Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas

Resolución paso a paso de
problemas de máquinas eléctricas
Mario Ortiz García
Sergio Valero Verdú
Carolina Senabre Blanes
Título:
Autor: ©
Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas 2ed
Mario Ortiz García
Sergio Valero Verdú
Carolina Senabre Blanes
I.S.B.N.: 978-84-8454-849-2
Depósito legal: A-136-2009
Edita: Editorial Club Universitario Telf.: 96 567 61 33
C/. Cottolengo, 25 - San Vicente (Alicante)
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Printed in Spain
Imprime: Imprenta Gamma Telf.: 965 67 19 87
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reproducirse o transmitirse por ningún procedimiento electrónico o mecánico,
incluyendo fotocopia, grabación magnética o cualquier almacenamiento de
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titulares del Copyright.
Índice de contenido
Prefacio...........................................................................................................5
Capítulo 1 - Transformadores.........................................................................7
Formulario Transformadores.....................................................................8
1.- Circuitos equivalentes......................................................................8
2.- Ensayos del transformador.............................................................11
3.- Caídas de tensión en cortocircuito.................................................11
4.- Regulación de la tensión................................................................12
5.- Potencias e índice de carga............................................................12
Problemas de Transformadores................................................................13
Problema 1...........................................................................................13
Problema 2...........................................................................................15
Problema 3...........................................................................................20
Problema 4...........................................................................................25
Problema 5...........................................................................................30
Capítulo 2 – Máquinas Asíncronas...............................................................45
Formulario Máquinas Asíncronas............................................................46
1.- Circuito equivalente.......................................................................46
2.- Ensayos de la máquina asíncrona...................................................47
3.- Potencias........................................................................................48
4.- Par de rotación...............................................................................48
Problemas de Máquinas Asíncronas........................................................50
Problema 1...........................................................................................50
Problema 2...........................................................................................54
Problema 3...........................................................................................63
Problema 4...........................................................................................71
Capítulo 3 – Máquinas Síncronas.................................................................81
Formulario Máquinas Síncronas..............................................................82
1.- Velocidad de rotación....................................................................82
2.- F.e.m. inducida en vacío................................................................82
3.- Circuitos equivalentes....................................................................82
4.- Potencias (método Behn-Eschenburg)...........................................84
Problemas de Máquinas Síncronas..........................................................85
Problema 1...........................................................................................85
Problema 2...........................................................................................88
Problema 3...........................................................................................94
Problema 4...........................................................................................98
Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas
Capítulo 4 – Máquinas de Continua...........................................................105
Formulario de Máquinas de Continua....................................................106
1. Circuitos equivalentes según el tipo de excitación........................106
2. Tensión en vacío de una máquina de corriente continua...............108
3. F.e.m. inducida de una máquina de c.c. en carga..........................108
4. Potencia y Par................................................................................110
Problemas de Máquinas de Continua.....................................................113
Problema 1.........................................................................................113
Problema 2.........................................................................................117
Problema 3.........................................................................................123
Problema 4.........................................................................................127
Capítulo 5 – Problemas de Máquinas Combinadas....................................135
Problema 1.........................................................................................136
Problema 2.........................................................................................143
Problema 3.........................................................................................148
Problema 4.........................................................................................154
Problema 5.........................................................................................160
Problema 6.........................................................................................166
Problema 7.........................................................................................172
Anexo de Nomenclatura y Subíndices........................................................179
Nomenclatura.........................................................................................180
Subíndices..............................................................................................181
Prefacio
Prefacio
Con este libro se pretende ofrecer una herramienta útil para mejorar
los conocimientos de máquinas eléctricas.
El libro se divide en varios capítulos correspondientes a los distintos
grupos más representativos de máquinas eléctricas. Cada uno de los bloques
temáticos comienza con un pequeño formulario que facilita la resolución de
los problemas. Los problemas poseen diversos apartados que por sí mismos
en muchas ocasiones podrían considerarse como problemas independientes.
