información general de la institución - FaMAF
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Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física RESUMEN El presente trabajo, informa sobre la práctica realizada por las alumnas Gordillo Celeste y Mincoff Paula, en el instituto Obispo Caixal, en los cursos 1° “A” y 1° “B”. El tema desarrollado fue: Operaciones con Números Naturales. Contiene información general de la institución, modalidad de trabajo, desarrollo de la planificación, análisis de una problemática desde una perspectiva teórica y algunas consideraciones finales. PALABRAS CLAVES Números Naturales subcero Cálculo Mental CLASIFICACIÓN 97 – Mathematics Education Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física INFORMACIÓN GENERAL DE LA INSTITUCIÓN Nombre de la Institución: Instituto Obispo Caixal Dirección: Ana María Janer Cursos donde se efectuaron las prácticas: 1º “A” y 1º “B” Cantidad de estudiantes en 1ro “A” y 1º “B” respectivamente: 38 y 39 estudiantes Profesor a cargo: Beatriz Mazzalay Practicantes: 1º "A": Gordillo Celeste 1º "B": Mincoff Paula Horarios de clase: 1º “A”: Martes 10:40 - 12:00 hs. Jueves 8:20 – 10:30 hs. 1º “B”: Jueves 10:40 – 12:55 hs. Viernes 10:40 - 12:00 hs. Período de observaciones: 15 de Junio-01 de Julio, año 2010. Período de prácticas: 22 de Julio- 02 de Septiembre, año 2010. LA INSTITUCIÓN La escuela Obispo Caixal es confesional y de gestión privada. La misma está conformada por dos niveles: Nivel Primario y Nivel Secundario. Los alumnos del primer nivel asisten al colegio por la tarde y los del segundo nivel por la mañana. La institución cuenta con tres pisos. En planta baja se encuentra una cantina, un kiosco, una fotocopiadora, dos canchas de básquet, una sala de computación, una de vídeo, un laboratorio de biología, una mesa de ping pong y una capilla. También en este piso se halla la dirección, la celaduría y los baños para los docentes. Las aulas se distribuyen en el primero y segundo piso, en el primero se encuentra la sala de profesores y en el segundo existe otra sala de vídeo. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Durante los recreos, las aulas son cerradas con llave y los alumnos tienen prohibido su ingreso, excepto que alguno de los preceptores lo permitiese. MODALIDAD DE TRABAJO EN EL AULA Durante las observaciones el tema dictado por la docente fue sistema de numeración, en base al texto Estudiar Matemática 7, de Broitman y otros, Editorial Santillana, 20071. En este período la docente titular desarrolló parte del capítulo I del mismo. Este capítulo consta de los siguientes subtemas: “Escribir, leer y comparar números naturales; relaciones entre sistema de numeración y operaciones; notaciones científicas.” Cada alumno disponía de su propio libro de texto. Generalmente la docente trabajaba con ejercicios del libro, los cuales eran resueltos por los alumnos en sus casas y luego eran corregidos en clase, en el pizarrón u oralmente, y con la participación espontánea de los estudiantes. El ritmo de trabajo en cada una de las divisiones era notablemente diferente. Los alumnos de 1º "A" se encontraban más adelantados en sus tareas que el curso 1º "B". La anterior observación no fue visible en nuestra práctica, tal vez porque la dinámica de trabajo fue distinta. La docente titular destinaba buena parte de sus clases en correcciones de ejercicios dejados de tarea, en cambio, durante nuestra práctica, los alumnos trabajaban mayoritariamente en el aula. Las clases las iniciábamos con un dictado de cálculos que los alumnos debían resolver mentalmente, individualmente o de a dos. Posteriormente, efectuábamos una puesta en común en la que se debatían distintas estrategias para obtener los resultados, la veracidad y conveniencia de las mismas. Los alumnos exponían sus opiniones y dudas desde sus bancos y en algunos casos pasaban al pizarrón a contar sus ideas y justificaciones, fuesen equívocas o no. Los estudiantes también trabajaron con guías de actividades elaboradas por nosotras. En algunas clases efectuaron ejercicios del libro de texto, el mismo no desarrollaba el tema Operaciones con Números Naturales de forma completa (sólo contenía los temas multiplicación y división de Números Naturales). 1 Este libro fue utilizado en nuestra práctica para ejercitar multiplicación y división de Números Naturales, y las propiedades de estas operaciones. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Mientras los alumnos trabajaban en clase, circulábamos por el aula salvando dudas, recogiendo información sobre las producciones de los alumnos, y controlando que se estuviera realizando la actividad pedida. Las actividades que eran de tarea las corregíamos en clase. La docente, durante nuestras observaciones, tomó una minievaluación sorpresa a los alumnos. Esta modalidad de evaluación también fue implementada por nosotras y puesta en práctica poco antes de la evaluación. La minievaluación nos permitió vislumbrar dudas y errores de los estudiantes en los temas analizados hasta ese momento. Además, dicha modalidad incentivaba a los alumnos a estudiar continuamente la materia y no sólo los días previos a la evaluación. TEMA ENSEÑADO EN LA PRÁCTICA: Operaciones con Números Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Naturales Los contenidos que expusimos en nuestras prácticas fueron: adición, sustracción, multiplicación y división de Números Naturales y las propiedades de estas operaciones. Estrategias de cálculo mental. Inclusión del cero en el conjunto de los Números Naturales, notación N0. Algoritmos estándares de la adición y la sustracción. Resolución de problemas. El tema que enseñamos se encontraba en la planificación de la profesora titular en el “Eje 1: Números, operaciones y funciones”, dentro de la Unidad 2 del mismo, cuyos contenidos eran: “El conjunto de los Números Naturales. Los Números Naturales en la recta numérica. Operaciones. Propiedades. El lenguaje simbólico. Múltiplos y divisores. Números primos y compuestos. El menor de los múltiplos comunes. El mayor de los divisores comunes.” PLANIFICACIÓN Y DESARROLLO DEL TEMA DE LA PRÁCTICA Objetivos Generales: Que los alumnos: • Establezcan vínculos entre lo aprendido en clase y sus vidas cotidianas. • Desarrollen y consoliden capacidades de estudio, de aprendizaje e investigación, de trabajo individual y en equipo, de esfuerzo, de iniciativa y de responsabilidad. • Aprendan a aceptar el error propio y ajeno como una instancia de aprendizaje. • Reflexionen sobre diferentes estrategias de cálculo mental y justifiquen sus tácticas. • Creen instancias de evaluación de sus tareas, de las tareas de los demás y de su proceso de aprendizaje. Objetivos Específicos: Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 5 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Que los alumnos: • Utilicen correctamente los algoritmos estándares de las operaciones entre Números Naturales incluido el cero (N0). • Consigan destreza y desarrollen técnicas de cálculo mental de adiciones, sustracciones, multiplicaciones y divisiones en N 0. • Reconozcan la economía de ciertas estrategias de cálculo mental sobre otras. • Utilicen las propiedades de las operaciones en N 0, en las resoluciones de ejercicios y en los cálculos mentales. • Sean capaces de resolver problemas relacionados con la adición, sustracción, multiplicación y división en N0. • Validen sus procedimientos de resolución a través de argumentos basados en conceptos y propiedades. Que nosotras, las practicantes: • Actuemos como guías orientadoras para que los alumnos logren los objetivos anteriores. • Disfrutemos de estas prácticas, y que enriquezcan nuestra experiencia personal y profesional. • Que podamos conocer más acerca de las dimensiones pedagógicas y didácticas de las clases de matemática y del Nivel Secundario. