Probabilidad - DME-UFRO

Probabilidad
Definiciones
Experimento: Procedimiento que se puede llevar a cabo bajo las mismas condiciones un número
indefinido de veces.
Experimento aleatorio: Es aquel experimento cuyo resultado no se puede predecir, es decir, conociendo el conjunto de resultados posibles, no es posible predecir cual será el resultado particular
del experimento.
Experimento determinı́stico: Es aquel experimento cuyo resultado se puede predecir.
Espacio muestral: Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa por E.
Evento o suceso: Es un resultado particular de un experimento aleatorio. En otras palabras, es
un subconjunto del espacio muestral.
Tipos de eventos
Evento o suceso cierto: Es el propio espacio muestral, es decir, es un evento que siempre
ocurrirá.
Evento o suceso imposible: Es aquel subconjunto del espacio muestral que no tiene elementos, es decir, es el conjunto vacı́o y está asociado a algun evento que nunca puede ocurrir.
Eventos mutuamente excluyentes: Son aquellos en los cuales la ocurrencia de uno de ellos
impide la ocurrencia de los otros (no pueden ocurrir simultáneamente). En otras palabras,
cuando dos o más eventos no tienen elementos comunes.
Eventos Complementarios: Son aquellos eventos que no tienen elementos comunes y la
unión de ellos es el espacio muestral.
Observación: En todos los experimentos que se realicen con monedas, dados, cartas, bolitas,
etc..., se supondrá que no están cargados o trucados, a no ser que se indique otra cosa.
Probabilidad clásica
La probabilidad de ocurrencia de un suceso A se obtiene dividiendo el número de casos favorables
al evento A por el número total de casos posibles (cardinalidad del espacio muestral).
La probabilidad de A se denotará por P(A).
P(A)=
Número de casos faborables para A
número total de casos posibles
Observación:
La probabilidad de que un suceso A ocurra es igual a uno menos la probabilidad de que no
ocurra. P (A) = 1 − P (A′ ); A′ = A no ocurre.
0 ≤ P (A) ≤ 1 o bien 0 % ≤ P (A) ≤ 100 %.
Probabilidades de eventos
Si A y B son dos sucesos no excluyentes (pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurran A o B o ambos está dada por:
P (A o B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Si A y B son dos sucesos excluyentes (no pueden ocurrir ambos al mismo tiempo), la probabilidad de que ocurra A o B está dada por:
P (A o B) = P (A ∪ B) = P (A) + P (B)
Los sucesos A y B se consideran independientes cuando la ocurrencia o no ocurrencia de uno
no influye sobre la probabilidad de ocurrencia o no ocurrencia del otro.
P (A y B) = P (A ∩ B) = P (A) · P (B)
Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral. La probabilidad condicional de A,
dado B, se calcula como la probabilidad del suceso A, bajo la suposición de que el suceso B
ha ocurrido.
P (A/B) =
P (A ∩ B)
P (B)
Probabilidad y triángulo de Pascal (Caras y sellos)
En el triángulo de Pascal se aprecia cuántas combinaciones de caras y sellos pueden salir al lanzar
monedas. Ası́ se puede averiguar la probabilidad de cualquier combinación. Por ejemplo, si se lanza
una moneda tres veces, sólo hay una manera de sacar tres caras (CCC), pero hay tres maneras de
sacar dos caras y un sello (CCS, CSC, SCC), también tres de sacar una cara y dos sellos (CSS,
SCS, CSS) y sólo una de sacar tres sellos (SSS). En resuen la secuencia numérica en el triángulo
de pascal será: 1 - 3 - 3 - 1.
Ejemplo:
¿Cuál es la probabilidad de sacar exactamente dos caras en el experimento de lanzar 4 monedas?
Hay 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 (o 4 × 4 = 16) resultados posibles, y 6 de ellos dan exactamente dos
6
caras. Ası́ que la probabilidad es
, o 37,5 %
16
Triángulo de Pascal
Diagrama de arbol:
Representa de manera gráfica todos los resultados posibles del experimento de lanzar una moneda
reiteras veces.