En el último bloque aparece un conjunto de problemas que mezcla distintos
tipos de máquinas lo que ayuda a obtener una visión global de conjunto de
las máquinas eléctricas. En el capítulo dedicado a máquinas asíncronas
aparecen transformadores, su no inclusión en el bloque de problemas
combinados responde a la sencillez que presenta la resolución de la parte del
transformador y a su tratamiento más como un elemento de transporte que
como clave del problema.
Al final del libro se incluye un anexo de subíndices y nomenclatura
que facilita la comprensión de las expresiones empleadas.
5
Capítulo 1 - Transformadores
7
Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas
Formulario Transformadores
1.- Circuitos equivalentes
–
Relaciones de transformación:
Relación de transformación de espiras r te =
N1
N2
Relación de transformación de tensiones r t =
–
V 1L
V 2Lo
Relaciones de transformación según tipo de conexión:
Conexión Yy:
r t =r te =
N1
N2
Conexión Dy:
rt =
r te
=
N1
N2
3  3
Conexión Dd:
r t =r te =
N1
N2
Conexión Yd:
r t = 3⋅rte = 3⋅
8
N1
N2
Capítulo 1 - Transformadores
Conexión Yz:
rt =
2⋅r te
3
=
2 N1
⋅
3 N 2
Conexión Dz:
2 N
2
r t = ⋅r te = ⋅ 1
3
3 N2
–
Circuito equivalente monofásico aproximado referido al primario:
Rcc = R1 + R'2
I 1F
I0
V 1F
R Fe
X cc = X 1 + X '2
I '2 F
V '2 F
Xµ
R' 2=r 2t⋅R2
X ' 2=r 2t⋅X 2
 ' 2F=r t⋅V
 2F
V

I

I ' 2F= 2
rt
9
Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas
–
Circuito equivalente monofásico aproximado referido al secundario:
R 'cc = R'1 + R2
I '1F
I0
V '1F
R' Fe
X 'cc = X '1 + X 2
I 2F
X 'µ
V 2F
 1F
V
rt
I ' 1F=r t⋅I 1F
V ' 1F=
R' 1=
X ' 1=
R1
r t2
X1
r 2t
I ' Fe=r t⋅I Fe
I ' =r t⋅I 
10
Capítulo 1 - Transformadores
2.- Ensayos del transformador
–
Ensayo de vacío:
V 1F
I oF⋅cos o
V 1F
X =
I oF⋅sen  o
PoFe
P oFe
cos  o=
=
3⋅V 1L⋅I oL 3⋅V 1F⋅I oF
V
r t= 1L
V 2Lo
RFe =
–
Ensayo de cortocircuito:
V 1CCF
⋅cos CC
I 1nF
V
X CC = 1CCF⋅sen CC
I 1nF
PCC
P CC
cos  CC=
=
 3⋅V 1CCL⋅I 1nL 3⋅V 1CCF⋅I 1nF
RCC=
3.- Caídas de tensión en cortocircuito
V 1CCF
Z ⋅I
⋅100= CC 1nF⋅100
V 1nF
V 1nF
V
R ⋅I
 RCC = 1RCC⋅100= CC 1nF⋅100
V 1nF
V 1nF
V
X ⋅I
 XCC = 1XCC⋅100= CC 1nF⋅100
V 1nF
V 1nF
CC =
11
Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas
4.- Regulación de la tensión
C =
V −V ' 2
V 2o−V 2
⋅100= 1n
⋅100
V 2o
V 1n
5.- Potencias e índice de carga
P Fe=P o
2
 Pcu n=P cc=3⋅Rcc⋅I 1nF
∗
∗

 1F⋅I 1F
S =3⋅V
=  3⋅V 1L⋅
I 1L
I '2
I2
C= ⋅100=
⋅100
I 1n
I ' 1n
12
Capítulo 1 - Transformadores
Problemas de Transformadores
Problema 1
Se posee un transformador trifásico con 1000 espiras en el
devanado primario y con un devanado secundario dividido en 2
partes de 20 espiras. Calcule las distintas relaciones de tensión para
cada una de las conexiones posibles si se desea una tensión de
fase en el secundario de 230V. Calcule también la tensión en el
primario.