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 6 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Lo que enseñamos y aprendimos en nuestras prácticas quedará expuesto en las siguientes dos secciones: I- Cálculos mentales II- Adición, sustracción, multiplicación y división en Números Naturales. Inclusión del cero en el conjunto de los Números Naturales, notación N0. Propiedades de las cuatro operaciones. Algoritmos estándares de la adición y la sustracción. Resolución de problemas. En estas dos secciones mostraremos: actividades efectuadas en las clases, algunas producciones de los alumnos, comentarios sobre estas producciones y explicaciones que realizamos respecto a un contenido o ejercicio. Las actividades de cálculo mental decidimos exponerlas en una sección separada a los demás contenidos, ya que las mismas las efectuamos durante todo nuestro período de práctica. Además consideramos que es un contenido que es necesario distinguir por su carácter novedoso y fructífero. Vale aclarar que no enseñamos primero los contenidos de la sección I y luego los de la sección II, sino que se efectuaron simultáneamente. Observación: en lo que sigue del informe distinguiremos dos fuentes: letra cursiva para los comentarios nuestros y de los alumnos, letra normal para las actividades que efectivamente se realizaron en las clases, las consignas respectivas y las exposiciones oportunamente realizadas. I- Cálculos mentales Desde el primer día de clases, los alumnos trabajaron con actividades de cálculo mental. Uno de los principales objetivos era que los alumnos desarrollaran distintas estrategias de cálculo mental sin utilizar los algoritmos estándares de las operaciones. A continuación contaremos cómo era la organización del escenario áulico 7 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física durante el desarrollo de estas actividades. Organización del escenario Al inicio de la clase, repartíamos a cada alumno un papel en blanco, no muy grande (ya que ellos debían sólo colocar su nombre, apellido y el resultado del cálculo) y dictábamos una serie de cálculos. Los cálculos eran leídos una vez, luego de treinta segundos aproximadamente los repetíamos, así hasta el último cálculo. Entre cálculo y cálculo los alumnos tenían aproximadamente un minuto para escribir el resultado en el papel con lapicera. Luego, cada alumno nos entregaba su papel con los resultados. Posteriormente, efectuábamos una puesta en común, en la que se debatía, entre otras cuestiones, las estrategias utilizadas para obtener los resultados. Las resoluciones que surgían del debate, se escribían en el pizarrón y eran copiadas por los alumnos en sus cuadernos. El trabajo de cálculo mental fue de forma individual excepto en dos clases, donde los alumnos trabajaron con sus compañeros de banco. Vale aclarar, que en las primeras clases de cálculo mental, algunos alumnos escribían también el desarrollo de la cuenta, lo cual produjo que no tuvieran suficiente tiempo para pensar los ejercicios que dictábamos. A continuación mostraremos las actividades de cálculo mental efectuadas en cada clase, algunas resoluciones de los alumnos, y comentarios y observaciones acerca de las mismas. • En la primera clase trabajamos con las siguientes cuentas: a) 8 + 6 = b) 14 – 6 = c) 7 + 5 = d) 70 + 50= e) 1200 - 500= Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 8 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Mientras dictábamos las primeras cuentas, algunos alumnos usaban los dedos de las manos para resolverlas. Este hecho nos sorprendió, ya que considerábamos que en un primer año los alumnos debían tener interiorizados ciertos resultados. Otros alumnos, al preguntarles ¿cómo hicieron para resolver 8 + 6?, respondieron: "yo ya me acordaba del resultado". Así surgió, a partir de la anterior respuesta, la primera estrategia de cálculo mental: la memoria. Algunos alumnos dijeron de haberlo resuelto de la siguiente forma: 8 + 6 = 8 + 2 + 4 = 10 + 4 = 14, para obtener el 10, unían el 8 y el 2 con un arco por arriba (o por debajo) de estos números. Estos arcos, usados como estrategia para agrupar números, fueron reemplazados en los siguientes ejercicios por los paréntesis. Algunos alumnos ya tenían interiorizado el uso de paréntesis, en cambio otros alumnos, con la práctica comenzaron a usarlos más fluidamente. Uno de los alumnos comentó que usó la siguiente estrategia para resolver el cálculo a): "9 más 6 es 15 y 15 menos 1 es 14", al preguntarle porque eligió esta técnica de resolución, el estudiante contó que él conocía la suma de 9 + 6 por el juego de la escoba (juego de cartas en donde el objetivo es sumar 15). La estrategia utilizada por este alumno nos llamó bastante la atención, ya que relacionó la resolución de una cuenta con un juego de la vida cotidiana. En la cuenta b) los estudiantes utilizaron el resultado obtenido en a), así dedujeron que 14 – 6 = 8. En esta instancia observamos que los alumnos tenían interiorizada la definición de resta. A la cuenta d), gran cantidad de alumnos la resolvió usando la siguiente estrategia: “como sabemos que 7 + 5 es 12 por c), entonces 70 + 50 es 120” y decían: "lo único que hago es agregar un cero". Esta instancia fue aprovechada para recordar el sistema decimal y fundamentar porqué se agrega un cero. La estrategia empleada en la resolución del cálculo d) fue usada en la resolución del ejercicio e). Los alumnos combinaron la estrategia de "agregar ceros" y el resultado del cálculo c). • Continuando con los ejercicios de cálculo, en la siguiente clase dictamos: a) 99 + 20 = Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 9 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física b) 10 + 97 = c) 39 - 20 = d) ¿Cuánto le falta a 24 para llegar a 30? e) Pienso un número, le agrego 3.000 y obtengo 8.000. ¿Qué número pensé? f) 270 + 185 sin hacer el cálculo, ¿será mayor o menor que 500? En la resolución del ejercicio a), un alumno efectuó la siguiente estrategia: 99 + 20 = 99 + 19 + 1 = 100 + 19 = 119, el 100 lo obtuvo al unir con un arco el 99 y el 1.Enfatizando el uso de paréntesis, mostramos la siguiente resolución: 99 + 20 = 99 + 19 + 1 = (99 + 1) + 19 = 100 + 19 = 119. En cada clase insistimos en el uso de los paréntesis como una herramienta de cálculo. Un alumno escribió en el pizarrón: 99 + 20 = 33 + 33 + 33 + 20 = 30 + 3 + 30 + 3 + 30 + 3 + 20 = 30 x 3 + 3 x 3 + 20 = 90 + 9 + 20 = 99 + 20 = 119, observamos que el alumno todavía no había interiorizado el uso de estrategias "económicas" de cálculo. Este estudiante efectuó descomposiciones y utilizó la definición de multiplicación, pero no encontró una estrategia "económica" para obtener el resultado. Además escribió 99 + 20 en la resolución del cálculo 99 + 20. . Cuando le preguntamos cómo obtuvo el resultado final, respondió: "sumé el 0 y el 9, y el 2 y el 9", o sea utilizó el algoritmo de la suma (sumó unidades y luego decenas). Un alumno en el pizarrón resolvió el cálculo b) de la siguiente manera: 10 + 90 = 100 y 100 + 7 = 107. En el progreso de las clases intentamos que los alumnos escribiesen estos cálculos en "una sola línea" y que hicieran uso de los paréntesis (es decir que por ejemplo escribieran: 10 + 97 = 10 + (90 + 7) = (10 + 90) + 7 = 100 + 7 = 107). Durante las prácticas, algunos estudiantes tuvieron dificultades en el uso del signo igual. Un estudiante intentó escribir el cálculo anterior "en una sola línea" y lo resolvió en el pizarrón de la siguiente manera: 10 + 97 = 10 + 90 = 100 + 7 = 107, cuando preguntamos si estaba mal el cálculo, los alumnos respondieron que no. En esta situación advertimos que los alumnos sólo observaban el resultado, que era correcto, pero no notaban que algunas de las igualdades no se cumplían. El uso erróneo del signo igual lo observamos durante Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física todas nuestras prácticas. 2 En el ejercicio c) surgieron dudas a partir de la siguiente resolución: 39 – 20 = 30 – 20 + 9 = 19, algunos alumnos dijeron: "esta mal, la resta no es conmutativa"3. Por este motivo, se manifestó un debate en el que surgió la noción de los números negativos y de las "ubicaciones" de los números en este cálculo (nos referimos a que el 20 es sustraendo y en la resolución hecha por el alumno “sigue siendo sustraendo”). A los ejercicios d) y e) algunos alumnos los resolvieron planteando una ecuación y despejando la incógnita4. El cálculo f) fue distinto a los anteriores, ya que los alumnos debían estimar el resultado. Un alumno concluyó lo siguiente: "como 300 + 200 es 500, y 270 es menor que 300 y 185 es menor que 200, entonces 270 + 185 es menor que 500". Posterior a éste comentario, el alumno con ayuda de sus compañeros, escribió en el pizarrón lo siguiente:"300 + 200 = 500, 270 < 300, 185 < 200, 270 + 185 < 500", observamos que el alumno usó la noción ordinal de los números y simbología de orden. Otros estudiantes para responder este inciso, efectuaron primero el cálculo 270 + 185, no cumpliendo con el enunciado. • La clase siguiente, los alumnos efectuaron con su compañero de banco los siguientes cálculos: a) 5 + 3 + 6 + 5 + 7 + 4 + 9 = b) 20 + 40 + 50 + 80 + 50 + 60 = Posteriormente a la resolución de la actividad, los estudiantes nos entregaron la hoja con las estrategias utilizadas y los resultados. En sus resoluciones, pudimos visualizar falencias y diversidad de estrategias de cálculo. Luego de la entrega de las resoluciones de los alumnos, efectuamos una puesta en común. 2 Ampliaremos sobre este tema en páginas 44-47 Los alumnos conocían la propiedad conmutativa de los Números Naturales (conocimiento que fue adquirido por algunos de ellos en el Nivel Primario). 4 Conocimiento que algunos alumnos adquirieron en el Nivel primario. Metodología y práctica de la enseñanza 1 Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física A continuación presentamos distintas resoluciones: Grupo 1: Grupo 2: Grupo 3: Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Grupo 4: Grupo 5: En el Grupo 1 y en el Grupo 3 observamos que los integrantes no escribieron las resoluciones "en una sola línea". El grupo 1 y el 5 no utilizaron paréntesis en ningún momento de su resolución, pero el grupo 5 usó arcos para asociar sumandos. El Grupo 3 empleó paréntesis en cuentas en las que no hacía falta usarlos. Además, este grupo empleó mal el signo igual. 