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Tema 5: Oscilaciones y Ondas
• Movimiento oscilatorio: el oscilador armónico
Una partícula tiene un movimiento oscilatorio (vibratorio) cuando se mueve periódicamente alrededor
de una posición de equilibrio. Existen infinidad de ejemplos de movimientos oscilatorios. Así, el
movimiento de un péndulo es oscilatorio. Un peso unido a un resorte estirado comienza a oscilar
cuando se suelta el resorte. Los átomos de un sólido y en una molécula vibran unos respecto a otros.
Los electrones de una antena emisora o receptora oscilan rápidamente.
Entender el movimiento oscilatorio es esencial para el estudio de los fenómenos ondulatorios
relacionados con el sonido y la luz.
De todos los movimientos oscilatorios, el más importante es el movimiento armónico simple (MAS).
Además de ser el más sencillo de describir y analizar, constituye una descripción bastante precisa de
muchas oscilaciones que se observan en la naturaleza. Para un objeto que experimenta un MAS se
tiene:
x = A cos( wt + ϕ )
v=
a=
dx
⇒ v = − Awsen( wt + ϕ )
dt
dv
⇒ a = − Aw 2 cos( wt + ϕ ) = − w 2 x
dt
donde x se conoce como elongación desde la posición de equilibrio, A es la amplitud, es decir, la
máxima elongación o desplazamiento máximo a partir del origen, y ϕ es la fase inicial. La
frecuencia angular w, la frecuencia f y el período T están relacionados por:
w = 2π f =
2π
T
El MAS está originado por una fuerza restauradora F = −kx (ley de Hooke) inversamente
proporcional al desplazamiento x, donde k se denomina constante de restauración. Como la fuerza y
la aceleración están relacionadas mediante la segunda ley de Newton F = ma y como la aceleración
es a = - w2 x, tenemos
F = ma = −mw2 x = −kx ,
con lo que la frecuencia angular del movimiento viene dada por: w =
k m
• Fenómenos ondulatorios: velocidad de propagación.
Una onda es una perturbación que se propaga de una posición a otra. Puede haber ondas en una
dimensión, por ejemplo la oscilación de una cuerda, en dos dimensiones como las que se forman en
la superficie de un líquido, y ondas en tres dimensiones, como las ondas sonoras o las ondas
luminosas.
Una onda está descrita por una función ψ que recibe el nombre de función de onda y que representa
la magnitud física que se propaga. El valor de ψ depende de la posición y del tiempo. Considerando
una onda unidimensional esto se puede expresar como:
ψ ( x, t ) = f ( x, t )
Si la perturbación se propaga con una velocidad constante v, la forma más general de una onda
unidimensional que se propaga en el sentido positivo del eje X es:
ψ ( x, t ) = f ( x − vt )
Si la onda viaja en el sentido negativo del eje X:
ψ ( x, t ) = f ( x + vt )
tiluz
po de
onda
(vacío)
v3·10
(m/s8)
en una cuerda
en un lago
sonido (aire)
sísmicas
~10
~10
350
~5000
• Ondas longitudinales y transversales.
En las ondas longitudinales la dirección en la cual varía la magnitud perturbada coincide con la
dirección de propagación de la onda. Por ejemplo las ondas sonoras son longitudinales, porque las
partículas del medio material oscilan (vibran) en la misma dirección que se propaga el sonido.
En las ondas transversales la dirección de variación de la magnitud perturbada es perpendicular a la
dirección de propagación de la onda. Por ejemplo las partículas de una cuerda en la que se propaga
un pulso se mueven en dirección perpendicular a la dirección de propagación del pulso. Las ondas
electromagnéticas, como por ejemplo la luz, que no necesitan un medio material para propagarse
(pueden hacerlo en el vacío) son también ondas trasversales. En este caso, las magnitudes físicas
perturbadas, campo eléctrico y magnético, oscilan perpendicularmente a la dirección de propagación
de la onda.
• Ondas armónicas unidimensionales.
Una onda que es senoidal (o cosenoidal) tanto en el espacio como en el tiempo se denomina onda
armónica. La función de onda en una dimensión que describe el movimiento de una onda armónica
que se propaga con una velocidad constante v sin distorsión a lo largo del eje X se escribe:
ψ ( x ,t ) = A sen[k ( x − vt )]
En las ondas armónicas v recibe el nombre de velocidad de fase. El parámetro k es el número de
onda, definido como k = 2π λ donde λ el período espacial o longitud de onda.
La longitud de onda λ es el intervalo espacial (distancia) a la que se encuentran dos valores
consecutivos de x con el mismo estado de perturbación, ψ ( x ,t ) = ψ ( x + λ ,t ) . El período T es el
intervalo temporal que trascurre entre dos estados de perturbación iguales en un mismo punto,
ψ ( x ,t ) = ψ ( x ,t + T ) .
Se cumple que T = λ v , siendo v la velocidad de propagación de la onda. Teniendo en cuenta la
frecuencia f = 1 T se obtiene la relación alternativa:
λf = v
Otra magnitud que se utiliza habitualmente es la frecuencia angular w = 2πf y se puede escribir v =
w/k, con lo que la función de onda puede reescribirse como:
ψ ( x ,t ) = Asen( kx − wt )
Con otra elección del origen de tiempos se puede expresar la función de onda de una forma
alternativa:
ψ ( x ,t ) = Asen( wt − kx + ϕ )
Incluyendo el parámetro ϕ , que representa la fase inicial de la onda, obtenemos la expresión más
general de una onda armónica.
Se dice que dos puntos x1 y x2 que en un instante t tienen el mismo estado de perturbación, es decir
ψ ( x1 ,t ) = ψ ( x 2 ,t ) , están en fase. De manera análoga si tienen un estado de perturbación opuesto,
ψ ( x1 ,t ) = −ψ ( x 2 ,t ) , se dice que están en oposición de fase. De este modo, dos puntos que estén
en fase verifican que,
x 2 − x 1 = mλ
y si están en oposición de fase. se tiene que,
x 2 − x1 = ( 2 m + 1 )
λ
2
donde m es un número entero en ambos casos.
BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA:
• TIPLER, P. A., “Física para la Ciencia y la Tecnología, Vol. 1” (Reverté, Barcelona, 1999).
Cap. 15: Movimiento ondulatorio.
• ALONSO, M. y FINN, E. J., “Física” (Addison-Wesley Iberoamericana, Wilmington, 1995).
Cap. 10: Movimiento oscilatorio, Cap. 28: Movimiento ondulatorio.
• GETTYS, W. E., KELLER, F. J. y SKOVE, M. J., “Física Clásica y Moderna“ (McGraw-Hill,
Madrid, 1991). Cap. 14: Oscilaciones, Cap. 32: Ondas.