2 en sus caras.
Los alumnos colocan la baraja tapada y sus fichas sobre el cero. Por turno lanzan los dos dados,
calculan la suma y se desplazan según el resultado que obtengan. Cuando caen en una casilla
marcada, destapan la carta superior de la baraja y ejecutan la orden que contiene.
Gana el jugador que consigue salir primero por cualquiera de los extremos del tablero.
11
Taller de matemáticas 2º ESO
12
Números enteros
•
CUADRADOS MÁGICOS I
En un cuadrado mágico las sumas en horizontal, vertical y diagonal dan el mismo resultado.
Completa los siguientes cuadrados mágicos:
a)
−3
b)
−9
4
0
−4
c)
−2
−6
−7
−15
= −30
−11
4
−12
2
−3
−8
5
= −2
−5
13
Taller de matemáticas 2º ESO
•
CUADRADOS MÁGICOS II
Completa los siguientes cuadrados mágicos de forma que la suma de los números de cada fila sea
igual a la suma de los números de cada columna e igual a la suma de los números de cada diagonal.
9
5
3
1
−6 8 −2
4
−3
0
6
4. Multiplicación y división de enteros
•
TRANSMISIONES I
El dibujo 1 representa dos ruedas de 1 y 2 unidades de radios conectadas mediante una correa.
Cuando la rueda grande dé una vuelta, la rueda pequeña dará 2 vueltas. Entonces diremos que el
factor de transmisión es 2. El dibujo 2 representa una transmisión de factor 5.
En el dibujo 3 se han combinado ambas transmisiones, obteniendo una de factor 10. Podemos
escribirlo de la forma: 2 x 5 = 10.
El funcionamiento puede explicarse como sigue: cuando la rueda A da una vuelta, la B da dos
vueltas, lo que provoca dos vueltas de la rueda C (pues ésta se halla soldada a la B) y esto produce
10 vueltas de la rueda D. Es decir, funciona como una máquina simple de factor 10 (dibujo 4).
14
Números enteros
a) ¿Cuántas vueltas da la rueda D por cada vuelta de la A en cada uno de los siguientes casos?
b) Diseña varias transmisiones para que la rueda D dé 12 vueltas cada vez que dé 1 la A.
c) Diseña varias transmisiones con más de dos factores para que la rueda D dé 48 vueltas cada vez
que dé 1 la rueda A.
•
TRANSMISIONES II
Puede considerarse que una transmisión de factor −2 significa que para cada vuelta de la primera
rueda la segunda da dos vueltas en sentido contrario. Esto se consigue cruzando la correa. Por
ejemplo, el dibujo 5 representa una transmisión de factor −2.
En el dibujo 6 se ha combinado una transmisión de factor −2 con una de factor 3. Por cada vuelta de
la rueda A, da dos vueltas en sentido contrario la rueda B, lo que supone dos vueltas de C en el
mismo sentido que B (ya que están soldadas). Como por cada vuelta de C se producen 3 de D en el
mismo sentido, el resultado final es que D da 6 vueltas en sentido contrario a A por cada vuelta de
ésta, lo que también puede expresarse así:
(−2) x 3 = (−6)
Observa que coincide con el funcionamiento de la máquina simple de factor −6 (dibujo 7).
15
Taller de matemáticas 2º ESO
Dibujo 7
Observa que (−2) x 3 = (−2)+(−2)+(−2) = (−6) = (−3)+(−3)=2 x (−3), luego:
(−2) x 3 = 2 x (−3) = − (2 x 3)
a) Comprueba que 2 x (-5) = (−10)
b) Explica por qué las siguientes máquinas producen el mismo efecto de transmisión:
•
TRANSMISIONES III
El dibujo 8 representa la multiplicación de (−2) x (−3).
Observa que produce el mismo efecto que la máquina simple de factor 6 (dibujo 9).
Podemos afirmar que (−2) x (−3) = 6.
Aplicando este modelo calcula los siguientes productos:
(−3) x (−1) =
16
(−2) x (−2) =
(−4) x (−10) =
(−6)2 =
(−1) x (−5) =
(−1)2 =
Números enteros
• El producto de dos números positivos es siempre positivo
• El producto de un número positivo por otro negativo es negativo.
