Carlos Urrutia PRIMERA HOJA DE EJERCICIOS Pregunt

MACROECONOMIA DINAMICA I
Instituto Tecnológico Autónomo de México
Profesor: Carlos Urrutia
PRIMERA HOJA DE EJERCICIOS
Pregunta 1
Considere el Modelo de Crecimiento Neoclásico visto en clase con las siguientes
formas funcionales:
u(ct ) = log (ct )
en donde A > 0 y
f (kt ) = Akt
< 1 son parámetros dados. Para esta economía:
a) De…na un Equilibrio Competitivo;
b) Caracterize lo mejor posible el Equilibrio Competitivo (halle la ecuación de
Euler, etc.);
c) De…na Rt rt +(1
). Usando las condiciones de primer orden del problema
de maximización del consumidor más la siguiente condición de transversalidad:
!
t
Y
1
kt+1
lim
t!1
Rj
j=1
muestre que en equilibrio:
ct = (1
(
) Rt kt +
1
X
l=t
"
l
Y
1
Rj
j=t+1
!
wl
#)
Dé una interpretación económica de este resultado; y
d) Halle los valores en estado estacionario para k , c , y , r , w y la tasa de
ahorro s .
Para los siguentes incisos, asuma que la depreciación es completa ( = 1):
e) Escriba el problema del plani…cador social usando el lenguage recursivo (tienen
que especi…car el espacio de estados, la función de retorno, etc.) ;
f) Resuelva analíticamente el problema del plani…cador social recursivo iterando
la función de valor de la siguiente manera: partiendo de vo (k) = 0, encuentre
recursivamente expresiones para v1 (k), v2 (k), .... , y construya v (k) =
lim vn (k). Cuales son las reglas de decisión óptimas para el consumo y la
n!1
inversión asociadas a esta función de valor?
Los últimos incisos no requieren resolver nada en Matlab, pueden hacerse facilmente en Excel o eventualmente hasta con una calculadora:
g) Dados los siguientes valores para los parámetros:
= 0:3
= 0:95 A = 1
Usando las reglas de decisión óptimas halladas en el inciso (f), y partiendo
de k0 = 0:5k , gra…que la trayectoria de equilibrio (transición al estado
estacionario) para kt y ct ;
h) En base a los resultados anteriores, gra…que las trayectorias para ct , yt , rt , wt ,
la tasa de ahorro st y la tasa de crecimiento de yt ; y
i) Partiendo del estado estacionario del modelo, analice numéricamente el efecto
de corto y largo plazo en las variables ct , yt , rt , wt , st de un aumento en la
productividad, de A = 1 a A = 2. ¿En cuanto tiempo el capital corta en
dos la distancia entre su nivel inicial y el nuevo estado estacionario?
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Pregunta 2
Considere una versión del Modelo de Crecimiento Neoclásico con decisión
trabajo-ocio (y n = 0). La función de utilidad del agente representativo está
dada por:
1
X
t
U0 =
u (ct ; 1 lt )
t=0
en donde lt denota la fracción de la dotación de tiempo destinada al mercado de
trabajo (luego, 1 lt es el ocio). Asuma que u es continua, estríctamente creciente
y estríctamente cóncava. El agente representativa maximiza su utilidad sujeto a
la restricción presupuestaria:
ct + it = wt lt + rt kt
y a la ley de movimiento del capital usual. La empresa representativa maximiza
bene…cios sujeta a una tecnología descrita por las función:
Yt = F (Kt ; Lt )
que asumimos continua, estríctamente cóncava y con rendimientos a escala constantes.
a) De…na un equilibrio competitivo recursivo para esta economía;
b) De…na el problema del plani…cador social para esta economía usando el lenguage
recursivo (tienen que especi…car el espacio de estados, la función de retorno,
etc.);
c) Veri…que que los supuestos necesarios para usar el Teorema de la Contracción
se cumplen;
d) Escriba un algoritmo que implemente el método de iteración de la función de
valor para resolver el problema del plani…cador social recursivo. No necesitan
escribir un programa en Matlab, pero sí una explicación detallada de cada
paso.
