Cap´ıtulo 3 Gestión de Stock en una Farmacia Hospitalaria

Capı́tulo 3
Gestión de Stock en una
Farmacia Hospitalaria
En este capı́tulo se aplicarán las estrategias de control MPC aplicando
múltiples escenarios, reducción de escenarios basado en árboles y chance contrains al problema de la gestión en una farmacia hospitalaria.
3.1.
Introducción
Las cadenas de suministro están compuestas por las estructuras y procesos utilizados por una organización para proporcionar un servicio o un bien a
un consumidor. Desde el punto de vista de la teorı́a de control, las cadenas de
suministro actuales presentan fenómenos interesantes como las oscilaciones,
amplificaciones y retardos [14]. Debido a los retardos de traslado de materiales o retardos informativos, puede ser que la producción o stocks se hallen
en exceso o no alcancen los niveles óptimos. Por estas razones, la dinámica
de las cadenas de suministro han sido analizados en profundidad y han sido
utilizados como un ejemplo de aplicación en varios campos del control; véase
por ejemplo las obras de [15] o [16].
Las consecuencias de una mala polı́tica de control de los nodos en una
cadena de suministro puede variar en función del tipo de bien o servicio considerado. En particular, los fallos en la gestión del stock en una farmacia del
hospital pueden tener consecuencias sociales y económicas catastróficas. Por
29
30
CAPÍTULO 3. GESTIÓN DE STOCK EN UNA FARMACIA
un lado, las necesidades clı́nicas del hospital tienen que ser satisfechas, el costo social de la falta de disponibilidad de medicamentos puede ser muy grave,
ya que puede conducir a la pérdida de vidas humanas. Por otro, no es posible
elevar demasiado los niveles de stock promedio. Los hospitales cuentan con
presupuestos ajustados que imponen limitaciones en la gestión de stocks. [17]
estiman que alrededor de un 35 % de los gastos de hospitalización de los servicios y bienes se deben al departamento de farmacia. En los paı́ses, donde el
sistema de salud es público, estos gastos son muy significativos. Por lo tanto,
la gestión del inventario es una de las principales tareas que un servicio de
farmacia debe llevar a cabo en un hospital. Es un problema complejo, ya que
requiere para establecer un equilibrio entre criterios de optimización muchas
veces contradictorias. Además, otros factores que complican tı́picamente problemas de gestión de inventario también se deben tomar en consideración en
este contexto. Por ejemplo, hay limitaciones sobre la colocación de medicamentos almacenados, en un local de capacidad determinada, especialmente
para aquellos fármacos que tienen que ser conservados a baja temperatura,
y por lo tanto tienen que ser almacenados en un refrigerador. Los retrasos en
las entregas del medicamento y las demandas no deterministas son también
cuestiones importantes en este campo.
Por lo general, los encargados de farmacia aplican polı́ticas muy simples
de control de stock. En particular, una polı́tica (s, S) es habitualmente utilizada, lo que significa que cuando el inventario cae por debajo del nivel s
se hace un pedido para elevar de nuevo a S. Alternativamente, los pedidos
se pueden asignar un tamaño fijo Q y s se define como el punto de pedido. Se debe considerar también que otras estrategias de control de stock de
revisión periódica son posibles, véase, por ejemplo [18] o [19]. Sin embargo,
estas polı́ticas carecen de la flexibilidad suficiente para considerar todos los
factores que intervienen en este problema de optimización de una manera
sistemática. Por esta razón, en este trabajo se propone aplicar el control predictivo basado en modelo (MPC) para el problema de la gestión de stock
