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ASOCIACION MEXICANA DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
AlESA DIRECTIVA PARA EL PERIODO 1963-1964
Presidente : Guillermo Hernhndeí! Moedano.
Vire-Presidente: Jesiis Rasurto García.
Secretario: Alfonso Cornejo Toledo.
Tesorero: Alfonso Hernlíiideí! Osuiia.
Vocal de Petróleo: Armando E p í a Huerta.
Vocal de Minas: Ernesto Lbpez Ramos.
Vocal de Ingeniería Civil: Enrique del Yalle T.
Editor: Vladimir A. Olhovicli.
Presidente Directivo Anterior : Santos Figueroa Huerta.
Este Boletín se publica cada trrs meses
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se distribii>-e gratuitamente a los socios.
El precio de subscripción para no socios es de $150.00 m.’n al aTio y
de $50.00 m/n número suelto.
Para todo asunto relacionado con el Boletín: manuscritos, asuntos editoriales, subscripciones, descuentos especiales a bibliotecas públicas o de Universidades, publicaciones,
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ING. VLADIMIR A. OLHOVICH
Av. Juárez No. 97 Despacho 302.
Teléfonos 18-41-41 y 12-89-70
México 1, D. F.
Impreso por Abastecedora de Impresos, S. A. - Dr. Jiménez Xo. 352 - Jlcxico 7 , D. F.
Teléfono 19-56-75 con 3 líneas.
C O R R E L A C I O N
E S T A D I S T I C A
í Aplicada a la Interpretación Sismológica) *
Por el Ing. José Luis Orozco y Jiméner""
R E S U hl E N
:
Se plantea el prohlema de la interpretación sismológica
con relación a las posibilidades de aplicar en la solución
de algunos de sus aspectos la teoría de la probabilidad,
mpdiante el análsis harmónico grrieralizado : periódico.
aperiódico y fortuito. Se presentan algunos ejemplos
de medición de funciones de correlación d e la señal sismológica y de separación de sus componentes periódicos
y fortuitos. Se postulan conclusiones.
1.-ANTECEDEKTES
En la húsqueda permanente de una mejor información destinada a la
iiitrrpretación sismológica se ensayan. constantementc. diversas técnicas cuya
finalidad principal consiste en aumentar la relación señal ruído.
Este es un problema que se ha examinado rn estudios e\hau>ii\os realizados soLre comunicaciones electromagnéticas con resultados positi\ os. meiliantc el empleo de sistemas de correlación estadística aii\iliados por los
modernos métodos y equipos de cálculo.
.'- Presentado en l a Convención d e Geofísicos e n Tampico ( 2 1
bre d e 1963).
..---Gerencia d e Exploración, Petróleos Mexicanos
- 23
d e Noviem-
98
ASOCIACION DI.: GEOFISICOS DE EXPLORACION
En forma análoga. desde hace algunos aiíos se ha intentado emplear
técnicas semejantes en el campo de la sismología.
P o r su extraordinaria importancia. en el presciite trahajo se pretende
examinar algunos aspectos de tan interesante cuestión.
11.-PROPAGACIOIV
SISMOLOGICA
El examen más somero de un sismograma revela la existencia de un
conjunto de eventos que pueden ser agrupados cn atericibii a una o varias características comunes entre sí. determinadas genéricamente. por las funciones
de tiempo. amplitud y fase correspondientes.
Si se toma cn curnta que cada traza en el sismograma representa una
secuencia de la propagación elástica de la energía proveniente de la conmoción sísmica, expresada en forma de un proceso ondulatorio, es de suponerse,
y así sucede en realidad. que una combinación de varias trazas arregladas de
tal manera que registren oscilaciones sucesivas en un plano, tal como ocurre
en una línea d e detección. registren eventos análogos ideritificahles por su aliiieamierito en tiempo y su forma o carácter.
Estos eventos representan en realidad. perturbaciones operadas en el
proceso normal de propagación cuando éste sufre la acción de anisotropías
representadas por rambios bruscos registrados en la densidad física y en 10s
parámetros elásticos característicos de las condiciones estratigráficas y estructurales del medio en que aquélla se realiza.
De esta manera. el conjunto de mcntos contenidos en una sección de
sismogramas. como expresiones invariantes de la referidas condiciones densimétrico elásticas, para una transformación determinada de coordenadas, representada en este caso por la transferencia de la energía elástica expresada
en valores d e tiempo, amplitud y fase. equivale a un cuadro integral de la
r e c c i h geológica respectiva.
Cuando en la interpretación de información sismológira de esta iiaturaleza se tnisca destacar la que proviene dc las condiciones estructurales con sub
aiiiwtropías continuas producidas por la estratigrafía sedimentaria. e1 resto
dr aquella delwrá w r eliminada por su carácter perturhador.
CORRELACION ESTADISTICA
99
Dicha información espúrra. a la que genéricamente se le ha denominado ruído. puede estar formada por ondas sismológicas coherentes eti las que
es posible distinguir alineación en tiempo y carácter, o por ondas incoherentes desprovistas de tales atributos.
Ambos tipos de olidas. es decir, las provenientes de las anisotropías O
reflectores denominadas señal y las que tienen su origen en otras causas al
superponerse o combinarse dan origen a las ondas registradas en el sismogrania.
En estas condiciones. la manera aparente de destacar a la señal consiste en rrducir td ruído mediante el empleo de medios y procesos descriminatorios llasados. por lo general. en ciertas difermcias estructurales existentes
entre las ondas que forman la siñai y las que ocasionan el ruído.
En efecto. aunque tanto la señal como el ruído están formados de procesos ondulatorios de carácter transitorio. los límites paramétricos respectivos,
son diferentes para cada clase de ondas, de manera que. por ejemplo. la velocidad
propagación. amplitud y frecuencia de las ondas de ruído son diferentes a las de la señal.
d c h
Con liase r n estas difcrencias se han ideado sistemas que permitrn la
separación de unas y otras ondas, discriminando a las de ruido para destacar
a aquéllas que forman la señal.
Entre estos sistemas figura el de la corrciación estadística por lo que
se refiere a la eliminación del ruído incoherente. sujeto al azar y. por consecuencia, a las leyes de la probabilidad.