Por ejemplo, calcular la probabilidad de obtener dos veces cara y una vez sello al lanzar tres veces
seguidas una moneda.
Resultados favorables: 8 (CCC - CCS - CSC - CSS - SCC - SCS - SSC - SSS)
Casos favorables: 3 (CCS - CSC - SCC)
3
Probabilidad =
8
La ley de los grandes números, también llamada ley del azar, afirma que al repetir un experimento aleatorio un número de veces, la frecuencia relativa de cada suceso elemental tiende a
aproximarse a un número fijo, llamado probabilidad de un suceso.
Observa la siguiente tabla, en la que se han anotado las frecuencias del suceso ”salir cara al lanzar
una moneda”.
Lanzamientos 100 150 200 300 400 500
fi
56
68
108 132 208 255
hi
0, 56 0, 45 0, 54 0, 44 0, 52 0, 51
Al aumentar los lanzamientos, las frecuencias relativas se aproximan a un valor 0, 5. Ésa es la
probabilidad del suceso salir cara al lanzar una moneda.
La probabilidad de un suceso es el número al que se aproxima su frecuencia relativa
cuando el experimento se repite un gran número de veces.
Ejercicios
1
1. La probabilidad de extraer una bola roja de una caja es . ¿Cuál es la probabilidad de sacar
3
una bola que no sea roja?
a)
b)
c)
d)
e)
1
3
1
2
3
1
6
Falta información
2. Se lanzan dos dados de distinto color. ¿Cuál es la probabilidad de que sumen 3 ó 4?
a)
b)
c)
d)
e)
1
6
7
36
4
36
5
36
21
36
3. Una rueda está dividida en 8 sectores iguales, numeradas del 1 al 8. ¿Cuál es la probabilidad
de obtener un número impar y mayor que 3?
a)
b)
c)
d)
e)
7
8
1
4
1
2
3
8
5
8
4. Se tienen 10 fichas con los números 44, 44, 45, 46, 46, 46, 47, 48, 48, 49. ¿Cuál es la probabilidad
de sacar una ficha con un número mayor que 46?
a) 0, 4
b) 0, 41
c) 0, 42
d ) 0, 5
e) Ninguna de las anteriores
5. En una caja hay 50 fichas de igual peso y tamaño. 12 son rojas, 20 son cafés y 18 son
amarillas. ¿Cuál es la probabilidad de sacar una roja, una café, una amarilla y nuevamente
una roja, en ese orden y sin reposición?
a)
b)
c)
d)
e)
12
50
12
50
12
50
12
50
12
50
20 18
+
+
50 50
20 18
+
+
+
49 48
20 18 12
·
·
·
50 50 50
20 18 12
·
·
·
49 48 47
20 18 11
·
·
·
49 48 47
+
11
50
11
47
6. Se depositan en una caja tarjetas del mismo tipo con las letras de la palabra HERMANITOS,
luego se saca de la caja una tarjeta al azar, la probabilidad de que en ésta esté escrita una
vocal es:
a)
b)
c)
d)
e)
1
10
2
5
1
5
1
4
2
3
7. La tabla adjunta muestra el nivel educacional que tienen los postulantes a un cargo administrativo
NIVEL EDUCACIONAL
Sexo
Masculino
Femenino
Universitaria Media Básica
250
100
40
225
110
25
Si de este grupo se elige una persona al azar, ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son)
verdadera(s)?
I) La probabilidad que sea varón es de
II) La probabilidad que sea mujer es de
III) La probabilidad que tenga estudios universitarios es de
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d ) Solo I y III
e) Solo II y III
8. En la figura, se tiene una ruleta en que la flecha puede indicar cualquiera de los 4 sectores
y ella nunca cae en los lı́mites de dichos sectores. ¿Cuál(es) de las siguientes proposiciones
es(son) verdadera(s) ?
I) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 1 es de 1/2
II) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 es de 1/4
III) La probabilidad de que la flecha caiga en el número 2 ó en el 3
es de 2/3
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo III
d ) Sólo I y II
e) I, II y III
9. En una urna hay 4 fichas de colores diferentes: roja, azul, verde y amarilla. Una persona saca
una a una las 4 fichas, ¿cuál es la probabilidad de sacar la ficha verde antes de la roja?
a)
b)
c)
d)
e)
1
4
1
2
3
4
1
8
1
24
10. En la caja de la figura hay fichas negras(N) y blancas (B) de igual tamaño y peso. ¿Cuántas
fichas hay que agregar para que la probabilidad de extraer una ficha negra sea ?
a) 1N y 0B
b) 1N y 3B
c) 1N y 4B
d ) 1N y 1B
e) 0N y 1B
11. Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número par menor
que 5?
a)
b)
c)
d)
e)
1
6
2
6
3
6
4
6
Ninguna de las anteriores
12. Si se elige al azar un número natural del 1 al 30, ¿cuál es la probabilidad de que ese número
sea múltiplo de 4?
a)
b)
c)
d)
e)
3
30
23
30
7
30
8
30
6
30
13. Alberto, Bastián y Carlos juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que obtiene una suma
par. En el primer lanzamiento Alberto obtiene un 2, Bastián un 3 y Carlos un 6. ¿Cuál de
las afirmaciones siguientes es verdadera?
a) Todos tienen probabilidad 1/2 de ganar.
b) Todos tienen probabilidad 1/3 de ganar.
c) El que tiene más probabilidad de ganar es Carlos.
d ) Carlos tiene más probabilidad de ganar que Alberto.
e) Bastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos.
14. ¿Cuál es la probabilidad que al lanzar 3 monedas, simultáneamente, 2 sean caras y 1 sea
sello?
a)
b)
c)
d)
e)
3
8
1
8
2
8
1
3
2
3
15. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres números unos al lanzar tres dados?
a)
b)
c)
d)
e)
3
216
1
216
3
8
1
18
Ninguno de los valores anteriores
16. En una tómbola hay 11 pelotitas de igual tamaño y peso numeradas del 1 al 11. Las primeras
5 son rojas y las otras pelotitas restantes son negras. La probabilidad de que al sacar una
pelotita al azar, ésta sea roja y par es:
a)
b)
c)
d)
e)
1
2
2
5
5
11
2
11
1
4
17. En un pueblo hay 1.200 habitantes. Si la probabilidad de que un habitante sea una mujer es
1
, ¿cuántas mujeres hay en el pueblo?
3
a) 200
b) 300
c) 400
d ) 600
e) 800
18. Si la probabilidad de que ocurra un suceso es de 0,45, ¿cuál es la probabilidad de que el
suceso no ocurra?
a) 0,45
b) 0,55
c) 0,65
d ) -0,45
e) -0,55
19. Al lanzar un dado común de 6 caras, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar
o un número menor que 4?
a)
b)
c)
d)
e)
1
6
2
6
4
6
3
6
6
6
20. ¿En cual de los siguientes eventos la probabilidad de ocurrencia es igual a 1?
a) Nacer en un año bisiesto
b) Que al tirar una moneda salga cara
c) Que al sacar 10 cartas de un naipe, ninguna sea trébol
d ) Que un mes tenga 30 dı́as
e) Que al tirar un dado, el número obtenido sea igual o inferior a 6
21. Un dado se lanza 100 veces y se obtienen los siguientes resultados
Cara
1 2 3 4 5 6
Frecuencia 13 15 17 16 20 19
¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)?
I) La probabilidad de obtener par es de un 50 %
II) La probabilidad de obtener las caras 1 ó 3 es de 30 %
III) La probabilidad de obtener la cara 5 es de 20 %
a) Sólo II
b) Sólo III
c) Sólo I y II
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
22. Al lanzar un dado común, ¿cuál(es) de las siguientes aseveraciones es(son) verdadera(s) ?
I) Que salga un 2 es más probable que salga un 6.
II) La probabilidad de obtener un número impar es
1
.
2
III) La probabilidad de obtener un número múltiplo de 3 es
1
.