• El producto de dos números negativos siempre es positivo
•
TABLA DE MULTIPLICACIONES
Completa la siguiente tabla:
3 x (−2) = −6
2 x (−2) = −4
1 x (−2) =
0 x (−2) =
(−1) x (−2) =
(−2) x (−2) =
(−3) x (−2) =
3 x (−1) = −3
2 x (−1) =
1 x (−1) =
0 x (−1) =
(−1) x (−1) =
(−2) x (−1) =
(−3) x (−1) =
3x0=
2x0=
1x0=
0x0=
(−1) x 0 =
(−2) x 0 =
(−3) x 0 =
3x1=
2x1=
1x1=
0x1=
(−1) x 1 =
(−2) x 1 =
(−3) x 1 =
3x2=
2x2=
1x2=
0x2=
(−1) x 2 =
(−2) x 2 =
(−3) x 2 =
a) Observando los resultados explica qué condiciones han de cumplir dos números enteros para que
su producto sea positivo, negativo o cero.
b) Completa la tabla que resume la “regla de los signos” en la multiplicación de números enteros:
primer factor
+
segundo
factor
•
+
−
OPERACIONES
Calcula
•
−
3 + (−2) − (−4) =
2 x (−5) + 4 x (−3) =
(−2) x 14 + 14 x 2 =
SUSTITUYE
a) Tienes 5 x a x (−3). Si sustituyes a por (−2), ¿qué se tiene como resultado?.
b) Tienes 7 x a2. Si sustituyes a por (−3), ¿qué se tiene como resultado?.
c) Tienes 5 x (−1) x (−a). Si sustituyes a por (−3), ¿qué se tiene como resultado?.
•
ENUNCIADOS
Redacta enunciados que se ajuste a las siguientes operaciones:
a) 6 x (−3) = −18
•
b) (−4) x 5 = −20
c) (−6) x (−4) = 24
CALCULADORA Y CALCULO MENTAL
Fijándote en cada caso en la operación que se da resuelta, di la solución de las que se te proponen .
Después, comprueba el resultado con la calculadora:
⎧a) 438 − 596
⎪
437 − 595 = −158 → ⎨b) 438 − 605
⎪c) 537 − 695
⎩
⎧d) 95 × ( −32)
⎪
( −95) × 32 = −3040 → ⎨e) 950 × 3200
⎪f) ( −95) × ( −320)
⎩
⎧g) 593 − 818
⎪h) − 818 − ( −593)
⎪
( −593) − (−818) = 225 → ⎨
⎪i) 225 + ( −818)
⎪⎩ j) − 593 + 818
17
Taller de matemáticas 2º ESO
•
MAS CALCULOS
b) 5 × [( −3) + 7]
e) ( −5) × [( −5) + 2 − (4 + 6 − 1)]
f) ( −3) × 2 − [( −5) + ( −7) − ( −1)]× (−3)
d) [( −6) − ( −3)]× [5 − ( −2)]
h) 6 + (3 − 5 + 4) × 2 − 3 × (6 − 9 + 8)
a) 5 × 10 − 4 × ( −20)
c) ( −2) × [8 − 4 − ( −10)]
•
g) 3 × (4 − 6) − ( −2) × (8 − 4)
EL CRECIMIENTO DE JUAN
Relaciona cada pregunta con la respuesta adecuada.
Juan crece 6 cm cada año. ¿Cuánto medía o medirá con respecto a lo que mide actualmente?
a) ¿dentro de un año?
1) 6 x 0 = 0 (lo mismo)
2) (−6) x 1 = −6 (6 cm menos)
b) ¿dentro de 2 años?
3) 6 x (−1) = −6 (6 cm menos)
4) 6 x (−3) = −18 (18 cm menos)
c) ¿hace un año?
5) 6 x (−2) = −12 (12 cm menos)
6) 6 x 2 = 12 (12 cm más)
d) ¿hace 3 años?
7) 6 x 1 = 6 (6 cm más)
e) ¿en este momento?
•
ALPINISMO
Mi amigo Fernando me dijo que la última vez que practicó alpinismo ascendió a un promedio de 60 m
cada hora. Fernando escribió en su diario algunos detalles:
∗ Dos horas antes de acampar el primer día pasaron por el Pico del Vacilón.
