Estimación - Tamaño Muestra

Enero 2016
Ing. Rubén Darío Estrella, MBA
Cavaliere dell’ordine al Merito della Repubblica Italiana (2003)
Ingeniero de Sistemas (UNIBE 1993), Administrador (PUCMM 2000),
Matemático (PUCMM 2007), Teólogo (UNEV 2002)
y Maestro (Salomé Uneña 1985)
[email protected] /
[email protected]
www.atalayadecristo.org
Estimados y Tamaño de Muestra
ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
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Las dos aplicaciones principales de la estadística
inferencial implican el uso de datos de muestra para
(1) estimar el valor de un parámetro de población y
(2) llegar a una conclusión acerca de una población.
Estimador: es una estadística de muestra (como la
media de muestra) que se usa para aproximar un
parámetro de población.
Existen dos tipos de estimadores que se utilizan
normalmente:
- Estimador puntual
- Estimador por intervalo
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ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
Estimado puntual: es un valor individual (o punto) que se usa para
aproximar un parámetro de población.
Estimador Puntual: utiliza un número único o valor para localizar
una estimación del parámetro.
La media de muestra es el mejor estimado de la media de
población.
Podemos decir que la media de la muestra es un estimador no
predispuesto de la media de la población, lo que quiere decir que
la distribución de las medias de muestra tiende a centrarse
alrededor del valor de la media de la población. (Es decir, las
medias de muestra no tienden a sobreestimar sistemáticamente el
valor de , y tampoco tienden a subestimar sistemáticamente
dicho valor. En vez de ello, tienden a centrarse en el valor de 
misma).
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ESTRELLA, Rubén Darío. Modelos Estadísticos para la Toma de
Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
Estimación por intervalo: especifica el rango dentro del cual está el
parámetro desconocido.
Intervalo de Confianza: denota un rango dentro del cual puede
encontrarse el parámetro. Es una gama (o un intervalo) de valores
que probablemente contiene el valor verdadero del parámetro de
población.
Un intervalo de confianza se asocia a un grado de confianza, que es
una medida de la certeza que tenemos de que nuestro intervalo
contiene el parámetro de población.
Nivel de confianza (grado o coeficiente de confianza): es la
probabilidad 1- (a menudo expresada como el valor porcentual
equivalente) de que el intervalo de confianza contiene el verdadero
valor del parámetro.
Existen tres niveles de confianza relacionados comúnmente con los
intervalos de confianza: 99, 95 y 90%, denominados coeficientes de
confianza.
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Valor Alfa : Es la probabilidad de error o la probabilidad de que un
intervalo dado no contenga la media poblacional desconocida.
Valor Critico Z: Es el número que está en la frontera que separa las
estadísticas de muestra que probablemente ocurrirán, de aquellas
que probablemente no ocurrirán. Es un puntaje con la propiedad
de que separa un área de /2 de la cola derecha de la distribución
normal estándar.
Margen de Error E: Es la máxima diferencia probable (con una
probabilidad de 1-) entre la media de muestra observada y el
verdadero valor de la media de población . El margen de error
también se denomina error máximo de la estimación y puede
obtenerse multiplicando el valor critico y la desviación estándar de
las medias de muestras.
E = Z * /n
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E = Z * /n
Intervalo de confianza para estimar  (media poblacional
real desconocida) cuando es  conocida.
I. C. para estimar  = X'  E
Caso I.
Para estimar el gasto promedio de los clientes en el
McDonald's local, los estudiantes de Métodos
Cuantitativos toman una muestra de 200 clientes y
encuentran un gasto promedio de US$5.67, con una
desviación estándar poblacional de US$1.10. ¿Cuál es el
intervalo de confianza del 95% para los gastos promedio
de todos los clientes? Interprete sus resultados.
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
Caso I.
Para estimar el gasto promedio de los clientes en el
McDonald's local, los estudiantes de Métodos Cuantitativos
toman una muestra de 200 clientes y encuentran un gasto
promedio de US$5.67, con una desviación estándar
poblacional de US$1.10. ¿Cuál es el intervalo de confianza
del 95% para los gastos promedio de todos los clientes?
