soluciones - ingeniería de sistemas y automática

2º Ingeniería Industrial
Teoría de circuitos y sistemas
EXAMEN TEORÍA DE SISTEMAS 16-9-2006
SOLUCIONES
PROBLEMA 1 (3 puntos)
x(t)
e(t)
+
-
y(t)
F
s +1
s+2
w(t)
y(t)
2.91
2.50
x(t)
2
t [seg]
0
0 1.8
t [seg]
En el sistema de la figura anterior se conocen las señales x(t) e y(t). Se pide:
1.1. Expresar la señal x(t) en el dominio de Laplace:
a
b
1
s2
2
X( s ) = 2
s
X( s ) =
2
s
0.5
X( s ) = 2
s
X( s ) =
c
d
Ninguna de las anteriores
e
x(t) es un escalón de amplitud 2, por lo tanto la respuesta correcta es la c.
1.2. Expresar la señal y(t) en el dominio de Laplace:
a
b
10
s + 2s + 4
4
Y (s) =
2
s ( s + 4s + 2)
Y (s) =
2
c
d
4
s + 4s + 2
10
Y (s) =
2
s ( s + 2 s + 4)
Y ( s) =
2
e
Ninguna
anteriores
de
las
y(t) tiene la forma de la respuesta a escalón de un sistema de 2º orden
subamortiguado. Por lo tanto, su transformada de Laplace tiene la forma:
1
Kωn2
⋅
Y (s) = 2
2
s + 2ξωn s + ωn s
Para identificar los coeficientes se utilizan los datos presentes en el gráfico:
-
Valor final = 2.5
-
Sobreoscilación = (2.91-2.5)/2.5
-
Tiempo de pico = 1.8 segundos
Se obtiene el siguiente sistema:
Y (s) =
10
1
⋅
s + 2s + 4 s
2
Por lo tanto, la respuesta correcta es la d.
1.3. Obtener la función de transferencia del bloque F
a
b
2 s 3 + 8s 2 + 6 s + 6
10s + 20
10 s + 20
F (s) = 3
2 s + 8s 2 + 6 s + 6
F (s) =
c
d
s 2 + 2s + 4
10s + 20
10s + 20
F (s) = 2
s + 4s + 2
F (s) =
e
Ninguna de
anteriores
las
La función de transferencia del bloque F se obtiene de la forma siguiente:
F ( s) =
Y ( s)
Y (s)
Y ( s)
=
=
E ( s) X ( s) − W ( s) X ( s) − Y ( s) s + 1
s+2
Operando con los valores de X(s) e Y(s) que ya se han obtenido, se llega a:
F ( s) =
10s + 20
2 s + 8s 2 + 6 s + 6
3
Por lo tanto, la respuesta correcta es la b.
1.4. Expresar la señal W(s) en el dominio de Laplace:
s 4 + 4 s 3 + 8s 2 + 8s
a W ( s) =
10s + 10
b W ( s) =
s 4 + 4 s 3 + 8s 2 + 8s
5s 2 + 10 s + 2
W ( s) =
10s + 10
s + 4 s 3 + 8s 2 + 8s
d W (s) =
5s 2 + 10s + 2
s 4 + 4 s 3 + 8s 2 + 8s
c
4
Ninguna de
e las anteriores
La señal W(s) se obtiene como:
W ( s) = Y ( s)
s +1
10s + 10
= 4
s + 2 s + 4 s 3 + 8s 2 + 8 s
Por lo tanto, la respuesta correcta es la c.
1.5. Expresar la señal E(s) en el dominio de Laplace:
a
s 2 + 2s + 4
E ( s) = 3
2 s + 8s 2 + 6 s + 6
c
s 2 + 4s + 2
E ( s) = 3
2 s + 8s 2 + 6 s + 6
b
E ( s) =
2 s 3 + 8s 2 + 6 s + 6
s 4 + 4 s 3 + 8s 2 + 8s
d
E (s) =
Ninguna
las
e de
anteriores
s4 + 4s3 + 8s2 + 8s
s +1
La señal E(s) se obtiene como:
E ( s) = X ( s) − W ( s) =
2 s 3 + 8s 2 + 6 s + 6
s 4 + 4 s 3 + 8s 2 + 8s
Por tanto, la respuesta correcta es la b.
1.6. F(s) es un sistema…
a … de segundo orden estable
b … de segundo orden inestable
c … de tercer orden estable
d … de tercer orden inestable
e Ninguna de las anteriores
F(s) tiene 3 polos, con lo cual es un sistema de tercer orden. Mediante el criterio
de Routh, puede comprobarse que el sistema es estable, con lo cual la respuesta
correcta es la c.
PROBLEMA 2 (3 puntos)
El sistema de la figura responde ante una entrada {xk} = {1
salida {yk} = {0 2 3 0 0 …}.
