II. JUEGOS ESTÁTICOS CON INFORMACIÓN COMPLETA

Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava
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II. JUEGOS ESTÁTICOS CON INFORMACIÓN COMPLETA
Estáticos: Ningún jugador observa las acciones de ningún otro antes de tomar sus decisiones, y cada
jugador solo tiene un turno. Se puede dar en dos casos:
• Juegos simultáneos.
• Juegos secuénciales pero sin posibilidad de monitoreo de acciones previas. (los turnos pueden no
ser simultáneos, pero cada jugador no puede observar las movidas de quienes deciden antes que
él.
Información Completa: Cada jugador conoce la función objetivo de cada uno de sus contrincantes.
Note que, como ya mencionamos, la condición de estáticos implica que cada jugador solo tiene una
contingencia para decidir. Entonces las estrategias vienen a ser iguales a las acciones.
Ejemplos 2.1:
• El juego estático de Marcela y Laura (en el Ejemplo 1.2).
• Dilema del Prisionero: Dos prisioneros que cometieron un delito conjunto se enfrentan, de
manera individual, a la decisión de si confesar o no confesar. El nivel de utilidad que cada uno
obtenga depende de la decisión de ambos, así:
R. Granda
Confesar
No Confesar
Simón Trinidad
Confesar
( -6,-6 )
( -1,-10 )
No Confesar
( -10,-1 )
( -3,-3 )
Escogencia de precio por Cervecerías Bavaria vs. Leona: Un duopolio donde las firmas escogen entre tres
posibles precios tratando de maximizar su participación. Se queda con el mercado (10 unidades) el que
cobre el menor precio, se lo reparten por partes iguales si cobran el mismo precio.
Bavaria
Alto
Medio
Bajo
( 10,0 )
( 10,0 )
( 5,5 )
( 10,0 )
( 0,10 )
( 5,5 )
Leona
Medio
Bajo
2.1.
•
Conceptos de Solución:
Eliminación de las estrategias estrictamente dominadas:
Para un jugador “i”, una estrategia si' es estrictamente dominada por otra si# si, sin importar lo que los
demás jugadores escojan, al jugador i le conviene más jugar si' que jugar si#. Más formalmente:
•
Dominación estricta: s' J es estrictamente dominada por s
*
J
si para cualquier posible combinación
de acciones de sus contrincantes, J obtiene mayor utilidad con
O, de manera más concisa:
s* J que con s' J .
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Denote s-J como la combinación de estrategias de los contrincantes de J (s-J = {s1,s2,…,sJ-1,sJ+1,…,sN})
entonces s' J es estrictamente dominada por
s * J , si:
U J ( s*J , s− J ) > U J ( s ' J , s− J ) para todo s− J ∈ S − J
Lo importante para que una estrategia de un jugador sea estrictamente dominada por otra es que genere
estrictamente menor utilidad sin importar que estrategia(s) escoja(n) el (los) contrincante (s). Por ejemplo:
Note que en el dilema del prisionero (N) es estrictamente dominada por (C). ¿Ayuda esto a solucionar los
juegos? En el dilema del prisionero no parece lógico jugar (N) si me va a peor que con (C) sin importar
qué haga mi contrincante. Entonces uno esperaría que ninguno juegue (N) y la solución sea {C, C}.
Tomemos ahora un juego más complicado: el juego de Bavaria y Leona. ¿Hay alguna estrategia
estrictamente dominada para Leona?... No, pero sí para Bavaria: Precio alto es estrictamente dominada
por precio bajo. Entonces Leona sabe que Bavaria no jugaría Alto, por cuanto Leona sabe que en realidad
se enfrenta al juego:
Bavaria
Medio
Bajo
(5,5)
(10,0)
(0,10)
(5,5)
Leona
Medio
Bajo
Como vemos, Medio ahora es estrictamente dominado para Leona. Entonces Leona no jugaría Medio.
Bavaria sabe entonces que se enfrenta a:
Bavaria
Leona
Bajo
Medio
Bajo
(10,0)
(5,5)
Dado esto, Bavaria prefiere jugar Bajo. Este proceso (Bavaria sabe que Leona sabe que Bavaria no jugaría
Alto, entonces Bavaria saber que Leona no Jugaría Medio por cuanto Bavaria sólo jugaría Bajo) se conoce
como “eliminación iterativa de estrategias dominadas”. De manera más general, el proceso consiste en:
1.
