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V. Corrientes
eléctricas
3. Leyes de la corriente
eléctrica
Campos Electromagnéticos
® Gabriel Cano Gómez, 2010/11
Dpto. Física Aplicada III (U. Sevilla)
Ingeniero de Telecomunicación
V. Corrientes eléctricas
1. Introducción
2 Magnitudes
2.
M
it d para lla corriente
i t eléctrica
lé t i
3. Leyes de la corriente eléctrica
z
® Ga
abriel Cano G
Gómez, 10/11
Principio
P
i i i de
d conservación
ió de
d la
l carga
z Ecuación de continuidad
z Condiciones de salto en discontinuidad
z Corrientes estacionarias
z Ecuaciones de las corrientes estacionarias
4.
5.
6.
7
7.
8.
Conductores lineales: medios óhmicos
Generadores
Ge
e ado es
Coeficientes de conductancia
Circuito equivalente
Corrientes no estacionarias
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
2
V. Corrientes eléctricas
Principio de conservación de la carga
„Enunciado
z
del principio
J
“en cada instante,
instante la carga eléctrica que fluye a través
de ∂τ es igual a la variación de la carga en τ”.
∀ Δt , ΔQ ∂τ
dQτ dQ
= −ΔQτ ⇒ −
= I ∂τ
=
dt
dt ∂τ
Δj=0
dS=dS n
ΔQ
Qτ (t)
9intensidad en la superficie cerrada ∂τ:
® Ga
abriel Cano G
Gómez, 10/11
versión local del principio de conservación:
9se verifica en cada punto del espacio
9para
p todo tipo
p de corrientes y de carga
g eléctrica
∂ρe
∇ ⋅ J (r, t ) = −
∂t
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
Δj≠0
ρe(r,t)
Δτ∼P
J(r,t)
P
3
∂τ
τ
dQτ
I ∂τ = v∫ J ⋅ dS = −
∂τ
dt
„Ecuación de continuidad (general)
z
Δt
V. Corrientes eléctricas
Mτ
∂τ
Ec. continuidad p
para corriente de conducción/convección
„Densidades
ρlib(r;t) = ρ− (r;t) + ρ+ (r) =0
de carga y corriente
la cargas eléctricas “libres” (portadores)
(móviles)
contribuyen a la corriente de conducción
zsólo
9d id d de
9densidad
d carga libre
lib neta
t
ρe → ρlib (r; t ) = ρlib+ (r, t ) + ρlib− (r, t )
9densidad de corriente de conducción
® Ga
abriel Cano G
Gómez, 10/11
+ +
− −
J (r, t ) = ρ lib
v (r, t ) + ρ lib
v (r, t )
„Ecuación
J(r;t) =−n−ev−(r;t) ≠0
de continuidad
zla
variación en t de la carga “libre neta” es
fuente escalar de la corriente de conducción
∂ρlib
∇ ⋅ J (r, t ) = −
∂t
Conductor metálico
P
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
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V. Corrientes eléctricas
Condiciones de salto en discontinuidad
„Superficie
de discontinuidad
zΣ
separa dos
d regiones
i
con corrientes
i t
9superficie con carga eléctrica σe(r,t)
z evaluación de corrientes en P∈Σ:
ρe((r,t)
,)
dS2
dqS
dQΔτ
J2(P,t)
=−
lim
J ⋅ dS = − lim
Δh → 0
Δh → 0
∂Δτ
dt
d
dt
Δh/2 Δτ
dS=dS n
σe(r,t)
„Discontinuidad de la densidad
v∫
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z
MS
salto
lt en su componente
t normall
Σ
9en cada punto P de la superficie Σ
9causado por cambios en σe(r,t)
(r t)
P
dl
K(r,t)
( ,)
J1(P,t)
(P t)
n ⋅ [J 2 − J 1 ]P +∇ Σ ⋅ K = − ( ∂σ e ∂t ) P
¾ en
S
dS1
corrientes de conducción…
n ⋅ [J 2 − J 1 ]P = − ( ∂σlib ∂t ) P− ∇ Σ ⋅ K
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
5
0
V. Corrientes eléctricas
Corrientes
Co
e tes estac
estacionarias
o a as
„Propiedades
de corriente de conducción
t ≥ t0
zcausa
del movimiento de cargas
9campo E(r) →
Fe± = q ± E(r )
zoposición al movimiento de cargas:
±
Fe
de equilibrio (dinámico):
_
v (r)
_
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Fe+
E(r)
_
9se alcanza en t0 y se mantiene en t > t0:
_
q Fdis
±
Fe± + Fdis
= 0 ⇒ ( dv ± dt ) = 0
9velocidad “de arrastre”: v ± (r ) = v ± (r, t0 ); cte. ∀t > t0
¾Corriente
C i t estacionaria
t i
i
9magnitudes constantes en el tiempo:
∂ lib
( ∂ρ
+
−
J (r ) = ρlib
(r ) v + (r ) + ρ lib
(r ) v − (r );
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
q+
J(r)
F = −γ v (r, t ); ( γ > 0 )
„Régimen estacionario
zestado
v+(r)
Fdis+
9proporcional y opuesta a la velocidad
±
di
dis
Δτ ∼ P
6
ρlib(r)=
( ) n+q++n
+ − q−, cte.
t
∂t ) = 0
⇒ I Σ = ∫ J ⋅ dS , cte
cte.
