Unidad_I_Numeros_enteros - Gimnasio Virtual San Francisco Javier

GIMNASIO VIRTUAL SAN FRANCISCO JAVIER
“Valores y Tecnología para la Formación Integral del Ser Humano”
UNIDAD I
NÚMEROS ENTEROS
COMPETENCIAS E
INDICADORES DE
DESEMPEÑO
•Identifica, representa y halla el valor
absoluto a números enteros
•Hace operaciones combinadas con los
números enteros
•Resuelve problemas con números
enteros
LOS NÚMEROS ENTEROS
Los números enteros son la unión de los números naturales y sus opuestos, los cuales son llamados los
negativos. Los números enteros no tienen decimales y son un conjunto que posee infinitos elementos.
Algunos ejemplos de este conjunto son:
0,-3, 7,-8, 2, 1514,-34567.
Al conjunto de los números enteros se le representa con la letra
. De esta forma, tenemos que:
= {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}
Matemáticas
Unidad 1
Representación gráfica de
Séptimo 1
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Los números enteros tienen propiedades muy similares al conjunto de los números naturales, por esto
haremos un recuento de las propiedades en los naturales y veremos su aplicación en el conjunto de los
enteros.
Orden en Z
Un número natural a es mayor que un número natural b si existe un número natural n que sumado con a
nos da .b Para dos números cualesquiera a y b Î N se pueden presentar una de las siguientes situaciones.
Tiene menor valor, por ejemplo, entre -4 y -8 el mayor número es -4 y el menor es -8. a es menor que b, a
es igual que b, a es mayor que b.
a < b, a = b, a > b
De igual manera ocurre con los números enteros, en los cuales se presenta la posibilidad de comparar
números positivos, los que se ordenan de igual forma que los naturales; es decir, podemos afirmar que
entre +8 y +4 el más grande es +8.
También podemos comparar números cuyo signo es negativo, en este caso, será más grande el número
que represente menor cantidad.
Cuando se comparan números de diferente signo siempre será mayor el número positivo, por ejemplo, el
mayor entre 2 y -8 es el número 2, ya que este es un número positivo.
Valor absoluto de un número entero
El valor absoluto de un número entero es este mismo número si el entero es positivo o cero, y es su
inverso aditivo si el entero es negativo. Se representa: | |.
Por ejemplo, el valor absoluto de -8 es 8 y se nota |-8| = 8.
Un número entero a es mayor que otro número entero b, si está a la derecha de b sobre la recta numérica.
Matemáticas
Unidad 1
En la recta numérica el valor absoluto es la distancia del punto cero al punto que representa al número
entero empleado, es decir, los signos + y - que preceden a los números enteros no son signos de
operación sino signos que indican la cualidad de ser positivos o negativos, y la posición sobre la recta
numérica, a la derecha o a la izquierda del cero respectivamente.
Séptimo 2
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Dados a y b ÎZ, solo puede ocurrir uno de los siguientes casos:



Que a sea mayor que b: a > b.
Que a sea igual que b: a = b.
Que a sea menor que b: a < b
Un número con valor absoluto
Un número entero a tiene mayor valor absoluto que otro b, si a está más alejado del origen de la recta que
b.
La relación de orden entre dos números no tiene en cuenta el valor absoluto de cada uno de ellos.
Por ejemplo,
-7 < +1 pero | -7| > |+1| ya que | -7| = 7
+6 > +3 y |+6| > |+3|
-5 < -2 pero |-5 | > |-2 | ya que | -5| = 5 y | -2| = 2
En consecuencia se puede afirmar que:


De dos números positivos es mayor el que tiene mayor valor absoluto.
De dos números negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.
OPERACIONES Y PROPIEDADES EN LOS Z
Adición
Si son de diferente signo se aplica la misma regla, luego se resta del mayor valor absoluto el menor y,
finalmente, se coloca el signo correspondiente al sumando de mayor valor absoluto.
Ejemplos:
Matemáticas
Unidad 1
Para sumar dos números Z del mismo signo se suman sus valores absolutos, y a la suma se les asigna el
signo común de los sumandos.
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Veamos la suma de algunos números enteros teniendo en cuenta las condiciones anteriormente citadas:
(+3) + (+8) = +13 ya que tienen ambos signo positivo.
(+3) + (-8) = -5 ya que tienen signos distintos, debemos restar los valores absolutos y colocar el signo del
mayor.
Propiedades de la adición en los enteros
 Conmutativa: para la adición en Z, el orden de los sumandos no altera el resultado.
 Si a y b Î Z, a + b = b + a
 Asociativa: para la adición en Z, la forma en que se agrupan los números enteros para sumarlos
no altera la suma.
 Si a, b, y c Î Z, (a+b) + c = a + (b+c)
 Modulativa: al sumar cualquier entero a con cero da como resultado el mismo entero a.
 Si a Î Z, a + 0 = a y 0 + a = a
 Al número 0 se le llama el módulo de la suma.
 Invertiva o anulativa: al sumar un entero con su opuesto el resultado es cero.