6
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
23. En la lista de un curso de 40 alumnos hay 17 niñas. Si se escoge un número al azar del 1
al 40, ¿cuál es la probabilidad de que ese número corresponda al de una niña en la lista del
curso?
a)
b)
c)
d)
e)
17
40
1
40
1
17
17
23
23
40
24. Una caja tiene 12 esferas de igual tamaño y peso. Cada una de ellas contiene una letra de la
palabra DEPARTAMENTO. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s) ?
I) La probabilidad de sacar una M es
1
.
2
7
.
12
III) La probabilidad de sacar una A es igual a la probabilidad de sacar una T
II) La probabilidad de no sacar una vocal es
a) Sólo I
b) Sólo III
c) Sólo I y II
d ) Sólo I y III
e) I, II y III
25. Se lanza una vez un dado común, ¿cuál es la probabilidad de que salga un número menor
que 2 o mayor que 4?
a)
b)
c)
d)
e)
1
6
1
2
1
3
2
3
5
6
26. En un liceo hay 180 estudiantes repartidos por nivel de la siguiente forma:
Niños
Niñas
PRIMERO SEGUNDO TERCERO CUARTO
15
20
180
12
30
25
27
33
Si se elige un estudiante al azar ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)
?
I) La probabilidad de que sea un niño es
65
.
180
45
.
180
25
III) La probabilidad de que sea una niña y de segundo es
.
45
II) La probabilidad de que sea un estudiante de tercero es
a) Sólo I
b) Sólo II
c) Sólo I y II
d ) Sólo II y III
e) I, II y III
27. Un competidor debe partir desde M, como se muestra en la figura, y recorrer distintos caminos para llegar a P, Q, R, S o T, sin retroceder. ¿A cuál(es) de los puntos tiene mayor
probabilidad de llegar el competidor?
a) P
b) Q
c) R
d) S
e) T
28. En una caja hay 8 bolitas negras y 4 blancas, todas del mismo tipo. ¿Cuál es la menor
cantidad de bolitas de cada color que se pueden eliminar de la caja, para que al sacar una
3
bolita al azar la probabilidad de que ésta sea negra, sea ?
4
a) 1 blanca y 0 negra
b) 0 blanca y 1 negra
c) 0 blanca y 5 negras
d ) 3 blancas y 5 negras
e) 2 blancas y 2 negras
29. Se tienen nueve fichas del mismo tipo, numeradas del 1 al 9. Si se eligen al azar dos fichas,
¿cuál es la probabilidad de que la suma de los números de ellas sea diferente de 10?
a)
b)
c)
d)
e)
8
9
17
18
16
17
9
10
7
8
30. Si se ha lanzado 3 veces un dado común y en las tres ocasiones ha salido un 4, ¿cuál es la
probabilidad de que en el próximo lanzamiento salga un 4?
a)
b)
c)
d)
e)
1
3
1
6
1
4
3
6
4
6
31. Una bolsa contiene un gran número de fichas de colores, de las cuales algunas son rojas. Si
1
la probabilidad de sacar una ficha roja es , ¿cuál es la probabilidad de sacar una ficha de
3
cualquier otro color?
1
2
1
b)
3
2
c)
3
d) 1
a)
e) No se puede determinar
32. Un club de golf tiene 1.000 socios, entre hombres y mujeres, que participan en las categorı́as
A (adultos) y B (juveniles). Se sabe que 220 hombres juegan en B, 180 hombres en A y 250
mujeres en B. Si se elige un socio del club, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer y juegue
en la categorı́a A?
a)
b)
c)
d)
e)
7
1
·
13 350
1
4
3
5
7
12
7
20
33. Si Se lanzan dos dados comunes, ¿cuál es la suma de puntos que tiene mayor probabilidad
de salir en los dos dados?
a) 12
b) 10
c) 9
d) 7
e) 6
34. Se tienen tres cajas, A, B y C. La caja A contiene 4 fichas blancas y 6 rojas, la caja B
contiene 5 fichas blancas y 7 rojas y la caja C contiene 9 fichas blancas y 6 rojas. Si se saca
al azar una ficha de cada caja, la probabilidad de que las tres fichas sean rojas es:
a)
b)
c)
d)
e)
7
50
1
8
1
252
19
12
19
37
35. Se lanzan 5 monedas simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos una
cara?