Interprete sus resultados.
I. C. para estimar  = X'  E
Datos:
E = Z * /n = 1.96 * (1.10/200) = 0.15
n=200
I.C. para estimar = US$5.67  0.15
N.C.=95%
x'=US$5.67
I.C.=?
σ=US$1.10
= US$5.52    US$5.82
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MEGASTAT
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MEGASTAT
Confidence interval - mean
95% confidence level
5.67 mean
1.1 std. dev.
200 n
1.960 z
0.152 half-width
5.822 upper confidence limit
5.518 lower confidence limit
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
Caso I.
Para estimar el gasto promedio de los clientes en el McDonald's
local, los estudiantes de Métodos Cuantitativos toman una muestra
de 200 clientes y encuentran un gasto promedio de US$5.67, con
una desviación estándar poblacional de US$1.10. ¿Cuál es el
intervalo de confianza del 95% para los gastos promedio de todos
los clientes? Interprete sus resultados.
I. C. para estimar  = X'  E
E = Z * /n = 1.96 * (1.10/200) = 0.15
I. C. = US$5.52    US$5.82
Los estudiantes poseen un 95% de confianza de que la media
poblacional desconocida del gasto de los clientes del McDonal's
evaluados se encuentra entre el intervalo US$5.52 US$5.82.
Si se construyen todos los NCn intervalos de confianza, el 95% de
ellos contendrá la media poblacional desconocida.
Esto por
supuesto significa que el 5% de todos los intervalos estaría errado no contendrían la media poblacional, el Valor alfa .
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Si n > 30, podemos sustituir de la formula del E por la desviación
estándar de la muestra s.
E = Z * s/n
Procedimiento para construir un intervalo de confianza para (basado
en una muestra grande: n > 30).
1. Encuentre el valor critico Z que corresponda al grado de confianza
deseado.
2. Evalúe el margen de error E = Z * /n. Si se desconoce la
desviación estándar de la población , use el valor de la desviación
estándar de la muestra s, siempre que n > 30.
3. Con el valor del margen de error calculado y el valor de la media de
muestra X', obtenga los valores de X'-E y X'+E. Sustituya estos valores
en el formato general del intervalo de confianza:
X'-E    X'+E
 = X'  E
(X'-E ,X'+E
4. Redondee los valores resultantes aplicando la regla de redondeo.
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1. Si usa el conjunto de datos original para
construir un intervalo de confianza, redondee los
limites del intervalo de confianza a una posición
decimal más que las empleadas en el conjunto de
datos original.
2. Si desconoce el conjunto de datos original y sólo
usa las estadísticas resumidas (n, x', s), redondee
los limites del intervalo de confianza de acuerdo al
mismo número de posiciones decimales que se
usan para la media de muestra.
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Justificación: La idea básica en que se apoya la construcción de
intervalos de confianza tiene que ver con el teorema del limite
central, que indica que en el caso de muestras grandes (n > 30), la
distribución de las medias de muestra es aproximadamente normal
con media y desviación estándar /n. El formato de los intervalos
de confianza en realidad es una variación de la ecuación:
Z = (X' - )/(/n)
X' -  = Z (/n)
-  = Z (/n) - X' (-1)
 = X' - Z (/n)
 = X'  E
Precisión: Un intervalo estrecho ofrece mayor precisión, aunque la
probabilidad de que contenga se reduce.
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Caso I.
Una muestra consiste en 75 televisores adquiridos hace varios años.
Los tiempos de reemplazo de esos televisores tienen una media de 8.2
años y una desviación estándar de 1.1 años (basados en datos de
"Getting Things Fixed", Consumer Reports). Construya un intervalo de
confianza del 90% para el tiempo de reemplazo medio de todos los
televisores de esa época.
Caso II.