(inventarios) del departamento de farmacia.
Las cadenas de abastecimiento y los inventarios también se han beneficiado de la aplicación del MPC. Por ejemplo, [20] y [21] aplica MPC para
suministrar gestión de la cadena de fabricación de semiconductores. [16] utiliza un punto de referencia de la cadena de suministro, el Juego de la Cerveza
del MIT, para probar un algoritmo MPC distribuido con baja carga comunicacional. [22] aplica un MPC robusto al sistema de producción-inventario.
Por último,[23] utiliza una variación del MPC para reducir el número de
parámetros de ajuste en la gestión de los inventarios y las cadenas de sumi-
3.2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
31
nistro.
Para poner a prueba la estrategia propuesta, se realizarán simulaciones
basadas en datos reales del procedimiento Hospital Reina Sofı́a en Córdoba,
España es un hospital universitario de gran tamaño que sobresale en los servicios de trasplantes. El hospital tiene una capacidad total de mil doscientos
camas para los pacientes hospitalizados. Además de estos pacientes hospitalizados, el departamento de farmacia ofrece mensualmente más de cinco
mil entregas de medicamentos para pacientes externos. En este hospital, los
gastos en materia de medicina superan la cantidad de cincuenta millones de
euros al año.
3.2.
Descripción del Problema
Se asume que el inventario de farmacia está compuesto por Ni medicamentos diferentes. El siguiente modelo discreto no lienal será utilizado para
reprensentar la evolución del nivel de stock de medicamentos i:
si (t + 1) = si (t) +
npi
X
oji (t − τij ) − di (t),
(3.1)
j=1
donde si ∈ R es el stock de medicamentos i, oji ∈ R es el número de artı́culos
pedidos a los j-th de los npi proveedores de medicamentos i, τij es el retardo de
transporte correspondiente, y di (k) representa la demanda de medicamentos
i. El número de artı́culos pedidos puede descomponerse como oji = δij (t −
τij )uji (t − τij ), con δij (t) es una variable booleana cuyo valor es uno solo si un
pedido de medicamento i al proveedor j es realizada en un tiempo t, caso
contrario, su valor es cero, y uji ∈ R es el número actual de artı́culos ordenados
en caso de un pedido. Esta descomposición se introduce para simplificar la
contabilidad de costos que están relacionados con la realización de pedidos.
Se consideran los siguientes costos asociados al problema de gestión de
inventario:
pji es el coste que el proveedor j oferta por el medicamento i. Se asume,
por simplificar, que este precio no depende del número de medicamentos
pedidos.
j
Csh,i
son los gastos de pedido del medicamentoi al proveedor j.
32
CAPÍTULO 3. GESTIÓN DE STOCK EN UNA FARMACIA
Cop,i respresenta los gastos asciados a la realización de un pedido de un
medicamento i.
Cos,i es el coste de quedarse sin existencias de medicamentos i, es decir, el coste de la escasez. En este caso, es posible que pedir ayuda a
otros hospitales. Estos préstamos requieren contratar entregas especiales, que pueden tener un alto coste. Además, el riesgo de no ser capaz
de satisfacer las necesidades clı́nicas del hospital es máxima en este
punto.
Cs,i es el coste de almacenamiento del medicamento i.
Los objetivos de la gestión del inventario de farmacia se pueden resumir
en los siguientes puntos:
1. Satisfacción de la demanda. La probabilidad de escasez de medicamentos tiene que ser minimizado. La demanda de los medicamentos no es
determinista. Lo mismo puede ocurrir con el retardo de transporte asociados a los envı́os. Como consecuencia de ello, es común establecer
