2-Gráficas (1354792)

República Bolivariana de Venezuela
I.U.P. “Santiago Mariño”
Maturín-Edo. Monagas
Prof. Williams Marín
Asignatura: Lab. Física
Guía #2- Análisis y Construcción de Gráficos:
Las gráficas son una de las herramientas más útiles con las que cuenta cualquier
profesional para darle explicación y encontrar la solución a determinados problemas, así
pues como un Electrocardiograma en Medicina, un histograma en Demografía, un gráfico
circular en economía, resultan ser herramientas verdaderamente útiles como ya se ha
dicho antes. Así pues una correcta construcción y entendimiento de las gráficas es
necesario en cualquier área en la cual se manejen datos estadísticos y matemáticos.
Partiendo de una tabla de datos:
La mejor forma de organizar una serie de datos numéricos es por medio de una
tabla, esta puede ser horizontal o vertical y puede tener la cantidad de ítems que sean
necesarios para su estudio y procesamiento, un ejemplo:
En el laboratorio se realizó el estudio de un movimiento horizontal cualquiera, tras
realizar marcas en el mesón a intervalos regulares de 30cm cada uno, se dejó en libertad
un carro y se tomó el tiempo que este tardaba en pasar por cada una de las marcas del
mesón, la mejor forma de organizar estos datos es mediante la siguiente tabla:
x(cm)
30
60
90
120
150
180
210
t(s)
1.2
2.2
3.4
4.6
5.4
6.0
7.2
Se puede notar que cuando el carro se encontraba a 30cm del punto de
partida habían transcurrido 1.2 segundos del experimento, cuando
recorrió 60cm ya habían transcurrido 2.2s y así sucesivamente. Pero
esta tabla no nos brinda toda la información necesaria para deducir
por ejemplo: ¿qué tipo de movimiento realizó el carro?, entonces en
estos momentos es que la construcción de la gráfica x-t de dicho
movimiento se hace indispensable.
Pasos para construir una gráfica:
1) Identificar las variables: existen dos tipos de variables,
a) Variable independiente: es aquella que no depende de ninguna de las otras
variables ni es consecuencia de ellas, en todo caso en que la variable tiempo t este
presente entonces, esta será considerada la variable independiente puesto que el
tiempo no se puede manipular y transcurre independientemente de las demás
variables y del fenómeno en sí. La variable Independiente siempre se ubica en
el eje horizontal del sistema de coordenadas.
b) Variable dependiente: Es aquella cuyo valor se ve afectado por la variable
independiente, por ejemplo: la distancia recorrida por un carro, depende del
tiempo que el carro lleve en movimiento y de la velocidad que este posea. La
variable dependiente siempre se coloca en el eje vertical del sistema de
coordenadas.
2) Escoger una escala adecuada para los ejes: lo único que se debe saber acerca de esto
que los espacios numéricos en la escala del eje deben ser constantes, es decir, si el
primer centímetro de la escala corresponde al valor 2, todos los demás centímetros
deben tener el mismo valor así pues la escala será: 2, 4, 6, 8, si el primer centímetro
tiene como valor 15, entonces la escala debe ser: 15, 30, 45, 60,…en el ejemplo
anterior la escala del eje vertical sería: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210 y del eje
horizontal: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
210
𝑥(𝑐𝑚)
180
150
120
90
60
30
𝑡(𝑠)
1
2
3
4
5
3) Ubicar los puntos en el sistema de coordenadas: Utilizar cada fila de la tabla como
un par ordenado para ubicar los puntos en el plano:
210
𝑥(𝑐𝑚)
180
150
120
90
60
30
𝑡(𝑠)
1
2
3
4
5
Diagrama de dispersión x-t
4) Agrega una línea de Tendencia: Luego de obtener el diagrama de dispersión (puntos
dispersos en el plano) se procede a agregar una línea de tendencia para que así dicho
diagrama pase a ser una GRÁFICA, para esto existe dos métodos, uno cualitativo y
uno cuantitativo que se basa en un cálculo estadístico (método de los mínimos
cuadrados).
a) Método cualitativo para agregar una línea de tendencia: solo basta con saber el
comportamiento gráfico de algunas funciones y así ver a “grosso modo” el
diagrama de dispersión y decir a que función entre las más comunes se acerca la
serie de puntos (recta, parábola, onda armónica, exponencial,…) aquí algunas de
las gráficas más usadas en física:
𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙
𝐶𝑢𝑎𝑑𝑟á𝑡𝑖𝑐𝑎
𝐸𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎𝑙
𝐴𝑟𝑚ó𝑛𝑖𝑐𝑎
Nota: en algunos experimentos se puede encontrar con solo una parte de la gráfica, sobre
todo en movimiento donde no existe tiempo negativo.
Entonces basándonos en esto podemos decir que la única grafica de las anteriores
a la que pueden tender los puntos del Diagrama de dispersión x-t es a una recta, es decir,
una función lineal, de tal manera que como línea de tendencia agregamos una recta que
se acerque en la medida posible a todos los puntos del diagrama:
210
𝑥(𝑐𝑚)
180
150
120
90
60
30
𝑡(𝑠)
2
1
3
4
5
Gráfica x-t
Note que luego de agregar la línea de tendencia deja de ser un diagrama de
dispersión y se transforma en una gráfica, lista para ser analizada luego de ser comparada
con el comportamiento grafico de todos los posibles casos referentes al fenómeno
estudiado, en este caso: Movimiento.
b) Método de los mínimos cuadrados: Es un método estadístico diseñado para
encontrar la mejor recta en un diagrama de dispersión con Tendencia Lineal por
esta razón no sirve para otros tipos de diagramas de dispersión (al menos no antes
de linealizar el diagrama, lo cual se explica más adelante).