Utilice el grado de confianza y los datos de muestra dados para
determinar (a) el margen de error y (b) el intervalo de confianza para la
media de la población
1. Estaturas de mujeres: confianza del 95%; n=50, x'=63.4 pulgs.,
s=2.4 pulgs.
2. Promedios de calificaciones: confianza del 99%; n=75, x'=2.76,
s=0.88.
3. Puntajes en una prueba: confianza del 90%; n=150, x'=77.6;
s=14.2.
Ejercicios de la Sección 1 al 10 págs. 175 y 176.
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Las decisiones dependen con frecuencia de parámetros
que son binarios, parámetros con sólo dos posibles
categorías dentro de las cuales pueden clasificarse las
respuestas. En este evento, el parámetro de interés es
la proporción poblacional.
Tanto las proporciones como las probabilidades se
expresan en forma decimal o fraccionaria. Al trabajar
con porcentajes, los convertimos en proporciones
omitiendo el signo de por ciento y dividiendo entre 100.
Por ejemplo, la tasa del 48% de personas que no
compran libros puede expresarse en forma decimal
como 0.48.
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
Estimado puntual para la proporción de población.
La proporción de muestra p es el mejor estimado puntual de la
proporción de población.
p = x/n

proporción de muestra de x éxitos en una muestra de tamaño n.

Intervalo de confianza para la proporción poblacional.


Muchos asuntos de negocios tratan la proporción de la población.
Una firma de marketing puede querer averiguar si un cliente (1)
compra o (2) no compra el producto. Un banco con frecuencia debe
determinar si un depositante (1) pedirá o (2) no pedirá un crédito
para auto. Muchas firmas deben determinar la probabilidad de que
un proyecto para presupuestar capital (1) generará o (2) no
generará un rendimiento positivo.
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Si n*p y n*(1-p) son mayores que 5, la distribución de las proporciones
muestrales será normal y la distribución muestral de la proporción
muestral tendrá una media igual a la proporción poblacional y error
estándar de:
Error estandar de la distribución muestral de las proporciones
muestrales:
________
____
p = p(1-p)/n = pq/n
Estimación del Error estándar de la distribución muestral de las
proporciones muestrales:
_________
_____
sp =  p(1-p)/n =  pq/n
Margen de error del estimado de la proporción de la población:
______
E = (Z)( pq/n)
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Regla de redondeo para estimados de intervalo de confianza para la
proporción de población
Redondee los limites del intervalo de confianza a tres dígitos significativos.
Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional.
I.C. para estimar la
proporción poblacional  = p  E
Caso I.
E = (Z)( pq/n)
En una encuesta de 1068 estadounidenses, 673 dijeron que tenían
contestadoras telefónicas (basados en datos de International Mass Retail
Association, informados en USA Today). Utilizando estos resultados de
muestra, determine:
a. El estimado puntual de la proporción de la población de todos los
estadounidenses que tienen contestadora telefónica.
b. El estimado de intervalo del 95% de la proporción de todos los
estadounidenses que tienen contestadora telefónica.
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I.C. para estimar la
proporción poblacional
=pE
Caso I.
E = (Z)( pq/n)
En una encuesta de 1068 estadounidenses, 673 dijeron que tenían
contestadoras telefónicas (basados en datos de International Mass Retail
Association, informados en USA Today).
Utilizando estos resultados de
muestra, determine:
a. El estimado puntual de la proporción de la población de todos los
estadounidenses que tienen contestadora telefónica.
b. El estimado de intervalo del 95% de la proporción de todos los
estadounidenses que tienen contestadora telefónica.
a. Estimado puntual para la proporción de población. p = x/n = 673/1068 =
0.630
b. Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional.
E = 1.96 ((0.630)(0.370)/1068) = 0.0290
I.C. para estimar la
proporción poblacional:
0.630 - 0.0290 <  < 0.630 + 0.0290
0.601 <  < 0.659
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MEGASTAT
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MEGASTAT
Confidence interval - proportion
95% confidence level
0.63 proportion
1068 n
1.960 z
0.029 half-width
0.659 upper confidence limit
0.601 lower confidence limit
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
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En una encuesta de 1068 estadounidenses, 673 dijeron que tenían
contestadoras telefónicas (basados en datos de International Mass Retail
Association, informados en USA Today).