un stock de seguridad con el fin de hacer frente a la incertidumbre introducida por estos problemas. Dos posibilidades se presentan en este
punto en función de si un stock de seguridad fijo o variable se establezca. En el primer caso, un lı́mite mı́nimo se introduce en el problema
de optimización. En el segundo, el stock de seguridad se convierte en
un parámetro de optimización. De todos modos, esto se traduce en la
siguiente condición matemática:
mı́n
j j
δi ,ui ∀i,j
Ni
N X
X
Cos,i P r(si (t + k) < 0),
(3.2)
k=0 i=1
donde P r(si (t+k) < 0) representa la probabilidad de si (t+k) sea negativa y N es el tamaño del horizonte del tiempo en el cual, la condición
deb ser satisfecha.
2. Minimizar los gastos en la adquisición de medicamentos y los niveles
de inventario, es decir,
mı́n
δij ,uji ∀i,j
npi
Ni X
N X
X
k=0 i=1 j=1
δij (t
+
k)(pji uji (t
+ k) +
j
)
Csh,i
+
Ni
N X
X
Cs,i si (t + k).
k=0 i=1
(3.3)
3.2. DESCRIPCIÓN DEL PROBLEMA
33
3. Minimizar el número de pedidos realizados. Los recursos humanos del
departamento de farmacia son limitados. Por lo tanto, es conveniente
reducir al mı́nimo los costes fijos, que se introducen cada vez que se
hace un pedido. Este objetivo se entiende mejor cuando se toma en
cuenta que, por ejemplo, en un hospital como el Reina Sofı́a más de
doce mil pedidos se realizan durante un año. Matemáticamente, esta
condición es equivalente al siguiente problema de minimización:
mı́n
δ
npi
Ni X
N X
X
Cop,i δij (t + k).
(3.4)
k=0 i=1 j=1
Además, difentes restricciones se deben considerar:
Restricciones de almacenamiento. Por un lado, el stock de medicamentos i tiene que ser mayor que un stock de seguridad minSi , cuya
misión es proporcionar una garantı́a adicional para que se reduzca la
probabilidad de falta de inventario. Por otro, puede haber restricciones
de la sala que limitan el número máximo de muestras de medicamentos
que se pueden almacenar. Por lo tanto,
si ∈ [minsi , maxsi ].
(3.5)
Restricciones de pedidos. Las restricciones en los órdenes requieren
el uso de dos variables diferentes . La primera es una variable booleana que representa si un pedido de un medicamento i se ha realizado
con el proveedor j durante el tiempo t . Por lo tanto, δij (t) ∈ [0, 1] .
En caso de realizar un pedido se debe considerar que existe tanto un
número máximo como un mı́nimo de medicamentos que se puede hacer
el pedido, es decir,
uji ∈ [minuj , maxuj ].
(3.6)
i
i
Restricciones de operación. La farmacia tiene una capacidad limitada para hacer pedidos y la recepción de los envı́os. Por esta razón,
un lı́mite tiene que ser impuesto sobre el número de pedidos realizados
durante un horizonte de longitud N , es decir,
npi
N X
X
δij (t + k) ≤ ∆i ,
(3.7)
k=0 j=1
donde ∆i es el màximo número de pedidos de medicamentos i que
pueden ser realizados durante el horizonte.
34
CAPÍTULO 3. GESTIÓN DE STOCK EN UNA FARMACIA
Restricciones económicas. Se va a considerar una restricción en la
cantidad de dinero que se puede gastar durante el horizonte de N ,
siendo max$ la cantidad máxima. Para simplificar, se va a ignorar los
gastos debido al almacenamiento de medicamentos. Por lo tanto, este
objetivo se puede escribir como:
npi
Ni X
N X
X
j
δij (t + k)(pji uji (t + k) + Csh,i
+ Cop,i ) ≤ max$
(3.8)
k=0 i=1 j=1
3.3.
Problema de optimización en la gestión
de inventario de farmacia
El objetivo del problema de otimización es triple; la demanda debe ser
satisfecha, los activos fijos reducidos y el número de pedidos minimizado. El
sistema se lo puede respresentar como la Figura 3.1.
Figura 3.1: Representación del sistema
Las entradas del sistema son la demanda estimada de medicamentos,
