Gráfico P - Statgraphics

STATGRAPHICS – Rev. 4/25/2007
Gráfico P
Resumen
El procedimiento Gráfico P crea un gráfico de control para datos que describe la proporción de
veces que ocurre un evento en m muestras tomadas de un producto o proceso. Los datos podrían
representar la proporción de artículos defectuosos en un proceso de manufactura, la proporción
de clientes que regresan un producto, o cualquier otro atributo que pueda ser clasificado como
aceptable o inaceptable. Se resaltan las señales de fuera-de-control, incluyendo tanto puntos más
allá de los límites de control como cualquier secuencia atípica en los datos. El gráfico puede
construirse en modo de Estudio Inicial (Fase 1), donde los datos mismos determinan los límites
de control, o en modo de Control a Estándar (Fase 2), donde los límites provienen de un
estándar conocido o de datos previos.
Los datos para el estudio consisten de m muestras de una población detallando:
n j = número de elementos en la muestra j
d j = número de elementos no aceptables en la muestra j
StatFolio de Ejemplo: pchart.sgp
Datos de Ejemplo:
El archivo cans.sf3 contiene resultados de la inspección de m = 94 muestras tomadas de un
proceso de manufactura, cada una corresponde a n = 50 envases de cartón de jugo de naranja.
Los datos son presentados por Montgomery (2005). Se inspeccionó cada envase y se tabuló el
número de envases defectuosos. La tabla a continuación muestra una lista parcial de los datos en
ese archivo:
sample
(muestra)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
n
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
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defects
(defectos)
12
15
8
10
4
7
16
9
14
10
5
6
17
12
22
Gráfico P - 1
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Las primeras m = 30 muestras se tomaron antes de un ajuste a la máquina. Las siguientes 24
muestras se emplearon para establecer los límites de control para el proceso. Las 40 muestral
finales se graficaron usando los límites de control establecidos.
Ingreso de Datos
Los datos que se requieren para este procedimiento son una columna numérica que contenga las
proporciones de elementos no aceptables en las m muestras.
•
Proporciones: una columna que contiene la proporción de elementos no aceptables en cada
muestra.
•
Tamaños de Muestra: el número de elementos en cada muestra. Si todos los tamaños de las
muestras son iguales, puede ingresar un solo valor tal como “50”. De oto modo, ingrese una
columna con los tamaños correspondientes a cada proporción.
•
Etiquetas de Muestra: etiquetas opcionales para cada muestra.
•
Selección: selección de un subgrupo de datos.
Note el uso del operados FIRST para seleccionar solo las primeras m = 30 hileras para el análisis
inicial Fase 1. Advierta también que la proporción de elementos defectuosos se calcula “al
vuelo” dividiendo los números de elementos defectuosos entre los tamaños muestrales:
pj =
dj
(1)
nj
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Gráfico P - 2
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Gráfico P
El Gráfico P grafica las proporciones muestrales pj.
Gráfico p para defects/n
0.5
LSC = 0.4102
CTR = 0.2313
LIC = 0.0524
0.4
p
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
Muestra
20
25
30
En el modo Fase 1 (Estudios Iniciales), la línea central y los límites de control se determinan a
partir de los datos. La línea central se localiza en la media ponderada de las proporciones
muestrales:
m
p=
∑n
j =1
j
pj
(2)
m
∑n
j =1
j
Los límites de control se colocan arriba y debajo de la línea central en:
p±k
p (1 − p )
n
(3)
donde k es el múltiplo de sigma especificado en la pestaña Gráficos de Control de la caja de
diálogo Preferencias (k = 3 excepto en casos raros) y n es el tamaño muestral. Si los tamaños de
muestra no son iguales, dependiendo entonces de las Opciones de Análisis, n es reemplazado
por:
(1) n , el tamaño muestral promedio. En este caso la línea central y los límites de control
son los mismos para todas las muestras.
(2) nj , el tamaño muestral individual. En este caso los límites de control son funciones
escalonadas.