Utilizando estos resultados de
muestra, determine:
a. El estimado puntual de la proporción de la población de todos los
estadounidenses que tienen contestadora telefónica.
b. El estimado de intervalo del 95% de la proporción de todos los
estadounidenses que tienen contestadora telefónica.
a. Estimado puntual para la proporción de población. p = x/n = 673/1068 =
0.630
b. Intervalo de confianza para estimar la proporción poblacional.
E = 1.96 (((0.630*0.370)/1068)) = 0.0290
I.C. para estimar la
proporción poblacional:
0.630 - 0.0290 <  < 0.630 + 0.0290
0.601 <  < 0.659
Este resultado a menudo se informa en el formato siguiente: "Se estima que el
porcentaje de los estadounidenses que tiene contestadora telefonica es del
63%, con un margen de error de mas o menos 2.9 puntos porcentuales.
También debe informarse el nivel de confianza, pero eso casi nunca se hace en
los medios de comunicación.
EJERCICIOS DE LA SECCION 20 AL 25 - PAG. 182.
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 122
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
Los factores como el costo y el tiempo a
menudo limitan severamente el tamaño de las
muestras, y es posible que la distribución
normal no sea una aproximación adecuada a la
distribución de las medias de muestras
pequeñas.
En muestras pequeñas, la media de muestra X'
generalmente es el mejor estimado puntual de
la media de la población .
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
Condiciones para usar la Distribución t de
Student.

La muestra es pequeña (n  30).

Se desconoce .

La población padre tiene una distribución
esencialmente normal. (Dado que a menudo se
desconoce la distribución de la población padre,
la estimamos construyendo un histograma con
datos de muestra.)
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
Propiedades importantes de la Distribución t de Student:
1.- La distribución t de Student es diferente para los diferentes tamaños de
muestra. (Ver Figura 7.3 en la Pág. 177).
2.- La distribución t de Student tiene la misma forma general de campana
simétrica que la distribución normal estándar, pero refleja la mayor
variabilidad (con distribuciones más amplias) que cabe esperar cuando la
muestra es pequeña.
3.- La distribución t de Student tiene una media t=0 (así como la
distribución normal estándar tiene una media de Z=0).
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
4.- La desviación estándar de la distribución t de Student varia con
el tamaño de la muestra, pero es mayor que 1 (a diferencia de la
distribución normal estándar, que tiene =1).
Al igual que la distribución Z, la distribución t tiene una media de
cero, es simétrica respeto a la media y oscila entre - y + . Sin
embargo, mientras que la distribución Z tiene una varianza de
²=1, la varianza de la distribución t es mayor que 1.
5.- A medida que aumenta el tamaño de muestra n, la distribución
t de Student se acerca mas a la distribución normal estándar. Con
valores de n > 30, las diferencias son tan pequeñas que podemos
utilizar los valores críticos de z en lugar de crear una tabla mucho
más grande de valores críticos de t.
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
Varianza de la distribución t
² = (n-1)/(n-3)
La varianza depende de los grados de libertad
(g.l.), que definimos como el número de
observaciones
que
se
pueden
escoger
libremente. Es el número de observaciones
menos el número de restricciones impuestas
sobre las observaciones, en donde una
restricción
es
algún
valor
que
tales
observaciones deben poseer.
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
Grados de Libertad:
El número de grados de libertad de un conjunto
de datos corresponde al número de puntajes
que puede variar después de haber impuestos
ciertas restricciones a todos los puntajes.
Es el número de observaciones menos el
número de restricciones impuestas sobre tales
observaciones.
g.l. = n - 1
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 El
estadístico t
t = (X'-) / (s / n)
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Margen de Error para la Estimación de :
E = t * s/n
Intervalo de Confianza para la estimación de 
(Basada en una muestra pequeña (n  30) y 
desconocida)
I. C. para estimar  = X'  E
X' - E <  < X' + E
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Caso I.