111.-EL
PROBLEMA
En la Fig. 1; se muestra la reproducción de un sismograma común y
c.orriente como un caso de la clase de material que tw múltiples ocasiones
tictic que ser interpretado. En este sismograma no es posil)le drstacar. a primera vista. los alineamientos ondulatorios que puedan ser identificados como
r(~f1ejos.aunque se presume que éstos puedan existir eiiculiiertos por las ondas
iii-tor$ioiiadas contenidas en el mismo. En vstas coiidicioiirs. c.1 problema de
la c~)rrrlac.ióiiestadística consiste en tratar de drstacar los wrdaderos reflejos.
-i luc tia>-. cmpleando las técnicas adecuadas.
ASOCI.4CION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
100
I
FIG. 1
Consecuentemente con dichas técnicas. el sismograma en cuestión representa u n coiijunto de eventos que pueden ser identificados y clasificados de
conformidad con algunas características que le sean comunes en las cuales,
implícitamente están esta1)lecidns las relaciones dr caiisalidad específica que
los rigeii y. mediante la aplicación adecuada de aquéllas. desdoblarlos eri su5
componentes genéricos de ruído y senal.
Si para el efecto se niiden los valores de amplitud a intervalos de tiempo regulares en todas o algunas de sus trazas con respecto a u n nivel de referencia determiiiaclo, se suman algehraicamente los \ alores leídos para obtener
la media estadística.
Si posteriormente esta media particular o general r s rrstada de cada
uno de los lalores de amplitud leídos y la difermcia. postila o negativa rnultiplicada p a r a cada caso por el interl alo de tiempo correspondiente. se obtiene
el porcentaje de probal)ilidad de error (Ir dicho valor. I)c psta manera. cada
1 alor de amplitud leído tendrá su correspondiente probaldidad de error y formará parte de una distribución discreta de la prohabilidad. cuyos valores 1írnites serán O y 1.
La disirilmcióii discreta de la prohabilidad puede escrihirse, como sigue:
lore
Para e1 caso de una distrihucióri continua d e la probabilidad, los valos puntos x, deberán expresarse en términos de una función w ( x )
t‘ti
CORRELACION ESTADISTICA
101
llamada comúnmente de densidad de la probabilidad en el citado punto, por
lo que resulta:
D (x) = J +z
- , w (x) d x . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
en la inteligencia de que w (x) dx, representa la probabilidad de que una
variable fortuita X , tenga un valor x en el rango (x, x,
dx) , y se le llama, a
menudo, el elemento de la probabilidad de x.
+
Para una distribución continua w (x) representa a la función normal
de frecuencia, de manera que puede escribirse, como sigue:
1
- x”2
w (x) = d ___ e
2?r
................
; $
advertido de que la distribución de la probabilidad resulta igual a :
1
D (x)
__
X
[1
+ ___ , erf
(x) ] . . . . . . . . . . . . . . . . . ; 5
dT-
2
Ahora hien. para los casos de las distribuciones continuas, la función
de X posee una derivada D’ íx) = w (x), llamada función de frecuencia o
distribución de densidad de X , expresada en términos de los valores x que la
variable fortuita X puede asumir en un ensayo del experimento E .
Esta función de distribución de
Q
( x i == J(z)
X , puede escribirse:
dD (x) . . . . . . . . . . . . . . . . : 6
y? para una función g de X ,
Z
rri la
(U, b )
= J:g
(x, dD ( x i . . . . . . . . . . . . . . . . ; 7
inteligencia de que, para el caso de una distribución continua. esta úI-
t i rnd cuiiación, puede escribirse :
102
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
Z
(U, b )
= ja g (x) w (x) d x
................
; 8
Ahora bien, si la distribución D (x) de la probabilidad se normaliza
a 1 dentro de los límites de
y - el infinito, y la densidad de la probabilidad w (x) es tomada como función no de x, sino de (x - xo), de manera
que pueda escribirse:
+
S m r n 6 , (x - x,) d x = 1
................ ; 9
resulta, cuando Ax, se aproxima a O, un tipo de función que Dirac llamó función Delta, cuyas características fundamentales son :
a
lim, 0 ,
(
) =S
x-x'
; Cuando 6, = __ [ a '
(x-xl)
Sena
-l
1
(x-xl)
o bien: Sa =
o Cuando: Sa=
(x-x1)2]
S_.
rn
.10
- t 2 r j x t
tu
o bienS,e
- (x-xl)/a
e
~
a
7T i x - x l )
así como :
+
77
a-o
e
d t = S
(x-o)
f 2rr j í x - x l )
dt=S
(x-x')
Ahora, si w ix) representa a una función de densidad de la probahilidad de una función fortuita X , la que puede ser continua, discreta o mixta,
se puede escribir:
g (-U)= E [ g (-Y) ] =
g Ix) w
(.Y, d.1
..........
; 11
CORRELACION ESTADISTICA
103
para el medio ponderado, valor medio o probabilidad de la función g ( x ) con
respecto a la función w ( x ) de distribución de densidad, en la inteligencia de
que de esta clase de valores medios el más importante es, sin duda, el representado por la función característica, mismo que puede expresarse, como sigue :
en la inteligencia de que, por otra parte, se puede escribir:
íx') 6 (x'
- X)
d x ' = w ( x i . . . .13
de donde resulta que la función característica F , ( p ) y la función de distrihución de la densidad w i x i , forman un par transformado de Foiirier. Pero
si se toma en cuenta que la ecuación intermedia de la igualdad (13) rcpresenta al Trorema de la lntegral de Fourier, resulta que éste aparece como un
caso del uso de las funciones Delta de Dirac.
Las condiciones establecidas en las igualdades (12) y ( 1 3 ) condiiren
al Teorema de Wiener para la autocorrelación. En efecto, de acuerdo con e1
mismo. se tiene: La función de autocorrelación de una función fortuita y rl
t q c c t r o de la densidad de potencia de la misma se encuentran relavionadas
(mire sí por una transformación cosinusoidal de Fourier. como sigue:
4
1
1 (7) = f;m@ll
a
i w ) Coa w
T
d w . . . . . . . . . . . . 12
1o1
A4SOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
1
y
@li
(w) = J:
27r
m 4 ~ ~( r ) Cos
w r d T
... . . .
