El Rincón Matemático - Universidad de Jaén

El Rincón Matemático en Diario Jaén
Coordinador: José María Quesada Teruel
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Universidad de Jaén
Matemáticas y Astronomía (Hussein Toledano Ahmad)
El sistema de numeración decimal (Juan Francisco Ruiz Ruiz)
De la magia de las matemáticas… (Francisco Tomás Sánchez Cobo)
…a las matemáticas de la magia (Francisco Tomás Sánchez Cobo)
Fácil de enunciar, difícil de probar (José María Almira Picazo)
Cóncavo y “con beso” (Antonio Francisco Roldán López de Hierro)
El ocho acostado (Consuelo Rosales Ródenas)
Los matemáticos son desconfiados (Miguel Antonio Jiménez Pozo)
Enigma (Miguel Angel García Muñoz)
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Cómo hacerse rico con las matemáticas”
Autor: Antonio Jesús López Moreno (Diario JAEN, 2 de octubre de 2008)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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Los juegos de azar nacen con la humanidad
misma y, de su mano, surge el interés por
encontrar técnicas ventajosas de juego. De
hecho, probablemente la teoría de probabilidades nace de la correspondencia que en el
siglo XVII mantuvieron los matemáticos
franceses Pascal y Fermat sobre los problemas que el caballero de Meré, apasionado
jugador, les planteaba.
Allá por el siglo VI a.C. Tales de Mileto era el
más importante matemático de su época.
Según cuenta la leyenda, decidió Tales
hacerse rico y demostrar así la eficacia de
todas sus teorías ante aquellos que le increpaban alegando aquello de que „si tan sabio
eres, ¿cómo es que no posees riquezas?‟.
Valiéndose de sus conocimientos matemáticos predijo que la cosecha sería excelente y
se adelantó adquiriendo todas las prensas de
aceite de la zona que luego alquiló durante
la temporada a un elevado precio consiguiendo así amasar una importante fortuna.
Pero, sea o no cierta la fábula, ¿podrían las
matemáticas hacernos ricos?
„Utilizando las tablas y sencillos cálculos que ahora les
mostraremos, podrán ustedes hacerse de forma rauda
con cuánto dinero deseen,
apostando en la lotería, casinos y otros juegos‟.
Bien podría este artículo haber comenzado
así, y, de hecho, este es el encabezado que
reza en no pocos ejemplares que pueden
encontrarse en cualquier librería. ¿Podría
una tal afirmación ser cierta? ¿Existen esas
técnicas matemáticas que facultan al que las
domina para triunfar en los juegos de azar?
El filme ‟21 Blackjack‟, que hemos podido
ver en las carteleras este mismo año, narra
la historia verídica de cómo un grupo de
jóvenes genios de las matemáticas desbancaron varios casinos de Las Vegas utilizando
técnicas estadísticas de conteo de cartas.
Igualmente espectacular es el periplo de la
ya célebre familia García-Pelayo que se ha
paseado por todo el mundo recaudando
millones de euros en la ruleta gracias a sus
métodos estadísticos de análisis de las irregularidades físicas de las ruletas.
Así las cosas, parece que los matemáticos
finalmente triunfaron y el milagro es posible. Corran pues a matricularse a la facultad
de Ciencias Exactas más cercana.
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“¿Cuánto nos cuestan las prisas al volante?”
Autor: Joaquín Jódar Reyes (Diario JAEN, 9 de octubre de 2008)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Son tiempos de dificultades económicas y
todo ahorro es importante. Nuestra forma
de conducir no es ajena a ello. Tomemos de
referencia un vehículo de gasóleo, con un
consumo medio de unos 5,5 litros a los 100
kilómetros cuando circulamos en un trayecto interurbano a una velocidad de 120 kilómetros por hora.
Este consumo se dispara a partir de esa
velocidad, de modo que, por ejemplo, a 150
kilómetros por hora, se sitúa en torno a 8,7
litros a los 100 kilómetros (y progresa aún
más conforme mayor va siendo la velocidad).
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¡Esto por cada 100 kilómetros! Y no hemos
computado el gasto “extra” que nos puede
suponer la infracción de circular por encima
de la velocidad permitida (actualmente, la
multa por circular a 150 kilómetros por hora
en una zona con velocidad máxima permitida de 120 kilómetros por hora es de 100
euros). Pero es que aún no hemos incluido el
factor más importante: el notable aumento
de riesgo que para nosotros y los demás
conductores está suponiendo nuestro exceso
de velocidad.
Y todo esto, ¿para qué? ¿Acaso ganamos
mucho tiempo? A una velocidad media de
120 kilómetros por hora, recorreríamos 120
kilómetros en 60 minutos y, por una sencilla
regla de tres, 100 kilómetros en 50 minutos.
A 150 kilómetros por hora, los 100 kilómetros los haríamos en 40 minutos. Es decir,
por tardar 40 minutos en lugar de 50 en ese
trayecto de 100 kilómetros, ponemos en
mayor riesgo nuestra vida y la de los demás,
nos jugamos una cuantiosa multa y realizamos un gasto considerablemente más alto
en combustible y, por ende, en nuestro bolsillo. ¿De verdad merece la pena?
Son sencillas las matemáticas que nos invitan a reflexionar sobre nuestra forma de
conducir.
Esto quiere decir que, en un viaje de 100
kilómetros por autovía (como es la distancia,
aproximadamente, entre Jaén y Granada),
una velocidad media de 120 kilómetros por
hora nos supondría, con el precio actual del
gasóleo en torno a 1,20 euros el litro, un
gasto de 6,60 euros, mientras que una media de 150 kilómetros por hora nos supondría 10,44 euros (sobrecoste de casi 4 euros
que es más de lo que una persona que trabaje 40 horas semanales y con un sueldo mensual de 1200 euros cobra por media hora de
trabajo).
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“¿Pueden las matemáticas ayudarte a sobrevivir?”
Autor: Juan Carlos Ruiz Molina (Diario JAEN, 23 de octubre de 2008)
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La historia demuestra que en algunos casos
sí. En tiempos de la sublevación judía frente
al poder romano, el emperador Nerón recurrió a un solvente general para sofocar la
revuelta. El afortunado fue Vespasiano, un
rudo general que había perdido el favor de
Nerón debido a que se durmió en uno de sus
recitales.
El plan diseñado por Vespasiano consistió
en minar la sublevación mediante un proceso de conquista de ciudades dejando para el
final la inexpugnable Jerusalén. Tras el
sometimiento de alguna de ellas le tocó el
turno a Jotapat. Para su defensa se desplazó
a la zona uno de los jefes moderados rebeldes, cuyo nombre romanizado era el de
Flavio Josefo. La maquinaria de guerra
romana, tras un duro asedio, consiguió
finalmente asaltar la ciudad.
Josefo logró escapar momentáneamente de
la venganza romana refugiándose, junto a
una cuarentena de radicales judíos, en un
pozo. Una vez localizado su escondrijo, se
entabló una negociación en la que se les
prometió respetar sus vidas. Sin embargo,
esta generosa promesa no fue bien recibida
por los extremistas que decidieron suicidarse antes que entregarse. Josefo, que no
quería morir, trató primero de persuadir a
los suicidas para que cambiaran de opinión.
El intento resultó infructuoso. Entonces les
convenció de que el suicidio era un pecado y
de que era preferible ante los ojos de Dios el
que se mataran los unos a los otros.
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Les propuso un plan consistente en colocarse en círculo y cada uno asesinar al compañero inmediatamente a la derecha. Tras la
macabra primera vuelta, el círculo se volvería a formar con los que permanecieran con
vida y se aplicaría el mismo principio. Al
final sólo quedarían dos, uno moriría asesinado y el otro se suicidaría. La cuestión sería
saber si una posición inicial determinada en
el círculo aseguraría que Josefo fuese el que
moriría por suicidio y no asesinado. Este
planteamiento dio lugar a un famoso problema matemático denominado “cuenta de
Josefo”.
Busto de Flavio Josefo
Se cree que Josefo podría haber tenido los
conocimientos matemáticos suficientes para
decidir el lugar exacto que debía ocupar en
el círculo para sobrevivir (como así sucedió).
Otras de las virtudes que se le conocen al
protagonista de nuestra historia es la de
predecir, a partir de las antiguas escrituras,
la púrpura imperial para Vespasiano y su
dinastía. Predicción, ahora sí sin base estadística, que le aseguró un puesto en Roma
al lado del emperador, la ciudadanía romana, una pensión y el disfrute del antiguo
domicilio de Vespasiano.
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“Ibn Muadh, el gran olvidado”
Autor: Juan Martínez Moreno (Diario JAEN, 30 de octubre de 2008)
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Lamentablemente no se cumplió el pronóstico y todo quedó en agua de borrajas.
Los matemáticos como autores de artículos
y libros que son, pertenecen a la rara estirpe
de seres ególatras que persiguen la inmortalidad desde sus trabajos. Su afán último es
conseguir que alguien en el otro confín del
planeta les mencione aunque sólo sea de
soslayo en sus propios trabajos y, en el caso
muy especial, titule uno de sus resultados
con sus propios nombres. Las matemáticas
están inundadas de teoremas de Fermat,
conjeturas de Poincaré y triángulos de
Pascal. Sus aspiraciones de perdurabilidad
están sacadas del mismo saco que las de
novelistas, pintores y demás artistas en
general. En este sentido, y en muchos otros,
la matemática es arte en estado puro.
Esa mentalidad competitiva justifica la existencia de premios para vanagloria de sus
ganadores. De entre ellos, la Medalla
Fields (no existe el Nobel en matemáticas)
es el más prestigioso. Nunca un matemático
español se hizo acreedor de una Medalla
Fields y pocos consiguieron la suficiente
fama internacional como para pasar a la
historia de la matemática moderna: Rey
Pastor,… Hasta aquí, todo normal, previsible; aunque no puedo dejar pasar en este
punto que la matemática española, muy
atrasada durante siglos posiblemente por
políticas inoportunas, ha sufrido un crecimiento espectacular en la última década,
llegando incluso a rumorearse en el pasado
congreso matemático mundial la posible
adjudicación de una medalla para un matemático español.
Pero hete aquí mi sorpresa cuando perplejo,
ante tan desolador panorama, descubro en
la web “The MacTutor History of Mathematics archive” de la University of St Andrews
Scotland, encargada de documentar a los
matemáticos más ilustres de la historia, que
uno se llama Abu Abd Allah Muhammad
ibn Muadh Al-Jayyani.
Aunque debió nacer en Córdoba, el sobrenombre Al-Jayyani significa de Jaén. Ibn
Muadh fue un gran teórico de la matemática
de entonces y además ejerció de cadí en la
ciudad de Jaén. Escribió el primer “Tratado
de Trigonometría Esférica”, que entre otras
contiene una exposición de los teoremas del
seno y del coseno. Debió vivir entre nosotros
entre los años 989 y 1079 d. C.
Alguien debería estudiar la vida y obra de
este jaenero en profundidad ¿tal vez una
tesis doctoral?. Ahí arrojo el guante.
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“¿Nos fiamos siempre de nuestra intuición?”
Autor: Ildefonso Castro López (Diario JAEN, 6 de noviembre de 2008)
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Imaginemos que fuésemos capaces de rodear con un hilo la superficie terrestre alrededor del ecuador. La fórmula de la longitud
de la circunferencia (2πR, siendo R el radio
de ésta) nos estima la longitud del hilo usado en más de 36.000 km, pues π es 3 y pico
y el radio de la Tierra es aproximadamente
6370 km. Cortamos ahora nuestro larguísimo hilo y añadimos solamente 1m de hilo a
esos 36 millares largos de kilómetros.
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Llamemos R1 al radio de la Tierra y R2 al
radio de la circunferencia que forma el nuevo hilo “alargado”. Nuestro problema consiste en calcular R2-R1, que es claramente la
medida del hueco creado. Pues bien, la simple ecuación matemática que traduce el
proceso que hemos llevado a cabo es 2πR2 =
2πR1+1, que proviene de expresar en metros
la longitud del hilo alargado. Tras un par de
operaciones elementales, 2πR2 - 2πR1 =1, 2π
(R2-R1) = 1, llegamos al valor exacto de la
“holgura” R2 –R1=1/2π. Con la ayuda de
cualquier calculadora el cociente 1/2π es
aproximadamente 0.15; esto es, 15 cm que
permiten sobradamente introducir cualquier
puño cerrado (salvo acaso el de Mazinger Z,
un personaje de dibujos animados de la
época de los lectores cuarentones).