Σ
V. Corrientes eléctricas
Ecuaciones de las corrientes estacionarias
„ Ecuaciones
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z
de la corriente y el campo
corriente estacionaria J(r) y campo electrostático E(r)
ρlib(r) = (n+−n−)e
∂τ
Local (∀ P∈\3)
Integral
Principio de
conservación
∇ ⋅ J (r ) = 0
v∫∂τ J ⋅dS = 0
J(r)
Irrotacionalidad
∇ × E (r ) = 0
>∫ΓE⋅ d r = 0
E(r)
( )
„Condiciones en una discontinuidad Σ
z continuidad de componente normal de J(r)
n ⋅ ⎡⎣J 2 − J1 ⎤⎦
z continuidad
P∈Σ
=0
de componente tangencial de E(r)
J1
7
Σ
Ω2
σe(P) →σlib(P)
n Jn
Jn
E1
n × ⎡⎣E2 − E1 ⎤⎦ = 0
P∈Σ
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
Ω1
Et
E2 J2
V. Corrientes eléctricas
Ejercicio 5.3 (I)
„Principio
zesfera
de conservación de la carga
“Ε(t)” de radio variable: R(t)=R
R(t) R0+v0t (∀ t ≥ 0)
9con carga eléctrica constante y uniforme
∀t ≥ 0,
0 Q Ε (t ) = Q0 ;
z ley
ε0
ρe (t ) Ε (t ) = 3Q0 4πR (t )
3
de conservación en superficie esférica ∂τ:
J(r,t)
Ε(t)
I∂τ
Q0
dS=dS n
9
9carga
eléctrica
lé t i en ell interior,
i t i τ:
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r − R0
⎧Q0 ; R (t ) ≤ r → 0 ≤ t ≤
v0
⎪
Q τ =⎨
Q0 r 3
r − R0
=
Q
(
t
)
;
R
(
t
)
≥
r
→
≤t
⎪
3
v
R (t )
0
⎩
9intensidad de corriente a través de ∂τ:
dQ
−
= I ∂τ
dt τ
r − R0
⎧0; R (t ) ≤ r → 0 ≤ t ≤ v
0
⎪
3
= ⎨ 3Q0 v0 r
r − R0
; R (t ) ≥ r →
≤t
⎪ 4
v
0
⎩ R (t )
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
8
Q(t)
R(t)
O
∂τ: r, cte.
→ I ∂τ = v∫ ∂τ J ⋅ dS
V. Corrientes eléctricas
Ejercicio 5.3 (II)
„Versión
zesfera
local de conservación de la carga
ε0
“Ε(t)”
Ε(t) de radio variable: R(t)
R(t)=R
R0+v0t (∀ t ≥ 0)
Ε(t)
9con carga eléctrica constante y uniforme
∀t ≥ 0,
0 Q Ε (t ) = Q0 ;
z ecuación
ρe (t ) Ε (t ) = 3Q0 4πR 3 (t )
P(r,θ,ϕ)
ρe(r,t)
de continuidad en punto P(r,θ,ϕ):
9densidad volumétrica de corriente en P:
I ∂τ = v∫ J ⋅ dS = 4πr 2 J (r , t )
∂τ
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J(r,t) = J(r,t)ur
R(t)
O
r−R
0
⎧0; R (t ) ≤ r → 0 ≤ t ≤
v0
⎪
⇒ J (r; t ) = ⎨ 3Q0 v0
r − R0
r
;
R
(
t
)
≥
r
→
≤t
⎪ 4πR 4 (t )
v0
⎩
9densidad volumétrica de carga en P:
∂τ: r, cte.
r − R0
⎧0; R (t ) ≤ r → 0 ≤ t ≤ v
0
⎪
ρe (r; t ) = ⎨ 3Q0
r − R0
;
R
(
t
)
≥
r
→
≤t
⎪ 4πR 3 (t )
v
0
⎩
Campos Electromagnéticos (I. Telecomunicación)
Q0
9
∂ρe
∇⋅ J(r, t ) = −
∂t
P
V. Corrientes eléctricas