15
El supuesto principal contenido en el Teorema de Wiener consiste en
la existencia de la función de autocorrelación y la comunidad de la misma a
todas las funciones miembros del conjunto considerado, lo que implica la condición de que cada miembro del conjunto tiene el mismo espectro de densidad
de potencia. independientemente de la forma ondulatoria de aquél. Esta es
una condición muy importante para las consideraciones que se formularán posteriormente.
Ahora bien, si analógicamente a la Función Característica F , ( p )
de las igualdades (12) y ( 1 3 ) se les identifica con la función de autocorrelación + 1 1 ( r ) ,y a la Función de Distribución de Densidad w ( x ) , con el espectro de densidad de pontencia Q11 ( O ) , se llega a la conclusión de que la
función de autocorrelación equivale a una función de probabilidad, por lo
que, de acuerdo con el Teorema de la Integral de Fourier, se puede escribir:
en el entendido de que:
y, por consiguiente:
iw
Fii (w) e
dw
. . . .. . . . . .....
; 18
En estas condiciones se puede proseguir el análisis del problema de la
correlación estadística aplicada a la sismología, como sigue :
CORRELACION ESTADISTICA
105
Si las variables independientes x e y representan a las funciones de señal y ruído respectivamente, la información recogida puede ser considerada
como una función de ambas. misma que puede expresarse por: f (x,y ) , cuyas
traiisforniadas de Fourier con respecto a x e y , son:
; 19
y combinando a ambas ecuaciones: resulta:
Pero :
y. en forma análoga:
: - # r lo que. de estas dos últimas ecuaciones, resulta:
ASOCIACION 1)E GEOFISICOS DE EXPLORACION
1o6
Ahora bien, para el caso de que tentativamente se pueda escribir:
r = (x’
+ y2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25“
resulta :
e
i
i t x
+ y Y) d x d y . . . . . . . . . . . . 25b
Si en esta integral se hacen las siguientes substituciones:
entonces, puesto que :
.........................
27
COS ( 0 - @) .......................
28
d x d y =r dr d 0
.f x
+ y y =rP
resulta que la integral se transforma en:
CORRELACION ESTADISTICA
107
y, puesto que:
d$ = 2rr J , ( p i )
...........
; 30
se puede escribir:
F (P)=
s:
r j (r)
Jo
i p r ) dr . . . . . . . . . . . ; 31
o bien:
pF (p)
Jo
i p r ) d p . . . . . . . . . . . . . . ; 32
cuya transformada de Hankel viene expresada por:
a
F (P)= ___ Ji
(a
r)
....................
para O
<
r
< a . ..;
r
en donde:
r = Valor límite ahsoluto del dohle del espectro
complejo = í a ;
+
b:)'/2
33
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
108
Y9
F (P)
= Función de correlación rorrespondiente.
Por otra parte, la distrihurióii de la prolxhilidad equivale a la transformada de un espectro de potencia, según se demostrará a continuación:
La función característica de la densidad de la prohaldidad P
viene expresada por :
jtx
6
(x),
..............
31
es decir, la función característica es igual a la transformada de Fourier de la
función de densidad de la prohahilidad; en la inteligencia de que se trata de
una transformada especial dehido a que la función hajo transformación es
0 0 , e igual a 1.
real, no negativa, con una integral sobre - 00 ,
+
Por otra parte la función de la densidad normal viene expresada por:
Ahora bien, se puede escribir:
-
x’/2
0 2
dy =1
cuando:
..........
36
CORRELACION ESTADISTICA
A = l /
\/2rra
......................
1o9
;37
de esta manera, cam1)iando a coordenadas polares:
cuando :
r2
= xz
+ y'
....................
; 39
lo que significa. simplemente que la función de la densidad normal representa el caso límite en el que:
por lo que:
condición que ocurre, cuando:
8
-
4 ..................
; fk2
decir, cuando la autocorrelación es máxima. condición que solamente puede
ocurrir en los espectros de potencia de los reflejos.
ASOCIACION DE GI<OFISIC:OS DE KXPLORACION
110
IV.-COrYCL~~SI ONES
A guisa de conclusiones. de lo aritrriormrntr expuesto se puede postular el siguiente método para la r o r r e l a r i h rstadístira aplicada a la sismología :
1ro.-Detrrminar las curvas d r la DISTRIRCCION NORMAL DE LA
DENSIDAD para rada iina de las trazas del sismograina, que se hayan seleccionado. para lo rual, previamente se halrrán determinado :
valor medio de m, de la variable fortuita
a).-El
5
aplicando la
ecuación :
-
1
-
-
ítl + t2 + ......
+
si
-
-
+ & ) = f ( t ) = m.
. . . . . 43
n
b).-La
tes relaciones:
variancia
2:de
la misma mediante el empleo de las siguien-
-
:o
=
(2-(.
-2
T
= (?
-
mz
................
;u
cuando :
en el entendido de que:
-.. -
~
,
yij
j
..................
y. por consiguiente. para cualesquier traza se puede escribir :
; 46
CORRELACION ESTADISTICA
íi)
= (l/n)
íZl
(i)
+ z2>
+
... . ..... ...
111
+
íi)
Zn
) . . . . . . 47
2do.-(:alddos
los valores ni y u2, procede la aplicación de la ecuación 35 a fin de obtener la curva de densidad normal, sustituyendo en dicha
ecuación en lugar de x, los valores calculados de z ( ~ ) para
,
cada traza,
011-
teniéndose. de esta manera. tantos conjuntos de valores de probabilidad como
trazas se hayan seleccionado.
3-0.-Los
valores así ohtenidos que corresponden a los de r, en la ecua-
ción 33, deberán substituirse en la misma normalizándolos a un determinado
valor de u. cal(wliíiidose de esta manera los valores de correlación.
Como estos últimos están expresados en términos de una Función de
Ressel, de orden 1, al ser desarrollados vienen a representar una secuencia
de procesos oscilatorios que sensiblemente corresponden a los transitorios de la
propagación sismológica y, por consiguiente, su alineamiento probable resulta
invariaiite al de los reflejos respectivos.
4o.-Tomando
en consideración que por la naturaleza misma del pro-
Idema que implica el cálculo de conjuntos los sistemas adecuados en problemas rutinarios de correlación estadística es preferible sean resueltos con el
auxilio de computadoras electrónicas.