{xk}
{wk}
F
z +1
z+2
2
{yk}
1
0
0 …} con una
2.1. Indicar cuál es la ecuación en diferencias del sistema:
a
2 yk −1 + 3 yk −2 = xk + 2 xk −1 + xk −2
c
3 yk −1 + 2 yk −2 = 2 xk + xk −1 + 2 xk −2
b
3xk −1 + 2 xk −2 = 2 yk + yk −1 + 2 yk −2
d
2 xk −1 + 3 xk −2 = yk + 2 yk −1 + yk −2
La ecuación en diferencias se obtiene como:
2 z −1 + 3 z −2
Y ( z)
=
X ( z ) 1 + 2 z −1 + z −2
⇒
X ( z )(2 z −1 + 3 z −2 ) = Y ( z )(1 + 2 z −1 + z −2 )
Obteniendo la antitransformada Z de la expresión anterior:
2 xk −1 + 3 xk −2 = yk + 2 yk −1 + yk −2
Por lo tanto, se trata de la respuesta d.
2.2. Indicar cuál es la función de transferencia del bloque F:
a
b
c
2 z −1 + 7 z −2 + 6 z −3
1 + 3 z −1 + 3z −2 + z −3
1 + 3 z −1 + 3z −2 + z −3
F ( z) =
2 z −1 + 7 z −2 + 6 z −3
7 z −1 + 6 z −2 + 2 z −3
F ( z) =
1 + 4 z −1 + 2 z −2 + z −3
F ( z) =
F ( z) =
d
1 + 4 z −1 + 2 z −2 + z −3
7 z −1 + 6 z −2 + 2 z −3
Ninguna de las anteriores
e
La función de transferencia se obtiene como:
z+2
Y ( z)
W ( z)
2 z −1 + 7 z −2 + 6 z −3
z
+
1
F ( z) =
=
=
X ( z)
X ( z)
1 + 3 z −1 + 3 z −2 + z −3
Por lo tanto, se trata de la respuesta a.
2.3. Expresar la transformada Z de la señal {wk}:
a
b
c
2 z −1 + 3 z −2
(z) =
1 + 3 z −1 + 3 z − 2 + z − 3
2 z −1 + 7 z −2 + 6 z −3
1 + z −1
1 + 3 z −1 + 3z −2 + z −3
W ( z) =
2 z −1 + 3z −2
W ( z) =
d
e
W ( z) =
1 + z −1
2 z −1 + 7 z −2 + 6 z −3
Ninguna de las anteriores
e Ninguno
de
los
anteriores
La señal W(z) se obtiene como:
z + 2 2 z −1 + 7 z −2 + 6 z −3
=
W ( z) = Y ( z)
z +1
1 + z −1
Por lo tanto, la respuesta correcta es la b.
2.4. Si la señal de entrada fuese la secuencia {xk} = {1 1 0 0 0 …}, calcular
cuál sería la señal de salida en el instante t = 1 segundo (suponer periodo 1 segundo).
a 0
b 1
c -1
d 2
e Otro valor
La función de transferencia global es:
G( z) =
Y ( z)
2 z −1 + 3 z −2
=
X ( z ) 1 + 2 z −1 + z −2
La salida pedida será:
Y ′( z ) = G ( z ) X ′( z ) = G ( z )(1 + z −1 ) =
2 z −1 + 5 z −2 + 3z −3
1 + 2 z −1 + z −2
Por división larga:
Y ′( z ) =
2 z −1 + 5 z −2 + 3z −3
= 2 z −1 + z −2 − z −3 + ...
−1
−2
1+ 2z + z
Con lo cual la transformada Z inversa queda:
{yk} = {0 2 1 -1}
En el instante t=1 la salida vale 2, por tanto se trata de la respuesta d.
2.5. Idem en el instante t = 2 segundos (suponer también periodo 1 segundo).
a -1
b 1
c 2
d -2
e Otro valor
En el instante t=2 la salida vale 1, por tanto se trata de la respuesta b.
2.6. Idem en el instante t = 3 segundos (suponer también periodo 1 segundo)
a 0
b 2
c -2
d -1
e Otro valor
En el instante t=3 la salida vale -12, por tanto se trata de la respuesta d.
PROBLEMA 3 (4 puntos)
{xk}
B0
10
+
y(t)
1
s+3
-
e − λs
0.5 seg
NOTA: EN ESTE PROBLEMA SE DEBE TENER EN CUENTA LA INFLUENCIA DE LOS
REDONDEOS. SI EL RESULTADO OBTENIDO POR EL ALUMNO ES APROXIMADAMENTE
IGUAL A UNA DE LAS OPCIONES DISPONIBLES, SE DEBE ELEGIR ESA OPCIÓN, AUNQUE
NO COINCIDAN TODOS LOS DECIMALES.
