Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato I.E.S. “Ramón Giraldo” FUNCIONES CONCEPTO de función y elementos Una función real de variable real es una correspondencia de un conjunto D en el conjunto de los números reales , es decir, una ley que a cada valor del conjunto D asigna un único número real. La función f de D en se simboliza así: f :D x f x El conjunto D recibe el nombre de dominio de la función, y se representa por Dom f , y el conjunto de los transformados mediante f recibe el nombre de recorrido o imagen de la función, y se representa por Img f : Dom f x : f x tiene sentido Img f valores que toma la función y / existe al menos un x D : y f x Las funciones también se suelen escribir en la forma y f x , y se dice que x es la variable independiente e y la variable dependiente o función. Dos funciones f y g son iguales, f g , cuando Dom f Dom g y f x g x x Dom f . Geométricamente, una correspondencia es una función cuando la gráfica de la correspondencia corta a cada recta vertical en un único punto. FUNCIONES ALGEBRAICAS Funciones polinómicas Son del tipo f x A x donde A x es un polinomio. Dom f Funciones racionales A x donde A x y B x 0 son polinomios. B x Dom f x : B x 0 x : B x 0 Son de la forma f x Funciones irracionales Son funciones en las que normalmente su expresión algebraica viene dada por una raíz. Si f x k g x x : g x 0 si el índice de la raíz es par Dom f si el índice de la raíz es impar Dom g Funciones definidas a trozos Cuando una función se define utilizando más de una expresión algebraica, se dice que está definida a trozos. Su dominio variará dependiendo de las expresiones algebraicas de los trozos. Cipri Departamento de Matemáticas 1 Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato I.E.S. “Ramón Giraldo” OPERACIONES con funciones ■ Función suma f g x f x g x x Dom f Domg Propiedades: (1) Conmutativa: f x g x g x f x (2) Asociativa: f x g x h x f x g x h x (3) Elemento neutro: f x 0 x f x donde 0 x 0 (4) Elemento opuesto: f x f x 0 x ■ Función producto fg x f x g x x Dom f Dom g Propiedades: (5) Conmutativa: f x g x g x f x (6) Asociativa: f x g x h x f x g x h x (7) Elemento neutro: f x I x f x donde I x 1 1 (8) Elemento simétrico: f x I x f x (9) Distributiva: f x g x h x f x g x f x h x ■ Función cociente ■ Función compuesta f f x x g x g f x : g x 0 g x f g x (se lee g compuesta con f ) Propiedades: (1) Asociativa: h g f x h g f x (2) Elemento neutro: f I x I f x f x (3) Elemento simétrico: f f 1 x f 1 f x I x La función f 1 recibe el nombre de función inversa1 de f . o Cálculo de la función inversa: a) Expresar la variable y en función de la variable x . b) Despejar la variable x de la igualdad anterior con el fin de hallar la expresión de x en función de y . c) Intercambiar las variables, ya que cualquier función se expresa siempre a partir de la variable x . d) Realizar la comprobación. Geométricamente, si existe la función inversa, su gráfica se obtiene tomando la simétrica de la gráfica de la función respecto de la bisectriz del primer y tercer cuadrantes. 1 1 (la función recibe el nombre de función recíproca de f , aunque también es usual en la f f 1 bibliografía que llamen función recíproca a f ) 1 ¡Alerta! f 1 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 2 Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato I.E.S. “Ramón Giraldo” MONOTONÍA (crecimiento, decrecimiento), máximos y mínimos relativos. Sea f : D una función. Se dice que f es a) estrictamente creciente sii x0 , x1 D : x0 x1 se tiene que f x0 f x1 b) creciente sii x0 , x1 D : x0 x1 se tiene que f x0 f x1 c) estrictamente decreciente sii x0 , x1 D : x0 x1 se tiene que f x0 f x1 d) decreciente sii x0 , x1 D : x0 x1 se tiene que f x0 f x1 e) constante sii x0 , x1 D : x0 x1 se tiene que f x0 f x1 Una función es estrictamente monótona sii es estrictamente creciente o estrictamente decreciente, y es monótona si es creciente o decreciente. Diremos que f tiene un máximo relativo en x0 D sii existe un entorno abierto2 de x0 , E x0 tal que f x f x0 x D E x0 . Diremos que f tiene un mínimo relativo en x0 D sii existe un entorno abierto de x0 , E x 0 tal que f x f x0 x D E x0 . Geométricamente una función tiene un máximo relativo cuando en ese punto la función pasa de ser creciente a ser decreciente y tiene un mínimo relativo cuando pasa de ser decreciente a ser creciente. SIMETRÍAS (funciones pares e impares) Sea f : D una función. Se dice que f es x D a) par o simétrica respecto