5 Gran cantidad de grupos efectuaron una similar resolución a la del Grupo 2. En esta resolución, como en la mayoría de los grupos. Los alumnos 5 Ampliaremos sobre este tema en páginas 44-47 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física "acomodaban" los números y los agrupan convenientemente haciendo uso de los paréntesis y en algunos casos de "arcos". El Grupo 4 fue el único que escribió las estrategias utilizadas con sus palabras. En algunas minievaluaciones y evaluaciones observamos cálculos resueltos de esta manera. • Continuando con los ejercicios de cálculo, dictamos a) ¿Cuánto hay que restarle al 99 para obtener 25? b) 475 + 1025= Al primer cálculo algunos alumnos lo plantearon como una ecuación. Un estudiante explicó con sus palabras lo siguiente: "como 100 menos 25 es 75, 99 menos 25 es 74 ya 75 es más chico por uno". El ejercicio b) fue resuelto por un alumno en el pizarrón de la siguiente manera: 475 + 1025 = 400 + 1000 + 75 + 25 = 400 + 1000 + 100 = 1500. Aquí aclaramos que no era incorrecta la resolución, pero que intentaran utilizar los paréntesis cuando descompusieran números y agruparan. Observación: los cálculos mentales y las estrategias utilizadas por los alumnos, se efectuaron sin haber presentado las propiedades de la adición y sustracción de N0. Las actividades de cálculo siguientes, fueron dadas posteriormente a la presentación de estas propiedades (véase sección II). En las clases siguientes, los alumnos efectuaron cálculos mentales con multiplicaciones y divisiones. Continuamos con la misma modalidad de trabajo de cálculo mental de adiciones y sustracciones. Antes de comenzar con los cálculos multiplicativos, pedimos a los alumnos que repasaran las tablas de multiplicar. • Los primeros cálculos multiplicativos fueron: a) 9 x 2 b) 9 x 4 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física c) 7 x 5 d) 7 x 10 e) 7 x 50 Una gran cantidad de estudiantes resolvió estos cálculos correctamente. A los cálculos a) y c) dijeron que los recordaban "de memoria". En el punto b), algunos alumnos descompusieron el factor 4 como 2 x 2, y por el resultado de a), dedujeron que el doble de 18 era 36. Un alumno lo resolvió en el pizarrón de la siguiente manera: 10 x 4 = 40, 40 – 4 = 36. Más adelante, con la presentación de las propiedades de la multiplicación, aclaramos porqué restaban 4 al 40 (9 x 4 = (10 – 1) x 4 = 10 x 4 – 1 x 4 = 40 – 4 = 36 por la propiedad distributiva de la multiplicación en N0). El alumno, que anteriormente en la resolución de un cálculo utilizó el juego de la escoba, resolvió el cálculo c) de la siguiente manera: “en un reloj cuando la aguja más grande está en el 7, marca 35 minutos, por esto supe que 7 x 5 = 35”. Nuevamente esta estrategia nos asombró y nos gustó mucho. Este alumno utilizaba en sus resoluciones hechos de la vida cotidiana 6. El ejercicio d) fue resuelto de manera similar al cálculo b), los alumnos utilizaron que: "10 es el doble de 5, 7 x 10 es el doble de 7 x 5", así obtuvieron 70. Al cálculo e), un alumno lo resolvió en el pizarrón de la siguiente manera: 7 x 50 = 7 x (5 x 10) = (7 x 5) x 10 = 35 x 10 = 350. Este estudiante utilizó paréntesis y el resultado obtenido en c), además descompuso uno de los factores. Vale aclarar que las estrategias utilizadas por este, no fueron empleadas de manera inmediata por todos los alumnos. • La clase siguiente comenzamos con un nuevo dictado de cálculos: a) 9 x 7 b) 7 x 9 c) 6 x 8 d) 48 : 8 6 Este alumno logró uno de los objetivos generales (véase página 5) Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física e) ¿Qué número multiplicado por 5 da como resultado 40? La mayoría de los estudiantes recordaban de memoria el resultado del cálculo a) y del cálculo c). Un alumno lo resolvió en el pizarrón de la siguiente manera: 9 x 7 = 10 x 7 – 7 = 63. Los estudiantes, haciendo referencia al ejercicio b), dijeron: "oh es igual al a)". Observación: en la sección II, mostraremos cómo retomamos estos cálculos para el análisis de la tabla pitagórica (9 x 7 = 7 x 9 = 63 por la propiedad conmutativa de la multiplicación en N0). En la resolución del ejercicio d) un alumno comentó: "como 6 por 8 es 48, 48 dividido 8 es igual a 6". Al cálculo e) un alumno dijo haberlo resuelto utilizando la siguiente estrategia: "pensé qué número, en la tabla de multiplicar, da como resultado 40 al multiplicarlo por 5, así obtuve el 8". Observación: vale aclarar que en esta clase, introdujimos las propiedades de la multiplicación en N0 (véase sección II). • La actividad siguiente los alumnos la efectuaron con su compañero de banco y nos entregaron en una hoja las resoluciones que efectuaron. La consigna era la siguiente: Considerando que 26x25=650, y sin hacer las cuentas, encuentre los resultados de cada uno de los siguientes cálculos. Si usa propiedades de No escribirlas donde correspondan. a) 52 x 25 b) 26 x 75 c) 13 x 25 d) 52 x 75 e) 650 : 26 f) 650 : 50 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Los alumnos consideraron que esta actividad era difícil de comprender y resolver. Al observar que los estudiantes no interpretaban la consigna y decían: "profe no entiendo", efectuamos en el pizarrón la estrategia de resolución del ejercicio a). Aún así, gran cantidad de estudiantes continuó sin comprender cómo debían resolver la actividad. En este ejercicio, a diferencia de los anteriores, los alumnos podían preguntar sus dudas mientras resolvían los ejercicios. Este cambio en la modalidad de trabajo lo efectuamos al observar la gran cantidad de dudas que aparecían mientras lo resolvían. A continuación adjuntamos algunas resoluciones textuales (correctas y erróneas) efectuadas por los alumnos: Ejercicio a): • 52 x 25 = 1300, Asociativa y conmutativa • Sabemos que 52 es el doble de 26. Entonces hacemos 650 x 2 = 1300 • 52 x 25 = (26 x 2) x 25 = (26 x 25) x 2 = 650 x 2 = 1300 Propiedad conmutativa y asociativa • 52 x 25 = 1300, yo multipliqué 26 x 2 y me dio 52, al 52 lo multipliqué por 25. • 52 x 25 = 1300, propiedad conmutativa Ejercicio b): • 26 x 75 = 1950, multipliqué 26 x 75 = 1950 • 26 x 25 = 650 26 x 25 x 3 = 26 x 75 = 1950 650 x 3 = 1950 • 26 x 75 = 26 x (75 : 3) Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física 26 x 25 = 650 x 3 = 1950 • 26 x 75 = (13 x 75) x 2 = 975 x 2 = 1950 Ejercicio c): • 13 x 25 = (13 x 2) x 25 = 26 x 25 = 650 : 2 = 325 • 13 x 25 = 26 : 2 x 25 = (26 x 25) : 2 = 650 : 2 = 325, distributiva • Deducimos que 13 es la mitad de 26 (26 : 2). Entonces calculamos 650 : 2 = 325 • 13 x 25 = (13 x 2) x 25 = (26 x 25) = 650 : 2 = 325 Ejercicio d): • 52 x 75 = 26 x 2 x 25 x 3 = 52 x 75 = 650 x 6 = 3900 • 52 x 75 = (52 : 2) x (75 : 3) = 26 x 25 = 650 x 6 = 3900 Ejercicio e): • Sabemos que 650 es el resultado de 26 x 25. Entonces 650 : 26 es igual a 25, ya que dijimos que 26 x 25 es 650. • 650 : 26 = 25 Ejercicio f): • 650 : 50 = 13 porque 50 es el doble de 25 y la mitad de 25 es 13. • 650 : 50 = 650 : 25 x 2 = (650 : 25) x 2 = 26 x 2 = 52 • 650 : 50 = 26 26 x 25 x 2 = 1300 26 x 50 = 650 x 50 : 2 13 x 2 = 26 26 : 2 = 13 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Durante el debate de este ejercicio pocos alumnos participaron, y la mayoría de los ejercicios los efectuamos nosotras en el pizarrón. La actividad implicaba "un gran salto", ya que los alumnos debían utilizar "el dato" de la consigna (26 x 25 = 650) como una estrategia de cálculo. II- Adición, sustracción, multiplicación y división en Números Naturales. Inclusión del cero en el conjunto de los Números Naturales, notación N0. Propiedades de las cuatro operaciones. Algoritmos estándares de la adición y la sustracción. Resolución de problemas. Mostraremos en esta sección las actividades que desarrollamos de manera simultánea y complementaria a las de cálculo mental, algunas explicaciones que efectuamos, y la minievaluación y evaluación que tomamos. Guía de actividades 1 Ejercicio 1: completa de manera que dé el resultado de la operación indicada, colocando un dígito en cada línea de puntos: a) ….. 3 1 2 ….. b) + ….. 7 ….. 7 ….. 0 - 3 ….. 7 ….. 7 __________________________ 8 1 8 8 3 3 ….. 2 .…. 8 ..… ____________________ 4 2 2 0 9 0 Ejercicio 2: une con flechas cada resultado con el cálculo correspondiente. Intenta hacer estos cálculos mentalmente. 