a)
b)
c)
d)
e)
1
32
1
2
5
32
1
5
31
32
36. En la figura, la ruleta se ha dividido en ocho partes congruentes entre sı́, donde la flecha no
puede caer en los lı́mites. La probabilidad de que la flecha caiga en alguna de las regiones de
números impares y, al mismo tiempo, se obtenga un número mayor que 3 es de:
1
a)
2
b)
1
4
c)
3
8
d)
1
8
e)
3
4
37. Al lanzar dos dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea 3 o
4?
a)
b)
c)
d)
e)
5
36
7
36
5
12
7
12
1
2
38. En un automóvil viajan 5 personas, dos adelante y tres atrás. Si solo uno de ellos sabe
manejar. ¿De cuántas formas se pueden ordenar?
a) 5
b) 6
c) 10
d ) 24
e) 120
39. En un mazo de naipes de 52 cartas hay 4 reyes. Si se extraen dos cartas sin reposición. ¿Cuál
es la probabilidad de sacar dos reyes?
a)
b)
c)
d)
e)
3
52
4
52
3
52
4
52
3
51
2
51
3
·
51
1
·
51
·
40. En una urna hay bolitas blancas y grises numeradas del 1 al 9. ¿Cuál es la probabilidad de
sacar una bolita gris con un número par?
4
a)
9
b)
2
9
c)
3
9
d)
1
9
e)
5
9
41. Al lanzar un dado dos veces. ¿Cuál es la probabilidad de que salga un 5 en la primera y un
2 en la segunda?
a)
b)
c)
d)
e)
1
6
2
6
1
12
1
36
7
36
42. En un juego de azar hay 30 resultados posibles y equiprobables. José tiene 10 resultados
probables, Paula tiene 8 y Mauricio tiene el resto. De las afirmaciones siguientes. ¿Cuál(es)
es(son) verdadera(s)?
I) Mauricio tiene la mayor probabilidad de ganar.
4
.
II) La probabilidad de que Paula No gane es
15
1
III) José tiene de probabilidad de ganar.
3
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo III
d ) I y III
e) I, II y III
43. ¿En cuál de los siguientes colegios existe mayor probabilidad de que al elegir un alumno al
azar este sea extranjero?
Colegio Total de alumnos Extranjeros
F
380
20
G
580
29
H
600
30
I
450
25
J
400
20
a) F
b) J
c) H
d) I
e) G
44. ¿En cual(es) de las siguientes afirmaciones, la probabilidad de ocurrencia el suceso mencionado, es siempre igual a la probabilidad de no ocurrencia del mismo suceso?
I) Que salga sello en el lanzamiento de una moneda.
II) Que salga un número impar, al lanzar un dado común.
III) Que salga una ficha verde al extraerla al azar, desde una urna que contiene solo fichas
rojas y verdes, todas del mismo tipo.
a) Solo en I
b) Solo en III
c) Solo en I y en II
d ) Solo en I y en III
e) En I, en II y en III
45. Al lanzar cuatro dados comunes, ¿cuál es la probabilidad de que en todos los dados salga un
4?
a)
b)
c)
d)
e)
1
1296
1
6
4
6
4
1296
Ninguno de los valores anteriores
46. Del triángulo de Pascal de la figura se puede inferir el número total de los posibles resultados
que se obtienen al lanzar una moneda hasta seis veces, en forma aleatoria. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s).
I) De la fila 1 2 1 se deduce que, si la moneda se lanza dos veces, teóricamente solo en dos
de los posibles resultados se obtiene una cara y un sello.
II) De la fila 1 3 3 1 se deduce que, si la moneda se lanza tres veces, teóricamente solo se
pueden obtener ocho posibles resultados distintos
III) De la fila 1 6 15 20 15 6 1 se deduce que, si la moneda se lanza seis veces, teóricamente,
en quince de los resultados posibles se obtiene cuatro caras y dos sellos
a) Solo I
b) Solo II
c) Solo I y II
d ) Solo I y III
e) I, II y III