Cuando se usan pruebas destructivas, los elementos de una muestra se destruyen durante el
proceso de probarlos. Las pruebas de choques de automóviles son un ejemplo muy costoso
de pruebas destructivas.
Si usted estuviera encargado de tales pruebas de choque, no querría decirle a su supervisor
que necesita chocar y destruir mas de 30 automóviles para poder usar la distribución
normal. Supongamos que usted ha probado 12 automóviles deportivos Dodge Viper
(Precio d lista actual: US$59,300 dólares) chocándolos en diversas condiciones que
simulan colisiones representativas. Un análisis de los 12 automóviles dañados da como
resultado costos de reparación cuya distribución al parecer tiene forma de campana, con
una media de X'=US$26,227 y una desviación estándar de s=$15,873 (basado en datos de
Highway Loss Data Institute). Determine lo siguiente.
a) El mejor estimado puntual de la media de población , el costo de reparación medio de
todos los Dodge Viper implicados en colisiones.
b) El estimado de intervalo del 95% de , el costo de reparación medio de todos los Dodge
Viper implicados en colisiones.
Estimados y Tamaño de Muestra
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 122
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Solución:
a) El mejor estimado puntual de la media de población es el valor de la media de muestra
X'. En este caso, entonces, el mejor estimado puntual de es US$26,227 dólares.
b) DATOS:
n = 12 automóviles deportivos Dodge Viper
X'=US$26,227 dólares costo de reparación
s =US$15,873 dolares
N.F.= 95% ===> t= ?
I.C. para = ?
Dada las condiciones anteriores:
1.- La muestra es pequeña (n30).
2.- Se desconoce .
3.- La población padre tiene una distribución esencialmente normal. (Dado que a menudo
se desconoce la distribución de la población padre, la estimamos construyendo un
histograma con datos de muestra.)
podemos usar la Distribución t de Student:
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g.l. = grados de libertad = g.l. = n-1 = 12-1 = 11
usando la tabla de la distribución t (Pág. 606) con los g.l.=11 y N.C.=95% cuyas colas
equivalen a 5% (0.05) determinamos el valor critico t.
g.l.=11; I.C. con N.C.=95% (0.950); dos colas=5% (0.050) ==> t=2.201
donde
E = t (s/n)
E = 2.201 (15,873/12) = US$10,085.29
El intervalo de confianza es: X' - E <  < X' + E
US$26,227-US$10,085.29<  < US$26,227+US$10,085.29
US$16,142 <  < US$36,312
[Este resultado también podría expresarse en el formato de =US$26,227US$10,085.29 o
como (US$16,142, US$36,312).]
Con base en los resultados de muestra dados, tenemos un 95% de confianza en que los
limites de USD16,142 y USD36,312 contendrán realmente el valor de la media de
población . Estos costos de reparación parecen muy altos. Efectivamente, el Dodge Viper
es actualmente el automóvil más costoso de reparar después de una colisión. Tal
información es importante para compañías que aseguran Dodge Vipers contra choques.
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 122
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 122
Confidence interval - mean
95% confidence level
26227 mean
15873 std. dev.
12 n
2.201 t (df = 11)
10085.223 half-width
36312.223 upper confidence limit
16141.777 lower confidence limit
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Caso II. Utilice el grado de confianza y los datos de muestra dados para
determinar (a) el margen de error y (b) el intervalo de confianza para la media de
la población .
1) Estaturas de mujeres: confianza del 95%; n=10, x'=63.4 pulg., s=2.4 pulg.
2) Promedios de calificaciones: confianza del 99%; n=15, x'=2.76, s=0.88
3) Puntajes en una prueba: confianza del 90%; n=16, x'=77.6, s=14.2
4) Salarios de policías: confianza del 92%; n=19, x'=$23,228, s=$8,779
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Caso III.