La realización de este trabajo fue posihle dehido al apoyo decidido ?
consejo del señor Ing. Antonio García Rojas. Gerente de E\ploración de Petrdeos Mexicanos y a las atinadas sugerencias. compretisióii ?- estímulo de
los seriores Ings. Alfonso Cornejo Toledo y Armando Eguía Huerta, Jefes
tlta
la Oficina de Reinterpretación y de la Sección respectiva de la Zona Norte,
tlt.pcndieiite de la Gerencia de E\ploración : para ellos el más profundo agradtac
iiiiieiito del autor.
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
11-
B I B L I O G R A F 1A
Statistical Theory of Communiration.-Y.
Extrartion of Sipnals from Noise.-L.
W. Lee.-Jolin
A. R’ainstein
J
W i I q and Sons, Inr. 1960.
1’. D. Zubakor. Traducida del Ruso
por R. A. Silverman. Prentire Hall, Inc. 1962.
An Introduction to Statistiral Communiration Theory.-David
Book Co. Inr. 1960.
Freriienry Analysis Modiilation and Noise.-Stanford
Mdd1eton.-Mc
Graw-Hill
Goldman. Mc Graw-Hill Book Co.
Inc. 1948.
Extrapolation, Interpolation, and Smootliing of Stationary Time Series.-Norbert
-John
Wiley and Sons. 1960.
Transient Circuit Ana1ysis.-Y.
H. Ku.-D.
Van Nostrand Co. Inr. 1961.
Wiener.
CORRELACION ESTADISTICA
113
CORKELACION ESTADISTlCA (Aplicada a la Interprtación Sismológica)
A P E N D I C E
“A”
CORRELACION DE FCNCIONES PERIODICAS
Para el caso de la correlación entre funciones periódicas, se puede escribir:
en donde f l ( t ) y f 2 ( t ) tienen la misma frecuencia angular fundamental
w 1 y T, representa un desplazamiento continuo de tiempo registrado entre los
límites (00,
w ) independientemente de t .
La integral 1 iiivolucra las siguientes operaciones importantes :
la.-El
desplazamiento en un tiempo T, de la función periódica f - ( t ) .
2a.-E1
producto o multiplicación de esta función desplazada por la
otra función periódica f l c t ’ ) , de la misma frecuencia.
3a.-La
integración dentro de los límites de un período del producto
instantáneo obtenido por la operación anterior.
ila.-La
repetición de los tres pasos precedentes para cada valor de T:
en el intervalo de ( - 00, w),con lo que genera una función de T.
Por otra parte, la Transformada de Fourier de la expresión 1. es igual a :
Fi
cuando :
F1
(n) =
\.
FZ
(n) =
(n)
FZ ( n ) ............................
Espectro complejo de
Idem
fl
it 1 :
; 2
................ ; 3
f2
it)
111
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
y: por consiguiente :
Ahora hien, son casos concretos de la correlación periódira: la autoCorrelación y la correlación cruzada, mismos que se examinarán a continuación :
A ) .-AUTOCORRELACIOIV
Cuando en la exprcsión 1 5e tiene la condición especial de que
f2
fl
(t) =
( t ) , ocurre el caso de la autocorrelación; lo que equivale a la correlación
de una función respecto a sí misma cuando se le desplaza en valores sucesivos de r, ubicadados dentro de los límites d r menos y más el infinito.
En estas condiciones, si en la igualdad 4 se escribe:
@11
<n) =
entonces, se puede escribir:
F
( n )F i n )
.......................
; 6
CORRELACION ESTADISTICA
115
con lo que se viene a establecer un par de relaciones recíprocas que expresan
una forma particular del Teorema de Correlación llamada Teorema de Auto.
correlación de Funciones Periódicas.
Por otra parte, se tiene:
E1
-
( n ) = (1/2) ( a ,
+ j b n ) ................
-
y>
F1
jb,) . . . . . . . . . . . . . . . . ; 8a
í n ) = (1/2) (a,
; Ga
por lo que:
y, por consiguiente :
m
= nz= o
1
__ ( 2 1 n
2
+
Vl,,)
Cos n w1
7
.......
;
10
de donde resulta que. la función dr autororrrlacióii de las funciorivs ptariódirac
equivale, como lo afirma Lee ( 1 ) a una SERIE COSINLTSOIUAL COS AS.
GCLOS DE FASE IGUALES A O, PARA TODAS LAS HARIIOSICAS
PRESENTES EN LA FCXCION DADA Y: CUYOS COEFICIEXTES SOX
IGUALES A LOS VALORES CUADIiAUOS MEDIOS DE L.4S CORRES.
POKDIENTES HAKMONICAS DE DICHA FL-KCION : NI la iritdigtwcia dc
quv su término constante, en forma análoga. ES l(;L.AL AL CL.\ülEADO
.\lEüIO dc la mencionada coiistaiitv.
~~~
(
1) Statistical Theory of Communication.-Y.
W. Lee.-Wi1ey.-1960.
116
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
En las figuras 1 y 2, se consignan dos ejemplos de funciones de autocorrelación. El primero se refiere a la autocorrelación de una siniisoide para
un desplazamiento angular igual a 0. En el segundo se ohtiene la ecuación
analítica de la función de autocorrelación de una onda periódica de pulsos
triangulares.
AUTOCORRELACION DE U N A ONDA
SINUSOIDAL PE R 100ICA
ONDA SINUSOIDAL
FUNCION DE AUTOCORRELACION
FIG. 1
Tomada de “St:itistical Theory of Coiiiniuiiicatioii” por Y. W. LEE.
CORRELACION ESTADISTICA
117
AUTOCORRELACION D E U N A O N D A
PERlODlCA
ONDA PERlODlCA DE PULSOS T R I A N G U L A R E S
1
(PldT)
Jo
b-iE
2
-$-
+
=
T;
=
Em2
(2(6 - T)'
6b2T 1
=
Em2 (ra - 36% + 263
M2Ti
7)
+ 3T(b -
T)2]
for O 5
T
5b
FUNCION D E AUTOCORRELACION
FIG. 2
Tomnda de "Statistical Theory of Commuiiicatioii" por Y. iV. LEE.
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
118
B) .-CORRELACION
CRUZADA DE ONDAS PERIODICAS
Para el caso de la correlación cruzada, se puede escribir:
y, para el espectro cruzado de potencia, se tiene:
-
412 ( n ) = F1
( n ) Fz ( n )
.......................