3900 + 1100 3215 1258 – 208 142 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 1 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física 1032 – 22 + 2010 5000 43 + 99 1050 368 + 9 3020 131 + 11 377 ¿Se utilizan todos los resultados? Si hay algún resultado que no se usa, escribe un cálculo utilizando suma o resta, cuyo resultado sea ese número. Ejercicio 3: un cajero automático sólo contiene billetes de 10 y 100 pesos, y cuando se le extrae dinero, está programado para dar billetes del mayor valor posible. a) ¿Cuántos billetes de cada denominación (tipo) usará para pagar $340 y $870 por separado? b) ¿Cuántos billetes de cada tipo entregaría, si paga la suma de ambas cantidades? c) ¿Cuántos billetes de cada tipo entregaría, si paga la diferencia de ambas cantidades? Antes que los alumnos adjuntaran esta guía en sus cuadernos, les pedimos que dejaran dos renglones para colocar un título. Luego de terminar esta guía de actividades y del trabajo paralelo de cálculo mental, decidimos entre todos colocar el siguiente título: “Operaciones con Números Naturales subcero (N 0). Diferentes estrategias de cálculo mental”. Los alumnos comentaban: "un posible título puede ser operaciones con números", nosotras les preguntamos: ¿con qué conjunto de números? Respondiendo a la pregunta anterior, presentamos el conjunto N 0 y explicamos que surge de extender los Números Naturales, ya que se agrega el cero a este conjunto. Vale destacar, que un alumno en esta clase, dijo: "yo tenía entendido que los Números Naturales eran del 1 al 9". Esta idea fue corregida cuando explicamos que el conjunto de los Números Naturales subcero era infinito. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Guía de actividades 2 Ejercicio 1: en el espacio entre un número y otro, anote qué hay que hacer para que aparezca el siguiente. Le damos un ejemplo en el primer cuadro: 350 + 100 1878 450 2453 2555 555 400 1078 1070 1978 4978 4000 Ejercicio 2: explique por escrito cómo hace mentalmente las siguientes operaciones: a) 10 000 – 1999 = b) 5200 – 2199 = c) 1043 + 138 = Ejercicio 3: un campesino poseía caballos, vacas, cerdos y aves de corral. En total tenía 486 vacas, de las cuales 285 eran lecheras; la cantidad de caballos superaba en 43 al número de vacas lecheras; contaba con 270 cerdos menos que vacas y 87 aves de corral menos que cerdos. Cierto día decidió vender 71 vacas lecheras, 47 caballos y dos docenas de cerdos, quedándose con el resto de los animales. ¿Cuántos animales de cada especie posee este campesino luego de la venta? Ejercicio 4: completa la pirámide sabiendo que cada casilla es la suma de las dos casillas que están por debajo de ella. 547 241 57 25 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 90 15 4 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Ejercicio 5: complete los casilleros vacíos de la tabla de modo que las sumas horizontales, verticales y diagonales den el mismo resultado. 7 16 3 2 10 11 9 13 12 5 Guía de actividades 3 1) En la granja de Mario hay 56 aves y 37 cuadrúpedos: a) ¿Cuántos animales hay? b) De las 56 aves, 12 son patos. ¿Cuántas aves no son patos? c) Hay más aves que cuadrúpedos, ¿cuántas aves más hay que cuadrúpedos? d) ¿Cuántas patas hay en total? e) Hoy nacieron otros 9 patos, ¿cuántos hay ahora? 2) Completa los siguientes cálculos: a) 530 +…. = 600 b) 720 +.... = 1.000 c) 45 +…. = 1.000 d) 890 +…. = 3.000 7 Este ejercicio no se encontraba en la fotocopia de la guía de actividades 2, lo copiamos en el pizarrón y los alumnos lo efectuaron de tarea. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física e) 600 + 800 =.... f) 1.500 + 700 =.... g) 900 – 700 =…. h) 800 – 250 =…. i) 1.000 – 400 =…. j) 3.400 – 600 =…. 3) Una compañera de Fede, Valeria, ayudó a su madre en el negocio durante varios días. Al finalizar su tarea, recibió $27 y decidió comprar un reloj que costaba $10 y un adorno de $12 para su madre. a) En la relojería encontró el reloj que buscaba con un descuento de $2 ¿Cuánto dinero le quedó después de esta compra? b) Por el adorno debió abonar $3 más para que se lo enviaran a su casa. ¿Cuánto dinero le quedó después de la segunda compra? 4) Investiguen si la resta de Números Naturales cumple las propiedades de la suma de Números Naturales. 5) Se ha convocado a dos personas para traducir y subtitular películas extranjeras. Por cada película, el traductor de inglés cobra $1500, y el de francés e italiano, $1800. Si se van a proyectar 7 películas en inglés, 3 en francés y 6 en italiano. ¿Cuánto dinero se gastará en el subtitulado? 6) Para resolver 725 + 830, la mamá de María pensó los números dados como suma de otros. Los descompuso así: 725 = 700 + 20 + 5 y 830 = 800 + 30 y luego dijo: 725 + 830 = 700 + 20 + 5 + 800 + 30 = 700 + 800 + 20 + 30 + 5 ¿Qué propiedades de la suma de números naturales le permiten escribir esas igualdades? Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física 7) Aplica las propiedades en las siguientes adiciones, de manera tal que obtengas en cada caso una adición con dos sumandos iguales, y calcula la suma. a) 1 + 2 + 6 + 7 = b) 7 + 9 + 12 + 14 = c) 5 + 15 + 20 + 10 = d) 8 + 14 + 26 + 20 = e) 5 + 3 + 6 + 5 + 7 + 4 + 4 = f) 20 + 50 + 80 + 50 + 50 = En la guía de actividades 2, los alumnos no tuvieron grandes dificultades al resolver los ejercicios. El ejercicio 2 ocasionó algunas dudas que fueron resueltas en el debate de corrección de esta guía. Algunos alumnos escribían: 10000 - 1999 = 10000 - 2000 -1 = 7999 Con respecto a la guía 3, los alumnos efectuaron primero las actividades 1 y 2 de la misma. Luego presentamos las propiedades de la suma en N 0 y posteriormente siguieron trabajando con esta guía. Para resolver el ejercicio 4 utilizaron contraejemplos para mostrar que la resta no cumplía ninguna propiedad de la suma. Observación: entregamos en una fotocopia las siguientes propiedades, espaciadas entre una y otra para que los alumnos escribieran ejemplos que ilustraran a cada una de ellas. Propiedades de la suma • Propiedad conmutativa de la suma: Se puede cambiar el orden de los sumandos sin alterar el resultado, o sea en símbolos: Si a y b son números naturales, a + b = b + a Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física • Propiedad asociativa de la suma: El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado, o sea en símbolos: Si a, b, c son números naturales, (a + b) + c= a + (b + c) • Elemento neutro de la suma: El 0 es el elemento neutro de la suma porque todo número sumado con él da el mismo número, es decir en símbolos: Si a es un número natural, a + 0 = 0 + a = a Para introducir las propiedades de la suma en N 0, planteamos el siguiente problema: Juan va al súper y compra dos artículos: un artículo 1 con un costo de $5 y un artículo 2 con un costo $7. Si Juan le entrega a la cajera primero el artículo 1 y luego el artículo 2, ¿pagaría la misma cantidad si le entregara a la cajera primero el artículo 2 y luego el artículo 1? Los alumnos dijeron: "si, es lo mismo, va a pagar $12 de las dos formas". De esta manera escribimos en el pizarrón 5 + 7 = 7 + 5 = 12 Para presentar la propiedad asociativa, evocamos ejercicios de cálculo mental vistos en la sección I: 7 + 5 = (2 + 5) + 5 = 2 + (5 + 5) = 2 + 10 = 12 Asociativa 8 + 6 = 8 + (4 + 2) = (8 + 2) + 4 = 10 + 4 = 14 Asociativa Observación: los alumnos escribieron estos y otros ejemplos en el espacio dejado entre propiedad y propiedad. Además, reconocieron sin grandes dificultades las propiedades de la suma en N 0 (las mismas fueron trabajadas en los cálculos mentales y algunos alumnos tenían conocimiento previo de estas). Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Para introducir la ejercitación de multiplicación y división en N 0, y las propiedades de la multiplicación en N 0, los alumnos efectuaron las siguientes actividades del libro de texto: Actividad 1, página 20: para un festival de cine se van a colocar butacas delante de una pantalla. a) ¿Cuántas butacas se alquilaron si se piensa organizarlas en 30 filas de 70 butacas cada una? b) Si con las butacas alquiladas se quisiera armar 50 filas, ¿cuántas habría que colocar en cada fila? c) ¿Es posible organizar las butacas en 40 filas con la misma cantidad de butacas cada una sin que sobren sillas?, ¿por qué?, ¿y si fueran 84 filas? d) ¿Es posible poner 25 butacas por fila y usar todas las butacas alquiladas?, ¿por qué?, ¿y 35?, ¿y 45? Actividad 2, página 22: se ha encargado la confección de revistas con la programación del festival. Han llegado en 125 paquetes con un costo de $84 cada uno. Si se hizo un descuento de $3 por paquete y un recargo de $6 sobre el total del envío, ¿cuál o cuáles de las siguientes cuentas permiten calcular cuánto se pagó por la programación? 125 x 84 – 3 + 6 125 x (84 – 3) + 6 125 x (84 – 3 + 6) 125 x 84 - 125 x 3 + 6 Actividad 3, página 22: se va a contratar a 8 personas para trabajar en "Informes", a 4 para trabajar en "Venta de entradas" y a 10 personas para "Seguridad". Cada una de las cuales que trabajen en "Informes" y en "Venta de entradas" cobrará $25 diarios, y las personas de "Seguridad", $50 diarios. Escribí la cuenta que permite calcular el total de sueldos por día que pagarán los organizadores. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Actividad 1, página 23: uno sólo de estos cálculos da como resultado 900. ¿Cuál es? 99 – 9 x 4 + 6 99 – 9 x (4 + 6) (99 – 9) x (4 + 6) (99 – 9) x4 + 6 Actividad 3, página 23: coloca paréntesis donde sean necesarios para que la igualdad sea verdadera en cada caso. a) 74 – 4 x 3 + 7 = 217 b) 74 – 4 x 3 + 7 = 700 c) 600 x 38 – 28 + 3 x 50 = 6150 d) 30 x 5 + 36 - 16 x 400 = 8150 e) 800 : 4 + 4 x 3 – 2 = 204 f) 800 : 4 + 4 x 3 – 2 = 298 g) 44 – 14 + 6 x 10 = 240 Actividad 4, página 23: decidí, sin hacer las cuentas, cuáles de los siguientes cálculos darán el mismo resultado que: 2 x (113 + 62) – 45 : 5. Luego, resuélvelos y verifica tus anticipaciones. a) 2 x (175 – 45) : 5 = b) (2 x 175 – 45) : 5 = c) 2 x 113 + 2 x 62 – 45 : 5 = d) 2 x 113 + 62 – 15 = e) 2 x (175 – 45 : 5) = f) (113 + 62) x 2 – 45 : 5 = En la actividad 1 de la página 20, inciso b), surgieron dudas al dividir 2100 en 50. Los alumnos decían: "le tacho un cero al 2100 y otro al 50 y luego le agrego el cero que había tachado al resultado". Con el mecanismo anterior algunos alumnos obtenían como resultado 420 butacas. Para salvar las dudas explicamos: • Si tuvieran 420 butacas en cada una de las 50 filas, entonces tendrían en total 21000 butacas alquiladas y esto es falso, ya que hay 2100 butacas alquiladas Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física por lo que obtuvieron en a). • Como los alumnos 2100 210 x10 explicamos lo siguiente: = 50 5 x10 habían visto fracciones equivalentes también 210 al cancelar los 10 se5 obtiene: Los alumnos al efectuar estas actividades del libro, practicaron y recordaron, entre otros conocimientos, la resolución de ejercicios combinados. Hicimos mención, en una de las clases, del orden de resolución de operaciones en ejercicios combinados: 1º resolver cálculos que se encuentran entre paréntesis, 2º resolver las multiplicaciones y divisiones, 3º resolver sumas y restas. Para introducir las propiedades de la multiplicación en N 0 los alumnos completaron la siguiente tabla. La misma contenía sólo la primera fila y columna. Esta tabla fue entregada en una fotocopia para que los alumnos efectuaran de tarea: Tabla pitagórica x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 3 0 3 6 9 12 15 18 21 24 27 4 0 4 8 12 16 20 24 28 32 36 5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 6 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 7 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 8 0 8 16 24 32 40 48 56 64 72 9 0 9 18 27 36 45 54 63 72 81 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Del análisis de la anterior tabla surgieron distintas conclusiones y ejemplificaciones que fueron escritas en el pizarrón y copiadas por los alumnos en sus cuadernos. Análisis de la tabla: - Todo número multiplicado por cero da como resultado cero. -Todo número multiplicado por uno da como resultado el mismo número. - La columna del 4 es el doble de la columna del 2. Ejemplo: 3 x 4 = (3 x 2) x 2 = 12 es el doble de 3 x 2 = 6 - La columna del 6 es el doble de la columna del 3. Ejemplo: 5 x 6 = (5 x 3) x 2 = 30 es el doble de 5 x 3 = 15 - La columna del 8 es el doble de la columna del 4. Ejemplo: 5 x 8 = (5 x 4) x 2 = 40 es el doble de 5 x 4 = 20 - La columna del 8 es el cuádruple de la columna del 2. Ejemplo: 5 x 8 = (5 x 2) x 4 = 40 es el cuádruple de 5 x 2 = 10 - La columna del 9 es el triple de la columna del 3. Ejemplo: 9 x 2 = (3 x 2) x 3 = 18 es el triple de 3 x 2 = 6 - Al sumar la columna del 2 y la del 3 obtengo la columna del 5. Ejemplo: 4 x 2 + 4 x 3 = 4 x 5 = 4 x (2 + 3) = 20 - Al sumar la columna del 2 y la columna del 5 obtengo la columna del 7. Ejemplo: 4 x 2 + 4 x 5 = 4 x 7 = 4 x (2 + 5) = 28 -Al sumar las columnas del 3, del 2 y del 1 obtengo la del 6. Ejemplo: 3 x 4 + 2 x 4 + 1 x 4 = 6 x 4 = (3 + 2 + 1) x 4 = 24 - Al restar las columnas del 7 y el 2 obtenemos la columna del 5. Ejemplo: 7 x 3 – 2 x 3 = 5 x 3 = (7 – 2) x 3 = 15 - La diagonal que une el 0 con el 81 es de potencias cuadradas. Ejemplo: 4 x 4 = 42 = 16 - Todo número multiplicado por un número par da como resultado un número par. - Todo número impar multiplicado por un número impar da como resultado un número impar. -Se observa simetría con respecto a la diagonal que une el 0 y el 81. Ejemplo: 3 x Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 2 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física 4 = 4 x 3 = 12 Luego de estos análisis los alumnos observaron que las anteriores conclusiones también valían entre las filas de la tabla. Observación: para el análisis anterior efectuamos un afiche con la tabla pitagórica completa, el mismo fue pegado en el pizarrón, y a partir de este y la tabla que poseía cada alumno, llevamos a cabo esta clase. 8 La siguiente actividad, fue copiada en el pizarrón y efectuada de tarea por los alumnos: • Completa los siguientes cálculos, y ayúdate con la tabla pitagórica para obtener los resultados a) 36 : 6 = b) 36 : 4 = c) 36 : 1 = d) 81 : 9 = e) 4 x ...... = 200 f) ..... x 200 = 800 g) 12 x 20 = h) ...... x 50 = 4000 i) 15 x 30 = j) 8 x .... = 320 Algunos alumnos no comprendieron inmediatamente este enunciado, esto implicó que pocos alumnos realizaran el ejercicio. Durante la corrección del mismo aclaramos como debían usar la tabla pitagórica en este ejercicio (por ejemplo: por lo visto en la tabla, 9x4=36 entonces 36:4=9). 8 Este afiche fue utilizado en clases siguientes, como cuando presentamos las propiedades de la multiplicación en N0. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Con los contenidos enseñados en ambos cursos tomamos las siguientes minievaluaciones. MINIEVALUACIÓN Tema A 1) Resuelve mentalmente y explique los procedimientos usados. Si usa propiedades de Números Naturales subcero, dí cuales son las mismas. a) 1.362 + 99 = b) 1.970 – 98 = c) ¿Cuánto le tengo que restar a 999 para obtener 250? d) 50 + 30 + 60 + 50 + 70 + 40 + 90= 2) A 45 se le restó el resultado de (12 + 27) y luego se le adicionó la diferencia entre 56 y 24. ¿Qué número se obtuvo? 3) En una perfumería un champú cuesta $12, una crema enjuague cuesta $7, y un perfume cuesta $ 58. Una señora llevó dos champúes, tres cremas enjuagues y un perfume y se le hizo un descuento de $21. ¿Cuánto gastó la señora? Tema B 1) Resuelve mentalmente y explique los procedimientos usados. Si usa propiedades de Números Naturales subcero, dí cuales son las mismas. a) ¿Cuánto le tengo que restar a 999 para obtener 250? b) 1572 + 99= c) 90 + 30 + 50 + 60 + 70 + 40 + 50= d) 1860 – 98= Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física 2) En una farmacia, una crema enjuague cuesta $7, un champú cuesta $12 y un perfume cuesta $ 58. Una señora llevó tres cremas enjuagues, dos champúes, y un perfume y se le hizo un descuento de $21. ¿Cuánto gastó la señora? 3) A 46 se le restó el resultado de (11 + 28) y luego se le adicionó la diferencia entre 57 y 25. ¿Qué número se obtuvo? Puntajes de los ejercicios de ambos temas: 1) 4 puntos (cada inciso valía 1 punto) 2) 3 puntos 3) 3 puntos Criterios de evaluación: • Utilización y escritura de estrategias de cálculo mental • Empleo de las propiedades de la suma en N 0 • Reconocimiento de los términos: diferencia, adición y descuento • Resolución de cálculos combinados • Utilización de los algoritmos de la suma y la resta Algunos comentarios sobre las minievaluaciones: • En el ejercicio 1 de ambos temas, observamos algunas falencias en la escritura de las estrategias de resolución y en la identificación de las propiedades utilizadas. Como observamos en las clases de cálculo mental, algunos alumnos hicieron un mal uso del signo igual. Por ejemplo: 1000 – 250 = 750 - 1.9 • En el ejercicio 2 del tema A y en el ejercicio 3 del tema B, algunos estudiantes no reconocieron que operación debían efectuar donde decía "le 9 Ampliaremos sobre este tema en páginas 44-47 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física adicionó...". Algunos alumnos creían que adicionar significaba multiplicar. • En el ejercicio 3 de tema A y en el ejercicio 2 del tema B, algunos alumnos no sabían que significaba "descuento". También observamos errores en cálculos de sumas, restas y multiplicaciones. Resultados de las minievaluaciones: Primero "A" 29% Aprobados Desaprobados 71% Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Primero "B" 19% Aprobados Desaprobados 81% Posteriormente presentamos las propiedades de la multiplicación. Evocamos algunas conclusiones que fueron obtenidas en el análisis de la tabla pitagórica. Propiedades de la multiplicación en No • Propiedad conmutativa del producto: El orden de los factores, no altera el producto, o sea en símbolos: Si a y b son números naturales, a * b = b * a. • Propiedad asociativa del producto: El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Es decir en símbolos: Si a,b,c son números naturales, (a * b) * c = a * (b * c) • Elemento neutro del producto: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque todo número multiplicado por él da el mismo número. Es decir, en símbolos: Si a es un número natural, a * 1 = 1 * a = a Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física • Elemento absorbente del producto: Todo número multiplicado por cero, da como resultado cero. Es decir, en símbolos: Si a es un número natural, a * 0 = 0 * a = 0 • Propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma y la resta: Se puede resolver una multiplicación de dos números si se descompone uno de los factores en una suma o una resta, y se multiplica cada parte de esta descomposición por el otro factor; luego se suman o restan los productos según corresponda, para obtener el resultado final. En símbolos: Si a, b y c son números naturales, (a + b) * c = a * c + b * c y (a – b) * c = a * c – b *c Análogamente a la clase en la que presentamos las propiedades de la suma en N0, entregamos a los alumnos una fotocopia con las propiedades anteriores. En la misma había un espacio entre propiedad y propiedad para que los alumnos escribieran ejemplos. Algunos ejercicios que evocamos para ejemplificar las propiedades, fueron los siguientes: Para la presentación de la propiedad conmutativa recordamos el ejercicio 1 de la página 20 y les preguntamos a los alumnos: si con 30 filas de 70 butacas cada una se obtenían 2100 butacas en total, ¿qué hubiera ocurrido si teníamos 70 filas con 30 butacas cada una? Los alumnos respondieron que obtenían nuevamente 2100 butacas en total. De esta manera, escribimos en el pizarrón: 30 x 70 = 70 x 30 = 2100 También recordamos la simetría que habíamos observado en la tabla pitagórica con respecto a la diagonal que unía el 0 y el 81. Ejemplo: 3 x 4 = 4 x 3 = 12 Luego evocamos un ejercicio de cálculo mental para la presentación de la Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física propiedad asociativa: 7 x 10 = 7 x (5 x 2) = (7 x 5) x 2 = 35 x 2 = 70 Propiedad asociativa Evocando nuevamente los análisis de la tabla pitagórica presentamos la propiedad distributiva: “Si sumamos la columna del 2 y la columna del 3 obtenemos la columna del 5, ejemplo: 9 x 5 = 9 x (2 + 3) = 9 x 2 + 9 x 3 = 18 + 27 = 45”. Propiedad distributiva respecto de la suma “Si restamos la columna del 9 y la columna del 3 obtenemos la columna del 6, ejemplo: 2 x 6 = 2 x (9 – 3) = 2 x 9 – 2 x 3 = 18 – 6 = 12”. Propiedad distributiva respecto de la resta Luego los alumnos investigaron si la división cumplía las propiedades de la multiplicación en N0, y resolvieron los siguientes ejercicios del libro de texto: Actividad 1, página 24: ¿cuál o cuáles de los siguientes cálculos te parece que sirven para resolver 1800 x 9? a) 1800 x 3 x 3 b) 3 x 3 x 1800 = c) 1800 x 3 + 6 = d) 1800 x 3 = 5400 1800 x 6 = 10800 e) 1800 x 10 = 18000 18000 – 1800 = f) 1800 x 10 = 18000 18000 – 1 = 5400 + 10800 = Actividad 2, página 24: ¿cómo harías para resolver 25 x 15 x 4 mentalmente? Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Actividad 4, página 25: ¿qué propiedades de la multiplicación se han utilizado en cada uno de estos procedimientos? a) 29 x 60 = (30 – 1) x 60 = 1800 – 60 = 1740 b) 12 x 45 x 5 x 2 = 12 x 5 x 45 x 2 = 60 x 90 = 5400 c) 412 x 23 = 412 x (20 + 3) = 412 x (2 x 10 + 3) = 412 x 2 x 10 + 412 x 3 = 824 x 10 + 1236 = 8240 + 1236 = 9476 d) 15 x 24 = 5 x 3 x 4 x 6 = 5 x 4 x 3 x 6 = 20 x 18 = 360 Actividad 7, página 25: sabiendo que 455 x 20 = 9100, calcula, sin hacer las cuentas, los resultados de: a) 465 x 20 = b) 555 x 20 = c) 445 x 20 = d) 455 x 21 = e) 455 x 80 = Observación: la actividad 7 es similar al último ejercicio de la sección I de cálculo mental. Posterior a la corrección de los ejercicios anteriores, los alumnos efectuaron las siguientes actividades del libro de texto: Actividad 3, página 27: en una casa de deportes se hizo una compra de 7 pelotas de voley a $ 30 cada una, 10 pelotas de fútbol a $ 45 cada una y 7 pelotas de básquet a $ 32 cada una. Si se descontaron $ 3 por cada artículo, ¿Cuánto se pagó en total? Escribí el cálculo en un solo renglón. ¿Hay una única posibilidad? Actividad 6, página 28: sin hacer las cuentas, decidí cuál o cuáles de los siguientes cálculos darán el mismo resultado que (99 – 6 + 3) : 3 + 4. Explica cómo lo pensaste: Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física a) 4 + (99 – 6 + 3) : 3 b) 99 – (6 + 3) : 3 + 4 c) 99 – 6 + 3 : 3 + 4 d) 99 : 3 + 6 : 3 + 3 : 3 + 4 Actividad 7, página 28: ¿qué propiedades se han usado en la resolución de los siguientes cálculos? a) 15 x 99 = 15 x (100 – 1) = 1500 – 15 = 1485 b) 5 x 6 x 8 x 5 x 2 = 30 x 40 x 2 = 2400 c) 55 x 8 x 2 x 10 = 110 x 80 = 8800 d) 872 : 8 = (800 + 72) : 8 = 100 + 9 = 109 Actividad 8, página 28: a) Escribí dos maneras de resolver 126 x 24 y 24 x 84 en una calculadora en la que no funciona la tecla del 4. Detalla cómo ingresarías exactamente los cálculos en la calculadora, y qué resultado mostraría el visor cada vez. b) ¿Qué propiedad o propiedades de la multiplicación utilizaste para resolver el problema 8.a? Actividad 9, página 28: usa las propiedades de las operaciones de manera tal que los siguientes cálculos se transformen en cuentas fáciles de resolver mentalmente: a) 497 x 22 = b) 5 x 15 x 4 = c) 700 : 14 = d) 9864 : 8 = Actividad 12, página 28: usando que 333 x 40 = 13320, calcula, sin hacer las cuentas, los resultados de: a) 433 x 40 = b) 330 x 40 = Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física c) 333 x 80 = d) 666 x 40 = e) 353 x 40 = Observación: estas últimas actividades las dimos en forma de repaso para la evaluación. EVALUACIÓN DE MATEMÁTICA Tema A 1) Sabiendo que 12 x 20 = 240, calcula sin hacer las cuentas los siguientes resultados. Si usa propiedades de los números naturales subcero, di cuales son las mismas. a) 24 x 20 = b) 12 x 21 = c) 11 x 20 = d) 240 : 12 = e) 240 : 40 = 2) En una compra de 30 remeras a $15 cada una, se hizo un descuento de $2 por producto. Por el envío de toda la compra se cobraron $5 más. ¿Cuánto se pagó en esa compra? 3) Resuelve mentalmente y explique los procedimientos usados. Si usa propiedades de los números naturales subcero di cuales son las mismas. a) 12000 – 1999 = b) 400+300+500+600+200+800+700 = c) 25 x 8 x 4 x 10 = d) ¿Cómo podrías usar la calculadora en la que no funciona la tecla 6 para resolver 1406 x 6 =? Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 3 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física e) 3855 + 999= 4) A 64 se le adicionó el resultado de 60 : 3 y luego se le restó la diferencia entre 99 y 12 x 7. ¿Qué número se obtuvo? Tema B 1) Resuelve mentalmente y explique los procedimientos usados. Si usa propiedades de los números naturales subcero di cuales son las mismas. a) 14000 – 3999 = b) 400+500+600+300+200+700+800 = c) 8 x 25 x 4 x 10 = d) ¿Cómo podrías usar la calculadora en la que no funciona la tecla 7 para resolver 1407 x 7 =? e) 4866 + 999 = 2) Sabiendo que 12 x 20 = 240, calcula sin hacer las cuentas los siguientes resultados. Si usa propiedades de los números naturales subcero, di cuales son las mismas. a) 12 x 21 = b) 24 x 20 = c) 11 x 20 = d) 240 : 40 = e) 240 : 12 = 3) A 74 se le adicionó el resultado de 80 : 4 y luego se le restó la diferencia entre 199 y 12 x 9. ¿Qué número se obtuvo? 4) En una compra de 30 remeras a $15 cada una, se hizo un descuento de $2 por producto. Por el envío de toda la compra se cobraron $5 más. ¿Cuánto se pagó en esa compra? Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Puntajes de los ejercicios del tema A: 1) 2,5 puntos (cada inciso valía 0,5 puntos) 2) 2,5 puntos 3) 2,5 puntos (cada inciso valía 0,5 puntos) 4) 2,5 puntos Puntajes de los ejercicios del tema B: 1) 2,5 puntos (cada inciso valía 0,5 puntos) 2) 2,5 puntos (cada inciso valía 0,5 puntos) 3) 2,5 puntos 4) 2,5 puntos Criterios de evaluación: • Utilización y escritura de estrategias de cálculo mental • Empleo de las propiedades de las operaciones en N 0. • Relaciones entre la suma y la resta por un lado, y por otro entre la multiplicación y la división. • Interpretación y resolución de problemas. • Empleo de los algoritmos de las operaciones suma, resta, multiplicación y división. • Reconocimiento de los términos: diferencia, adición y descuento • Resolución de cálculos combinados Algunos comentarios sobre las evaluaciones: • En el ejercicio 3 tema A y en el ejercicio 1 tema B, al igual que en las minievaluaciones, observamos falencias en la escritura de las estrategias de resolución y en la identificación de las propiedades utilizadas. Algunos Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física alumnos utilizaron mal el signo igual. Por ejemplo: 30 x 13 = 390 + 5.10 • Al ejercicio 2 del tema A y al 4 del tema B, gran cantidad de alumnos lo resolvió correctamente. • El ejercicio 1 del tema A y el 2 del tema fue resuelto correctamente por pocos alumnos. Vale aclarar que los alumnos trabajaron con ejercicios similares a éste en clases, sin embargo, hubo