Ejercicios 13.nb

Ejercicios 13.nb
1
13. Polinomios. Cálculos
básicos y divisibilidad
Ejercicios de resueltos
ü Ejercicio 1.
Calcular el cociente y resto que resultan de la división de los polinomios en
el anillo [x]:
a. p(x) = x5 + 3x3 + 2x y q(x) = x2 + x
b. p(x) = x4 + x3 + x2 + x y q(x) = x2 + x
Deducir si uno es divisor o múltiplo del otro.
Solución:
a)
PolynomialQuotient@x ^ 5 + 3 x ^ 3 + 2 x, x ^ 2 + x, xD
PolynomialRemainder@x ^ 5 + 3 x ^ 3 + 2 x, x ^ 2 + x, xD
−4 + 4 x − x2 + x3
6x
Como el resto no es cero entonces p(x) no es múltiplo de q(x)
b)
PolynomialQuotient@x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x, x ^ 2 + x, xD
PolynomialRemainder@x ^ 4 + x ^ 3 + x ^ 2 + x, x ^ 2 + x, xD
1 + x2
0
Como el resto es cero p(x) es múltiplo de q(x) o q(x) es divisor de p(x).
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ü Ejercicio 2.
Calcular el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de los polinomios p(x) = x2 + 47x y q(x) = x5 +3x3 + 2x, usando el algoritmo de
Euclides.
Solución:
Clear@"Global`∗"D
p1 = x ^ 5 + 3 x ^ 3 + 2 x;
p2 = x ^ 2 + 47 x;
a = Exponent@p1, xD; b = Exponent@p2, xD;
If@a < b, p = p2; q = p1,
p = p1; q = p2D;
While@Exponent@q, xD ≥ 1 && Exponent@p, xD ≥ Exponent@q, xD,
m = PolynomialRemainder@p, q, xD;
p = q; q = m;
D;
Print@"m.c.d.H", p1, ",", p2, "L=", pD
Print@"m.c.m.H", p1, ",", p2, "L=", PolynomialQuotient@p1 ∗ p2, p, xDD
m.c.d.H2 x + 3 x3 + x5 ,47 x + x2 L=4886310 x
m.c.m.H2 x + 3 x3 + x5 ,47 x + x2 L=
47 x
x2
47 x3
x4
47 x5
x6
+ + + + + 2443155
2443155
1628770
1628770
4886310
4886310
ü Ejercicio 3.
Dados los polinomios p(x) = 2x3 - 4x2 - 6x +12 y q(x) = - 6x4 + 5x3 + 7x2 +
13x + 2, factorizarlos, calcular sus raíces y calcular el máximo común divisor y mínimo común múltiplo de ellos en [x] y en 11 @xD .
Solución:
En @xD
Factor@2 x ^ 3 − 4 x ^ 2 − 6 x + 12D
2 H−2 + xL H−3 + x2 L
2
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es la factorización de p(x) en @xD y su única raiz es 2.
Factor@−6 x ^ 4 + 5 x ^ 3 + 7 x ^ 2 + 13 x + 2D
−H−2 + xL H1 + 6 xL H1 + x + x2 L
es la factorización de q(x) en @xD y su única raiz es 2.
Así un máximo común divisor es: H−2 + xL
y un mínimo común múltiplo de ellos, en [x], es:
2 H−2 + xL H−3 + x2 LH1 + 6 xL H1 + x + x2 L.
Para calcular la factorización en irreducibles del polinomio en 11 @xD
Factor@2 x ^ 3 − 4 x ^ 2 − 6 x + 12, Modulus → 11D
2 H5 + xL H6 + xL H9 + xL
es la factorización de p(x) en 11 @xD y sus raíces son (-5) = 6, (-6) = 5 y
(-9) = 2.
Factor@−6 x ^ 4 + 5 x ^ 3 + 7 x ^ 2 + 13 x + 2, Modulus → 11D
5 H2 + xL H9 + xL H1 + x + x2 L
es la factorización de q(x) en 11 @xD y sus raíces son (-2) = 9 y (-9) = 2.