Si volviésemos a colocar el
nuevo hilo resultante alrededor de nuestro planeta
por el mismo sitio (en
torno al ecuador) ahora
quedaría con un “poquito”
de holgura. Le desafío a
que piense si cree que
podría colocar su dedo
índice y pasearlo a lo largo
del hueco que quede. Si su
intuición le ha dictado que
eso parece imposible, lamentablemente se ha visto
engañado por ella.
Me propongo no convencerle,
sino demostrarle que no sólo le
cabría su dedo, sino todo su
puño cerrado. Y ésta no será la
mayor sorpresa ...
Queda pendiente la sorpresa prometida:
Repita el mismo problema sustituyendo la
esfera de nuestro maltratado planeta por
una pelota de tenis, un balón de fútbol, un
minúsculo electrón o el inmenso Universo.
¡¡El resultado es increíblemente el mismo!!
Moraleja: no se deje guiar en la vida siempre
por su intuición, pues la sorpresa puede ser
mayúscula.
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“El juego de billar cósmico”
Autor: Juan Francisco Ruiz Ruiz (Diario JAEN, 13 de noviembre de 2008)
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Johannes Kepler fue un matemático alemán
que estudió los movimientos de los planetas
y buscó durante años una descripción para
los mismos. Aunque ideas preconcebidas
erróneas entorpecieron su investigación, con
ayuda de las observaciones de Ticho Brahe,
finalmente consiguió describir el movimiento planetario con sus tres leyes: los planetas
describen una elipse con el Sol en uno de sus
focos, en su movimiento elíptico barren
áreas iguales en tiempos iguales y el cuadrado de los periodos de revolución es proporcional al cubo de los semiejes mayores de la
elipse. La importancia del descubrimiento es
enorme, Kepler era contemporáneo de Galileo y describió de forma precisa lo que la
mayoría de sus coetáneos no eran capaces
de imaginar. Sin embargo no dio explicación
a las mismas y sería Newton quien encontraría la respuesta: La Ley de Gravitación
Universal. Ésta explicaba el movimiento de
los cuerpos celestes, y además establecía las
bases de la mecánica clásica, que fue completada por Einstein, dando una explicación
geométrica de la gravedad.
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Como si de una mesa de billar se tratara, las
sondas espaciales son enviadas al espacio,
en una serie de carambolas gravitatorias en
busca de un objetivo final. Los científicos
juegan al billar en un tablero cósmico, utilizando las leyes de Kepler, Newton y Einstein. Para conseguir acelerar o frenar, las
sondas aprovechan la gravedad de los propios planetas en una maniobra que se denomina: “asistencia gravitacional”.
Cassini es una nave espacial que actualmente orbita y estudia a Saturno y sus satélites,
su periplo a través del Sistema Solar es un
buen ejemplo de carambola cósmica, fue
lanzada en octubre de 1997 hacia Venus y lo
sobrevoló en dos ocasiones; de nuevo volvió
a La Tierra en 1999, cogiendo aún más impulso (en poco más de 1 hora llegó a la Luna); en enero de 2000 sobrevoló el asteroide
2685 Masursky y en diciembre pasó a Júpiter con destino Saturno, al cual llegó en julio
de 2004, después de casi 7 años de viaje.
La Cassini llevaba a bordo, como polizón,
una pequeña sonda de construcción europea
llamada Huygens, que descendió sobre el
mayor de los satélites de Saturno: Titán;
consiguió por primera vez mirar a través de
sus nubes y desvelarnos la superficie y el
aspecto de Titán. Es difícil transmitir con
palabras la emoción que se siente al ver un
mundo por primera vez, quizás Kepler y
tantos otros sintieron algo similar al descubrir las leyes del juego de billar cósmico, con
las que hoy se juega para llegar a otros
mundos.
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“Efecto Bartók”
Autor: Miguel Marano Calzolari (Diario JAEN, 20 de noviembre de 2008)
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En efecto, la sucesión de números fraccionarios formados por dos términos consecutivos de la sucesión de Fibonacci, a saber
… , 13/21, 21/34, 34/55, 55/89…,
se aproxima tanto como se quiera a la sección áurea. Misterios de la matemática, y
también de la naturaleza porque estos
números están presentes en ella.
Propongo que el compositor húngaro Béla
Bartók (1881-1945) sea declarado músico
emblemático de las Ciencias Matemáticas.
Hay motivos para ello. Si bien la aplicación
de las matemáticas a la música no es un
tema por él descubierto, es este compositor
quien emplea de modo sistemático elementos de esa ciencia en sus partituras. Concretamente, la sección áurea y la sucesión de
Fibonacci.
La sección áurea se refiere a la
partición de un segmento en
dos partes de distinta longitud,
de tal forma que la relación
entre la longitud de la parte
mayor y la longitud total del
segmento es igual a la relación
entre las longitudes de la parte
menor y mayor. El valor de esta
relación, la sección áurea, es
aproximadamente 0,618.
La sucesión (infinita) de números enteros de Fibonacci comienza con dos unos y luego
forma sus términos con la suma
de los dos anteriores: 1, 1, 2, 3,
5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, … . Aunque ambos conceptos provienen
de definiciones aparentemente
no relacionadas, hay un vínculo
entre ellos.
Por ejemplo, si una rama de un árbol y todas
las que nacen de ella producen otra rama
por año a partir de su segundo año de vida,
entonces el número total de ramas en cada
año sigue una ley dada exactamente por la
sucesión de Fibonacci. Hay más ejemplos,
algunos también conectados con la sección
áurea. Pero no nos vayamos por las ramas y
volvamos a Bartók; no puedo dar detalles de
cómo
introduce estos elementos matemáticos en sus composiciones,
por falta de espacio pero principalmente porque no tengo
ningún conocimiento de técnica
musical. Hay estudiosos del tema que han escrito sobre estos
aspectos; de ellos he obtenido
estos datos. Es una gran cosa
que no sea necesario poseer esos
conocimientos técnicos para disfrutar de la música.
Y ya es hora de decirlo. Confieso que el segundo concierto para violín de Bartók produce en mí, y seguramente en muchos
otros, un efecto de música celestial. No sé si
será por los ingredientes matemáticos. Más
bien me inclino a pensar que se debe a que
la música - a diferencia de las otras artes,
que son creaciones del hombre - es una
creación directa de Dios, que los grandes
compositores, verdaderos emisarios del
Creador en la tierra, interpretan y ejecutan.
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“La estadística: madre de la enfermería moderna”
Autor: José Rodríguez Avi (Diario JAEN, 27 de noviembre de 2008)
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Tras la puesta en práctica de sus instrucciones, relacionadas con la atención a los enfermos y a la higiene –a veces costeadas por
ella personalmente- el mismo gráfico demostró que las muertes por enfermedades
evitables casi habían desaparecido.
En 1854, Gran Bretaña y Francia libraban
contra Rusia la guerra de Crimea, de poca
importancia política pero famosa por dos
hechos claves. Uno, la disparatada carga de
la brigada ligera inglesa en Balaklava, inmortalizada en el cine por Errol Flyn en
famosa película homónima. El otro ocurrió
gracias a una tenaz mujer y a su pasión por
la Estadística.
Desafiando la oposición paterna estudió
matemáticas, siendo alumna destacada de
algunos de los mejores matemáticos de la
época. Llevada por su espíritu de servicio fue
nombrada Superintendente del Sistema de
Enfermeras de los Hospitales Generales
Ingleses en Turquía para los heridos de la
guerra.
Al volver a casa consiguió que le encomendaran otros hospitales en donde estadísticamente demostró como sus métodos bajaban la tasa de mortalidad. Con su trabajo
mostró la importancia de la estadística para
mejorar las prácticas quirúrgicas y médicas
y supo utilizar los resultados para reformar
en profundidad la sanidad.
Esta mujer inglesa aunque nacida en Florencia, investigadora incansable, matemática de vocación, miembro de las más prestigiosas asociaciones estadísticas mundiales
era Florence Shore, que ha pasado a la historia como Florence Nightingale, la auténtica creadora e impulsora de la enfermería
moderna.
Al llegar al hospital de Scutari vio que las
condiciones higiénico-sanitarias eran desastrosas. Recopiló datos relacionando la muerte con la causa y sistematizó la práctica del
control de registros. Inventó un gráfico,
denominado de área polar, en el que en cada
mes se representaba con un sector circular
dividido en tres partes, cada una con área
proporcional a la frecuencia de las muertes
por heridas, enfermedades evitables y otras
causas.
Así demostró que los meses de mayor mortalidad correspondían a los invernales, en
los que casi no se combatía. De hecho las
heridas de guerra causaban sólo la sexta
parte de las muertes, mientras que las causas principales eran enfermedades evitables.
Florence Nightingale
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“No confíe su dinero a los matemático”
Autora: Consuelo Rosales Ródenas (Diario JAEN, 4 de diciembre de 2008)
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En los medios de comunicación se leen ahora las críticas a la confianza depositada en
métodos y modelos sofisticados que contenían enormes riesgos: “…estos bonitos modelos matemáticos daban ilusión a los banqueros y también a los reguladores que
medían perfectamente el riesgo; admitamos que la teoría financiera moderna tiene
la validez científica de la astrología”.
En 1948, financiada con fondos militares y
empresariales, en Estados Unidos se constituyó una organización, integrada por los
mejores científicos, cuyo objetivo era estudiar estrategias nacionales en un mundo
nuclear. Su consigna era “pensar lo inimaginable”. De ella formaban parte los grandes
que en esa época desarrollaban la teoría de
juegos, con aplicaciones fundamentalmente
económicas hasta ese momento. Se estudió
con precisión la lógica de la guerra, y se
pusieron a punto mecanismos que advertían
de cualquier ataque nuclear. Con el temor de
los dos bandos a sus consecuencias, la estrategia del golpe por golpe se descartó: la
partida nuclear solo se podía jugar una vez.
Pensar lo inimaginable evitó lo imposible.
Medio siglo después, los matemáticos han
sido reclutados por los grandes bancos. El
objetivo también era pensar lo inimaginable,
pero ahora para diseñar nuevos productos
financieros e idear estrategias que elevaran
exponencialmente los beneficios. Las consecuencias, medidas en cifras millonarias,
engordaban y blindaban bolsillos privados.
Es posible que los modelos matemáticos
estén hoy mejor desarrollados para predecir
huracanes que crisis financieras; pero es
exagerado afirmar que las matemáticas
tienen la culpa de los excesos cometidos en
la gestión de los bancos y en la permisividad
de las autoridades que debían regularla.
Matemáticamente
el interés compuesto
produce un crecimiento exponencial de la
deuda, y evitar la devolución de la misma
durante más de unos años se hace imposible.
La “magia del interés compuesto” ha transformado en sinónimos los vocablos innovación y engaño para quienes creían que el
crecimiento de los créditos hipotecarios
basura podría continuar indefinidamente.
El lugar del miedo lo ha ocupado la codicia y
lo imposible nos ha explotado. Las hipotecas
basura, los activos tóxicos, no sólo reparten
las pérdidas para todos sino que, además,
los contribuyentes debemos pagar la fiesta
de excesos a la que no estábamos invitados.
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“Matemáticas y ajedrez”
Autor: Antonio Damas Serrano (Diario JAEN, 11 de diciembre de 2008)
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Cuenta la leyenda que el ajedrez tuvo su
origen en una región de la India. Allí, un
cierto rey perdió a su hijo en una batalla,
hecho que lo sumió en una profunda tristeza. Todos en la corte hacían lo posible por
alegrar al soberano, pero no lo conseguían.
Un buen día, un tal Sissa se presentó al rey y
le mostró un juego de estrategia que se desarrollaba en un tablero de 64 casillas y en el
que participaban dos jugadores, cada uno de
ellos con 16 piezas (8 soldados, 2 caballos, 2
elefantes, 2 consejeros, una reina y un rey).