∗ Prevé tardar al día siguiente 3 horas y media en alcanzar el Risco Gordo.
∗ Desde donde partieron hasta el lugar de acampada del primer día emplearon 6 horas.
Respecto del lugar de acampada del primer día, ¿a qué altura se encuentra el Pico del Vacilón?. ¿Y
el Risco Gordo?. ¿Y el lugar de partida?.
•
REPOBLACION FORESTAL
Nuestro país viene sufriendo durante los últimos años graves daños medioambientales como
consecuencia de la deforestación provocada por los innumerables incendios producidos en la época
estival. Debido a ello es necesario poner en práctica un plan de reforestación que intente paliar esos
efectos. Si en Andalucía, desde el año 1989, se vienen quemando un promedio de 15000 hectáreas
por año y se repueblan unas 12000:
a) ¿Qué superficie de árboles existía hace 3 años respecto al actual?.
b) ¿Qué superficie de árboles existe actualmente respecto a la que existirá dentro de 4 años?.
c) Si con el esfuerzo de todos se consigue reducir el número de incendios y, por ejemplo, el número
de hectáreas quemadas anualmente se reduce a 7000, ¿en cuántos años se recuperará la
cantidad de hectáreas perdidas desde 1989 si se mantiene el nivel de repoblación?.
18
Números enteros
•
TABLAS
Completa las siguientes tablas de operaciones con números enteros:
+
2
−4
−3
−1
X
2
−5
−7
0
3
5
−2
2
−40
+48
−1
•
−4
+10
+6
−2
7
CUADRADOS MÁGICOS II
Completa los cuadros en blanco de manera que las multiplicaciones por filas y columnas coincidan:
−5
−2
3
−3
10
1
5
−1
2
En el segundo debe cumplirse que el producto de filas y columnas sea igual a 100.
•
MULTIPLICADO
Busca el número que multiplicado por (−2) da −6
(−3) da 9
7 da (−21)
(−7) da (−21)
(−1) da 1
(−6) da 30
•
¿QUIÉN ES M?
Calcula el valor de m en cada caso:
a) 2 x m = 14
•
b) 3 x m = −12
c) (−5) x m = 15
d) (−6) x m = −12
TRANSMISIONES IV
a) Las transmisiones I y II que se muestran en la siguiente figura producen el mismo efecto. ¿Cuál es
el factor de transmisión desconocido, t ?. ¿Puede existir una transmisión como la III que produzca
el mismo efecto que la I ?.
19
Taller de matemáticas 2º ESO
Si el efecto de un producto de transmisiones es positivo y uno de los factores es
positivo, el otro factor ha de serlo también.
b) Calcula el factor t de la transmisión IV, sabiendo que produce el mismo efecto que la transmisión I.
Si el efecto de un producto de transmisiones es positivo y uno de los factores es
negativo, el otro factor también ha de ser negativo.
c) Calcula las siguientes divisiones, usando una transmisión como modelo:
(−28) : 4
(−80) : (−4)
81 : (−9)
(−3) : (−1)
d) Completa la tabla de los signos para la división:
divisor
+
dividendo
20
+
−
−
Números enteros
•
DIVISIONES
Efectúa las siguientes divisiones:
a) (−99) : (−11)
b) (−1000) : 25
c) 150 : (7−12)
d) (20−12) : (−2)
e) (35−15) : (5−8)
f) (6−2−10) : (5−11)
g) 80 : [25−3+(−2)]
h) [(−5)−(−15)] : (6−8)
•
TIRO AL BLANCO
Grupos de cuatro alumnos. Varias sesiones de 5 minutos. Se necesita una calculadora para cada
alumno, papel y lápiz. En cada partida los jugadores eligen o sortean un “blanco” (número entero de
dos cifras). Eligen también, o sortean, cuatro cifras (números enteros) que van a utilizarse como
munición. Si se considera conveniente puede sortearse para todos los grupos un “blanco” y la
“munición”. El juego consiste en dar en el “blanco” usando únicamente la munición elegida y las
operaciones de sumar, restar, multiplicar y dividir. En cada partida se puntúa:
10 puntos para quién haga “blanco”.