Ejercicios 12 al 18 Págs. 179-180 y Analizar figura 7.4 Pág. 179.
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
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El tamaño de la muestra juega un papel importante
al determinar la probabilidad de error así como en
la precisión de la estimación.
Una vez se ha seleccionado el nivel de confianza,
los factores importantes influyen en el tamaño
muestral:
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(1) la varianza de la población ² y
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(2) el tamaño del error E tolerable
investigador esta dispuesto a aceptar.
que
el
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
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Tamaño de la muestra para estimar .
Z = (X' - )/(/n)
X' -  = Z (/n)
n(X' - ) = Z
n = Z/(X' - )
n = Z²²/(X' - )²
n = Z²²/E²
n =[Z/E]²
E = Error de Muestreo
El tamaño de la muestra debe ser entero.
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Regla de redondeo para el tamaño de muestra n.
Al calcular el tamaño de muestra n, si la fórmula anterior no produce un
número entero, siempre debe aumentarse el valor de n al siguiente
numero entero mayor.
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n =[Z/E]²
El tamaño de la muestra no depende del tamaño de la población
(N); el tamaño de muestra depende del grado de confianza
deseado, el margen de error deseado y del valor de la desviación
estándar .
La duplicación del margen de error hace que el tamaño de la
muestra requerida se reduzca a la cuarta parte de su valor original.
Por otro lado, si se reduce a la mitad el margen de error se
cuadruplicará el tamaño de la muestra. Lo que esto implica es que
si queremos resultados más exactos, es preciso aumentar
sustancialmente el tamaño de la muestra.
Dado que las muestras grandes generalmente requieren más
tiempo y dinero, a menudo es necesario efectuar un trueque entre
el tamaño de la muestra y el margen de error E.
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
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n =[Z/E]²
Caso I.
Un economista desea estimar los ingresos medios durante el primer
año de trabajo de un graduado universitario que, en un alarde de
sabiduría, tomo un curso de estadística. ¿Cuantos de tales ingresos es
necesario encontrar si queremos tener una confianza del 95% en que la
media de muestra este a menos de US$500 dólares de la verdadera
media de la población? Suponga que un estudio previo revelo que,
para tales ingresos,  = US$6250.
DATOS:
N.C.=95% ===> Z=1.96
Queremos que la media de la muestra este dentro de un margen de
US$500 de la media de la población.
E=US$500
 =US$6,250

n = [(1.96 * 6250)/500]²=
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MEGASTAT
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Caso II.
¿Que tan grande se requiere que sea una muestra para que
proporcione una estimación del 90% del numero promedio de
graduados de las universidades de la nación con un error de 2000
estudiantes si una muestra piloto reporta que s=8,659?
Caso III.
Nielsen Media Research quiere estimar la cantidad media de
tiempo (en horas) que los estudiantes universitarios de tiempo
completo dedican a ver televisión cada día entre semana.
Determine el tamaño de muestra necesario para estimar esa media
con un margen de error de 0.25 horas (15 minutos). Suponga que
se desea un grado de confianza del 96%, y que un estudio piloto
indico que la desviación estándar se estima en 1.87 horas.
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¿QUE PASA SI SE DESCONOCE ?
1.- Podemos utilizar la REGLA PRACTICA DE INTERVALO.
En conjuntos de datos representativos, el intervalo del conjunto
tiene una anchura aproximada de cuatro desviaciones estándar
(4s), así que la desviación estándar se puede aproximar de la
siguiente manera:
desviación estándar  intervalo/4
  intervalo/4
Esta expresión proporciona una estimación burda de la desviación
estándar, si conocemos los puntajes máximo y mínimo.
Si
conocemos el valor de la desviación estándar, podemos usarlo para
entender mejor los datos, obteniendo estimaciones burdas de los
puntajes máximo y mínimo como se indica.
mínimo  (media) - 2 * (desviación estándar)
máximo  (media) + 2 * (desviación estándar)
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¿QUE PASA SI SE DESCONOCE ?