Fue tal la fascinación del rey por el juego
que le dijo a Sissa que como recompensa
pidiera lo que quisiese. “Ponga un grano de
trigo en la primera casilla, 2 en la segunda, 4
en la tercera, 8 en la cuarta, y así sucesivamente hasta completar el tablero; y entrégueme la cantidad total de granos de trigo”,
dijo Sissa. Así pues, el rey llamó a Pitagorín,
el matemático de la corte, y le pidió que
hiciera las cuentas. “Su Majestad, el número
total de granos es
1+2+23+24+…+264=265-1 =
18.446.744.073.709.551.615,
por lo que habría que llenar de trigo un depósito en
forma de cubo de unos 11
kilómetros de lado. Por
tanto, no hay ni habrá en
muchos años suficiente
trigo en todo el reino para
satisfacer el pago”.
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El lector se estará preguntando por el maltrecho honor del monarca, incapaz de satisfacer la petición de Sissa. Y es aquí donde
tiene comienzo la segunda parte de la leyenda, posiblemente menos conocida. Pitagorín
propuso a Sissa que le pagarían lo que había
pedido pero además todo aquello que se
obtuviera de agregar sin fin, más y más
casillas al tablero. Sissa, que no era matemático, aceptó, y éstas fueron las cuentas de
Pitagorín:
S= 1+2+22+23+…=
1+2(1+2+22+23+…)= 1+2S,
de donde S=-1. Es decir, ¡que Sissa le debía
un grano de trigo al rey!
Sin duda que el tal Pitagorín merecería
poder participar en la bolsa de empleo del
Departamento de Matemáticas de la Universidad de Jaén, en cambio Sissa no creo que
aprobase ningún examen de series numéricas.
En un tono más formal hay que reseñar que
grandes matemáticos como George Pólya,
Carl Gauss y Leonard Euler, entre otros, se
han interesado por problemas matemáticos
en el ajedrez. Además, campeones del mundo de ajedrez como Emanuel Lasker y Max
Euwe fueron Doctores en Matemáticas. Sin
embargo, hay que decir que no fue matemático el más brillante jugador de ajedrez de
todos los tiempos, Moisés, que hizo tablas
con Dios.
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“¿Discontinuidades o injusticias?”
Autor: Francisco Javier Muñoz Delgado (Diario JAEN, 18 de diciembre de 2008)
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Una de las definiciones más difíciles de
enseñar en matemáticas es la de función
continua. ¿Recuerdan aquello de épsilon y
delta al final de la secundaria? Había algunas ideas intuitivas más fáciles de comprender, por ejemplo, que a valores próximos se
le asocien valores próximos, o que se pudiese dibujar la gráfica sin levantar el lápiz del
papel, es decir, sin dar saltos, ...
En nuestra vida cotidiana también aparecen
discontinuidades. No siempre es posible
evitarlas. Así un alumno que obtiene un 5
estaría aprobado mientras que si le falta algo
estaría suspenso (y esto no se arregla cambiando la barrera del 5 por el 4,5 o el 4). Sin
embargo, otras discontinuidades podrían, o
mejor deberían, evitarse.
Con frecuencia encontramos baremos en
que según notas o ciertos ingresos se otorgan puntuaciones según intervalos (lo que
conlleva discontinuidades matemáticas).
Opino que deberían evitarse los saltos y
procurar puntuaciones continuas. Muchas
veces basta una simple expresión lineal
a+bx, con b positiva, si queremos que sea
crezca (a más nota más puntos) o con b
negativa si queremos que decrezca (a más
ingresos menos puntos).
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La cuestión puede ser grave. Supongamos
dos familias con ingresos similares y con
hijos que van a empezar sus estudios universitarios. Ambas confían en la beca, pero una
decide incrementar los ingresos trabajando
unas horas extras. Podría ocurrir que por
obtener unos ingresos extras una de las
familias dejase de obtener la beca. ¡Perderían una beca de miles de euros, por haberse
pasado en unos euros!
Desde aquí reclamo el derecho (así lo considero) a renunciar a la parte de la beca equivalente a lo que se excedió del límite (basta
algo así para eliminar la discontinuidad).
También rogaría a quienes realizan baremos
para pagar impuestos que tengan mucho
cuidado con las “discontinuidades”. ¿Cuántas veces nos encontramos que para conseguir una deducción por adquisición o alquiler de vivienda, hijos, ascendientes, minusvalía del contribuyente, etc., es necesario no
sobrepasar cierta cantidad en la base imponible? Se puede perjudicar con cientos o
miles de euros por unos cuantos euros ingresados de más.
¡Evitemos las discontinuidades!
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Matemágicas”
Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 8 de enero de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Universidad de Jaén
En este sentido es como si usted mandara a
un amigo dibujar un triángulo rectángulo y
luego lo “sorprendiese” mostrándole que el
área del cuadrado colocado sobre la hipotenusa coincide con la suma de las áreas de los
cuadrados colocados sobre los catetos.
Le propongo un truco de magia con cartas
para sorprender a sus amigos y familiares:
disponga en secreto los palos de la baraja en
un orden determinado (por ejemplo, un
basto, una copa, una espada, un oro, y así
sucesivamente).
Sitúe el mazo preparado sobre la mesa,
empiece a quitar cartas de la parte superior
una a una y colóquelas formando un nuevo
montón (donde ahora el orden de los palos
será el inverso del que había en el mazo
original). Deténgase cuando alguien se lo
indique y realice a continuación una mezcla
americana con los dos montones. De la
vuelta a las cuatro primeras cartas. ¡Sorpresa! Hay exactamente una carta de cada palo
y lo mismo sucederá con cada grupo de
cuatro cartas consecutivas a las que de la
vuelta hasta agotar la baraja (llegado a este
punto se recomienda tocar un violín imaginario como Juan Tamariz).
Si practica un poco podrá observar que este
truco no depende del tamaño de los dos
montones o de su habilidad para mezclarlos,
sino que funciona “solo”. En realidad se
trata de un teorema que puede demostrarse
por inducción matemática y que por tanto
resulta tan inevitable como el teorema de
Pitágoras.
La idea subyacente al truco se conoce como
principio de Gilbreath, debido al matemático y mago amateur Norman Gilbreath que
fue el primero en publicarlo, y ha sido ampliamente popularizado por Martin Gardner, responsable durante 25 años de la sección “Mathematical Games” de Scientific
American y el mayor divulgador de las matemáticas recreativas de nuestro tiempo.
Como toda buena pieza de Matemáticas el
principio de Gilbreath es susceptible de ser
generalizado, admite múltiples variaciones
interesantes (existen más de cien trucos de
cartas basados en él) y ha resultado tener
aplicaciones en campos muy alejados de
aquel donde tuvo su origen. De hecho Donald E. Knuth (conocido experto en ciencias
de la computación y creador de TEX, el
popular lenguaje para la edición de textos
científicos) encontró una sorprendente
aplicación del principio de Gilbreath en el
análisis de un algoritmo eficiente para la
comunicación Input/Output entre una memoria interna rápida (como un disco duro) y
una memoria externa más lenta (como un
pendrive).
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Poesía y matemáticas: más en común de lo que parece”
Autor: José María Almira Picazo (Diario JAEN, 15 de enero de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Todos lo sabemos: no es posible definir la
poesía. Toda poética encierra una única cara
de un poliedro inmenso, indescriptible e
indescifrable, un poliedro infinito de perspectivas distintas, de ventanas a través de
las cuales podemos asomarnos brevemente a
un universo paralelo al que llamamos poesía. Pero la poesía es siempre inexplicable.
Es (¿cómo decirlo de otro modo?) una experiencia personal. Aquí está posiblemente el
nexo más estrecho que (se me ocurre a mi)
existe entre poesía y matemáticas. Aunque
no lo parezca a primera vista (y a pesar de
que haya muchas personas horrorizadas por
las matemáticas –aunque también los hay
indiferentes a la poesía- la matemática,
como la poesía, es una experiencia personal,
intransferible.
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El poeta tiene una mirada única y a través de
ella intenta transmitir lo que ve o siente. Su
explicación no es nunca suficiente. Sólo
sugiere algo. Nos hace sentir, nos ilumina
con una imagen o una idea. Nos hace reflexionar. El matemático tiene también
como objetivo comunicar algo nuevo, algo
asombroso en lo que nunca antes nadie
había caído. No hay mucha diferencia entre
un buen libro de poemas y un artículo de
investigación.
Además del aspecto comentado, existen
otras muchas conexiones entre poesía y
matemáticas. Ambas disciplinas son indefinibles, requieren una especial sensibilidad,
son un lenguaje y su objetivo es transmitir
algo -a sabiendas de que este algo será interpretado de modos muy distintos por los
diferentes receptores. En ambas disciplinas
se busca la elegancia y se cuida no sólo el
contenido sino la forma. Tanto en poesía
como en matemáticas se ejercen por encima
de todo la libertad de pensamiento y la creatividad.
Podría parecer que no. La impresión general
es que la matemática es algo frío, objetivo,
sin ambigüedades: nada personal. Ninguna
de esas sensaciones se corresponde con la
realidad. Del mismo modo que la poesía no
se puede identificar con la métrica, las matemáticas no son sólo números. Ni siquiera
los números son algo completamente objetivo y frío. No siempre es verdad que 2+2=4.
Por ejemplo, en el reloj de pared vemos que
10+3=1 (y no 13).
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Los dos matemáticos más jóvenes de la historia”
Autor: José Luis Maroto Romo (Diario JAEN, 22 de enero de 2009)
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En este ambiente nació, vivió y murió Galois
y este ambiente respiró también Abel durante sus viajes por el centro de Europa, cuando
hasta los fríos fiordos de su Noruega natal
aún no habían llegado las chispas encendidas del romanticismo.
Huir de las cuestiones matemáticas no es lo
mismo que huir de los matemáticos, el conocimiento de los cuales, como hombres de
carne y hueso, tiene el mismo y, a veces,
mayor interés que su conocimiento como
matemáticos.
Niels Henrick Abel
He agrupado a los dos matemáticos más jóvenes de la historia,
Abel y Galois a los que dedicaremos sendos artículos en este
Rincón. Las vidas de estos dos
matemáticos son vidas poco extensas y muy intensas, que vale
la pena conocer; vidas ligeramente asincrónicas, pero de un
gran paralelismo.
Ambos murieron jóvenes (Abel a los 26
años, Galois a los 20, en un duelo), uno
produce la Teoría de Grupos que invade hoy
todas las ramas de las Matemáticas; el otro
un teorema que abre un nuevo capítulo de la
historia del Álgebra, y las dos vidas están
llenas de episodios que unas veces nos hacen
reír y otras nos hacen llorar. Los segmentos
que representan sus vidas tienen un tramo
superpuesto que dura dieciocho años: desde
1811 fecha del nacimiento de Galois, hasta
1829, fecha de la muerte de Abel, tramo que
constituye, al mismo tiempo, uno de los
periodos más densos de la historia de Europa: periodo de revoluciones políticas, de
luchas filosóficas, de mejoras económicas,
de adelantos científicos y de ansias de libertad en la plena eclosión romántica del primer tercio del siglo XIX.
El padre de Abel era un hombre austero y
hogareño, alejado de toda preocupación
mundana, mientras que el de Galois era un
fino espíritu dieciochesco que lo mismo
componía cuplés galantes que representaba
comedias de salón. Ambos tienen, sin embargo, un punto común, su actuación en
cuestiones públicas. La infancia de Abel se
desarrolla en años de pleno dramatismo en
Noruega y la de Galois conoce el Terror
blanco en Francia.
Abel murió de tuberculosis en la más miserable pobreza. Tenía 26 años. Dos días después de su muerte, una carta de Augusto
Crelle, anunciaba que la Universidad de
Berlín le había nombrado profesor de matemáticas. Galois perdió la vida en un duelo.
Tenía 20 años. La noche anterior la dedicó a
detallar todos sus descubrimientos matemáticos en una larga carta dirigida a su amigo
Auguste Chevalier a quién encomendaba la
tarea de hacer llegar sus trabajos a Gauss y a
Jacobi, únicos matemáticos capaces, según
su criterio, de comprenderle. Varias veces
escribió en el margen de la carta «Demasiado poco tiempo».