estudiantes que no resolvieron el ejercicio. Algunos alumnos emplearon mal las propiedades de la multiplicación. Por ejemplo: 11 x 20 = (12 – 1) x 20 = 12 x 20 - 1. • En el ejercicio 4 del tema A y en el ejercicio 3 del tema B algunos alumnos plantearon incorrectamente la siguiente parte del problema: "...le resto la diferencia entre...". Resultados de las evaluaciones: Primero "A" 24% Aprobados Desaprobados 76% 10 Ampliaremos sobre este tema en páginas 44-47 Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física Primero "B" 31% 69% Aprobados Desaprobados Al término de las evaluaciones y en forma de cierre, vimos en vídeo el capítulo: “Los números más allá de la escuela” del programa "Horizontes", emitido por el Canal Encuentro y conducido por Oski Guzmán. Este vídeo se puede ver y descargar en: http://descargas.encuentro.gov.ar/emision.php?emision_id=143 La sinopsis del capítulo, que aparece en el sitio correspondiente, es la siguiente: "El uso de los números más allá de la escuela. ¿Dónde? En todo el mundo actual la manera de escribirlos es la misma: se usa el sistema decimal de cifras arábigas, que desde la India llegó a Europa y se expandió por toda la Tierra. ¿Cómo? Números para ordenar, para medir, como códigos, para calcular. Presencia de las calculadoras en nuestra sociedad". El vídeo además de dar cierre a los contenidos enseñados, informó a los estudiantes acerca de la historia de la matemática (que no es muy difundida en las instituciones educativas) e introdujo ciertos contenidos que los alumnos trabajarían posteriormente con la docente titular. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física ANÁLISIS DE UNA PROBLEMÁTICA DESDE UNA PERSPECTIVA TEÓRICA En esta sección expondremos, basándonos en conocimientos teóricos, una breve reseña histórica de la evolución en la metodología de enseñanza del cálculo mental en la escolaridad obligatoria. También, adjuntaremos diferentes distinciones entre el cálculo mental y el algorítmico. Posteriormente, efectuaremos el análisis de una problemática observada en nuestra práctica. Tomaremos como referencia, para estos análisis teóricos, las investigaciones realizadas por Kieran y Gómez Alfonso, entre otros. Gómez Alfonso expone lo siguiente: "Lo que conocemos en la enseñanza escolar como cálculo mental no ha sido objeto de enseñanza hasta épocas recientes. No es que antes no se hiciera Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física cálculo mental, sino que no se enseñaba como tal, no aparecía en los libros de texto, y no coincide con lo que actualmente se entiende por cálculo mental…” (2005: 20).”Poco a poco se irá abandonando la teoría de las facultades hasta llegar a otra más orientada al utilitarismo y a las aplicaciones de la vida real. Bajo esta idea se introduce el término “cálculo mental” para referirse a un tipo de cálculo que pretende desarrollar la “agilidad mental y el “cálculo rápido”. (2005:24) El autor en este mismo artículo (véanse páginas 21:24), examina cronológicamente la evolución en la enseñanza de los métodos de cálculo mental. Durante el siglo XIX el método de enseñanza consistía en la presentación de distintos procedimientos sobre una misma operación. Estos no se relacionaban en ningún caso con las propiedades y principios de fundamentación. Al comenzar el siglo XX, se efectuaron cambios en los métodos de enseñanza ya que se consideró que la mente estaba constituida por facultades, que, como músculos, se fortalecían y formaban con el entrenamiento. Esto último, llevó a considerar a la "disciplina mental" como un objetivo educativo que se lograría con la enseñanza de distintas materias, entre ellas la Aritmética mental. Actualmente, la actividad de cálculo mental suele encontrarse en los programas de matemática. En las clases actuales, los ejercicios de cálculo mental tienen como finalidad que los alumnos establezcan relaciones con la vida diaria, que utilicen herramientas de fundamentación (como las propiedades) y que desarrollen agilidad en los cálculos. Diferentes autores distinguen entre cálculo mental y cálculo algorítmico: "...los procedimientos de cálculo mental se definen por contraste con aquellos que responden a cálculos algoritmizados. Estos últimos consisten en una serie de reglas aplicables en un orden determinado, siempre del mismo modo, independientemente de los datos que garantizan alcanzar el resultado buscado en un número finito de pasos. Las cuentas convencionales que se utilizan para resolver las operaciones constituyen procedimientos de este tipo: en ellas se recurre a una única técnica para una operación dada, siempre la misma, independientemente de cuáles sean los números en juego. El cálculo mental, en cambio, hace referencia al “conjunto de procedimientos que, analizando los datos por tratar, se articulan sin recurrir a un algoritmo preestablecido, para obtener Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física resultados exactos o aproximados”11. Es decir, se caracteriza por la presencia de una diversidad de técnicas que se adaptan a los números en juego y a los conocimientos (o preferencias) del sujeto que las despliega". (Wolman 2006:13) En nuestra práctica intentamos que los alumnos utilizaran diferentes estrategias de cálculo, y que las usaran de manera complementaria y en algunos casos yuxtapuestas al cálculo algorítmico: " …el hecho de que el cálculo mental se distinga del cálculo algorítmico no supone que se oponga a él; todo lo contrario, los conocimientos construidos acerca de uno y otro tipo de cálculo se alimentan recíprocamente (...) todo cálculo algorítmico contempla momentos de apelación al cálculo mental y se enriquece con sus aportes, tanto para anticipar y controlar la magnitud del resultado como para comprender el sentido de los pasos del algoritmo convencional"(Wolman, 2006:15). Las actividades de cálculo mental las consideramos necesarias para el aprendizaje de las operaciones en N 0, sin descartar por supuesto, la utilización de los algoritmos convencionales. Cuando dictábamos una actividad de cálculo mental, los alumnos procedían de distintas maneras y en algunos casos utilizaban los algoritmos convencionales. En nuestras prácticas, intentamos que los estudiantes conocieran y usaran, además de estos algoritmos, diferentes estrategias basadas en las propiedades de las operaciones. En la sección I de Cálculo mental, dimos a conocer diferentes hechos que ocurrieron en nuestras prácticas. En algunas clases y evaluaciones, algunos estudiantes tuvieron dificultades en el uso del signo igual. Un estudiante, en una de estas clases, intentó escribir "en una sola línea" el cálculo 10 + 97 y lo resolvió en el pizarrón de la siguiente manera: 10 + 97 = 10 + 90 = 100 + 7 = 107, cuando preguntamos si estaba mal el cálculo, los alumnos respondieron que no. En esta situación advertimos que los alumnos sólo observaban el resultado, el cual era correcto, pero no notaban que las igualdades no se cumplían. El uso erróneo del signo igual, lo observamos en distintas instancias durante toda nuestra práctica. Kieran (1992) aclara que en la escuela se utiliza el signo igual más para anunciar un resultado que para expresar una relación simétrica y transitiva: "el 11 Parra, Cecilia. “El cálculo mental en la escuela primaria”, citada por Wolman. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física signo igual se lee como “da” indicando una relación direccional, izquierda– derecha". En la resolución efectuada por el alumno, observamos claramente lo expuesto por Kieran con respecto a la consideración del signo igual como unidireccional. “Un uso erróneo del signo igual consiste en encadenar operaciones en expresiones tales como 8 + 4 = 12 + 5 = 17.” Con respecto a un trabajo anterior, la misma autora explicita “la dificultad en la aceptación de la falta de clausura, es decir, la dificultad de considerar expresiones (aritméticas o algebraicas) como entidades en sí y la necesidad de que aparezca expresado el resultado o valor de cada expresión”. (Kieran, 1981) Cuando los alumnos en la clase respondieron que el procedimiento para calcular 10 + 97 era correcto, señalamos cada signo igual escrito en el pizarrón y preguntamos: ¿es correcto que 10 + 97 es igual a 10 + 90? Los alumnos dijeron: "¡ah entonces no está del todo bien la cuenta!". El alumno que había efectuado la resolución en el pizarrón, volvió al mismo para corregirla y escribió: 10 + 97 = 10 + 90 + 7 = 100 + 7 = 107. Vale destacar, que este alumno no utilizó paréntesis, ni tampoco los usó cuando pasó al pizarrón a corregir este cálculo. Kieran enuncia: "Otro tópico de investigación es la conciencia de la sintaxis algebraica (¿porqué se puede considerar que 2a+a+15 es igual a 3a+15, en tanto que a+a+a*2, no es 3a*2?) (...) el estudiante tiene que aprender a colocar paréntesis. En general los estudiantes leen de izquierda a derecha, de manera que no ven la necesidad de utilizarlos. Uno