Todos sabemos que una gráfica lineal corresponde a una función a fin o función lineal
la cual matemáticamente tiene la siguiente forma:
𝑦=𝑚
̂ . 𝑥 + 𝑏̂
𝑦 = 𝑣𝑎𝑟. 𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑥 = 𝑣𝑎𝑟. 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
Donde: 𝑚
̂ = 𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎
𝑏̂ = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑐𝑎𝑙
Ya las variables vienen dadas por el experimento y se ubican en la tabla, así pues si
podemos encontrar los valores de m y b, entonces tendríamos la ecuación de la recta más
perfecta que podríamos graficar.
Entonces ya que tanto la variable dependiente como la independiente corresponden a
una serie de datos (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 , … ) 𝑦 (𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 , … ) entonces los valores de m y b se pueden
hallar por medio de las siguientes ecuaciones:
𝑚
̂=
𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − ∑ 𝑥𝑖 . ∑ 𝑦𝑖
𝑛 ∑ 𝑥𝑖2 − (∑ 𝑥𝑖 )2
𝑏̂ =
∑ 𝑦𝑖 − 𝑚
̂ ∑ 𝑥𝑖
𝑛
Recuerde que x y y cambian dependiendo del experimento y la tabla de datos, en
nuestro caso, serian t, x ya que son las variables independiente y dependiente del
experimento. Para facilitar los cálculos e este caso, es preferible modificar la tabla de
datos agregando los términos que nos exigen las ecuaciones:
x(cm)
30
60
90
120
150
180
210
t(s)
1,2
2,2
3,4
4,6
5,4
6,0
7,2
t.x(s.cm)
36
132
306
552
810
1080
1512
𝑡 2 (𝑠 2 )
1,44
4,84
11,56
21,16
29,16
36
51,84
∑ 𝑥𝑖 = 840
∑ 𝑡𝑖 = 30
∑ 𝑡𝑖 . 𝑥𝑖 = 4428
∑ 𝑡𝑖2 = 156
De aquí simplemente sustituimos en las fórmulas de los mínimos cuadrados
recordando que n: es el número de filas de datos que tiene la tabla original, en el
ejemplo n=7:
𝑚
̂=
𝑛 ∑ 𝑡𝑖 . 𝑥𝑖 − ∑ 𝑡𝑖 . ∑ 𝑥𝑖 7.4428𝑠. 𝑐𝑚 − 30𝑠. 840𝑐𝑚 5796𝑠. 𝑐𝑚
𝑐𝑚
=
=
=
30,19
2
7.156𝑠 2 − (30𝑠)2
192𝑠 2
𝑠
𝑛 ∑ 𝑡𝑖 − (∑ 𝑡𝑖 )2
𝑐𝑚
∑ 𝑥𝑖 − 𝑚
̂ ∑ 𝑡𝑖 840𝑐𝑚 − 30,19 𝑠 . 30𝑠
𝑏̂ =
=
= −9.38𝑐𝑚
𝑛
7
De tal manera que nuestra ecuación de la recta queda:
𝑦=𝑚
̂ . 𝑥 + 𝑏̂ ⇒ 𝑥 = 30,19 𝑐𝑚⁄𝑠 . 𝑡 − 9,38𝑐𝑚
Esta ecuación se puede graficar en el mismo sistema de coordenadas del diagrama de
dispersión resultando así la línea de tendencia que estadísticamente más se acerca a todos
los puntos del diagrama de dispersión.
̂
̂ y𝒃
Nota: queda de parte del estudiante analizar y deducir el significado de 𝒎
para el experimento dado en el ejemplo anterior (dato: vean las unidades)
PARA DIAGRAMAS DE DISPERSIÓN NO LINEALES:
Para el caso en que el diagrama de dispersión no tenga tendencia lineal, primero se
debe linealizar (volver de tendencia lineal) dicho diagrama para poder aplicar el método
de los mínimos cuadrados. Veamos el siguiente caso que corresponde al estudio del
enfriamiento de un cuerpo muerto que se encuentra en un ambiente de temperatura más
o menos constante (es lo que usan los criminalistas para datar la hora de la muerte), y los
datos obtenidos fueron los siguientes:
Tabla de datos T-t
T(ºC)
t(min)
37
20
25.6
40
20
60
16.62
80
13.2
100
11.02
120
9
140
Cuando hacemos el diagrama de dispersión obtenemos:
Esta gráfica claramente tiene una tendencia exponencial, entonces a la tabla de datos
original no se le puede aplicar el método de los mínimos cuadrados.
Linealizando:
Para linealizar una gráfica hay que cambiar el valor de la variable independiente según
la siguiente tabla:
Tendencia:
Exponencial
Armónica
Parabólica (cuadrática)
Hiperbólica
Cambiar:
𝑦 por ln(𝑦)
𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑛(𝑥) ó cos(𝑥)
𝑥 𝑝𝑜𝑟 𝑥 2
𝑥 𝑝𝑜𝑟 1⁄𝑥
Entonces reescribimos la tabla de datos:
Tabla ln 𝑇- t (linealizada)
t(min)
ln(𝑇)
3.61
20
3.24
40
3.0
60
2.81
80
2.58
100
2.4
120
2.2
140
Haciendo el diagrama de dispersión y agregando la línea de tendencia obtenemos:
Nota: la línea de tendencia se obtiene usando el método de los mínimos cuadrados
en la tabla linealizada.
GRÁFICAS DE ALGUNOS FENÓMENOS FÍSICOS:
M.R.U
Gráfica
x-t
Gráfica
v-t
Gráfica
a-t
Gráfica
T-t
M.R.U.A
M.R.U.R
M.A.S
Enfriamiento
de Newton