Solución:
Conexión Yy
rt =
V 1L  3⋅V 1F  3⋅4,44⋅N 1⋅f ⋅a N 1
1000
=
=
= =r =
=25
V 2Lo  3⋅V 2Fo  3⋅4,44⋅N 2⋅f ⋅ a N 2 te
40
V 1L =r t⋅V 2Lo=r t⋅ 3⋅V 2Fo =25⋅ 3⋅230=9959,3 V
Conexión Yd
rt =
V 1L  3⋅V 1F  3⋅4,44⋅N 1⋅ f ⋅ a  3⋅N 1
=
=
=
=  3⋅25
V 2Lo
V 2Fo
4,44⋅N 2⋅ f ⋅ a
N2
V 1L=r t⋅V 2Lo=r t⋅V 2Fo=25⋅ 3⋅230=9959,3V
Conexión Yz
rt =
V 1L  3⋅V 1F
=
=
V 2Lo  3⋅V 2Fo
3⋅4,44⋅N 1⋅f ⋅a
=
N2
N2
 3∥4,44⋅ 2 ⋅f ⋅a−4,44⋅ 2 ⋅f ⋅b∥
N 1⋅a
N 1⋅a
2 N
2
2
=
=
= ⋅ 1 = ⋅r te = ⋅25
N
N
N
3 N 2  3
3
∥ 2⋅a− 2⋅b∥  3⋅ 2⋅a
2
2
2
2
V 1L=r t⋅V 2Lo=r t⋅ 3⋅V 2Fo= ⋅25⋅ 3⋅230=11500 V
3
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Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas
Conexión Dy
rt =
V 1L
V 1F
4,44⋅N 1⋅ f ⋅ a
1 N1 1
25
=
=
= ⋅ = ⋅r te=
V 2Lo  3⋅V 2Fo  3⋅4,44⋅N 2⋅f ⋅ a  3 N 2  3
3
25
V 1L =r t⋅V 2Lo=r t⋅ 3⋅V 2Fo = ⋅ 3⋅230=5750V
3
Conexión Dd
V 1L V 1F 4,44⋅N 1⋅f ⋅a N 1
=
=
= =r =25
V 2Lo V 2Fo 4,44⋅N 2⋅f ⋅a N 2 te
V 1L=r t⋅V 2Lo=r t⋅V 2Fo=25⋅230=5750V
rt =
Conexión Dz
V 1L
V 1F
=
=
V 2Lo  3⋅V 2Fo
4,44⋅N 1⋅ f ⋅ a
=
N2
N2
 3∥4,44⋅ 2 ⋅f ⋅a−4,44⋅ 2 ⋅f ⋅b∥
N 1⋅ a
N 1⋅a
2
2 N1 2
=
=
= ⋅ = ⋅r te= ⋅25
N2
N2
3 N2 3
3
N2
3⋅∥ 2 ⋅a− 2 ⋅b∥  3⋅ 3⋅ 2 ⋅a
2
V 1L =r t⋅V 2Lo =r t⋅ 3⋅V 2Fo= ⋅25⋅ 3⋅230=6639 V
3
rt =
14
Capítulo 1 - Transformadores
Problema 2
Calcular el índice horario de un transformador trifásico cuyas
bobinas se encuentran conectadas del modo siguiente:
A’
A
B’
B
C’
C
a1
a
a'
b
b'
c
a'1
b1
b'1
c1
c'1
c'
Solución:
La conexión indicada por el problema la vamos a representar mediante
un esquema en el que aparecen bobinados los devanados sobre el núcleo
ferromagnético trifásico.
En el dibujo se observa en la parte superior el primario del
transformador conectado en estrella, mientras que en la inferior aparecen los
devanados partidos que constituyen el secundario en zigzag. El sentido de
los flujos se ha dibujado en concordancia con el sentido de paso de la
corriente por cada uno de los devanados.
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Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas
φ
A
φ
A
IA
IB
B
φ
C’
φ
a
b
Ia
φ
b
c
Ib
E 2a
E 2b
a'
b'
c'
a1
b1
E 2a1
c1
a1'
Ic
b1'
φ
E1C
E 1B
B’
a
IC
C
E1 A
A’
φC
B
c
Ic
E 2c
E 2c1
E 2b1
Ia
c1'
φ b1
a1
Ib
φ c1
Lo primero que deberemos hacer es dibujar el sentido del primario. Al
ser una estrella dibujaremos la misma con el borne A apuntando a las 12.