Cualesquiera puntos fuera de los límites de control serán señalados usando un símbolo especial
de señalamiento. Cualquier punto excluido del análisis, por lo general haciendo clic sobre un
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Gráfico P - 3
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punto en el gráfico y presionando el botón Excluir/Incluir, será indicado con una X. Si así se
indicó en la caja de diálogo de las Opciones de Ventana, las secuencias atípicas también pueden
señalarse. En el presente gráfico, 2 puntos están más allá del límite superior de control. Además,
se generaron 3 señales por violaciones a las reglas de las secuencias, la primera en j = 22 donde
la segunda de las 3 últimas muestras cayó a más de 2 sigma por arriba de la línea central.
Opciones de Ventana
•
Límites Externos de Advertencia: marque este cuadro para agregar límites de advertencia
al múltiplo especificado de sigma, generalmente a 2 sigma.
•
Límites Internos de Advertencia: marque esta cuadro para agregar límites de advertencia al
múltiplo especificado de sigma, generalmente a 1 sigma.
•
Promedio Móvil: marque este cuadro para agregar un suavizador de promedio móvil al
gráfico. Además de las proporciones muestrales, se mostrará el promedio de los q puntos más
recientes, donde q es el orden del promedio móvil. El valor por omisión es de q = 9 ya que
los límites internos de advertencia 1-sigma para las proporciones originales son equivalentes
a los límites de control 3-sigma para el promedio móvil de ese orden.
•
Promedio Móvil Exponencialmente Ponderado(EWMA): marque este cuadro para
agregar un suavizador EWMA al gráfico. Además de las proporciones muestrales, también se
mostrará un promedio móvil ponderado exponencialmente de las proporciones muestraless,
donde λ es el parámetro de suavizado de la EWMA. El valor por omisión es λ = 0.2 ya que
los límites internos de advertencia 1-sigma para las proporciones originales son equivalentes
a los límites de control 3-sigma para ese EWMA.
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Gráfico P - 4
•
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Cifras Decimales para Límites: el número de cifras decimales usadas para presentar los
límites de control.
•
Marcar Violaciones a Reglas de las Secuencias: señala con un símbolo especial de
señalamiento cualesquiera secuencias atípicas. Las reglas de las secuencias aplicadas por
omisión se definen en la pestaña Pruebas de Secuencias de la caja de diálogo Preferencias.
•
Color de Zonas: marque este cuadro para desplegar zonas verde, amarilla y roja.
Ejemplo: Excluyendo Puntos
Montgomery (2005) reporta que análisis complementarios de los dos puntos fuera de los límites
de control en el gráfico p mostrado anteriormente revelaron las siguientes causas imputables para
esas grandes proporciones:
Muestra #15: nuevo material.
Muestra #23: nuevo operador.
Para determinar cuánto cambiaría el gráfico de control sin esas 2 muestras, haga clic en cada una
con su ratón y presione el botón de Excluir/Incluir en la barra de herramientas del análisis. La
línea central y los límites se recalcularán, resultando el siguiente gráfico:
Gráfico p para defects/n
0.5
nuevo material
LSC = 0.3893
CTR = 0.2150
LIC = 0.0407
nuevo operador
0.4
p
0.3
0.2
0.1
0
0
5
10
15
Muestra
20
25
30
Cada uno de los puntos ha sido reemplazado por una X y se han agregado dos etiquetas al gráfico
(usando el botón Agregar Texto de la barra de herramientas del análisis).
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Gráfico P - 5
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Reporte del Gráfico P
Esta ventana tabula los valores graficados en el gráfico de control:
Reporte del Gráfico p
Muestras Fuera de Límites
X = Excluida
* = Fuera de Límites
Muestra
Tamaño p
15
50
* 0.44
23
50
* 0.48
Los puntos fuera-de-control se indican con un asterisco. Los puntos excluidos de los cálculos se
indican con una X.
Opciones de Ventana
•
Mostrar: especifique las muestras (subgrupos) a mostrar en el reporte.
Resumen del Análisis
El Resumen del Análisis resume los datos y el gráfico de control.
Gráfico p - defects/n (FIRST(30))
Selección de la Variable: FIRST(30)
Número de muestras = 30
Tamaño de muestra = 50.0
0 muestras excluidas
Gráfico p
Período
LSC: +3.0 sigma
Línea Central
LIC: -3.0 sigma
2 fuera de límites
#1-30
0.410239
0.231333
0.0524275
Estimados
Período
#1-30
p Media
0.231333
Sigma
0.0596353
En la tabla se incluyen:
•
Información Muestral: el número de muestras m y el tamaño muestral promedio
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Gráfico P - 6
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m
n=
∑n
j =1
j
m
(4)
Si cualesquiera muestras se han excluido de los cálculos, ese número también se muestra.