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Pregunta 3
Considere ahora una versión del Modelo de Crecimiento Neoclásico con dos sectores. La familia representativa maximiza una función de utilidad intertemporal
logarítmica (que depende sólo del consumo) sujeto a la restricción presupuestaria:
Ct + qt It = wt L + rt Kt
en donde qt es el precio relativo del bien de inversión, y a la ley de movimiento
del capital usual. La empresa representativa productora del bien de consumo
maximiza bene…cios sujeta a una tecnología descrita por las función:
Ytc = (Ktc ) (Lct )1
con > 0 y 0 < < 1. De otro lado, la empresa productora de bienes de inversión
no usa capital (solo trabajo) y maximiza bene…cios sujeta a la tecnología lineal:
Yti = Lit
En equilibrio, debe cumplirse que Lct + Lit = L.
a) Usando variables por trabajador (i.e. ct = Ct =L), de…na un Equilibrio Competitivo para esta economía.
b) Caracterize lo mejor posible el Equilibrio Competitivo.
c) Encuentre los valores de estado estacionario de k , c , i , lc y q .
d) De…niendo el PIB como yt ct + qt it , y la tasa de ahorro como st qt it =yt ,
encuentre los valores de estado estacionario de y y s . ¿Cómo se ven afectados estos valores si aumenta la productividad del sector productor de bienes
de inversión ( ")?
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Pregunta 4
Considere el siguiente modelo con bienes duraderos. La familia representativa
maximiza su utilidad esperada:
1
X
t
[u (ct ) + v (dt )]
t=0
donde ct representa el consumo del único bien de la economía y dt el stock de bienes
duraderos (i.e., carros, televisores, etc.). Ambas funciones u y v son continuas,
crecientes y cóncavas. El stock de duraderos evoluciona de acuerdo a:
dt+1 = dt + idt
donde idt representa las compras de bienes duraderos en t (estos bienes no se
deprecian). La familia es además dueña del capital, que evoluciona de acuerdo a:
kt+1 = (1
) kt + it
De otro lado, tenemos una …rma representativa que produce el único bien usando
la función de producción con rendimientos a escala constantes:
yt = F (kt ; 1) = f (kt )
Por simplicidad, suponga que no hay cambio técnico exógeno ni crecimiento de la
población.
a) De…na un equilibrio competitivo secuencial para esta economía;
b) De…na el problema del plani…cador social y caracterize la solución del mismo;
c) Escriba el problema del plani…cador social usando el lenguaje recursivo; y
d) Describa brevemente un algoritmo para resolver numéricamente el problema
del plani…cador social.
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Pregunta 5
[Modelo de Barro, 1990 ] : Considere el siguiente modelo de crecimiento, en
donde el gasto del gobierno entra en la función de producción (en forma intensiva)
de la siguiente manera:
f (kt ) = kt gt1
El gasto de gobierno es …nanciado mediante un impuesto a los retornos del capital:
gt = rt kt
Asuma por simplicidad una función de utilidad logarítmica, y que no hay crecimiento de la población ni progreso técnico.
a) De…na un Equilibrio Competitivo para esta economía;
b) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo;
c) Muestre que NO existe un estado estacionario para este modelo (Ayuda: muestre
que, en cierto sentido, este modelo es similar al modelo Ak visto en clase);
d) Encuentre la tasa de crecimiento de largo plazo de la economía como función
del valor del impuesto ; y
e) Encuentre el valor de
la economía.
que maximiza la tasa de crecimiento de largo plazo de
Pregunta 6
[Modelo de Jones, 1999 ] Considere el modelo de crecimiento endógeno con
externalidades de Romer, pero con dos cambios importantes. Primero, suponga
que la función de producción de la empresa i es
F (Kti ; Kt Lit ) = Kti
Kt Lit
con < 1
. Segundo, suponga que la población crece a la tasa constante n > 0,
luego Lt+1 = (1 + n) Lt .
a) Usando variables por trabajador, de…na un Equilibrio Competitivo para esta
economía;
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b) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo;
c) Considere una senda de crecimiento balanceado en la cual las variables por
trabajador ct , it , k t , crecen a la misma tasa g. Encuentre esa tasa de crecimiento g como función de los parámetros , y n. ¿Depende esta tasa de
crecimiento g del tamaño inicial de la población L0 ?