En el sistema de la figura anterior, la entrada {xK} es una secuencia de periodo 0.5
segundos y valores {xK} = {1 2 0 0 0 …}. Se pide:
3.1. Si λ = 0 , calcular el valor de la salida y(t) en el instante t = 0 segundos:
a
-0.53
b
1.23
c
2.78
d
0
e
Otro valor
Si lambda = 0, entonces no existe retraso. Por tanto, se puede buscar la función
de transferencia en Z. Suponiendo que se añade un muestreador ficticio en la
salida, se obtiene:
M ( z) =
R( z ) BF ( z )
1 + R( z ) BFH ( z )
Dado que se utiliza un bloqueador de orden cero, queda:
⎞
⎛
1
1
⎟
BF ( z ) = BFH ( z ) = (1 − z −1 ) ∑ res⎜⎜
pT −1 ⎟
polos
⎝ p( p + 3) 1 − e z ⎠
Operando, se llega a:
0.26 z −1
BF ( z ) = BFH ( z ) =
1 − 0.22 z −1
2.6 z −1
M ( z) =
1 + 2.38 z −1
Multiplicando la función de transferencia por la entrada, se obtiene la salida:
2.6 z −1 + 5.2 z −2
Y ( z ) = M ( z ) X ( z ) = M ( z )(1 + 2 z ) =
1 + 2.38 z −1
−1
Por división larga,
Y ( z) =
2.6 z −1 + 5.2 z −2
= 2.6 z −1 − z −2 + 2.38 z −3 + ...
−1
1 + 2.38 z
Lo cual da una antitransformada Z como la que sigue:
{yk} = {0 2.6 -1 2.38 …}
El valor en el instante 0 es 0, respuesta d.
3.2. Si λ = 0 , calcular el valor de la salida y(t) en el instante t = 0.5 segundos:
a
1.7
b
2.6
c
0
d
0.78
e
Otro valor
El valor en el instante 0.5 es 2.6, respuesta b.
3.3. Si λ = 0 , calcular el valor de la salida y(t) en el instante t = 1 segundo.
a
0.54
b
-1.0
c
1.03
d
0.22
e
Otro valor
El valor en el instante 1 es -1, respuesta b.
3.4. Si λ = 0 , calcular el valor de la salida y(t) en el instante t = 1.5 segundos.
a
2.38
b
-1.4
c
-0.54
d
1.03
e
Otro valor
El valor en el instante 1.5 es 2.38, respuesta a.
3.5. Si λ = 0.2 , calcular el valor de la salida y(t) en el instante t = 0 segundos.
a
2.8
b
0
c
-1.1
d
-0.5
e
Otro valor
Si lambda = 0.2, entonces existe un retraso de 0.2 segundos. Por tanto, hay que
utilizar la función de transferencia en Z modificada. Suponiendo que se añade
un muestreador ficticio en la salida, y considerando que el retraso sólo afecta al
camino de la realimentación, se obtiene:
M ( z , m) =
R( z ) BF ( z )
1 + R( z ) BFH ( z , m)
Dado que se utiliza un bloqueador de orden cero, queda:
⎞
⎛
1
1
⎟
BFH ( z , m) = z −1 (1 − z −1 ) ∑ res⎜⎜
e mTp
pT −1 ⎟
(
)
p
p
3
1
e
z
+
−
polos
⎠
⎝
El valor de m se obtiene de:
λ = T (1 − m) ⇒ m = 0.6
Y operando, se obtiene:
0.2 z −1 + 0.06 z −2
BFH ( z , m) =
1 − 0.22 z −1
2.6 z −1
M ( z , m) =
1 + 1.78 z −1 + 0.62 z −2
Multiplicando la función de transferencia por la entrada, se obtiene la salida:
Y ( z , m) = M ( z , m) X ( z ) = M ( z , m)(1 + 2 z −1 ) =
2.6 z −1 + 5.2 z −2
1 + 1.78 z −1 + 0.6 z −2
Por división larga,
2.6 z −1 + 5.2 z −2
Y ( z) =
= 2.6 z −1 + 0.57 z −2 − 2.57 z −3 + ...
−1
−2
1 + 1.78 z + 0.6 z
Lo cual da una antitransformada Z como la que sigue:
{yk} = {0 2.6 0.57 -2.57 …}
El valor en el instante 0 es 0, respuesta b.
3.6. Si λ = 0.2 , calcular el valor de la salida y(t) en el instante t = 0.5 segundos.
a
-2.2
b
1.7
c
2.6
d
0.5
e
Otro valor
El valor en el instante 0.5 es 2.6, respuesta c.
3.7. Si λ = 0.2 , calcular el valor de la salida y(t) en el instante t = 1 segundo.
a
-0.31
b
0.57
c
-1.89
d
0.93
e
Otro valor
El valor en el instante 1 es 0.57, respuesta b.
3.8. Si λ = 0.2 , calcular el valor de la salida y(t) en el instante t = 1.5 segundos.
a
-1.32
b
1.78
c
-0.2
d
-2.57
El valor en el instante 1.5 es -2.57, respuesta d.
e
Otro valor