perturbaciones y restriccones. Las salidas son el nivel óptimo de stock, costes
mı́nimos y datos de cuándo y cuántos pedidos deben ser entregados. El ı́ndice
de rendimiento considerado en este trabajo implica una función ponderada
multicriterio donde la demanda de satisfacción, se incluyen los gastos y el
número de pedidos.
3.3. PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
mı́n J = β1 Dem(u, t) + β2 Expenses(u, t)
u
+β3 Orders(u, t),
35
(3.9)
donde Dem, Expenses y Orders son, respectivamente, los términos asociados
a la demanda de satisfacción, los costos y las órdenes. Las salidas del problema
dependen en gran medida de los pesos β, priorizando los diferentes términos.
3.3.1.
Control Predictivo Basado en Modelo (MPC)
MPC es una estrategia de control basado en el uso explı́cito de un modelo
dinámico para predecir la salida del proceso en instantes de tiempo futuros
a lo largo de un horizonte de predicción (N ) [1]. El conjunto de señales de
control futuras se calcula mediante la optimización de un criterio o función
objetivo. Las salidas previstas dependen de las entradas pasadas conocidas y
valores de salidas hasta el instante k y en las señales de control futuras. Sólo
la señal de control calculada para el instante k es enviado al proceso, mientras
que las próximas señales de control se descartan. Algunas de las ventajas que
presenta MPC sobre otros métodos de control de optimización incluyen la
relativa facilidad de implementación, la extensión immediata para el caso
multivariable, y la consideración de las restricciones en la optimización.
En este trabajo, se ha utilizado la técnica de MPC para resolver el problema. A continuación se examinan los términos involucrados en la expresión
(3.9). La primera de ellas está relacionada con la satisfacción de la demanda.
Como se ha dicho, la demanda tiene un comportamiento aleatorio. Por lo
tanto, lo único que podemos hacer es reducir al mı́nimo la probabilidad de
escasez de medicamentos, como se muestra en (3.2).
3.3.2.
Programación MPC
A continuación, se va a presentar algunas consideraciones sobre el problema de control de inventario con el fin de facilitar su aplicación. Por lo tanto,
la función objetivo será minimizar el número de pedidos y gastos realizados.
Sea el sistema definido por:
s(t + 1) = s(t) + o(t − τ ) − d(t),
(3.10)
36
CAPÍTULO 3. GESTIÓN DE STOCK EN UNA FARMACIA
Donde s(t) = [s1 (t), ..., sNi (t)], d(t) = [d1 (t), ..., dNi (t)] y o(t − τ ) =
npi
P
δij (t −
j=1
τij )uji (t − τij )
represneta el número total de artı́culos pedidos. Como se puede
observar, el sistema (3.10) es equivalente a (3.1).
El problema a resolver es el siguiente:
mı́n J
o
sujeto a (3.10) y (3.5)-(3.8). En este problema particular, tenemos que considerar dos variables de control: Una variable booleana δij (t) y uji (t), las cuales
son las componetes de la variable de control o(t). Debido a que la búsqueda de
estas dos variables juntas, resolver el problema de optimización es una tarea
difı́cil, debido a la diferente naturaleza de ellas, este problema se resuelve por
medio de un algoritmo de búsqueda exhaustiva, la solución del problema una
vez para cada escenario posible, dependiendo del valor de {δij (t), ..., δij (t+N )}.
Con este algoritmo, el problema de optimización se resuelve con respecto a
la variable uji (t).
Se puede observar que si δij (t + k) = 0, k ∈ {0, 1, ..., N }, el número de
artı́culos pedidos oji (t + k) = 0. Por lo tanto, para simplificar el problema, el
vector de variables de control {uji (t), ..., uji (t + N )}, es reducido, eliminando
las componentes nulas uji (t + k), esto es:
∀δij (t + k) = 0,