Así un máximo común divisor es: H9 + xL
y un mínimo común múltiplo es: (5 + x) (6 + x)
H2 + xL H9 + xL H1 + x + x2 L.
ü Ejercicio 4.
Calcular la factorización y las raíces del polinomio 3x6 + 5x5 - 11x4 - 24x3 21x2 - 5x + 5 en , 5 ,7 ,, y .
Solución:
En @xD, la factorización vendrá dada por:
3
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In[13]:=
Out[13]=
4
Factor@3 x ^ 6 + 5 x ^ 5 − 11 x ^ 4 − 24 x ^ 3 − 21 x ^ 2 − 5 x + 5D
H1 + xL H−1 + 3 xL H−5 + x2 L H1 + x + x2 L
siendo la única raíz x = -1.
En 5 @xD, la factorización vendrá dada por:
In[14]:=
Out[14]=
Factor@3 x ^ 6 + 5 x ^ 5 − 11 x ^ 4 − 24 x ^ 3 − 21 x ^ 2 − 5 x + 5, Modulus → 5D
3 x2 H1 + xL H3 + xL H1 + x + x2 L
y las raíces en este anillo son el 0 doble, el (-1) = 4 y (-3) = 2.
En 7 @xD, la factorización vendrá dada por:
In[15]:=
Out[15]=
Factor@3 x ^ 6 + 5 x ^ 5 − 11 x ^ 4 − 24 x ^ 3 − 21 x ^ 2 − 5 x + 5, Modulus → 7D
3 H1 + xL H2 + xL H3 + xL H5 + xL H2 + x2 L
y las raíces en este anillo son el (-1) = 6, (-2) = 5, (-3) = 4 y (-5) = 2.
Para calcular la factorización en [x], [x] y [x] primero calculamos las
raíces del polinomio:
In[19]:=
Out[19]=
Roots@3 x ^ 6 + 5 x ^ 5 − 11 x ^ 4 − 24 x ^ 3 − 21 x ^ 2 − 5 x + 5 0, xD
x −H−1L1ê3 »» x H−1L2ê3 »» x 1
è!!!!
è!!!!
5 »» x − 5 »» x »» x −1
3
Así, en sus raíces son: el -1 y 1/3 y la factorización del polinomio será
3(x +1)(x - 1 ê 3) q1 (x) siendo q1 (x) el cociente de 3x6 + 5x5 11x4 - 24x3 -21x2 -5x + 5 entre 3(x +1)(x - 1 ê 3). Es decir, q1 (x) es
In[20]:=
Out[20]=
In[21]:=
Out[21]=
PolynomialQuotient@3 x ^ 6 + 5 x ^ 5 − 11 x ^ 4 − 24 x ^ 3 − 21 x ^ 2 − 5 x + 5,
Expand@3 Hx + 1L Hx − 1 ê 3LD, xD
−5 − 5 x − 4 x2 + x3 + x4
Factor@%D
H−5 + x2 L H1 + x + x2 L
Ejercicios 13.nb
Por tanto, la factorización del polinomio
en @xD es 3 Hx +1L Hx - 1 ê 3L H-5 + x2 L H1 + x + x2 L.
è!!!!
è!!!!
En sus raíces son: el -1, 1/3, 5 y − 5 y la factorización del polinomio será
è!!!!
è!!!!
3 (x + 1)(x - 1 ê 3)Ix − 5 MIx + 5 M
q2 (x)
siendo q2 (x) el cociente de 3x6 + 5x5 - 11x4 - 24x3 -21x2 -5x + 5 entre
è!!!!
è!!!!
3 (x +1)(x - 1 ê 3)Ix − 5 MIx + 5 M. Es decir, q2 (x) es el siguiente
cociente
In[22]:=
Out[22]=
PolynomialQuotientA3 x ^ 6 + 5 x ^ 5 − 11 x ^ 4 − 24 x ^ 3 − 21 x ^ 2 − 5 x + 5,
è!!!!!
è!!!!
ExpandA3 Hx + 1L Hx − 1 ê 3L Ix − 5 M Ix + 5 ME, xE
1 + x + x2
Como sabemos todas las raíces son complejas. Así, el -1, 1/3,
è!!!!