Si a Î Z, a + (-a) = 0
Sustracción
Para restar dos números enteros se suma el minuendo con el inverso aditivo del sustraendo, así:

La resta a - b es igual a sumar a con el opuesto de b, a - b = a + (-b)
No se cumplen todas las propiedades de la suma.
Ejemplos:
Veamos la resta de algunos números enteros teniendo en cuenta las condiciones anteriormente citadas:
(+3) - (+8) = (+3) + (-8) = -5
Matemáticas
Unidad 1
(+3) - (-8) = (+3) + (+8) = 13 ya que debemos sumar el opuesto de -8.
Séptimo 4
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Multiplicación
El producto de dos enteros del mismo signo se halla de la misma manera que en los números naturales, y
su signo es positivo.
El producto de dos enteros de diferente signo es un entero negativo, y se obtiene de la misma manera que
multiplicando números naturales.
El resultado de la multiplicación se llama producto.
Leyes de los signos
(+)•(+)=+
(+)•(-)=(- )•(-)=+
( - ) • ( +) = Ejemplos:
Veamos la multiplicación de algunos números enteros teniendo en cuenta las condiciones anteriormente
citadas y las leyes de los signos:
(+3) · (+8) = + 24 ya que ambos números tienen el mismo signo.
(-3) · (-8) = + 24 ya que ambos números tienen el mismo signo.
(+3) · (-8) = - 24 ya que ambos números tienen distinto signo.
(3) · (+8) = -24 ya que ambos números tienen el distinto signo.
Propiedades de la multiplicación en los enteros
Conmutativa: el orden de los factores no altera el producto.
 Si a y b Î Z, a · b = b · a

Asociativa: la forma en que se agrupan los factores no altera el producto.
Matemáticas
Unidad 1

Séptimo 5
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 Si a, b, y c Î Z, (a·b)·c = a·(b·c)

Modulativa: al multiplicar cualquier entero a con 1, el producto es el mismo entero a.
 Si a Î Z, a·1 = a y 1·a = a
Al número 1 se le llama el módulo de la multiplicación.

Distributiva:
 Si a, b y c Î Z, a·(b + c)=(a · b)+(a · c)
División
Se define como la operación inversa a la multiplicación, en la cual se busca uno de los factores conociendo
el otro factor y el producto.
 El cociente de dos enteros de igual signo es un entero positivo.
 El cociente de dos enteros de diferente signo es negativo.
Ejemplos:
Veamos la división de algunos números enteros teniendo en cuenta las condiciones anteriormente citadas
y las leyes de los signos:
(+24) / (+8) = +3 ya que ambos números tienen el mismo signo.
(-24) / (-8) = +3 ya que ambos números tienen el mismo signo.
(+24) / (-8) = -3 ya que ambos números tienen distinto signo.
(-24) · (+8) = -3 ya que ambos números tienen el distinto signo.
Un polinomio aritmético es una expresión formada por adiciones y sustracciones de números enteros.
 Resolviendo paréntesis
Matemáticas
Unidad 1
Polinomios aritméticos
Séptimo 6
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Para resolver polinomios aritméticos con diferentes signos de agrupación se comienza resolviendo los
paréntesis más internos y siguiendo en orden hacia afuera.
Cuando se usan signos de agrupación se quiere indicar que las cantidades que encierran representan un
solo término; se utilizan tres clases de signos de agrupación, los cuales tienen el mismo significado y uso:




Llaves: {....}
Corchetes angulares: [.....]
Paréntesis: (...)
La ley de los signos
Signos antes de paréntesis
Orden para desarrollar los signos de
agrupación
+a(a+b-c) = a+b-c
-(a-b+c) = -a+b-c
{[( )]}
Partiendo del signo interno de agrupación
hasta llegar al externo
Se debe tener en cuenta cuando se trabaja con signos lo siguiente:
Cuando el paréntesis va precedido del signo +, se suprime el paréntesis dejando las adiciones del interior
con su signo.
Cuando el paréntesis va precedido del signo -, se aplica el concepto de multiplicación, suprimiendo el
paréntesis y cambiando los términos del interior del paréntesis por sus inversos.
Ejemplo: (+3) + (-5) + (-4) - (-2) se escribe 3 - 5 - 4 + 2.
-2 + {3 - [4+2-1]} se escribe -2 + {3 -4 -2 +1} = -2 +3 -4 -2 +1
Múltiplos y divisores en z
El concepto de múltiplo de un número natural se amplía tomando la unión de los múltiplos del número con
el de los opuestos en Z.
Matemáticas
Unidad 1

Séptimo 7
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Un número entero a es múltiplo de otro número entero b si existe un número entero n tal que a = b. n.
Un número entero a es divisor de otro número entero b si existe un número entero n tal que a = b ¸ n.
Si p es un número primo, sus divisores son 1, -1, p y -p.
Para saber si un número es primo basta con dividirlo entre los números primos menores que este, hasta
encontrar un cociente menor que el divisor. Si ninguna división es exacta, el número dado es primo.

Máximo común divisor
Los divisores comunes de dos o más números enteros se encuentran en la intersección de los conjuntos
de divisores de cada uno de los números.
El mayor de los divisores comunes de dos o más números enteros recibe el nombre de máximo común
divisor, y se nota:
Mcd (a, b,) = d para a, b. Î Z
Ejemplo:
Encontrar el mcd entre -6 y 4.
Los divisores de -6 son {-6,-3,-2,-1, 1, 2, 3,6}
Los divisores de 4 son {-4,-2,-1, 1, 2,4}
La intersección de los conjuntos es {-2, -1, 1,2} luego el mcd = 2.
Los múltiplos comunes de dos o más números enteros se encuentran en la intersección de los conjuntos
de múltiplos de cada uno de los números.
El menor de los múltiplos comunes de dos o más números enteros recibe el nombre de mínimo común
múltiplo, y se nota: mcm (a, b,...) = m para a, b, ... m Î Z.
Encontrar el mcm entre -6 y 4.
Los múltiplos de -6 son {...-12,-6, 6, 12, 18, 24, 30,36,...}
Matemáticas
Unidad 1
Ejemplo:
Séptimo 8
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Los divisores de 4 son {...-8,-4, 4, 8, 12,16,...}
La intersección de los dos conjuntos es {0,12,..} luego el mcm = 12.
POTENCIACION DE NÚMEROS ENTEROS
Si a es número entero y un número natural, se define:
Los términos que intervienen en la potenciación son: la base, el exponente y la potencia.
La base es el factor que se repite, y puede ser positiva o negativa.
El exponente indica las veces que se repite la base, y puede ser positivo.
La potencia es resultado de realizar la operación.
Ejemplo: encontrar el resultado de las siguientes potencias.
(-3)2 = (-3) (-3) = 9
42 = 42 = 16
La potenciación de números enteros, como para los números naturales, satisface algunas propiedades que
facilitan la simplificación de los resultados.
Cociente de potencias de igual base
Si se tiene un cociente de potencias de igual base, se escribe la misma base y como exponente se escribe
la diferencia de los exponentes.
Potencia exponente de un producto
Potencia de una potencia
Si se eleva una potencia a otra potencia, se escribe el producto de los exponentes.
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Si se eleva un producto a un exponente, la operación equivale al producto de cada factor elevado al mismo
exponente.
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La combinación adecuada de estas propiedades facilita la simplificación de expresiones aritméticas con
exponentes.
RADICACIÓN DE NÚMEROS ENTEROS
Si a y b son números enteros, y n es número natural, entonces la raíz n-ésima de a es b, si y solo si b = a.
Los términos que intervienen en la radicación son el índice (n), la cantidad subradical (a) y la raíz (b).
Existe una relación inversa entre la radicación y la potenciación, así: el índice de la raíz es el mismo
exponente de la potenciación correspondiente. La cantidad subradical es la misma potencia, y la raíz es la
misma base.
Cuando un número entero se eleva a la potencia 2, se obtiene otro número que se llama cuadrado
perfecto.
El cuadrado perfecto de un número entero es igual al cuadrado opuesto.
El cuadrado de un número entero es siempre positivo, los números enteros negativos no tienen raíz
cuadrada, pues no hay en Z ningún número elevado al cuadrado que sea negativo.