16
Capítulo 1 - Transformadores
A
E1 A
N ≡ A' ≡ B' ≡ C '
E1C
C
E1 B
B
Para dibujar el secundario tendremos que tener en cuenta que:
1º Las bobinas situadas en la misma columna tienen idéntica dirección.
2º Si los flujos de dos bobinas se suman, las f.e.m.s tendrán el mismo
sentido, si se restan se opondrán.
La tensión Neutro-Fase para el borne “a” será la suma vectorial de
 2b1  
E
E 2a .
 2b1 tendrá la misma dirección que
E
oponerse los flujos.
 1B y sentido contrario al
E
b'1
E 2b1
N
 2a tendrá la misma dirección y sentido que
E
a
a' ≡ b'1
17
 1A
E
Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas
Sumándolas nos queda:
a
N
Operando de igual modo para los otros bornes:
a
b
N
c
Uniendo ambos diagramas se obtiene fácilmente el índice horario.
18
Capítulo 1 - Transformadores
11
12 A
a
1
2
10
N
b
9
3
C
8
B
4
c
7
6
5
 y Oa
 es de
Como vemos el desfase entre las puntas del segmento OA
330º lo que hace que se encuentre apuntando a las 11 horas la punta del
secundario. El esquema de conexión por tanto será un Yz11.
19
Resolución paso a paso de problemas de máquinas eléctricas
Problema 3
Un transformador ΔY de 400 KVA con tensiones 20000/400 V
tiene una caída de tensión en cortocircuito por reactancia de 6%.
Con el transformador se alimenta una instalación de 300 KW no
superando el factor de potencia el 0,9 inductivo. Si la potencia de
cortocircuito de la red es de 350 MVA. Se pide:
a) Intensidad absorbida por la instalación en el caso más crítico
y la tensión de salida del transformador. Considere para ello
el modelo más simple de transformador.
b) Regulación del transformador para dicha tensión.
Solución:
a) Lo primero que deberemos hacer será obtener el circuito equivalente
del transformador. Como nos dice que nos quedemos con el modelo más
simple lo representaremos simplemente por su reactancia. Para ello
utilizaremos el dato que se nos da de caída de tensión en cortocircuito:
 Xcc  %=
X ' ccY⋅I ' 1nFY
⋅100
V ' 1nFY
Vamos a referir todos los elementos al secundario que está en Y.
Sabiendo que la relación de transformación de tensiones es:
rt =
20000
=50
400
La intensidad nominal absorbida por el transformador será:
I ' 1nFY =
S nT
400⋅10 3
=
=577.35 A
3⋅V ' 1nFY
20000
3⋅
50⋅ 3
Sustituyendo:
20
Capítulo 1 - Transformadores
20000
6 50⋅ 3
X ' ccY =
⋅
=24.46 m
100 577.35
Por lo tanto ya tenemos modelado el transformador.
Como en el enunciado nos dan la potencia de cortocircuito de la red ya
no podremos suponer la red de potencia infinita y deberemos asemejarla a su
equivalente Thevenin mediante el uso de dicho dato.
X 'Re d
I cc
V '1nFY
Vamos a considerar que sólo tiene parte reactiva la impedancia de la
red.
V ' 1nF =X ' Red.⋅I cc
S cc=3⋅V ' 1nFY⋅I cc
S cc
I cc=
3⋅V ' 1nFY
3⋅V ' 21nL
2
2
V ' 1nF 3⋅V ' 1nFY
V ' 21nL
  3
X ' Red. =
=
=
=
=0.457 m
I cc
S cc
S cc
S cc
Por último nos queda llevar al circuito la instalación. Para ello nos
serviremos de los datos de potencia de diseño. Como nos dice que hagamos
los cálculos para el caso más desfavorable este sucederá cuando tengamos el
menor f.d.p., es decir 0,9.
P Inst
S Inst
cos 
I 2FY=
=
 3⋅V 2LT 3⋅V 2LT
21