7 puntos cuando el resultado quede hasta una distancia de 2 del “blanco”
3 puntos cuando el resultado quede a una distancia entre 2 y 5 del “blanco”.
0 puntos cuando el resultado quede a una distancia de 6 o más.
En caso de que nadie consiga “blanco” se concederán 2 puntos de propina para el que más se
acerque. Los resultados de cada partida pueden ir anotándose en una tabla de la clase.
5. Potencias y raíces cuadradas
•
DOBLANDO TRIÁNGULOS
Coge un papel con forma de triángulo isósceles y dóblalo por la altura correspondiente a la
hipotenusa. Al desplegarlo, observarás que se han formado dos triángulos rectángulos iguales.
Vuelve a plegar el papel y a doblar con la intención de obtener nuevos triángulos rectángulos iguales.
Sigue el proceso hasta que no puedas doblar más el papel y completa la siguiente tabla:
Nº de dobleces
Nº de triángulos
1
2=2
2
3
7
10
1
¿Cuántos triángulos rectángulos obtendrías si fuera posible hacer 20 dobleces? ¿Y si pudiésemos
hacer 30 dobleces ?. ¿Cuántos dobleces hay que hacer para disponer de 10000 triángulos?.
21
Taller de matemáticas 2º ESO
•
DOBLANDO CUADRADOS
Coge un papel cuadrado y dobla por los puntos medios de cada lado con la intención de obtener 4
cuadrados iguales. ¿Cuántos cuadrados iguales obtienes al efectuar por segunda vez el proceso? ¿Y
cuando lo haces por quinta vez?. Completa la siguiente tabla:
Paso Nº
1
Nº de cuadrados
4=41
2
5
7
10
¿Cuántos cuadrados obtendrás si repites el proceso 20 veces?. ¿Cuántas veces tendrías que hacerlo
para disponer de 10000 cuadraditos?.
La expresión 2 x 2 x 2 x 2 = 24 es una potencia de 2. La expresión
4 x 4 x 4 = 43 es una potencia de 4.
•
POTENCIAS DE 10
a) En cada casilla hay un número que es 10 veces el anterior:
10
100
1000
...
¿En qué casilla aparecerá el número 100000000000000?. ¿Cuál es la última casilla que puedes
obtener con tu calculadora?. Escribe los números anteriores en forma de potencia.
b) En cada casilla hay la décima parte del número que está en la casilla anterior:
0’1
0’01
0’001
...
¿En qué casilla aparecerá 0’000001 ?. ¿Cuál es la última casilla que puedes obtener con la
calculadora?
Para elevar al cuadrado un número en tu calculadora puedes usar la función x2 que
.
se activa pulsando SIHFT
Al elevar al cuadrado el número 10000 obtendrás en pantalla 1. 10 que es una
abreviatura de 1 x 1010. Al elevar al cuadrado el número 99999 aparece en pantalla
9.9998 9 que es una abreviatura de 9’9998 x 109.
Al elevar al cuadrado el número
0.00001
aparece en pantalla 1. -10 que es
una abreviatura de 1 x 10−10. Esta forma de escribir números se llama notación
científica.
•
AREAS
a) Partiendo de un triángulo rectángulo, lo doblamos por la altura correspondiente a la hipotenusa,
obteniendo dos triángulos rectángulos iguales. Suponiendo que el área del triángulo inicial es 1,
¿cuál es el área de los dos nuevos triángulos?. ¿Y el área de los obtenidos después de tres
dobleces?. Fíjate en el tamaño de cada uno de los triángulos que vas obteniendo en cada paso y
completa la siguiente tabla:
Nº de dobleces
1
Área
0’5
2
3
7
10
¿Cuál es el área de cada uno de los triángulos obtenidos tras hacer 20 dobleces?. ¿Y después de
30 dobleces?.
22
Números enteros
b) Doblamos un cuadrado por los puntos medios de cada lado, obteniendo así cuatro cuadrados.
Suponiendo que el área del cuadrado inicial es 1, ¿cuál es el área de cada uno de los cuadrados
obtenidos?. ¿Cuál es el área de cada cuadrado obtenido al realizar el proceso por segunda vez?.