uji (t)

..

 j .
 u (t + k)
 i

..

.
j
ui (t + N )
{z
|
uji (t)








}
k ∈ {0, 1, ..., N },

uji (t)

..

.
 j
 ui (t + k − 1)
→ 
 uj (t + k + 1)
 i

..

.
j
ui (t + N )
|
{z
u’ji (t)
0
donde uji (t) ∈ RN +1 and u’ji (t) ∈ RN +1 , siendo
N0 = N −
N
X
k=0
1 − δij (t + k)





,




}
3.3. PROBLEMA DE OPTIMIZACIÓN
37
Se puede ver que esta operación, es decir, para reducir el vector uji (t) a
se puede lograr mediante un simple cambio de variables.
u’ji (t),
uji (t) = M u’ji (t),
0
donde M ∈ RN +1 × RN +1 .
Por ejemplo, si N = 4:

uji (t)
 uji (t + 1) 

uji (t) = 
 uj (t + 2)  ,
i
uji (t + 3)

y se asumen estos valores: δij (t) = 1, δij (t+1) = 1, δij (t+2) = 0 y δij (t+3) = 1.
Esto significa que uji (t) tiene que ser reducido, ası́ N 0 = 3 y


1 0 0
 0 1 0 

M =
 0 0 0 ,
0 0 1
esta matriz provee el vector reducido:


uji (t)
u’ji (t) =  uji (t + 1)  .
uji (t + 3)
Por lo tanto, u’ji (t) contiene solo los elementos ordenados que no son cero.
Este problema de optimización será resuelto tantas veces como posibles
combinaciones con los valores de {δij (t), ..., δij (t + N )}, para evitar de esta
variable en la optimización, por lo que vamos a obtener el mismo número
de valores de la función objetivo. La combinación óptima de los valores de
{δij (t), ..., δij (t + N )}corresponde con aquella que proporciona el valor mı́nimo
de la función objetivo.
Es necesario prestar especial atención a las restricciones, durante la solución de este problema. No es posible imponer toda la matriz de restricciones
38
CAPÍTULO 3. GESTIÓN DE STOCK EN UNA FARMACIA
al vector reducido u’ji (t), por lo que es necesario aplicar la matriz de transformación M a la matriz de restricciones sólo para las componentes de control
que se están considerando.
3.4.
CC-MPC
En esta sección se presenta la forma de analizar el problema basándose
en restricciones estocásticas. En (3.10), la demanda agregada de d(t) ha asociado una perturbación estocástica, debido a la naturaleza incierta de d(t).
A medida que el estado se ve influido por incertidumbres aditivas d(t), las
limitaciones no pueden ser representados de una manera determinista. Por
lo tanto, se vuelven a escribir de una manera probabilı́stica, por ejemplo:
P (s(t + k) ≥ smin ) ≥ 1 − δs ,
∀k ∈ {1, .., N },
donde δs es la probabilidad de fallo, por lo que es el riesgo de desabastecimiento vinculado. El desarrollo de la última expresión a lo largo del horizonte
de predicción, y suponiendo que las perturbaciones se comportan como una
función de una cierta distribución de probabilidad, es posible calcular o estimar la media y la desviación estándar de la variable de estado. Por ejemplo,
para el primer instante de la horizonte de predicción y suponiendo que las
perturbaciones se comportan como una distribución normal con media µ y
desviación estándar σ, es decir, d(t) = N (µ, σ), se obtiene:
P (s(t + 0) + o(t + 0) − d(t + 0) ≥ smin ) ≥ 1 − δs ,
la cual es normalizada de la siguiente forma:
P
h
P
s(t+1)−s(t+0)−o(t+0)−µ
σ
h
≥
s(t+1)−s(t+0)−o(t+0)−µ
σ
ϕ
smin −s(t+0)−o(t+0)−µ
σ
≤
i
≥ 1 − δs
smin −s(t+0)−o(t+0)−µ
σ
smin − s(t + 0) − o(t + 0) − µ ≤ δs
σ
i
≤ δs
3.4. CC-MPC
39
smin − s(t + 0) − o(t + 0) − µ
≤ ϕ−1 (δs ),
σ
donde ϕ(·) es la función de distribución probabilı́stica. Esto permite escribir
las restricciones de la forma:
−o(t + 0) ≤ s(t + 0) − smin + ϕ−1 (δs )σ + µ.
Para el segundo instante en el horizonte de predicción:
P (s(t + 2) ≥ smin ) ≥ 1 − δs
P (s(t + 1) + o(t + 1) − d(t + 1) ≥ smin ) ≥ 1 − δs
P ((s(t + 0) + o(t + 0) − d(t + 0)) + o(t + 1)
−d(t + 1) ≥ smin ) ≥ 1 − δs
P (s(t + 0) + o(t + 0) − d(t + 0)) + o(t + 1)
−d(t + 1) ≥ smin ) ≥ 1 − δs .
De manera similar a los análisis anteriores, se obtiene:
ϕ
smin − s(t + 0) − o(t + 0) − o(t + 1) − 2µ √
≤ δs
σ 2
smin − s(t + 0) − o(t + 0) − o(t + 1) − 2µ
√
≤ ϕ−1 δs ,
σ 2
con lo cual se puede escribir las restricciones de la siguiente manera:
√
−o(t + 0) − o(t + 1) ≤ s(t + 0) − smin + ϕ−1 δs · σ 2 + 2µ.
En general, para un horizonte de predicción N , tenemos la siguiente restricción que tiene que ser incluido en el problema de optimización detrás del
diseño de la MPC para aplicar las restricciones probabilı́sticas:

1
1


− 1
 ..
.
1

0 0 ··· 0

1 0 · · · 0


1 1 · · · 0 

..  
. 
1
···

1
1


+ 1
 ..
.
1
 
1
 1
  
 1
 ≤   s(t + 0)
  .. 
 .
1 o(t + N − 1)
1

1 √1


2 √2 
 −smin
.
3
3
µ

..
..  ϕ−1 (δ )σ
s
. √. 
N
N
o(t + 0)
o(t + 1)
o(t + 2)
..
.

40
CAPÍTULO 3. GESTIÓN DE STOCK EN UNA FARMACIA
A continuación, se aplica la técnica de CC- MPC propuesta a uno de
los medicamentos de mayor coste que se utiliza en estos hospitales. Además,
este fármaco merece una atención especial, ya que se debe almacenar en un
refrigerador, lo que hace aún más importante para reducir su promedio de
nivel de almacenamiento.
En cuanto al controlador, se ha considerado un horizonte de predicción de
8 dı́as. La evolución de la acción se basa en utilizar el modelo lineal discreto
(3.10). Los pedidos de este medicamento tienen una cantidad mı́nima de 4
unidades y el máximo se ha fijado en 1000. El precio del medicamento es de
250 euros por unidad y cada pedido hecho implica un coste adicional de 2
euros. Las entregas de este medicamento, por lo general, tienen un retraso de
2 dı́as con respecto al momento en el que se realiza la orden. Por último , la
expresión de la demanda de (3.10) es no determinista. Una caracterización
probabilı́stica de su comportamiento se ha calculado para este medicamento
en base a datos históricos. Como resultado, se ha modelado la demanda
diaria como una variable aleatoria normal con media µ = 20 y una desviación
estándar de σ = 15.
Para simplificar, no se han considerado restricciones de almacenamiento
ni de costes vinculados a éste. La restricción implementada se ha realizado
con respecto a las acciones que la probabilidad del desabastecimiento tiene
que ser inferior a 0.001 (es decir , se solicita un nivel de confianza del 99,999
% ).
Una simulación de 230 dı́as se muestra en la Figura 3.2. En azul, se
muestra la evolución del stock utilizando CC- MPC. En rojo, se muestra
la evolución real de las acciones de acuerdo con los datos del hospital. En
ambos casos, el estado es siempre positivo, pero en el caso de CC- MPC el
nivel promedio fue de 291 unidades con una desviación estándar de 101, que
supera los resultados registrados por el hospital (una media de 394 unidades
y una desviación estándar de 186). Se debe tener en cuenta que, por el precio
considerado, esta diferencia corresponde a una cantidad de más de 60.000
euros que se mantiene congelada innecariamente. Finalmente, también es
interesante anotar que durante el perı́odo estudiado el hospital realiza 26
órdenes mientras que la CC- MPC realiza 13. Es decir, la CC- MPC obtuvo
mejores resultados incluso con menos órdenes.
La optimización tiene que hacerse teniendo en cuenta las restricciones
dadas por (3.5) - (3.8). Un problema se resuelve en cada tiempo de muestreo
para calcular una secuencia de control u que lleva el sistema a la referencia
3.5. MPC MÚLTIPLES ESCENARIOS
41
deseada. Para este medicamento, la referencia de valores (stock de seguridad)
se ha establecido en 2.
Figura 3.2: Evolución del stock y pedidos realizados real y simulado.
3.5.
MPC Múltiples escenarios
En esta sección se aplicará la técnica de múltiples escenarios al problema
de gestión del stock de la farmacia. Para aplicar esta técnica no son necesarias los comportamientos probabilı́sticos de la demanda, es suficiente conocer
varios escenarios de las posibles evoluciones de la demanda. El cálculo del
controlador dará como resultado una acción de control capaz de satisfacer
a todas las posibles perturbaciones del sistema ampliado, como se indica en
(3.11).


