como diseﾑar un telescopio para el dﾉbil visual

Optometría
COMO DISEÑAR UN
TELESCOPIO PARA
EL DÉBIL VISUAL
M.C. Omar García Liévanos, 2Lic. en Optometría María Elena Díaz Enciso,
3
M.C. Juan Alberto Hernández de la Cruz
1
1
Profesor del CICS-UST, 2Profesor del CICS-UST,
Estudiante de doctorado INAOE (Instituto Nacional de Astrofísica Óptica y Electrónica)
3
Resumen
En este trabajo presentamos las ecuaciones y
consideraciones que se necesitan para realizar
el diseño a primer orden, de los dos tipos de
telescopios Galileanos utilizados en el tratamiento del débil visual, así como una propuesta
de un telescopio de 2x, con una corrección de
la aberración angular sobre eje menor a una
agudeza visual 20/70.
Palabras Clave
Débil visual, Telescopio Galileano, Diafragma
de abertura, Aberración angular.
Introducción
Los pacientes débiles visuales son aquellos
que tienen una agudeza visual (20/70 a 20/
200) menor a la normal (20/20)1, aun con su
mejor corrección óptica. Por tal motivo estos
necesitan de algún sistema óptico que les
proporcione una mejor visión. Estos sistemas
han sido construidos por los optometristas,
haciendo el cálculo de las potencias necesarias para una cierta amplificación, en realidad el
diseño de estos sistemas es más complicado,
como se verá más adelante.
Los principales sistemas ópticos utilizados
por estas personas son los telescopios, microscopios. En México sabemos de pocos lugares
donde se construyen este tipo de sistemas,
principalmente en el INAOE (Instituto Nacional
de Astrofísica, Óptica y Electrónica) y en el CIO
(Centro de Investigaciones en Óptica), pero sólo
sobre pedido especial, la mayor parte de estos
sistemas son importados; por lo que, el Instituto
Politécnico Nacional. (CICS UST) dio inicio a
la investigación en este tipo de sistemas, partiendo con la construcción de telescopios tipo
Galileano, lo que permitirá dar un mejor tratamiento a los pacientes, a un menor costo.
Diseño a primer orden
Para determinar los parámetros de primer
orden de cualquier telescopio refractor constituido por dos lentes simples, debemos considerar los siguientes puntos:
1.- Elección del tipo de telescopio que se va a
construir.
a) Telescopio Kepleriano, nos proporciona
una imagen final invertida, por lo cual
debemos agregarle un sistema inversor. Este sistema inversor repercute
principalmente en el tamaño y peso del
telescopio.
b) Telescopio Galileano, Nos proporciona
un a imagen derecha sin necesidad de
adicionar un sistema inversor. Existen
dos tipos de telescopios, dependiendo
de la posición del diafragma de apertura.
Optometría
i. Caso I: Diafragma de apertura en el
objetivo. La principal desventaja de
este arreglo es que la pupila de salida
está dentro del sistema, como consecuencias el diámetro de la pupila de
salida debe ser de menor tamaño
que la pupila del paciente y con un
campo de visión del telescopio limitado, teniendo como resultado una
disminución en la cantidad de luz
que entra en el ojo del paciente.
ii. Caso II: Diafragma de apertura en la
pupila del paciente2. En este arreglo,
el campo de visión del telescopio es
limitado por el campo de visión del
paciente y la pupila de salida del
sistema, es del mismo tamaño que la
del paciente, lo cual nos aumenta la
cantidad de luz que entra al ojo del
paciente.
2.- Cálculo de las distancias focales para
ambos casos. Se resuelven las ecuaciones
(1 y 2), garantizando la amplificación y el
tamaño del telescopio3.
Ma = -
f1
f2
f1+ f 2 = T
(1)
(2)
Mα = magnificación angular (positiva = imagen
derecha)
f1 = distancia focal del objetivo
f2 = distancia focal del ocular
T = tamaño del telescopio o separación de las
lentes
principal con ayuda de las ecuaciones (5 y
6)3, para ambos casos.
u' = u −
y
f
ecuación de refracción
(5)
y ' = y + (T )(u ') ecuación de traslación (6)
u = Angulo de inicidencia del rayo (radianes)
uʼ = Angulo de refracción del rayo (radianes)
y = Altura del rayo en la lente
yʼ = Altura del rayo en la siguiente lente
T = Separación entre las lentes
Con el trazo del rayo axial marginal (Fig. 1 y 2) y
del rayo principal (Fig. 3 y 4), podemos:
a) Conocer la altura del rayo axial marginal
y la altura del rayo principal en cada
lente, que después nos servirá para
conocer el diámetro que deben tener el
objetivo y el ocular.
b) Comprobar que los rayos marginales
axiales que emergen del telescopio
son paralelos al eje óptico, esto debe
ser así para evitar la acomodación del
paciente.
c) Comprobar la amplificación angular del
telescopio con ayuda del rayo principal.