Fíjate en el tamaño de cada uno de los cuadrados que se van formando en cada paso y completa
la siguiente tabla:
1
Paso Nº
0’25
Área
2
5
7
10
¿Cuál es el área de cada uno de los cuadrados obtenidos en el paso 20?. ¿Y en el paso 30?.
•
INVESTIGA CON LA CALCULADORA
a) Sustituye los asteriscos ayudándote de la calculadora:
35 × 33 = 3*
5 2 × 3 2 = 15*
46 : 44 = 4*
5 4 × 5* = 5 7
(32 )3 = 3*
2 4 × 3 4 = *4
b) Deduce del apartado anterior todas las propiedades de las potencias que puedas.
•
POTENCIAS DE NUMEROS NEGATIVOS
Una potencia de un número positivo es siempre un número positivo:
24 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
Una potencia de un numero negativo es el producto reiterado de dicho número por sí mismo tantas
veces como indica el exponente. Así: (−2)3 = (-2) x (−2) x (−2) = −8.
Al multiplicar reiteradamente un número negativo por si mismo, vamos obteniendo, alternativamente,
resultados positivos y negativos:
(−2)1 = −2
negativo
2
(−2) = (−2) x (−2) = 4
positivo
3
(−2) = (−2) x (−2) x (−2) = −8
negativo
4
positivo
(−2) = (−2) x (−2) x (−2) x (−2) = 16
Al elevar un número negativo a una potencia:
* Si el exponente es par, el resultado es positivo.
* Si el exponente es impar, el resultado es negativo.
a) Calcula las siguientes potencias:
b) Calcula:
(−2)5
−25
(−2)6
3 2 x 33
27 : 2 4
(−5)7 : (−5)4
(5+3)2
52 + 32
(6−4)2
−26
(−1)36
(−1)37
62 − 4 2
23
Taller de matemáticas 2º ESO
(−a)n no es lo mismo que −an
(a+b)2 no es lo mismo que a2+b2
(a−b)2 no es lo mismo que a2 − b2
Observa que:
(−a)3 = −8
c) Calcula el valor de a, b, c y d:
•
c5 = −1
b4 = 81
(−d)5 = −1
RAICES CUADRADAS
Para calcular la raiz cuadrada de 42 puedes proceder así:
62 = 36, 72 = 49 → está entre 6 y 7.
6’52 = 42’25 → está entre 6 y 6’5.
6’32 = 39’69 → está entre 6’3 y 6’5.
6’42 = 40’96 → está entre 6’4 y 6’5.
6’452 = 41’6025 → está entre 6’45 y 6’5.
6’472 = 41’8609 → está entre 6’47 y 6’5
6’482 = 42’9904 → está entre 6’48 y 6’5
6’492 = 42’1201 → está entre 6’48 y 6’49. Podemos dejarlo en
Utilizando la tecla
42 = 6 ' 48
de la calculadora podemos comprobar que
42 = 6 ' 4807407 ≅ 6 ' 48
Hemos obtenido, pues, la raíz cuadrada de 42 con una aproximación hasta las centésimas.
Calcula las siguientes raíces cuadradas por tanteo, obteniendo primero una aproximación hasta las
centésimas y después, con precisión hasta las milésimas:
65
1000
2450
625
Comprueba después los resultados, haciendo uso de la tecla
•
10000
15129
de tu calculadora.
CUADRADOS Y RAÍCES
Observa los siguientes resultados:
22 =4
(−2)2 = (−2) x (−2)=4
→
32 = 9
(−3)2 = (−3) x (−3) = 9
→
4 = ±2
9 = ±3
−9 = ?
→ ?2 = −9 No es posible, pues no hay ningún
número cuyo cuadrado sea negativo.
La raiz cuadrada de un número positivo puede ser positiva o negativa
La raiz cuadrada de un número negativo no existe
a) Halla dos números enteros tales que su cuadrado sea igual al cubo de 16.
b) Halla dos números enteros tales que su cuadrado sea igual a la cuarta potencia de 9.
c) Halla dos números enteros tales que su cuadrado sea igual al cubo de 25.
d) Halla dos números enteros tales que su cuadrado sea igual a la suma de los cuadrados de 25 y
16.
e) Halla dos números enteros tales que al elevarlos al cuadrado se obtenga un resultado igual a la
diferencia de los cuadrados de 117 y 45.