Caso I.
n =[Z/E]²
Si razonamos que los precios de los libros de textos universitario
típicamente varían entre US$10 y US$90 dólares.
Usted planea estimar el precio de venta medio de un libro de texto
universitario. ¿Cuantos libros de textos deberá muestrear si desea
tener una confianza del 95% en que la media de la muestra estará a
menos de US$2 dólares de la verdadera media de la población ?
DATOS:
  intervalo/4
  (US$90-US$10)/4  US$20
N.C.=95% ===> Z=1.96
E=US$2 dólares
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¿QUE PASA SI SE DESCONOCE ?
n =[Z/E]²
Caso II.
Boston Marketing Company lo acaba de contratar para realizar
una encuesta con el fin de estimar la cantidad media de dinero
que los asistentes al cine de Massachussets gastan (por película).
Primero use la regla practica del intervalo para hacer un estimado
burdo de la desviación estándar de las cantidades gastadas. Es
razonable suponer que las cantidades típicas varían entre US$3
dólares y unos US$15 dólares. Luego utilice esa desviación
estándar para determinar el tamaño de muestra que corresponde
a una confianza del 98% y a un margen de error de 25 centavos
de dólar.
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Si despejamos a "n" de la expresión del margen de error
E.
E = (Z) (pq/n)
E² = (Z)²(pq/n)²
E² = (Z)²(pq/n)
E²n = (Z)²(pq)
n = [(Z)²(pq)]/E²
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Cuando se puede obtener un estimado razonable de p
utilizando muestras previas, un estudio piloto o los
conocimientos de algún experto se utiliza la formula
anterior.
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Decisiones. Edición 2016. Pág. 110
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Cuando no se conoce el estimado puntual p:
n = [(Z)²* 0.25]/E²
Si no se puede conjeturarse un valor, puede asignarse el valor de 0.5 tanto a p
como a q, con lo que el tamaño de muestra resultante será al menos tan
grande como necesita ser. La justificación para la asignación de 0.5 es la
siguiente: el valor mas alto posible del producto p*q es de 0.25, y ocurre
cuando p=0.5 y q=0.5 como se puede observar en la siguiente tabla que usted
debe completar:
p
q
p*q
0.1
0.9
0.09
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
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Edición 2016. Pág. 110
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Caso I.
Las compañías de seguros se están preocupando porque el creciente uso de
teléfonos celulares esta teniendo como resultado un mayor número de
accidentes automovilísticos, y están considerando implementar tarifas más
altas para conductores que usan tales aparatos. Queremos estimar, con un
margen de error de tres puntos porcentuales, el porcentaje de conductores que
hablan por teléfono mientras conducen. Suponiendo que queremos tener una
confianza del 95% en nuestros resultados, ¿cuántos conductores deberán
encuestar?
a. Supongamos que tenemos un estimado de p basado en un estudio previo
que indicó que el 18% de los conductores habla por teléfono (basados en datos
de la revista Prevention).
b. Suponga que no tenemos información previa que sugiera un posible valor de
p.
SOLUCION:
a) DATOS:
n = [(Z)²(pq)]/E²
p=0.18 ; q=0.82
n = [(1.96)²(0.18*0.82]/(0.03)² =
N.F.=95% ==> Z=1.96
E=0.03 = tres puntos porcentuales
b) DATOS:
n = [(Z)²* 0.25]/E²
n = [(1.96)²* 0.25]/(0.03)² =
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Caso II.
Una compañía de comunicaciones esta considerando un
proyecto para prestar servicio telefónico de larga
distancia. Se le pide a usted realizar un sondeo de
opinión para estimar el porcentaje de los consumidores
que esta satisfecho con su servicio telefónico de larga
distancia actual. Usted quiere tener una confianza del
90% en que su porcentaje de muestra estará a menos de
2.5 puntos porcentuales del valor real para la
población, y un sondeo sugiere que el porcentaje en
cuestión anda alrededor del 85%. ¿Que tan grande
deberá ser la muestra?