Evariste Galois
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“La más bella fórmula matemática de la historia”
Autor: José María Quesada Teruel (Diario JAEN, 29 de enero de 2009)
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No cabe duda de que los criterios estéticos
están presentes en las teorías científicas que
describen las leyes de la naturaleza. Cuando
le preguntaron al físico Paul Dirac si creía
verdadera la fórmula de Einstein respondió
sencillamente ante la polémica del momento: “¡Qué más da si es verdad o mentira; es
tan bella!”.
Sin duda la igualdad más popularmente
conocida a nivel mundial, incluso fuera del
ámbito científico, es la fórmula de Einstein:
E=mC2 que relaciona la Energía (E) con la
masa (m) mediante la constante C (velocidad de la luz en el vacío). La hemos podido
ver en innumerables situaciones y contextos,
inspirando todo tipo de publicidad, eventos
científicos, sellos, carteles, logos, camisetas,
…
Sin embargo, parece existir un
acuerdo unánime en el mundo
científico sobre la que, indiscutiblemente y desde hace más de
dos siglos, se refrenda como la
más bella igualdad descubierta
hasta el momento: la sublime y
mística fórmula de Leonhard Euler,
La belleza la percibimos especialmente a
través de los sentidos de la vista, el oído , el
olfato, … tal vez mediante la estimulación de
algún mecanismo cerebral que nos produce
una sensación de admiración, placer, indiferencia o rechazo. Pero esta percepción es
algo muy personal y está condicionada por
nuestra educación, nuestra formación y
nuestros prejuicios.
Hay quienes permanecen indiferentes ante
la visión de un cuadro de Dalí, la escucha de
los acordes de un adagio de Albinoni, la
lectura de un poema de Alberti o la contemplación de la fórmula de Euler. Aún así,
contagiar la belleza seguirá siendo el empeño de poetas, pintores, escultores, músicos,
artistas y, cómo no, de los matemáticos.
ei π + 1 = 0.
Así lo ratificaba la encuesta realizada en
1988 a los lectores de la revista especializada
Mathematical Intelligencer.
Es probable que en la evolución de la matemática en el tiempo los números: 1, 0, π
(3.141592…), e (2.718281…, base de los
logaritmos neperianos) , i (unidad imaginaria), hayan surgido en ese orden como verdaderos motores del desarrollo de esta ciencia, pero lo más extraordinario de todo es
que se congreguen “de una forma totalmente
inesperada” en una minúscula fórmula de
equilibrada belleza.
Leonarhd Euler
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Que no les engañen”
Autor: Antonio Francisco Roldán López de Hierro (Diario JAEN, 5 de febrero de 2009)
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Y quizá por debajo subyace la idea de que
deben tomar más grasas en su restaurante
de comida rápida.
Si escuchamos a nuestros dirigentes políticos, parece que vivimos en mundos muy
distintos. No cabe duda de que las decisiones que toman (casi siempre basadas en la
Estadística) nos afectan a todos en gran
medida. Y si tomamos partido por algunos
de ellos, ¿mienten los demás? Yo creo que
no: todos toman los mismos datos, pero los
interpretan de maneras muy distintas. Veamos cómo es posible.
Imaginemos que los médicos recomiendan
un peso de entre 60 y 80 kg para los jóvenes
(varones) de Jaén de una cierta edad. Encuestamos a 100 de ellos y encontramos 98
que pesan 70 kg cada uno, pero los dos restantes destacan uno por un peso excesivo
(de 105 kg) y otro por su delgadez (35 kg). El
sentido común (y, por supuesto, la Estadística) nos dice que ésta es una población sana
(con una media de 70 kg), y que, posiblemente, los casos extremos tengan una explicación razonable (acaso una enfermedad).
Veamos que no todo es tan sencillo.
Otra persona afirma: “tras un estudio entre
100 jóvenes, los datos indican que 99 de
ellos pesan entre 65 y 105 kg, y sólo uno de
ellos está entre 25 y 65 kg; por tanto, la
media es de 84’60 kg y concluimos que
nuestra juventud padece sobrepeso”. Y no
hay que descartar que implícitamente se les
anime a apuntarse a un gimnasio de su
propiedad.
Con unos mismos datos, las interpretaciones
pueden ser diametralmente opuestas. Y
éstas dirigen su vida y la mía. La receta sólo
tiene dos ingredientes: ocultarle al público
los datos y agruparlos de una manera interesada. El remedio consiste en tener acceso a
los datos y conocer las técnicas estadísticas
que permiten interpretarlos. Sólo así seremos realmente libres para pensar de forma
crítica sobre lo que nos rodea.
Anímense a aprender Estadística, aunque
sólo sea para no dejarse engañar. Les aseguro que no es un tiempo perdido.
Una persona toma estos datos y dice: “después de encuestar a 100 jóvenes, encontramos que 99 de ellos tienen un peso comprendido entre 35 y 75 kg, y sólo uno de
ellos tiene un peso comprendido entre 75 y
115 kg; por consiguiente, la media (¿sabe el
ávido lector/a cómo calcularla?) es de 55’40
kg, lo que demuestra que los jóvenes no
están sanos por su excesiva delgadez”.
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Matemáticas a nuestro alrededor (anchura constante)”
Autor: Pedro García Garrancho (Diario JAEN, 12 de febrero de 2009)
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Me dirigí a él y le tranquilicé indicándole
que un círculo es una superficie con anchura
constante, de manera que si la tapa no se
había colado al principio, no se colaría nunca estuviese en la posición que estuviese. Si
por el contrario hubiese sido cuadrada o
rectangular sí tendría sentido estar intranquilo. El cuadrado y el rectángulo no son
superficies con anchura constante.
Se tiene la idea de que estamos rodeados de
matemáticas, pero ¿realmente las percibimos? Voy a tratar de poner de manifiesto
algo de las matemáticas que nos envuelven.
Estaba dando un paseo cuando me acerqué
a un pequeño polideportivo recién remodelado, con una superficie impecablemente
lisa. Estaban jugando un partido de fútbolsala, cuando un jugador falla clamorosamente un gol cantado, ante un imprevisto
mal bote del balón. “Este balón está apepinado”, protesta amargamente. Atienden la
protesta y cambian el balón por uno nuevo.
Algunas veces la vida es justa y nos ofrece
una segunda oportunidad y esta vez con el
perfecto nuevo balón, el bote es limpio y no
falla consiguiendo el ansiado gol. El balón
con forma esférica, es un cuerpo que tiene
una propiedad matemática, la anchura
constante. El balón “apepinado” la había
perdido, de ahí el mal bote, hecho que no
ocurrió con el balón nuevo. Lo lanzaran
como lo lanzaran, el jugador siempre lo
recibiría de la misma “forma y posición”.
Continué con mi paseo, y en una calle más
adelante había un operario de una empresa
telefónica bajando por uno de esos registros,
con tapa redonda. Él estaba muy preocupado por si algún despistado conductor, con su
coche pudiera empujar la tapa, caerse por el
hueco y dañarlo.
Para terminar este paseo matemático invito
al lector a que construyan una superficie de
anchura constante distinta del círculo. Cojan
un triángulo equilátero, sí, ese que tiene
todos sus lados y todos sus ángulos iguales.
Tracen con centro en un vértice el arco de
circunferencia entre los otros dos vértices.
Repitan el proceso desde los otros dos vértices.
La figura así formada por los tres arcos es
una superficie de anchura constante. ¿Tiene
alguna utilidad práctica? Como digo a mis
alumnos, terminar por el lector. (Buscar
motores rotativos)
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Top numbers: los números más interesantes”
Autor: Miguel Angel García Muñoz (Diario JAEN, 19 de febrero de 2009)
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Otra constante muy importante es el número e, base del logaritmo natural. Un gran
número de procesos de crecimiento en física, química, biología y ciencias sociales
tienen un aumento exponencial representado por la formula
.
Es fácil encontrarnos en los medios de comunicación con listas de “los más…”, música
más vendida, programas más vistos, etc.
Aquí tenéis una lista con los números más
interesantes justificando brevemente su
interés:
El siguiente número es el 2, el único número
primo (sus únicos factores enteros positivos
son el mismo y el uno) que es par. Es la base
del sistema de numeración binario sobre el
que descansa el diseño de los ordenadores.
Sin duda, el primero es el cero, número
entero aunque para algunos matemáticos
también es natural pues permite contar el
número de elementos del conjunto vacío
(aquel que no tiene elementos). Es el neutro
para la suma, pues cualquier número sumado al 0 vuelve a dar dicho número.
Le sigue una de las constantes matemáticas
más importantes, el número (Pi), la relación entre la longitud de una circunferencia
y su diámetro. Número irra-cional (no se
puede expresar como fracción de números
enteros). Su uso traspasa la geometría, con
frecuencia aparece en física y en ingeniería.
El tercer número es el 1,
número natural que representa la cantidad de elementos del conjunto no vacío
más pequeño. Neutro para
el producto, es factor de todos los números, es decir,
cualquier número se puede
dividir por 1 de forma exacta.
Por último, he de incluir la unidad imaginaria i, solución de la ecuación
. Se
usa para representar los números complejos
como suma de un número real y otro imaginario a + bi. Se usa en diversos campos de
la ciencia desde hidrodinámica hasta en
química e incluso en el software que controla el vuelo de la lanzadera espacial.
La identidad de Euler (
) relaciona, curiosamente, esta constante con
cuatro de los anteriores.
Finalmente, os animo a que indaguéis más
sobre estos números, os sorprenderán.
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“El juego ciencia”
Autor: José Luis Maroto Romo (Diario JAEN, 26 de febrero de 2009)
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Es indudable que existe un vínculo natural
entre las matemáticas y el ajedrez. Este
vínculo corresponde principalmente a los
procesos dialécticos que se generan para el
encuentro de las diferentes soluciones a los
problemas inherentes en cada caso.
Podemos contemplar también los rasgos
ontológicos que inducen ambas materias,
tales como la abstracción, la memoria, la
fuerza analítica, la creatividad, la planificación, la estrategia de investigación (métodos
de estudio) y la intuición (sentido heurístico). Hay varias analogías referentes a las
cualidades geométricas que desarrollan la
práctica continua del Ajedrez y la fuerza de
su simbolismo.
Si analizamos el trabajo de
Ernest Nagel y James R.
Newman “El teorema de
Gödel”, ellos mencionan
que puede resultar útil,
por vía de ejemplo, comparar las metamatemáticas como teoría de la demostración con la teoría
del ajedrez.
El ajedrez se juega con 32 piezas de una
forma determinada sobre un tablero cuadrado que contiene 64 subdivisiones cuadradas, en el que se pueden mover las piezas
conforme a unas reglas establecidas.
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El juego es análogo a un cálculo matemático
formalizado. Las piezas y los cuadrados del
tablero corresponden a los signos elementales del cálculo; las posiciones permitidas de
las piezas sobre el tablero, a las fórmulas del
cálculo; las posiciones iniciales de las piezas
sobre el tablero, a los axiomas o fórmulas
iniciales del cálculo; las subsiguientes posiciones de las piezas sobre el tablero, a las
fórmulas derivadas de los axiomas (esto es,
a los teoremas), y las reglas del juego a las
reglas de deducción (o derivación) establecidas para el cálculo.
La práctica del ajedrez induce a la práctica
de las matemáticas y viceversa. La formalidad del ajedrez es presentada lúdicamente
conectando lo abstracto con lo concreto
(análisis de variantes con la manipulación
de piezas) mientras que el sentido lúdico de
las matemáticas es enterrado por la imagen
aparentemente monótona del formalismo
abstracto de su ejercicio. Actualmente se
libra una tenaz lucha cultural en el ámbito
educativo nacional por cambiar esta imagen
e inyectar la disciplina del razonamiento
matemático en las nuevas generaciones. El
recurso del ajedrez es propicio para la inducción y logro de este urgente y vital
propósito.
En estas fechas se está
celebrando la XXVI
edición del Torneo Internacional de Ajedrez
Ciudad de Linares que es
uno de los torneos de
ajedrez más prestigiosos
del panorama internacional.
De hecho, se le denomina con frecuencia el
"Wimbledon" del ajedrez. Os animo a que lo
sigáis.