Operaciones binarias
Las operaciones binarias estudiadas hasta ahora cumplen ciertas propiedades, dependiendo del conjunto
numérico en el cual se opera.
Dado A un conjunto no vacío y una operación, se dice que A X A -- A es una operación binaria sobre A si
(a, b) Î A X A y a * b = c ÎA.
La operación es binaria porque se combinan dos elementos para realizarla.
La operación puede ser adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación, radicación o
logaritmación.
Propiedad clausurativa
También se llama ley de composición interna porque implica que el resultado de operar dos elementos de
un conjunto es otro elemento del mismo conjunto.
Matemáticas
Unidad 1

Séptimo 10
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Dado A un conjunto no vacío y una operación binaria, se dice que es operación clausurativa si:
A X A ---A
(a, b) ---a * b = c.

Propiedades asociativa y conmutativa
La operación de tres o más elementos de un conjunto permite verificar la propiedad asociativa. El orden en
que se operen los elementos permite verificar la propiedad conmutativa.

Propiedad asociativa
Dado A un conjunto no vacío y una operación binaria, se dice que es operación asociativa si para a, b, c ÎA
se tiene que a *(b * c) = (a * b) *c.

Propiedad conmutativa
Dado un conjunto no vacío y una operación binaria, se dice que es operación conmutativa si para (a, b) ÎA
X.
A se tiene a*b = b * a.

Propiedades modulativa e invertiva
La propiedad invertiva para una operación binaria depende de la existencia de un módulo para la misma
operación.

Propiedad modulativa
Dado A un conjunto no vacío y una operación binaria, se dice que es operación modulativa si existe e Î
A tal que que e * a = a * e = a para todo a ÎA.
Al elemento e se le llama módulo, elemento neutro o idéntico para la operación que se defina. Para que e
sea módulo de la operación, debe dejar invariante a cualquier elemento tanto por la derecha como por la
izquierda.
Propiedad invertiva

Dado un conjunto A no vacío y una operación binaria, se dice que es operación invertiva si para a ÎA existe
a´Î A tal que (a,a´) ÎA X A implica a * a´= a´ * a = e.
Matemáticas
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
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
Propiedad distributiva
La propiedad distributiva es la única que estudia el comportamiento de una operación con respecto a otra
en el mismo conjunto.
Dado un conjunto A no vacío y dos operaciones binarias + y *, se dice que * es distributiva respecto de la
operación + si se tiene que para a, b, c ÎA se cumple a *(b + c) = (a* b) + (a *c).
La propiedad uniforme estudia la conjugación de una o varias igualdades en un conjunto, con la operación
binaria que se defina.
Dado un conjunto A no vacío y una operación binaria, se dice que A con la operación * cumple la propiedad
uniforme para a, b, c Î A si dado que a = b se tiene que a * c = b * c.
Esta propiedad se enuncia de dos maneras equivalentes en el conjunto Z con las operaciones +, - , · y ¸.
Si a los dos miembros de una igualdad se suma, resta, multiplica o divide por una misma cantidad, se
conserva la igualdad. Dos igualdades en los números enteros se pueden sumar, restar, multiplicar o dividir
miembro a miembro y la igualdad no se altera.

Propiedad de monotonía
La propiedad de monotonía estudia la conjugación de una o varias desigualdades, con la operación binaria
se define.
Dado un conjunto A no vacío y una operación binaria, se dice que A con operación binaria cumple la
propiedad de monotonía para a, b, c, ÎA, si a < b implica a * c < b * c.
Esta propiedad se enuncia de dos maneras equivalentes en el conjunto Z con las operaciones +, -:
Si a los dos miembros de una desigualdad se suma o resta una misma cantidad, se obtiene una
desigualdad del mismo sentido.
Dos igualdades del mismo sentido se pueden sumar o restar miembro a miembro, y se obtiene una
desigualdad del mismo sentido.
Aplicaciones de las propiedades
Para resolver polinomios aritméticos se sigue el siguiente procedimiento:
1. Se resuelven primero los paréntesis internos de la expresión.
2. Se aplica la ley clausurativa.
Matemáticas
Unidad 1

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Matemáticas
Unidad 1
3. Los paréntesis precedidos de signos menos se destruyen cambiando los signos de los términos de su
interior.
4. Se suman los términos positivos y se les resta la suma de los términos negativos.
Teniendo prioridad las multiplicaciones y divisiones, y luego las sumas y restas.
Séptimo 13