•
Gráfico p: un resumen de la línea central y de los límites de control para el gráfico p.
Usando las Opciones de Análisis, se pueden calcular distintos límites para diferentes
periodos (grupos de muestras).
•
Estimados: estimaciones de la proporción media de elementos defectuosos del proceso:
θˆ = p
(5)
y la sigma del proceso
σ$ =
p(1 − p)
n
(6)
Opciones del Análisis
•
Tipo de Estudio: define como se establecen los límites. Para un gráfico de Estudio Inicial
(Fase 1), los límites se estiman a partir de los datos actuales. Para un gráfico de Control a
Estándar (Fase 2), los límites de control se definen a partir de la información en la sección
Control a Estándar de la caja de diálogo.
•
Normalizar: si se selecciona, todas las estadísticas se normalizarán calculando los puntajes
Z y se graficarán los puntajes Z en los gráficos. La línea central en tal gráfico se localizará
siempre en el 0, y los límites siempre estarán a ± k.
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Gráfico P - 7
•
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Tamaño Promedio de Subgrupo: si se selecciona, los límites de control serán líneas
horizontales basados en el tamaño muestral promedio. Si no se selecciona, se usará el tamaño
muestral individual, lo que resulta en límites de control como una función escalonada si no
todos los tamaños muestrales son iguales.
•
Usar Formato de Zona: si se selecciona, las estadísticas se graficarán usando un gráfico de
zonas en vez del formato usual. Ver el ejemplo más adelante.
•
Recalcular en: los límites de control del gráfico pueden ser recalculados hasta en cuatro
lugares a lo largo del eje X especificando los números de muestra en los cuales se iniciarán
las nuevas estimaciones. Usando los datos en las diferentes secciones se obtendrán distintas
estimaciones del número promedio de elementos no aceptables. En tales casos, los límites de
control se ajustarán al inicio de cada nuevo período.
•
Límites de Control para el Gráfico P: especifica el múltiplo k que se usa en la
determinación de los límites superior e inferior de control en el gráfico p. Para eliminar por
completo un límite, ponga 0.
•
Control a Estándar: para realizar un análisis Fase 2, seleccione Control a Estándar para el
Tipo de Estudio y luego ingrese uno de los siguientes:
Especificar Parámetros: especifica la proporción media de elementos no aceptables
establecida como estándar.
Establecer Límites de Control: especifica la localización de la línea central y de los
límites de control exactamente donde los quiera poner.
•
Excluir: use este botón para excluir muestras específicas de los cálculos. Se desplegará la
siguiente caja de diálogo:
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Gráfico P - 8
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Para excluir uno o más valores de los cálculos:
1. Seleccione Manual, ingrese el número de muestra (subgrupo) a excluir, y presione
ACEPTAR. Los límites de control se recalcularán sin ese subgrupo y el gráfico se
volverá a graficar.
2. Seleccione Automática y presione ACEPTAR. Entonces el programa removerá los
puntos uno a la vez de los gráficos de control, recalculando los límites después de que
cada punto sea removido. Dejará de remover puntos una vez que todos los puntos
restantes estén dentro de los límites de control actualizados. Esta opción debe ser usada
con cuidado y está diseñada ante todo para tipos de análisis “que tal si”.
También se pueden excluir puntos haciendo clic sobre ellos mientras se examina un gráfico
de control y entonces se presiona el botón de Excluir/Incluir en la barra de herramientas del
análisis.
Ejemplo: Gráfico de Zonas
Si se selecciona la opción Formato de Zona, entonces el gráfico p será presentado de la siguiente
manera:
Gráfico p para defects/n
0.5
11
LSC = 0.4102
CTR = 0.2313
LIC = 0.0524
16
0.4
48
2
3
0.3
p
1
1
0.2
1
3
2
0.1
3
1
1
1
1
3
7
9
7
18
2
1
2
5
1
1
2
3
7
0
0
5
10
15
Subgrupo
20
25
30
Debajo de cada observación está un número secuencial basado en la última secuencia de
observaciones arriba o debajo de la línea central. Comenzando en 0, a cada punto en el gráfico se
le pone un porcentaje acumulado de la siguiente forma:
o Si el punto está dentro de los límites internos de advertencia, se incrementa el puntaje
en 1.
o Si el punto está fuera de los límites internos de advertencia pero dentro de los límites
externos de advertencia, se incrementa el puntaje en 2.
o Si el punto está fuera de los límites externos de advertencia pero dentro de los límites
de control, se incrementa el puntaje en 4.
o Si el punto está fuera de los límites control, se incrementa el puntaje en 8.