2.
3.
4.
Comparar las estrategias de un jugador por pares, hasta hallar una que sea estrictamente
dominada.
Eliminar la dominada.
Comparar de nuevo las estrategias de algún jugador en parejas en el juego modificado hasta que
halla una que sea estrictamente dominada.
Eliminarla. Y así sucesivamente…
El proceso en ocasiones lleva a una solución (combinación de estrategias). Cuando lo hace, la solución es
plausible. En el anterior ejemplo, la solución que arroja el proceso es: (Baja, Baja). El resultado asociado es
que cada firma pone un precio bajo y ambas obtienen utilidad de 5.
El proceso se basa en dos supuestos claves:
1.
2.
Nadie juega una estrategia estrictamente dominada: porque sin importar lo que otros hagan, le
va a ir peor que con otra estrategia.
Cada jugador confía en la racionalidad de los demás. Entonces confía en que no jugarán las
estrategias estrictamente dominadas.
Notas de clase de Teoría de Juegos - Marcela Eslava 11
Virtudes de este método de solución: Intuitivo y Plausible. Esta es una forma relativamente sencilla e
intuitiva de llegar a una solución. El método también es robusto en el sentido en que la respuesta no
depende del orden en que se desarrolle el proceso de eliminación.
Desventajas:
•
La gente no siempre cree que los otros son racionales. Por ejemplo: tome el siguiente juego:
Jugador 2
A
B
A
B
(5,5)
(0,1)
(-100,4)
(0,0)
Jugador 1
El jugador 1 debería saber que el jugador 2 no juega (B). Por tanto, el jugador 1 debería escoger
(A). En experimentos, sin embargo, cerca del 40% de las personas que juegan en el lugar del
jugador 1 escogen B por el temor de que el jugador 2 escoja la estrategia B, que generaría grandes
pérdidas al jugador 1 si éste jugara A. El jugador 1 considera que hay una cierta probabilidad de
que el jugador 2 no mueva de manera racional.
•
No siempre el proceso de eliminación lleva a una respuesta única (no siempre “predice”). Por
ejemplo: La batalla de los sexos.
EL
T
F
(2,1)
(0,0)
(0,0)
(1,2)
ELLA
T
F
•
Con frecuencia más de una (1) estrategia (o todas, como en el caso anterior) puede llegar a sobrevivir
a la eliminación por dominancia estricta. Es decir, el proceso no siempre es capaz de predecir "la" (o
una) solución. El proceso es con frecuencia capaz de eliminar más posibilidades si también se
permite la eliminación de estrategias débilmente dominadas:
Para el jugador J s' J es débilmente dominada por
s * J , si U J ( s*J , s− J ) ≥ U J ( s' J , s− J ) para todo
s− J ∈ S − J
•
Tener en cuenta estrategias débilmente dominadas, sin embargo, lleva con frecuencia a
respuestas ambiguas, pues el resultado depende del orden de eliminación. Por ejemplo, tome el
dilema del prisionero ampliado que se representa abajo, en el que se permite a Rodrigo Granda
"Confesar Parcialmente". Para Rodrigo Granda N es estrictamente dominada por P, así que
podemos eliminar N para este jugador. No podríamos ir más lejos eliminando estrategias
estrictamente dominadas. Consideremos la posibilidad de continuar el proceso por medio de
eliminar estrategias débilmente dominadas: ahora podemos eliminar N también para Simón
Trinidad y a continuación eliminar C para Rodrigo Granda. Tomar en cuenta la dominación débil
tiene aquí la virtud de llevarnos a una respuesta precisa (C,P), que no podríamos obtener con el
concepto de dominación estricta. Sin embargo, también tiene un costo: suponga que luego de
eliminar N para Rodrigo Granda continuamos eliminando C para Rodrigo Granda (débilmente
dominada por P). Luego podríamos eliminar C para Simón Trinidad, llegando a la respuesta
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(N,P). Es decir, este método nos puede llevar a respuestas distintas: la solución depende del
orden de eliminación.
Esto implica que la eliminación de estrategias débilmente dominadas puede eliminar soluciones que
también son predicciones válidas, y que pueden incluso ser preferibles (como veremos más adelante:
puede eliminar equilibrios de Nash). Lo anterior no sucede con la eliminación de estrategias
estrictamente dominadas.