; 12
por lo quet intercambiando, resulta:
1
421
(7)
= __
f2
( t ) fl (t
Ti 2;:j
+
7) d t
......
; 13
-
Y,
@Ol
(7)=
F2 ( n ) F 1 ( n ) .......................
en el entendido de que para - 7,o bien para x = t
j
14
- r, se tiene:
o bien:
Asimismo, las relaciones recíprocas de las ecuaciones 11 a 14 inclusi\-e, son las siguientes:
pZ
......................
( “ U / “ q-)
l-
31 = 8
‘ñ
Te ........................
f
Z/(U‘@
-
U b )
= (U)
:apuop ua
...................
6l
W-=U
a (u)
q) ’3
-
L 1muC
LT
f
..................
= ( L ) lZf#l
W
W-=U
a (U)
L
=@
rmu!
g
-
= (L)
m
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
120
por lo que:
j8n
F (n) = ( 4 2 ) e
. . . . . . . . . . . . . . . .......
; 25
Ahora, combinando las ecuaciones 17, 18 y 19, se tiene:
2
Z
4 1 2 (7) =
n=-m
Cln Czn
e
j ( n w1 r
+8
2
n - 8,n)
....
; 26a
........
; 26b
4
o, bien :
a10 a20
412 (7)=
4
+ - 21
2
z
n=l
C1n Czn Cos ( n w1 r O1 r & n )
y, de manera semejante:
así como:
Y,
CORRELACION ESTADISTICA
121
en donde:
lo qur significa que si Ci n y Cn n representan amplitudes máximas de las har.
mónicas n, de las funciones 11 ( t ) y 1 2 ( t ) , respectivamente, en tanto de Cin
y C > n equivalen a los valores reales ( r m s ) correspondientes a las harmónicas
respectivas y. por consiguiente, las ecuaciones 28 y 29 expresan el hecho QUE
LOS COEFICIENTES DE LAS HARMONICAS EN UNA FUNCION DE CORRELACION CRUZADA DE DOS FGKCIONES PERIODICAS DE LA MIS.
MA FRECUENCIA FUNDAMENTAL, ES IGUAL AL PRODUCTO DE LOS
VALORES EFECTIVOS ( r m s ) DE LAS HARMONICAS CORRESPONDIENTES EN AMBAS FUNCIONES.
Las figuras 3 y 4 representan ejemplos de una correlación entre dos
ondas periódicas de pulsos triangulares y rectangulares, respectivamente.
CORRELACION DE DOS O N D A S P E R I O D I C A S
( CRUZADAS )
J1,
ONDA PERlODlCA D E PULSOS T R ANGULARES
1 f2 (0 1
- Ti
I
1
Em2
:
I
l
1
0'1
O
I
h
I
TI
I
1
I
ONDA PERlODlCA DE PULSOS RECTANGULARES
r
FIG. 3
Tomada de "Statistical Theory of Communiiation". por 1.. K.LEE.
122
ASOCIACION DE GEOFTSICOS DE EXPLORACION
CORRELACION CRUZADA DE DOS ONDAS
PERIODICAS
( PULSOS TRIANGULARES Y RECTANGULARES)
1
1 *-' EmiEn, dl
-Ti o b
VdT)
=
EmiEn,
-( b - T ) *
for O
4b2
5 T5b
CORRELACION CR
-b
O?t,
0'1 b
+t*'(
FUNCION DE CORRELACION CRUZADA
FIG. 4
Tomada de "Statistical Theory of Comrnunication", por l-.'K. LEE.
CORRELACION ESTADISTICA
123
APENDICE “B”
CORRELACION DE FUNCIONES APERIODICAS O TRANSITORIAS
Cuando se combinan las ecuaciones :
f
W
( t ) = Z F (n) e
jnwlt
.......................
;1
U=-m
Y.
1
E’ ( n ) = -
- jnwl t
dt
........
;2
se puede escribir:
j (t) = Z
n=-m
y, puesto que:
resulta :
jnwl t
e
%f
1
T1/2
-
jnwiu
du
-T1/2’
(u) e
..;
3
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
121
la que se puede descomponer en:
jwt
dw
1
F ( w ) =z
jwt
-
...........................
;
6
dt ......................
;
7
2T
en donde:
F ( w ) = Espectro Continuo Complejo de la Función Aperiódica f ( t ) ;
en la inteligencia de que:
F (w)= P (w)
+ jQ ( w ) . . . . . . . . . . . . . . . . .
F ( w ) = 4 1’‘ ( w ) + Q’ ( w ) .......................
en donde F ( w ) ,equivale al Espectro de Densidad de Amplitud de f (t).
Ahora, escribiendo la relación de correlación, somo sigue :
; 8
; 9
CORRELACION ESTADISTICA
125
jwt
11
ít) e
d t . . . . . . . . . ; 10
= Función de Correlación para funciones Aperiódicas.
Por otra parte:
; 11
por lo que sustituyendo en 10, se tiene:
j wr
2n-
( w ) F 2 (w)e
de donde resulta que:
forman
u11
P a r Transformado de Fourier.
dw
.......
; 12
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
1 '6
Ahora hien, la correlación de las funciones aperiódicas como la de las
periódicas comprende los casos de autocorrelación y correlación cruzada, que
se examinan a continuación :
a ) .-ALTTOCORRELACION
DE ONDAS APERIODICAS
Si
4
1
1 (7)=
en donde
+11
(T), equivale a
fl
(t)
fl
(t
+
T)
dt . . . . . . . . . . . . . . ; 14
la Función de Autocorrelación de la Función
Aperiódica f ( t ) ; y,
a11( w )= 2 n /
Fi
iw)
...................
; 15
en donde a11(w).representa e1 Espectro de Densidad de Energía de la función f l ( 1 ) : en la inteligencia de que estas relaciones forman el Par Transformado de Fourier, como sigue:
jwr
d w . . . . . . . . . . . . . . . . . ;16
en el que se establece, en términos del Teorema de Autocorrelación LA RELACION RECIPROCA EXISTENTE ENTRE LA FUNCION DE ALTOCORRELACION DE UNA FUNCION APERIODICA Y EL ESPECTRO DE LA
CITADA FUNCION DE AUTOCORRELACION.