Datos iniciales para el trazo de un rayo axial
marginal:
El ángulo del rayo axial marginal es de cero
radianes, porque el objeto se encuentra a una
distancia grande
La altura del rayo marginal se obtiene de la
siguiente ecuación. Para el caso I el diámetro
de la pupila de salida deberá ser menor a la
pupila del paciente. Para el caso II podrá ser
del mismo tamaño.
Resolviendo tenemos:
T
f2=
1− Mα
f 1 = − M α f 2
Mα =
(3)
semidiámetro de pupila de entrada o altura del rayo m arg inal
semidiámetro de la pupila de salida o de la pupila del ojo
(4)
3.- Trazo de un rayo axial marginal y un rayo
Fig. 1 Rayo Marginal Axial. Caso I.
(7)
Optometría
con las ecuaciones (9 y 10).
Fig. 2 Rayo Marginal Axial. Caso II.
Datos iniciales del rayo principal:
El ángulo del rayo principal se
obtiene de acuerdo a la relación del
semicampo visual del paciente (α) y
al diámetro del objetivo.
Caso I: La altura de rayo principal es cero por que el diafragma de
abertura se encuentra en el objetivo, ver Fig. 3.
Fig. 3 Rayo principal (Caso I).
Caso II: Se invierte el orden del
sistema, para encontrar la altura
del rayo principal en el ocular, con
ayuda de la ecuación (8) y la selección de la distancia a la cual estará
la posición de la pupila de salida
con respecto al ocular (l), ver Fig. 4.
diámetro del objetivo = 2 ( y1 + y 1 )
(9)
diámetro del ocular = 2 ( y 2 + y 2 )
(10)
Diseño a tercer orden
En el diseño a primer orden se
encontraron los parámetros paraxiales de las componentes ópticas,
que se obtuvieron considerando
únicamente el primer término de
la expansión de la función seno,
ecuación (11). De esta manera todos
los rayos que salen del punto objeto
llegan a un punto común conocido
como punto imagen paraxial(caso
ideal), en realidad no ocurre de esta
manera, dichos rayos provenientes
del punto objeto generalmente
llegan a diferentes puntos en el
plano imagen cercanos al punto
imagen gaussiano o paraxial. Estas
diferencias que existen respecto
al punto imagen gaussiano se le
conocen como aberración transversal del rayo, de igual manera a las
diferencias entre el ángulo del rayo
paraxial y el ángulo del rayo real se
le llama aberración angular4.
φ3 φ5
senφ = φ − +
− ...
3! 5!
Fig. 4 Rayo principal con el telescopio invertido (Caso II).
Mα =
α ' u ' final
=
α uinicial
(8)
4.- Cálculo de los diámetros del
objetivo y del ocular, utilizando
los resultados del trazo de rayo
axial marginal y principal, junto
(11)
En el diseño a tercer orden
se considera el primer y segundo
término de la expansión del seno,
que es una manera aproximada de
encontrar la aberración transversal
del rayo, la cual depende de los
radios de curvatura de la lente.
Los radios de curvatura de cada
una de las lentes del sistema deben
ser aquellos que nos den la aberra-
Optometría
ción angular del telescopio, menor a la resolución del débil visual. Nosotros proponemos
el cálculo de los radios de curvatura, para las
dos lentes del telescopio 2x5,6, en ambos casos
como sigue:
1. De la ecuación (12), calculamos el radio
de curvatura de la primera superficie de la
lente, considerando que la segunda superficie es plana.
2. Se hace lo mismo para la segunda lente.
1
1 1
= (n − 1)  − 
 r1 r 2 
f
20/35, se debe diseñar un telescopio con
una amplificación angular de 2x, y proponemos un tamaño de 50 mm.
II.
f 1 = 100 mm.
f 2 = −50 mm.
III. Para el trazo del rayo axial marginal, se
considero el semidiámetro de la pupila del
paciente igual a 2 mm.