de los requisitos primordiales para generalizar e interpretar adecuadamente las representaciones estructurales es la concepción del carácter simétrico y transitivo de la igualdad. Normalmente se considera como un símbolo separador". Como expone Kieran, el uso incorrecto del signo igual, trae aparejado la no utilización de paréntesis en las resoluciones. A continuación exponemos otras resoluciones efectuadas por los alumnos en las que podemos observar utilizaciones erróneas del signo igual: Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física A MODO DE CONCLUSIÓN... "(…) la experiencia provoca la aparición del pensamiento (ideas, teorías), el cual actúa luego como un instrumento reorganizador de aquella" Dewey, citado por Gvirtz y Palamidessi (2006:78) Las prácticas que efectuamos forman parte de nuestra experiencia como estudiantes de profesorado y como futuras educadoras. Durante el desarrollo y acción de las mismas, y en momentos anteriores y posteriores, pudimos contrastar muchos de los aspectos teóricos y prácticos, que observamos y estudiamos durante nuestra carrera, con vivencias áulicas. La experiencia invita a reflexionar, idear, relacionar. Esta experiencia en muchos aspectos permitió lograr Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física varios de nuestros objetivos, tanto los personales como los de los alumnos. Coincidimos con Gvirtz y Palamidessi (2006:168): " Los papeles de enseñante y aprendiz son transitorios y reversibles”. Durante nuestra práctica aprendimos y enseñamos, simultáneamente y complementariamente. Aprendimos de nuestras docentes a cargo de la materia Metodología y Práctica de la enseñanza, de los docentes a cargo de las demás materias que cursamos, de nuestros compañeros, de la institución donde efectuamos las prácticas, de nuestros alumnos, de nuestro accionar en el aula, de nuestras dudas y equivocaciones, y de los debates en las materias. Todos estos aprendizajes, los pudimos volcar al momento de realizar nuestras prácticas, haciendo de esta manera transitorio nuestro rol de aprendices. "La planificación no se realiza desde la nada, en abstracto" (Gvirtz y Palamidessi, 2006:179), la tarea de planificar no es sencilla. A la hora de planificar un contenido a enseñar, se deben tener en cuenta diferentes variables (véase Gvirtz y Palamidessi, 2006:188), las mismas están condicionadas por el programa de la materia, el tiempo destinado al desarrollo del tema, los conocimientos previos de los alumnos, el grupo humano (alumnos), entre otros condicionantes. Así, coincidimos con Gvirtz y Palamidessi al decir que: "educar es afirmar un proceso selectivo" (2006:24). La planificación es parte del proceso de educación, y cuando la planificación entra en acción, se educa (o eso es lo que se intenta) a los destinatarios de tal proyecto. En el proceso de educación, educar sería una de las etapas finales del proceso. Diseñar una planificación es una selección: de expectativas, de contenidos, de materiales, de condicionantes, etcétera. Esta experiencia, nos permitió conocer algunas de las dimensiones de la planificación, como sus variables y condicionantes, y responder preguntas como: ¿qué contenidos enseño?, ¿cómo los enseño?, ¿en qué orden los enseño?; ¿qué materiales utilizo?, ¿cómo evalúo los contenidos enseñados?, ¿qué "impacto" tendrá cierto ejercicio?, ¿cómo resolverían tal ejercicio los alumnos?, entre otras. Cuando uno planifica, piensa, revé, predice, duda, se ubica en el lugar del alumno, selecciona. Planificar es una multitarea, al que se le destina mucho tiempo, pero que gratifica al verla en acción. Como dijimos, la planificación es parte del proceso Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 4 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física de educación. En esta experiencia conocimos muchos de sus matices, pero todavía hay mucho por conocer y aprender. Con respecto a los contenidos enseñados en nuestras prácticas, consideramos que el tema Cálculo mental con Números Naturales merece una mayor inclusión en los programas de matemática ya que puso de manifiesto en varias instancias de su desarrollo un ítem que es importante considerar: "...la experiencia basada en los intercambios de la vida extraescolar debe ser ampliada y sistematizada a través del aprendizaje que se realiza en la escuela" (Gvirtz y Palamidessi, 2006:143). Lograr esta conexión entre la comunidad escolar y la vida de cada alumno, debería ser un objetivo permanente en las planificaciones de los docentes. Los ejercicios de cálculo mental provocaron en algunas instancias esta conexión (como se observa en la sección I), que debería ser infaltable en todo proyecto de educación. Coincidimos con Gvirtz y Palamidessi (2006:144): "crear el espacio de comprensión común requiere de un compromiso de participación por parte de los alumnos y del profesor en un proceso abierto de comunicación y metacomunicación". Este espacio, es parte del proceso de educación, y es totalmente necesario y poco habitual en las aulas actuales. Como sabemos, en toda actividad social (como por ejemplo en la educación), el "intercambio humano" es necesario e infaltable (ya sea lingüístico, de valores, de conocimientos, etcétera, esto dependerá del ámbito social). No en todas las actividades sociales, este intercambio "enriquece" a los vinculados (la educación debería enriquecer el conocimiento de los alumnos y docentes). Ir al súper, viajar en colectivo, ir al hospital, ser alumno, ser docente, son actividades sociales que implican participación de los miembros que efectúen la actividad, pero no en todos los casos los miembros participan de manera comprometida. Los alumnos y los docentes participan en un mismo ámbito, el educativo, pero en la mayoría de los casos actuales, sus roles, sus ideas y sus intenciones, no logran conectarse y comprometerse para crear un espacio común, de comprensión, que sea inclusivo, didáctico y abierto. En un espacio donde los roles de los alumnos y los docentes sean reversibles, donde los alumnos y docentes pregunten y se pregunten ¿por Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 5 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física qué?, donde las respuestas se busquen entre todos y "el comprender" signifique más que aprobar la evaluación. Algunos debates de ejercicios de cálculo mental, lograron esa metacomunicación que todo docente desea o debería desear en sus clases. No es imposible crear ese ambiente común, para lograrlo no hay que vencerse, hay que idear, incluir, participar comprometidamente, preguntar, experimentar y nunca dejar de educar. Deseamos agradecer: a nuestras docentes a cargo de la materia Metodología y Práctica de la enseñanza: Dilma Fregona, Marta Parnisari, Erika Delgado, y a los demás docentes a cargo de las materias de profesorado; a la Institución Obispo Caixal, a la docente Beatriz Mazzalay y a nuestros alumnos de las prácticas; a nuestros compañeros y amigos, y a nuestras estimadas familias; a cada uno de ellos les agradecemos por todas las enseñanzas que nos transmitieron, por el acompañamiento en esta buena experiencia y por los gratos momentos que compartimos juntos. "Estamos observando, dudando, conociendo, descubriendo, comparando, estamos transitando por nuevos caminos; hay mucho por discutir, analizar, cambiar, son cimientos, pero no hay que dejar de construir y reconstruir". Celeste y Paula. BIBLIOGRAFÍA: • Broitman, Claudia. Grimaldi, Verónica. Ponce, Héctor (2007), Estudiar Matemática 7, Ed. Santillana, Buenos Aires. • Barallobres, Gustavo (1998), Matemática 7 EGB. Ed. AIQUE, Buenos Aires • Jesé, Fabián (s/d), Matemática 7, Ed. Nuevas propuestas. • Gvirtz, Silvina. Palamidessi, Mariano (2006) El ABC de la tarea docente: currículum y enseñanza, Ed. AIQUE, Buenos Aires • Gómez Alfonso, Bernardo. La enseñanza del cálculo mental, Revista Iberoamericana de Educación Matemática, Diciembre de 2005, Número 4, Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 5 Universidad Nacional de Córdoba Facultad de Matemática, Astronomía y Física pp: 17 – 29 • Kieran, Carolyn (1981). Conceps associated with the equality symbol, Educational Studies in mathematics, pp: 317-326 • Kieran, Carolyn (1992). The Learning and Teaching of School Algebra, in Handbook for Research on Mathematics Teaching and Learning, Ed. Grouws, Macmillan, New York, pp. 390-419. Traducción realizada por Vilma Mesa y completada por Humberto Alagia y Dilma Fregona, material utilizado en el Profesorado en Matemática de FaMAF. Documentos curriculares: • Fregona Dilma y otros (2006): Material de estudio de matemática del Programa de Educación a Distancia del Ministerio de Educación de la Provincia de Córdoba. • Wolman, Susana (2006): Cálculo mental con números naturales: apuntes para la enseñanza, Secretaría de Educación del gobierno de la Ciudad de Buenos Aires. Metodología y práctica de la enseñanza Gordillo Celeste Mincoff Paula 5