CORRELACION ESTADISTICA
127
En las figuras 5 y 6, se consignan ejemplos de la autocorrelación de un
Pulso rectangular y del espectro de densidad de energía correspondiente.
L ) .-CORRELACION
CRUZADA DE ONDAS APERIODICAS
Cuando f l ( t ) y f b ( t i son dos funciones aperiódicas diferentes, la
función de correlación cruzada viene expresada por:
4in
(7)
=
fi
¡ t ) f~ ( t
+
7)
dt
................
; 18
y el espectro de densidad de energía cruzada. por:
-
@>i2
( w ) = 257-
F1
(w)
F2 ( Z U )
....................
; 19
en el entendido que. como en el caso precedente:
jwr
( w )e
Y?
así como:
dw
................
; 20
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
1.18
o bien:
-
@12
(w)= a21 (w).. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .. . . . . . . . ; 2.1
Es conveniente aclarar que la función de correlación cruzada, a diferencia de la de autocorrelación, no es necesariamente una función par.
AUTOCORRELACION DE UN PULSO RECTANGULAR
f
PULSO RECTANGULAR
AUTOCORRE LAClON
FIG. 5
Tomada de “Statistical Theory of Communication”, por Y. W. LEE.
129
CORRELACION ESTADISTICA
APENDICE "C"
EJEMPLOS DE ACTOCORRELACION DE FUNCIONES FORTUITAS
En virtud de que en la parte principal de este trabajo se hizo el examen teórico de las Ondas Fortuitas, principalmente. aunque en forma implicita, el presente Apéndice solo comprenderá la descripción somera de alguiios
ejemplos relativos. Esta descripción se basará en las figuras anexas, como
sigue :
Figura Núm. 7.-Esta
por dos valores E , y -E,,,
figura muestra una onda fortuita caracterizada
que se alternan entre sí a intervalos fortuitos de
ESPECTRO DE ENERGIA
E,2b'
I
ESPECTRO DE ENERGIA DE UN PULSO RECTANGULAR
FIG. 6
Tornada de "Statistical TIieory of Communication", por Y.
W. 1 LE.
130
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
AUTOCORRELACION D E ONDAS F O R T U I T A S
ONDA
FORTUITA DE DOS VALORES
POSIBLE + E m y - E m
r milliscconds
GRAFICA DE L A FUNCION DE AUTOCORRELACION
K = 1000 por segundo
Em = l Volt
FIG. 7
Tomada de “Statisticai TIieory of Cornmunication”, por Y. W. I.EE.
CORRELACION ESTADISTICA
131
tiempo y, a su función de autocorrelación respectiva, la que ha sido calculada
sobre el supuesto de que los cruces a O de la onda, siguen una distribución
de la probabilidad de acuerdo con la relación de Poisson.
Figura Núm. %-Esta
figura muestra el espectro de densidad de 110tencia de la onda fortuita de la figura 7, espectro que se ohtuvo mediante la
integración de la función de autocorrelación, mostrada en la mencionada figura 7.
AUTOCORRELACION
D E ONDAS F O R T U I T A 5
- E,'
= FUNCION ESPECTRAL
+ w2 DE POTENCIA
2k
.ir
(2k)*
VOltS'
1l ( w )
1
L
-6ooo
4
i
l
i
i
-4Ooo
I
i
'
-2000
l
I
i
i
i
I
I
l
radirnr per
l
O
l
l
2000
l
wcond
l
l
l
i
l
l
l
l
l
4000
6Ooo
w radians per second
ESPECTRO DE DENSIDAD D E POTENCIA
DE UNA ONDA F O R T U I T A
K = 1000 por segundos
Em = 1 Voit
FIG. 8
Tomada de "Statistical llieory of
C:oniiiiuiii~ati<>tI".1101-Y. \\..
LEE.
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
132
Figura Kúm. 9.-Eri
esta figura se muestran dos espectros, a saber:
a).-El
espectro de densidad de potencia; y:
b ) .-El
espectro integrado de potencia;
ambos correspondientes a una onda fortuita.
Este es el caso de que la onda fortuita contenga un componente periódico y otro fortuito, propiamente dicho, tal como ocurre en los espectros sismológicos en los que aparecen involucrados: la señal, como función relativamente periódica y, el ruido. en muchos casos. como función estrictamente
fortuita.
ONDAS
s,,(W);/o
-e
FORTUITAS
$l l ( W ) dW I EáPETRO
DE POTEñClá IWTESR&DO
DEL COMPOWLWTE FORTUITO.
S ~ ( W ) : ~ ; _ @pp
.
bmw,)
(mw,),+$-m(Onw,+
(COMPONENTE PERIOCMCO)
poro:
mw,<w <(n +l)oa
y
niO,+1+Zlf3%
S , 1 ( 4 “ (P,JO)
1
O
W
ESPECTROS INTEGRADO Y DE DENSIDAD DE POTENCIA DE
UNA
ONDA
FORTUITA
FIG. 9
Tomada de “Statistical TIieory of Communicatiori”, por Y. \\’. LEE.
CORRELACION ESTADISTICA
133
En tales circunstancias, los espectros de ambos procesos son diferentes
según se muestra en la figura de manera que. a partir de ciertos límites, pueden ser discriminados en atención a su distinta estructura.
Figura Núm. 10.-En
esta figura se presenta un caso análogo al anterior de la figura 9, con la diferencia de que se refiere a valores positivos de u).
ESPECTROS DE POTENCIA
s l L ( w )= 2 . a @ i l ( ~ )
O
d a P ESPECTRO DE POTENCIA INTEGRADO
DEL COMPONENTE FORTUITO.
ESPECTROS INTEGRADO Y DE DENSIDAD DE POTENCIA
PARA VALORES POSITIVOS D E O.
FIG. 10
Tomada de "Statistical l'lieor) of hmniunicaiion". por 1.
a'. LEE.
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
135
Figura Núm. 11.-En
esta figura se presenta un ejemplo de determinación gráfica de una curva de autocorrelación. La evaluación de esta función, comprende:
10.-El trazo de dos curvas iguales f~ ( t ) y f~ ( t
por un tiempo T ;
+
T),
desplazadas
20.-La multiplicación entre sí de las ordenadas de ambas curvas para
cada valor de t , con cuyos productos se trazará la tercera curva mostrada eri
la figura;
AUTOCORR ELAClON G R A F IC A
””:
-T
T-; T
DETERMINACION GRAFICA DE L A AUTOCO RRELACION DE UNA CURVA
FIG. 11
Tomada de “Statistical Tlieory of Communication”, por Y.