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Matemáticas y física: una relación apasionada”
Autor: José María Almira Picazo (Diario JAEN, 5 de marzo de 2009)
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Mi sensación al recordar esto se queda bien
descrita por el poema de Villon:
“Lamento el tiempo de mi juventud / en el
que más que nadie me he divertido / hasta
la llegada de la vejez / que su huida me ha
ocultado. / No se fue a pie, ni a caballo /
¡Ay! ¿Cómo, entonces? / De repente se ha
esfumado / sin dejarme provecho alguno”.
Cuando era estudiante tuve el gravísimo
defecto –por otra parte, muy usual a los
dieciocho años- de dejarme llevar por los
prejuicios y, en lo referente a mis estudios,
cometí dos torpezas estupendas. La primera
de ellas fue pasar “de puntillas” por mi curso
de Física General, concentrado únicamente
en “aprobar” y sin preocuparme en exceso
del contenido profundo. La segunda torpeza
la cometí, unos años más tarde, con la Estadística –pero de eso ya hablaré en otro
momento.
Porque aprender física entonces me habría
ayudado muchísimo para mi profesión ahora. Tanto es así que llevo años intentando
recuperarme del error cometido, leyendo
todo lo que pillo sobre física y sus aplicaciones. Incluso hace poco asistí voluntariamente a las clases de física general que imparte un compañero precisamente a mis
alumnos, que me miraban con cara rara,
puede que sin comprender mis motivos.
Pensaba que la Física era un “añadido”, algo
superfluo que un matemático puro –como
yo me veía en el futuro- no necesita para
nada. Ingenuamente, veía demasiadas imprecisiones en los razonamientos de los
físicos y me encantaba burlarme de ellos,
con la arrogancia característica de la edad.
En particular, sabía muchos chistes en los
que el físico de turno quedaba como un
idiota. Y me encantaban. Así las cosas, conseguí a malas penas aprobar –que era mi
objetivo- y me perdí algunas joyas que ahora
lamento.
En fin. Disfruté mucho con las clases. Ahora
sé que entre matemáticas y física existe una
relación apasionada y, sencillamente, disfruto del romance.
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“El fascinante número π”
Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 12 de marzo de 2009)
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Soy
lema y razón ingeniosa / De hombre
sabio que serie preciosa / Valorando enunció magistral / Con mi ley singular bien
medido / El grande orbe por fin reducido /
Fue al sistema ordinario cabal”.
Si cuenta las letras de cada palabra del anterior poema del colombiano R. Nieto Paris
obtendrá 3.14159265… y así ¡hasta 31 cifras
decimales de
! Este número, que se define
como el cociente entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro, ha fascinado a
la humanidad desde muy antiguo. En el año
2000 A.C. los babilonios ya conocían la
aproximación
3+1/8=3.125 y los egipcios usaban:
256/81= 3.160493827.
Incluso en la Biblia hay un pasaje (1 Reyes
7:23) del cual se deduce que
3. El primer intento serio para calcular el valor de
se debió a Arquímedes, quien inscribiendo y circunscribiendo polígonos regulares en
un círculo obtuvo 3.1408< <31429.
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En 1768 Lambert probó que
es irracional
(i.e., un decimal infinito cuyas cifras nunca
se repiten periódicamente). Esto significa
que por muchas cifras que calculemos nunca
llegaremos a obtener su valor exacto. Actualmente se conocen millones de cifras de
y su cálculo se utiliza como test para
verificar la fiabilidad de los supercomputadores de la Nasa. Tal vez le resulte entretenido visitar la web
http://www.angio.net/pi/piquery
donde puede buscar cualquier secuencia
numérica (por ejemplo la fecha de su cumpleaños) entre las cifras de
(la mía aparece en la posición 46.040.976).
Otra fecha clave en la historia de
fue
1882 cuando Lindemann probó que además
es un número trascendente (i.e., no es la raíz
de ningún polinomio con coeficientes enteros) demostrando de este modo la imposibilidad de “la cuadratura del círculo”. Este
problema consistía en construir con regla
(sin marcar) y compás un cuadrado con
igual área que un círculo dado y, junto con la
duplicación del cubo y la trisección del
ángulo, fue uno de los tres problemas geométricos de la Grecia clásica que se demostraron imposibles de realizar.
Pero sin lugar a dudas el valor más disparatado se debió a un proyecto de ley presentado en 1897 ante la Cámara de Representantes del Estado de Indiana (E.E.U.U.) que
pretendía fijar el valor de
en 16/ 3
9.2376… (Afortunadamente la presencia
casual de un matemático en la Cámara evitó
que fuese aprobado).
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“Multiplícate por cero”
Autor: Juan Martínez Moreno (Diario JAEN, 19 de marzo de 2009)
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El falso contraejemplo del Teorema de Fermat, que bien podría ser atribuible a la miseria de Monty Burns, fue en realidad obtenido con un programa de cálculo escrito por
Cohen, guionista de la serie y Master en
Computación por la Universidad de Berkeley.
Descubrir que tras la mente del padre imperfecto ideal de los niños norteamericanos,
el inspector de seguridad de la planta de
energía nuclear de Springfield en el sector 7G, se esconde una „upla‟ de guionistas matemáticos resulta turbador y estimulante.
Luego un visionado detallado de las imágenes muestra que desde el agujero negro
cerebral de Homer Simpson hasta la audaz
perspicacia del guión se extiende toda una
exponencial de matices recorrida, tal vez,
sobre los bucles del pelo ensortijado de
Marge.
Seguramente aún hoy la pesadilla recurrente
de Wiles (posiblemente el matemático más
famoso vivo por su demostración del Último
Teorema de Fermat) sigue siendo la antifermítica fórmula de David Cohen aparecida
en uno de los capítulos de la serie: la calculadora da fe de que 1782 elevado a 12 más
1841 elevado a 12 es igual a 1922 elevado a
12. En ella Cohen contradice con el descaro
de un genio, al tiempo, a Wiles y a Fermat.
La fórmula de Cohen recoge la esencia misma de los Simpson: una familia que nos
invita a reírnos de nosotros mismos, asumiendo nuestros claroscuros y reconociéndonos perfectos en nuestra imperfección.
El efecto boomerang lleva a Matt Groening,
padre de la criatura, a trasladar la experiencia a la gemela serie Futurama, que por
ejemplo incluye, entre otros muchas referencias a la matemática, en el episodio
“2ACV18 - El Bocinazo”, la cifra 1010011010
reflejada en un espejo. Esta cifra es el número diabólico 666 en código binario.
Y así, la sucesión de episodios con trasfondo
matemático es creciente en ambas series;
sólo la audiencia se mantiene año tras año
un paso por delante del talento de los guionistas.
Otras series como Numb3rs juegan con las
matemáticas como excusa. Bienvenida la
moda del ingenio matemático en las series
Prime Time y como dice Bart: “multiplícate
por cero”.
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Operación triunfo”
Autor: Máximo Jiménez López (Diario JAEN, 26 de marzo de 2009)
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El gran matemático Augustin Louis Cauchy,
cuyas aportaciones a los problemas matemáticos y de ingeniería de su tiempo fueron
fundamentales recibió, en 1821, el abucheo
en clase de sus alumnos y la reprobación de
la Dirección de la École Polytechnique de
París por la “aparente” falta de aplicación
práctica de sus enseñanzas.
Resulta evidente la aplicación de las matemáticas al mundo de la economía y la
empresa. A modo de ejemplo, a principios
de los años 90, la aplicación de la programación lineal supuso un ahorro de 4 millones
de dólares anuales en el transporte urbano
de Montreal gracias a la óptima ordenación
de la salida de los autobuses y la asignación
de conductores.
Las reglas del pensamiento matemático se
aprovechan en multitud de situaciones diarias, lo cual es muy apreciado en el mundo
empresarial. Un reciente estudio en EEUU
pone de manifiesto que un 60% de los nuevos puestos de trabajo requieren de habilidades que, hoy en día, sólo las poseen el
20% de los trabajadores.
Por su parte, el excelente matemático
Tomás Recio, en una intervención en el
Senado, se preguntaba ¿qué proporción de
españoles sabrían estimar, aún groseramente, las cuotas mensuales de amortización de una hipoteca de 100.000 euros, a 15
años y con un interés fijo del 5%?...
Todo esto nos lleva a plantearnos la importancia de una sólida formación lógicomatemática en todos los niveles educativos.
Lo que ya no está tan claro es la forma de
conseguir una eficaz enseñanza de las matemáticas.
Augustin Louis Cauchy
Tampoco estoy muy seguro del verdadero
calado que tiene en la población la importancia de una adecuada formación matemática. De hecho, en la adaptación de los actuales planes de estudio al Espacio Europeo
de Educación Superior, existe una tendencia
generalizada a rebajar el número de horas
de matemáticas en las nuevas titulaciones.
Me resulta extraño que la sociedad vea con
naturalidad el esfuerzo de unos muchachos
por perfeccionar unos pasos de baile (Fama)
o que sufran y lloren, lloran mucho, en su
afán por afinar la voz (Operación Triunfo) y,
sin embargo, sea tan reacia para “exigir” a
nuestros jóvenes una adecuada formación
científica. Las matemáticas no son el Risto
Mejide de esta particular “operación triunfo”, pero debemos ser realistas y admitir que
es necesario “exigir” a nuestros alumnos un
mayor esfuerzo y dedicación.
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Jaén, tenemos un problema”
Autor: Ildefonso Castro López (Diario JAEN,2 de abril de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Universidad de Jaén
En mi opinión, ese planteamiento SÍ que es
un problema. Los investigadores, al menos
los matemáticos, estudiamos la Naturaleza
NO porque es útil, sino porque es bella; por
el mero placer que se siente al contribuir sin
más pretensión al Progreso General del
Conocimiento.
Los matemáticos somos los únicos seres
humanos que somos felices cuando tenemos
un problema. ¿Por qué? Por el desafío que
supone descubrir la solución de cuestiones
de singular belleza con la inestimable ayuda
de tu propia intuición, capacidad de abstracción, destreza intelectual, lógica deductiva,
inspiración... y tal vez un ordenador. Problema difícil parece ser la adaptación de la
Universidad española al Espacio Europeo de
Educación Superior (el Plan Bolonia, en el
lenguaje de los telediarios). En especial, en
lo referente al mercantilismo en el que se
van a ver inmersas las Universidades para
convertirse en rentables centros académicos,
donde las empresas puedan nutrirse de
útiles logros del saber que repercutan de
modo inmediato en el bienestar de nuestra
individualista sociedad que pide cuentas.
Aquí cabe una lección de Historia: el origen
de las Cónicas se remonta a la época de los
griegos Menecmo y Apolonio. Las descubrieron cortando un cono con diferentes
planos, obteniendo -según la inclinación de
éstos- curvas que les cautivaron (la elipse, la
parábola y la hipérbola) y de las que no
obtuvieron mayor beneficio que utilizarlas
simplemente en ornamentación.
Tuvieron que pasar casi 20 siglos para que
Kepler descubriera que los planetas de nuestro Sistema Solar siguen precisamente órbitas elípticas.
Hoy día conocemos la trayectoria de cometas y asteroides gracias a esas inocentes
curvas y vemos nuestro partido favorito a
través de la antena parabólica gracias a que
hace más de 2000 años algunos científicos
se dedicaron a cortar un cono con un plano
por curiosidad.
Esta reflexión me invita a seguir mi investigación sobre Superficies sin más preocupación que cumplir honestamente con mi
trabajo, con la esperanza de seguir descubriendo belleza en ese Paraíso Interior y sin
la amenaza de cumplir ningún tipo de contrato-programa. Parece ser que mi campo de
trabajo es útil para ciertas teorías de la Física que gobierna nuestro Universo. Pero,
sinceramente, yo soy feliz con mis problemas matemáticos.
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Raíz cuadrada de dos: Folio versus DIN-A4”
Autor: Pedro Garrancho García (Diario JAEN, 16 de abril de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Universidad de Jaén
Este hecho es debido a que la proporción
entre el lado mayor y el lado menor no varía,
tanto si seguimos doblando por la mitad
(DIN-A6) como si juntamos por su lado
mayor dos DIN-A4 (DIN-A3).
Hoy hablaré del número raíz cuadrada de
dos. No está entre los números más famosos
pero se encuentra mucho más cerca de nosotros que muchos de ellos.