  
 
I
d1 (t)
s1 (t)
s1 (t + 1)
 d2 (t) 
 s2 (t + 1)   s2 (t)  I 

 
  


 d3 (t) 
 s3 (t + 1)   s3 (t)  I 
 +   o(t − τ ) − 


=
 .. 

  ..   .. 
..







.
. 
.
.

sK (t + 1)
sK (t)
I
donde K es el número de escenarios considerados.
dK (t)
(3.11)
42
CAPÍTULO 3. GESTIÓN DE STOCK EN UNA FARMACIA
En la aplicación de esta técnica al modelo de gestión del stock de la farmacia
(3.10), se han considerado 25 escenarios, los cuales han sido obtenidos de datos
históricos de la demanda del medicamento para K semanas anteriores a partir
del dı́a actual. Los escenarios obtenidos se han realizado con la mitad de los datos históricos y la demanda para cada instante de simulación se han utilizado la
segunda mitad del histórico de datos.
Las simulaciones se han realizado para 230 dı́as, con un horizonte de predicción
y de control de 8 dı́as. La evolución del stock del almacenamiento y los pedidos
realizados se muestran en la Figura 3.3. En color rojo se indica la evolcuión del
stock realizada por el hospital, mientras que en azul, se muestra la evoución del
stock resultado de la aplicación del MPC basado en multi-escenarios.
La optimización tiene que hacerse teniendo en cuenta las restricciones dadas
por (3.5) - (3.8). Un problema se resuelve en cada tiempo de muestreo para calcular
una secuencia de control u válida para cualquier escenario considerado.
Figura 3.3: Evolución del stock y pedidos realizados real y simulado.
Los resultados obtenidos con la aplicación del MPC Multi-escenarios son 18
pedidos, mientras que el hospital realiza, en ese mismo perı́odo, 26 órdenes de
medicamento. El quiebre del stock es de cero para los dos casos, los pedidos que
realizada el Hospital y aplicando multi-escenarios. La media de almacenamiento
aplicando multi-escenarios es 1040, el hospital 394 Con una desviación media de
334 y 186, respectivamente.
3.6. MPC BASADO EN ÁRBOLES
43
Una observación para esta técnica es el esfuerzo computacional realizado, que
es mucho mayor que la técnica de CC-MPC aplicada en la sección anterior. Además
al considerar 25 posibles evoluciones de la demanda, la acción de control es más
conservadora, debido a que se realiza la optimiazación considerando casos extremos.
3.6.
MPC basado en árboles
Esta técnica consite en dar una estructura de árbol con un número de ramificaciones reducidas partiendo de un conjunto inicial de escenarios que representan
las perturbaciones. La reducción de escenarios a una forma de árboles se ha realizado mediante el software GAMS. Una vez reducidos los escenarios se procede a la
optimización de la función de coste, sujeta a las restricciones propias del problema,
adicionando restricciones de igualdad de la acciones de control en los puntos de
bifurcación de las perturbaciones.
El sistema se lo presenta de una forma ampliada para el número de escenarios
reducidos que se considerarán, tal como se inidca en (3.12).

 
 
s1 (t + 1)
s1 (t)
I 0 0 ···
 s2 (t + 1)   s2 (t)  0 I 0 · · ·

 
 
 s3 (t + 1)   s3 (t)  0 0 I · · ·

=
+

  ..   ..
..
..

  .  .
.
.
sR (t + 1)
sR (t)  0 0 0 · · ·
d1 (t)
 d2 (t) 




−  d3 (t) 
 .. 
 . 