W. LEE.
3o.-La aplicación de la integral +TT (7) , indicada eii la propia figura para obtener el respectivo valor de la funcibn +;rr (7); y,
4o.-La
reppticióri del procpdimiento para cada valor asignado de
con lo que se ohtierie una secuencia de valores para +11 (7).
7:
Figura Núm. 12.-En esta figura se muestra la gráfica de los valores
ohtenidos según el procedimiento señalado eii el caso de la figura anterior.
AUTOCORRELACION GRAFICA
CURVA DE AUTOCORRELACION
OBTENIDA POR EL METODO GRAFICO
FIG. 12
'I'uiiiada de "Statisticai 'I'iieor! of (:oriiiiiiiriicaiiliii".
. \\ . LEX.
1101-1
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
136
EVENTOS DE PROBABILIDAD (MUESTREO)
L A RELACION E X I S T E N T E E N T R E E L N U M E R O D E F U N C I O N E S C O N
CRUCES A
0 EN E L I N T E R V A L O 'I: Y
EL N U M E R O DE E N S A Y O S
Q U E R E P R E S E N T A L A R E L A C I O N D E FRECUENCIA T E N D E R A n
NORMALIZARSE A L AUMENTAR L O S ENSAYOS.
Y,
2
Y,+
Ys+.(Y,,+
(Yi2
+ Y**
+""+Y"*
Y*,+****
)
+Y",)
I
I
l
I
I
l
:= t1
r = f,+r
F I G.13
Tomada de "Statistical Tiieory of Communication", por Y. w'. LEE.
CORRELACION ESTADISTICA
137
Figura Núm. 13.-En esta figura se consigna el muestreo de eventos de
la pro1)ahilidad de tres curvas para un intervalo de la función de tiempo t,
igual a T ; en la inteligencia de que dicho muestre0 puede ampliarse hasta n
curvas y n intervalos iguales a T. tal como se explica en la parte principal del
presente trahajo.
Figura Núm. “A”.-En
esta figura se presenta el muestreo de un trazo
de sismograma correspondiente al Prospecto Santo Domingo, B. C., para 6 trazas e intervalos para T de 0.100 segs. En dicho sismograma se tomaron valores relativos de amplitud los que, afectados de su signo respectivo, se consignan en el mismo. Estos valores. agrupados en conjuntos. fueron empleados para
e1 cálculo de la distribución estadística normal correspondiente, la que transformada por la Integral de Hankel, permitió el cálculo de los valores consignados en la figura R.
Figura Núm. “B”.-Con
los datos obtenidos del cálculo de los valores
de la figura A, se trazaron las curvas de la figura B, siguiendo, para el efecto.
el procedimiento señalado en las Conclusiones contenidas en la parte principal
de este mismo trabajo.
figuras corresponden a un segundo
Figuras Núms. “C” y “D”.-Estas
ejemplo. análogo al anterior, realizado con otro sismograma del mismo Prospecto de Santo Domingo, B. C., con el propósito de comprobar el método en
un caso en el que en el sismograma muestreado existen reflejos bien definidos.
mismos que debían de aparecer y aparecieron en la autocorrelación.
ASOCIACION DE GE:OFISIC:OS DE EXPLORACION
F( P k FUNCKM DE CORRELACION
.._
í VALORES RELATIVOS i
6EI
140
ASOCIACION DE GEOFISICOS Di< EXPLORACION
COR RELACION ESTADISTICA
“FORO
ABIERTO”
DETERMINACION DE LA CUBlERTA OPTIMA DE
SISMODETECTORES MCLTIPLES
Por el Ing. Mariano Ilernández Moedano *
RESUMEN
En la práctica puede considerarse a una cubierta como óptima cuando
llena las 2 condiciones siguientes:
l.-Cul)re
2.-Permite
totalmente la handa de atenuación de ruidos coherentes.
una banda de paso del 70% para las ondas reflejadas.
DESARROLLO
En el presente desarrollo algehraico se hace uso dr los síml)olos ya conocidos y que son los siguientes:
A2 = Número de sismodetertores múltiple^.
AA‘ = Separación entre detectores í llrtros i .
* Senivios
Geofísicos, S. A.
ASOCIACION DE GE0FISIC;OS DE EXI'LORACION
1 14
L = Longitud de la cubierta (Metros).
F min. = Frecuencia mínima de corte de los filtros eléctricos
F
mhr.
(C.P.S.)
= Frecuencia máxima de corte de los filtros eléctricos (C.P.S.)
Y,, milL. = Velocidad aparente mínima de ruido coherente (m/s.)
V,, nláx. = Velocidad aparente máxima de ruido coherente (m/s.)
V A , = Velocidad aparente de ondas reflejadas.
La handa de atenuación queda totalniente cubierta cuando se satisfacen
las ecuaciones Números 1 y 2 y se obtiene un 70% para la banda de paso
cuando se verifica la ecuación número 3.
Va, máx.
M
F min.
-
--
M-1
- Límite Superior
. . . . . . .
(1)
. . . . .
(2)
.... ...
(3)
L
V a , min.
u
F máx.
= Límite Inferior
-
( M - 1)'
L
VAR
F mkx.
2.5 =
= 70%
. . .
L
En estas ecuaciones los primeros miembros representan los valores teóricos o ideales y los segundos miembros son los valores obtenidos. En la práctica siempre existen ligeras diferencias entre valores teóricos y los obtenidos
dehido a que los filtros que intervienen en el cálculo algunas veces no coinciden exactamente con los filtros instrumentales.
DETERMINACION DE LA CUBIERTA
145
De las ecuaciones anteriores se pueden plantear las 3 ecuaciones siguientes que son básicas para el desarrollo.
Va, máz.
A X = _____
. . . . . . . . . .
(1A)
. . . . . . . . .
(2A)
. . . . . . . . .
(3A)
A4 F mín.
F máz.
--
A! - 1
-
F mín.
F niát.
K
VAR
=
2.5 L
En donde
Var már.