è!!!!
è!!!! −1 + è!!!3!
−1 − 3
5 , − 5 , 2 y 2 son las raíces en y la factorización
del polinomio será 3(x + 1)(x
è!!!!
è!!!!
è!!!!
è!!!!
−1+ 3
−1− 3
- 1 ê 3)Ix − 5 M Ix + 5 M Ix − M
Ix
−
M.
2
2
ü Ejercicio 5.
Calcular el m.c.d., el m.c.m.,
del polinomio del ejercicio anterior y de q HxL = x5 + 3 x3 + 2 x en ,
5 , 7 , , y .
Solución:
Comenzamos factorizando el polinomio q(x) en cada uno de los anillos. En
@xD, la factorización vendrá dada por:
In[28]:=
Out[28]=
Factor@x ^ 5 + 3 x ^ 3 + 2 xD
x H1 + x2 L H2 + x2 L
Así un máximo común divisor es: 1
y un mínimo común múltiplo es:
x H1 + x2 L H2 + x2 LH1 + xL H−1 + 3 xL H−5 + x2 L H1 + x + x2 L
5
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6
En 5 @xD:
In[29]:=
Out[29]=
Factor@x ^ 5 + 3 x ^ 3 + 2 x, Modulus → 5D
x H2 + xL H3 + xL H2 + x2 L
Así un máximo común divisor es: x (3 + x)
y un mínimo común múltiplo es:
3 x2 H1 + xL H3 + xL H1 + x + x2 L H2 + xL H2 + x2 L
En 7 @xD:
In[30]:=
Out[30]=
Factor@x ^ 5 + 3 x ^ 3 + 2 x, Modulus → 7D
x H1 + x2 L H2 + x2 L
Así un máximo común divisor es: H2 + x2 L
y un mínimo común múltiplo es:
3 x H1 + xL H2 + xL H3 + xL H5 + xL H2 + x2 L H1 + x2 L
Para calculer la factorización de q(x) en [x], [x] y [x] primero calculamos sus raíces:
In[31]:=
Out[31]=
Roots@x ^ 5 + 3 x ^ 3 + 2 x 0, xD
x 0 »» x è!!!!
è!!!!
2 »» x − 2 »» x »» x −
Así, en sólo tiene una raíz el 0 y la factorización del polinomio será x
q1 (x) siendo q1 (x) el cociente de x5 + 3x3 +2x entre x. Es decir, q1 (x) es
In[32]:=
PolynomialQuotient@x ^ 5 + 3 x ^ 3 + 2 x, x, xD
Out[32]=
2 + 3 x2 + x4
In[33]:=
Factor@%D
Out[33]=
H1 + x2 L H2 + x2 L
Ejercicios 13.nb
Por tanto, la factorización del polinomio en @xD es x H1 + x2 L H2 + x2 L.
Un máximo común divisor es : 1
y un mínimo común múltiplo
es : 3 x Hx +1L Hx - 1 ê 3L H1 + x2 L H2 + x2 L H-5 + x2 L H1 + x + x2 L.
En [x], la factorización de q(x) coincide con la de [x] ya que la única
raíz de q(x) en sigue siendo el 0.
Por tanto, un máximo común divisor es : 1
y un mínimo común múltiplo
è!!!!!
è!!!!
es : 3 x Hx +1L Hx - 1 ê 3L H1 + x2 L H2 + x2 L Ix - 5 M Ix + 5 M H1 + x + x2 L.
Como sabemos todas las raíces son complejas. Así, el 0,
è!!!!
è!!!!
2 , − 2 , , − son las raíces en y la factorización del polinoè!!!!
è!!!!
mio será x (x -)Hx + L Ix − 2 M Ix + 2 M.
Un máximo común divisor es: 1
y un mínimo común múltiplo es : 3 x Hx +1L Hx - 1 ê 3L
è!!!!
è!!!!
è!!!!!
è!!!!
Hx - ÂL Hx + ÂL Ix - Â 2 M Ix + Â 2 M Ix - 5 M Ix + 5 M
è!!!!
è!!!!
−1+ 3
−1− 3
Ix − M
Ix
−
M
2
2
7