Cuando los pitagóricos creían que el universo se podía expresar con números enteros y
proporciones entre ellos, uno de sus miembros, Hipaso de Metaponto, demostró que
para la raíz cuadrada de dos esto no se cumple. El edificio pitagórico se venía abajo.
Cuenta la leyenda que “agradecieron” el
descubrimiento tirando por la borda al pobre Hipaso, para mantenerlo en secreto.
Hay que decir que a estos números, que no
pueden expresarse como cociente de dos
números enteros, se les llama números
irracionales.
En la época de las fotocopiadoras que realizan ampliaciones o reducciones resulta
bastante útil. Pero, ¿qué relación guarda la
raíz cuadrada de dos con el hecho de que los
diferentes tamaños DIN-A3, DIN-A4, DINA5, DIN-A6… sean semejantes? Pues bien,
esto se debe a que la raíz cuadrada de dos es
el único número que cumple la propiedad de
que su mitad coincide con su inverso. Ciertamente, llamen a al lado mayor y b al lado
menor, con lo que tenemos la proporción
a/b; si doblamos por la mitad la proporción
entre el lado mayor y el lado menor será
ahora b/(a/2). Para que estas expresiones
sean iguales la proporción a/b debe ser
justamente nuestro número invitado de hoy.
Ahora bien ¿cuál es el primero de la serie
DINA__? ¿Qué característica cumple? Esto
lo dejo para que investigue un poco el lector
o lectora.
Pero hablemos del número raíz cuadrada de
dos en un tono más práctico. Hace algunos
años el tamaño de papel más usado era el
folio (315 mm x 215mm); hoy en día este
formato prácticamente no se usa y ha sido
sustituido por el DIN-A4 (297 mm x 210
mm). Si tienen la curiosidad, doblen por la
mitad de su lado mayor, tanto el folio, para
conseguir la cuartilla, como el DIN-A4, para
conseguir el DIN-A5. Se puede observar que
tanto el DIN-A4 como el DIN-A5, tienen la
misma forma, circunstancia que no pasa
entre el folio y la cuartilla. En lenguaje
matemático se dice que los rectángulos son
semejantes en el primer caso.
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Los átomos de la matemática”
Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 23 de abril de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
El filósofo griego Demócrito propuso que la
materia estaba formada por unidades mínimas e indivisibles llamadas átomos. Hoy en
día el átomo ha sido escindido en componentes más pequeños (electrones, quarks,
muones …) pero la idea de Demócrito sigue
vigente y se cree que tanto la materia como
la energía existen en unidades mínimas.
En el mundo abstracto de la aritmética el
papel de los átomos lo desempeñan los
números primos, es decir, aquellos números
distintos de 1 que solo son divisibles por 1 y
por si mismos. Por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11,…
son primos mientras que 1, 4, 6, 8, 9, 10… no
lo son.
El Teorema Fundamental de la Aritmética
afirma que cualquier número se descompone de forma única como producto de primos, y por tanto éstos constituyen los bloques numéricos básicos.
Los números primos parecen captar la atención del ser humano de una forma casi
mística. Carl Sagan imagina en su novela
Contacto (llevada al cine con Jodie Foster
como protagonista) una civilización extraterrestre que se comunica
con la humanidad mediante señales de radio que
representan la secuencia
de los números primos.
Universidad de Jaén
En “El hombre que confundió a su mujer
con un sombrero” el neurólogo Oliver Sacks
relata el caso de dos gemelos autistas que
hallaban un gran placer en comunicarse
números primos (¡de hasta 20 cifras!). Estos
gemelos eran incapaces de realizar incluso el
cálculo más sencillo, por lo que se supone
que poseían una “sensibilidad” especial que
les permitía distinguir directamente los
números primos.
Euclides ya probó en los Elementos la existencia de una infinitud de números primos.
La demostración es tan elegante (según los
lectores de Mathematical Intelligencer el
tercer teorema matemático más bello) que
no me resisto a incluirla: si disponemos de
un conjunto finito de primos p1, p2, …, pN ,
entonces el número
P= 1+p1 ∙ p2 ∙ … ∙ pN
no es divisible exactamente por ninguno de
ellos (pues el resto de la división es 1) y
entonces ha de ser él mismo primo o divisible por un primo distinto de p1, p2, …, pN.
Obtenemos de esta forma un nuevo número
primo y como podemos repetir este proceso
indefinidamente el conjunto de los números
primos es infinito.
Los primos con un gran número de cifras
son necesarios actualmente, por ejemplo,
para encriptar de forma segura la información que se envía a través de internet.
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Top secret: información cifrada”
Autor: Miguel Angel García Muñoz (Diario JAEN, 30 de abril de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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Veamos cómo funciona:
En primer lugar convertimos el mensaje en
un número, usualmente cambiando cada
letra por dos dígitos que indican la posición
de ésta en el alfabeto, así A = 01, B = 02,…, Z
= 27. Para construir la clave de cifrado sólo
se necesita dos números primos p y q. Llamamos n = pq y calculamos
Nos ha tocado vivir en la era de la información y de la comunicación. Todos usamos las
maravillas que la tecnología actual pone en
nuestras manos: internet, cámaras digitales,
MP3, DVD,…, sin embargo, casi todos desconocemos que todas estas tecnologías tienen un fundamento en común: la Teoría
Elemental de Números. ¡Quién les iba a
decir a Euclides (siglo III A.C.), Fermat
(1601-1665) o Euler (1707-1783), entre
otros, que sus teorías se iban a usar con
tanta frecuencia actualmente!
Sirva como ejemplo su uso a la hora de intercambiar información de forma segura a
través de Internet. El hombre siempre ha
necesitado enviar y recibir mensajes de
forma confidencial, pero aun más hoy en día
pues a través de Internet podemos realizar
compras, firmar documentos, hacer operaciones bancarias, etc. Para ello hemos de
intercambiar información delicada, como
números de tarjetas de crédito. El método
más usado es el RSA (así llamado por las
iniciales de sus creadores R. Rivest, A. Shamir y L. Adleman) y se basa en la imposibilidad de descomponer un número enorme
(de más de 200 cifras) como producto de
dos números primos en un tiempo útil. Este
método está instalado en cada navegador
web, que en milésimas de segundo encuentra números primos con más de 100 dígitos,
genera las claves, las intercambia y las usa
cuando estamos en páginas seguras.
a = (p – 1)(q – 1) + 1.
Finalmente, buscamos un divisor entero d
de a y calculamos e = a /d. Con estos datos
ya tenemos la clave: para cifrar sólo tenemos
que elevar el mensaje de partida a d, dividir
entre n y el resto m de esta división será el
mensaje encriptado. Para descifrar, elevamos m al número e, dividimos entre n, y el
resto de esta operación es el mensaje de
partida. Todo esto es una consecuencia de
un conocido resultado de teoría de números,
el Teorema de Euler-Fermat.
Para terminar, proponerles que con ayuda
de una calculadora científica o un ordenador
descifren el mensaje m = 1758, sabiendo que
para cifrarlo se ha utilizado la siguiente
clave p = 71, q = 29 y d = 53.
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Los dos matemáticos más jóvenes de la historia”
Autor: Matemáticas en una librería (Diario JAEN, 7 de mayo de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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La pregunta natural que surge es la siguiente: suponiendo que todo se venda, ¿cuántos
lotes de cada clase debemos hacer con los
885 bolígrafos y las 558 libretas para que la
recaudación sea lo mayor posible? Llegados
a este punto, entablo con mi alumnado la
parte más divertida del problema: ¿qué
haría cada uno/a en esta situación?
Admitamos desde el principio que la asignatura de Matemáticas no es la más apreciada,
en general, por el alumnado (por no decir
que un reciente estudio afirma que es la más
temida del currículo). Sin embargo, hay
lecciones que, a veces, disfruto como si las
estuviese descubriendo por primera vez.
Quisiera compartir con el/la amable lector/a
una de ellas e invitarle a participar.
La mejor manera de implicar al alumnado
en un problema es poner dinero sobre la
mesa. Juguemos a ver quién es el/la mejor
empresario/a de la clase.
Imaginemos que regentamos una sencilla
librería de barrio. Tras el inicio del curso
escolar (el periodo más rentable del año),
hemos acumulado un cierto stock que no
hemos llegado a vender; por ejemplo, 885
bolígrafos y 558 libretas. Podemos guardar
este material para venderlo al año siguiente,
pero esto genera unos costes de almacenamiento. Decidimos sacarlo al mercado de
una forma atractiva, haciendo lotes de dos
tipos.
Es un momento especial: las Matemáticas
pasan a un papel secundario, y en la clase
triunfa la persona con más imaginación. Y
no importa el tiempo que gastemos si nos
divertimos imaginando. “Yo haría 100 lotes
de A y 50 lotes de B, con lo que recaudaría
325 €”, dice alguien. Esta propuesta es válida, pues no excedemos del material con el
que contamos (885 bolígrafos y 558 libretas). Pero no es la mejor, ya que sobran 335
bolígrafos y 208 libretas. Es claro que hay
soluciones mejores pero, ¿hay una que sea la
mejor de todas?
Me encantaría que quien lea estas líneas
reflexione brevemente qué haría siquiera
durante un minuto. Y si disfruta buscando
una respuesta, estas líneas habrán conseguido su objetivo.
El lote A lleva 3 bolígrafos y 2 libretas, y lo
vamos a vender por 3'25 €. El lote B (o familiar) lleva 5 bolígrafos y 3 libretas, y lo
vendemos a 5 €.
Aunque ya no vendemos tanto como en el
mes de septiembre, es posible que las familias prevean que los/as niños/as pronto
agotarán su material escolar.
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Matemática aplicada a la crisis”
Autor: Miguel Marano Calzolari (Diario JAEN, 14 de mayo de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Universidad de Jaén
Sólo habría que evitar imágenes y términos
obscenos o que hieran la sensibilidad de
algunas personas. Por mi parte, y sin intentar imponer nada, puedo dar algunas ideas
iniciales:
,
, ,
,
, ,
,
en el orden creciente del 10 al 16.
Propongo que el viejo sistema de numeración decimal sea sustituido por otro. Se me
ocurrió de golpe. Se trata de cambiar el
número base, actualmente el diez, por otro
más a tono con nuestros tiempos de crisis y
especulación. Obviamente hay que elegir
uno mayor, de manera que ahorremos tinta
al escribir los números. Si eligiéramos el dos
como base, por ejemplo, para referirnos al
2009 tendríamos que escribir 11111011001.
Ridículo. Recordemos que todo número
entero positivo se escribe de manera única
como
suma finita, donde todos los coeficientes ci
son menores que j y éste es un entero fijo, el
número base.
En relación a éste, después de una profunda
reflexión me he inclinado por el 17. Resulta
que para escribir los números enteros en
esta base necesitamos crear 7 símbolos nuevos, con sus correspondientes vocablos.
El 7 es un número de una gran significación
histórica. No hay más que pensar en las 7
maravillas del mundo, los 7 días de la semana, los 7 pecados capitales, los 7 enanitos,
etc. Y esto creará empleo entre aquéllos
interesados en el diseño y la lingüística.
Obsérvese que he asignado un símbolo de
estrella de la suerte al 13, como desagravio
por tantos siglos y siglos de injusta maledicencia.
Ahora el 2009 se representa con un primoroso y optimista 6 3. Y el fatídico 666
pasaría a un inocente 253. Y ni hablar de un
número de dos dígitos en el sistema decimal
cuya imagen está algo subidita de tono, que
en el nuevo sistema se representaría con un
casto 41. No digo que sea la solución definitiva, pero creo que esta medida ayudará a
paliar la crisis porque el esfuerzo intelectual
que supondrá adaptarse a lo nuevo hará que
agudicemos el ingenio, que es bueno para
esto, y además estaremos tan enfrascados
haciendo cuentas que nos olvidaremos de
ella. Por último, y tal vez la razón más importante, mi edad actual sería sólo de 3
años.
En fin, creo que he probado claramente que
el sistema decimal está agotado y ya es hora
de cambiarlo para adaptarnos a los nuevos
tiempos. Ahora bien, si mi propuesta se
acepta, imagínese el lector el follón que se
puede montar.