K=
Var mín.
Combinando las 3 últimas ecuaciones y teniendo en cuenta que:
Se obtiene la siguiente expresión:
V A Rhí'
+ i
Al =
2.5 (111 - 1)
. . . .
111
V o r míii.
La ecuaciGn número 4 se trarisfornia en la cipieiite ecuación típica de
segundo grado.
ASOCIACJON DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
146
La solución de esta ecuación es:
Esta ecuación se puede reducir a la siguiente expresión:
VAR
J I = ( 1 +------)
5 Va, inin.
VAR
)
f
-1
(7)
5 Va, mín.
Es evidente que el signo positivo ( + ) del radical es el que dehe considerarse y además, la raíz cuadrada de los términos dentro del radical, es
igual prácticamente al término encerrado en el paréntesis, por lo tanto puede
establecerse que :
nz=2
( 1
+
VAR
VAR
) = 2 + -
5 Va, niin.
2 .5 V a , ntín.
Como puede verse, el número icl óptimo de sismodetectores depende de
la velocidad aparente de las ondas reflejadas y de la velocidad aparente mínima de ruido coherente; la primera es función de la profundidad y echado
de las formaciones; por lo que su influencia es más fuerte comparada con el de
la velocidad mínima del ruido coherente que se considera constante para un
perfil de ruido dado.
DETERMINACION DE LA CUBIERTA
117
Una vez determinado el número hl de sismodetectores se procede a calcular los demás parámetros de la cubierta usando las ecuaciones ( 1A ) y ( 2 A ) ,
lo cual puede efectuarse según convenga por cualquiera de los 3 métodos que
a continuación se mencionan :
METODO A.
Con la ecuación ( 1 A ) se determina el espaciamiento A X , suponiendo
una Fmin. igual al valor mínimo del filtro eléctrico. Enseguida con la ecuación (2A) se determinan la F
METODO B.
Con la ecuación (2A) se determina el F m i n . , suponiendo una F más..
según el criterio del sismólogo y con la ecuación (1A) se determina el espaciamiento A X.
En los dos métodos anteriores, es probable que pudiera existir traslape
sobre el terreno entre dos trazas consecutivas, sin embargo si quiere evitarse
tal cosa, se podría suponer la A X deseada y determinar los filtros eléctricos.
hlETODO C.
Este método tiene la ventaja de suministrar en el mezclado una cuhierta
equivalente a un número doble i2M) de sismodetectores, evitando también el
traslape sohre el terreno, para lo cual se supone una longitud tal que:
L = d - A X
en donde “d” representa la distancia en metros eiitre dos traza? coiisccuti\a:.
por lo tanto la separación entre detectores será:
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
1-18
aplicando este valor a la ecuación número (1A) se tiene
V a , máz.
F mín.
d
y con la ecuación (2A) se determina F
máx.
A continuación se muestra un ejemplo tratando de ilustrar todo lo anteriormente expuesto.
EJEMPLO
Datos obtenidos del perfil de ruido obser\ado en el Area de Cabo Rojo,
Ver.. por la brigada NS-1-1; (S. G . 3 0 2 ) .
Va,7,iáx. = 550 m/s.
V a , min.
= 225 m/s.
550
K = -= 2.44
225
V n R = 13,000 m/s. a una profundidad de 1,000 m. y con un
echado probable de 1"
Aplicando la ecuación número 8 obtenemos el número úptimo de sismodetectores múltiples
nr
13,000
2
+ --~__
2.5
x
= 25 detectores.
225
Los parámetros restantes de la cubierta se obtienen por las fórmulas
( 1 A ) y ( 2 A ) , según convenga alguna culiierta en especial. A continuación
se d a una tabla ilustrando los tres métodos mencionados así como también la
separación o discrepancia entre valores teóricos y valores obtenidos para los
límites de las handas tanto de atenuación como de paso. Los valores o1)tenidos
se han calculado usando los filtros instrumentales y haciendo uso de las ecuaciones (11, ( 2 ) y ( 3 ) como ya se mencionó.
1.20
1.31
1.1 0
1
28.80
31.40
26.40
196
20
2.5
2.72
0 . 0434
0.910
165
20
18.4
3.0
0 . 0435
0.0517
1.042
!.5= 70%
O . 878
0 . 0434
i m . Inferior
1.042
,im. Superior
165
165
riist 1'11.
20
180
Calculado
Instru.
BANDA
IE PASO
16 .8
cdicuírtdo
BANDA
DE ATENUACION
m
.P
W
c3
P
i
P
m
E
C
n
P
r
h
2
G
O
2
*
e
73
n
H
U
150
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
CONCLUSIONES
Como puede apreciarse en el método B o sea el de suponer el F
mát,
es
donde siempre coinciden tanto el límite inferior de la banda de atenuación
como el 70% de la banda de paso, ya que ambos valores son función del F más,
sin embargo en el método C la solución es bastante aceptable con la ventaja
de que en el mezclado eléctrico se tiene una cubierta equivalente a 50 detectores por traza y además el traslape sobre el terreno siempre se evita.
NUEVOS SOCIOS
NUEVOS SOCIOS
l
l
Mr. Billy Joe Green.
10201 Westheimer Road.
Houston 27. Texas.
U. S. A.
Mr. Omer Clark Smith.
1
i
10719 Burgoyne.
Houston, Texas.
U. S. A.
Ing. Sergio Solazar Mandujano.
Riva Palacio No. 64.
México 3, D. F.
Ing. Domingo Antonio Padilla Padilla.
Aguascalientes No. 182 Depto. 3.
México 7, D. F.
151
ASOCIACION DE GEOFISICOS DE EXPLORACION
152
NUEVOS SOCIOS
Dr. Francis A. Van Melle.
Shell Development Co.
P. O. Box 481.
Houston, Texas, 77001.
U. S. A.
Mr. Charles Elmer Caldwell.
l
P. O. Box 2928.
Houston 1 , Texas.
U. S. A.
Mr. Billie Alfred Toliver.
P. O. Box 2928.
Houston 1, Texas.
Mr. Ernest A. Pratt.
10201 Westheimer Road.
Houston 27. Texas.
U. S. A.
Carlos fileqán )Q.
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Grandes o pequeñas, marinas o terrestres.
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Técnicos u operacionales.
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