0
o1 (t)


0
  o2 (t) 


0  o3 (t) 

..   .. 
.  . 
I
oR (t)
(3.12)
dR (t)
donde R es el número reducido de escenarios a partir de K escenarios originales.
Las restricciones del problema son las mismas consideradas en los apartados
anteriores (3.5) - (3.8). Adicionalmente se debe considerar restricciones de igualdad
para las acciones de control u en los puntos de bifurcaciones, definido por (2.6).
44
CAPÍTULO 3. GESTIÓN DE STOCK EN UNA FARMACIA
3.6.1.
Simulaciones
Las simulaciones realizadas mediante la técnica de árboles, se parte de un
conjunto de 25 escenarios y se hace un árbol con una reducción a 5 escenarios,
que representan la dinámica principal de la evolución de las perturbaciones. Las
simulaciones se han realizado para 230 dı́as, con un horizonte de predicción y
de control de 8 dı́as. La evolución del stock del almacenamiento y los pedidos
realizados se muestran en la Figura 3.4. En color rojo se indica la evolución del
stock realizada por el hospital, mientras que en azul, se muestra la evolución del
stock resultado de la aplicación del MPC basado en árboles.
Figura 3.4: Evolución del stock y pedidos realizados real y simulado.
La optimización tiene que hacerse teniendo en cuenta las restricciones dadas
por (3.5) - (3.8). Un problema se resuelve en cada tiempo de muestreo para calcular
una secuencia de control u válida para el árbolo generado.
Los resultados obtenidos con la aplicación del MPC basado en árboles son
13 pedidos, mientras que el hospital realiza en ese mismo perı́od 26 órdenes de
medicamento. El quiebre del stock es de cero para los dos casos, los pedidos que
realizada el Hospital y MPC basado en árboles. La media de almacenamiento
aplicando técnica de árboles es 183, el hospital 394 Con una desviación media de
334 y 89, respectivamente.
Se puede observar que aplicando esta técnica el stock de almacenamiento del
3.7. COMPARATIVA DEL DESENVOLVIMIENTO
45
medicamento, de igual manera el número de órdenes realizadas en los mismos
perı́odos, son mucho menor que los obtenidos con la aplicación de las dos técnicas
revisadas anteriormente. Una de las desventajas de esta técnica es el esfuerzo
computacional realizado para la reducción de los escenarios en cada uno de los
instantes de la simulación.
3.7.
Comparativa del desenvolvimiento de las
diferentes técnicas aplicadas
En esta sección se realizará una comparativa del desenvolvimiento de la evolución del medicamento en el mismo perı́odo de tiempo. Mediante la Tabla 3.1 se
puede observar las caracterı́sticas obtenidas para cada una de estas técnicas.
Una menor media de almacenamiento y menor desviación estándar se obtienen
mediante la modelación de la demanda como una estructura de árbol. La desventaja de esta técnica es el gran esfuerzo computacional que debe implementar en el
cálculo de la acción de control en cada uno de los instantes de simulación. Por otro
lado mediante CC-MPC, se obtiene el mismo número de pedidos que con árboles,
la diferencia está en el número medio de medicamentos almacenados es mayor en
esta segunda técnica (CC-MPC) que con árboles, la ventaja de esta técnica es
que no se requiere conocer escenarios, únicamente se necesita la determinación de
caracterı́sticas probabilı́sticas de la demanda.
MPC aplicado
Chance- Constraints
Multi-escenarios
Basado en Árboles
Pedidos
13
16
13
Quiebre
0
0
0
Media
291
148
183
Desviación
101
74
89
Tabla 3.1: Comparación de las diferentes técnicas de MPC aplicadas
Una precaución que hay decir con respecto a los resultados en este punto:
puede haber cierta incertidumbre asociada a los datos reales. A veces, ya sea las
dispensaciones de medicamentos o la llegada de nuevos se registran más tarde de
que ocurran. Otra cuestión interesante con respecto a la evolución real son sus
grandes picos, que se asocian generalmente a los pedidos realizados antes de los
perı́odos de vacaciones (no se pueden hacer pedidos a continuación). En cualquier
caso, la diferencia entre el caso real y la simulación es lo suficientemente grande
para creer que la aplicación de este tipo de polı́ticas en este contexto es prometedor.
46
CAPÍTULO 3. GESTIÓN DE STOCK EN UNA FARMACIA