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Gráfico P - 9
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Siempre que el proceso cruce la línea central, el puntaje se restablecerá a 0. Valores exactamente
iguales a la línea central no cambian el puntaje. Cuando el puntaje alcance un valor crítico (8 es
el valor por omisión), se genera una señal fuera-de-control.
La regla por omisión anterior puede cambiarse en la pestaña Pruebas de Secuencias de la caja de
diálogo de las Preferencias, accesible a través del menú Editar.
Además, el puntaje puede restablecerse a 0 inmediatamente después de cada señal fuera-decontrol.
En el gráfico anterior, el máximo valor alcanzó 8 o más durante 3 secuencias.
Ejemplo: Calculando Diferentes Límites para Diferentes Periodos
En la discusión que hace Montgomery (2005) de estos datos, establece que se hizo un ajuste a la
máquina después de revisar los resultados anteriores y luego se tomaron unas 24 muestras
adicionales. Para examinar las 54 muestras combinadas, modifique la caja de diálogo como se
muestra a continuación:
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Gráfico P - 10
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Luego entre a la Opciones del Análisis y pida que se calculen nuevos límites comenzando en la
muestra 31:
Entonces se calcularán diferentes límites de control para las muestras 1-30 y 31-54. Los límites
para la última sección se muestran en el gráfico:
Gráfico p para defects/n
0.5
LSC = 0.2440
CTR = 0.1108
LIC = 0.0000
0.4
p
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
Muestra
40
50
60
Obviamente, el ajuste a la máquina produjo una mejora dramática.
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Gráfico P - 11
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Pruebas de Corridas
La ventana de las Pruebas de Corridas presenta los resultados de pruebas estándar que se aplican
al gráfico p para buscar secuencias atípicas de puntos.
Pruebas de Corridas
Reglas
(A) secuencias arriba o abajo de la línea central con longitud 8 o mayor.
(B) secuencias arriba o abajo de longitud 8 o mayor.
(C) conjuntos de 5 subgrupos con al menos 4 más allá de 1.0 sigma.
(D) conjuntos de 3 subgrupos con al menos 2 más allá de 2.0 sigma.
(E) conjuntos de 15 subgrupos en o dentro de 1.0 sigma.
(F) conjuntos de 8 subgrupos más allá de 2.0 sigma.
(G) conjuntos de 8 observaciones alternando arriba y abajo
Violaciones
Observación
20
21
22
23
24
Gráfico p
G
G
DG
DG
CG
Dependiendo de las definiciones por omisión configuradas en la pestaña de Pruebas de Corridas
de la caja de diálogo de las Preferencias, STATGRAPHICS buscará hasta 7 patrones diferentes:
A. Un grupo de 8 o más puntos, todos por arriba o todos por debajo de la línea central.
B. Un grupo de 8 o más puntos, todos aumentando o todos disminuyendo.
C. Un grupo de 5 puntos de los cuales al menos 4 están a más de 1-sigma de la línea central,
en el mismo lado de la línea central.
D. Un grupo de 3 puntos de los cuales al menos 2 están a más de 2-sigma de la línea central,
en el mismo lado de la línea central.
E. Un grupo de 15 o más puntos, todos dentro de 1-sigma.
F. Un grupo de 8 o más puntos, todos fuera de 2-sigma, pero no necesariamente del mismo
lado de la línea central.
G. Un grupo de 8 o más puntos, todos siguiendo un patrón alternando hacia arriba y hacia
abajo.
Cualquiera de tales secuencias se indicará en la tabla anterior y también en el gráfico (a menos
que se supriman).
Las pruebas de corridas están designadas para hacer los gráficos Shewhart estándar más
sensibles a pequeños cambios en el proceso. En la presente situación, la regla G detecta una
oscilación hacia arriba y abajo comenzando en el periodo j = 20.