Caso I:
IV. El telescopio se propone con un semicampo
de visión ∝ = 50 ó 0.087 radianes.
(12)
diámetro del objetivo = 2 ( y1 + y 1 ) = 2( 4 + 0 ) = 8 mm
1
1
 1
= 0 ∴ = (n − 1)  
 r1 
r2
f
V.
Finalmente se calcula el espesor de las
lentes de la siguiente manera:
a) Para la lente negativa por cuestiones mecánicas, el espesor debe ser por lo menos el
10% de diámetro.
b) Para la lente positiva debemos calcular las
sagitas de las dos superficies, con ayuda
de la ecuación (13), considerándose algún
espesor central, y con la ecuación (14) se
calcula el espesor de la lente positiva.
VI. Consideremos que el material a usar en las
lentes es un vidrio del tipo crown con índice
de refracción 1.5231.
r1−1 = 52.31mm.
r 2 −1 = ∞
VII. r 1− 2 = 26.155 mm.
r2−2 = ∞
VIII.
sí r > 0
z = r − r 2 − y2
(13)
diámetro del ocular = 2 ( y 2 + y 2 ) = 2(2 + 4.3633) = 12.7266 mm
Espesor de la lente1 = 2 mm.
Espesor de la lente2 = 2 mm.
Caso II:
IX. El telescopio se propone con un semicampo
de visión ∝ = 50 ó 0.08726 radianes.
sí r < 0
z = r + r 2 − y2
Espesor de la lente = z1 + e − z 2
X.
(14)
Ejemplo
I.
Para un paciente débil visual con una agudeza de 20/70, que requiere para sus actividades cotidianas una agudeza visual de
diámetro del objetivo = 2 ( y1 + y 1 ) = 2( 4 + 12.913) = 33.826 mm
diámetro del ocular = 2 ( y 2 + y 2 ) = 2(2 + 2.094 ) = 8.188 mm
XI. Consideremos que el material a usar en las
lentes es un vidrio del tipo crown con índice
de refracción 1.5231.
r1−1 = 52.31mm.
XII. r 2 −1 = ∞
r1− 2 = 26.155 mm.
r2−2 = ∞
Optometría
XIII
Espesor de la lente1 = 4.31 mm.
Espesor de la lente2 = 2 mm.
Diseño final
Con ayuda del programa OSLO LT7, se evaluó
el sistema óptico de los ejemplos anteriores, los
resultados se muestran en la Fig. 5. La aberración angular para el sistema completo (telescopio) es menor a la resolución del débil visual
(1.0181087 X 10-3 radianes)1, para los objetos
sobre eje, en ambos casos, lo que habla de una
buena corrección de la aberración esférica.
Para los objetos fuera de eje la compensación no es tan buena ya que sólo disponemos de dos lentes, pero la agudeza visual va
decayendo conforme nos alejamos de la fóvea,
por lo cual podemos restarle importancia a la
corrección de las aberraciones8. La aberración
cromática lateral es la más importante para los
objetos fuera de eje, pero con sólo dos lentes
simples no podemos solucionar el problema,
para ello es necesario utilizar dobletes acromáticos en lugar de lentes simples. La aberración
cromática lateral se presenta en mayor cantidad para el segundo caso.
la aberración angular no variaba significativamente de nuestra propuesta, por lo cual, se
decidió tomar los parámetros del diseño de
tercer orden como parámetros del diseño final.
Conclusiones
1) Se muestra cómo debe de realizarse el
diseño a primer orden para dos tipos de
telescopios Galileanos.
2) Se propone una solución para los radios
de curvatura del ocular y del objetivo para
el caso de un telescopio con una amplificación de 2x. Para otra amplificación será
necesario utilizar más lentes con diferentes
radios de curvatura.
3) En los ejemplos, la aberración angular es
menor a la resolución del débil visual, para
los objetos sobre eje, para los objetos fuera
de eje se hizo la consideración de que la
agudeza visual decae conforme nos alejamos de la fóvea.
4) Los ejemplos anteriores fueron una propuesta preliminar del trabajo que se está
desarrollando en el CICS-UST, considerando un sistema óptico más complejo que
implica más de una componente óptica
tanto en el ocular como en el objetivo del
telescopio.
Bibliografía
1
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8
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Figura 5 Aberración angular para el telescopio de 2x (unidades radianes). (A) casoI, (B) CasoII.
En ambos casos, después de realizar la
optimización del telescopio, encontramos que