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Dalí: surrealismo matemático”
Autor: José Angel Cid Araujo (Diario JAEN, 21 de mayo de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Dalí fue un genio excéntrico y ególatra,
creador de imágenes que se han convertido
en auténticos iconos del siglo XX: relojes
blandos, elefantes con patas de mosquito,
jirafas en llamas… Pero si piensa que el
surrealismo onírico de Dalí es incompatible
con la lógica y la razón está totalmente equivocado. Dalí fue un apasionado de la ciencia
en general, y de las matemáticas en particular, y muchos de sus cuadros reflejan este
interés. En “Corpus hipercubus” (1954) Dalí
representa la crucifixión de Cristo sobre una
cruz formada por ocho cubos y que es en
realidad el despliegue tridimensional de un
hipercubo tetradimensional.
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Otras dos obras que también reflejan el
interés de Dalí por las matemáticas son
“Rapto topológico de Europa: homenaje a
René Thom” (1983) y “La cola de golondrina” (1983), que pueden contemplarse en el
Teatro-Museo Dalí de Figueres sin la aglomeración que se forma para ver la famosa
cara de Mae West. René Thom, a quien Dalí
homenajea explícitamente en el primero de
los dos cuadros, fue un prestigioso matemático francés, ganador de la medalla Fields
(premio equivalente al Nobel) y creador de
la “Teoría de las Catástrofes”. En su obra
más conocida “Estabilidad estructural y
morfogénesis”, Thom popularizó esta teoría
que había desarrollado para analizar las
discontinuidades (“catástrofes”) que se
presentan en sistemas biológicos, geológicos, económicos… que evolucionan con el
tiempo.
Con el uso de la cuarta dimensión Dalí representa el más allá y la trascendencia de la
muerte de Cristo.
En 1975 el Washington Post utilizó este
cuadro para ilustrar un artículo sobre el
trabajo del matemático Thomas Banchoff,
quien había desarrollado gráficos por ordenador para explorar la visualización de la
cuarta dimensión.
Cuando Banchoff recibió una llamada para
que se reuniese con Dalí se alarmó bastante
al principio, pensando que tal vez Dalí estuviera enfadado con él por haber utilizado la
imagen de su cuadro sin permiso. Sin embargo su temor resultó infundado pues Dalí
lo que quería era conocer al matemático que
compartía su fascinación por la cuarta dimensión y el encuentro derivó en una buena
amistad.
La cola de golondrina es precisamente el
nombre que recibe una de las siete catástrofes elementales y es el título del que sería el
último cuadro de Dalí.
También con René Thom mantuvo Dalí una
buena amistad en sus últimos años de vida,
hasta el punto de que toda la obra de Dalí a
partir de los años 80 se centró en la teoría
de catástrofes.
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Matemáticas y Astronomía: Relojes de sol”
Autor: Toledano Ahmad, Hussein (Diario JAEN, 28 de mayo de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Las Matemáticas representan uno de los
pilares básicos de la Astronomía. Una relación interesante entre ambas disciplinas la
podemos encontrar en los relojes de sol,
instrumentos que en la actualidad han quedado relegados a mera curiosidad científica
o a simple elemento decorativo.
El rudimentario reloj de sol consistente en
una estaca vertical y la observación de su
sombra, fue utilizado en tiempos primigenios. A dicha estaca se le conoce como
gnomon; y a la ciencia o técnica que se
ocupa de los relojes de sol, Gnomónica.
Al tiempo que la Astronomía iba explicando
los movimientos de los cuerpos celestes, los
relojes de sol crecían en complejidad
y precisión.
A partir del Renacimiento empezaron a
construirse relojes mecánicos, pero los de
sol siguieron persistiendo.
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Un reloj de sol fácil de construir consiste en
una varilla (estilete o gnomon) paralela al
eje de rotación terrestre, cuya sombra se
proyecta en un plano ecuatorial (perpendicular al eje polar). Las líneas horarias serían
radios, que salen de la base del estilete,
separados entre sí 15o (el ángulo que recorre
el Sol en una hora). Para su utilización,
debemos traducir la hora solar en oficial (la
de nuestro reloj de pulsera).
A grandes rasgos, la hora oficial se basa en
la hora solar de Greenwich tomando un sol
medio (sol ficticio que se introduce para
que los días sean todos de igual duración); el
desfase entre el sol verdadero y el medio se
llama Ecuación del Tiempo, y está tabulada en cualquier anuario astronómico. Por
tanto, para que la hora solar verdadera
(HSV) de Jaén nos dé la hora oficial (HO),
hemos de corregirla por la Ecuación del
Tiempo y por la longitud geográfica de Jaén,
amén de otras correcciones como el huso
horario y la corrección estacional, que se
traducen, para España, en 1 ó 2 horas. Por
tanto:
CORRECCIÓN
(en minutos)
ENERO
del 1
al 10
20
del 11
al 20
24
del 21
al 30
27
FEBRERO
29
29
28
MARZO
26
24
21
ABRIL
18
15
13
MAYO
12
12
12
JUNIO
14
15
17
JULIO
19
21
21
AGOSTO
21
19
17
SEPTIEMBRE
14
10
7
4
1
– 1
OCTUBRE
NOVIEMBRE
DICIEMBRE
– 1
0
2
6
10
15
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“El sistema de numeración decimal”
Autor: Juan Francisco Ruiz Ruiz (Diario JAEN, 4 de junio de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Universidad de Jaén
En realidad no existe una motivación matemática que inspire el uso de 10 símbolos,
la razón sería más bien antropológica y
quizás podríamos encontrarla en el rudimentario ábaco que constituyen los 10 dedos
de nuestras manos y que todos hemos usado
de pequeños para realizar sencillas operaciones aritméticas.
La representación escrita mediante símbolos
o caracteres de los números, a lo largo de la
historia y en las distintas civilizaciones, ha
ido variando y se ha hecho de distintas formas: desde la babilónica (~1800 a. C.) originaria de los sumerios que escribían en cuneiforme sobre una lámina de arcilla, la
romana basada en el sistema etrusco o griego, la cirílica, la china, la japonesa, la arábiga… Incluso en la actualidad nos encontramos con varias formas para representar
números que usamos habitualmente, valgan
de ejemplo el sistema romano, el decimal o
(aunque menos conocido) el binario que
usan las computadoras.
Un sistema de numeración consiste en un
conjunto de símbolos o caracteres junto con
otro conjunto de normas o reglas para combinarlos que permitan representar cualquier
número.
Incluso matemáticamente, podríamos afirmar que el uso de 10 símbolos como base no
es la opción más ventajosa. Si un buen día se
presentaran en nuestro mundo unos extraterrestres, probablemente y con razón,
pondrían en duda la “inteligencia” que hay
detrás de esta elección, en tal caso tendríamos que explicarles la afinidad de nuestra
biología por el número 5: que nos dotó de 4
extremidades (2 brazos + 2 piernas) y 1
cabeza, por tanto de 2 manos con 5 dedos
cada una y así llegar al número mágico: el
10.
No sé si esta explicación convencería de
nuestra “inteligencia” a un extraterrestre,
pero al menos supongo que le persuadiría de
nuestro ingenio.
El sistema decimal, habitualmente usado
por todos, fue introducido en Europa por los
árabes y utiliza diez caracteres: 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 que simbolizan a estos números
y se combinan para representar al resto,
siendo la posición de cada símbolo la que
determina su valor (756 = 7·100 + 5·10 + 6).
No todos los sistemas de numeración utilizan las mismas reglas (en el romano las
reglas son muy distintas) o usan 10 símbolos: el binario usa 2 (el 0 y el 1, por ejemplo,
11001 = 1·24 + 1·23 + 0·22 + 0·21 + 1·20 = 25)
o el babilónico usaba 60.
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“De la magia de las Matemáticas…”
Autor: Francisco Tomás Sánchez Cobo (Diario JAEN, 11 de junio de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
En este Rincón intentamos mostrar, siendo
un punto atrevidos, qué de magia poseen
las matemáticas. Si la magia nos introduce
en situaciones cargadas de seducción, los
buenos problemas matemáticos han ejercido, desde siempre, una irresistible influencia sobre los matemáticos que se han sentido atrapados en su resolución.
Las más de las veces, su solución se ha obtenido tras un período, breve, de reflexión.
Pero, en otras ocasiones, se ha necesitado
varios años o siglos, recordemos los cuaterniones de Hamilton o la demostración del
último teorema de Fermat.
Si un buen truco de magia nos produce
asombro, nos deslumbra, de manera semejante ciertos resultados matemáticos surgen
como algo imprevisto y, en ciertos casos,
como incomprensibles. Baste mencionar,
con tal fin, las geometrías no euclídeas o las
ideas de Cantor sobre conjuntos infinitos.
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La magia viene asociada a lo extraordinario, a lo fuera de lo común. Igual nos sucede
con ciertas situaciones en matemáticas. Por
ejemplo, es bastante conocido que existen
infinitos números primos, aunque lo es
menos que podemos crear “agujeros” del
tamaño que deseemos, tal que en él no existan números primos –por ejemplo, entre
2000001!+2 y 2000001!+2000001 hay dos
millones de números consecutivos sin
ningún número primo entre ellos-.
Un aspecto que nos cautiva de la magia es el
halo de misterio que la envuelve. En el
campo matemático, el número π también se
ve rodeado de múltiples misterios.
En la página web ”The Pi-Search Page”,
http://www.angio.net/pi/piquery,
se encuentran los doscientos millones de
cifras decimales iniciales de π. Sugerimos al
lector escribir un número, verbigracia la
fecha de nacimiento, el número de D.N.I., el
número de móvil, etc., y encontrar, con el
buscador, la posición del mismo dentro de la
parte decimal de π.
La magia es sinónimo de ilusión, de algo
que engaña a los sentidos. Aunque la construcción matemática es sólida, por el camino
llenamos las papeleras de ideas que se evidencian inadecuadas. Sea ejemplo de esto el
pseudoteorema de Polignac:
“Todo número impar se puede expresar
como la suma de una potencia de 2 y un
número primo”.
Animo al amable lector a que encuentre un
caso en el que no suceda lo afirmado.
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“… a las Matemáticas de la magia”
Autor: Francisco Tomás Sánchez Cobo (Diario JAEN, 18 de junio de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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“Una persona elige un mes de un calendario. Sin ser vista, rodea con una línea un
cuadrado de tres días por lado. Nos dice
cuál es la suma de los nueve números incluidos dentro de la línea, y, en seguida, el
matemago le muestra dichos números”.
En la anterior entrega, mostrábamos cuánta
magia poseían las matemáticas. Ahora,
nuestro objetivo es hacer visible las matemáticas que hay tras algunos juegos de
magia. No es extraño, en este sentido, que
las dos primeras referencias escritas sobre
magia sean de dos matemáticos, Luca Pacioli y Girolamo Cardano.
Existen muchos juegos (con números, cartas, monedas, ...) que se basan en el concepto de paridad. Veamos uno: “Una persona,
sin que la veamos, coge con una mano una
moneda y, con la otra, dos. Luego, multiplica por dos el número de monedas que tiene
en la mano izquierda y por tres las que
posee en la mano derecha y nos comunica
la suma de estos dos valores. Inmediatamente, el matemago le indica en qué mano
guardó una moneda”.
La noción de divisibilidad es muy común en
algunos juegos. Por ejemplo: “Una persona
elige un número de cuatro cifras (abcd).
Escribe, a continuación, el número que se
obtiene al invertir el orden de las cifras del
primero (dcba), y resta del mayor el menor.
Si dice la suma de tres de las cifras de la
diferencia, ¿cómo adivina el matemago la
cuarta?”
En muchos juegos con el calendario, así
como en otros de adivinación de un número,
se encuentra oculta la resolución de una
ecuación.
En otros la clave está en el razonamiento
lógico-numérico. Sea el caso: “Tres personas
se guardan, sin ser vistas, una carta cada
una: un as, un rey o un caballo. El matemago entrega, de un montón de 24 fichas,
una a la primera persona, dos a la segunda
y tres a la tercera. De forma reservada, la
persona que cogió el as toma del montón
tantas fichas como recibió, la que tomó el
rey el doble de las que tiene y el que posee el
caballo el triple de las recibidas. El matemago dirá, con rapidez, que carta guarda
cada uno”.