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Gráfico P - 12
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Opciones de Ventana
Selecciones las pruebas de corridas a aplicar y los parámetros que definan esas pruebas. Por
ejemplo, algunos practicantes prefieren hacer pruebas para secuencias de longitud 7 más que de
8.
Análisis Fase 2
La discusión anterior se ocupa de un estudio Fase 1, en el cual el objetivo fue llevar al proceso a
un estado de control estadístico y estimar un valor estándar para la proporción media de
elementos defectuosos. Después del ajuste a la máquina, el proceso pareció estabilizarse
alrededor de una proporción de θ = 0.1108.
En un estudio Fase 2, se colectan datos adicionales y se grafican con límites de control basados
en aquel estándar. Las filas 55-94 del archivo de datos de ejemplo representan tal caso.
Para realizar un estudio Fase 2 sobre los datos del ejemplo, primero se modificará la caja de
diálogo del ingreso de los datos para remover la selección previa de subgrupo:
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Gráfico P - 13
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A continuación, el Tipo de Estudio se cambiará a Control a Estándar en la caja de diálogo de las
Opciones del Análisis e se ingresará la proporción estándar:
El gráfico resultante tiene la misma línea central y mismos límites que antes:
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Gráfico P - 14
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Gráfico p para defects/n
0.5
LSC = 0.2440
CTR = 0.1108
LIC = 0.0000
0.4
p
0.3
0.2
0.1
0
0
20
40
60
80
100
Muestra
Parece que el proceso ha permanecido bajo control durante el periodo en que se colectaron los
datos adicionales.
Curva OC
La Curva OC (Operating Characteristic - Curva Característica de Operación) está diseñada
para ilustrar las propiedades de un gráfico de control Fase 2.
Curva OC para p
1
Pr(aceptar)
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.1
0.2
Proporción de proceso
0.3
0.4
El gráfico exhibe la probabilidad de que una proporción esté dentro de los límites de control del
gráfico p, como una función del verdadero valor de la proporción del número de elementos no
aceptables en el proceso. Por ejemplo, si se esperara que la proporción en el proceso cambiara a
0.2, la estimación muestral permanecería dentro de los límites aproximadamente 80% del tiempo
y de ese modo no generaría una señal de fuera-de-control. Esa probabilidad cae
aproximadamente al 5% si la proporción de elementos no aceptables es igual a 0.4.
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Gráfico P - 15
STATGRAPHICS – Rev. 4/25/2007
Curva ARL
La Curva ARL es otra forma de ver el desempeño de un gráfico p de Fase 2.
Curva ARL para p
Tamaño Promedio de Corrida
800
600
400
200
0
0
0.04
0.08
0.12
Proporción de proceso
0.16
0.2
La curva ARL (del inglés average run length) grafica la longitud promedio de secuencias
(número promedio de muestras hasta, e incluyendo, el primer punto fuera de los límites de
control) como una función de la verdadera proporción en el proceso. Suponiendo que la
proporción de elementos no aceptables cambie repentinamente a un nuevo valor, el gráfico
muestra cuanto toma en promedio que se genere una señal fuera-de-control (sin contar cualquier
señal de violación de las reglas de las corridas). Para un cambio muy pequeño, puede tomar en
promedio más de 350 muestras detectar el cambio. Expandiendo el gráfico en la vecindad de 0.2
muestra:
Curva ARL para p
Tamaño Promedio de Corrida
10
8
6
4
2
0
0.19
0.194
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0.198
0.202
0.206
Proporción de proceso
0.21
0.214
Gráfico P - 16
STATGRAPHICS – Rev. 4/25/2007
En un cambio a θ = 0.2, la ARL es aproximadamente de 5 muestras.
La sensibilidad del gráfico p depende del tamaño muestral n. Para ayudar a determinar un buen
tamaño de muestra, vea la documentación para el procedimiento Diseño de Gráficos de Control.
Salvar Resultados
Se pueden salvar los siguientes resultados en la hoja de datos:
1.
2.
3.
4.
5.
Proporciones – las proporciones muestrales.
Tamaños – los tamaños muestrales.
Etiquetas – las etiquetas muestrales.
P media – la proporción media estimada de elementos no aceptables.
Sigma – la desviación estándar estimada de las proporciones.
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Gráfico P - 17