Suponga ahora que el gobierno implementa un subsidio s a la inversión, …nanciado
mediante un impuesto de suma …ja cobrado al consumidor representativo.
d) Usando variables por trabajador, de…na un Equilibrio Competitivo para esta
economía;
e) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo;
f) Considere una Senda de Crecimiento Balanceado en la cual las variables por
trabajador ct , it , k t , crecen a la misma tasa g. Encuentre esa tasa de crecimiento. ¿Depende del valor del subsido s?
Pregunta 7
[Modelo de Rebelo, 1991 ] Considere el modelo de dos sectores que analizaron
en la Pregunta 3, pero en el cual la función de producción del sector de bienes de
inversión es ahora lineal en el capital
Yti = Kti
(este modelo se conoce también como el modelo Ak de dos sectores).
a) Usando variables por trabajador, de…na un Equilibrio Competitivo para esta
economía;
b) Caracterice lo mejor posible el Equilibrio Competitivo;
c) Considere una senda de crecimiento balanceado en la cual el consumo por
trabajador ct crece a una tasa constante gc y el capital por trabajador crece
a una tasa también constante, pero diferente, gk . Encuentre esas tasas de
crecimiento como función de los parámetros , , , .
d) En la senda de crecimiento balanceado descrita en (c), ¿a qué tasa crece (o
decrece) el precio del bien de inversión relativo al del consumo qt ? ¿A qué
tasa crece el PIB? ¿Qué sucede con la tasa de inversión I=Y ?
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Pregunta 8
Considere un modelo simple de crecimiento con investigación y desarrollo. El
plani…cador social maximiza la utilidad intertemporal del agente representativo:
1
X
t
log
t=0
Ct
Lt
sujeto a la condición de factibilidad
Ct + It = At (Kt ) (Lyt )1
(en donde Lyt es la cantidad de trabajadores en el sector productor de bienes), la
ley de movimiento del capital habitual
Kt+1 = (1
) Kt + It
la ley de movimiento de la tecnología
At+1 = At LA
t
(en donde LA
t es la cantidad de trabajadores en el sector de investigación y desarrollo y es un parámetro) y la condición de cierre
Lyt + LA
t = Lt
La idea del modelo es que dedicando recursos (en este caso, trabajo) a la investigación se puede mejorar la tecnología de mañana. Sin embargo, ésto implica
dedicar menos recursos a producir bienes hoy. Por simplicidad, no hay crecimiento
de la población, luego Lt = L.
a) Usando variables per-cápita, escriba el problema del plani…cador social y encuentre las condiciones de primer orden. Caracterice la solución del problema del plani…cador como un sistema de ecuaciones en diferencia;
b) Muestre que si = 0 el modelo es consistente con un estado estacionario,
en el cual ct , kt , At y la fracción lty son constantes. ¿Por qué se agota el
crecimiento en este caso?
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c) Muestre ahora que si = 1 el modelo es consistente con una senda de crecimiento balanceado, en la cual las tasas de crecimiento gc , gk , gA y la fracción
lty son constantes (aunque no necesariamente iguales). Encuentre esas tasas
de crecimiento y muestre que dependen positivamente del tamaño de la
población L. ¿Por qué hay efectos de escala en este modelo?
d) Intente descentralizar la solución e…ciente para un valor general de . [Sólo les
pido que escriban una de…nición de equilibrio competitivo que sea consistente
con el problema del plani…cador social analizado anteriormente. No tienen
que resolver el equilibrio ni demostrar los teoremas del bienestar para este
modelo]
Lecturas para el Examen Parcial
Christiano, Larry. "Understanding Japan’s Saving Rate: The Reconstruction Hypothesis". Federal Reserve Bank of Minneapolis Quarterly Review,
1989
Prescott, E. "Needed: A Theory of Total Factor Productivity". International Economic Review, 1998
Restuccia, D. y C. Urrutia, “Relative Prices and Investment Rates”, Journal
of Monetary Economics, 2001
Ohanian, L., "The Economic Crisis from a Neoclassical Perspective," Journal of Economic Perspectives, 2010
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