24
Números enteros
•
CUIDADO CON LAS RAICES CUADRADAS
Calcula, si existen:
a) 36 + 64
d) 100 − 36
b) 36 + 64
e) 16 − 25
c) 100 − 36
f) 16 − 25
La raíz cuadrada de una suma no es la suma de las raices cuadradas. La raiz
cuadrada de una diferencia no es la diferencia de las raices cuadradas.
•
¿CORRECTOS?
Di si los resultados están bien o mal obtenidos:
( −2 )2 + ( −3) = 1
( −3) × ( −4 ) × 2 + ( −5) = −29
( −3) × ( −4 ) × 2 + ( −5) = 19
( −1)3 + ( −2 )2 = −5
•
( −1)3 + ( −2 )2 = 3
( −1) + 2 − ( −1) + 2 − ( −1) + 2 = 7
( −3) × ( −5) × ( −3) × ( −5) = −18
DOS CUADRADOS
El lado de un cuadrado mide 16 metros. ¿Cuánto medirá el lado de otro cuadrado de superficie nueve
veces mayor?.
•
TERRENO
Un terreno cuadrado tiene 49 m2 de área. ¿Cuánto medirá el perímetro de este terreno?.
•
SOLAR
Un solar cuadrado cuesta 36300 euros, pagándose a razón de 75 euros el metro cuadrado. Halla el
coste de cercar dicho terreno pagando a 10 euros el metro de valla.
•
BALDOSAS CUADRADAS
Con 42859 baldosas cuadradas formamos el mayor cuadrado posible. ¿Cuántas tendrá por lado y
cuántas sobran?.
•
CHALET
Para la construcción de un chalet con su correspondiente jardín compramos un terreno cuadrado que
tiene 160 metros de perímetro. ¿Cuánto tendremos que pagar si cuesta a razón de 70 euros el metro
cuadrado?
25
Taller de matemáticas 2º ESO
6. Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
•
AUTOBUSES
En una parada de autobuses coinciden tres líneas: C1, C2 y C3. En un momento determinado salen
los tres al mismo tiempo. El C1 tarda en recorrer su circuito, aproximadamente, 42 minutos, el C3
tarda 35 minutos y el C4 media hora. ¿Al cabo de cuánto tiempo coincidirán los tres de nuevo en la
misma parada?. ¿Cuántos recorridos habrá hecho cada uno en ese tiempo?.
•
AUTOPISTA
Acaba de terminarse una autovía de 150 kilómetros. Tráfico quiere poner teléfonos de socorro
(S.O.S.) a la misma distancia unos de otros. Obligatoriamente tiene que ponerlos en los kilómetros 0,
45 y 105. ¿En qué kilómetros deben ponerse los restantes?.
•
ARBOLES
Se planta un cierto número de árboles. Si se les cuenta de 6 en 6, de 8 en 8 ó de 10 en 10, sobran
siempre 5. Sabiendo que el número de árboles está comprendido entre 200 y 300, ¿cuál es ese
número?.
•
BARCOS
Tres barcos salen del mismo puerto; el primero, cada 12 días; el segundo, cada 15 días, y el tercero,
cada 20 días. Si hoy salen los tres juntos, ¿cuándo lo volverán a hacer por segunda vez?.
•
MANZANAS
Contando las manzanas de una caja de 4 en 4, de 5 en 5 ó de 6 en 6, sobran siempre 3 manzanas.
¿Cuántas manzanas tiene esa caja?.
•
VISITAS
Dos primos, Luis y Catalina, visitan a su abuela de forma periódica. Luis cada 15 días y Catalina cada
21 días. Si se encuentran en casa de su abuela el 1 de enero, ¿qué día será el primer encuentro?. ¿Y
el segundo?. ¿Y el tercero?.
•
HABITACIÓN
Se quiere enlosar una habitación rectangular de 520 cm de largo y 240 cm de ancho con losas
cuadradas de la mayor dimensión posible y que no sea preciso cortar ninguna losa. ¿Cuál será la
dimensión de cada losa?.
•
UNIENDO BALDOSAS
¿Cuál es el lado del menor cuadrado que se puede construir uniendo baldosas de 6 cm x 15 cm ?.
26