del eje OY sii f x f x x D b) impar o simétrica respecto del origen de coordenadas f x f x x D sii x D y Geométricamente una función es: a) par si al doblar la gráfica respecto del eje OY las ramas positiva y negativa de la función coinciden. b) es impar si al girarla 180º vuelve a coincidir con ella misma. PERIODICIDAD (funciones periódicas) Una función f : D es periódica de período T 0 sii se cumplen las siguientes dos condiciones: 1) f x T f x x D 2) T 0 es el menor de los números que cumple 1). CONTINUIDAD (funciones continuas) 2 Un entorno abierto de x0 es un intervalo de la forma x 0 , x 0 para algún 0 . Lo representaremos por E x0 o E x0 , si necesitamos precisar el radio, , que tiene. Cipri Departamento de Matemáticas 3 Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato I.E.S. “Ramón Giraldo” Definición no rigurosa3: Diremos que una función f : D es continua en un punto x0 D sii en un entorno de dicho punto los puntos próximos a x0 tienen imágenes próximas a f x 0 en otro entorno de dicho punto. En el caso de que f sea continua en todos los puntos de un subconjunto S D , se dice que f es continua en S. ACOTACIÓN (funciones acotadas). Máximo y mínimo absoluto. Una función f : D está: a) acotada sii M 0 : f x M x D b) acotada superiormente sii K : f x K c) acotada inferiormente sii k : k f x x D x D Como consecuencia de lo anterior se tiene la siguiente caracterización: f acotada f acotada superior e inferiormente Geométricamente, el hecho de que una función esté acotada (por un número M 0 ), se traduce en que su gráfica está entre las rectas y M e y M Si f está acotada superiormente, el número M recibe el nombre de cota superior. A la menor de las cotas superiores se le llama supremo de f en D. Si el supremo es alcanzado por la función f, es decir, x1 D : f x1 es el supremo, entonces el número f x1 recibe el nombre de máximo absoluto de f en D. Si f está acotada inferiormente el número m recibe el nombre de cota inferior. A la menor de las cotas inferiores se le llama ínfimo de f en D. Si el ínfimo es alcanzado por la función f, es decir, x 0 D : f x0 es el ínfimo, entonces el número f x 0 recibe el nombre de mínimo absoluto de f en D. Teorema de WEIERSTRASS: Si f : a, b es continua, entonces f tiene máximo y mínimo absolutos. CURVATURA (funciones convexas y cóncavas). Puntos de inflexión Daremos una definición4 basada en la interpretación geométrica: Una función f : I , donde I es un intervalo, es convexa5 sii para cualesquiera a, b I con a b la gráfica de f restringida al intervalo a, b “se halla situada por debajo” del segmento de extremos a, f a , b, f b . 3 En el tema siguiente daremos una definición rigurosa de función continua, que involucra límites. ¡¡Ojo!! Al consultar la bibliografía es posible encontrar libros donde llaman función cóncava a lo que nosotros llamamos función convexa. 4 Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I 4 Resúmenes de Matemáticas para Bachillerato I.E.S. “Ramón Giraldo” Así, las funciones convexas son aquellas tales que el recinto del plano que queda por encima de su gráfica es un conjunto convexo. Diremos que f : I , donde I es un intervalo, es cóncava cuando f sea convexa. Una función tiene un punto de inflexión, cuando en dicho punto la función pasa de ser convexa a ser cóncava o viceversa. En el primer caso se habla de punto de inflexión convexo-cóncavo y en el segundo de punto e inflexión cóncavo-convexo. FUNCIONES INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS Una función f : D es inyectiva sii x, y D si f x f y x y equivalentemente x, y D si x y f x f y . Es decir, si elementos distintos de D tienen imágenes distintas en . o Geométricamente, una función es inyectiva si cualquier recta paralela al eje OX sólo corta a la gráfica de la función en un único punto. Algunas propiedades importantes son las siguientes: 1) Si f : D es estrictamente monótona, entonces f es inyectiva. 2) Si f : D es inyectiva, entonces f 1 : f D D . 3) Si f : D es continua e inyectiva, entonces f es estrictamente monótona. Una función f : D R es sobreyectiva sii x R y D : f x y , es decir, cuando Img f R . Es decir, si todo elemento de R es imagen de alguno de D . Diremos que f : D es biyectiva sii es inyectiva y sobreyectiva. 5 La definición formal de función convexa es: Una función f : I , donde I es un intervalo, es convexa sii para cualesquiera x1 , x2 I con x1 x2 y para todo Cipri 0,1 se verifica que f x1 1 x2 f x1 1 f x2 . Departamento de Matemáticas 5