Dado el formato de este Rincón no nos es
posible ejemplificar otras nociones matemáticas como sistemas de numeración, expresiones algebraicas, propiedades de ciertas
sucesiones, la expresión polinómica de un
número, etc., o mostrar juegos con naipes.
Memoria de actividades. Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Fácil de enunciar, difícil de probar”
Autor: José María Almira Picazo (Diario JAEN, 25 de junio de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
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En particular, ellas se pueden representar
como superposición de armónicos puros y
tanto su perímetro como el área que encierran son función de sus coeficientes de Fourier.
Usted tiene un cordel de 100 metros de
largo y se le pide que construya con él una
curva cerrada que encierre el mayor área
posible. ¿Qué haría? Cualquier matemático
le recomendará que construya una circunferencia porque esa curva es precisamente la
solución a este problema concreto. Como el
perímetro de la circunferencia vale 2πR,
tendremos que el radio es
R=100/(2π)=15.91 m
y que el área encerrada será A=πR2=795.7
m2. No es gran cosa, pero es todo lo que
usted puede encerrar con cien metros de
cuerda. Si hubiera elegido un cuadrado de
25 metros de lado, el área encerrada habría
sido de 625 metros. Un número más redondo, pero menor. Con un triángulo equilátero
el área saldría: 481.125 m2. Pero: ¿será fácil
probar que, en efecto, la circunferencia
proporciona el mayor área posible?
Utilizando ciertas desigualdades que satisfacen estos coeficientes, se obtiene la prueba.
En realidad, existen pruebas puramente
geométricas, pero la demostración que
hemos mencionado es de las más directas
que hay.
Si lo piensan, verán que estamos ante un
ejemplo de problema “fácil de enunciar,
difícil de probar”. Estos problemas son frecuentes en matemáticas y, de hecho, algunos
de los misterios matemáticos más profundos
tienen enunciados muy sencillos.
Les voy a poner otro ejemplo geométrico. Se
trata del Teorema de la curva de Jordan, el
cual afirma que cualquier curva cerrada que
usted pueda construir con su cuerda sin
que ésta se toque a sí mismo a excepción de
sus extremos, divide al plano en dos trozos,
siendo la curva la frontera común a ambos.
Trivial, ¿no? ¡Pues no existe ninguna prueba
elemental de este teorema, que esté al alcance de un estudiante de primer año de licenciatura en matemáticas!
Esta cuestión, a la que los matemáticos
llamamos el “problema isoperimétrico”, se
puede resolver de numerosas formas. A mí
personalmente me gusta mucho una de
ellas, debida a Hurwitz, consistente en explotar el hecho de que toda curva cerrada de
perímetro P se puede describir como la
trayectoria de una función de variable real,
periódica con periodo P y con valores complejos. Estas funciones son precisamente
objeto de estudio de una importante rama
de las matemáticas a la que llamamos Análisis de Fourier.
Camille Jordan
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Cóncavo y „con beso‟ ”
Autor: Antonio Francisco Roldán López de Hierro (Diario JAEN, 3 de septiembre de 2009)
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Seguramente estos congresos nunca se celebraron y la historia no sea más que una
leyenda urbana, pero disfrutaba imaginando
lo maravilloso que debía ser el enclave del
congreso y la calidad de las viandas que se
ofrecían.
En una canción de Mecano se hace mención
a magdalenas del sexo convexo, y todos
llevamos en nuestro organismo, un par de
lentes convexas que nos permiten ver: los
cristalinos de sus ojos. Posiblemente, los
conceptos de cóncavo y convexo nacieron
asociados a las curvas que denominamos
parábolas. Usted ha visto estas curvas muchas veces. Por ejemplo, si se corta una
antena parabólica por la mitad el perfil que
resulta es el de una parábola. En la figura
podemos ver la forma de estas parábolas
pero, ¿cuál es cóncava y cuál es convexa?
A
B
La primera vez que aprendí estas nociones
me explicaron que la figura A era cóncava y
la figura B convexa. Resultaba fácil de recordar con la siguiente regla: la forma convexa se asemeja a la curvatura de la mano de
una mujer cuando un hombre, para saludarla galantemente, la besa en la mano. Por eso
lo convexo se asemeja a “con beso”.
Sin embargo, en el primer curso de carrera,
me lo explicaron justo al revés: la figura A
era convexa y la figura B era cóncava. Y
aprendí otra regla para memorizarlo: la
forma cóncava es la de la mano cuando
tratamos de “cavar” un agujero en el suelo.
Éste es el criterio que finalmente ha perdurado, aunque yo creo que el primer criterio
era, al menos, más romántico.
¿Nunca se ha preguntado por qué los miopes llevan lentes cóncavas en sus gafas y los
hipermétropes, lentes convexas? Los ópticos
sí que lo tienen claro.
Solo hay que ponerse de acuerdo para decidir lo que es cóncavo y lo que es convexo.
Pero le aseguro que no es fácil. Según me
contaba un profesor mío, todos los años se
celebraba un Congreso Internacional en el
que Físicos y Matemáticos trataban de llegar
a un entendimiento acerca de ésta y otras
cuestiones. Sin embargo, el consenso era
imposible, y lo único que se llegaba a acordar era la fecha del siguiente congreso para
volver a debatir sobre los mismos temas.
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“El ocho acostado”
Autor: Consuelo Rosales Ródenas (Diario JAEN, 10 de septiembre de 2009)
Departamento de Matemáticas. Curso 2008/2009
Ayer cumplimos el noveno día del mes
noveno del noveno año de este siglo y la
actualidad ya viene marcada por la proximidad de otra fecha: dos de octubre de
2009. La cita será en Copenhague. Ese día,
los miembros del COI decidirán la sede de
los Juegos Olímpicos de 2016. La corazonada me trae a la mente el simbolismo del
instante fijado para la inauguración de los
pasados Juegos Olímpicos de Pekín (08-0808 08:08:08).
El ocho en la cultura china está cargado de
simbolismo: es el signo de la prosperidad,
de la tierra tanto en extensión como en
profundidad (ya que el 8 es el primer número cúbico), y también es el signo del infinito.
Curioso. El signo matemático del infinito
contiene el ocho, un ocho “acostado”. Este
signo lo introdujo el matemático John Wallis en 1655, y lo podemos ver como un lazo
que no tiene principio ni fin, o como una
madeja con un nodo en el centro. Lo preceden símbolos alquímicos o religiosos como
las serpientes entrelazadas, símbolo de
mercurio y de la fuerza genésica.
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Un ocho acostado de lado lo podemos imaginar como símbolo del reposo después
del séptimo día de la creación. O bien, como
las ocho horas de sueño nocturno. El infinito, la noche y el ocho relacionados, ¿misterio
o casualidad? Es curiosa la similitud entre
las palabras noche y ocho, en francés nuit y
huit, night y eight en inglés, notte y otto en
italiano, nacht y acht en alemán, natt y atte
en noruego. Es evidente que este hecho se
debe a la raíz indoeuropea tanto del latín
como de las lenguas germánicas.
Pero por qué no imaginar que, después de
los siete días de la semana relacionados con
los siete astros, Luna, Marte, Mercurio,
Júpiter, Venus, Saturno y Sol, llega el ocho,
la noche. Podemos continuar la sucesión
con el nueve, ¡curioso!, nueve y nuevo,
neuf y neuf, nine y new, nove y novo, ni y
ny en danés.
Después del 09-09-09, ¡esperemos buenas
nuevas!
Si (como griego afirma en el Cratilo),
el nombre es arquetipo de la cosa,
en las letras de rosa está la rosa
y todo el Nilo en la palabra Nilo.
El Golem, Jorge Luis Borges
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Los matemáticos son desconfiados”
Autor: Miguel Antonio Jiménez Pozo (Diario JAEN, 17 de septiembre de 2009)
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Otro fenómeno sorprendente es la cinta de
Mobiüs, sobre la cual hay información asequible en internet. Una hoja de papel posee
dos caras. En la cáscara de una naranja
observamos dos caras, una color naranja y
otra blanca. En superficies cerradas, como
en un balón de futbol, hay una cara exterior
y una interior. Las superficies imaginables
tienen dos caras. ¡La cinta de Mobiüs solo
una!
Hay cosas inesperadas: Un Rey quiso premiar al inventor del ajedrez y lo dejó pedir
del reino lo que deseara. –“¡Oh, Majestad!
Numerando las casillas del tablero, desearía
me regalase un grano de trigo por la primera, dos por la segunda, cuatro por la tercera,
y así, doblando la cantidad, hasta completar
las 64 casillas“. El Rey, incrédulo ante lo
que consideró un premio ridículo, accedió.
Pero quedó estupefacto cuando supo que no
alcanzaría toda la cosecha del reino para
semejante demanda. El número de granos es
calculable, pero lo interesante es que sobrepasa con creces nuestra imaginación.
Otro ejemplo. El perímetro P de una circunferencia de radio R, responde a la fórmula
P=2πR. Con un radio incrementado en ΔR
se tendría un incremento ΔP del perímetro y
la ecuación
(P+ΔP)=2π(R+ΔR).
Restando la primera fórmula de la segunda,
obtenemos ΔP=2πΔR. Asombroso: ¡no depende ni de P ni de R! Entendamos, mientras más gorditos de cintura, más peso
habrá que bajar para reducir 1 cm. de talla,
pues el volumen de grasa sí crece con el
incremento de la cintura.
He aquí mi ejemplo favorito por lo ilógico:
Entre dos números racionales (del tipo p/q)
diferentes, siempre habrá un número irracional (como √2, √3, π, e). Entre dos irracionales diferentes siempre hay uno racional. ¡Pero hay una infinidad más de números irracionales que de racionales! Por estos
y otros ejemplos, los matemáticos sólo aceptamos pruebas rigurosas y somos desconfiados en el trabajo. ¡Lo malo es que a veces lo
olvidamos en la vida real y después hay que
pagarlo!
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El Rincón Matemático en Diario Jaén
“Enigma”
Autor: Miguel Angel García Muñoz (Diario JAEN, 24 de septiembre de 2009)
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Recientemente se conmemoró el 70 aniversario del inicio de la II Guerra Mundial.
Como en otros momentos de la historia de la
humanidad, la matemática jugó un papel
importante y no sólo aplicada a la estrategia
militar sino también para cifrar y descifrar
mensajes. En aquellos años se utilizó un
artilugio parecido a las antiguas máquinas
de escribir, conocido como máquina Enigma, cuyo funcionamiento se basaba en la
teoría de grupos simétricos. En concreto,
esta máquina cifraba mensajes usando permutaciones del conjunto de las letras del
alfabeto.
Constaba de tres partes fundamentales: el
teclado, mediante el cual se introducía el
mensaje que se quería cifrar, el sistema de
codificación formado por varios discos circulares o rotores conectados entre sí y un
panel de luces, una por letra, en el que aparecía iluminada la letra codificada que había
que transmitir. En definitiva, para cifrar un
mensaje sólo había que cambiar las letras
del texto original por aquellas que nos indicaba la máquina.
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Para obtener el mensaje original sólo había
que teclear las letras del mensaje cifrado y,
si la configuración inicial de la máquina era
idéntica a la usada para cifrar, ésta nos devolvía las letras del texto original. La configuración inicial se basaba en la elección de
los rotores y en la posición inicial de estos.
La gran cantidad de maneras en las que la
máquina se podía configurar hizo que este
artefacto fuese un sistema de cifrado tan
protegido. Creada para facilitar la comunicación secreta entre comerciantes, sucesivas
modificaciones la hicieron cada vez más
segura hasta el punto de ser usada por el
ejército nazi en la II Guerra Mundial. Sin
embargo, pese a la supuesta inviolabilidad,
su sistema de codificación fue descubierto,
como se relata en películas como Enigma
(2003) o U-571 (2001), lo que permitió a los
aliados descifrar los mensajes del ejército
nazi y contribuyó a que el final de la guerra
llegará antes. Realidad o ficción lo que si es
cierto es que el descodificado de mensajes se
obtuvo gracias al uso de técnicas matemáticas y estadísticas. Una de las personas que
más aportó a este trabajo fue el matemático
inglés Alan Turing (1912-1954), considerado
hoy día como uno de los padres de la Ciencia
de la Computación y precursor de la informática moderna.
Alan Turing
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